Некоторые задачи из теории интегро-дифференциальных и обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Список основных обозначений

Введение.

Глава 1. Существование и единственность решения для некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений.

§1.1 Теоремы существования и единственности решения для уравнения x(t) = F (t, x(t),j К (t,s,x(s))dsjH(t,s,x(s))dsSj с начальным условием х(0) = ж

§1.2 Примеры.

§1.3 Теоремы существования и единственности решения для гибридных систем

§1.4 Одна линейная гибридная система.

Глава 2. О разрешимости краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений.

§2.1 Об одной краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида х = A(t)x + х), с краевыми условиями:

A\x(ti) +----b Amx(tm) = (p(x(ti),.,x(tp)).

§2.2 Примеры.

§2.3 О разрешимости краевых задач для одного класса интегро-дифференциальных уравнений вида х = A(t)x + / K(t, т)х(т)йт + g(t, х), с краевыми условиями

Е A{x(ti) = cp(x(ti),., x(tp)).

§2.4 Примеры.

Дополнение.

В настоящее время при изучении многих прикладных проблем в различных областях широко используются интегро-дифференциальные модели: в теории вязкоупругости, термодинамической теории смазки, при изучении вязкоупругих колебаний различных систем и конструкций, механике полимерных материалов, в ядерной физике, математической теории биологических популяций, в биоматематике.

Изучение различных физических явлений приводит к исследованиям интегро-дифференциальных уравнений (и.-д.у.). Еще в XIX веке Томсон [47] показал, что изучение явления последействия в твердом теле приводит к и.-д.у. В начале 20-го столетия Вольтерра [49],[50] показал, что к и.-д.у. приводится задача о равновесии упругого твердого тела с учетом явления последействия.

В работах [31], [32], [33] показано, что механические, электромагнитные и тепловые процессы с учетом влияния фактора времени и процесс распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью описываются и.-д.у.

Интегро-дифференциальные уравнения применяются также в ядерной физике [10], [36], [43],[48], например, в задачах изучения стационарных, многоэнергетических и изотропных процессов переноса. В частности, к таким процессам относятся явления переноса лучистой энергии и диффузии нейтронов.

В качестве примеров отметим также применение и.-д.у. к изучению щелевых антенн [37], [38], качки корабля на спокойной воде [41], распространения вязко-пластического течения с учетом упрочения для случая сдвига [29], в гидродинамической теории смазки.

В развитие теории интегро-дифференциальных уравнений значительный вклад внесли Я.В. Быков [4], М.И. Имана-лиев [17], [18], JI.E. Кривошеин [25], А.Н. Филатов [39], А.И. Боташев [3], А.И. Егоров [14] и многие другие.

Интегро-дифференциальные уравнения составляют важный подкласс функционально-дифференциальных уравнений.

С их помощью удается, например, учесть влияние предыстории и будущего на поведение динамического объекта в настоящем времени.

Следует отметить, что отдельные разделы теории уравнений с запаздывающим аргументом можно естественным образом отнести к теории и.-д.у. Большой вклад в теорию уравнений с запаздывающим аргуменнтом внесли А.Д. Мыш-кис [27], Н.В. Азбелев [1], Дж. Хейл [42] и их многочисленные ученики.

Приведенные выше примеры применений и.-д.у. позволяют утверждать, что изучение интегро-дифференциальных уравнений имеет актуальное значение.

Первая глава диссертации посвящена доказательству теорем существования и единственности решений для различных классов интегро-дифференциальных уравнений. При этом в диссертации широко применяются обобщенные принципы неподвижной точки, аппарат векторных норм и векторных метрик, а также спектральний радиус оператора к вопросам существования и единственности решений поставленных задач.

Вторая глава диссертации посвящена доказательству теорем существования и единственности решения некоторых краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных (о.д.у.) и и.-д.у.

