Некоторые задачи управления для дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКЩШЯ НАУК МДТЕМАТИЧЕСЖЙИ ШЕПНУТ галет В.Л.СТЕКЛОВА

РГВ од

■ • • На правах рукописи

УДК 517.9Т7

K0f.1A.P0B Виктор Анатольевич

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДШЕРЕНЦИЛЛЬШХ ВШ-ШИ

01.05.02 - дтйэрещиальпт уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва'- 1993

Работа выполнена в Математическом институте им.В.А.Стеклова Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

академик, доктор физико-математических наук, профессор

A.Б.КУтНСКШ

доктор физико-математических наук, профессор

B.И.НОРОВОВ

доктор физико-математических, наук, профессор А.И.ПШСШ

Ведущее учреждение - Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук

Защита состоится " _199^г. в /)f часов

на заседании специализированного совета Д.002.38.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Математическом институте им.В.А.Стеллова РАН по адресу: г.Москва, ул.Вавилова 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " С^-1' _ 199^f.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

А.К.Гущин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам теории дифференциальных включений и теории /правления.

Дифференциальной включение

ЬеРа.х) (?;

представляет собой обобщение обыкновенного дифференциального равнения

на случай, когда функция /(¿.х) неоднозначна. В теории дифференциальных включений крою проблем, присущи обыкновенным ¡Шфференциальт»! уравнениям, юзникает множество новых проблем, характерных для управляемых систем. Это происходит вследствие того, что из каждой начальной точки выходит уже целое семейство траекторий дифференциального включения.

Развитие теории дифференциальных включений стимулировалось потребностью решения важных практических задач управления сложными динамическими системами и во многом в начале определялось развитием математической теории оптимального управления, созданной в середине 50-х годов Л.С.Понтрягишм, В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко.

В настоящее время теория дифференциальных включений достаточно хорошо развита. Качественная теория дифференциальных включений развивалась в работах Ю.И.Алимова, Л.Ю.Ана-полъского, Дж.Де Блази, А.Брессана, Т.Важевского, М.Валадье, 6.В.Гончарова, Ж.Дэви, С.Зарембы, Ш.Кастена, А.Марию, Дн.Моро, Ч.Олеха, К.-П.ООэна, А.И.Панасвка, В.И.Панасша, А.Плис-са, В.А.Плотникова, Дж.Пьятдамани, Г.В.Смирнова, А.А.Толс-тоногова, А.Ф.Филиппова, Х.Хермса, А.Чедлины и др. Отдельное

направление составляют исследования, связанные с решением задач оптимизации траекторий дифференциальных включений. Условия оптимальности для дифференциальных включений отражены в работах В.й.Благодатских, Ф.Кларка, С.Лоясевича, Л.И.Мин-ченко, С.Мирики, Ч.Олеха, Е.С.Половинкина, В.Н.Пшеничного, Т.Рокафеллара, Г.В.Смирнова, Н.Н.Субботиной, А-Ф.Филшшова, Г.Франковской и др.

Вместе с тем некоторые вопроси теории дифференциальных включений исследованы недостаточно полно. К малоизученным вопросам относятся и свойства функции оптимального результата в задаче управления для дифференциального включения, и количественное описание эволюции множества достижимости диф-фэренциалъного включения при наличии фазовых ограничений, и ( численные метода построения мнокества достижимости. Указанные проблемы изучались в работах Ю.Ф.Белова, А.В.Богатырева, В.Вельова, Р.Бинтера, П.Воленски, Ф.Кларка, Г.Н.Константинова, А.В.Куржашкого, А.В.Лотова, О.Й.Никонова, М.С.Никольского, А.Й.Панасгоа, Н.К,Петрова, А.И.Субботина, Н.Н.Субботиной, Т.Ф.Филипповой, Г.Франковской, Х.Хермса, М.М.Хрустале-ва, Ф.Л.Черноусько и др.

Настоящая работа посвящена некоторые из этих многочисленных проблем - необходимым и достаточным условиям оптимальности в задаче быстродействия, описанию эволюции и оценкам множества достижимости дифференциального включения, а такке построению траекторий, попадающих в заданную точку фазового пространства.за конечное время. Эти же задачи актуальны и для управляемых систем, записываемых в г-ассич'еской. форме

В диссертации такке рассматриваются некоторые приложе-

гош полученных результатов и способ численного построения

__ - • 1

множества достижимости с заданной точностью. Поэтому приведенные в диссертационной • работе исследования представляются'актуальными.

