Нелинейная гидродинамическая устойчивость в бесконечных областях и задачах с симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

рV Б оа

- 3 шоп 1995

На правах рукописи

Афендиков Андрей Леонидович

НЕЛИНЕЙНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ И ЗАДАЧАХ С СИММЕТРИЕЙ

01.01.03 - математическая физика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995 г.

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, академик В.П. Мясников

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Фурсиков

доктор физико-математических наук, профессор, В.И. Юдович

Ведущее предприятие: Институт Теплофизики СО РАН

Защита состоится "_"_1995 г. в_час. на заседании Диссертационного Совета Д 002.40.03 при Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН -по адресу: 125047 Москва, Миусская пл. 4, ИПМ им. М.В. Келдыша

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В. Келдыша

Автореферат разослан _1995 г.

Ученый секретарь n/fc

Диссертационного совета ^^

кандидат физико-математических наук

М.П. Галанин

общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория нелинейной гидродинамической ус-йчивости, являясь частью математической физики, предназначена я того, чтобы исходя из фундаментальных принципов гидродинами, определять критические значения параметров, разделяющих раз-чные режимы движений жидкости и давать различные характерней указанных движений. Если предполагать, что соответствующая чально-краевая задача адекватно описывает движение жидкости, то азанная проблема содержит задачу описания поведения всех реше-й в окрестности известного, обычно стационарного или периодиче-ого по времени решения. Под более общей "глобальной" задачей, лючающей в себя предыдущую "локальную", естественно понимать цачу об эволюции аттрактора задачи (при условии, что он корректно ределен) и изучению порожденной , на нем динамики. В настоящее емя "глобальная" задача многими связывается с проблемой возник-вения турбулентности. Задачи гидродинамической теории устойчи-сти включают в себя, в частности, изучение линейной устойчивости задачу о бифуркации на вторичные стационарные и периодические времени режимы.

Несколько условно развитие математической теории гидродинами-ской устойчивости можно разделить на несколько этапов. Первый ш, начатый в работах Копш, Стокса, Навье, Куэтта, Пуазейля, Вера, Тейлора, Релея и др. дал с одной стороны общепринятые магге-тические модели движений жидкости и с другой стороны позволил копить большое количество как экспериментальных, так и теоре-ческих результатов, правда, зачастую полученных на физическом овне строгости. Отметим также результаты Ж. Лере 30х годов, наг юго обогнавшие свое время.

Следующий этап, начавшийся в 60-е годы, связан с получением ма-матически строгих результатов в работах Хонфа, Серрина, Проди, •варда, Солонникова, Ладыженской, Джозефа, Сэлинджера, Юдо-ча, Финна, Хейвуда, Кирхгэсснера, Иосса, Бабенко и других. В этих ботах были доказаны некоторые теоремы существовония решений элюционных и краевых задач, было дано обоснование принципа ли-аризации, изучены инвариантные многообразия, построена теория солютной устойчивости н изучен ряд задач о бифуркации ствцио-

нарных решений (в том числе и при наличии симметрия). Некотор] аспекты этой работы подытожены в моишрафаях Д. Джозефа (197 и В.И. Юдовича (1984).

Однако, применение общих теорем теории гидродинамической устс чивости к изучению конкретных течений жидкости оказывается з t частую невозможным без применения ЭВМ, и одним из направлен! текущего этапа развития теории гидродинамической устойчивости св зан с широким использованием ЭВМ не только для проверки гипот< но и для строгого доказательства теорем. Стоит отметить, что даг основной стационарный режим, согласно энергетической теории усто чивости единственный при достаточно большой вязкости, во мной случаях может быть найден только численно. Ярким тому пример< являются такие важнейшие течения, как обтекание шара равномернь на бесконечности потоком или течение между вращающимися сфер ми. В этом смысле известные явные формулы для стационарных теч ний Куэтта, Пуазейля, Колмогорова и др. являются исключениями связаны с инвариантностью указанных задач относительно непреры ных групп симметрий. В последнее время развитие группового анали дифференциальных уравнений позволило дать классификацию инв риантных и частично инвариантных решений уравнений гидродивам ки (Овсянников, Ибрагимов, Пухначев, Бунчев, Бытев и др.). Оди ко и для течений, заданных явными формулами, наследование поте} устойчивости и, в частности, определения спектра линеаризован» задачи, выяснение кратности собственных значений и, наконец, опр деление критических значений параметров невозможно без использ вания ЭВМ. Таким образом, развитие общей теории нелинейной гидр динамической устойчивости должно происходить совместно с развит ем вычислительных алгоритмов, позволяющих проверить выполнен) тех либо иных теорем для конкретных задач.

Прикладные задачи теории гидродинамической устойчивости обы но зависят от параметров физического или геометрического характер При исследовании потери устойчивости и бифуркации в таких задач, в пространстве параметров возможно появление точек вырождения, которых те или иные функционалы, связанные с исследуемой зад чей, обращаются в нуль. Изучения бифуркации в окрестности таю точек имеет особое значение, поскольку, рассматривая параметры к.

дополнительные фазовые переменные и изучая окрестность точки вырождения в расширенном фазовом пространстве, можно получить рад принципиальных утверждений о поведении ответвляющихся решений в окрестности этой точки.

Имеется целый ряд задач математической физики и, в частности, гидродинамики, где рассматриваемая физическая система является гтоль протяженной, что неоднородные структуры (течения) обладают собственным характерным масштабом (напр. длиной волны), который много меньше размеров системы и практически не зависит от IX вариации. В таких ситуациях область течения естественно считать Ограниченной, чтобы исключить влияние удаленных границ. В силу !Нвариаитности уравнений движения вязкой жидкости относительно руппы Галилея, рассмотрение структур периодических по неограни-юнной координате приводит к появлению в задаче компактных групп :пмметрий, например, подгрупп группы 0(2) х 0(2) х Ж*, своим напишем обязаных инвариантности области течения относительно сдвигов [ли вращений и отражений. Хотя тот факт, что наличие групп симме-рий может приводить к увеличению кратности собственного значения 1ыл известеп давно, исследование ответвляющихся периодических по ремени режимов в этой ситуации долго оставалось открытой пробле-юй. Столь же актуальную задачу представляло и изучение бифур-ацин семейства решений, являющегося орбитой непрерывной группы имметрий. Примером такой задачи, соединяющей как аналитические, ак и вычислительные проблемы, является задача Куэтта-Тейлора.

Указанные симметрии реализуются, в частности, в задачах, где те-ение рассматривается в бесконечном цилиндре (} = €1 х Л1, где О -падкая одномерная или двумерная область.. Первоочередная задача этом случае состоит в описании поведения возмущений "макснмаль-о" симметричного решения, такого, как например, течение Куэпа ли Пуазейля, в окрестности порога неустойчивости. Классический одход к таким задачам состоит во введении условия периодичности периодом 2тг//3 вдоль неограниченной координаты г. В этом случае тектр линейной задачи об устойчивости становится дискретным и за-ета о бифуркации теоретически может быть сведена к конечномер-эй задаче применением теоремы о центральном многообразии. Этот адход является естественным в случае, если минимальное критиче-

ское число Рейнольдса Яо(Ау) отвечает волновому числу Д) ф 0. Если же Д) = 0, то идея изучения задачи при некотором фиксированном малом Д) ф 0, что было характерно для предшествующих работ, не представляется столь же плодотворной, и привела к появлению ряда ошибочных работ.

Если же отбросить условия пространственной периодичности, то линейный оператор обладает непрерывным спектром и неустойчивость проявляется на целом интервале волновых чисел. В этом случае предельную (редуцированную) задачу дает формализм Гинзбурга-Ландау, и для описания амплитуды и фазы течения предлагается использовать комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау. Однако обоснование этого формализма, с указанием оценок погрешности, в задачах гидродинамики пока остается открытой проблемой. 'Многомасштабный асимптотический метод Стюартса - Стюартсона - Хокинга, использованный ранее для анализа трехмерной задачи Пуазейля, оказался не вполне корректным. В связи с этим представляется ясной актуальность построения альтернативных подходов к изучению этой проблемы. Одной из возможных альтернатив является метод "пространственной динамики" активно развивающийся в последнее время. В этом методе, при некоторых ограничениях на зависимость решения от времени, неограниченная координата играет роль эволюционной переменной и рассматриваются все решения, близкие к исследуемому равномерно по этой координате.

Цель работы. Диссертация посвящена теоретическим и практическим вопросам теории устойчивости и бифуркации течений вязкой несжимаемой жидкости в многопараметрических задачах с симметрия-ми, в том числе и в неограниченных областях; изучению различных вариантов редукции указанных задач к конечномерным; обоснованию и распространению метода "пространственной динамики" на новый класс задач; построению вычислительных алгоритмов, позволяющих в конкретных задачах гидродинамики проверить выполнение условий соответствующих теорем.

Общая методика исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью различных вариантов редукции методами функционального анализа исходных бесконечномерных задач к более

ростым, как правило конечномерным, "предельным" задачам, с дальнейшим исследованием предельных задач методами конечномерного «линейного анализа. Для применения доказанных теорем к исследо-анию конкретных течений используется численная проверка выпол-[ения их условий.

Научная новизна.

- Изучена бифуркация рождения цикла в гидродинамических за-(ачах с некоторыми симметриями. Найдены критерии устойчивости ггоричных течений.

- Исследована потеря устойчивости и бифуркация течения Куэтта 1сжду вращающимися цилиндрами в случае,, когда порог устойчиво-:ти определяется пеосесимметричным возмущением и собственное зна-1ение является двукратным.

- В задаче о потере устойчивости вихрей Тейлора изучена спектральная задача об устойчивости и бифуркация с относительного рав-говесия (орбиты группы симметрий).

- В задаче о потере устойчивости плоского течения Пуазе йля между шраллельными пластинами с использованием многорараметричвского годхода изучена дополнительная бифуркация, связанная с переходом при изменении волнового числа) с докритической бифуркации на заг фитическую.

- Мультипараметрический подход позволил объяснить некоторые, парадоксальные результаты, полученные численно в задаче Пуазей-гся, дать оценку радиусов сходимости рядов Пуанкаре-Линштедта и позволил в ряде случаев установить причину расходимости указанных рядов.

- Численно и аналитически исследованы бифуркации течения Колмогорова и его обобщений. При некоторых значениях параметров обнаружена бифуркапдя рождения медленного цикла.

- Установлена ключевая для метода "пространственной динамики" формула для вычисления размерности пространственного центрального многообразия.

- Развит основанный на идеях "пространственной динамики" метод изучения потери устойчивости течений вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических областях ь случае, если критическое волновое число

А> = о.

- В трехмерной задаче о течении Пуазейля между параллельными стенками показана неадекватность теории Хокинга - Стюарта - Стю-артсона. Развитый метод позволил включить,в анализ задачи наличие расхода жидкости в трансверсальном направлении. Изучены длинноволновые в трансверсальном направлении и периодические по времени течения, близкие к течению Пуазейля и аналитически установлена ошибочность рада вычислений, посвященных данной задаче.