Как известно, краевые задачи для о.д.у. и и.-д.у. возникают в математических моделях физических, экономических, биологических, химических и других процессов. Краевые задачи являются объектом интенсивного изучения, литература по этому разделу огромна. Среди монографий и статей, посвященных краевым задачам и близким к нам по тематике, отметим [1], [2], [5], [20], [22], [30], [34].

Для удобства приведем ниже некоторые известные теоремы из функционального анализа, которые мы неоднократно используем при доказательстве теорем. Сначала сформулируем из книги В.А. Треногина [35], §35 принцип неподвижной точки Шаудера.

Теорема 1 (Принцип Шаудера)

Пусть оператор А отображает замкнутое ограниченное выпуклое множество D банахова пространства Е в себя. Тогда, если оператор А вполне непрерывен на D, то он имеет на D неподвижную точку.

Определение. Нелинейный оператор А, действующий из банахова пространства Е с областью определения D(A)С Е и с областью значений в Y (Y— банахово пространство), называется вполне непрерывным (на D(A)), если он непрерывен на D(A) и переводит каждое ограниченное множество, лежащее в D(A), в компактное в Y множество.

Теперь сформулируем обобщенный принцип сжатых отображений из монографии [24] §6.3, но сначала дадим необходимые определения.

Определение. Пусть Е— банахово пространство. Замкнутое выпуклое множество К, С Е называется конусом, если вместе с каждой точкой х оно содержит луч, проходящий через х, и если из х, —х Е /С вытекает, что х = 6-нуль пространства Е. Лучом, проходящим через точку х G Е (х ф в), назовем совокупность точек tx (t > 0).

При помощи конуса /С в пространстве Е вводится полуупорядоченность. Пишут х ■< у, если у — х^К,. Знак -< обладает обычными свойствами знака неравенства. Речь идет о следующих свойствах:

1) неравенства можно умножать на положительные числа,

2) из х у и у -< х вытекает, что х = у,

3) из х < у w у < z вытекает неравенство х ■< z,

4) в неравенствах можно переходить к пределу.

Если /С— это конус функций в С{A, Rn) с неотрицатель-ними компонентами, то соотношение полуупорядоченности приобретает следующий смысл: х < у, если x(t) < y(t) при всех значениях t.

Определение. Конус /С называется нормальным, если из в -< х <y вытекает неравенство

INI <N\\y\\ , где N—постоянная.

Конус неотрицательных функций в пространстве С нормален, в качестве постоянной iV, фигурирующей в определении нормального конуса, можно брать 1.

Отметим, что в конечномерном пространстве каждый конус нормален.

Определение. Оператор А, оставляющий инвариантным конус tC (АК, С 1С), называется положительным.

Пусть JC— нормальный конус банахова пространства Е.

Говорят, что R является обобщенным метрическим пространством, если каждой паре х, у Е R сопоставлен элемент p(xi у) £ причем выполнены обычные аксиомы:

1) р(х, у) = в тогда и только тогда, когда х = у,

2) р(х,у) = р(у,х),

3) р(х,у) ■< p(x,z) + p(z,y) справедливо неравенство треугольника.

Пусть R— вещественная линейная система; она называется обобщенным нормированным пространством, если на ней задана функция р(х) со значениями в /С, удовлетворяющая следующим требованиям:

1) р(в) = в и р{х) ф 9 при х ф в (^-нулевой элемент в Л);

2) р(ах) = \а\ р(х);

3) р(х + у) < р(х)+р{у).

Обобщенное нормированное пространство превращается в обобщенное метрическое пространство, если положить р(х, у) = р(х - у).

Предположим, что на конусе /С задан неотрицательный и сублинейный функционал 1(и) т.е. из u,v У в следует 0 < l(u -f v) < l(u) + l(v). Допустим, кроме того, что 1{и) принимает ненулевые значения на ненулевых значениях р(х, у) или р(х). Тогда формулы

Р*(Х,У) = 1[P(xiV)} и (если l{tu) = tl{u) при t > 0)

IMI* = l\p(x)} превращают обобщенное метрическое и обобщенное нормированное пространства соответственно в обычное метрическое и обычное нормированное пространства.

