Нелинейные динамические явления в длинном джозефсоновском переходе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Яшкевич Екатерина Александровна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДЛИННОМ ДЖОЗЕФСОНОВСКОМ ПЕРЕХОДЕ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2006

Работа выполнена на кафедре общей физики ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Югай Климентий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Овчинников Сергей Геннадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Боярский Леонид Александрович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Уральский государственный университет имени А.М. Горького»

Защита состоится 14 декабря 2006 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета К212.179.02 при ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского» по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан 92006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.179.02, кандидат физико-математических наук, доцент

Г.А. Вершинин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одним из самых ярких и важных явлений в физике сверхпроводимости являются эффекты Джо-зефсона, которые значительно расширили круг задач прикладной сверхпроводимости. Системы с джозефсоновскими переходами могут работать в качестве детекторов СВЧ излучений, сверхслабых магнитных полей, фемтовольтметров и т.д. На сегодняшний день активно разрабатываются джозефсоновские структуры в качестве элементов памяти и логики электронных вычислительных устройств, в которых информация передается и хранится в виде квантов магнитного потока (флуксонов). Флуксоны удивительно устойчивы, их можно хранить, перемещать в нужном направлении и приводить во взаимодействие с электронными приборами, благодаря чему флуксон может служить битом в электронных системах обработки информации.

Детальное изучение динамики джозефсоновских вихрей (флуксонов) является важной задачей для понимания движения магнитного потока и связанных с ним явлений, возникающих в сверхпроводниках. В связи с этим, электромагнитные свойства длинного джозефсонов-ского перехода (ДЦП) являются предметом интенсивных исследований последних десятилетий.

ДЦП являются ярким примером нелинейных систем, при помощи которых можно изучать динамический хаос. Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Одно из возможных приложений хаоса состоит в использовании генерируемых динамическими системами хаотических сигналов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сигнала открываются новые возможности кодирования информации, которая становится труднодоступной для перехвата.

Флуксоны в ДЦП могут совершать хаотическое движение. Компьютерные вычисления, выполненные Боегепвеп [1] и подтвержденные в дальнейшем работами УеЬ [2] и РНайеПа [3], доказали наличие динамического хаоса в ДДП в отсутствии случайной внешней силы. Иными словами, причиной нерегулярности и непредсказуемости явля-

ется собственная динамика системы, а не влияние шумов и внешних возмущающих факторов, что является крайне нежелательным, т.к. динамический хаос может являться источником шума и ограничивать тем самым чувствительность электронных устройств.

Цель работы заключалась в исследовании методами численного моделирования нелинейных явлений, возникающих в ДДП.

Согласно с этим были поставлены следующие задачи:

1. Определение параметрических областей нестационарных состояний. Построение бифуркационной кривой, ограничивающую область в параметрической плоскости ток смещения — внешнее магнитное поле (/}-Но), внутри которой реализуются нестационарные (регулярные и хаотические) состояния ДДП.

2. Исследование нестационарных состояний с точки зрения динамического хаоса.

3. Определение области динамического хаоса в пространстве параметров (¡-Н0 для переходов различной длины.

4. Детальное исследование влияния начального возмущения на асимптотические состояния ДДП.

Научная новизна.

1. Впервые численно найдены области существования стационарных и нестационарных состояний для джозефсоновских переходов различной длины в пространстве параметров ток смещения — внешнее магнитное поле. *

2. Впервые показано, что области существования стационарных и нестационарных состояний при определенных значениях Но и р перекрываются, образуя области сосуществования стационарных и нестационарных состояний. Внутри областей сосуществования одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДДП, что является особенностью нелинейных систем.

3. Впервые при помощи численного интегрирования найдены параметрические области, в которых может существовать динамический хаос.

4. Впервые исследовано влияние внезапных возмущений на эволюцию ДДП, в частности показано, что на выбор системой конкретного асимптотического состояния влияет начальное возмущение, даже в случае, когда оно мало и быстро затухает со временем. Такое поведение систем названо эффектом «бабочки Бредбери».

5. Впервые показано, что в случае ДЦП происходит нарушение основного принципа теории возмущений, а именно, асимптотические состояния возмущенной систем должны совпадать с начальным состоянием. Это нарушение обусловлено эффектом «бабочки Бредбери».

Научная и практическая значимость работы.

Научная значимость работы заключается в обнаружении эффекта «бабочки Бредбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения. .

Практическую ценность полученные результаты могут иметь при разработке и создании джозефсоновских приемников и источников излучения, а также элементов компьютеной памяти и логики, основанных на совершенно новых принципах передачи и обработки данных с использованием джозефсоновских структур.

Положения, выносимые на защиту:

1. Впервые обнаружено наличие областей в пространстве параметров ток смещения — внешнее магнитное поле (fJ-H0), в которых одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДЦП. Эти области были названы областями сосуществования.

2. Показано, что состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, и при малых значениях длины перехода L в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля Н0, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.

3. Исследовано влияние внезапных возмущений на асимптотические состояния ДЦП. Показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы названо эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect). Изменение вида начального возмущения влияет на выбор асимптотического состояния, но не изменяет характер процесса, проходящего в системе в целом.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, Россия, 9-13 апреля, 2001; XL Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», тезис доклада секции физика низких температур, фазовых

переходов и магнетизма, Новосибирск, Россия, апрель, 2002;.I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Новосибирск, Россия, 15-16 октября, 2003; II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Красноярск, 1—2 декабря, 2004; III Сибирский семинар по высокотемпературной сверхпроводимости и смежным проблемам, Омск, 20-21 сентября, 2005; Russia-Korea Seminar, Москва, 7-8 февраля, 2006.

Публикации. По результатам вошедших в диссертацию исследований опубликовано 6 печатных работ в российских и зарубежных журналах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2001. - В. 20. - № 2. - С. 22-24.

2. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Динамический хаос в длинных джо-зефсоновских переходах // Вестник Омского университета. — 2004. — В. 33. -№3.-С. 63-64.

3. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Эволюция состояний длинного джо-зефсоновского перехода при действии внезапного возмущения // Вестник Омского университета. - 2006. - В. 39. - № 1. - С. 30-32.

4. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Влияние начальных возмущений на асимптотические состояния длинного джозефсоновского перехода П Омский научный вестник. - 2006. - В. 39. - № 5. - С. 60-63.

5. Yugay K.N., Yashkevich Е.А. The Bradbury butterfly effect in long Josephson junctions // www.springerlink.com/content/86g5860616h84153.

6. Yugay K.N., Yashkevich E.A., Kim J.U., Huh Y. Nonlinear phenomena and macroscopic quantization in long Josephson junctions // J. Korean Phys. Soc. - 2005. - V. 46. - № 6. - P. 1418-1424.

Личный вклад. В работах [1—5], выполненных в соавторстве с научным руководителем, личный вклад автора состоял в получении всех результатов, выносимых на защиту. В работе [6] личный вклад автора состоял в выполнении численных расчетов, участии в постановке задачи и в обсуждении полученных результатов.

