Нелинейная динамика мощного электронного пучка в процессе развития плазменной турбулентности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

004617330

На правах рукописи

ТИМОФЕЕВ Игорь Валериевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МОЩНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА

В ПРОЦЕССЕ РАЗВИТИЯ ПЛАЗМЕННОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

01.04.08 - физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 6 ш гт

НОВОСИБИРСК - 2010

004617380

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Института ядерной физики им. Г. И. Будкера Сибирского отделения РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ЛОТОВ - доктор физико-математических наук,

Константин Владимирович Учреждение Российской академии наук

Институт ядерной физики им.Г.И.Будкера СО РАН, г. Новосибирск

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

БУРДАКОВ - доктор физико-математических наук,

Александр Владимирович Учреждение Российской академии наук

Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН, г. Новосибирск

ШАПИРО -доктор физико-математических наук,

Давид Абрамович профессор, Учреждение Российской

академии наук Институт автоматики и электрометрии СО РАН, г. Новосибирск

ВЕДУЩАЯ - Учреждение Российской академии наук

ОРГАНИЗАЦИЯ: Институт прикладной физики РАН,

г. Нижний Новгород

Защита диссертации состоится " О-Ч " д^Ьсе^рЗ,_ 2010 г.

в " 11 оЗО" часов на заседании диссертационного совета Д 003.016.03 Учреждения Российской академии наук Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект Академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института ядерной физики им. Г. И. Будкера Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан « *20_ » Н-ОаЕ р>.Я_ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук / ' А. А. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Коллективное взаимодействие электронного пучка с плазмой является одним из самых распространенных и наиболее фундаментальных явлений в физике плазмы. Несмотря на полувековую историю исследований в этой области, различные аспекты задачи продолжает активно изучаться как применительно к космическим явлениям, так и применительно к схеме быстрого поджига в инерциальном термоядерном синтезе. В данной работе основное внимание уделено изучению тех режимов коллективной релаксации пучка, которые интересны с точки зрения нагрева лабораторной плазмы до высоких температур. Мотивацией для таких исследований является недавний прогресс, достигнутый в экспериментах по нагреву плазмы в открытых ловушках

Несмотря на обилие теоретических моделей, описывающих различные режимы пучково-плазменного взаимодействия, задача предсказания с их помощью результатов реальных экспериментов все еще далека от решения. Дело в том, что максимально приближенная к эксперименту постановка задачи зачастую требует отказа от привычных для теории идеа-лизаций, таких как слабое или сильное магнитное поле, гидродинамический или кинетический характер пучковой неустойчивости, приближение случайных фаз возбуждаемых в плазме турбулентных пульсаций. Кроме того, при длительной инжекции пучка эволюция пучково-плазменной системы может проходить через целую последовательность стадий, определяемых совершенно различными нелинейными процессами. В связи с этим становится актуальным создание численных моделей, которые бы позволили с единых позиций изучить всю картину проходимых пучком этапов релаксации и помогли бы определить адекватность существующих теоретических представлений о механизмах насыщения пучковых неустойчивостей.

Существующие теоретические сценарии слабой и сильной турбулентности основываются на представлении о линейном характере возбуждения резонансных с пучком колебаний, которое позволяет отождествлять скорость накачки энергии в турбулентность с линейным инкрементом пучковой неустойчивости. Очевидно, что при достаточно большой энергии резонансных волн это представление перестает быть верным, и динамика пучка оказывается нелинейной. Для изучения вопроса о то\{, какое влияние оказывают пучковые нелинейности на процесс раскачки неустойчивости в условиях развитой турбулентности, необходимо численное моделирование, которое, с одной стороны, будет способно на больших

временах отслеживать эволюцию возбуждаемой пучком турбулентности, а с другой, позволит обеспечить достаточно подробное описание кинетических эффектов, связанных с захватом пучка. Такому моделированию, ставшему возможным только недавно благодаря появлению адекватных задаче вычислительных ресурсов, и посвящена данная работа.

Целью диссертационной работы является изучение основных физических явлений, происходящих в пучково-плазменной системе в процессе длительной инжекции пучка, когда в плазме не только устанавливается квазистационарное турбулентное состояние, но и когда это состояние успевает значительно измениться за счет эволюции макроскопических параметров плазмы. Это предполагает

• изучение линейной стадии неустойчивости электронного пучка в замагниченной плазме в рамках точной кинетической теории,

• исследование сценария установления и нелинейной эволюции возбуждаемой пучком турбулентности, а также

• создание теоретических и численных моделей, способных описывать релаксацию мощных электронных пучков в плазме на масштабах реальных экспериментов.

Научная новизна работы заключается в том, что

• впервые получены решения дисперсионного уравнения для неустойчивости горячего релятивистского электронного пучка в замагниченной плазме в рамках точной кинетической теории,

• построена теоретическая модель релаксации пучка в режиме захвата и проведено количественное сравнение ее предсказаний с результатами экспериментов по нагреву плазмы в открытых ловушках,

• создана гибридная численная модель, способная описывать релаксацию пучка на масштабах реальных экспериментов,

• установлен последовательный сценарий эволюции пучково-плазменной системы при длительной инжекции пучка,

• исследована роль пучковых нелинейностей в развитой турбулентности.

Личный вклад автора. Автором построена теоретическая модель релаксации пучка в режиме захвата, созданы и протестированы численные модели, получены решения дисперсионного уравнения с кинетическим описашгем пучка, исследованы и идентифицированы основные нелинейные процессы, определяющие эволюцию возбуждаемой пучком турбулентности.

Научная и практическая значимость работы состоит в том, что созданные теоретические и численные модели могут использоваться не только для описания уже существующих экспериментов по турбулентному нагреву плазмы мощными электронными пучками, но и для проектирования будущих экспериментов, направленных на достижение термоядерных параметров плазмы в открытых ловушках. Созданные численные модели могут быть также полезны для изучения тех режимов пучково-плазменного взаимодействия, которые встречаются в космических явлениях и в схемах инерциального термоядерного синтеза.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• Впервые получены решения дисперсионного уравнения для системы горячий электронный пучок - холодная замагниченная плазма в рамках точной кинетической теории. Исследованы эффекты совместного влияния магнитного поля и углового разброса пучка на неустойчивость косых волн.

• Построена теоретическая модель коллективной релаксации пучка в режиме захвата. Показано согласие предсказаний модели с результатами реальных экспериментов по пучковому нагреву плазмы в открытых ловушках.

• Разработана гибридная численная модель, способная моделировать турбулентный нагрев плазмы мощным электронным пучком на масштабах реальных экспериментов.