В качестве 1{и) может быть рассмотрена, например, норма элемента и или линейный функционал, принимающий положительные значения на ненулевых элементах конуса /С (если такой функционал существует).

Рассмотрим оператор А, действующий в обобщенном метрическом пространстве R. Будем говорить, что А удовлетворяет обобщенному условию Липшица, если р(Ах,Ау) < В р(х,у) (x,ijeR), где В— линейный положительный оператор в пространстве Е.

Как мы уже отметили, сформулируем из книги [24], §6.3 следующую теорему.

Теорема 2 (Обобщенный принцип сжатых отображений).

Пусть пространство R полно по метрике р*(х,у), где 1{и) = ||и||. Пусть А преобразует R в себя и удовлетворяет обобщенному условию Липшица с оператором В, спектральный радиус которого меньше единицы.

Тогда уравнение х = Ах имеет в R единственное решение, которое является пределом последовательных приближений xn+i=Axn, п = 0,1,2,. при любом начальном приближении Е R.

Отметим, что аналогичные теореме 2 результаты, связанные с использованием обобщенных принципов неподвижной точки, можно найти в работе А.И. Перова и А.В. Кибенко [30] и в книге Л. Коллатца [21].

В данной диссертации в качестве обобщенного метрического пространства R мы возьмем Сп(А)—банахово пространство непрерывных на отрезке А n-мерных векторных функций со значениями в Rn , а в качестве нормального конуса /С возьмем конус неотрицательных вектор-функций пространства Сп(А) (т.е. вектор-функций в которых каждая компонента является неотрицательной функцией).

В теории линейных операторов доказывается (см., например, JT.B. Канторович и Г.П. Акилов [19], стр. 153) существование конечного предела известной формулы И.М. Гельфан-да где \\А\\ означает норму линейного ограниченного оператора А.

Число г (А) называется спектральным радиусом оператора А.

В частности, если А— матричный оператор, то г(А) = тах{|Аг-|}, где Ai — собственные значения матрицы А над полем комплексных чисел.

Если А интегральный оператор

Ax(t) = J K(t,s)x(s)ds, ft то наибольшая из абсолютных величин собственных значе-ный ядра K(t, s) называется его спектральным радиусом.

Известны также различные оценки сверху величины г (А) (см., например, [23]): г(А) < |И||.

Рассмотрим в качестве примера следующий интегральный оператор в пространстве Сп(А), А = [0, г]:

Ах(-) =

J K(t,s)x(s)ds, t е А где К(£, s)—непрерывная матричная функция. Отметим, что в этом случае оценка спектрального радиуса г (А) будет: r(A)<||A|| = max/||/^,S)|HS, 11 о где f(M)|| = max|K(£,s)z|, xeRn. x=l

Спектральный радиус г (А) характеризуется тем, что из неравенства г(А) < |А| вытекает существование ограниченного оператора (А—А/)-1, где I - единичная матрица.

Всюду в дальнейшем под неотрицательной матрицей А = (di,j) понимается матрица, все элементы которой неотрицательны. Мы будем писать S Т, если

О < Т - S, где Т, 5-матрицы одинаковых размеров.

Определение. Под|Л|— обобщенной векторной нормой матрицы А = (аг;) - будем понимать матрицу (|«ij|).

Введем еще одно важное определение.

Определение. Назовем неотрицательную матрицу А а—матрицей, если положительны определители всех главных последовательных миноров матрицы I—A, где I—единичная матрица, т.е.

1-ап\ >0,

1 - an, —а\2 -а21, 1 - а22 0,.,

1 — «11, ~~ «12, — «21? 1 - «22, ап 1, —ап 2,

-«In — «2 п

1 — ап,

0.