Структура диссертации и объем. диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Объем диссертации включает 97 страниц, включая 32 рисунка, 9 таблиц и список литературы из 114 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана характеристика области исследований, указана актуальность выбранной темы, её практическая значимость и сформулированы основные цели работы. Кратко описано основное содержание глав и полученные в них результаты. Здесь же сформулированы выносимые на защиту результаты.

Глава 1. В главе рассмотрены основные принципы, лежащие в основе эффектов Джозефсона. Проведен обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию электромагнитных свойств джозефсоновских переходов с различной геометрией, а также нелинейных явлений, таких как проникновение и взаимодействие флуксонов, динамический хаос.

Глава 2. Математическая модель длинного джозефсоновского перехода. Глава состоит из трех разделов.

В п. 2.1 дана математическая модель длинного джозефсоновского перехода в стационарном случае. Показано, что стационарные состояния в ДДП описываются нелинейным стационарным уравнением Феррелла — Прейнджа (1) с граничными условиями (2):

<рхх{х) = 5\п<р{х)-р, (1)

<Рх(х)\х=0 = <Рх(х)\х=ь = Но . (2)

где (3— плотность тока смещения, нормированная на плотность критического тока перехода ]с, х — расстояние вдоль перехода, отсчитываемое от левого края перехода и нормированное на джозефсоновскую глубину проникновения Ь — длина перехода, нормированная на Д/, #0 — внешнее магнитное поле, перпендикулярное переходу и нормированное на величину Ф0/(2яХ^). В уравнении (1) и далее нижние индексы у функции (р обозначают соответствующие производные, например, (Рхх^д2 (р/ду?.

В п. 2.2 сформулирована математическая модель, описывающая динамику джозефсоновского перехода в нестационарном случае. Показано, что электродинамика ДДП в одномерном случае с учетом дис-сипативных членов описывается нестационарным уравнением эт-Гордона:

где <р(х,1) - разность фаз волновой функции сверхпроводящего конденсата на переходе, / — время, нормированное на обратную джозефсонов-

скую частоту <йу = сФ0 , С - емкость перехода на единицу

площади, у - коэффициент диссипации на единицу площади перехода, у = Ф0й)/4леЩс, Я — сопротивление перехода на единицу площади. Уравнение (3) должно быть дополнено граничным условием, которое запишем в виде:

<рхМ\х=о^ЩО,0 = <рх(х,0\х=^Щ1,0 (4)

В качестве начальных условий нами использовались (р 0=0) = 0 и 0) = 0.

В п. 2.3. описаны приближения, допущенные при формулировке задачи.

Глава 3. Стационарные состояния длинного джозефсоновского перехода. Глава состоит из четырех разделов.

В п. 3.1 показано, что уравнение Феррелла-Прейнджа (1), описывающее стационарные состояния ДДП, имеет несколько решений при заданныхграничных условиях. Слабое магнитное поле, проникая в глубь перехода, экспоненциально затухает:

Н{х) = Н0 ехр(—х/Лу) . (5)

Решения вида (5) называются мейсснеровскими. Число решений растет с увеличением длины перехода и внешнего магнитного поля [4]. Мейсснеровские состояния становятся неустойчивыми и проникновение джозефсоновских вихрей (флуксонов) становится энергетически выгодно. Проникшие флуксоны образуют линейную цепочку, и контакт переходит в смешанное состояние. При наличии тока смещения стационарные состояния существуют только в определенной области параметров задачи [5-9]: внешнего магнитного поля Н0, тока смещения /? и длины перехода Ь. При увеличении тока смещения от 0 до 1 при фиксированном значении внешнего магнитного поля Н0 происходит уменьшение числа стационарных состояний.

В п. 3.2 показано, что среди множества решений граничной задачи Феррелла-Прейнджа, описывающей стационарные и нестационарные состояния ДДП во внешнем магнитном поле, имеются устойчивые и неустойчивые решения. Проблема устойчивости стационарных со-

стояний была решена в работе [6]. Оказалось, что асимптотическое решение нестационарного уравнения БШ-Гордон совпадает с решением стационарного уравнения (1) при >оо.

В п. 3.3 описано макроскопическое квантование и переходы между состояниями. Расчеты показывают [5-6], что все решения уравнения (1)-(2) (и устойчивые и неустойчивые) соответствуют минимумам термодинамического потенциала Гиббса, один из которых является глобальным, остальные локальными. Иными словами, в стационарных условиях термодинамический потенциал Гиббса принимает дискретные значения, соответствующие его локальным или глобальным минимумам. Минимумы соответствуют разрешенным состояниям, но не все из локальных минимумов оказываются равноправными: часть из них устойчива, а другая — неустойчива.

В п. 3.4 проанализирована проблема устойчивости стационарных состояний с точки зрения квантования магнитного потока. В работе [10] показано, что флуксонные состояния со значениями магнитного потока Ф„ = п (п=1,2,...) устойчивы, а антифлуксонные состояния — нет. Что касается, мейсснеровских и квазимейсснеровских состояний (Ф„ = 0), то их отличить можно по признаку устойчивости: мейссне-ровские состояния устойчивы, а квазимейсснеровские состояния — нет.

Глава 4. Нестационарные состояния длинного джозефсоновско-го перехода. Глава состоит из трех разделов.

В п. 4.1 Численное интегрирование стационарной задачи (1)-(2) позволило найти области с определенным числом решений на параметрической плоскости р" Н0 (рис.1). Область, где не существует решений стационарного уравнения Феррелла-Прейнджа (1)-(2) (область 0) граничит с областью, которая содержит в себе минимальное число решений стационарной задачи, равное 2 (область 2). По мере приближения к области 0 число стационарных решений уменьшается: 8—>6->4—>2—>0, с другой стороны, растет число решений нестационарной задачи.

Рис. 1. Бифуркационные кривые. На рисунке указано число решений уравнения (1)-(2), число стабильных решений указано в скобках, буквами обозначены устойчивые состояния: М — мейсснеровское, однофлуксонное и т. д. для перехода длины Ь = 8

В п. 4.2. Решая нестационарное уравнение эт-Гордона, были найдены точки, в которых отсутствуют решения нестационарной задачи. Эта совокупность точек образует бифуркационную линию, разбивающую параметрическую плоскость /3-Н0 на две области: а) в которой ещё имеются нестационарные состояния и б) в которой нестационарных состояний нет, т. е. данная линия представляет собой нижнюю границу существования нестационарных состояний. Область, ограниченная двумя бифуркационными кривыми, является областью сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП [9—10].

В общем случае в ДДП возникает три кластера состояний — стационарный, регулярный и хаотический [7]. Характер состояния определяется знаком показателя Ляпунова. Максимум показателя Ляпунова может принимать следующие значения: Х,>0, Х,<0иЯ.<0. Состояния сХ>0 представляют собой состояния динамического хаоса, состояния с X < 0 являются устойчивыми стационарными состояниями и состояния с X < 0 — регулярные состояния. Используя определенеие показателя Ляпунова, были вычислены и построены области хаоса в про-

странстве параметров /3-Н0 [10-11] (рис. 2). На рисунках состояния динамического хаоса обозначены точками. Состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, образуя узкую полоску хаоса, прижимающуюся к нижней бифуркационной кривой, и при малых значениях длины перехода Ь в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля Н0, области хаоса распространяются в область нестационарных состояний.