• Установлен сценарий нелинейной эволюции пучково-плазменной системы при длительной инжекции электронного пучка в плазму. Показано, что переход от динамической стадии к состоянию развитой турбулентности связан с развитием коротковолновой модуляционной неустойчивости. В установившемся состоянии обнаружен турбулентный режим с постоянной мощностью накачки, уровень насыщения которой не зависит от детальной структуры турбулентности и определяется исключительно пучковыми нелинейностями.

Апробация работы.

Работы, положенные в основу диссертации, докладывались на научных семинарах ИЯФ СО РАН (Новосибирск), на трех Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС (2002, 2006, 2008), на 16-ой Международной конференции по мощным пучкам (BEAMS-2006, Оксфорд, Англия), на 11-ой Международной конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2006, Алушта, Украина), на конференции Европейского физического общества по физике плазмы (EPS-2009, София, Болгария), на 8-ой Международной конференции по открытым системам для удержания плазмы (OS-2010, July 5-9, Novosibirsk, Russia).

Результаты диссертации опубликованы также в российских и зарубежных научных журналах, список которых приведен в перечне опубликованных автором работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Диссертация содержит 101 страницу и библиографический список из 87 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор существующих теоретических и численных подходов к решению задачи о коллективной релаксации электронных пучков в плазме, обосновывается актуальность дальнейших исследований и формулируются задачи, решению которых посвящена работа.

В первой главе проводится анализ линейной стадии неустойчивости горячего электронного пучка в замагниченной плазме.

Знание линейного инкремента пучковой неустойчивости в широкой области волновых чисел позволяет определить тип и спектральный состав наиболее неустойчивых возмущений. Кроме того, в существующих турбулентных сценариях величина инкремента существенно влияет на установившуюся мощность накачки энергии. Таким образом, задача как можно более точного вычисления инкремента неустойчивости является весьма важной. В последнее время интерес к этой задаче значительно возрос еще и благодаря исследованиям по инерциальному термоядерному синтезу. В рамках этих исследований впервые были получены численные решения точного дисперсионного уравнения для неустойчивости электронного пучка в изотропной плазме без использования каких-либо

упрощающих предположений [2]. Прямые вычисления инкремента в рамках самой общей линейной теории стали подовом для пересмотра и уточнения результатов, полученных с помощью различных приближений. В данной работе анализ инкремента пучковой неустойчивости в рамках точной кинетической теории впервые проведен для случая замагничен-ной плазмы.

Основное внимание в этой главе уделено вопросу о том, насколько эффективно магнитное поле подавляет неустойчивость косых волн. Гидродинамическое приближение предсказывает, что при переходе от слабого к сильному магнитному полю роль самой неустойчивой моды постепенно переходит от косых волн к волнам со строго продольным распространением. Подобная картина сохраняется также и в том случае, если в гидродинамических уравнениях учесть достаточно малый, нерелятивистский разброс пучка по поперечным импульсам. Такой гидродинамический подход к анализу неустойчивости теплого пучка предсказывает, что увеличение разброса пучка и увеличение магнитного поля приводят к суммарному уменьшению инкремента неустойчивости косых волн, так что оба эти эффекта действуют в одну сторону. В работе показано, что кинетическое описание пучка существенно меняет эти представления. Совместное влияние кинетических эффектов и магнитного поля приводит к тому, что для пучка с заданным угловым разбросом раскачка косых волн оказывается максимально эффективной при таком минимальном значении магнитного поля, при котором различные резонансы становятся изолированными.

Во второй главе предложена теоретическая модель релаксации пучка в режиме, когда энергия неустойчивых колебаний достаточно велика для захвата частиц пучка. Предполагается, что в этом режиме мощность, накачиваемая пучком в резонансные колебания, перестает зависеть от их энергии и стабилизируется на уровне, соответствующем порогу захвата. При этом увеличение энергетического разброса пучка при удалении от места инжекции описывается уравнением диффузионного типа, в котором в качестве шага случайных блужданий частиц по скорости выступает ширина области захвата. "Установленные таким образом профили энерговыделения пучка оказались в хорошем согласии с экспериментальными результатами, полученными на разных установках при различных параметрах. Говорить о согласии между профилями энерговыделения и профилями внутренней энергии плазмы, однако, имеет смысл только при условии значительного подавлении электронной теплопроводности. Оказалось, что оценку для величины такого подавления можно получить, не вдаваясь в изучение природы явления. С этой целью в модели на-

грева плазмы достаточно учесть эффект конечной теплопроводности и сравнить характерные градиенты электронной температуры с теми, которые наблюдаются в эксперименте. Показано, что для достижения такого согласия эффективная частота столкновений, определяющая длину свободного пробега электронов плазмы, должна существенно превышать частоту кулоновских столкновений. Установлено, что в качестве оценки для аномальной частоты столкновений может быть использован локальный инкремент пучковой неустойчивости, что согласуется с оценками, полученными ранее из других соображений [3].

В третьей главе в рамках пространственно однородной задачи исследуется процесс нелинейного насыщения резонансной волны за счет захвата электронов пучка в созданную ей потенциальную яму. Цель этого исследования состоит в том, чтобы выяснить, насколько корректно нелинейные кинетические эффекты, связанные с захватом пучка, могут быть описаны упрощенной численной моделью, в которой пучок моделируется отдельными частицами, а плазма представляет собой набор независимых осцилляторов. Сравнение с моделью, основанной на методе частиц в ячейках, показало адекватность такого упрощенного подхода.

В работе установлено, что в переходной области параметров, когда ширина резонансного с волной интервала скоростей сравнима с разбросом пучка, нарастание и насыщение неустойчивости происходит по тому же универсальному закону, как и в кинетическом пределе. Показано, что классические элементарные оценки завышают максимальное поле волны в переходной области и дают неправильный скейлинг для зависимости этого поля от инкремента неустойчивости; в кинетическом режиме насыщение неустойчивости не сопровождается изменением фазовой скорости волны, а затухание плазменных колебаний не только изменяет инкремент неустойчивости, но и приводит к резкому уменьшению максимального поля волны.

В четвертой главе рассматривается задача о непрерывной инжек-ции пучка в плазменное полупространство. Исследование всех последовательно проходимых пучком стадий релаксации проводится здесь с помощью двух численных моделей.