С помощью этого определения можно доказать (см., например, книгу Ф.Р. Гантмахера [13], стр. 349) следующее утверждение:

Утверждение. Неотрицательная матрица А — (ajj) (г, j 1,., п) является а-матрицей тогда и только тогда, когда г (А) < 1.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Условимся, что нумерация формул и теорем во введении совпадают с их нумерацией в основном тексте.

В первой главе в §1.1 рассматривается при t £ А = [О,Г], Т > 0, следующее общее интегро-дифференциальное уравнение: 1 т \ x(t) = F t,x(t), J К {t,s,x(s))ds, J H (t,s,x(s))ds (1.1.1)

V о о с начальным условием х(0) = х0 , (1.1.2) где х(-) G C1(A,Rn), вектор-функции F(t,x,u,v), K(t,s,x), H(t,s,x) неперерывны по совокупности переменных на А х Rn х Rp х Rr и А х А х Rn соответственно.

Далее пусть для компонент F{(t, х, м, v), K{(t, s, ж), H{(t, s, x) вектор-функций F(t,x,u,v), I((t,s,x), H(t,s,x) выполняются еще и условия роста вида: п Р г

Fi(t,x,u,v)\ < £ Wkjl + Ё MOK'I + E cij(t)\vj\ +№) j=i j=i j=i г = 1,. , n, (1.1.3) n

Ki{t,s,x)\ < J2dij(t,s)\xj\+ki(t,s) г = 1,.,р, i=i

1.1.4) n

Hi(t,s,x)\ < eij(t:s)\xj\+hi(t,s) г' = 1,.,г, i=i

1.1.5) при t G A,s G А,ж G G G причем a,j(£), %(i),

Cj;(£)> dij(t,s), eij(t,s), fi(t), ki(t,s), h{(t,s) неотрицательные непрерывные функции.

В пространстве С(A, i?a) (здесь a = n+p+r) определяется вполне непрерывный нелинейный интегральный оператор Ф. Там же определяется обобщенный шар ие\ используя условия (1.1.3)- (1.1.5) и в предположении, что r(S) < 1, где S эффективно вычисляемая матрица, доказывается, что оператор Ф преобразует шар ав в себя и в силу теоремы Шауде-ра вытекает существование хотя бы одного решения задачи (1.1.1), (1.1.2).

Далее предполагается, что функции F(t, х, и, v), K{t, s, ж), Н(£, s, ж) удовлетворяют условиям Липшица вида:

Fi{t,x'^- Fi{t,x"У,v")\ < 1+ i=i £ М*Ж - «Л + £ - (г = 1,. ,гг), (1.1.20) i=i i=i

К^8,х')-К^,з,х")\ < itdijfasWj-x'}I (t = l,.,p), j=i

1.1.21)

- #,■(*,«,*")! < E - 41 (г = 1,., г),

1.1.22) при t £ A, s е А, X е Rn, и е Rp, V £ Rr, причем ау(£), bij(t), Cij(t), dij(t,s), eij(t,s) неотрицательные непрерывные функции.

С помощью формул (1.1.20) - (1.1.22), и при выполнении условия r(Q) < 1, где Q - эффективно вычисляемая матрица (элементы которой определяются в терминах функций a(f), b(t), c(i), s), e(£,s)) и принципа сжатых отображений доказывается единственность решения начальной задачи (1.1.1), (1.1.2).

Для другого применения обобщенного принципа сжатых отображений для произвольных элементов z'(-), z"(-) из С (A, Ra) определяется псевдорасстояние по формуле:

Г ( \J p(z'(-),z"(-)) = x'{t)-x"(t) I t e A

1.1.31)

Используя формулы (1.1.20) - (1.1.22), (1.1.31), определение оператора Ф и предполагая, что г (К) < 1, где К эффективно вычисляемая матрица, доказывается теорема о существовании единственного решения задачи Коши (1.1.1), (1.1.2).