- Анализ предельных уравнений метода пространственной динамики позволил аналитически исследовать эффект воздействия на плоские задачи трехмерных возмущений с большой длиной волны в трансверсальном направлении. Доказано, что длиннопериодические стоячие волны в этом случае всегда неустойчивы.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят как теоретический так и прикладной характер. Большая часть теоретических результатов являются общими и могут быть применены для изучения образования структур не только в гидродинамике, но и в задачах физики и технологии. Разработанные численные алгоритмы обладают высокой эффективностью и позволяют решать спектральные и краевые задачи в широком диапазопе параметров.

Аппробацня работы. По материалам работы прочитаны пленарные лекции: на V конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики." 1983, Омск; на V, VII, VIII конференциях "Теоретические основы и конструирование алгоритмов математической физики." 1984 Казань, 1988 Кемерово, 1989 Москва (Красновидово); на V, VI, VIII Школах МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости." 1985.1988,1994; на I и II Всесоюзных школах "Динамические системы и турбулентность." 1985, 1988 Кацивели; на VI-om "Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике." 1986, на VIII - ISIMM симпозиуме "Trends in Applications of Mathematics to Mechanics." Austria, Hollabrune, August 13-18,1989; EBTG-конференции "Dynamics, bifurcations and symmetries. New trends and tools." Cargese, France, 1993; на IUTAM/ISIMM симпозиуме "Structure and Dynamics of Nonlinear Waves in Fluids." Hannover, Germany, 1994.

Результаты работы докладывались также: на II- IUTAM Симпози-

ме по ламинарно-турбулентному переходу. ("Symposium on Laminarturbulent Transition.") Новосибирск, 1984; па I конференции "Мате-ютическое моделирование, нелинейные проблемы и вычислительная штематика." 1988, Звенигород; на XIX -th Biennial symposium on Advanced problems and methods in fluid mechanics." Poland, Kosubnik, 989; на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи дифференци-льных уравнений и математической физики.", Тернополь, 1989; на Г-Всемирном конгрессе по вычислительной механике. ( " World Congress п Computational Mechanics.") Stuttgart, FRG, 1990; на IUTAM - симпо-иуме "Nonlinear hydrodynamic stability and transition." Sophia-Antipolis, tance, 1990; на ЕС-симпозиуме "Spatio-Temporal Evolution of Patterns n Nonlinear Mechanics. Instability and Chaos." Nice, France,1991; NATO-импозиуме "Spatio- Temporal Properties of Centrifugal Instabilities." Nice, ranee, 1993; ЕС-симпозиуме "Spatio-Temporal Evolution of Patterns in lonlinear Mechanics." Utrect, Netherlands, 1993.

Кроме того результаты работы докладывались на научных семина-ах в МГУ им. М.В. Ломоносова, ИМ МГУ, ИПМех АН СССР, ИГ им. 1.А. Лаврентьева СО АН СССР, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, в [нституте Нелинейных Проблем CNRS (Ницца, Франция), Универси-етах Гамбурга, Ганновера, Брно, Байройта, Ниццы, Утрехта, Штутгарта.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[25]. •бъем диссертации 238 стр. обработанных редакторской системой ЩjX.

Основное содержание работы

абота состоит из четырех глав и списка литературы. Глава 1 носит бщий характер. В первом параграфе кратко напоминаются, в удобной ля дальнейшего изложения форме, основные результаты о свойствах ачально-краевой задачи для системы Навье-Стокса (М.И. Вишик, J. eray, О.А. Ладыженская, R. Temam, В.А. Солонников, В.И. Юдович

др.) и вводятся, используемые в дальнейшем, обычные для мате-атической гидродинамики функциональные пространства. Во втором араграфе дано одно из возможных определений аттрактора начально-раевой задачи для системы Навье-Стокса в двумерном случае и при-

ведено доказательство конечности его метрического порядка. Обсу хдена также связь указанного результата с проблемой возникновение турбулентности. Необходимо отметить, что во всех работах по оцен кам размерности аттрактора присутствует существенный изъян, та! как аттрактор копируется элементами пространства Я (замыкания 1 ¿2 пространства гладких бездивергентных векторных полей исчезаю щих на границе), а не последовательностью из нулей и единиц, чтс происходит при численном моделировании. Не умаляя продуктивности такого подхода, заметим, «сто он полностью игнорирует пространственную структуру течений. Так, стационарное течение - это точка в фазовом пространстве, и, следовательно, требуется один бит информации, чтобы указать характер аттрактора. Аттрактор, являющийся стационарной точкой векторного поля на Ж1, и стационарное решение системы Навье-Стокса при таком подходе эквивалентны по сложности кодирования. Вместе с тем структура стационарных течений можст быть крайне сложна. Например, в задаче обтекания имеется след за телом, область больших градиентов - погранслой, имеет место экспоненциальное убывание вихря вне следа и области, примыкающей к следу и т.д. Отсюда возникает гипотеза, что информационная сложность множества функций, из которых состоит аттрактор (измеряемая опять-таки е - энтропией, но использующая кодирование функций в виде двоичных последовательностей), неизмеримо больше информационной сложности аттрактора, описанной выше, и поэтому в изучении проблемы перехода к турбулентности важнейшую роль должен играть адекватный учет пространственной структуры течения.

В следующих параграфах устанавливается ряд общих результатов, используемых в дальнейшем для изучения конкретных течений вязкой жидкости. Параграф §3 посвящен изучению бифуркации рождения цикла в некоторых ^задачах с симметрией. Известно, что симметрии уравнений Навье-Стокса могут привести к появлению кратного спектра в линеаризованной задаче и наличию непрерывной группы симметрии в редуцированной задаче. Возникающие здесь вопросы удобно рассмотреть на примере задачи Куэтта-Тейлора о течениях вязкой несжимаемой жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами. Область течения в этой задаче инвариантна относительно сдвигов вдоль оси цилиндров г, вращений в —► в + о и отражения г —* —г.

- и-

►граничимся рассмотрением периодических по г с периодом 2х/а те-еиий. Тогда группа симметрий задачи изоморфна 50(2) X 0(2), а эбст венные значепия спектральной задачи об устойчивости, отвечаю-(ие неосесимметричным возмущениям не мепее чем двукратны. Це-есообразно рассмотреть сначала конечномерный случай, имея в виду спользоваиие редукции на центральное многообразие. Описание неприводимых представлений группы 50(2) ж 0(2) может ьпь дано с использованием тензорных произведений групп 50(2) в '(2), а поскольку все вопросы о вещественных представлениях можно с эмощъю комплексификации сводить к комплексным, то удобней дать мсание в терминах комплексных представлений. Рассмотрим случай комплексной системы

Щ - 91(ц,щ,и2,Щ,Щ), ^,(/1,0,0,0,0) = 0,

№ д. - гладкие, а пара комплексно сопряженных уравнений опущена, редположим. что эта задача имеет группу симметрий заданную точ-лм неприводимым представлением группы 50(2) х 0(2). Вследствип (мметрия задачи система (1) переписываются в виде

{ и, = «1/(м,|иИМ«2|2). I Щ = «2/(/1, |и2|2, |«,|2), /(я, <Г.

[е

/(^,|«,|М«2|2) = (к^, + ^ + ви|«1|г + а12|ц2|2 + Л.о.<.).

задачах гидродинамической устойчивости обычно представляет ин-рес случай &г = ИеЬ > 0. Случай Ьг— 0 обычно связывают с неудачам выбором бифуркационного параметра, (см. глава 2, §3,4).

горем а 1.1 Пусть

6Г>0, Ивац ф 0, Ке(аи±а12)?4 0.

ои инвариантности задачи (1) относительно точного неприводимо-представления группы БО{2) X 0(2) от основного стационара от-твляются три типа периодических по времени решение.,Два типа гущих волн

I. и| ^(/Ое-0'"*, «2 = 0,

П. щ = 0, и2 = pi(n)e,(lit+B\ и семейство стоячих волн

где с точностью до членов более высокого порядка малости

9' = ^ = (anV «12)'

IW/i) = wo + Im/(,1, |p?(/i)|,0), n2(/i) = u>0 + Im/fo, IPIMI).

Теорема 1.2 При выполнении-условий теоремы 1.1 решения, ответвля ющиеся в докритическую область, неустойчивы. В том случае, если

Re(an — 012) > О,

то решения 1,П устойчивы, а Ш -неустойчивы; если же

Re (ац - 012) < О,

то решения I, П неустойчивы, а Ш устойчиво. Под устойчивостью подразумевается орбитальная устойчивость.

Эти результаты, полученные в 1982 г., использовались, развивались, уточнялись и переоткрывались впоследствии такими учеными, как G. Iooss, Р. Chossat, М. Golubitsky, I. Stewart, W. Langford, В. Юдович, М. Гольдштик, В. Штерн и др.

Параграф 4 посвящен использованию метода Ляпунова-Шмидта в многопараметрических задачах в вырожденных ситуациях. В теории гидродинамической устойчивости задача обычно зависит от нескольких параметров физического или геометрического характера. При исследовании задач о потере устойчивости и бифуркации, в пространстве параметров возможно наличие точек вырождения, в которых те или иные функционалы, связанные с исследуемой задачей, обращаются в нуль. Изучение бифуркации в окрестности таких точек имеет особое значение, поскольку, рассматривая параметры как дополнительные фазовые переменные и изучая окрестность точки вырождения в расширенном фазовом пространстве, можно получить ряд принципиальных утверждений о поведении ответвляющихся решений в окрестности этой точки.

Хрестоматийным примером такой задачи является течение Пуазей-ля в плоском канале. При изменении волнового числа а в этой задаче

[роисходит дополнительная бифуркация, связанная с переходом от до-:ритической бифуркации рождения цикла к закритической. Ещё В.И. Арнольд отмечал, что вычисления, необходимые для проведения этого ¡сследования, должны быть весьма сложны и громоздки. Эта задача, формулированная им в 1978 году, была решена только в работах [15], 22].

В настоящее время известно несколько различных подходов к изучению бифуркации рождения цикла. Один из них (метод Ляпунова-Имидта) был независимо применен к задаче возникновения автоколебаний в жидкости в 70~* годах в работах В. Юдовича, в. ¡оовв'а, Б. оверЬ'а и Б. БаШ^ег'а. Конструкции этих работ носят весьма общий :арактер и для уравнений Навье-С'токса, где нелинейность квадратич-[ая, могут быть уточнены и приспособлены для изучения вырожден-юй бнфуркашга рождения цикла.