В разделе 4.1 для изучения микроскопических механизмов установления турбулентного состояния в системе плазма-пучок разработана двумерная численная PIC модель. На примере простых физических явлений продемонстрирована работоспособность этой модели для изучения процессов коллективного взаимодействия мощных электронных пучков с плазмой. Показано согласие результатов численных экспериментов с теорией как для одночастичного механизма возбуждения плазменных коле-

баний, так и для коллективной раскачки двухпотоковой неустойчивости. При достаточно большом числе частиц представленная модель с высокой детализацией воспроизводит эффект бесстолкновительного затухания бегущей волны вплоть до учета релятивистских поправок к законам дисперсии плазменных колебаний и особенностей начального распределения частиц по скоростям.

Для моделирования релаксации пучка и турбулентного нагрева плазмы на больших пространственных и временных масштабах в разделе 4.2 предлагается использовать упрощенную гибридную модель, в которой пучок по-прежнему моделируется отдельными частицами, а медленная нелинейная эволюция плазмы описывается усредненными гидродинамическими уравнениями по аналогии с тем, как это принято в уравнениях Захарова. Кинетическое описание пучка в этом случае позволяет детально воспроизводить эффекты захвата, а учет плазменных нелиней-ностей позволяет моделировать состояния развитой турбулентности.

В разделе 4.3 исследованы основные физические процессы, определяющие скорость иагрева плазмы в условиях длительной инжекции мощного электронного пучка. Показало, что сценарий установления квазистационарной турбулентности в этом случае состоит из нескольких характерных этапов.

На динамической стадии пучок раскачивает регулярную ленгмюров-скую волну, энергия которой нарастает до значений, значительно превышающих тепловую энергию плазмы, что приводит к развитию коротковолновой модуляционной неустойчивости. Установлено, что ранняя стадия этой неустойчивости адекватно описывается упрощенной теорией, учитывающей кинетические эффекты, связанные с конечной температурой электронов плазмы, а на нелинейной стадии в игру вступает сильная электронная нелинейность, которая приводит к поглощению нарастающих колебаний за счет пересечения электронных траекторий. После опрокидывания этих коротковолновых колебаний практически вся ос-цилляторная энергия плазменных электронов превращается в их тепловую энергию, в результате чего устанавливается турбулентный режим с более слабой накачкой IV < пТ. На этом этапе перенос энергии из области возбуждения в область диссипации осуществляется как за счет коллапса, так и за счет эстафетного процесса рассеяния ВЧ колебаний на флуктуациях плотности плазмы. С ростом температуры, однако, турбулентность переходит в режим, когда нелинейные процессы в плазме не способны обеспечить достаточно эффективную диссипацию резонансных с пучком колебаний, и мощность накачки энергии в турбулентность стабилизируется на уровне, определяемом только пучковыми нелинейно-

стями. Это обстоятельство открывает возможность для моделирования реальных экспериментов по нагреву плазмы, поскольку вместо трудоемких PIC расчетов в режиме насыщения можно использовать более экономичные модели с более грубым описанием турбулентных процессов в плазме.

С помощью предложенной в работе гибридной модели, результаты которой обнаружили хорошее согласие с PIC расчетами, установлена зависимость мощности нагрева плазмы от относительной плотности пучка и показано, что при различных угловых разбросах эта зависимость, выраженная в терминах линейного инкремента Г, имеет степенной характер.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Впервые получены решения дисперсионного уравнения для системы горячий электронный пучок - холодная замагниченная плазма в рамках точной кинетической теории. Исследована точность гидродинамического и кинетического приближений для продольной двухпотоковой неустойчивости. Исследованы эффекты совместного влияния магнитного поля и углового разброса пучка на подавление неустойчивостей косых волн.

2. Построена теоретическая модель коллективной релаксации пучка в режиме захвата. Показано согласие предсказаний модели с результатами реальных экспериментов по пучковому нагреву плазмы в открытых ловушках.

3. Исследован процесс нелинейного насыщения пучковой неустойчивости в пространственно однородной задаче за счет захвата электронов пучка полем возбуждаемой волны.

4. Разработана двумерная численная PIC модель для изучения механизмов коллективного взаимодействия мощных электронных пучков с плазмой.

5. Разработана одномерная гибридная модель с упрощенным описанием плазмы, способная моделировать реальные эксперименты по инжекции электронных пучков в плазму.

6. Исследован последовательный сценарий нелинейной эволюции пучково-плазменной системы в условиях длительной инжекции

пучка. Установлено, что переход от динамической стадии к состоянию развитой турбулентности связан с развитием коротковолновой модуляционной неустойчивости. Показано, что с ростом электронной температуры турбулентность переходит в режим с постоянной мощностью накачки, уровень насыщения которой не зависит от детальной структуры турбулентности и определяется исключительно пучковыми нелинейностями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Ion dynamics in plasma compensation scheme.// Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A, 2002, v. 485, №3, p. 228-233.

2. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime.// Physics of Plasmas, 2006, v. 13, №6, p. 062312.

3. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Переходный режим одномерной двух-потоковой неустойчивости.// Вестник НГУ, серия "Физика 2008, т. 3, №1, с. 62-65.

4. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. О насыщении двухпо-токовой неустойчивости электронного пучка в плазме.// Физика плазмы, 2009, т. 35, №6, с. 567-574.

5. I. V. Timofeev, К. V. Lotov, and А. V. Terekhov. Direct computation of the growth rate for the instability of a warm relativistic electron beam in a cold magnetized plasma.// Physics of Plasmas, 2009, v. 16, p. 063101.

6. А. В. Терехов, И. В. Тимофеев, К. В. Лотов. Двумерная численная модель плазмы для изучения процессов пучково-плазменного взаимодействия.// Вестник НГУ, серия "Физика2010, т.5, №2, с.85-97.

7. I. V. Timofeev, А. V. Terekhov. Simulations of turbulent plasma heating by powerful electron beams.// Physics of Plasmas, 2010, v. 17, p. 083111.

8. I. V. Timofeev, К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime.// Вопросы атомной науки и техники, серия "Физика2007, т. 13, №1, с.46-48.

9. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Динамика ионов в схеме плазменной компенсации.// Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2002, с. 196.

10. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Модель релаксации релятивистского электронного пучка в плазме в режиме захвата.// Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2006, с. 82.

11. I. V. Timofeev and К. V-Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime.// 16th International Conference on High-Power Particle Beams, Oxford, UK, 2006, Abstracts, p. 68.

12. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime.// 11th International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta, Ukraine, 2006, Abstracts, p. 83.

13. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. Двумерная численная модель плазмы для изучения пучково-плазменного взаимодействия.// Тезисы докладов XXXV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2008, с. 137.

14. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. О насыщении двухпото-ковой неустойчивости электронного пучка в плазме.// Тезисы докладов XXXV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2008, с. 297.

15. I. V. Timofeev, А. V. Terekhov, К. V. Lotov. Exact growth rates of the relativistic electron beam instability in a magnetized plasma.// 7th International Conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement, Daejeon, Korea, 2008, Abstracts, p. P20.

16. I. V. Timofeev, A. V. Terekhov, К. V. Lotov. Computer simulation of relativistic electron beam relaxation in plasma.// 7th International Conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement, Daejeon, Korea, 2008, Abstracts, p. P21.

17. I. V. Timofeev, К. V. Lotov, and A. V. Terekhov. Direct computation of the growth rate for the instability of a warm relativistic electron beam in a cold magnetized plasma.// Proceedings of 36th EPS Conference on Plasma Physics, Sofia, Bulgaria, 29 June - 3 July 2009, ECA v. 33E, P-1.015.

Список литературы

[1] А. В. Аржанников, В. Т. Астпрелин, А. В. Бурдаков и др. Исследование механизма быстрого нагрева ионов в многопробочной ловушке ГОЛ-3.// Физика плазмы, 2005, т. 31, с. 506.

[2] A.Bret, L. Gremillet, D. Benisti, E. Lefebvre. Exact Relativistic Kinetic Theory of an Electron-Beam-Plasma System: Hierarchy of the Competing Modes in the System-Parameter Space.// Phys. Rev. Lett., 2008, V. 100, P. 205008.

[3] A. V.Burdakov, I. A. Kotelnikov, V.I.Erofeev. Explanation of turbulent suppression of electron heat transfer in GOL-3 facility at the stage of relativistic electron beam injection.// Trans, of Fusion Technol., 2005, V. 47(1T), P. 74.

ТИМОФЕЕВ Игорь Валериевич

Нелинейная динамика мощного электронного пучка в процессе развития плазменной турбулентности

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сдано в набор 25.10.2010 г. Подписано к печати 1.11.2010 г. Формат 60x90 1/16 Объем 0,9 печ.л., 0,8 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 31 Обработано на РС и отпечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. академика Лаврентьева, 11.

Введение

1 Прямое вычисление инкремента неустойчивости электронного пучка в замагниченной плазме

1.1 Постановка задачи.

1.2 Анализ неустойчивого спектра.

1.3 Сравнение с приближенными решениями.

2 Теоретическая модель релаксации пучка в режиме захвата

2.1 Модель релаксации пучка.

2.2 Сравнение с существующими экспериментами.

2.3 Подавление электронной теплопроводности

2.4 Выводы.

3 Насыщение двухпотоковой неустойчивости электронного пучка в пространственно однородной задаче

3.1 Постановка задачи.

3.2 Осцилляторная численная модель.

3.3 Феноменология неустойчивости.

3.4 Влияние модельного затухания.

3.5 Выводы.

4 Моделирование непрерывной инжекции пучка в плазму

4.1 Двумерная PIC модель

4.1.1 Описание модели.

4.1.2 Результаты тестирования.

4.1.3 Выводы.

4.2 Одномерная гибридная модель.

4.3 Эволюция турбулентности в условиях длительной инжекции пучка

4.3.1 Динамическая стадия.

4.3.2 Модуляционная неустойчивость в режиме сильной накачки

4.3.3 Развитая турбулентность

4.3.4 Выводы.

Коллективное взаимодействие электронного пучка с плазмой является одним из самых распространенных и наиболее фундаментальных явлений в физике плазмы. Несмотря на более чем полувековую историю исследований в этой области [1,2], различные аспекты задачи продолжает активно изучаться как применительно к космическим явлениям [3-5], так и применительно к схеме быстрого поджига в инерциальном термоядерном синтезе [6,7]. В данной работе основное внимание уделено изучению тех режимов коллективной релаксации пучка, которые интересны с точки зрения нагрева лабораторной плазмы до высоких температур. Мотивацией для таких исследований является недавний прогресс, достигнутый в экспериментах по нагреву плазмы в открытых ловушках [8,9].

Несмотря на обилие теоретических моделей, описывающих различные режимы пучково-плазменного взаимодействия, задача предсказания с их помощью результатов реальных экспериментов все еще далека от решения. Дело в том, что максимально приближенная к эксперименту постановка задачи зачастую требует отказа от привычных для теории идеализаций, таких как слабое или сильное магнитное поле, гидродинамический или кинетический характер пучковой неустойчивости, приближение случайных фаз возбуждаемых в плазме турбулентных пульсаций. Кроме того, при длительной инжекции пучка эволюция пучково-плазменной системы может проходить через целую последовательность стадий, определяемых совершенно различными нелинейными процессами. В связи с этим становится актуальным создание численных моделей, которые бы позволили с единых позиций изучить всю картину проходимых пучком этапов релаксации и помогли бы определить адекватность существующих теоретических представлений о механизмах насыщения пучковых неустойчивостей.

Целью диссертационной работы является изучение основных физических явлений, происходящих в пучково-плазменной системе в процессе длительной инжекции пучка, когда в плазме не только устанавливается квазистационарное турбулентное состояние, но и когда это состояние успевает значительно измениться за счет эволюции макроскопических параметров плазмы. Это предполагает

• изучение линейной стадии неустойчивости электронного пучка в замаг-ниченной плазме в рамках точной кинетической теории,

• исследование сценария установления и нелинейной эволюции возбуждаемой пучком турбулентности, а также ,

• создание теоретических и численных моделей, способных описывать релаксацию мощных электронных пучков в плазме на масштабах реальных экспериментов.

Первые теоретические подходы к решению задачи о релаксации электронных пучков в плазме основывались на квазилинейной теории [10,11]. Применительно к задаче об инжекции пучка в плазменное полупространство квазилинейный механизм предполагает, что линейный эффект раскачки пучком плазменных колебаний стабилизируется другим линейным эффектом выноса этих колебаний из области релаксации с групповой скоростью [12]. Для более сильных неустойчивостей существенную роль в их стабилизации начинают играть плазменные нелинейности [13,14]. В этом случае плазменные колебания выходят из резонанса с пучком благодаря различным нелинейным процессам типа волна-волна или волна-частица-волна, вероятность которых при достаточно низком уровне насыщения энергии может быть вычислена в рамках последовательной теории возмущений, составляющей основу слаботурбулентного подхода [15,17]. При взаимодействии еще более мощных электронных пучков с плазмой происходит переход к режиму сильной турбулентности, когда в игру вступают такие нелинейные эффекты, как модуляционная неустойчивость и коллапс ленгмюров-ских волн [16,18,19]. Важным шагом в решении задачи о релаксации пучка в этом режиме стали работы [20,21], где в уравнения, описывающие квазилинейную диффузию пучка на резонансных колебаниях, была включена эффективная частота их нелинейной диссипации, созданная модуляционной неустойчивостью. Предпринятые позднее попытки более детального описания турбулентности, непрерывно возбуждаемой пучком, основывались на численном решении динамических уравнений Захарова [22-24] и ограничивались рассмотрением пространственно однородной задачи. Подобные численные расчеты, выполненные в двух- и трехмерной геометрии, легли затем-в основу двухкомпомпонентной модели сильной турбулентности [25].