Щль работаЦелью работа является получение необходимых и достаточных условий оптимальности в терминах динамического программирования для задачи быстродействия с Фазовыми ограничениями, описание эволюции и получение эффективных оценок множества достижимости даффзренциалыюго включения, а также построение траекторий, попадавших в заданную точку фазового пространства за конечное время.

Метозд исследования. Для получения приводимых в диссертации результатов были использованы метода нелинейного и выпуклого анализа, теории многозначных функций, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнения и дифференциальных включений, теории управления.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

- необходимые и достаточнно условия оптимальности для задачи быстродействия с фазовыми ограничениями в Форш метода динамического программирования;

- новые способы количественного описания эволюции множества достижимости дифференциального включения с помощью уравнения Гамильтона-Якоби и с помощь» уравнения интегральной воронки;

- новые количественные динамичоские оценки множества,дости-

« 1

кимости дифференциального включения*,

- способ синтеза ограниченных управлений, гареводяяшх управляемую систему в заданное состояние за коночное время;

- метод аппроксимации множества достикимости дифференциального включения с заданной точностью.

Теоретическая 2 тактическая ценность. Получешые в диссертации результата могут применяться в теории управления для точного описания и оценивания состояния динамических систем, для проварки оптимальности траекторий и исследования задачи быстроде. твия при наличии фазовых ограничений, для синтеза алгоритмов управления, переводящих систему в заданное состояние. Предложенный в работе4 численный метод построения множества достижимости с заданной точность» может найти применение для решения важной практической задачи моделирования процесса травления в технологии интегральных схем,

Апробация работы. . Результаты диссертации были представлены в докладах Всесоюзной конференции "Управление многосвязшвд системами" (Тбилиси, 1984), Всесоюзной конференции "Метод функций А.МЛяпунова в современной математике" (Харьков. 1986), Всесоюзной школы "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1986), Всесоюзного совещания "Проблемы оптимизации и управления. динамически.^! системами" (Владивосток, 1986), Семестра по теории дифференциальных включений в Международном математическом центре им.С.Банаха (Варшава, Польша,.1989), а также неоднократно докладывались на семинарах в Московском государственном университете (рук. проф. Никольский М.С.) и в Математическом институте им.В.А.Стеклова РАН (рук. проф. Благодатских В,И.). .

Структура 2 объем работа. Работа состоит из введения, трех глав, развитых на параграфы, заключения 1Гсписка литературы. Объем диссертации составляет 184 стр. машинописного текста. Список' литературы состоит из 203 наименований. Имеются 8 иллюстраций.

- б -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Остановимся теперь более подробно на содержать диссертации.

В первой главе рассматривается задача быстродействия Для дифференциальных включений. Для нее исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности в форма метода динамического программирования. 8 первом параграфе первой главы приводится краткая история развития и основные результаты метода динамического программирования для задач оптлмзльного управления. Показано, что несмотря на длительную историю развития и большое число публикаций, метод динамического программировать уступает по полноте математического обоснования необходимым условиям оптимальности типа приншта максимума и требует дальнейших исследований.

Во втором параграфе первой главы исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче быстродействия с фазовыми ограничениями. Метод динамического программирования, как известно, связан с рассмотрением уравнения с частными производными первого порядка относительно времени быстродействия % - функции Беллмана. Основное уравнение в методе динамического программирования выводилось обычно при различных априоршгх (иногда весьма жестких) предположениях относительно функции т. Во втором параграфе получены необходимые. условия оптимальности в форме метода динамического программирования, в которых на делается никаких априорных предположений относительно функции Беллмана. В основе полученных результатов лежит использование в уравнении Беллмана производной специального вида, введенной, по-видимому, впервые Иох1п'ш еке в 1965 году для исследования устойчивости

дифференциальных включений. Точнее, используется понятие нижней производной функции i в точке (t,x) в силу сис-

темы (1), определяемое формулой

где A(h;t,x) - множество достижимости дифференциального, включения (1) из точки г за время Л.

Сформулируем основной результат параграфа. Пусть i и { - замкнутые множества, связанные соотношением Не К, и пусть ?:Х»сотЛШ - такое полунепрерывное сверху многозначное отображение, что множества F(x) при всех х не пусты и содер-иатся ъ шаре Sr(0) радиуса r(x]sc(1+\xl).

