Некоторые задачи оптимального управления системами составного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ

ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ СОСТАВНОГО ТИПА

§ I. Задача оптимального управления с фиксированной продолжительностью действия управления

§ 2. Задача оптимального управления с ограниченной продолжительностью действия управления

§ 3. Задача терминального управления составными системами

ГЛАВА П. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ

СИСТЕМ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ

§ I. Линейные составные системы с линейным терминальным функционалом

§ 2. Линейные составные системы с общим линейным функционалом

§ 3. Линейные составные системы с выпуклым терминальным функционалом. '.

§ 4. Нелинейные составные системы с фиксированным моментом переключения

ГЛАВА Ш. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

§ I. Существование оптимальных управлений для задачи с фиксированной продолжительностью действия управления

§ 2. Существование оптимальных управлений для задачи с ограниченной продолжительностью действия управления

§ 3. Уравнение для времени оптимального быстродействия

ГЛАВА 1У. ПРИМЕРЫ.

Основы математической теории оптимального управления были заложены во второй половине пятидесятых годов. Центральная роль здесь принадлежит принципу максимума Л.С.Понтрягина (см. Понтря-гин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и Мищенко Е.Ф. [i]), открытие которого по сути дела послужило началом новой математической дисциплины.

В настоящее время весьма активно изучаются нестандартные задачи оптимального управления (см.например, следующие работы: Величенко B.B.[lJ-j¥J, Розова B.H.[l]-[3], Медведев В.П. и Розова В.Н. [I], Захаров Г.К. и Плотников В.И.[13, Захаров r.K.[ll, [2], Ащепков Л.Т.[1],[2], Харатишвили Г.Л.[1] ^Арсенашвили А.И.[1], Авалишвили Н.М.Щ).

Настоящая диссертация посвящена изучению некоторых классов ^составных систем. Следуя Величенко В.В.[2}, составной системой назовем систему управления, описываемую на разных интервалах времени разными дифференциальными уравнениями и некоторыми конечными связями для стыка траекторий.

Задача оптимального управления несколькими объектами с последовательным во -времени режимом их работы описывается составными системами. Такие задачи возникают из практики, например, управляемый аппарат запускается с другого управляемого аппарата (космического, наземного, подводного, надводного и т.д.). Известны также случаи, когда на космическом аппарате устанавливаются двигатели двух типов с последовательным режимом включения (см. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев B.B.[l]). Последовательный режим предусматривает, что в каждой точке траектории может быть включен только один двигатель.

В диссертации рассматриваются следующие задачи управления:

Задача А. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений: х = +k(x,tL).-ir з (i) где осе функции 4i' R^—^ R^ и

I ' R * j? —> » непрерывны по совокупности переменных и | непрерывно-дифференцируемы по ;

VJLtt) £ Р £ - i - Т; W^)- характеристическая функция отрезка С G Г0/Г]}

Под управлением мы будем понимать пару и.И, . Управление (иЛ*Ъ ii) назовем допустимый, если U'.Lo,Tj^>P измеримая функция и в^ч1] . Мы будем говорить, что допустимое управление <ii) » "t ^ ТЗ переводит систему (I) из точки Х0 в точку , если соответствующее ему решение хШ уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию xt°) — ^о , определено на отрезке f] и удовлетворяет конечному условию эс (Т1) — •

Предположим теперь, что заданы еще функции * R ft } i ° ' Р —> R непрерывные вместе с част IIе HjP'0 ными производными 0** . Тогда задача А формулируетесь эс. 'Doс. ся следующим образом:

В фазовом пространстве к даны две точки ЭС0 эс4 . Среди всех допустимых управлений (vaVO, i зЛ » переводящих систему (I) из точки Х0 в точку ЗСЛ, найти такое, для которого функционал о принимает наименьшее возможное значение; здесь хИ) - абсолютно непрерывное решение уравнения (I), соответствующее допустимому управлению ^UlA), , -fc £ [0, ТЗ » с начальным условием ос Со) — х0| а Т - момент прохождения этого решения через точку Xi#

Задача Б. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

X , (I) где

ОС € R , ^ функции I R —> R ; ^' R * Р —5> R непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по vit)=!1? * ^д^ о, -t

О ^-tд ^I^T ; = >(?.