Все эти теоретические и численные подходы, однако, основывались на представлении о линейном характере возбуждения резонансных с пучком колебаний, которое позволяло отождествлять скорость накачки энергии в турбулентность с линейным инкрементом пучковой неустойчивости. Очевидно, что при достаточно большой энергии резонансных волн это представление перестает быть верным, и динамика пучка оказывается нелинейной. Наиболее отчетливо влияние пучковых нелинейностей проявляется при раскачке регулярной волны в пространственно однородной задаче, когда захват пучка в создаваемую ей потенциальную яму приводит к насыщению волновой энергии [26,27]. В более реалистичной задаче об инжекции пучка через границу эффекты захвата способствуют формированию локализованных в пространстве волновых пакетов. Подобные пакеты были обнаружены экспериментально [28,29], а затем особенности их регулярной динамики были воспроизведены в численных расчетах, основанных как на методе частиц в ячейках (Particle In Cells, PIC) [30], так и на методах численного решения уравнения Власова [31,32].

Упомянутые исследования, однако, не отвечают на вопрос о том, какую роль играют пучковые нелинейности в состоянии развитой турбулентности. Для изучения этого вопроса необходимо провести численное моделирование, которое, с одной стороны, будет способно на больших временах отслеживать эволюцию возбуждаемой пучком турбулентности, а с другой, позволит обеспечить достаточно подробное описание кинетических эффектов, связанных с захватом пучка. Такому моделированию, ставшему возможным только недавно благодаря появлению адекватных задаче вычислительных ресурсов, и посвящена данная работа.

Важной характеристикой возбуждаемой в плазме неустойчивости является ее линейный инкремент Г. Вычисление этой величины в широкой области волновых чисел позволяет определить тип и спектральный состав наиболее неустойчивых возмущений. В последнее время интерес к этой задаче значительно возрос благодаря'исследованиям по инерциальному термоядерному синтезу, в которых вопрос о релаксации генерируемых с помощью лазерного излучения релятивистских электронных потоков является весьма важным. В рамках этих исследований впервые были получены'численные решения точного дисперсионного уравнения для неустойчивости электронного пучка в изотропной плазме без использования каких-либо упрощающих предположений [33]. Прямые вычисления инкремента в рамках самой общей линейной теории стали поводом для пересмотра и уточнения результатов, полученных с помощью различных приближений. Даже в наиболее простом случае одномерной двухпотоковой неустойчивости более детальное исследование [72] показало, что гидродинамическое и кинетическое приближения способны предсказывать инкремент только по порядку величины. Чтобы определить доминирующие неустойчивости, возбуждаемые горячим пучком в замагниченной плазме, необходимо решать гораздо более сложные дисперсионные уравнения, что требует применения параллельных численных алгоритмов и больших вычислительных мощностей. Для произвольного магнитного поля и произвольного направления распространения колебаний эта задача была впервые решена в работе автора [74].

Для изучения той роли, которую играют эффекты захвата в процессе турбулентного нагрева плазмы электронным пучком, в данной работе предложены теоретическая [71] и две численные модели [75,76]. Подробное описание как плазменной турбулентности, так и кинетических эффектов, связанных с захватом пучка, может обеспечить PIC модель, однако полномасштабный учет кинетики и пучка, и плазмы в рамках этой модели оказывается весьма затруднительным даже в одномерном случае. Дело в том, что в численной модели вместе с медленной динамикой плазмы на временах инжекции пучка 0.1 — 1 мкс) необходимо описывать также и быстрые процессы возбуждения высокочастотных плазменных колебаний, а наряду с пространственным масштабом реального эксперимента 1 м) необходимо разрешать и микроскопические масштабы, соответствующие области поглощения волновой энергии. Для характерных значений плотности плазмы в открытых ловушках п = 1015 см 3 эти масштабы различаются на 6-7 порядков. Это обстоятельство делает актуальными попытки поиска более экономичных с вычислительной точки зрения моделей, способных в одномерном случае воспроизвести те же самые нелинейные эффекты, которые определяют коллективное торможение пучка в рамках более общих подходов. Если считать, что в режиме захвата турбулентные процессы в плазме практически не влияют на ту мощность, которую может отдать пучок [71], то для определения поглощаемого в плазме полного потока энергии детальное кинетическое описание плазмы представляется менее важным, чем описание пучка. В связи с этим для моделирования релаксации пучка и турбулентного нагрева плазмы на больших пространственных и временных масштабах разумно использовать упрощенную гибридную модель, в которой пучок следует моделировать набором отдельных частиц, оставляя в задаче связанные с ним кинетические эффекты, а медленную нелинейную эволюцию плазмы описывать усредненными гидродинамическими уравнениями с теми же плазменными нелинейностями, которые содержатся в уравнениях Захарова. Таким образом, для численного моделирования реальных экспериментов в данной работе используется одномерная гибридная модель, адекватность которой для описания основных турбулентных процессов в плазме проверяется с помощью более строгой PIC модели.

Положения, выносимые на защиту:

1. Впервые получены решения дисперсионного уравнения для системы горячий электронный пучок - холодная замагниченная плазма в рамках точной кинетической теории. Исследованы эффекты совместного влияния магнитного поля и углового разброса пучка на неустойчивость косых волн.

2. Построена теоретическая модель коллективной релаксации пучка в режиме захвата. Показано согласие предсказаний модели с результатами реальных экспериментов по пучковому нагреву плазмы в открытых ловушках.

3. Разработана гибридная численная модель, способная моделировать турбулентный нагрев плазмы мощным электронным пучком на масштабах реальных экспериментов.

4. Установлен сценарий нелинейной эволюции пучково-плазменной системы при длительной инжекции электронного пучка в плазму. Показано, что переход от динамической стадии к состоянию развитой турбулентности связан с развитием коротковолновой модуляционной неустойчивости. В установившемся состоянии обнаружен турбулентный режим с постоянной мощностью накачки, уровень насыщения которой не зависит от детальной структуры турбулентности и определяется исключительно пучковыми нелинейностями.