Рис.2. Области хаоса для Ь=8 (а) и Ь=10 (Ь), коэффициент диссипации 7=0.13.

В п.4.3 описано макроскопическое квантование потока в нестационарном случае. В случае нестационарных состояний магнитный поток принимает значения: Фп(<) = п(г) (п = 0,1,2,...) - для мейсснеров-ских и квазимейсснеровских (и = 0) и флуксонных и антифлуксонных состояний (и?О), и Ф„(/) = 'п(1)+И2 ± агсэтР (п = 0,1,2,...) — для всех остальных состояний. При заданных параметрах поток Ф(0 изменяется во времени скачкообразно.

Глава 5. Эффект «бабочки Брэдбери» в длинном джозефсонов-ском переходе. Глава состоит из трех разделов.

В п. 5.1 дано определение времени релаксации в нелинейной системе.

В п. 5.2 дано определение внезапных возмущений. Граничные условия (4) записаны в виде:

= <рх(х,ои*= Н{Ь,О =Я0[1 + Л0], (б)

введя функцию/(0 в виде внезапных возмущений:

(6а)

И) АО = /о " ехр(-Г/*<>) • ('/'о)4,

Ш) /(О = /о • ехр(-* / /0 ) • совСО,

. *

(6Ь)

(6с)

где /0 — характеристическое время возмущения, ^ — постоянная величина, задающая амплитуду возмущения.

Возмущения (6а)-(6с) характеризуются временным параметром ¿о, определяющим длительность возмущения. Далее мы всегда будем рассматривать случай /0 «гг, так чтобы возмущения можно было считать внезапными.

В п. 5.3 показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы мы назвали эффектом «бабочки Брэдбери» [12-14].

Рассмотрим стационарные состояния ДЦП. Выберем в качестве невозмущенного (начального) состояния стационарное состояние при Но — 1.174, р = 0, Ь — 8. При заданном наборе параметров, система может находиться в одном из трех устойчивых (разрешенных) состояний: мейсснеровском, однофлуксонном и двухфлуксонном. В таблице 1 приведены результаты вычислений с тремя видами начального возмущения (6а) — (6с). Как видно из представленных данных, характер возмущения определяет вид асимптотического состояния. Например, при воздействии на систему, находящуюся изначально в мейсснеровском (М) состоянии, возмущением вида (6а), система переходит в одно-флуксонное (1ф состояние при значении ^ = 0.103 — 0.322; при = 0.323 — 1.167 система из мейсснеровского состояния переходит в двухфлуксонное (2ф и т.д. Данные, представленные в таблице 1, показывают, что не только величина Г0, но и конкретный вид возмущения определяют то состояние системы, в котором она окажется в будущем. Таким образом, при воздействии на систему внешним возмущением, последняя начинает совершать переходы между разрешенными состояниями.

Асимптотические стационарные состояния ДДП.

__1.174,1 = 0, ¿=8 ___

• Г 1 и /о 0-0.102 0.1030.322 0.3231.167 1.1681.460 1.4614.647 4.6486.03

состояние М М К 2Г

т 11 /о 0-0.63 0.640.886 0.8871.773 1.7742.462 2.4633.734 3.7354.33

состояние М К М К 2{ 1Г

1- Л. « » «. Я. В к Ш Л 0-2.275 2.2764.997 4.9987.786 7.7878.816 8.8179.633 9.6311.76

состояние М и 2Г и М 1Г

Если в качестве невозмущенного состояния взять какое-либо состояние из области сосуществования стационарных и нестационарных состояний, то вбором возмущения можно получить все возможнее виды асимптотических состояний: стационарное, регулярное или хаотическое. В таблице 2 представлен случай, когда в качестве начальных состояний были взяты состояния из области сосуществования: Но — 0.5, Ь = 8, ^ = 20, причем, состояние А является хаотическим (0=0.61), состояние В — регулярным (Р=0.78). Как видно из таблицы, при воздействии на эти состояния возмущением вида (6а), система начинает совершать переходы между разрешенными состояниями. Например, при ^о = 0 — 0.554 состояние является хаотическим, при ^ = 0.555 — 0.58 — регулярным, а при ^ = 0.59 -0.68 — стационарным. Изменение вида начального возмущения не влияет на характер поведения системы: также как и в случае с возмущением вида (6а) выбор того или иного асимптотического состояния определяется параметром начального возмущения /0 (Таблица 3). '

Н0 = 0.5, Ь = 8, ^ = 20; начальное возмущение вида (6а)

А /о 0-0.554 0.555- 0.59- 0.69- 0.72-

Начальное 0.58 0.68 0.71 0.73

состояние: Асим-

хаос птоти-

р=0.61 ческое хаос рег. стац. хаос рег.

35 - состояние

а 1 В Начальное /о 0-0.826 0.8271.3 - 1.4—2.7 2.8-4.6 4.7-5.2

состояние: Асим-

0» регулярное птоти-

сквюаотия« 1 » р=0.78 ческое состояние рег. хаос рег. хаос рег.

Таблица 3

Ь = 8, Н = 0.5, р = 0.61, ^ = 20; начальные возмущения вида (6Ь)-{6с)

■ ■ (1 /о 00.501 0.5021.1 1.112.43 2.443.62 3.6312.27 12.2815.84

Асимптотическое состояние хаос рег. хаос рег. хаос рег.

* ^^п ^ ^ ' К Л 00.088 0.0890.09 0.0910.26 0.270.71 0.720.73 0.741.2

Асимптотическое состояние хаос стац. рег. хаос рег. хаос

* При изменении параметра ^ области /0, соответствующие различным видам асимптотических состояний, также изменяются. В таблице 4 представлены результаты расчетов при тех же значениях параметров Но, ¡5, Ь, что и в таблице 2, но с той лишь разницей, что ^ — 30. Сравнение таблиц 4 и 2 показывает, что выбор системой асимптотических состояний также чувствителен к параметру начального возмущения /0.

Таблица 4

Ь = 8, Н = 0.5, р = 0.61,10= 30; начальное возмущение вида (6а)

Л" 0-0.611 0.6120.72 0.730.94 0.951.02 1.031.47 1.481.93

» '

Асимптотическое состояние хаос рег. хаос рег. хаос рег.

..........

В случае, когда начальное состояние принадлежит области нестационарных состояний, внешнее воздействие на систему приводит к появлению двух видов асимптотических нестационарных состояний: регулярного и хаотического (Табл. 5). Изменение вида начального возмущения не влияет на характер поведения системы, выбор того или иного асимптотического состояния определяется параметром начального возмущения /о-

. Таблица 5

Но — 1.35, Ь = 8, ^ = 20; начальное возмущение вида (5а). А: р = 0.61; В: р=0.8.

А /. 0-0.508 0.5090.57 0.582.1 2.2-3.2 3.3—4.7

« 1 45 Начальное состояние:-хаос Асимптоти-; ческое со- хаос рег. хаос рег. хаос

15 стояние

II В Л 0-0.638 0.6390.9 1-4.1 4.2-5.8 5.9-6.3

«5 Начальное Асимптоти-

■ йая«9в»нвм 1 состояние: регулярное ческое состояние рег. хаос рег. хаос рег.