Вместе с дифференциальным включением (1) будем рассматривать систему

х*Рк(х), (2)

где F^fx^FfxjQT^Cx), вир{К-х}/& - касательный

конус Булигана.

Теорема! .2,1. Фушщия тогда и только тогда является вреленел быстродействия на лнохество Ы в задаче о фазовыжи ограничениям*, задаваелши лножеапвол Я, для ситехи (1), когда выполнятся условия:

1) 1(Х)-0 про. Xall и ъ(х)>0 при аж*;

2) функция 1 полунепрерывна снизу на К;

3) фушщия 1 при всех x^dm(x) непрерывна на решениях . дифференциального включения 'x^-F(x), удовлешворжщих условию

Х(Э)еК, 32:0; , _

4) при всех x^dm(x)\H шеет лесто состяоь. ше

где нижняя производная функции % в силу сиапелы

{г).

Как следствие, получены необходимые условия оптимальности вымени быстродействия в форме дифференциальных неравенств, аналогичных полученным Г.банковской, А.В.Богатырев™. Эти утверждения являются следствиями следутет свойств производной ^ ^ (х) функции в силу системы.

Утверждение 1.2.1. При всех х для ловой собственной полунепрерывной снизу функици млеет лесто неравенство

ГеВ(х)

а если отображение Г непрерывно, по и неравенство

Здесь - производная по направлению, определяемая с

помощью промежуточного касательного конуса (Тц(х}=1Ш 1п/(К-хУ&} к ггодграфику функции С, а надгрвфик

функции ^^(х,-) совпадает с касателышм конусом Вулигана к надграфшсу функции 4 а точке (х,%(х)).

Утверждение 1.2.2. При всех х для любой соОс таенной полунепрерывной снизу функции имеет лесто не-

равенство

тШ < $[2п!(х),

а если отоОрахение Р непрер*вно, то и неравенство

*

Звесь ?к(х)=Р(х)пТк(х), Р,(г)=с1тх)()т£(х)), а в качестве конуса Т^ ложно брать конус Дубовицного-Иилючшна Ъ^, либо внутренность конуса Кларка.

В третьем параграфе первой глава исследуются условия, при которых полученное во втором параграфе уравнение Белл-мана можно переписать в "Солее привычном" виде с использованием контингентной производной по направлению В этом случае, г чечда, не следует ожидать совпадения необходимых и достаточных условий оптимальности. Поэтому параграф 1.3 включает две теоремы - одна содержит достаточные условия оптимальности для задачи быстродействия с фазовыми ограничениями, а вторая необходимые условия оптимальности, но уже для задачи без фазовых ограничений. Достаточные условия оптимальности выглядят внаегае, как и теорема 1.2.1. Отличие лишь а записи уравнения Беллмана. Однако с практической точки зрения гораздо привлекательней выглядит приводимое ниже уравнение (3), т.к. в нем не используется множество достижимости дифференциального включения.

Имеет место следуюцее утверздение о достаточных условиях оптимальности в задаче быстродействия с фазовыми ограничениями в ¡ррме динамического программирования.

Теорема 1.3.1. Пусть функция тудовлетворяет условия*:

1} х(х)=0 при дгей и 1(х)>0 при. хчЦ;

2) функция 1 полунепрерывна снизу т X;

3) функция % при всех х^йот(х) непрерывна но решеныях дифференциального вмяметя х^-Р(х), удовлетворяющих условию

4} при бсе£ хейот!1)\И млеет, леаю соотношение '

т(п в>'х(х;Г) = -1, (3)

Мк(х) ,

где Рк(х)=Г(х)Г\Тк(х).

Тогда функция i(x) - вреля наискорейшего попадания из точки х на жохество и по траектория* дифференциального внлтеиия (1), удовлетворяющих фазовых ограничениях.

Будем говорить, что функция ч удовлетворяет в точке х одностороннему условии Липшица с постоянной I, если при всех векторах h из достаточно малой окрестности нуля выполнено неравенство

t(x+h)>z! xJ-iflftJ.

Рассмотрим задачу без фазовых ограничений, т.е. случай К-Х. Имеет место следующее утверждение о необходимых условиях оптимальности в задаче быстродействия без фазовых orpami-чений.