Рассмотрим эволюционное уравнение с квадратичной нелинейно-ггью

~ + Щ^и + еА^и + Вя(и, и) — 0, цеЯР,£<=Я1, (3)

де Аоу А,, - линейные, а В^и, и) билинейный ограниченный операторы [ействующие из б в Я, где С а II вещественные гильбертовы простран-:тва ибС Н. Для большей обозримости формул опустим зависимость >т ц в обозначениях операторов Ам, ВИменно к такому виду во многих случаях может быть сведена начально-краевая задача для систе-.ш Навье-Стокса. Предполагая, что при е = 0 спектральная задача об остойчивости

ХХ-ЬПоАоХ = 0. (4)

1меет простое собственное значение с максимальной вещественной ча-ггью А = гсо, со Ф 0 с отвечающим ему собственным вектором х> счи-гаем выполненными обычные условия, необходимые для применения летода Ляпунова-Шмидта; так что 2 ж/с-периодическое по времени ре-нение задачи (3) может быть записано в виде

u = v + "fRelpo, {ь,ф)= 0, 7еЖ+,

да < = стуо = V1 = е^д, а в - собственная функция сопряженной >адачи. Величины могут быть разложены в ряды по степеням

7. Положив для большей симметричности формул vo = Re v?o> дш определения разложений

f = £ С - СО = Е w„7n; е = Е £„7° (5]

п=0 п=1 п=1

имеем последовательность задач

Lkwnk = Fnk, n = 0,l,...;* = 0,l,--',n + l, (6)

где Lt = t ксо + -Йо^о, которые разрешимы при к ф 1 в силу исходных предположений, а условие разрешимости при к = 1

. (Fnь Ф) = 0, (a(t), b{t)) = /o2'(a(t), Щ) Л

может быть удовлетворено за счет выбора констант {u>j, Sj}. При этом

п+1 ,

v„ = Re u>„, w„ = E e'"wnl,

t=о

а

{J Пт1 11-1 n-i 1

5 E (fit + + E en-jAwjk + £ %jun4Wjk},

^ J=0 j=0 i=o J

где

min(j+l,l) 1шп(п+1,п—j)

= E B(wjhwn4-i,t-f), = E B(wjt,wn4^,),

l=aux(OMj~n) 1=0

а при к ф О

\ . min(j+l,n-j+t) min(j+l,n-i-j)

gii = E B{wjt,w„^it,-k)+ E B(®ji,wn_j_i,,-fc). «=t «=0

При n = 2 условие разрешимости дает известное соотношение

«W2 + £чВ + i(S°(«?0) <"12) + 2B°(wq, W\Q), фа) = 0, (7)

где B°(u,w) = B(u,w) +Б(и,и).

Если построен численный алгоритм, позволяющий определить 0*2,^2» то этот же алгоритм может быть без принципиальных изменений использован для рекуррентного определения любого конечного отрезка {<jjj,ej}"=2- Применение подготовительной теоремы Вёйерштрасса к

фавиению е = snln дает возможность исследования сколь угодно шрожденной бифуркации Хопфа. Границу применимости указанного «етода в конкретных гидродинамических задачах устанавливает точ-юсть численного решения спектральной и краевых задач (4), (б). При-<енение указанного подхода к иследованию вырожденных бифуркаций I задачах Колмогорова и Куэтта-Пуазейля позволило обнаружить вы-юждения высокой коразмерности.

Во второй главе рассматривается неустойчивость некоторых шхос-:их течений вязкой несжимаемой жидкости. Главной темой главы гвляются периодические по времени решения, являющиеся частью ат-рактора начально-краевой задачи для системы Навье-Стокса. В зада-te о переходе к турбулентности важно иметь надежную информацию тносителъно минимальных компонент аттрактора Л, и, в частности, ериодических по времени решений. Эти решения анализировались ряде работ, упомянем только Zahn и др. 1974, Бабенко и др. 1978, [erbert 1983, Dhanak 1983, а также Андрейчиков, Юдович 1972 и Chen, oseph 1973, где для представления периодических решений вблизи ейтральной кривой использовались разложения в ряды по малому араметру . Однако некоторые важные задачи оставались нерешенны-

1и.

Течению Пуазейля соответствует функция тока Ф» = у—у3/3. После амены г = рассматриваются возмущения течения Пуазейля:

'огда iß(t, z, у) удовлетворяет уравнению

(8)

начальным и краевым условиями

О)

ip(t, z, у) = I/»(*, г + я", у) = ifr{t + 2ж/ш, г, у),

^1<=о = Фо(г,у).

(10)

toió......2ó.bó......jó.bb......4Ó.Í»......5Ó.bo......éábo

Рис. 1. Нейтральная кривая для 2D течения Пуазейля

Численное исследование спектральной задачи об устойчивости течения Пуазейля даёт нейтральную кривую А, разделяющую плоскость параметров (11,(3) на две части (рис. 1).

В части I спектр находится в левой комплексной полуплоскости, в части П некоторое число точек спектра находится в правой полуплоскости. Если (fío, а) € А, то спектральая задача об устойчивости имеет чисто мнимое собственное значение Ао(Ло, а) = — гшо, а/о > О

Обозначаем т — uit и будем искать в области ÍÍ = {0 < х < 2тг, |у| < 1} 2я--периодические по t решения задачи (8) с граничным условием

(9).

Обозначим с = Rlj/0 - fíowo/A e — R — fío, h — 0 — а и возьмем ф(т, z, у) = и(т, z, y)+R.e(7e'(w)x(?/)), 7 > 0, где ы(г, z, у) ортогонально ядру сопряженной задачи. Значения с, у, е, h связаны уравнением

7/(c,7V,fc) = 0.

Можно получить несколько младших членов разложения /(с, 7, е, Л) в ряд

00

О = Дс,72,€,/0 = -iac+B^+Bih+Z Ui(fío,a)72(j+1'-|-O(e,h,c). (11)

3=О

1.20

Т

В частности В\ = —ЩЕ + г'асо, Вг — -В$Н - г'со-/?о, со = щ/а, где

Е = ^^«НМ^-^Х-^Х.О, = |г-а2, я = = -тЬ + - и"х] + - С)

где С - собственная функция сопряженной задачи Орра-Зоммерфельда

<Н)_2а2С" + «Ч= 1

-гаЯо[17(С" - а2С) + 2[/'('] + - а2<), \ (12)

С|»=±1 = 5у1»=±1 = ]

Собственные функции нормируются условиями, х(0) = 16 (х" -а2Х» С) = 1- Взяв вещественную и мнимую части левой части уравнения /(с,72,е, А) = 0 получаем выражения для якобианов

/2(ЛЬ,а) = аЛ'.х = -RoReH,

1е=еа*т'=к=0

значения которых зависят от выбора точки на нейтральной кривой.

Численные результаты показывают, что значение ReH = 0 достигается в единственной точке ТДЯг^г) — (5772.22,1.02056), отвечающей минимальному по а значению числа Рейнольдса. Значение ReÊ = 0, как показывают наши вычисления, достигается в точке Ti(i?i,cri), где (Ru ai) S (8591.4245,1.097322). Предположим, что ReE(Ro,a) ф 0, тогда по теореме о неявной функции из (11) следует, что

00

6 = а(у\ h)=£ Ok(h) 72t, оо(0) = 0, (13)

к=а

c=btf,h) = f;bk(h)72k (и)

*=о

Коэффициенты at{h), bt(h) - вещественно-аналитические функции в окрестности 0:

а*(Л)=|>*уА'', bk(h) = £ ЬфК

j=0 j=0

7

В задачах с одним параметром а*(Л), Ь*(Л) - константы и случаем общего положения будет аг ф 0. Тогда после очевидной замены переменны* к (13) может быть применена теорема о неявной функции и

В задаче с двумя параметрами имеется нейтральная кривая, на ко торой могут быть вырождения = 0. Наши вычисления по-

казывают, что в плоской задаче Пуазейля такая точка только одна -Т3{Яз,с*3), (Дз,«з) = (6842.197,0.90667). Для выяснения зависимости решений от параметров (Л,/3) около точки Тз применена подготовительная теорема Вейерштрасса. Для достаточно малых (, 1г полученс уравнение бифуркации в нормальной форме

#о(е, Л) + Н\(е, Л)Т2 + а201* = 0, (16;

где

Яо(е,Л) = (-е + во1Ь) + "-, =

Нх{е, К) = -(-€ -(- а01Ь)— + аиЬ + • • •, «20

Многоточия обозначают элементы следующего порядка малости. Отметим, что уравнение Но{е,Н) = 0 задает нейтральную кривую I окрестности точки (0,0).

Чтобы отделить в окрестности точки (0,0) области с различным числом решений задачи (16), используем сохраняющую ориентацию невырожденную замену переменных

Н0(е,Н) = -еь Н\(е,Н) = «1—+ аце2-

£»20

Обозначим £)(б1,б2) = + ацег)2 + 4агоег. Кратные положительны« корни находятся на кривой £>(61,62) = 0, и, следовательно, локальш кривая особенностей задается уравнением

€1 = -¿Ч + яЫ 9Ы = С>(е1). (17;

Если обозначить через Т множество точек (€1,62) удовлетворяющие условию 2?(с1,€2) > 05 то имеем следующее утверждение:

Теорема 1.3 Существует окрестность нуля V в Vi„ и окрестность нуля в Ue С Ш2 такие, что если ■. \ ■< > > ■ , , ,. »■.,,,

О20 < 0,Оц < 0,

то в области S} = {ei < 0} П Ut имеется единственый положительный корень в V и в области S^ = {(fi, € Т : еi > 0, < 0} П Ue имеется два положительных корня. В области Ue\(S\ U Sj) вообще нет положительных корней.

Для течения Пуазейля ап = -0.8110 и а2о = -0.862 • Ю-6, поэтому h < 0. Уравнение (17) переписывается в виде с = p(h), где

p(h)=alnh-{^£ + a(nh2 + ..., (18)

4а2о

где «о = 17921.6062, и задаёт кривую, на которой уравнение (13) имеет двукратный корень у(е, h). До кривой (18) задача (8) и (9) имеет два малых 2я-/и;-периодических по t решения и за этой кривой малых решений нет вообще. Существование этой кривой - тонкий результат, который был пропущен во всех численных исследованиях. Если мы обозначаем уравнение нейтральной кривой около точки 7з через с = v(h), то

p{h) - u{h) = Ah2 + 0(h3),

где A = —^ = 1.90755 • 105. Тот факт, что эта константа велика, не должен вызывать удивление потому что поскольку принять во внимание специальный выбор координат на рис. 1.

Обратим внимание, что и для h > 0 уравнение линии особенностей функции у(е, h) определяется тем же выражением е = p(h), что и для h < 0. Различие состоит в том, что эти особенности соответствуют комплексным значениям числа Рейнольдса е 6 (Г. Для достаточно малого h > 0 ряд (15) становится расходящимся, когда е < v{h)—p{h). Так что уравнение кривой, на который ряд (15) становится расходящимся, при h > 0 имеет вид е = 2i>(h) — p(h). Фактически решение существуют и за этой кривой, (обозначенной на рис. 2 штриховой линией), но этот результатом не может быть получен только из анализа коэффициентов ряда (15) (см. таблицу 4 главы 2).