Под управлением будем понимать тройку • Управление (иЛЛ, "k^z) назовем допустимым, если W * - измеримая функция и о < < < ф ^ t^ ^ . Будем говорить, что допустимое управление (дсЬ ■^е^О/Т] переводит систему (I) из точки Х0 в точку ЭС^, если соответствующее ему решение x(-t) уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию xlo)-^, определено на отрезке ^О,?! и удовлетворяет конечному условию DclT)- ЭС^ Задача Б формулируется следующим образом:

RK, даны две точки ос.^ .

Среди всех допустимых управлений (иЛ*)/ ii,^) » переводящих систему (I) из точки Х0в точку Xlt найти такое, для которого функционал Т а принимает наименьшее возможное значение; здесь функции

4l* > ^д/ -Р*-^ R непрерывные вместе с частными производными ^дЬ/ух, >эс(^|- абсолютно непрерывное решение уравнения (I), соответствующее допустимому управлению аЛ) , iil^)^ i е[0/Г] с начальным условием xU) ~ i а Т - момент прохождения этого решения через точку

Задача В. Пусть управляемый процесс, рассматриваемый на фиксированном отрезке времени^ описывается двумя системами дифференциальных уравнений: ос ^ ( u, ц) ; <0 й i , эс^ - °Со , (2)* ^ > ^ (з) где ос € R^ ? ^ е R"* функции : RxP^R*1, : (^VQ R^ непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по компонентам х, ^ соответственно; и в Р VeQsQ (О, Te^Tj. номент переключения с одной системы на другую, заранее не задан.

Под управлением мы будем понимать тройку ( а С*) fi) . Управление является допустимым, если функции

Ц : Г0ГО —>Р, V : —> Q. измеримые и ЧГ€ В>,Т].

Под решением системы (2), (3) понимаем пару l*t) ) "t e где - абсолютно непрерывное решение системы (2), на [фДЗ с начальным условием = a vj 14)

- решение системы (3) на [т, Т7] с начальным условием

W^CtO) • 3Десь U * R^-^R* непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция.

Рассмотрим функционал s гт ь *С где Lp - непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция, функции ; : ft —> £ непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по компонентам ОС^ ^ соответственно. Теперь можно сформулировать задачу В.

Среди всех допустимых управлений иЧ'Ъ Т^ найти такое, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Допустимые управления, доставляющие решение поставленной задачи, назовем оптимальными.

Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Первая глава посвящена необходимым условиям оптимальности для сформулированных выше задач. Во второй главе приводятся достаточные условия оптимальности для составных систем (см. Задачу В.) В третьей главе доказываются теоремы существования оптимальных управлений для задач А и В. В четвертой главе приведены примеры, иллюстрирующие теоремы глав I, П. В приложении приводятся некоторые вспомогательные факты, использованные в главах П, Ш.

Теперь подробно остановимся на содержании каждой главы.

В § I первой главы доказываются теоремы о необходимых условиях оптимальности для задачи А (с интегральным критерием качества - теорема I.I.I, для быстродействия - теорема 1,1.2). Во втором параграфе приводится и доказывается теорема о необходимых условиях оптимальности для задачи Б. При доказательстве этих теорем о необходимых условиях оптимальности управления ( U(-)y> ) используются игольчатые вариации (см. Л.С.Понтрягин и др.[Д)1 Э.Б.Ли, Л.Маркус[1]), с учетом взаимного расположения i^jib)

В третьем параграфе на основе идей монографии У.Флеминга, Р.Ршцела[1\ получено необходимое условие оптимальности для задачи В с терминальным функционалом.

Отметим, что в работе Медведева В.А. и Розовой B.H.jjQ получены необходимые условия оптимальности для составных систем с интегральными критериями качества, а наличии фазовых ограниче- , ний-в работах Захарова Г.К. 2 и Ащепкова Л.Т.[2].

Г.Л.Харатишвили и его ученики изучали составные системы с точки зрения быстродействия и ими получены необходимые условия оптимальности по быстродействию. Заметим, что размерность системы в этих работах одинакова, т.е. предполагается, что и допустимые управления предполагаются кусочно-непрерывным (см. например, Харатишвили Г.Л.[1"], Арсенашвили А.И.ВД).

Задачи А, Б по своей постановке являются новыми. Задача В является более традиционной для теории составных систем. Все эти задачи видимо можно было рассмотреть с помощью методов Л.Т.Ащепкова[2]. Но в диссертации этого не делается по двум причинам: I) управления рассматриваются в классе измеримых функций, а не в классе кусочно-непрерывных функций; 2) получение принципа максимума на основании чрезвычайно общего результата Л.Т.Ащепкова[2]требовало бы не меньше выкладок, чем их сделано в диссертации на основе традиционного аппарата.