Те орем а 1.3.2. Пусть х - время быстродействия в расслатрибаехой задаче без фазовых ограничений для дифференциального вютенш (J). рогва выполнена условия 1 )-3) теоремы 1.2.1. Если, кроле того, атобргхение Р непрерывно, а функция т удовлетворяет одностороннему усло&т ЛипмшА б точке x^dm(x)\!3, та тогда в этой точке имеет лесто соотношение

min n>fi(x;f) = -i. M (x>

В последнем четвертом параграфе первой главы полученные результат» используются для исследования задачи с инерционными управлениями. Рассматриваются примерц.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию динамики множеств достижимости дифференциальных включений. Предлагается способ описания эволюции множества достижимости на основе аналога уравнения Гамильтона-Якоби. Получены также внутренние и внешние оценки множеств достижимости. Указан способ выделения оценок, оптимальных' в смысле некоторого критерия качества.

В первом параграфе второй главы приведен обзор работ, посвященных, изучению динамики множества достижимости и их оценкам.

Во втором параграфе второй главы рассматривается случай, когда для описания динамики множества можно использовать классические решения уравнения Гамильтона-Якоби специального вида. В этом случав множество достижимости представляется как множество уровня гладкой функции, являющейся решением уравнения Гамильтона-Якоби. Особенностью полученного результата является то, что функция должна удовлетворять уравнению л„шь на самой линии уровня. В этом параграфе приведены также условия, при которых множества уровня гладкой функции являются внутренними или внешними оценками множества достижимости. Построены дифференциальные включения,- решения которых выделяют локально оптимальные эволюционные оценки на заданном классе множеств ишгтримор, на классе эллипсоидов). Приводятся примеры.

Как и в предыдущих параграфах, в параграфе 2.2 рассматривается дифференциальное включение

' 14)

с начальным условием х(40.)«Х0. Отображение Р измеримо по г, непрерывно но г, выпуклозначно и ограничено. Множеством дос-

тижимооти A(t;t0,X0) в момент времени t системы (4) будем называть объединение всех правых концов решения дифференциального включения (4), начинающихся в момент времени t0 из множества Х0. Интегральной воронкой "Судам называть график отображения t->A(t;tB,X0).

Пусть ф.'йхХ-к, ^fi^tesX.-ipfi.xjsOi, PfU=X\iyi,>, c(P,ty)=supif,tyj - опорная функция множества Р в направлении

ф. Имеет место следующее утверждение о внешней оценке множества достижимости A(t;t0,X0) дифференциального включения (4)'.

i в о р з « а 2,2.1. Пусть функция ф.-КхХ-к <1дсолтно непрерывна по t при люСол х, непрерывно дифференцируема по х при любом t>t0 и удовлетворяет при всех t>0, 'xeP(t) дифференциальному неравенству

+ c(P(t,x), s О. ' (5)

Пусть, кроле того, илеет место включение* X0slll()(t0). Тогда многозначное атоорахение t^M^it) является внешней оценкой множества достижимости A(t;t0,X0) системы (4), т.е. при всех t>t0 удовлетворяет включению A(t;t0,X0)sS^(t).

Заметим, что при формулировке этой теоремы никаких осо-бешмх требова:гай к свойствам функции <р, кроме гладкости, не предъявляется. Отметил также, что основное ограничение, обеспечивающее выполнение включения A(t;t0 ,X0)sU^(t)-- неравенство (5) - должно иметь место в некоторой области, "опоясывающей" множество U^ft). Иное дело условия, при которых множества содержатся в множестве достижимости

A(t;t0,X0). Для получения внутренних оценок надо наложить больше ограничений на функцию ф, но достаточно, чтобы обрат-

нов дифференциальное неравенство выполнялось лишь на линии уровня функции <р.

Для внутренних оценок будем использовать множества уровня функции <(>:(to,a>JxX+0!t удовлетворяющей: следующим требованиям:

1) функция ф абсолютно непрерывна по t при любом х и непрерывна по х при любом t>t0;

2) при всех t>t0 имеет место неравенство Inf q(t,x)<0;

3) множества уровня функции ф компактны при всех t>t0;

4) функция <p(t,xj непрерывно дифференцируема по х при всех l>t0 в точках x*X\m(t), где n(t)=(xeX:y(t,x)=tn^p(t,x)}

и ни при каких t>f0, x^K\m(t);

5} найдутся постоянные k>0, 6>0, что \U,f(t )\sk при

Для того, чтобы множества U^(t) содержались в множестве достижимости дифференциального включения (4), достаточно наложить еще два дополнительных условия. Точнее, имеет место следующая

Теорема 2.2.2. Пусть функция ¡р, кроле перечисленных выю требований 1 )-5), удовлетворяет еще двух:

6) существует такое, компотное множество Н0, удовлетворяющее включению H0sX0, что отображение

t ,лу^Ч.