Аналогично доказывается еще одна теорема о существовании единственного решения поставленной задачи (1.1.1),

1.1.2), если псевдорасстояние определить по формуле: тах| x,(t)-x"(t)\\ muc\u'(t)-u»(t)\ max\v'(t) - v"(t)I \ t£Д ' V ' Wl /

1.1.38)

В параграфе §1.2 рассматривается в качестве примера задача (1.1.1), (1.1.2) в одномерном случае, где в виде числового неравенства описывается необходимое и достаточное условие для того, чтобы спектральный радиус полученной матрицы S был меньше единицы. Там же иллюстрируется метод блочной оценки спектрального радиуса в случае, когда матрица S имеет порядок а.

В параграфе §1.3 рассматривается вопрос о существовании и единственности решения следующей гибридной системы обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений на отрезке А = [0, г], г > 0: х = f(t,x,y), ж(0) = xQ, (1.3.1) т y(t) = Уо + / д S,Ф), y(s)) ds, (1.3.2) о где х Е Rk, у Е Rфункции/(£, х, ?/), g(t,s,x,y) определены и непрерывны при t € A, s Е А, х Е Rk,y £ R1, а также компоненты /,(£,£,?/), gi{t, s,x,y) вектор-функций f(t,x,y), g(t,s,x,y) удовлетворяют нижеследующим условиям роста: fi(t,x,y)\< « = iЛ (i-з.з) j=1 j=i t i E Cij(t, s)|a?j| + X) + = j=i i=i

1.3.4) при t G A, s G А, ж G 1/ G i?1, причем az-j(f), s), dij(t,s), ki(t), hi(t,s) - неотрицательные непрерывные функции.

В этом параграфе применимы те же принципы и рассуждения, что и в §1.1. Сначала в пространстве C(A,Rk+l) определяется следующий вполне непрерывный нелинейный интегральный оператор

•*>-(:;;!:! ^-1 t

XQ + / /(s, x(s),y(s))ds, t E A yo + Jg(t,s,x(s),y(s))ds,t E A

1.3.7)

Далее в пространстве C(A,Rk+l) определяется следующий обобщенный шар = R) е С (A, Rk+l) : I z(-) I < д} . (1.3.10)

Используя векторные нормы, условия (1.3.3), (1.3.4) и предполагая, что г(Ф) < 1, где Ф эффективно вычисляемая матрица, доказывается, что оператор Ф (см. (1.3.7)) преобразует шар (1.3.10) в себя и в силу теоремы Шаудера вытекает существование хотя бы одного решения гибридной системы (1.3.1), (1.3.2).

Предположим, что функции /(£,#,?/), g(t,s,x,y) удовлетворяют условиям Липшица вида: f(t,x',t/) - f(t,x",y")I < cnWk' - x"\ + a2(t)\y' - у"I,

1.3.21) g(t,s,x',y')-g(t,s,x",y")\< P^t, s)\x'- x"\+(32(t, s)\y'-y"l

1.3.22) при всех t E A, s £ A, x' E R\ x" E Rk, у' E Rl, у" E Rl, причем неотрицательные функции ai(i), a2(t), Pi(t,s), f32(t,s) непрерывны при t E A, s E A.

С помощью формул (1.3.21), (1.3.22), и при выполнении условия г(5) < 1, где £ - эффективно вычисляемая матрица (элементы которой определяются в терминах функций а\(£), Q'2(t), (3\(t,s), (32(t,s)) и принципа сжатых отображений доказывается единственность решения гибридной системы (1.3.1), (1.3.2).

Далее для начальной гибрибной системы (1.3.1), (1.3.2) с помощью псевдорасстояния и обобщенного принципа сжатых отображений доказываются еще две теоремы о существовании и единственности решения.

В параграфе §1.4 в качестве примера рассматривается одна линейная гибридная система.