Обратим внимание на то, что состояния динамического хаоса, с которыми мы имеем дело в данном случае, существенно отличаются от состояний статистического хаоса. В последнем случае начальные

возмущения быстро затухают с характерным временем порядка у~х, и начальная информация быстро теряется. Однако в нашем случае динамического хаоса начальное возмущение оказывает существенное

влияние на выбор асимптотического состояния, можно сказать, что начальная информация не теряется полностью, она оказывает влияние на эволюцию системы. В этом смысле начальные состояния системы — стационарное, регулярное, хаотическое — равноценны.

В случае рассматриваемого нами длинного джозефсоновского перехода, как показано выше, происходит нарушение основного принципа теории возмущений, а именно, асимптотическое состояние возмущенной системы должно совпадать с начальным состоянием. Это нарушение обусловлено эффектом «бабочки Брэдбери».

В заключении сформулированы основные выводы данной работы.

Основные результаты, полученные в ходе исследования нелинейных динамических явлений в ДДП, можно сформулировать следующим образом:

1. В пространстве параметров /3-Н0 была найдена область сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП. Внутри полученной области одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния, что характерно только для нелинейных систем, к которым относятся джозефсоновские переходы.

2. Исследованы свойства области сосуществования. Показано, что с увеличением длины перехода Ь область сосуществования локализована в области Но < 1. При увеличении внешнего магнитного поля Но бифуркационные кривые сливаются, образуя одну кривую, разделяющую параметрическую область /3-Нд на две области — стационарных и нестационарных состояний.

3. Найдены области хаоса в пространстве параметров (З-Но. для переходов различной длины. Состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, образуя узкую полоску хаоса и при малых значениях длины перехода Ь в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля Но, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.

4. Проведен детальный анализ влияния начального возмущения на поведение системы:

• показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения,

даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. • выбором вида возмущения можно получить в общем случае . все возможные виды асимптотических состояний.

Цитированная литература

1. Soerensen М.Р., Arley N., Christiansen PL., Parmentier R.D., Skovgaard O. Intermittent Switching between Soliton Dynamic States in a Perturbed Sine-Gordon Model // Phys. Rev. Lett. - 1983. - V. 51. - P. 1919-1922.

2. Yeh W.J., Symko O.G. and Zheng DJ. Chaos in long Josephson junctions without external rf driving force // Phys. Rev. B. - 1990. - V. 42. - P. 408G-4087.

3. Filatrella G. and Rotoli G. Temporal chaos of soliton dynamics in the PDE model of long Josephson junctions // J. Phys. A. - 1993. - V. 26. - P. 4937.

4. Barone A. and Paterno G. Physics and Applications of the Josephson Effect. -Wiley-Interscience, New York, 1982.

5. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Bifurcations and a chaos strip of long Josephson junctions // Low Temp. Phys. - 1999. - V. 25-№ 7. - P. 530.

6. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Asymptotic states in long Joseph-son junctions in an external magnetic field // Phys. Rev. B. — 1994. — V.49. — № 17. - P. 12036.

7. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Effect of memory and dynamical chaos in long Josephson junctions. // Phys. Rev. B. - 1995. — V.51. — № 18. — P. 12737.

8. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Flux quantization in stationary and nonstationary states in long Josephson junctions // Low Temp. Phys. — 2000. - V. 26. - № 11. - P. 1067.

9. Яшкевич E.A., Югай K.H. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник ОмГУ. - 2001. - В. 20. - № 2. - С. 22-24.

10. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Динамический хаос в длинных джозефсоновских переходах // Вестник ОмГУ. - 2004. - В. 33. - № 3. - С. 63-64.

11. Yugay K.N., Yashkevich Е.А., Kim J.U., Huh Y. Nonlinear phenomena and macroscopic quantization in long Josephson junctions // J. Korean Phys. Soc. -

2005. - V.46. - № 6. - P. 1418-1424.

12. Яшкевич E.A., Югай K.H. Эволюция состояний длинного джозефсонов-ского перехода при действии внезапного возмущения // Вестник ОмГУ. -

2006. - В. 39. - № 1. - С. 30-32.

13. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Влияние начальных возмущений на асимптотические состояния длинного джозефсоновского перехода // Омский научный вестник. - 2006. - В. 39, - № 5. - С. 60-63.

14. Yugay K.N., Yashkevich Е.А. The Bradbury butterfly effect in long Josephson junctions // www.springerlink.com/content/86g5860616h84153.

Подписано к печати 01.11.2006. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 394.

Издательство ОмГУ

644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

Введение.

Глава 1. Джозефсоновский переход.

Глава 2. Математическая модель длинного джозефсоновского перехода.

2.1. Математическая формулировка задачи в стационарном случае.

2.2. Математическая формулировка задачи в нестационарном случае.

2.3. Приближения, использованные при формулировке задачи.

Глава 3. Стационарные состояния длинного джозефсоновского перехода.

3.1. Множественность решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона.

3.2. Устойчивость решений: симметричные и несимметричные состояния.

3.3. Потенциал Гиббса: макроскопическое квантование и переходы между состояниями.

3.4. Макроскопическое квантование потока.

Глава 4. Нестационарные состояния длинного джозефсоновского перехода.

4.1. Бифуркации на параметрической плоскости Н0 - (3.

4.2. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе.

4.3. Макроскопическое квантование потока в нестационарном случае

Глава 5. Эффект «бабочки Брэдбери» в длинном джозефсоновском переходе.

5.1. Релаксация в нелинейной системе.

5.2. Внезапные возмущения.

5.3. Эффект «бабочки Брэдбери».

Актуальность проблемы.

Одним из самых ярких и практически важных явлений в физике сверхпроводимости являются эффекты Джозефсона, которые открыли новые горизонты для многочисленных применений сверхпроводимости: системы с джозефсоновскими контактами уже активно применяются в сверхпроводящей электронике. Джозефсоновский контакт может работать в качестве детектора или смесителя в высокочастотной электронике. С помощью джозефсоновских контактов был разработан первичный термометр для криогенной области, в которой резкие переходы в некоторых веществах используются для получения реперных (постоянных) точек температуры. Новая техника используется в компараторах тока, для измерений радиочастотной мощности и коэффициента поглощения, а также для измерений частоты. Она применяется также в фундаментальных исследованиях, таких, как измерение дробных зарядов атомных частиц и проверка теории относительности. На джозефсоновских переходах основаны сверхпроводящие квантовые интерферометры или сокращенно сквиды (SQUID). Их большие преимущества перед другими приборами для измерения магнитных полей - сверхвысокая чувствительность и возможность бесконтактных измерений. Это позволяет регистрировать очень слабые магнитные поля, связанные со слабыми электрическими токами, возникающими в живых организмах. Удается регистрировать магнитокардиограммы, магнитоэнцефалограммы и т.д. В геофизике с помощью сквид-магнетометров можно вести геологическую разведку с самолета или спутника, изучать извержения вулканов и предсказывать землятресения.