ф А и0 при t-t0 . полунепрерывно сверху 6 точке t0;

'¡) при всех t>t0 и всех x^V^i't ,x)~Of_ имеет

место дифференциальное неравенство

*-a(F(t.x), Щ^Ь * О.. (6)

Тогда многозначное отображение t■^Hqj(t) является внутренней оценкой множества достижимости ла^0,К0) системы (б), т.е. при всех удовлетворяем включению Ы(^а)еАа;га,Х0).

Из теорем 2.2.1 и 2.2.2 сразу следует

Теорема 2.2.3. Пусть Хо-Ы^а0) и функция <р удовлетворяет при всех {>Г0, хсГ^С{) равенству

* с(*('г.х>. * О (7)

и при хеР(г) неравенству (2.2.2). Тогда множество достижимости А(Ь;гд,Х0) дифференциального включения (4) совпадает при всех с множеством уровня функции <р, т.е.

Уравнение (Т) и есть уравнение Гамильтона-Якоби, описывающее динамику множества достижимости дифференциального включения в гладком случае.

Неравенства (5) и (б) не очень удобны для практического нахождения оценок. Во втором параграфе второй главы приводятся удобные для использования на практике модификации внешних и внутренних оценок множества достижимости.

Как и раньше, будем рассматривать дифференциальное включение (4), правая часть которого удовлетворяет тем яга предположениям.

Определим класс 1 - класс множеств, зависящих от конечного числа параметров, элементами которого мы- будем пользоваться для оценки множества достижимости. Для этого зафиксируем произвольную непрерывно да^фэренцируему» по совокупности переменных функцию где У - т-мерное евклидово пространство. Зададим связную область В=У._ Обозначим через I совокупность множеств вида Р(у)=(хеХ:£(у,х)иЭ}, по-

лучащуюся- когда вектор у пробегает всю область D. Будем предполагать, что область D такова, что множества P(yJ непусты ни при каких'¿leD. Если В области D задана абсолютно непрерывная траектория у(~), то эта траектория определяет однопараметрическоа семейство множеств U(t) из класса Z по формуле №(tj=P(y(t)).

Задачу эволюционного оценивания множества достижимости дифференциального включения (4) множествами из класоа Z теперь можно сформулировать следующим образом. Найти условия, при которых траектория y(t), tzt^ определяет семейство множеств tf<U, удовлетворяющее при всех t включению M(t )&A(t ;t0,X0) или включению A(t;t0,X0)sM(t}.

Зададим множества W_(t,y) и W.(t,y) равенствами

f т

If (t,y)4 mY: (и>,дЩ^>) + max (J, * О,

' IV,< 0, .ХедР(у) | ,

v+(t,y)={ ^Y: ГшД^Ъ + max ^(f, £ О,

(w^iilxl)) < 0> | ,

Здесь дР(уЫхеХ:иу,х)=0}, PE(yh(P(yhSf.(0)}\intP(y), e -произвольное положительное число. Будем предполагать, что функция С выбрана так, что множества W_(t,y) и w+(t,y) не пусты.

Теорема 2.2.4. Пусть точка y0*D такова, что выполнено включение X0sPfy0j, и пусть у+1-) - такое произвольное решение дифференциального включения

y*n+(t.y) (8)

с начальна* условиел y(t0)=y0, та y+(t)<sD, t±tQ. Тогда при всех ut0 имеет лесто включение A(t;t0,X0)slt+(t)=P(y+(t)), т.е. многозначное отображение U+(t) являются внешней оценкой множества достижимости A(t;t0,X0) системы (4).

Для того, чтобы получить внутренние оцешш множества достижимости A(t.XQ), как и раньше, наложим дополнительные ограничения на функцию входящую в определение класса допустимых множеств Z. Будем дополнительно предполагать следующее :

1) функция ? непрерывно диф$еренцируема но у в области

»

О при всех х и непрерывна по у при любом векторе учВ;

2) множества Р(у) компактны;

3) множество точек т(у), y&D, в которых функция 5 не дифференцирема по х или в которых 1х(у,х)=0 представляет собой компактное множество т(у), удовлетворяющее включению my)eintP(y) и непрерывно зависят^ от у.

Простым следствием^теоремы 2.2.2 тогда является следующее утверждение.