Во второй главе в параграфе §2.1 рассматривается вопрос о существовании и единственности решения следующей многоточечной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке А = [a,b], b > а: x = A(t)x + g(t,x), (2.1.1) с краевыми условиями

A!x(ti) + • • • + Amx(tm) = <p(x(ti),., x(tp)), (2.1.2) где x E Rn,A(t)~ непрерывная матричная функция на А размерности га х га, g(t,x) — га-мерная вектор-функция, непрерывная на А х Rn,As (s = 1,., т)~ постоянные га х га-матрицы, ts Е A (s = 1,., mo), то = maх(т,р) и функция <p(ui,., ир) непрерывна на Rnp.

Далее предполагается, что выполняются следующие условия g(t,x)\<B(t)\x\ +b(t) , (2.1.3) v(uu.,up)\<C\U\ + d, (2.1.4) где t E А,ж E Rn,B(t)— непрерывная матричная функция на А размерности raxra, b(t)— непрерывная га-мерная вектор-функция на А, С—постоянная матрица размерности га х пр, щ \ d — га-мерный вектор, Ы = •

V up /

Компоненты B(t), b(t), С—неотрицательные числа, а компоненты вектора d— положительные числа.

Также предполагается, что однородная многоточечная краевая задача х = A(t)x, (2.1.5)

AlX(t i) + • • • + Amx{tm) = 0, (2.1.6) имеет только нулевое решение.

С помощью формул (2.1.3)- (2.1.6), векторных норм, принципа Брауера о неподвижной точке и при выполнении условия r(Q) < 1, где Q - эффективно вычисляемая матрица, доказывается существование хотя бы одного решения краевой задачи (2.1.1), (2.1.2).

Далее мы наложим на функции g{t, х), (р(и) условия вида: |g(t,x') - g(t,x")\< G(t)\x' -х"\, (2.1.39) tp{Ui) - iP(U2)\<F\Ul-U2\, (2.1.40) где G(t)— непрерывная {n x n)- матричная функция, F— постоянная (n X np)- матрица, имеющие неотрицательные компоненты, х',х"— произвольные векторы из Rn, U\,U2— произвольные векторы из Rnp.

С помощью формул (2.1.39), (2.1.40) и принципа сжатых отображений доказывается теорема о существовании единственного решения краевой задачи (2.1.1), (2.1.2) при выполнении условия г(Ф) < 1, где Ф — эффективно вычисляемая матрица.

В параграфе §2.2 рассматривается одна краевая задача для систем о.д.у и для вопроса о ее разрешимости применяется теорема 2.1.1 из §2.1

В параграфе §2.3 рассматривается вопрос о разрешимости следующего интегро-дифференциального уравнения на отрезке Д = [а, Ь] в классе непрерывно дифференцируемых функций: t х = A(t)x + J K(t, r)x(r)dr + g(t, x), (2.3.1) a с краевыми условиями m

E Aix(U) = ., x(tp)), (2.3.2) i=i где x E Rn,A(t)— непрерывная матричная функция на А = [а, 6] размерности п х n, g(t,x) — n-мерная вектор-функция, непрерывная и локально липшицевая по х на А X Rn, K(t, г) -{п х п)- матричная функция, непрерывная на А х А А{— постоянные п х п- матрицы, ts Е A(s = l,.,mo),mo = тах(т,р), п— мерная вектор-функция (р(щ,. ,ир) непрерывна на Л"р(здесь щ Е Rn).

Также предполагается выполнение следующих условий:

2.3.3) р(ии.1ир)\< С \U\ +d , (2.3.4) где £ Е Д,ж G Rn,B(t)— непрерывная матричная функция на А размерности nxn, b(t)— непрерывная n-мерная вектор-функция на А, С—постоянная матрица размерности п х пр, щ \ d — n-мерный вектор, U = |

V Ъ )

Компоненты B(t), b(t), С—неотрицательные числа, а компоненты вектора d— положительные числа.