В настоящее время перед электроникой встает много задач, главными из которых являются увеличение интеграции и плотности размещения элементов, понижение энерговыделения, обеспечение простых архитектурных решений. Идея использования джозефсоновских переходов в качестве элементной базы компьютеров появилась уже довольно давно. Открывается возможность использования джозефсоновских структур в качестве элементов памяти и логики электронных вычислительных устройств, в которых информация передается и хранится в джозефсоновских структурах в виде квантов магнитного потока (флуксонов). Флуксоны удивительно устойчивы, их можно хранить, перемещать в нужном направлении и приводить во взаимодействие с электронными приборами, благодаря чему флуксон может служить битом в электронных системах обработки информации. Подобные операции можно проводить с исключительно высокими скоростями (сотни Гигагерц) и чрезвычайно малыми затратами энергии.

В последнее время широко обсуждается возможность квантовых вычислений, которые будут производиться с помощью двухуровневых квантовых систем - базовых элементов квантового компьютера. Такие двухуровневые системы называются кубитами (квантовыми битами), по аналогии с битами, которые используются в современных компьютерах. Эволюция по законам квантовой механики в системах кубитов может эмулировать процесс вычисления, причем эффективность подобного подхода принципиально превосходит классические способы вычислений. Структуры с джозефсоновскими контактами рассматриваются как одни из самых перспективных для реализации базового элемента таких компьютеров. Современная технология позволяет производить цепи из миллионов транзисторов и джозефсоновских контактов. Поэтому квантовый бит на основе таких элементов будет легко тиражировать для создания квантового компьютера из 100-1000-10000 элементов.

Флуксоны в длинных джозефсоновских переходах (ДЦП) дают возможность практического применения устройств, основанных на их проникновении и взаимодействии. Детальное изучение динамики джозефсоновских вихрей (флуксонов) является важной задачей для понимания движения магнитного потока и связанных с ним явлений, возникающих в сверхпроводниках. В связи с этим, электромагнитные свойства ДДП являются предметом интенсивных исследований последних четырех десятилетий.

ДДП являются ярким примером нелинейных систем, при помощи которых можно изучать на только такие нелинейные явления, как проникновение, движение и взаимодействие флуксонов, но и такого интересного и немаловажного явления, как динамический хаос. Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Одно из возможных приложений хаоса состоит в использовании генерируемых динамическими системами хаотических сигналов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сигнала открываются новые возможности кодирования информации, которая становится труднодоступной для перехвата.

Динамический хаос может быть использован в коммуникационных системах в качестве несущих информацию колебаний. Его с полным основанием можно назвать новым типом носителя информации для систем связи.

Флуксоны в ДДП могут совершать хаотическое движение. Компьютерные вычисления, выполненные Soerensen и подтвержденные в дальнейшем работами Yeh и Filatrella , доказали наличие динамического хаоса в ДДП в отсутствии случайной внешней силы. Иными словами, причиной нерегулярности и непредсказуемости является собственная динамика системы, а не влияние шумов и внешних возмущающих факторов. Такое явление является крайне нежелательным в электронных устройствах, т.к. динамический хаос может являться источником шума и ограничивать тем самым их чувствительность.

Цель работы заключалась в исследовании при помощи численного моделирования нелинейных явлений, возникающих в ДЦП.

Согласно с этим были поставлены следующие задачи:

1. Определение параметрических областей нестационарных состояний. Построение бифуркационной кривой, ограничивающую область в параметрической плоскости ток смещения - внешнее магнитное поле (fi-H0), внутри которой реализуются нестационарные (регулярные и хаотические) состояния ДЦП.

2. Исследование нестационарных состояний с точки зрения динамического хаоса.

3. Определение области динамического хаоса в пространстве параметров р-Н0 для переходов различной длины,

4. Детальное исследование влияния начального возмущения на асимптотические состояния ДЦП.

Научная новизна.

1. Впервые численно найдены области существования стационарных и нестационарных состояний для джозефсоновских переходов различной длины в пространстве параметров ток смещения - внешнее магнитное поле.

2. Впервые показано, что области существования стационарных и нестационарных состояний при определенных значениях Но и Р перекрываются, образуя области сосуществования стационарных и нестационарных состояний. Внутри областей сосуществования одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДЦП, что является особенностью нелинейных систем.

3. Впервые при помощи численного интегрирования найдены параметрические области, в которых может существовать динамический хаос.

4. Впервые исследовано влияние внезапных возмущений на эволюцию ДЦП, в частности показано, что на выбор системой конкретного асимптотического состояния влияет начальное возмущение, даже в -случае, когда оно мало и быстро затухает со временем. Такое поведение систем названо эффектом «бабочки Бредбери». 5. Впервые показано, что в случае ДДП происходит нарушение основного принципа теории возмущений, а именно, асимптотические состояния возмущенной систем должны совпадать с начальным состоянием. Это нарушение обусловлено эффектом «бабочки Бредбери». Научная и практическая значимость работы.

Научная значимость работы заключается в обнаружении эффекта «бабочки Бредбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения.

Практическую ценность полученные результаты могут иметь при разработке и создании джозефсоновских источников излучения, а также элементов компьютерной памяти и логики, основанных на совершенно новых принципах передачи и обработки данных с использованием джозефсоновских структур.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

В первой главе приведен обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию электромагнитных свойств и нелинейных явлений, возникающих в ДДП. В частности большое внимание уделено проблеме динамического хаоса, возникающего в джозефсоновских переходах в отсутствии случайной внешней силы. В конце обзора дана постановка задачи.

Во второй главе сформулирована математическая модель, описывающая динамику джозефсоновского перехода в стационарном и нестационарном случае. Описаны приближения, допущенные при формулировки задачи.

В третьей главе, в п.3.1 дана математическая формулировка задачи, отмечена проблема множественности решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона. В п.3.2 описано решение проблемы устойчивости стационарных состояний по отношению к малым возмущениям. В п.3.3. рассмотрена проблема устойчивости решений с термодинамической точки зрения. Показано, что устойчивыми будут являться те решения, которые соответствуют минимуму термодинамического потенциала Гиббса. В п.3.4 исследованы нестационарные состояния -хаотические и регулярные - с точки зрения квантования магнитного потока.

В четвертой главе, в п.4.1 при помощи численного интегрирования стационарной задачи sin-Гордона найдены области с определенным числом решений на параметрической плоскости J3 - Н0, В п. 4.2. построена бифуркационная кривая - линия, ограничивающая область существования стационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе. Эта линия разбивает параметрическую плоскость fi-Ho на две области так, что выше кривой стационарных состояний системы нет, также построена бифуркационная кривая, представляющая собой нижнюю границу на параметрической плоскости /5-Н0 существования нестационарных состояний. Область, ограниченная двумя бифуркационными кривыми, является областью сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП. Используя определение показателя Ляпунова, были вычислены и построены области хаоса в пространстве параметров Р~Н0. В п.4.3 рассмотрены нестационарные состояния - регулярные и хаотические - с точки зрения квантования магнитного потока.

В пятой главе, в п.5.1 дано определение и аналитическое выражение времени релаксации в нелинейных системах. В п.5.2. дано определение внезапных возмущений и показаны виды возмущений, используемых при решении поставленной задачи. В п.5.3. описан эффект «бабочки Брэдбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем.

В заключении сформулированы основные выводы данной работы. Положения, выносимые на защиту.

1. Впервые обнаружено наличие областей в пространстве параметров ток смещения - внешнее магнитное поле {fi-IIo), в которых одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДЦП. Эти области были названы областями сосуществования.