Теорема 2.2.5. Пусть точка у0*0 такова, что выполнено вклтение Р(у0 )sXg и пусть yj •) - такое произвольное решение дифференциального включения

yeWJt.y) (9)

с иачсиъным условием y(ta j=y0, что yJthD, iai0. Тогда при всех t>t0 имеет место вклтение sjt)=P(yJt))sA(t;tQ,X0), т.е. многозначное отображение MJt) является внутренней оценкой множества достижимости A(t;t0,X0) системы (4)..

Дифференциальные включения (8) и (9) позволяют выделять широкие^ классы оценок множества достижимости системы (4).

Возникает вопрос о внборе среда множества оценок в некотором смысле наилучшей. Интерес представляет такой критерий оптимальности оценки, который, с одной сторона, имеет наглядный геометрический смысл, а с.другой - позволяет без особых затруднений решать задачу выделения оптимальной траектории.

Пусть У(!/.>:й->к - произвольная дифференцируемая функция. Аналогично1 введем следующее определение локальной оптимальности оценки множества достижимости.. Пусть <$_-(у(*)) некоторое множество внутренних оценок и некоторое множество внешних оценок множества достижимости АИ;10,Х0) системы (4). Будем говорить, что отображение у*задающее динамическую оценку, локально оптимально на множестве ©_, если при всех тгг0 имеет место равенство

¿1 Ч(у*Ц)} =шаг{ £ 7(у(г)) : у*(х)=у(х) }.

их £=т

Соответственно, будем говорить, , что отображение у*(■

задащее оценку, локально оптимально на множестве если

при всех тгго имеет место равенство•

У(у*П))\ =я£п{ У(уа)) : у*(х)=у(х) }.

'г*т их

опорным множеством компактного множества <ЗсУ в направлении вектора фе/ назовем множество, задаваемое равенством

Пусть 0+(Л,у) семейства' компактных выпуклых

множеств, удовдетворяодих при всех уеО, включениям

Обозначим через и © классы оценок множества достижимос-

1 Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.Наука: 1988.

ти, определяемые дифференциальными включениями

(Ю)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.2.6. Для того, чтобы отображение И_(г)=Р(у_а)) было локально оптимальной на классе внутренней оценкой множества достижимости системы (4), достаточно, чтобы функиця у_(*} удовлетворяла при гсоши всех г>г0 дифференциальному включению

Аналогично, если у_(-) - реыение дифрерентального включения

¡ю[о,(иУ).- У),

то отображение ) является локально оптимальной

на классе ©^ внешней- оценкой множества достижимости системы (4>.

■ Приводятся примеры. Рассматриваются, в частности, внутренние оценки множества достижимости нелинейной системы на плоскости с помощью овалов ,Кассини.

В третьем параграфа второй главы для описания динамики множества достижимости при наличии фазовых ограничений предлагается использовать уравнение Гамильтона-Якоби, аналогичное' полученному в параграфе 2.2, но в котором обычная производная по направлению заменена на верхнюю контингентную производную »• )■ В этом параграфе доказывается, что

множество уровня любой. полунепрешвной снизу функции, удовлетворяющей уравнению Гамильтон-Якоби и некоторому дополни- ' тельному условию непрерывности, представляет собой множество достижимости дифференциального включения. Точнее имеет место Творена 2,3.1, Пусть полунепрерывная снизу при

бсех UtO.Î], xtdm(F^), где F^(xhfR(x)Ç)(~F(x)), неотрицательная функция £;(CiT]xX+lO,a>l удовлетворяет условиял:

1) i(0,xl=0 при бсех х°еХ0,- Ь(0,х)>0 при хчХ0;

2) функция £ непрерывна, на решениях Оифферениуалъного включения (1}, удовлетворяющих фхзавил ограничении, во всех точках (t,x), tel0,T), xedam

3) при всех xvdorn(F^) выполнено равенство t,(t ,х)=а>;

4) при всех te(0,Т1, x^äom %(%,•) идеей лето ра&енапбо

min n>+£(t,x;-1,f) = О.