4.3.4 Выводы

В данной части работы с помощью численного моделирования исследованы основные физические процессы, определяющие скорость нагрева плазмы в условиях длительной инжекции мощного электронного пучка. Показано, что сценарий установления квазистационарной турбулентности в этом случае состоит из нескольких характерных этапов. На динамической стадии пучок раскачивает регулярную ленгмюровскую волну, энергия которой нарастает до значений, значительно превышающих тепловую энергию плазмы, что приводит к развитию коротковолновой модуляционной неустойчивости. Установлено, что ранняя стадия этой неустойчивости адекватно описывается упрощенной теорией, учитывающей кинетические эффекты, связанные с конечной температурой электронов плазмы, а на нелинейной стадии в игру вступает сильная электронная нелинейность, которая приводит к поглощению нарастающих колебаний за счет пересечения электронных траекторий. После опрокидывания этих коротковолновых колебаний практически вся осцилляторная энергия плазменных электронов превращается в их тепловую энергию, в результате чего устанавливается турбулентный режим с более слабой накачкой V/ < пТ. На этом этапе перенос энергии из области возбуждения в область диссипации осуществляется как за счет коллапса, так и за счет эстафетного процесса рассеяния ВЧ колебаний на флукту-ациях плотности плазмы. С ростом температуры, однако, турбулентность переходит в режим, когда нелинейные процессы в плазме не способны обеспечить достаточно эффективную диссипацию резонансных с пучком колебаний, и мощность накачки энергии в турбулентность стабилизируется на уровне, определяемом только пучковыми нелинейностями. Это обстоятельство открывает возможность для моделирования реальных экспериментов по нагреву плазмы, поскольку вместо трудоемких PIC расчетов в режиме насыщения можно использовать более экономичные модели с более грубым описанием турбулентных процессов в плазме. С помощью предложенной в работе гибридной модели, результаты которой обнаружили хорошее согласие с PIC расчетами, установлена зависимость мощности нагрева плазмы от относительной плотности пучка и показано, что при различных угловых разбросах эта зависимость, выраженная в терминах линейного инкремента Г, имеет степенной характер.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

• Впервые получены решения дисперсионного уравнения для системы горячий электронный пучок - холодная замагниченная плазма в рамках точной кинетической теории. Исследована точность гидродинамического и кинетического приближений для продольной двухпотоковой неустойчивости. Исследованы эффекты совместного влияния магнитного поля и углового разброса пучка на подавление неустойчивостей косых волн [72,74].

• Построена теоретическая модель коллективной релаксации пучка в режиме захвата. Показано согласие предсказаний модели с результатами реальных экспериментов по пучковому нагреву плазмы в открытых ловушках [71].

• Исследован процесс нелинейного насыщения пучковой неустойчивости в пространственно однородной задаче за счет захвата электронов пучка полем возбуждаемой волны [73].

• Разработана двумерная численная PIC модель для изучения механизмов коллективного взаимодействия мощных электронных пучков q плазмой [75].

• Разработана одномерная гибридная модель с упрощенным описанием плазмы, способная моделировать реальные эксперименты по инжекции электронных пучков в плазму [76].

• Исследован последовательный сценарий нелинейной эволюции пучково-плазменной системы в условиях длительной инжекции пучка. Установлено, что переход от динамической стадии к состоянию развитой турбулентности связан с развитием коротковолновой модуляционной неустойчивости. Показано, что с ростом электронной температуры турбулентность переходит в режим с постоянной мощностью накачки, уровень насыщения которой не зависит от детальной структуры турбулентности и определяется исключительно пучковыми нелинейностями [76].

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность К.В.Лотову за постановку и обсуждения задач, А.В.Терехову за совместную плодотворную работу, а также А.В.Бурдакову и И.А.Котельникову за полезные дискуссии.

1. А. И. Ахиезер, Я. Б. Файнберг. О взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой. // ДАН СССР, 1949, Т. 69, С. 555.

2. D. Bohm and Е. P. Gross. Theory of plasma oscillations. В. Excitation and damping of oscillations. // Physical Review, 1949, V. 75, P. 1864.

3. T. Umeda. Vlasov simulation of Langmuir wave packets.// Nonlin. Processes Geophys, 2007, V. 14, P. 671.

4. I. Silin, R. Sydora, K. Sauer. Electron beam-plasma interaction: Linear theory and Vlasov-Poisson simulations.// Phys. Plasmas, 2007, V. 14, P. 012106.

5. Yu. Tyshetskiy, I. H. Cairns, P. A. Robinson. Statistics of beam-driven waves in plasmas with ambient fluctuations: Reduced-parameter approach.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 092110.

6. A. Karmahar, N.Kumar, A.Pukhov, 0. Polomarov, G.Shvets. Three-dimensional filamentary structures of a relativistic electron beam in fast ignition plasmas.// Phys. Plasmas, 2008, V. 15, P. 120702.

7. X. Kong, J. Park, C. Ren, Z. M. Sheng, J. W. Tonge. Evolution of a relativistic electron beam-plasma return current system.// Phys. Plasmas, 2009, V. 16, P. 032107.

8. А. В. Аржанников, В. Т. Астрелин, А. В. Бурдаков и др. Исследование механизма быстрого нагрева ионов в многопробочной ловушке ГОЛ-3.// Физика плазмы, 2005, Т. 31, С. 506.

9. V.S.Koidan, A. V. Arzhannikov, V. T. Astrelin, et al. Progress on the multimirror trap GOL-3// Fusion Sei. Technol., 2005, V.47, N IT, P. 35.

10. А. А. Веденов, Е.П.Велихов, P. 3. Сагдеев.// Ядерный синтез, 1962, Т. 2, С. 465.

11. W.EDrummond, D. Pines.// Nucl. Fusion Suppl., 1962, V.3, P. 1049.

12. Я. Б. Файнберг, В. Д. Шапиро. Квазилинейная теория возбуждения колебаний при инжекции электронного пучка в плазменное полупространство.// ЖЭТФ, 1964, Т. 47, С. 1389.

13. JI. И. Рудаков. Коллективное торможение мощного пучка релятивистских электронов в плотной плазменной мишени.// ЖЭТФ, 1970, Т. 59, С. 2091.

14. В. N. Breizman, D. D. Ruytov. Powerful relativistic electron beams in a plasma and in a vacuum (theory).// Nucl. Fusion, 1974, V. 14, P. 873.