Подчеркнем полученный принципиальный факт: вычисление большого числа членов ряда (15) может позволить численно оценить радиус сходимости рядов, но не может дать ответ на принципиальный

Рис. 2. Линия особенностей в окрестности 2j.

вопрос о характере особенности, приводящей к расходимости. Особенность может соответствовать комплексным числам Рейнольдса, а быстрый рост коэффициентов означает неудачный выбор представления аналитических функций ip(R, t, z, у), ш(Л).

Глава 3 посвящена изучению задачи Куэтта-Тейлора. Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости между коаксиальными цилиндрами радиусов г\ и г 2, вращающимися с угловыми скоростями cji и соответственно. Введем безразмерные параметры - число Россби ц = u>i/ui2 и относительный зазор 6 = (г 2 — r\)/ri. Этими геометрическими параметрами и определяется характер эволюции течения при увеличении числа Рейнольдса R = \u)i\cß/Av , где d — Srx , а v - кинематическая вязкость жидкости. Введем цилиндрическую систему координат, направив ось z по общей оси цилиндров. В качестве единиц длины для г и z возьмем г\ и df 2 соответственно. Положим r/n = s = l+ ¿(¡г 4-1)/2, где х £ [—1,1] . Тогда в цилиндрической системе координат нестационарная система Навье-Стокса запишется в виде

' dv . < , _ п

(19)

divt; = 0,

— + B{v, v) - IT1 Cv + gradp = 0,

(71

где

В(и,н)= -

'д.-*.

4в*

Ощ 6 диг диг 6

дщ 6 дщ дид 6

диг 6 диг диг Чг-тт- + 7ГЩ-тхг + Ц

дх ' 2з б2 д

09

О

б2 д

2з2д9 4«2 О

О

дг

йга<1 р =

ду

др \

дх 6 др

2здв др дх )

А-— —— — —— ~ дх2 + №дв2 + дг2 + 2здх'

а уравнение неразрывности имеет вид

дпг ,6_ ё_дщ дуг _ п дх +2зМг + 2з дв + дг

На стенках цилиндров предполагается выполненным условие прилипания

гг = у.= 0, г^ = i — 1,2.

Исходя из общих принципов механики, задача должна быть инвариантна относительно некоторой подгруппы группы Галилея. В задаче Куэтта-Тейлора область течения инвариантна относительно сдвигов вдоль осп г, вращений в —► в + я и отражений г —* —г. Ограничимся рассмотрением периодических по г с периодом 2т:/а течений. Тогда группа симметрии задачи изоморфна БО{2) х 0(2).

Как известно, основное стационарное решение системы - течение Куэтта имеет вид

УНх) 8

V = (О, V,, О У, Ув = £з + М/з, Р = /_* ^^ ах,

1 =

6(2 + 6) '

м =

(!-»)(! +б)2 6(2 + 6)

В рассматриваемом классе решений задача об устойчивости течения Куэтта приводит к спектральной задаче

/ XV + - £« + ^аАр = О,

\ <1^ = 0, ^

®и+*. =0, v(x,в,z) = v(x,в + 2w,z) = v(x,в,z + 2тc/a), (21)

где С(и) =■ В(У, V) + В(и, V). Поскольку коэффициенты системы (20) зависят только от х, то собственные функции в невырожденном случае имеют вид

| V = и(х)(, р = д(х)(,

где £ = ехрг(1в + аг). Введем операторы:

С, ,„(«)_= СС&и), £,,а«(х) 6,,а(и) = С^гЛ (<д(х)), V,;au( а:) = <сИу ((„),

тогда вместо спектральной задачи (20) получаем серию зависящих от / и а спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов

/А u + RC|ta(u)-C|tau + g,¡aq = 0,

1 Ъ*» = о. { '

с Краевым условием

= . (23)

Уже на примере изучения таких задач гидродинамики, как задача Куэтта-Тейлора, задача о плоском течении Пуазейля и т.д. становится ясным, что на основные вопросы линейной теории гидродинамической устойчивости ответить без привлечения численных методов не удается. Только расчеты позволяют найти критические значения параметров, определить кратность спектра и охарактеризовать действие группы симметрий исходной задачи на центральном многообразии.

Как следует из общей теории, задача (22), (23) имеет дискретный спектр, который при достаточно малом числе Рейнольдса лежит в левой комплексной полуплоскости, а при его увеличении для некоторого Л, = П., (а, 1,ц,6) пара собственных значений А = ±ги>о (возможен и случай А = 0) попадает на мнимую ось и при дальнейшем увеличении

числа Рейнольдса переходит (с ненулевой скоростью) в правую полуплоскость. Отсюда следует, что при фиксированных (/, а, ц, 6) критическое число потери устойчивости определяется выражением

Pq(1, а, pi, 6) = min R,(na, I, ц, 6).

Вырожденным является случай, когда min достигается сразу для двух значений п.

Критическое число Рейнольдса, которое должно наблюдаться в эксперименте с достаточно протяженными цилиндрами, определяется выражением:

Щи, = nun min Щ1, а, ц, 6)

Несмотря на то, что при исследовании течений между вращающимися цилиндрами приходится сталкиваться с большим числом спектральных и краевых задач, их дискретизация проводится единым образом. Все численные алгоритмы решения спектральной и линейных краевых задач основаны на следующем приближенном представлении функций. Если ф(1,х,аг) 1ж)а - периодическая функция по переменной z, то по этой переменной она представляется в виде частной "прямоугольной" суммы Фурье. Если по переменной х на функцию ф не наложены граничные условия, то она представляется в виде интерполяционного многочлена с узлами в нулях Xj — cos(^p)jr, j = 1,2, • ■ •, п многочлена Чебышева первого рода Тп(х). Так что <fr(t, xj, az) аппроксимируется выражением

Рп(х, ф)=± XJ, az), lnj(x) = . (24)

i=i (х ~ xj)ThVxi)

в котором, в свою очередь, ф{Ь,х^,аг) заменяется тригонометрическим

многочленом от az с коэффициентами, зависящими от t. Если же

функция <j>(t, х, az) удовлетворяет граничным условиям ¿>(i, xj, а2)|г=±1 =

О, то она аппроксимируется выражением

" (1 - х2)

Qn(x, ф)= J2 qnj(x№(t, xh az), qnj(x) = lnj(xy _ (25)

1^ Xj)

с последующей заменой 0(t, Xj, az) тригонометрическим многочленом

m

Sm{z^{i,Xj,az)- Y, exp(ikaz№(t,ij), (26)

j=-m

Для решения спектральной задачи об устойчивости компоненты "скорости" аппроксимируем многочленом (25), а "давление" многочленом вида (24). Эти многочлены подставляются в уравнение (22), причем все дифференцирования производятся аналитически. Погрешность аппроксимации отбрасывается, а в качестве узлов коллокации берутся xj,j = l,2,...,m.

В результате дискретизации получается конечномерная задача, которая преобразуется к классической алгебраической задаче на собственные значения. Эффективность полученного алгоритма проверяется как тестовыми расчетами так и сравнением с экспериментами.

Предположение, при котором изучается неосесимметричная бифуркация и которое для фиксированных параметров задачи может быть проверенно численно, состоит в том, что а и R — На таковы, что инвариантное подпространство спектральной задачи об устойчивости, соответствующее собственному значению А = О (комплексно) одномерно.

Предположим, что для фиксированных (//, 6) выбрано минимальное значение ас, отвечающее при R = R? осесимметричной потере устойчивости. Расчеты, проведенные (2, 5] в дают в плоскости параметров {р, 6) кривую а), разделяющую области докритической и закритиче-ской бифуркации на вторичное стационарное течение - вихри Тейлора. На рисунке 3 в плоскости параметров (р, 6) также изображены кривые, определяемые условиями

nunRc(a, 0, /1, 6) = minima, l, ¡i, 6) (27)

для l = 1,2; они обозначены bot, Ьог соответственно.

Тем самым имеется область параметров, обозначенная на рис. 3 римской I, где наиболее опасны осесимметричные возмущения, а вторичное течение ("вихри Тейлора") ответвляется в докритическую область (и следовательно неустойчиво). Тем самым эксперименты в области параметров I должны дать жесткое возбуждение вторичного течения.

Здесь уместно отметить, что min в левой и правой частях (27) достигаются при различных значениях а. Тоже самое справедливо для кривых Ь12, Ь\з, £>23 и т.д., которые не нанесены на рис. 3. Тем самым в плоскости параметров (р, 6) имеется счетное множество кривых, ( две из которых приведены на рис. 3), на которых в принципе нельзя ограничиться рассмотрением периодических вдоль оси z течений. .

Рис. 3. Критические кривые в плоскости (//, ё).

Параграф 3 посвящен бифуркации течения Куэтта на периодические по времени течения. Предположим, что при Я = До происходит потеря устойчивости, так что при (Л < По) все собственные значения задачи (20), (21) лежат в полуплоскости ЛеЛ < 0, а при Л = До имеется пара двукратных собственных значений Л = ±»со, 0, которое при Я > До переходит в правую полуплоскость. Если редуцировать эту задачу на центральное многообразие, то получается конечномерная задача, разобранная в §3 главы 1 и остается вычислить коэффициенты уравнений разветвления. Не останавливаясь на деталях, отметим, что кроме метода редукции на центральное многообразие можно воспользоваться несколькими другими эквивалентными подходами. Например, методами Ляпунова-Шмидта или Пуанкаре-Липштедта. Ш приводя громоздких формул и вычислительных алгоритмов, сформулируем основные утверждения.

Теорема 1.4 В случае неосесимметричной бифуркации течения Куэтта уравнения разветвления метода Линштедта-Пуанкаре имеют

вид

f + ou|7i|2 + «i2M2) = 0,

\ 1г(%С1 + ab + ai2|7i|2 + an|72|2) = 0, 1 '

где b = (Cei,xi)7 a Qjk определяются через решения линейных краевых задач. Пусть Re6'< 0, ац ф аю, Неа» ф 0, Re(an + а«) ф 0 тогда возникают три случая.

I- 71 Ф 0,72 = 0; »сг + о^ + ац^рггО,

Я. 71 =0,72 #0; »С2 + стЬ + ац|72|2 = 0,

Ш. 7i =/у2 = 7^0; tcî + ab + (ац + аи)|7|2 = 0.

Разрешимость уравнений I, III исследуется в каждом конкретном случае и для этого необходимо вычислить Ь, оц, oi2.

Заметим, что вид уравнений I. — III. можно получить и непосредственно.

Легко понять, что случай I получается, если искать периодические решения задачи в виде бегущих волн

u = u(ct + W + az,x),q = q(ct + W + az,x), (29)

случай П получается из первого заменой а на —а и, наконец, случай Ш получается, если искать периодические решения в виде

u = u(ct + W,az,x),q = q(ct + I6,az,x), (30)

причем иГ,щ - четные функции, а и, - нечетная функция от z.