Решение x(t) и.-д.у. (2.3.1) с начальным условием х(а) = с, с Е Rn, с помощью аналога формулы Коши, представится в виде t x(t, с) = W(t, а)с + J W(t, s)flf(s, z(s, c))ds, (2.3.5) а где матрица W{t, s) (введенная Я.В. Быковым) удовлетворяет условиям A(f)W(f, *)+/ K(t, г)Щг, s)dr, s < i, W(s, в) = Е,

2.3.6) где — единичная матрица.

Далее краевой задаче (2.3.1), (2.3.2) сопоставляется следующее нелинейное интегральное уравнение (сравните с [22], [28])

771 = а)!)"1 [ ., *(*„))-£ A J W(ti, s) g(s, z(s)) ]+

2=1 i J W(t, s)g(s, z(s)) £ E A, (2.3.13) a где z(t) - искомая n-мерная непрерывная векторная функция на А.

С помощью формулы типа Коши (2.3.5) доказывается, что вопрос о разрешимости краевой задачи (2.3.1), (2.3.2) эквивалентен вопросу о разрешимости интегрального уравнения (2.3.13) в классе непрерывных функций z(t), t Е А.

Далее в пространстве C(A,Rn) определяется следующий вполне непрерывный интегральный оператор (см. (2.3.13))

Ф*(.)М = W(t, a) LГ1 ., z(tp))~ т ^

- £ М J W(ti, s) g(s, z(8)) ds] + / «) <7(5, z(s)) ds , г=1 a a

2.3.18)

В пространстве C(A, Rn) также определяется следующий обобщенный шар = {*(•) G С( A, Rn) : | z(-) в}, (2.3.22)

Доказывается, что оператор Ф преобразует шар (2.3.22) пространства С (A, Rn) в себя, откуда в силу теоремы Шау-дера вытекает существование хотя бы одного решения краевой задачи (2.3.1), (2.3.2).

В параграфе §2.4 изучено несколько краевых задач для о.д.у, а также рассмотрены примеры на вычисление операторного решения W(t,s).

В дополнении приведены некоторые теоретические факты, используемые в доказательствах.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.—М:Наука, 1991.

2. Бойчук А.А., Журавлев В.Ф., Самойленко A.M. Обобщённо-обратные операторы и нетеровы краевые задачи.—Киев: Ин-т математики НАН, 1995.

3. Боташев А.И. Периодические решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра.—М.:Изд-во МФТИ, 1998. 84 с.

4. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений.—Фрунзе: КГУ, 1957. 327 с.

5. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.— Рига: Зинатне, 1978.

6. Ведь Ю.А. Об одном методе изучения задач Коши для интегро-дифференциальных уравнений. В Сб. "Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии". — Фрунзе: Илим, 1971. Вып. 8. С. 99-135.

7. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы.— Киев: Наукова Думка, 1986.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1988.

9. Владимиров B.C. Обобщённые функции в математической физике. —М.:Наука, 1979.

10. Владимиров B.C. Об одном интегро-дифференциальном уравнении // Изв. АН СССР, серия мат., 1957. Т. 21. N 1.

11. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1982. 304 с.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.—М.: Наука, 1976. 286 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.—М.:Гостех-теор-издат, 1953. 491 с.

14. Егоров А.И. Об асимптотическом поведении решении систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // В сб.: Исследования по математическому анализу и механике в Узбекистане. —Ташкент, 1960. С. 114-126.

15. Забрейко П.П, Красносельский М.А и др. Интегральные уравнения.—М.:Наука, 1968. 448 с.

16. Илюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.—М.: Наука, 1970. 208 с.

17. Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных и.-д.у.—Фрунзе: Илим, 1972. 356 с.

18. Иманалиев М. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных и.-д. систем.—Фрунзе: Илим, 1974. 352 с.

19. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.—М.:Гостех-теор-издат, 1959. 684 с.

20. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.— Тбилиси: Изд-во. Тбил. ун-та, 1975. 352 с.

21. Коллатц J1. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969. 447 с.

22. Коняев Ю.А. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных регулярных и сингулярно возмущенных краевых задач //Дифф. уравн. 1999. Т. 35, N 8. С. 1028-1035.

23. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. — М.: Наука, 1985. 255 с.

24. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений.—М.:Наука, 1969. 455 с.

25. Кривошеин JI.E. Приближенные методы решения обыкновенных линейных и.-д.у.—Фрунзе: Илим, 1962. 184 с.

26. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987.

27. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запазывающим аргументом. — М.: Наука, 1972. 352 с.

28. Нестеренко Л.И. О существовании и единственности решения двухточечной граничной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В сб. "Нелинейные краевые задачи". Институт математики АН УССР. — Киев, 1980. С. 196-197.

29. Огибалов П.М. О распространении вязко-пластического течения с учетом упрочнения для случая вращения и сдвига // ПММ. 1941. Т. V. Вып. I.

30. Перов А.И, Кибенко А.В. Об одном общем методе исследования краевых задач// Известия Академии Наук СССР, серия математическая. 1966. Т. 30. С. 249-264.

31. Розовский М.И. О некоторых тепловых процессах в твердом теле // ЖЭТФ. 1947. Т. II.

32. Розовский М.И. Интегро-дифференциальные уравнения и проблема учета влияния фактора времени при расчетах механических, электромагнитных и тепловых процессов. — Днепропетровск: Изд. Горн.ин-та. 1952. Т. XXI.

33. Розовский М.И. Об интегро-дифференциальном уравнении распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью // ДАН СССР. 1946. Т. LIII. N 7.

34. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Изд-во иностр. лит. 1953. Том I.

35. Треногин В.А. Функциональный анализ.—М.:Наука, 1993. 440 с.

36. Файнберг С.М. Некоторые вопросы теории уран-водной решетки // Сессия АН СССР по мирному использованию атомной энергии, июль 1955, засед. Отд. физмат, наук. 1955.

37. Фельд Я.Н. Щелевые антенны // ЖТФ. 1947. Т. XVII. Вып. 9.

38. Фельд Я.Н. Законы распределения напряжения вдоль щелей // ДАН СССР. 1947. Т. 55. N. 5.

39. Филатов А.Н. Метод усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях.—Ташкент: ФАН, 1971.

40. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.:Мир, 1970.

41. Хаскинд М.Д. Качка корабля на спокойной воде // Изв. АН СССР, сер. техн. наук. 1946. N.1.

42. Хейл Дж. Теория дифференциально-разностных уравнений. —М.: Мир, 1984. 421 с.

43. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. НИЛ, 1953.

44. Cushing J.M. Periodic solutions Volterra's population equation with hereditary effects//SIAM J. Appl. Math. 1976. V. 31. N. 2. P. 251-261.

45. Cushing J.M. Bifurcation of periodic solutions of integrodifferential systems with applications to time delay models in population dynamics// SIAM J. Math. 1977. V. 33. N. 4. P. 640-654.

46. Ergon W.K. Kinetics of circulating fuel nuclear reactor// J. Appl. Phys. 1954. V. 25. N. 6. P. 702-711.

47. Thomson J. Application of dynamics to physics and chemistry. London. New-York, 1888.

48. Vasilache S. Contributii sovietice la calculul matematic al reactorilor nucleari. Conferinta tinuta in cadrul Institutuli de studii Romino-Sovietic si Institutuliii d. matematicaal AC. R. P. R., 4, XI, 1955.

49. Volterra V. Lecons sur les fonctions de lignes.—Paris, 1913.

50. Volterra V. Theorie of functional and of integral and integro-differential equations. — London, 1931.S&7-4 -У-о^