2. Показано, что состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, и при малых значениях длины перехода L в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля #<?, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.

3. Исследовано влияние внезапных возмущений на асимптотические состояния ДЦП. Показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы названо эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect). Изменение вида начального возмущения влияет на выбор асимптотического состояния, но не изменяет характер процесса, проходящего в системе в целом.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, Россия, апрель 9-13, 2001; XL Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», тезисы доклада секции физика низких температур, фазовых переходов и магнетизма; Новосибирск, Россия, апрель, 2002; I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Новосибирск, Россия, 15-16 октября, 2003; II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Красноярск, 1 - 2 декабря, 2004; III Сибирский семинар по высокотемпературной сверхпроводимости и смежным проблемам, Омск, 20-21 сентября, 2005; Russia-Korea Seminar, Москва, 7-8 февраля, 2006.

Всего по теме диссертиции опубликовано 6 работ.

1. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2001. - в. 20. - №2. - стр. 22-24.

2. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Динамический хаос в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2004. - в.ЗЗ. - №3.- стр. 63-64.

3. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Эволюция состояний длинного джозефсо-новского перехода при действии внезапного возмущения // Вестник Омского университета. - 2006. - в. 39. - № 1. - стр. 30-32.

4. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Влияние начальных возмущений на асимптотические состояния длинного джозефсоновского перехода // Омский научный вестник. - 2006. - в. 39. - №5. - стр. 60-63.

5. Yugay K.N., Yashkevich Е.А. The Bradbury butterfly effect in long Jo-sephson junctions // www.springerlink.com/content/86g5860616h84153.

6. Yugay K.N., Yashkevich E.A., Kim J.U., Huh Y. Nonlinear phenomena and macroscopic quantization in long Josephson junctions // J. Korean Phys. Soc. -2005.- v.46. - №6.-pp. 1418-1424.

Личный вклад. В работах [1-5], выполненных в соавторстве с научным руководителем, личный вклад автора состоял в получении всех результатов, выносимых на защиту. В работе [6] личный вклад автора состоял в выполнении численных расчетов, участии в постановке задачи и в обсуждении полученных результатов.

Основные результаты, полученные в ходе исследования нелинейных динамических явлений в ДДП, можно сформулировать следующим образом:

1. При помощи численного интегрирования уравнения sin-Гордон, в параметрической плоскости /3-Н0 была построена бифуркационная кривая - линия, ограничивающая область существования нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе. Эта линия разбивает параметрическую плоскость /3-Н0 на две области так, что ниже данной бифуркационной кривой реализуются только стационарные состояния системы. Область, ограниченная бифуркационными кривыми, соответствующих областям существования стационарных и нестационарных состояний, является областью сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП. Внутри полученной области одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния, что характерно только для нелинейных систем, к которым относятся джозефсоновские переходы.

2. Исследованы свойства области сосуществования:

• было показано, что каждого конкретного перехода эта область своя, другими словами, она зависит от длины перехода L. С увеличением длины перехода L область сосуществования локализована в области < 1. При увеличении внешнего магнитного поля Но бифуркационные кривые сливаются, образуя одну кривую, разделяющую параметрическую область (З-Но на две области - стационарных и нестационарных состояний.

• при увеличении коэффициента диссипации у область сосуществования сужается, а в некоторых точках бифуркационные кривые, соответствующие нестационарным и стационарным состояниям, сливаются.

3. Используя определение показателя Ляпунова, были вычислены и построены области хаоса в пространстве параметров fi-Ho для переходов различной длины. Расчеты показывают, что состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, образуя узкую полоску хаоса, прижимающуюся к нижней бифуркационной кривой, и при малых значениях длины перехода L в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля Н0, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.

4. Проведен детальный анализ влияния начального возмущения на поведение системы.

• Показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы названо эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect).

• Вид невозмущенного начального состояния не имеет существенного значения; выбором возмущения можно получить в общем случае все возможные виды асимптотических состояний.

• Изменение вида начального возмущения влияет на выбор асимптотического состояния, но не изменяет характер процесса, проходящего в системе в целом.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Югаю Климентию Николаевичу за внимание и интерес к работе.

Заключение

1. Anderson P.W., Rowell J.M. Probable observation of the Josephson superconducting tunnel effect // Phys. Rev. Lett. - 1963. - V. 10. - P.230.

2. Josephson B.D. Possible new effects in superconductive tunneling // Phys. Lett. 1962. - V. 1. - №7. - P. 251 -253.

3. Shapiro S. Josephson currents in superconducting tunneling: The effect of microwaves and other observations // Phys. Rev. Lett. 1963. - V.l 1. - P. 80.

4. Taylor B.N., Parker W.H., Langenberg D.N. On the use of the ac Josephson effect to maintain standards of electromotive force // Metrologia. 1967. -ЖЗ.-Р.89.

5. Fulton T.A., Dynes R.C. and Anderson W. The flux shuttle a Josephson junction shift register employing single flux quanta // Proc. of IEEE. -1973.-V. 161.-P. 28-35.

6. Zappe H.H. A single flux quantum Josephson junction memory cell // Appl. Phys. Lett. 1974. - V.25. - P. 424-426.

7. Shnirman A., Schon G., Hermon Z. Quantum manipulations of small Josephson junctions // Phys. Rev. Lett. 1997. - V.79. - P.2371

8. Averin D.V. Adiabatic quantum computation with Cooper pairs // Solid State Commun. 1998. - V. 105. - P.659.

9. Ioffe L.B., Geshkenbein V.B., Feigelman M.V., Fauchere A.L., Blatter G. Quiet sds Josephson junctions for quantum computing // Nature (London). -1999.-V.398.-P.679.

10. Makhlin Y., Schon G., Shnuptan A. Josephson junction qubits // Nature (London).- 1999. -№386.-P.305.

11. Mooij J.E., Orlando T.P. Josephson persistent current qubit // Science. -1999.-№285.-P. 1036.

12. Nakamura Y., Pashkin Y.A., Tsai J.S. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box // Nature (London). 1999. -№ 398.-P.786.

13. Benett C. Quantun information and computation // Phys. Today. 1995. -V.48. - № 10.-P. 24.

14. Barenco A. Quantum physics and computers // Contemp. Phys. 1996. -№ 37.-P. 375.

15. Aharonov D. Annual Reviews of Computational Physics. Singa-pore.:World Scientific, 1998.

16. DiVincenzo D. Quantum computation // Science. 1995. - № 270. - P. 255.

17. Бароне А., Патерно Дж. Эффекты Джозефсона. М.: Мир, 1984. - 639 с.

18. Pedersen N.F., Trullinger S.E., Zaharov V.E., Pokrovsky V.L. Solitons. -Amsterdam: Elsevier, 1986.

19. Парментье P., Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. М.: Мир, 1981.

20. Gmnbech-Jensen N., Samuelsen M.R., Lomdahl P.S. Phys. Rev. B. 1991. - V.43. - №12. - P.799.

21. Ustinov A.V., Malomed B.A., and Thyssen N. Soliton trapping in a periodic potential: experiment // Phys. Lett. A. 1997. - V. 233. - P. 239-244.