Тем самым с вычислительной точки зрения задача сводится к классическому случаю бифуркации при наличии простого собственного значения, поскольку, принимая тот либо иной вид решения, мы тем самым обеспечиваем простоту собственного значения на данном классе функций.

В заключение отметим, что для решения (29) производные по $ от функций u,q удовлетворяют линеаризованному уравнению. Из решения вида (30) всевозможными сдвигами но z можно получить множество U, решений. Для решений из этого множества производные по г и по в от u, q являются собственными функциями спектральной задачи об устойчивости. Поэтому очевидно, что устойчивости по Ляпунову для этих решений быть не может. Критерий устойчивости ответвляющихся решений может быть установлен непосредственно с помощью

теории возмущений, аналогично тому, как это сделано в классических работах для случая простого собственного значения.

Теорема 1.5 В случае выполнения условий теоремы 1.4 решения, ответвляющиеся докритически, неустойчивы. В закритическом случае, если Не(ац — «12) < 0, то решения вида (29) асимптотически орбитально устойчивы, а решения вида (30) - неустойчивы; если Не (ац — аи) > 0, то наоборот, решения (29) неустойчивы, а решения ■из иг, (¿г орбитально устойчивы. Условия устойчивости в случае II те же, что и в случае I.

Для нахождения коэффициентов уравнений разветвления используется дискретизация, описанная в §1.

Обращает на себя внимание большое разнообразие в характере бифуркаций течения Куэтта. Наличие докритической бифуркации в окрестности минимума критических кривых говорит о возможности возникновения турбулентного режима и без наличия последовательных бифуркаций удвоения периода или бифуркаций на квазипериодические режимы, что подтверждается и экспериментами; при некоторых наборах параметров турбулентность возникает "ударом". Поскольку это происходит при небольших числах Рейнольдса, то есть надежда численно исследовать имеющиеся в этой ситуации притягивающие множества в фазовом пространстве.

Параграфы 4,5,6 посвящены численному построению, исследованию потери устойчивости и бифуркации вихрей Тейлора. В параграфе 2 показано, как можно исследовать бифуркацию течения Куэтта на вторичный стационарный режим - вихри Тейлора. Еще раз отметим, что метод Ляпунова-Шмидта (так же как метод Пуанкаре-Линштедта или метод редукции на центральное многообразие) дает информацию о поведении решений только в малой окрестности исследуемого решения. В то же время из экспериментов известно, что при увеличении числа Рейнольдса вихри Тейлора могут терять устойчивость вдали от нейтральной кривой, причем им на смену приходит волнообразное течение, периодическое по времени. Исходя из этого, в работе [2] был предложен численный алгоритм построения вихрей Тейлора. Фактически предложен алгоритм численного решения задачи Коши для системы Навье-Стокса в области между коаксиальными вращающимися

цилиндрами. Решение разыскивается в классе осесимметричных течений, и методом установления в широком диапазоне чисел Рейнольдса получены вихри Тейлора при нескольких различных значениях определяющих параметров ц,6.

Построенные численно вихри Тейлора задаются векто])-функцией, которая имеет вид W = V(x) + R~lu(x, z, R), где ит и щ чегные функции от г, a uz - нечетная. В таком случае спектральная задача об устойчивости вихрей Тейлора имеет вид

( \w + B(W,w) + B(w,W) + gradp = R~lCw, '

\ diva. = 0, (dl}

w-'l^ií-0» w(x,6,z) = w(x,e + 2x,z) = w(x,etz + 2ir/ct). (32)

Учитывая четность компонент u(x,z,R), нетрудно увидеть, что собственные функции задачи (31) необходимо искать в двух классах: wT, wg четные функции от z, a wt - нечетная, и в классе вектор-функций с противоположными четностями компонент.

Будем называть функцию / G И - псевдочетной, если она, принадлежит первому классу и псевдонечетной, если второму.

Обозначим подпространство псевдочетных функций Я+ и псевдочетных Н~. Тогда Я разлагается в прямую сумму Я = Я" ф Я+.

При изучении потери устойчивости и бифуркации вихрей Тейлора приходится столкнуться с бифуркацией с относительного равновесия. В самом деле, вихри Тейлора W(x, z,B), построенные в §3, принадлежат семейству TaW(x, z,R), где r0£(-, z) = t¡(-,z + a). Действие инфини-тизимального оператора ^ (генератора) группы сдвигов на окружности на raW(x, z, R) в точке а = 0 дает собственный вектор Со — ^Г задачи (31) принадлежащий собственному значению А = О при всех числах Рейнольдса. Поэтому непосредственное применение метода Ляпунова-Шмидта оказывается невозможным.

Для анализа бифуркации семейства raW(x,z,R) в работе [3] был сделан ряд предположений, опирающихся на расчеты, проведенные для конкретных значений параметров (р, 6).

Предположение 1.

А = 0 - простое собственное значение задачи (31) на всем интервале устойчивости вихрей Тейлора.

Предположение 2.

Вихри Тейлора теряют устойчивость при Я = Я, причем А(Д,) = ±1Ыо,и>о ф 0 - простые собственные значения.

Позднее в. ¡оовэ и М. Кгира и др. предложили общий абстрактный подход к изучению бифуркации с относительного равновесия. В частности, С. 1оо.чв перечислил все теоретически возможные бифуркационные картины в задаче о вихрях Тейлора. Однако никаких вычислений этими авторами не проводилось, и вопрос, реализуется ли хоть одна из возможностей, кроме исследованной в диссертации, остаётся открытым.

При выполнении предположений 1, 2 задача допускает ограничение на некоторое подпространство, где выполнены условия классической теоремы о бифуркации рождения цикла.

Как уже отмечалось, в спектре устойчивости вихрей Тейлора всегда имеется собственное значение А = 0. Из предположения 1 следует, что существует собственная функция х*(х, 2) сопряженной задачи, отвечающая А = 0 и такая, что х') = 1 • Отсюда в силу псев-донечетностн х(х, г) и ортогональности разложения На = Н+ © Н~, Х'(х, г) - псевдонечетная вектор-функция, так как в противном случае (х(х, г), г)) = 0, что противоречит простоте собственного значения А = 0. Индекс а означает, что по направлению г наложено условие периодичности.

Будем строить 27Г-периодическое по t решение, ответвляющееся от стационарного решения IV(х, г, Л), с помощью разложений Линштедта-Пуанкаре. В задаче о течениях между вращающимися цилиндрами в зависимости от определяющих параметров в принципе могут реализо-вываться различные бифуркационные картины, поэтому рассмотрим для определенности случай /1 = 0, 6 = 0.14. Для этих параметров есть экспериментальные материалы, с которыми интересно сравнить расчеты. Расчеты показывают (см. §3, §4), что Я„ ~ 4.1708284, <*„. ~ 1.565 - критические значения параметров. То есть при а„ ~ 1.565 критическое число Рейнольдса Щ(а) наименьшее. Критическое число Рей-нольдса потери устойчивости вихрей Тейлора в этом случае оказывается Я, = 4.53353 при 1 = 1. Причем, оказывается, что при этом vr и V$ нечетные функции от г, а пг - четная. Если при этих же значениях параметров искать собственную функцию в классе вектор-функций с противоположной четностью, то собственное значение с максимальной

вещесхвенной частью оказывается Л — —0.29994 — «0.47735.

D соответствия с расчетами будем считать вихря Тейлора заданными в виде W(x, г, R) - V, + R~lU(x, г, Я), где Wr(x, г, R) и W,{x, г, R) -четные, a г, R) - нечетная функция от г.

По предположению 2 каждому собственному значению задачи (31) соответствует или псевдочетная или псевдонечетная собственная функция, т.к. в противном случае, собственное значение является не менее, чем двукратным. Аналогичное утверждение, очевидно, справедливо и для сопряженной задачи. ^

В пространстве L2([0,2тг},Я0) рассмотрим подпространство Я„ функций / таких, что в разложении

+00

/ = йе £ /„е""

»=-00

fik е #+ ® <Г, a fu+i € Н~ ®<£ ( Я* ® <Г - комплексификация пространств Я*).

Если ограничиться решениями из соответствующих подпространств, то решение можно строить с помощью классических конструкций. Если Со € Я*, то решение ищем в ¿з([0,2т], Я+), а если (о € Я~, то в £,(№ 2)rJ, Йт) .

Будем разыскивать 2зг - периодические решения задачи

ite^ + RCi(R)u - £u + grad? + B(u,и) = 0, ^

divu = 0.

где Ct(R)u = B(W, и) + В(и, W). Пусть R = Я* + t?e3, д = ±1, a R, - то значение числа Рейнольдса, при котором вихря Тейлора теряют устойчивость и спектральная задача (31) имеет пару чисто мнимых собственных значений Л = и = cqR,. Пусть Q собственный вектор задачи, сопряженной (31), отвечающий собственному значению — two, такой, что (Со. (о) = 1-Положим

п=0 п=0

йс = Я.с0 + £е"с„, п=0

и подставим эти выражения в (33). Как обычно, при п = 2 получаем уравнение разветвления

гшз + вВ+ IhlWZo, Фп) + 2В°(Со, Фи>), <S) = О, (34)

где В = —может быть найдено из решения линейной задачи ( см. §4 главы 1). Итак, для решения уравнения разветвления необходимо найти ViOi 012 я вычислить скалярное произведение. Дня разрешимости (34) необходимо, чтобы Reß ф -0 и Re(.ö0(<f0,t/>i2) + 2В°((0, V'io), Со) Ф 0 Суммируя вышесказанное, можно сформулировать теорему.

Теорема 1.6 Пусть вихри Тейлора теряют устойчивость при R = Rпричем А = ±tw - простые собственные значения. Тогда при условии разрешимости уравнения (34) из вихрей Тейлора рождается множество периодических решений, такое, что для каждой пары решений из этого множества существует сдвиг та, переводящий одно решение в другое. Если запретить сдвиги по z то, как обычно, докри-тическая бифуркация приводит к неустойчивому, а закритическая к орбитально устойчивому решению.

Для определения грю, ifti? можно взять дискретизацию, предложенную в §1 и с минимальными переделками воспользоваться численными алгоритмами, описанными в §4, §5.

Наличие современных экспериментов, прослеживающих переходы в течениях между вращающимися коаксиальными цилиндрами вплоть до возникновения турбулентности, делает понятным интерес к случаю ц = 0,6 = 0.14. Критические значения а и числа Рейнольдса, найденные в §§2-5., как и направление бифуркации совпадает с высокой точностью с результатами экспериментов.