Тогда при всех telO.TJ лнохество достижилосш A(t,X0) в задаче с фазовиш огранженшии совпадает _ с лложествол уровня Uf_(t ) функции Ç.

fi четвертом параграфе второй главы для описания динамики множества достижимости в задаче с фазовыми ограничениями, задаваемыми многозначным отображением t*R(t), используется уравнение вида

Hrn. Inf рГUt-h), x+hïZ(x))/h^ О, Д-Of й

аналогичное уравнению интегральной воронки. Здесь

F^(t,xH-F(t,x))(\DK(t,x)(-1), . rn(ttx) ~ контингентная

производная многозначного отображения Я, a p(F,G) - расстоя-

> кие мекду множествами F и G, определяемое формулой

рiF,Ghlnf Inf I/-gJ. . ,

M geC

В начале параграфа будут приведены достаточные условия, при выполнении, 'которых однопараметрическое семейство множеств Hit) при всех значениях t обладает свойством M(t)sA(t,X0). где A(t,X0) - множество достижимости дифференциального включения в задаче с фазовыми ограничениями, зада-

ваэмыми многозначным отображением Kit).

Л э м м а 2.4.1 Пусть многозначные отображения U:(0,<*>)~ti(K), К:[0,п)-с1(1) имеют замкнутые. графики и grapt\(H)cgra$\(K). Многозначное отображение

■ P:[0,a>)xX->comiO(X) полунепрерывно сверху и множество F(graph(lt)) ограничено. Если при всех t>0, xsH(t) имеет место соотношение

DM(t.x){-1) п (-F(t.x)J * в (11)

и М(0)сХ0, то при всех t>0 имеет место включение H(t)cA(t,X0), т.е. отображение ¡1 является внутренней оценкой множества достижимости дифференциального включения XeF(t,X), X(OhX0

в задаче с фазовым ограничением xftfcKftJ, t>0.

Соотношение (11) выполняется, когда выполняется включение

0* DU(t,х)(-1) - J?(12) которому в свою очередь удовлетворяет множество достижимости A(t,X0) при всех t>0, x*A(ttX0),

Соотношение [12) можно переписать в виде, более напоминающем уравнение интегральной воронки. Точнее, имеет место следующее утверждение,

Л е м м а 2.4.3. Пусть задано многозначное отображение Ы:®*П(Х). Сотнашеше (12) 6 точке t, XeU(t) выполнено тогда и только тогда, когда имеет место равенство

lln^nf А"1 U(t-\), х + 4P%(t,x) ] = О. (13)

Были введены следующие определения. Определение 1. Решением уравнения (13) на отрезке С0.Т1 называется полунепрерывное сверху многозначное

отображение t+M(t), удовлетворяющее равенству (13) при всех МО,11, XeH(t).

Определенна 2. Максимальным решением уравнения (13) на отрезке (0,Т1 называется решение, не содержащееся ни в каком другом решении этого уравнения.

Окончательный результат этого параграфа сформулирован в вида теоремы

Т е о р е м а 2.4.1. Многозначное отображение A:(0,T1*Q(X) тогда и только тогда является множеством достижимости, дифференциального включения (4) в задаче с фазовым ограничением, задаваемым многозначным отображением K;iO,Tl-cl(X), имеющим'замкнутый графил, когда отображение А я&ляется максимальным решением уравнения

lim Inf Д-'pf A(t-k), х + &.FZ(t,x) ]=0.

L n j

с началышм условием А(0)=Х0.

В пятом последнем параграфе второй главы приведены негладкие внутренние эволюционные оценки множеств достижимости дифференциальных включений при наличии фазовых ограничений. Используются как описание множества с помощью опорной функция, так и поточечное описание множества, и задание множества d виде множества уровня негладкой функции^ Во всех случаях получены соотношения, позволяющие строить внутренние оценки множеств достижимости. Появление этого параграфа связано с тем, что внешние оценки множеств достижимости распространены горзздо шаре и применяются гораздо чаще. Внутренние оценки исследованы в значительно меньшей степени. В отличие от §2.2 в 52.5 для оценки используются негладкие

ФУНКЦИИ.

Третья глава посвящена некоторым приложениям результатов, полученных в предыдущих двух главах. В первых двух параграфах третьей главы рассматривается способ решения задачи синтеза ограниченных управлений, т.е. способ построения управляющих воздействий, переводящих динамическую систему в заданное состояние за конечное время. В §3.1 рассматривается построение таких управлений для линейных неавтономных систем. Идея метода заключается в построении внутренней эволюционной эллипсоидальной оценки области достижимости линейной системы о обратным временем * а затем построения управления, удерживающего систему на границе оценки области достижимости. В §3.2 синтез ограниченных управлений осуществляется в общем виде для нелинейных систем. Используются уже не эллипсоидальные оценки, а более общие множества, задаваемые с помощью дифференциального неравенства.