22. Wallraff A., Koval Y., Levitchev M., Fistul M.V. J.Low Temp. Phys. -2000.-V.118.-P.543.

23. Scott A. Nonlinear science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures. Oxford: Clarendon, 1999.

24. Kivshar Y.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1989. - V. 61. - P. 763-915.

25. Filatrella G., Malomed B.A. and Parmentier R.D. Threshold analysis of the inverse ac Josephson Effect // Phys. Lett. A. 1993. - V. 180. - P. 346-349.

26. Ustinov A.V. and Malomed B.A. Observation of progressive motion of ac-driven solitons // Phys. Rev. B. 2001. - V.64. - P. 020302.

27. Fistul M.V. and Ustinov A.V. Librations states of a nonlinear oscillator: Resonant escape of a pinned magnetic fluxon // Physical Review B. 2001. -V.63.-P. 024508.

28. FistuI M.V., Goldobin E. and Ustinov A.V. ac-induced damping of a fluxon in a long Josephson junction // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64. - P. 092501.

29. Pedersen N.F. Advances in Superconductivity. New York: Plenum, 1982. P. 149.

30. Likharev K.K. Dynamics of Josephson Junctions and Circuits. Amsterdam: Gordon and Breach, 1986.

31. Scott A.C., Flora Y.F., Chu, Reible S.A. Magnetic-flux propagation on a Josephson transmission line // Journal of Applied Physics. 1976. - V. 47. -№7.-P. 3272-3286.

32. Matsuda A., Kawakami T. Fluxon Propagation on a Josephson Transmission Line // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.51.-P. 694-697.

33. Koshelets V.P., Shitov S.V. Integrated Superconducting Receivers // Superconductor Science and Technology. 2000. - V. 13. - P. R53-R69.

34. Koshelets V.P. and Mygind J. Flux Flow Oscillators For Superconducting Integrated Submm Wave Receivers // Studies of High Temperature Superconductors, edited by A.V. Narlikar. NOVA Science Publishers. New York.- 2001. -V. 39. -P. 213-244.

35. Koshelets V.P., Shitov S.V., Filippenko L.V., Baryshev A.M., Golstein H., de Graauw Т., Luinge W., Schaeffer H., van de Stadt H. First Implementation of a Superconducting Integrated Receiver at 450 GHz // Appl. Phys. Lett.- 1996.-V. 68.-P. 1273.

36. Hechtfischer G., Walkenhorst W., Kunkel G. IEEE Trans Appl. Supercond.- 1997. V.7. -P.1051.

37. Ustinov A.V., Sakai S. Submillimeter-band high-power generation using muitilayered Josephson junctions // Appl. Phys. Lett. 1998. - V.73. - P. 686.

38. R. Kleiner R., Steinmeyer F., Kunkel G., and Miiller P. Intrinsic Josephson effects in Bi2Sr2CaCu208 single crystals // Phys. Rev. Lett. 1992. - V.68. -P. 2394-2397.

39. Kleiner R. and Miiller P. Intrinsic Josephson effects in high-rc superconductors // Phys. Rev. В. 1994. - V.49. - P. 1327-1341.

40. Goldobin E., Wallraff A., Thyssen N., UstinovA.V. Cherenkov radiation in coupled long Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1998. -V.57. - P. 130133.

41. Hechtfischer G., Kleiner R., Ustinov A.V., Miiller P. Non-Josephson Emission from Intrinsic Junctions in Ы^ггСаСщО^у. Cherenkov Radiation by Josephson Vortices//Phys. Rev. Lett. 1997.-V.79.-P. 1365-1368.

42. Ustinov A.V, Goldobin E., Hechtfischer G., Thyssen N., Wallraff A., Kleiner R., Miiller P. Cherenkov radiation from Josephson fluxons //Advances in Solid State Physics. 1999. - V.38 - P. 521-531.

43. Goldobin E., Wallraff A., Ustinov A.V. Cherenkov Radiation from Fluxon in a Stack of Coupled Long Josephson Junctions // J. Low Temp. Phys. -2000.-V. 119.-P. 589-614.

44. Goldobin E, Malomed B.A., Ustinov A.V. Bunching of fluxons by Cherenkov radiation in Josephson multilayers // Phys. Rev. B. 2000. - V.62. -P. 1414-1420.

45. Petraglia A., Ustinov A.V., Pedersen N.F. and Sakai S. Numerical Study of fluxon dynamics in a system of two stacked Josephson junctions // J. Appl. Phys. 1995. - V.77. - №3. - P. 1171.

46. Ustinov A.V., Kohlstedt H. and Heiden C. Possible phase-locking of vertically stacked Josephson flux-flow oscillators // Appl. Phys. Lett. 1994. -V.65.-P. 1457.

47. Sakai S., Bodin P. and Pedersen N.F. Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices //J. Appl. Phys. 1993. - V.73. - P. 2411.

48. Grenbech-Jensen N., Samuelsen M.R., Lomdahl P.S. and Blackburn J.A. Bunched soliton states in weakly coupled sine-Gordon systems // Phys. Rev. 1990.-V.42.-P.3976.

49. Gronbech-Jensen N., Cai D., Bishop A.R., Lau W.C. and Lomdahl P.S. Bunched fluxons in coupled Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1994. -V.50.-P. 6352.

50. Gronbech-Jensen N., Blackburn J.A., Samuelsen M.R. Phase locking between Fiske and flux-flow modes in coupled sine-Gordon systems // Phys. Rev. B. 1996. - V. 53. - P. 12364-12372.

51. Ustinov A. V., Kohlstedt H., Heiden C. Possible phase locking of vertically stacked Josephson flux-flow oscillators // Applied Physics Letters. 1994. -V.65. - № 11. - P. 1457-1459.

52. Sakai S., Ustinov A.V., Kohlstedt H., Petraglia A. and Pedersen N.F. Theory and experiment on electromagnetic-wave-propagation velocities in stacked superconducting tunnel structures // Phys. Rev. B. 1994. -V. 50. -P. 12905-12914.

53. Carapella G., Costabile G. Appl. Phys. Lett. 1997. - V. 71. - P. 3409.

54. Scott A.C. and Petraglia A. Flux interactions on stacked Josephson junctions//Phys. Lett. A.-1996.-V. 211.- P. 161.

55. Petraglia A., Filatrella G., and Rotoli G. Self-field Effects in Josephson Junction Arrays // Phys. Rev. B. 1996. - V. 53. - P. 2732.

56. Carapella G., Costabile G., Petraglia A., Pedersen N.F. and Mygind J. Phase locked fluxon-antifluxon states in stacked Josephson junctions // Appl. Phys. Lett. 1996. - V. 69. - P. 1300.

57. Petraglia A., Pedersen N.F., Christiansen P.L. and Ustinov A.V. Comparative dynamics od 2D shorted arrays and continuous stacked Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55. - P. 8490.

58. G. Carapella G. Fluxon-antifluxon state in stacked Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. - P. 1407-1416.

59. Monaco R., Pagano S., Costabile G. Phys. Lett.A. 1988. - V.131. -P. 122.

60. Ustinov A.V., Cirillo M., Larsen B.H., Oboznov V.A., Carelli P. and Rotoli G. Experimental and numerical study of dynamic regimes in a discrete sine-Gordon lattice// Phys. Rev. В. 1995.-V. 51.-P. 3081-3091.