Имеется целый ряд задач гидродинамики, где область течения является столь протяженной, что неоднородные течения обладают собственным характерным масштабом (напр. длиной волны), который много меньше размеров области. В таких ситуациях область течения естественно считать неограниченной, чтобы исключить влияние удаленных границ. Примером такой задачи являются течения в бесконечном цилиндре Q = П х Ш.1, где П - ограниченное сечение размерности один или два. Неограниченная осевая координата обозначена

г. Такой задаче посвящена глава 4. Общая проблема состоит в том, чтобы описывать поведение возмущений "максимально" симметричного течения вблизи порога неустойчивости. В классическом подходе к задаче предполагается пространственная периодичность по неограниченной координате с периодом 27г//3. Тогда спектр линейной задачи об устойчивости дискретен и описание локального поведения возмущений сводится к ОДУ с помощью теоремы о центральном многообразии. Этот подход естественен в случае, когда минимальное критическое чи-ло число Рейнольдса Дд (/3) соответствует Д) ф 0. Если же /?о = 0, то идея фиксирования малого /3, для получения адекватного описания течений.в протяженных областях, не кажется очень плодотворной.

Если предположение о пространственной периодичности опущено, то линейный оператор имеет непрерывный спектр, и неустойчивость появляется в целой полосе длин волн. Для этом случае формализм многомасштабных разложений производит редуцированную проблему: так называемое уравнение Гинзбурга-Ландау, которое описывает амплитуду и фазы возмущений.

В диссертации используется подход, который допускает произвольную зависимость возмущений от г. Однако, приходится ограничиться стационарными или периодическими по времени решениями. В этом случае время играет роль компактной трансверсальной переменной, а неограниченная осевая переменим х принимает роль эволюционной переменной, приводя к изучению так называемой пространственной динамики. Начало математического изучения пространственной динамики нелинейных задач связано, по-видимому, с работой К. Кш&заввпег'а 1982, где, вне связи с гидродинамикой, было замечено, что пространственное центральное многообразие может быть введено так, что оно содержит все малые возмущения.

В главе 4 изложены следующие основные результаты. Сначала излагается общий результат об отношении классического линейного подхода к задаче об устойчивости и теории пространственной динамики. Получен один из ключевых для теории пространственной динамики результатов о спектральных свойствах линейного пространственного оператора.

Рассмотрим классическую линейную задачу щ — дг)и и связанную с ней спектральную задачу Ли = вг)и. Из-за трансляционной

инваряантности достаточно разыскивать решения в форме «(г) = что приводит к задаче Ам = Линейная пространственная за-

дача имеет вид = С^д,ги = С^ю+Е^и), где обычно и» = (ы, ¡£«)г и Ед(Ы = (0,9(«)г. При принятии периодичности по времени с периодом 2п/ш, пространственный оператор = С^о + имеет собственное значение ¿/3 тогда и только тогда, когда Ь(р,ф) имеет собственное значение ги. Вопрос, оставшийся открытым, следующий : какова кратность собственного значение {¡) оператора С^ ? Наиболее интересен случай, когда ш - простое собственное значение оператора £(«/3) ; тогда для всех к « /3 имеется простое собственное значение А (к) оператора Ь(ц,{к), такое, что А (к) гладко зависит от к и А(/3) = ги. Утверждается, что алгебраическая кратность геометрически простого собственного значения ф оператора Сим есть <1 тогда и только тогда, когда А(£) = ы + е0<1(* - ¡ЗУ + С7(|Д- - /3|<'+1) с ем ф 0. Поскольку А (к) обычно вычисляется, чтобы получать нейтральную кривую, то <1 может быть найдено при определении нейтральной кривой. Конечно, определенные симметрии будут влиять на величину <1.

Во-вторых, с точки зрения теории пространственной динамики исследована трёхмерная задача о течении Пуазейля между параллельными стенками. Течение Пуазейля рассматривается в области (} = 2Г?х(— 1,1)хЕ1 с пространственными переменными (х,у, г). При у = ±1 скорость течения нулевая. По оси х (по направлению вдоль течения) принимается условие периодичности с периодом 2к/а.

Эта задача обладает группой симметрий 50(2) х 0(2), если предписать пространственную периодичность по г и ограничиться течениями с нулевым поперечным расходом. Таким образом, задача окажется аналогичной классической задаче Куэтта-Тейлора (неосесимметрич-ный случай), который был исследован в главе ЯГ, где найдены два вида периодических решений, которые в этой задаче обычно называют бегущими и стоячими волнами. Тем самым и в 30 задаче о течении Пуазейля существуют те же самые решения.

Двумерная задача Пуазейля (течение не зависит от 2 и г - компонента скорости отсутствует) подробно рассмотрена в главе 2, §2. Там показано, что на нейтральной кривой в плоскости (Л, а) имеется точка Т% — (Дз,аз), такая, что возникающее при бифуркация Хопфа 2я/а-периодические по х решения, докритические для а > аз и закритиче-

ские для а < «з. Из теоремы Сквайра известно, что наиболее опасные возмущения для линейной неустойчивости в задаче о течении Пуазей-ля двумерны. Однако этот результат должен использоваться с осторожностью. Если а фиксировано заранее, то это утверждение неверно. На нейтральной кривой 20 задачи найдена точка Т4 = (И4, од), такая, что при а < 04 наиболее опасные режимы трехмерны и являются периодическими по 2 с периодом 2ж//3, где ¡3 = /3(а) > 0. Следовательно, нейтральная кривая трехмернной задачи совпадает с 2Б нейтральной кривой только для а > <24, но находится левее для а < <24, (см. Рис. 1.) Таким образом, анализ возмущений с большой длиной волны физически мотивирован только для а > ¿24. Для меньших а наиболее опасные возмущения имеют меньшую по оси г длину волны.

В диссертации доказывается, что для задачи о течении Пуазейля, существует пространственное центральное многообразие. Таким образом, можно классифицировать все возмущения базисного течения Пуазейля, являющиеся периодическими по времени и периодическими по ж с периодом 2тг/а, но могут иметь произвольную зависимость от г; иредполатаегся лишь равномерная близость к основному течению.

В частности, можно охарактеризовать и все решения, имеющие малый расход поперек основного потока. Например, найдено трёхпара-метрическое семейство бегущих волн, параметризованных расходом жидкости вдоль течения и поперек течения и длиной волны /3 а принято фиксированным.) Только двухпараметрическое подсемейство этих бегущих волн может быть получено вращениями двумерных бегущих волн.

Фактически, все течения, ответвляющиеся от базисного в критической точке, являются бегущими волнами, направленными вдоль течения, то есть они являются 27г-периодическими по переменной а(ж — <Л), а не от г и < независимо. Все эти возмущения удовлетворяют ОДУ на центральном многообразии, которое является уравнением второго порядка для комплексной функции от г. В общем случае, вычисление коэффициентов мономов самого низкого порядка - тяжёлая задача, которая может быть выполнена только численно.

В диссертации показано, как знание коэффициентов уравнения разветвления классического метода редукции Ляпунова-Шмидта или "классического" центрального многообразия позволяет получить необходи-

мую информацию об ОДУ на "пространственном центральном многообразии". Для рассматриваемой здесь задачи можно найти соответствующие коэффициенты из результатов, полученных в главе П для чисто двумерного случая. Для получения редуцированных ОДУ не нужно производить дополнительных вычислений. В качестве приложения проанализировано поведение решений, которые дополнительно являются бегущими волнами в направлении оси г с периодом 2тг//3. Также анализируется класс z - периодических решений симметричных относительно отражений (стоячие волны). Для этого в пространстве 2тг//}-периодичесхих решений к пространственному ОДУ применяется метод редукции Ляпунова-Шмидта. В результате получено, что для достаточно малых /3 бегущие и стоячие волны всегда ответвляются в одном и том же направлении (за- или докритическом), что показывает ошибочность некоторых вычислительных работ (Т. Bridges 1989). Это особенно интересно, поскольку теория бифуркации рождения цикла в присутствии SO(2) х 0(2) симметрии даёт, что эти бегущие или стоячие волны могут быть устойчивы, только если оба ответвляются закритически. В третьих, в абстрактной форме обсуждается устойчивость периодических по времени и пространству решений с большим пространственным периодом, ответвляюшихся от "полностью симметричных" базисных решений в задачах, которые инвариантны относительно сдвига ра : z —* z + а и отражения. Этот результат общий и не привязан к гидродинамике. При условии пространственный периодичности но z с периодом 27г//3, группа симметрии задачи есть 0(2) и чисто мнимые собственные значения линеаризованной задачи в случае общего положения двукратны. Как следствие имеются два типа ответвляюшихся решений: стоячие и бегущие волны. Условия устойчивости для эти:« решений, полученные в главе 3, обычно могут быть проверены только численно. Аналитически исследован случай, когда ft мало. Идеи "пространственной динамики" использованы, чтобы показать, что стоячие волны с большим периодом неустойчивы, как решения ОДУ на классическом центральном многообразии.

References

[1] К.И. Бабенко, А.Л. Афендиков, С.П. Юрьев [1982]: О би-

фуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае двукратного собственного значения. ДАН СССР, 1982 т. 266, № 1, 73-78.

[2] А.Л. афендиков, К.И. Бавбнко [1982]: О вихрях Тейлора. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 3.

[3] а.Л. афендиков [1983]: Ветвление при наличии группы симметрии и бифуркация вихрей Тейлора. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 61.

[4] А.Л. Афендиков, К.И. Бабенко [1984]: 06 устойчивости вихрей Тейлора. ДАН СССР, 1984 т. 278, № 4, стр. 828-833.

[5] а.л. афендиков, К.И. Бабенко [1985]: Устойчивость течения Куэтта ири различных числах Россби. дан СССР, 1985 т. 281, № 3, стр. 548-551.

[6] афендиков а.Л. [1986]: Бифуркация рождения цикла в некоторых задачах с симметрией. - Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша ан СССР, N 96,1986.

[7] А.Л. Афендиков, К.И. Бабенко [1986]: Бифуркации при наличии грушш симмегрий и потеря устойчивости некоторых шюс-ких течений вязкой жидкости. ДАН СССР, 1986 т. 288, № 4, стр. 783-788.

[8] А. Афендиков, К. Бабенко, В. Варин [1987]: О потере устойчивости и бифуркации некоторых плоских течений вязкой жидкости. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987, № 76.

[9] А.Л. Афендиков, К.И. Бабенко [1987]: О возяикновеиии турбулентности в течениях вязкой несжимаемой жидкости. - Механика и научно-технический прогресс. М. Наука. 1987, с. 49-65.

[10] А.Л. Афендиков, К.И. Бабенко [1988]: Бифуркации рождения цикла в некоторых задачах с симметрией. ДАН СССР, 1988 т. 300, № 1, стр. 14-22.

[11] АФЕНДИКОВ А.Л. [1988]: Несколько замечаний о потере, устойчивости течений вязкой несжимаемой жидкости. - Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N 44, 1988.

[12] А. афендиков, в. варин [1989]: Об одной задаче а.Н. Колмогорова. сб. Динамические системы и турбулентность, АН УССР, 1989, Киев.

[13] А. Л. афендиков, К.И. Еабенко [1989]: О-математическом моделировании турбулентности п течениях вязкой несжимаемой жидкости. Мат. Моделирование, 1989 т. 1, № 8, стр. 45-74.