15. В. H. Цытович. Теория турбулентной плазмы.// М: Атомиздат, 1971.

16. А. С. Киигсеп. Сильная ленгмюровская турбулентность и турбулентный нагрев плазмы. "Физика плазмы. Т.4" (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР, М., 1983, С.48).

17. Б. Н. Брейзман. Коллективное взаимодействие релятивистских электронных пучков с плазмой.// Вопросы теории плазмы. Вып. 15/ Под ред. Б.Б.Кадомцева.- М.: Энргоатомиздат. 1986.

18. В. Е. Захаров. Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн.// Основы физики плазмы, / Под ред. A.A. Галеева, Р.Н.Судана. М.: Атомиздат. 1984. Т. 2, С. 79.

19. В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. Сильная турбулентность плазменных колебаний.// Основы физики плазмы, / Под ред. A.A. Галеева, Р.Н.Судана. М.: Атомиздат. 1984. Т. 2, С. 119.

20. К. Papadopoulos. Nonlinear stabilization of beam plasma interactions by-parametric effects.// Phys, Fluids, 1975, V. 18, P. 1769.

21. А.А.Галеев, P. 3. Сагдеев, В. Д. Шапиро, В.И.Шевченко. Релаксация сильноточных электронных пучков и модуляционная неустойчивость.// ЖЭТФ, 1977, Т. 77, С. 507.

22. J. С. Weatherall, D. R. Nicholson, M. V. Goldman. Steady-state turbulence with a narrow inertial range.// Phys. Fluids, 1983, V. 26, P. 1103.

23. M. V. Goldman. Strong turbulence of plasma waves.// Rev. Mod. Phys., 1984, V. 56, P. 709.

24. P. A. Robinson, D. L. Newman. Two-component model of strong Langmuir turbulence: Scalings, spectra and statistics of Langmuir waves.// Phys. Fluids B, 1990, V. 2, P. 2999.

25. P. A. Robinson. Nonlinear wave collapse and strong turbulence.// Rev. Mod. Phys., 1997, V.69, P. 507.

26. И. H. Онищенко, A. P. Липецкий, H. Г. Мациборко и др. К нелинейной теории возбуждения монохроматической плазменной волны электронным пучком.// Письма в ЖЭТФ, 1970, Т. 12, С. 407.

27. W. Е. Drummond, J. H. Malmberg, T. M. О'Neil, J.R.Thompson. Nonlinear Development of the Beam-Plasma Instability.// Phys. Fluids, 1970, V. 13, P. 2422.

28. A. Y. Wong, P. Y. Cheung. Three-Dimensional Self-Collapse of Langmuir Waves.// Phys. Rev. Lett., 1984, V.52, P. 1222.

29. M. D. McFarland, A.Y.Wong. Spectral content of strong Langmuir turbulence in the beam plasma interaction.// Phys. Plasmas, 1997, V. 4, P. 945.

30. М. V. Goldman, D. L. Newman, K. D. Kang, F. Grary, M. M. Oppenheim. Theory and simulations of electron beam-driven localized wave structures.// Physica Scripta, 2000, V. T84, P. 34.

31. M. V. Goldman, D. L. Newman, M. M. Oppenheim. New Insights Into How Beam-Excited Instabilities Saturate. // Physica Scripta, 1998, V. T75, P. 52.

32. Ю. С. Сигов, В. Д. Левченко. Когерентные явления при релаксации размытых электронных пучков в открытых плазменных системах.// Физика плазмы, 1997, Т. 23, С. 325.

33. A.Bret, L. Gremillet, D.Benisti, E.Lefebvre. Exact Relativistic Kinetic Theory of an Electron-Beam-Plasma System: Hierarchy of the Competing Modes in the System-Parameter Space.// Phys. Rev. Lett., 2008, V. 100, P. 205008.

34. А. Б. Михайловский. Теория плазменных неустойчивостей, Т. 1. М.: Атомиздат, 1975.

35. L. Gremillet, D. Benisti, Е. Lefebvre, A. Bret. Linear and nonlinear development of oblique beam-plasma instabilities in the relativistic kinetic regime.// Phys. Plasmas, 2007, V. 14, P. 040704.

36. В. B. Godfrey, W. R. Shanahan, L. E. Thode. Linear theory of a cold relativistic beam propagating along an external magnetic field.// Phys. Fluids, 1975, V. 18, P. 346.

37. A. Bret, M. E. Dieckmann, C. Deutsch. Oblique electromagnetic instabilities for a hot relativistic beam interacting with a hot and magnetized plasma.// Phys. Plasmas, 2006, V. 13, P. 082109.

38. R. C. Tautz, R. Schlickeiser. Counterstreaming magnetized plasmas. I. Parallel wave propagation.// Phys. Plasmas, 2005, V. 12, P. 122901.

39. J. R. Сагу, L. E. Thode, D. S. Lemons et al. Simple criteria for the absence of the beam-Weibel instability.// Phys. Fluids, 1981, V. 24, P. 1818.

40. A.Bret, M. C. Firpo, C. Deutsch. Electromagnetic instabilities for relativistic beam-plasma interaction in whole к space: Nonrelativistic beam and plasma temperature effects.// Phys. Rev. E, 2005, V. 72, P. 016403.

41. A.Bret, M.C. Firpo, C. Deutsch. Characterization of the Initial Filamentation of a Relativistic Electron Beam Passing through a Plasma.// Phys. Rev. Lett., 2005, V. 94, P. 115002.

42. Ю. С. Сигов. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы.// Избранные труды, (сост. Г.И.Змиевская, В.Д.Левченко) М.: Физматлит, 2001.

43. Я. Б. Файнберг, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. К нелинейной теории взаимодействия с плазмой монохроматического пучка релятивистских электронов.// ЖЭТФ, 1969, Т. 57, С. 966.

44. Р. И. Ковтун, А. А. Рухадзе. К теории нелинейного взаимодействия релятивистского электронного пучка малой плотности с плазмой.// ЖЭТФ, 1970, Т. 58, С. 1709.

45. А. В. Аржанников, А. В. Бурдаков, В. С. Койдан и др. Увеличение эффективности взаимодействия сильноточного релятивистского электронного пучка с плазмой.// Письма в ЖЭТФ, 1978, Т. 27. С. 173.

46. А. V. Arzhannikov, V. Т. Astrelin, А. V. Burdakov et al. // Proc. of the 17th International Conference on Fusion Energy 1998, Yokohama, Japan, 1924 October 1998 (ICP/11); A. V. Arzhannikov et al // Trans, of Fusion Technol., 1999, V.35, P. 112.