В параграфе 3.3 уравнение интегральной воронки, полученное в §2.4, используется для построения алгоритма, позволяющего находить множество достижимости дифференциального включения с заданной точностью.

В параграфе 3.4 показано, как полученные в первых двух главах результаты, могут быть использованы для решения одной практической задачи, возникающей в технологии интегральных схем - задачи моделирования процесса травления.

В заключении вновь сформулированы основные результаты диссертационной работы.. * '

Основные результаты работы.

В заключение отметим основные результаты диссертации.

1. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи быстродействия с фазовыми, ограничениями в форме метода дегаамического программирования. При этом на функцию Бэллмана (время быстродействия)' не накладывается ни каких априорных ограничений. Как следствие получены дифференциальные неравенства, которым удовлетворяет время быстродействия. Исследованы случаи, когда необходимые и достаточные условия оптимальности можно записать в виде уравнения с использованием производной по направлению.

2. Получены соотношения, огшсывзкщке динамику множеств достижимости и позволяющие получать эволюционные оценки множеств достижимости дифференциальных включений при наличии фазовых ограничений. о

3. На основе полученных результатов:

- решена задача синтеза ограниченных управлений для нелинейных систем;

- разработан метод аппроксимации множеств достижимости с заданной точностью;

- предложен новый подход к моделированию некоторых технологических процессов, используемых в производстве интегральных схем. ,

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих рзботах, где из совместных публикаций взяты только результаты полученные автором диссертации.

Публикации.

1. Оценки множества достижимости и построение допусти мых управлений для линейных систем// Докл. АН ÇCCP, 1983, Т.268, ха, С.53Т-541

2. Оценки множества достижимости для линейных систем// Изв. АН СССР, 1984, т.48, Н, С.865-879

3. Метод синтеза ограниченных управлений для линейных систем// Автоматика и телемеханика, 1984, №10, с.44-50

4. Эволюционные оценки множеств достижимости управляемых систем// В сб. "Современные проблемы мат. физики и их прил.", 1985, М. изд. МФТИ, С.62-85

5. Оценки множества достижимости дифференциальных включений// Матем.заметки, 1985, т.37, Кб, с. 916-925.

6. Локально оптимальные оценки множеств доотижимости нелинейных систем// Изв. АН СССР, сер. Тех. кибернетика. 1985, ЯЗ. С.153-160.

7. О времени быстродействия для дифференциальных включений// В сб. "Соврем, математика в физико-технических задачах", М. ИЗД. МФТИ, 1986, с.56-59

8. Характеристика временя быстродействия для дифференциальных включений// Матем.заметки, 1986, т.40, . Яб, С.726-737.

9. Моделирование некоторых процессов травления и осаждения. Пакеты прикл. программ. Матем, модел. М.Наука, 1987, 128 с. (Алгор. и алгор. языки), с.47-62. (Совместно с Глебовны АЛ., Кононовым А.Н. )

'10. Уравнение динамического программирования для задачи быстродействияс фазовыми ограничениями// Матем. сборник,

1988, т. 135(177), *1, С.46-58.

'11. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями// Труды Матем. ИН-та АН СССР, 1988, Т.185, с.116-125.

12. Об уравнении мнокеств достижимости дифференциальных включений // Дифференц. уравнения, 1988, #4, С.692-694.

13. Обобщенное дифференцирование функции в силу системы. В сб. "Проблемы соврем, математики в задачах физики и механики", М. изд. МФТИ, 1989, с.75-78.

14. Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче быстродействия с фазовыми ограничениями// Дифференц. уравнения, 1990,4.26, #11, с.1906-1913.

15. Моделирование профиля элементов микросхемы, формируемых в процессе сухого размерного травления// Электронная 1 техника, сер.З, Микроэлектроника, 1990, вып.136(2), с.43-50. (Совместно с Глебовны А.Л., Гущиным М.Б., Киреевым В.Ю.)

16. Об одном методе построения множеств достижимости для' дифференциальных включений// Журн. выч. мат. и матем. физики, 1991, #1, c.f53-157.(Совместно с Певчих К.Э.)

17. Синтез ограниченных управлений для нелинейных систем// Автоматика и телемеханика, 1993, N2, с.62-68.

Автор выражает глубокую призна'тельность профессору Виктору Ивановичу Елагодатских за постоянное внимание к работе к ценные советы.

Зак. №21 тир. 100 ííkd., оЛъем 1,1 •уч.изд.л. Ьеспдатно. Тип. 1ТИЭТ СГУ) 1