[14] а. афендиков, в. варин [1990]: Исследование автоколебательных режимов, близких к течению Пуазейля в плоском канале. ДАН СССР, 1990, т. 313, № 6, стр. 1407-1412.

[15] А. Афендиков, В. Варин [1991]: О потере устойчивости и би-фурхадии автоколебательных режимов, близких к течению Пуазейля. Известия АН СССР, МЖГ, № 2, 1991, стр. 41-48.

[16] а. афендиков, В. Варин'[1994]: Вырожденная бифуркация рождения цикла в многопараметрических задачах гидродинамики. - Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 93, 1994.

[17] BabenKO K.I., Afendikov A.L. [1985]: On incompressible viscous fluid flow between rotating cylinders. Laminar-turbulent transition. II- IUTAM Symposium ed.V. Kozlov Springer-Verlag, 1985, p. 645 -652.

[18] Afendikov A.L. [1989] Bifurcations in some hydrodynamical problems in the presence of the symmetry group. 7 th Czechoslovak Conference on differential equations and applications. Enlarged abstracts. Czechoslovakia. Praha. 1989, p. 111-113.

[19] Afendikov A.L. [1990]: Numerical and asymptotic investigations of temporary periodic motions of incompressible viscous fluid flows, p. 99 -102.

Enlarged . abstracts.

П- World Congress on Computational Mechanics. Stuttgart. FRG. August 27-31 1990

[20] afendikov a.l., Varin V.P. [1991]: Bifurcations of some viscous fluid flow and transition to turbuleiice. Europ. J. Mtch., B/Fluids, v. 10, n.2 - Suppl., p. 13-18, 1991

[21] Afendikov A. [1991]: Bifurcation of slow cycle in some hydrodynamical problems, in Trends in Applications of Mathematics to Mechanics, ed. W. Schneider, H. TVoger, F. Ziegler. pp. 56-61, 1991. Longman. New-York

[22] A.L. Afendikov, V.P. Varin [1991]: An analysis of periodic flows in the vicinity of the plane Poiseuille flow. Europ. J. Mtch. B/Fluids 10 (6), 577-603.

[23] A. Afendikov, A. Mielke [1994] A spatial center manifold approach to a hydrodynamical problem with 0(2) symmetry, in Dynamics, Bifurcation and Symmetry, ed. P. Chossat. NATO ASI series C. Vol. 437, Kluver Academic Publishers, 1994, pp. 1-10.

[24] A. Afendikov, A. Mielke [1995]: Bifurcation of Poiseuille flow between parallel plates: three-dimensional solutions with large "fcpanwise wavelength. Arch. Rat. Mech. Anal, v 129, pp. 101-127, 1995.

[25] A. Afendikov, A. Mielke [1995]: Stability of the standing waves with the large wavelength in problems with 0(2) symmetry. In "Proceedings of the ISIMM/IUTAM Symposium on Structure and dynamics of nonlinear waves in fluids, Hannover Aug. 1994." World Scientific Publ. Co., i995.



российская академия наук институт прикладной математики ИМеНИ М.В. келдыша

Афендиков Андрей Леонидович

НЕЛИНЕЙНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ И ЗАДАЧАХ С СИММЕТРИЕЙ

01.01.03 - математршеская физика.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995 г.

f

/

Оглавление

Глава i

Некоторые математические методы

гидродинамической теории устойчивости

I

§1. Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса и основные функциональные пространства.

$

§2. Аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

§3. Бифуркация рождения цикла в некоторых задачах с симметри-

§3. Метод Ляпунова-Шмидта в многопараметрических задачах.

§3а. Применения метода Ляпунова-Шмидта для изучения возникновения автоколебаний в жидкости.

§ЗЬ. Алгоритм построения рядов Ляпунова-Шмидта. §3с. Вырожденные бифуркации в задачах Колмогорова и Куэтта-Пуазейля.

Глава ii

Неустойчивость некоторых плоских течений

вязкой несжимаемой жидкости

§1. Введение.

§2. Постановка задачи о потере устойчивости и бифуркации плоского течения Пуазейля.

§3. Разложение автоколебательных решений в ряды по малому параметру.

§4. Бифуркация течения Пуазейля в окрестности точки вырождения.

ей.

I

- 3 -

§5. Численное решение спектральной и краевых задач. §6. Потеря устойчивости и бифуркация течения Колмогорова. Постановка задачи.

§7. Линейная задача об устойчивости.

§8. Бифуркация обобщенного течения Колмогорова.

9

Глава iii

Задача Куэтта-Тейлора §1. Спектральная задача об устойчивости течения Куэтта и ее дискретизация.

§2. О стационарной бифуркации течения Куэтта. §3. О бифуркации течения Куэтта на периодическое по времени течение.

§4. О вихрях Тейлора.

§5. Исследование устойчивости вихрей Тейлора. §6. О бифуркации вихрей Тейлора.

Глава iv

Пространственная динамика

течений вязкой несжимаемой жидкости. §1. Введение.

§2. Линейный пространственный оператор и его свойства. §3. Задача об устойчивости 3-D течения Пуазейля. §4. Редукция нелинейной задачи. §4а. Обсуждение.

1. Сравнение с амплитудным уравнением Дэви-

Стюартсона-Хокинга.

2. Бегущие и стоячие волны с нулевым расходом.

3. Бегущие волны с ненулевым расходом.

§5. Неустойчивость стоячих волн с большим пространственным периодом в задачах с 0(2) симметрией. §5а. Постановка задачи. ' §5Ь. Пространственная динамика.

Глава 1

Некоторые математические методы гидродинамической теории устойчивости

1.1 Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса и основные функциональные пространства.

Имеется целый ряд задач математической физики и, в частности, гидродинамики, где рассматриваемая физическая система является столь протяженной, что неоднородные структуры (течения) обладают собственным характерным масштабом (напр. длинной волны), который много меньше размеров системы и практически не зависит от их вариации. В таких ситуациях область (течения) естественно считать неограниченной, чтобы исключить влияние удаленных границ. Поэтому многие гидродинамические задачи могут рассматриваться в подходящих координатах в области Q Е IR3 Q = Q х Мт с т = 1 или т = 2 неограниченными координатами, где Q ограниченное гладкое поперечное сечение размерности 1 или 2.

Одной из основных задач нелинейной теории гидродинамической устойчивости является описание структур около порога неустойчивости основного, максимально однородного течения. Эта, как её ино-

гда называют, слабо нелинейная теория является первым шагом в изучении процесса усложнения течений и перехода к турбулентности.

Классический подход к задаче состоит во введении условий периодичности по всем неограниченным направлениям и изучении задачи в фундаментальной области. Не претендуя на оригинальность, вве-

9

дем основные функциональные пространства и напомним ключевые факты из теории разрешимости начально-краевых задач для системы Навье-Стокса

С . 1 . .

— + (и ■ V)u + gradp = -Ли + /,

divv = О,

в области Q с граничным и начальным условиями

U\t=0 = u0i u\dQx[0,T] — (I-1-2)

Предположим теперь, что Q - цилиндрическая область Q = Q х 1R1, в которой существует стационарное и Не зависящее от z рещение V, Р уравнений Навье-Стокса. Область Q предполагается гладкой и ограниченной, а 2 направлено вдоль неограниченной координаты. Обезразмерив задачу, получим уравнения для возмущений основного течения

dv 1

di = rau ~ gradp "(у'"(и'v)y " '(i i з)

div v = О, с граничным условием:

ЩдПхИ = & (1-1-4)

Общий групповой анализ уравнений Навье-Стокса данный в [Овсянников [1978]] позволяет найти полную группу симметрий зада-

чи (1.1.1), (1.1.2), однако в дальнейшем будет существенно использоваться только инвариантность относительно группы Галилея. Инвариантность задачи относительно сдвигов и твердотельных вращений делает обычным появление в редуцированных конечномерных задачах инвариантности относительно подгрупп группы 0(2) х 0(2) х при условии, что по всем неограниченным направлениям введено

9

условие периодичности.

Наличие непрерывной группы симметрий оказывается особенно существенным при изучении редуцированной задачи на центральном многообразии.

Покажем теперь, как при наличии условия периодичности по всем неограниченным направлениям, начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса может быть сведена к эволюционному уравнению в некотором подходящем функциональном пространстве. Приведенные ниже результаты о разрешимости в целом не новы, однако условие периодичности требует некоторых уточнений в стандартных определениях и конструкциях. Стандартным источником для ссылок в этой области являются [Ладыженская [1972]], [Вишик, Фурсиков [1980]], [Темам [1981]], [Юдович [1984]].

Предположим для определенности т = 1 и будем рассматривать течения в фундаментальной области Qa = О х [0,27г/«]. Обозначим L^Qa) замыкание в метрике Li{Qa) множества непрерывных 2ж/а периодических по z функций. Положим

H(Qa) = [L%(Qa)f : divv = 0, (v ■ n) [о,2тг/с] = 0} ,

V{Qa) = {u e [Я1^)]3 : divv = 0, (v • n)|anx[0,2,r/or] = 0} ,

со скалярными произведениями индуцированными из [L^Qa)]3 и [Н1((^а)]3 соответственно. Пространство H(Qa) является ортого-

нальным дополнением пространства всех grad</>, ф £ Hl(Qa), где Н1 обычное обозначение соболевского пространства функций интегрируемых вместе с их первыми производными с квадратом. На пространстве [Lf^)]3 вводится ортогональный проектор Р на H(Qa) . Именно этот проектор позволяет исключить из задачи давление и

учесть условие divv =.0. В сущности указанная декомпозиция бази-

t

руется на справедливом для гладких функций тождестве Грина

/ (gradp • v)dx + / p(V • v)dx = / p(v • n)da,

JQa ' JQc, ' JdQx[0,2v/a]FK ' '

где n-внешняя нормаль к dfl х [0, 2к/а]. Практически, в частности, и при построении численных алгоритмов, проекция P(v), v 6 Hk(Qa)]'i строится

следующим образом [Ладыженская [1970]], [Юдович [1984]]; вектор v записывается в виде

v = и + gradp,

где v е Hk(Qa)Y и удовлетворяет divu = 0, (v • п)|сЮх[о,2тг/а] = 0. Поскольку и = Pv, получаем задачу для р

| Ар = divv eHk-\Qa), ^ =(fn)|№xWe] 6Я1%). (1Л,5)

I дп\дПх[0,2к/а] 1 1 ' ' 1

Тем самым р определяется с точностью до аддитивной постоянной из задачи Неймана.