61. Davidson A., Dueholm В., Kryger В., Pedersen N.F. Experimental Investigation of Trapped Sine-Gordon Solitons // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.55. -P.2059.

62. Ustinov A.V., Doderer T, Huebener R.P., Pedersen N.F., Mayer В., Oboznov V.A. Dynamics of sine-Gordon solitons in the annular Josephson junction // Phys. Rev. Lett. 1992. - V.69. - P. 1815.

63. Tsuei C.C., Kirtley J.R. Pairing symmetry in cuprate superconductors // Rev. Mod. Phys. 2000. - V.72. - P. 969-1016.

64. Smilde H.J.H., Ariando, Blank D. H. A., Gerritsma G.J., Hilgenkamp H. and Rogalla H. i/-Wave-Induced Josephson Current Counterflow in

65. УВагСщОт/Nb Zigzag Junctions // Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 88. - P. 057004-057008.

66. Goldobin E., Koelle D., Kleiner R. Semifluxons in long Josephson 0-p-junctions // Phys. Rev. B. 2002. - V. 66. - P. 100508(R).

67. Goldobin E., Koelle D., Kleiner R. Ground states and bias-current-induced rearrangement of semifluxons in 0-p long Josephson junctions // Phys. Rev. B. -2003. V. 67. - P. 224515.

68. Lazarides N. Critical current and fluxon dynamics in overdamped 0-я- Josephson junctions // Phys. Rev. B. 2004. - V. 69. - P. 212501-212504.

69. Buzdin A.,Koshelev A.E. Periodic alternating 0- and 7r-junction structures as realization of ф-Josephson junctions // Phys. Rev. B. 2003. - V. 67. -P. 220504(R).

70. Tsuei C.C. and Kirtley J.R. d-Wave pairing symmetry in cuprate superconductors fundamental implications and potential applications //Physica C. -2002.-V.367.-P.1-10.

71. Кулик И.О. ЖЭТФ. 1966. - №51. - С. 1952.

72. Scott A.C. Am. J. Phys. 1969. - V.37. - P.52.

73. Fulton T.A., Dyne R.C. Solid State Comm. 1973. - V.12. - P.57.

74. Kulik O.I., Yanson I.K. The Josephson Effect in Superconducting Tunneling Structures. Jerusalem: Keter Press, 1972.

75. Ustinov A.V. Solitons in Josephson junctions // Physica D. 1998. - V. 123.-P.315-329.

76. Fulton Т.A., Dyne R.C. Single vortex propagation in Josephson tunnel junctions // Solid State Comm. 1973. - V. 12. - P.57-61.

77. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Asymptotic states in long Josephson junctions in an external magnetic field // Phys. Rev. B. 1994. -V.49. - №. 17. - P. 12036-12040.

78. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Effect of memory and dynamical chaos in long Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1995. - V.51. -№.18.-P.12737-12741.

79. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Bifurcations and a chaos strip of long Josephson junctions // Low Temp. Phys. 1999. - V.25. - №.7. -P.530.

80. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Flux quantization in stationary and nonstationary states in long Josephson junctions // Low Temp. Phys -2000. V.26. - №. 11. - P. 1067.

81. Bishop A.R., Fesser K., Lomdahl P.S., Kerr W.C., Williams M.B., Trullin-ger S.E. Coherent Spatial Structure versus Time Chaos in a Perturbed Sine-Gordon System // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.50. - P. 1095-1098.

82. Nozaki K. Stochastic Instability of Sine-Gordon Solitons // Phys. Rev. Lett.- 1982.-V.49.-P. 1883-1885.

83. Soerensen M.P., Arley N., Christiansen PL., Parmentier R.D., Skovgaard O. Intermittent Switching between Soliton Dynamic States in a Perturbed Sine-Gordon Model // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 51. - P. 1919-1922.

84. Yeh W.J., Symko O.G. and Zheng D.J. Chaos in long Josephson junctions without external rf driving force // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 4080-4087.

85. Rotoli G. and Filatrella G. Chaotic dynamics in the map model of fluxon propagation in long Josephson junctions // Phys. Lett. A. 1991. - V. 156. -P. 211.

86. FiIatrella G. and Rotoli G. Temporal chaos of soliton dynamics in the PDE model of long Josephson junctions // J. Phys. A. 1993. - V. 26. - P. 4937.

87. Salerno M. Suppression of phase-locking chaos in long Josephson junctions by biharmonic microwave fields // Phys. Rev. B. 1991. - V. 44. - P. - 2720-2726.

88. FilatreIla G, Rotoli G., and Salerno M. Suppression of Chaos by weak periodic signals // Phys. Lett. A. 1993. - V. 178. - P. 81.

89. Eriksen F.G. and Hansen J.B. Perturbed period-doubling bifurcation. II. Experiments on Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1990 - V.41. - P. 4189-4194.

90. Yao X., Wu J.Z. and Ting C. Onset of chaos in Josephson junctions with intermediate damping // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 244-250.

91. Soerensen M.P., Arley N., Christiansen P.L., Parmentier R.D., and Skov-gaard 0. Intermittent Switching between Soliton Dynamic States in a Perturbed Sine-Gordon Model // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 51. - P. 19191922.

92. Malomed B.A. Oscillations of a fluxon in a finite-length ac-biased Joseph-son junction // Phys. Rev. В. 1990. - V. 41. - P. 2037-2040.

93. Davidson A. and Santhanam P. Coulomb blockade and remnants of chaos in dissipative quantum tunnel junctions //Phys. Rev. B. 1992. - V. 46. - P. 3368-3373.

94. Kenfack A. and Kofane T.C. Chaos in rf-driven long Josephson junctions in the presence of an external field // Phys. Rev. B. 1995. - V. 52. - P. 10359-10363.

95. Smith T.I. Observation of persistent currents in a superconducting circuit containing a Josephson junction // Phys. Rev. Lett. 1965. - V.15. - P.460-462.

96. Josephson B.D. Supercurrents through barriers // Adv. Phys. 1965. -V.14.-P.419-451.

97. Andersen P.W. Josephson Effect and quantum coherence measurements in superconductors and superfluids // Progress in Low Temperature Physics. -1967.-V.5.

98. Owen C.S. and D.J. Scalapino Vortex structure and critical currents in Josephson junctions // Phys. Rev. 1967. - V. 164.

99. Lax P.D. Comm. Pure. Appl. Math. 1968. -V. 21.

100. Barone A., Esposito F., Magee C.J., Scott A.S., Riv. Nuovo Cimento. -1971.-V. l.-P. 227.

101. Абрикосов A.A. ЖЭТФ. 1957. -T.32. - C.1442.

102. Ю7.Коша А. Вариационное исчисление. M.: ВШ, 1983.

103. Ю8.Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. 2001. - В. 2. - №20. - С. 22-24.

104. Filatrella G., Pagano S., Parmentier R.D., Christiansen P.L., Soerensen M.P. and Granbech-Jensen N. On the switching between soliton dynamic states in long Josephson junctions // Phys. Lett. A. 1992. - V. 172. - P. 127.