47. А. V. Arzhannikov, V. Т. Astrelin et ah Recent results on plasma heating and improved confinement at the GOL-3-II facility.// Trans, of Fusion Technol., 2001, V.39, R 17.

48. А. В. Бурдаков, В. В. Поступаев. Особенности переноса тепла при пучковом нагреве плазмы в экспериментах на установке ГОЛ-3.// Препринт ИЯФ 92-9, 1992.

49. А. V. Burdakov, I. A. Kotelnikov, V. I. Erofeev. Explanation of turbulent suppression of electron heat transfer in GOL-3 facility at the stage of relativistic electron beam injection.// Trans, of Fusion Technol., 2005, V. 47(1T), P. 74.

50. Иванов А.А. // Физика сильнонеравновесной плазмы. М: Атомиздат, 1977.

51. Судан Р-Н.// Основы физики плазмы, / Под ред. А.А. Галеева, Р.Н.Судана. М.: Атомиздат. 1984. Дополнение к Т. 2. С. 38.

52. Красовицкий В. Б. Нелинейные регулярные колебания в неравновесных плазменных и газовых средах. Книга 1: Неустойчивость релятивистского электронного пучка в плазме. Харьков, Фолио, 2000.

53. О'Neil Т.М., Winfrey J.H. Nonlinear interaction of a small cold beam and a plasma. Part II.// Phys. Fluids, 1972, V. 15, P. 1514.

54. Thode L.E. Energy lost by a relativistic electron beam due to two-stream instability.// Phys. Fluids, 1976, V. 19, P. 305.

55. Левин М.В., Любарский М.Г., Онищенко И.Н. и др. К нелинейной теории кинетической неустойчивости электронного пучка в плазме.// ЖЭТФ, 1972, Т. 62, С. 1723.

56. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А.Леонтовича. М: Атомиздат, 1973. Вып. 7. С. 3.

57. Bohmer Н., Chang J., Raether М. Influence of collisions on the instability of cold and warm electron beams in a plasma.// Phys. Fluids, 1971, V. 14, P. 150.

58. Bludman S.A., Watson K.M., Rosenbluth M.N. Statistical mechanics of relativistic streams. II // Phys. Fluids, 1960, V. 3, P. 747.

59. Вшивков В.А., Вшивков К.В., Дудникова Г.И. Алгоритмы решения задачи взаимодействия лазерного импульса с плазмой.// Вычислительные технологии, 2001, Т. 6, № 2, С. 47-63.

60. А. V. Terekhov. Parallel Dichotomy Algorithm for Solving Tridiagonal System of Linear Equations with Multiple Right-Hand Sides. // Parallel Comput., 2010, doi:10.1016/j.par co.2010.02.005.

61. Ч. Вэдсел, А. Ленгдон. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989.

62. Т. Zh. Esirkepov. Exact charge conservation for Particle-in-Cell simulation with an arbitary form-factor.// Computer Physics Communications, 2001, V. 135, P. 144.

63. A. Taflove, S. C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed., Norwood, MA: Artech House, 2005.

64. J. P. Boris. Relativistic plasma simulation optimization of a hybrid code coordinates.// Procedings 4th International Conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Washington, 20-24 September 1970, V. 6. P. 3-67.

65. E. M. Лившиц, Л. П. Питаевский. Физическая кинетика.- 2е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, С. 175.

66. Р. 3. Сагдеев, В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко. Диссипация мощной электромагнитной волны в неоднородной плазме и сверхсильная плазменная турбулентность.// Физика плазмы, 1980, Т. 6, С. 377.

67. Е. А. Кузнецов. Об усредненном описании ленгмюровских волн в плазме.// Физика плазмы, 1976, Т. 2, С. 327.

68. Л. М. Дегтярев, Р. 3. Сагдеев, Р. И. Соловьев, В. Д. Шапиро,

69. B. И. Шевченко. Одномерная турбулентность ленгмюровских волн.// Физика плазмы, 1980, Т. 6, С. 485.

70. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Ion dynamics in plasma compensation scheme. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A, 2002, V. 485, №3, P. 228-233.

71. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // Phys. Plasmas, 2006, V. 13, №6, P. 062312.

72. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Переходный режим одномерной двухпото-ковой неустойчивости. // Вестник НГУ, серия "Физика 2008, Т. 3, №1,1. C.62-65.

73. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. О насыщении двухпотоко-вой неустойчивости электронного пучка в плазме. // Физика плазмы, 2009, Т. 35, №6, С. 567-574.

74. I. V. Timofeev, К. V.Lotov, and A. V. Terekhov. Direct computation of the growth rate for the instability of a warm relativistic electron beam in a cold magnetized plasma. // Phys. Plasmas, 2009, V. 16, P. 063101.

75. А. В. Терехов, И. В. Тимофеев, К. В. Лотов. Двумерная численная модель плазмы для изучения процессов пучково-плазменного взаимодействия. // Вестник НГУ, серия "Физика 2010, Т. 5, №2, С. 85-97.

76. I. V. Timofeev, А. V. Terekhov. Simulations of turbulent plasma heating by powerful electron beams. // Phys. Plasmas, 2010, V. 17, P. 083111.

77. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Динамика ионов в схеме плазменной компенсации.// Тезисы докладов XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2002, С. 196.

78. I. V. Timofeev. Electron viscosity in strong laser field. // Proceedings of 31st EPS Conference on Plasma Physics, London, 28 June 2 July 2004, ECA v. 28B, P-4.031.

79. К. В. Лотов, И. В. Тимофеев. Модель релаксации релятивистского электронного пучка в плазме в режиме захвата.// Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2006, С. 82.

80. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // 16th International Conference on HighPower Particle Beams, Oxford, UK, 2006, Abstracts, P. 68.

81. I. V. Timofeev and К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // 11th International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta, Ukraine, 2006, Abstracts, P. 83.

82. I. V. Timofeev, К. V. Lotov. Relaxation of a relativistic electron beam in plasma in the trapping regime. // Вопросы атомной науки и техники, серия "Физика 2007, Т. 13, №1, С. 46-48.

83. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. Двумерная численная модель плазмы для изучения пучково-плазменного взаимодействия. // Тезисы докладов XXXV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2008, С. 137.

84. К. В. Лотов, А. В. Терехов, И. В. Тимофеев. О насыщении двухпотоко-вой неустойчивости электронного пучка в плазме. // Тезисы докладов XXXV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2008, С. 297.