В § I второй главы приводятся необходимое условие оптимальности (теорема П. I.I) и достаточное условие локальной оптимальности управления ( иЛ'^ТГМ,^) (теорема П. 1.2) для линейных составных систем с линейным функционалом ('сх > ^(Т)) (см* задачу В). В конце этого параграфа показано, что некоторые условия теоремы П. 1.2 можно ослабить, в случае, когда вторая система имеет вид \| ~ V (теорема П. Х.З).

В § 2 дается достаточное условие оптимальности управления (uO) для линейных составных систем с общим линейным функционалом.

В § 3 рассматриваются линейные составные системы с выпуклым терминальным функционалом. Доказана теорема о достаточном условии глобальной оптимальности управления (иЛЛ, гг(.0 , <г) При доказательстве этой теоремы использованы некоторые соображения Благодатских В.И.[з].

В четвертом параграфе на основе метода приращений (см. Габа-сов Р., Кириллова Ф.Щ) доказывается теорема о достаточном условии оптимальности управления (uAO Т) » при фиксированном для составных систем вида:

0С = ^(хА) -to ЙX(4<,) = х., с критерием качества ф m г

- ю

При Т эга теорема уточняет и обобщает результат Р.Габасова, С.В.Чураковой[1].

В § I третьей главы доказано, что множество достижимости Э(Т) системы (I) (см.задачу А) является компактом, непрерывно в метрике Хаусдорфа зависящим от времени Т . Далее,с использованием этих фактов доказаны теоремы существования оптимальных управлений для задачи быстродействия (теорема Ш. 1.2) и для задачи терминального управления (теорема Ш. 1.3).

Во втором параграфе доказывается теорема о том, что множества достижимости системы (I) (см. задачу Б) является компактом, непрерывно в метрике Хаусдорфа зависящим от времени Ь (тер-рема Ш. 2.1) и теорема существования оптимального управления для задачи Б, в случае быстродействия (теорема Ш. 2.2).

В третьем параграфе этой главы приводятся уравнения для времени быстродействия в линейных задачах А и Б: i = A DC ч- у xto) е № о > XW бЯА) м.,>1 «Qdr), uep (г), и для задачи А и для задачи Б

-wlt)

1, о, i о ^[tiA+U, t 4 LL, U ,

Четвертая глава состоит из четырех примеров, которые иллюстрирует некоторые теоремы глав I, П. В примере I указываются конкретные траектории, соответствующие выбранным начальным точкам, на которых выполняются все возможные случаи теоремы I. 1.2.

Во втором примере показано, что теорема П. I.I является лишь необходимым условием оптимальности и не является в общем случае достаточным условием оптимальности.

В третьем примере^применяя теорему П. 1.2 к конкретной составной системе, находятся оптимальные управления.

В четвертом примере показано, что как с помощью теоремы П. 3.1 можно найти оптимальное управление.

Диссертация завершается приложением, в котором приведены некоторые понятия и утверждения, используемые в главах П и Ш.

Основные результаты диссертации:

1. Доказан принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с фиксированной продолжительностью действия управления и для задачи оптимального управления с ограниченной продолжительностью действия управления.

2. Получены достаточные условия для линейных составных систем с фиксированной продолжительностью и свободным правым концом.

3. Получены теоремы существования оптимального управления для ряда рассмотренных автором задач.

4. На основании разработанных методов изучены интересные примеры.

Список основных обозначений

- квантор общности:"для всех", ^ - квантор существования: "существует",

- квантор следования: "из. следует.", (х I J?jc} - совокупность элементов я, обладающих свойством Р, R - совокупность всех действительных чисел, евклидово К- мерное пространство, С3^)- скалярное произведение элементов X, ^ , |х( - евклидова норма в Д - замыкание множества А, множества непустых компактов из R*"» Vviei А - лебеговская мера множества А, первая вариация отображения F в точке ос , значение второй производной функции ^ на эле- ( менте X f c(F, " опорная функция множества F ,

-Яг - операция транспонирования матрицы.

В диссертации принята следующая система ссылок. Формулы, теоремы, леммы каждого параграфа имеют двойную нумерацию. При ссылках на результаты данной главы сохраняется двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа. Если же результат относится к другой главе, то используется тройная нумерация, причем первая цифра обозначает номер главы.