Отметим, что данная декомпозиция предполагает наличие условия периодичности на давление. Тем самым для описания течений с ненулевым расходом через поперечное сечение канала

Q = L(v • n)ds

необходимо ввести в рассмотрение либо течения с условием периодичности не для давления, а для gradp, либо рассматривать течения, происходящие под действием (ненулевой) постоянной силы F = (/ь/2,/з)'- Этот вопрос будет подробнее рассмотрен в главе 2 на примере задачи о плоском течении Пуазейля. Построенная ортогональная проекция позволяет ввести (неограниченные) линейный Lp и квадратичный B^(v^v) операторы,

L^v = P(iA-.gradp-(V-V)v-(vV)V),-

<

где вектор представляет параметры задачи, и записать начально-краевую задачу для системы уравнений Навье-Стокса в виде dv

— = L^v + B^v^v), U|i=0 = v0eDa. (1.1.6)

Здесь через Da обозначена область определения оператора L^

Da = D{L= H(Qa) : и £ [H2(Qa)]\ umx[0^/a] = 0}. Известны следующие факты [Iooss [1984]], [Хенри [1985]]:

Утверждение 1.1 Оператор L^ обладает компактной резольвентой и его спектр расположен в секторе, симметричном относительно вещественной (отрицательной) полуоси; т.е. оператор Ьц ~ секториальный.

Утверждение 1.2 Оператор Ьц является генератором голоморфной, компактной полугруппы в H(Qa). Полугруппа exp(L^) анали-тична по t в некотором секторе, симметричном относительно положительной полуоси с углом полураствора не зависящем от ц.

Утверждение 1.3 Квадратичный оператор Вц(у,у) действует непрерывно из Da в Ка = (Е H(Qa) : v Е [ff^Qo,)]}.

Если ограничиться плоскими и трехмерными течениями, то по теореме Соболева вложения H2(Qa) в C°(Qa) и Hl(Qa) в L^(Qa) непрерывны. Поэтому для гладкого основного течения и фиксированного числа Рейнольдса выполняется неравенство

lB,(v,v)lKa<C(Qa)HDa.

Локальная теорема существования гласит [Ладыженская [1970]], [Вишик, Фурсиков [1980]],[Темам [1981]], [Юдович [1984]]:

Теорема 1.1 а) Для VT > 0, 3<5 такое, что для ||г>о||£>а < <5 задача (1.1.4) имеет на отрезке [0,Т] единственное решение, непрерывное по t в Da и дифференцируемое в H(Qa).

b) Для Vi> Е Da,3T > 0, такое, что решение v(t) существует и единственно на [0,Т].

c) Решение u(t,fiiVо) зависит от t,/,i,vо аналитически. Тем самым на Da определен полупоток Ft(vо) = v(t).

Устойчивость базисного потока, соответствующего решению v — 0 задачи (1.1.6) определяется расположением собственных значений линейного оператора LВ соответствии с принципом линеаризации [Юдович [1965а]], [Юдович [1984]] решение устойчиво в На, если все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть и неустойчиво, если имеется хотя бы одно собственное значение с Л > 0. Очевидно, что если сг, и собственное значение и собственный вектор задачи

сг и — L^u,

то существует q такая, что grad q Е [.^(Qa)]3 и

а и = —Аи — gradp — (V • V)u — (и • V)V — (it ■ V)u,

R (1.1.7)

div v = 0,

и £ [H2(Qa)]3, с граничным условием:

■

I !

= (1.1.8)

I I

Это замечание показывает, что йереход от одной формы записи задачи к другой трудностей не вызывает и в разных ситуациях оказы-

|

вается удобным применять разные языки (см. глава 3, §6).

«

Рассмотрим случай, когда значение (векторного) параметра близко к критическому fj,Q = 0, лежащему на нейтральной поверхности R = R(a,---). Для — 0 собственные значения с максимальной вещественной частью удовлетворяют условию

Recrj(fj,0) = 0.

Обозначим Qn0 коммутирующий с Lц проектор на инвариантное пространство отвечающее критическому спектру. Тогда благодаря свойствам аналитической полугруппы exp L^t и свойствам нелинейных членов, можно получить следующее утверждение:

Теорема 1.2 (о центральном многообразии.)

Для Vs > 0 существует окрестность нуля (0, 0) I х О С JRq х Da в которой задано отображение Ф класса С3 такое, что его график у = х) задает локально инвариантное и локально притягивающее многообразие Мц в Da т.е.

1) Мо касается Q^0Da в начале координат,

2) Мц локально инвариантно относительно полупотока Ft^,

3)Мц является локально притягивающим; т.е. если начальные данные таковы, что решение Ft^vo Е G,\ft > 0; то dist (Ft^vо, Мр) — 0 при t —> со.

Из этой теоремы следует, что локальная рекуррентность в окрестности точки потери устойчивости определяется конечномерным уравнением на'центральном многообразии

^ = XeQo(O) (1.1.9)

Историю появления теоремы о ! центральном многообразии и об-

9

суждение различных методов доказательства можно найти в [Vanderbauwhede, Iooss [1992]]. В случае, если исходная задача обладает группой симметрий, то центральное многообразие можно выбрать симметричным и задача (1.1.9) будет обладать некоторой индуцированной группой симметрий [Ruelle [1973]].

1.2 Аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

В 70 — 80е годы появился ряд работ объясняющих, что начально- ^ краевая задача для уравнений" Нав^е-Стокса, рассматриваемая на больших временах, является в некотором смысле конечномерной [Ладыженская [1972]], [Foias, Temam [1979]].

В сущности, речь идет об очень простых свойствах полупотока, порожденного в двумерном случае начально-краевой задачей для уравнений Навье-Стокса. Ниже, следуя [Афендиков, Бабенко [1987]], [Афендиков, Бабенко [1989]], показано, что, если не гнаться за предельными оценками, то конечность емкости (или метрического порядка), а значит и хаусдорфовой размерности, устанавливается крайне просто. Обсуждаются также принципиальные недостатки этой красивой математической теории с точки зрения гидродинамики.

Возвратимся к исследованию Полу потока Ft в двумерном случае для течений в ограниченных областях. У течений в каналах, даже если ограничится рассмотрением периодических вдоль оси канала течений, имеется некоторая специфика и ниже (см. глава 2, §1), на примере течения Пуазейля в плоском канале, этот вопрос будет

затронут. Известно, что задача (1.1.1),(1.1.2) имеет решение для лю-

«

бы£ начальных данных щ Е Н j- слабое решение Хопфа. Однако, если правая часть и границы области - гладкие, то и решение и(х, t) будет гладким при t > 0. Известны следующие классические неравенства (см.[Ладыженская.[1970]], [Ладыженская [1972]]):

К, < МОЬе-*1" + % = 1/Д, (1.2.1)

v л\

\

где | • |2 - норма в L2, a Ai - минимальное собственное значение расширения оператора —РА в H(Qa) до самосопряженного. В этом неравенстве отчетливо проявляется диссипативный характер уравнений Навье-Стокса. Через || • || обозначим норму в У; при t £ [е, сю] имеет место неравенство

IK.0II <С£(|/|2,^), (1.2.2)

где Ce(\f\2,v) ~ константа, зависящая только от |/|2, v. Поскольку пространство V вложено в Н компактно, то полутраектория -{и Е Н : и = u(x,t),0 < t < сю} будет устойчива по Лагранжу, т.е. множество её предельных точек будет компактным. Обозначим через ujUo - предельное множество точки щ. Это множество можно получить, взяв предельные точки всевозможных последовательностей {u(x,tj)}, tj | сю, где u(x,t) - полутраектория, начинающаяся в щ. Оно замкнуто, инвариантно относительно полупотока Ft ив

силу (1.2.1) лежит внутри шара

Sf = {и £ Н : \и\2 < l/b/i/Ai}. (1.2.3)

Важным свойством функции u(x,t) является её аналитичность по t в области {t : £ < Ret < 00, \lmt\ < <5}, причем <5 при фиксированном £ зависит только от v. Естественно, u(x,t) рассматривается как

*

аналитическая функция от t со значениями в Н. Если u(x,tj) —»■ й при j -и- со, то в области Dm = {t : — М < Re t < М, |Im<| < к последовательности {и(х, t + tj)}JLN, где N достаточно велико, можно применить теорему Монтеля о нормальных семействах, поскольку из оценки (1.2.1) следует равномерная ограниченность семейства -

\и(х, t + tj)\2 < с,

причем норма берется в комплексификации пространства Н. Поэтому можно считать, переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, что limj_,oo и(х, t + tj) существует в Dm и является, в силу соответствующих теорем единственности [Ладыженская [1,970]], [Ладыженская [1972]], частью траектории потока Ft, проходящей через й. В силу произвольности М множество соио будет состоять из объединений полных траекторий.

Таким образом, начально-краевая задача (1.1.1), (1.1.2) на сиио корректна также в сторону отрицательных значений t, траектория неограниченно продолжима на (—оо,0) и является аналитической функцией в полосе {t : \lmt\ < <5}.

Пусть Т = {и Е V : и = «(•, t), —со < t < схэ} - траектория потока Ft, лежащая в множестве ojq. Замыкание траектории, очевидно, состоит из целых траекторий. Если Тп = {и G V : и = u(-,t), — п < t < п} и множество Т = [jnTn замкнуто, то его топологическая раз-

« i

мерность <1. В самом деле, топологическая размерность множества и поэтому по Tn,dimTn < 1 v поэтому но классической теореме

[ Гуревич, Волмен [1948]] dimX к 1. Итак, множество cjUo состоит

!

из набора множеств - целых траекторий потока Ft. Рассмотрим множество

А= U

иен

где черта сверху обозначает замыкание. Ясно, что множество А С 5/ i/L Л С V, т.е. А - компакт в Н, состоящий из полных траекторий потока Ft. Назовем его аттрактором полупотока Ft. При рассмотрении конкретных задач о течениях вязкой жидкости мы чаще всего интересуемся либо стационарными течениями, либо эволюцией течения на достаточно большом временном промежутке. Более того, отыскивая численно стационарное течение, часто используют метод установления, при котором стационарное течение отыскивается как предел нестационарных течений при неограниченном увеличении времени. Как разъяснено выше, решение начально-краевой задачи (1.1.1), (1.1.2) неизбежно стремится к аттрактору А, и поэтому он является тем объектом, который нужно изучать, в частности, pi в теории возникновения турбулентности. Точка зрения, что изучение динамических свойств потока Ft на аттракторе и является задачей теории турбулентности, по-видимому, впервые была четко высказана в [Ладыженская [1972]]. Отметим, что определение аттрактора, данное в [Ладыженская [1972]], отличается от вышеприведенного.

Целесообразно рассматривать минршальные подмножества аттрактора Л, т.е. непустые, замкнутые, инвариантные множества, не имеющие истинных подмножеств, обладающих этими тремя свойствами. Пусть Aq - минимальное подмножество (такие на А обяза-

тельно имеются). По теореме Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова на Aq можно построить вероятностную меру /i, инвариантную относи-тельно потока Ft.

Измеримое подможество А С р4о называется fi - инвариантным, если ц((А \ Ft(A)) U(Ft{A) \ А)) =\ 0 для всех t.

Определение. Динамическая Система н