Нелинейные колебания электромеханических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.1

1. Моделирование процесса динамического взаимодействия колебательной системы и источника энергии.10

1.1 Двигатели постоянного тока с различными способами возбуждения. 11

1.2 Описание метода осреднения.16

1.3. Исследование устойчивости стационарных режимов.19 движения.19

2. Упругий способ возбуждения колебаний.22

2.1 Вывод уравнений движения колебательной системы.22

2.2 Осредненные уравнения.;.24

2.3 Устойчивость стационарных режимов движения.28

2.4 Численное интегрирование уравнений движения.34

3. Инерционный способ возбуждения колебаний.38

3.1 Вывод уравнений движения колебательной системы. 38

3.2 Осредненные уравнения.41

3.3 Устойчивость стационарных режимов движения.46

3.4 Численное интегрирование уравнений движения.47

4. Взаимодействие двух возбуждений в колебательной системе.51

4. Взаимодействие двух возбуждений в колебательной системе.52

4.1 Вывод уравнений движения.52

4.2 Исследование системы уравнений методом малого параметра.55

4.3 Исследование взаимодействия источников энергии несогласованной мощности методом осреднения.59

4.4. Случай источников энергии соизмеримой мощности.67

4.5 Численное интегрирование уравнений движения колебательной системы.70

4.6 Уравнения движения электромеханической системы в безразмерных переменных.76

Актуальность темы. Прошло более 400 лет с того момента, когда Галилео Галилей [24] впервые изучал закон колебаний маятника. И до настоящего времени исследованиям колебательных процессов придается большое значение в самых разнообразных разделах механики. Подтверждениям этому может служить высказывание академика Н. Д. Папалекси: «Не будет, вероятно, преувеличением сказать, что среди процессов, как свободно протекающих в природе, так и используемых в технике, колебания, понимаемые в широком смысле этого слова, занимают во многих отношениях выдающееся, часто первенствующее место» [83]. Можно привести множество примеров, иллюстрирующих важность колебательных явлений в технических устройствах.

В одних случаях колебания могут причинить значительный вред -создать угрозу прочности таким конструкциям как турбинные лопатки, воздушные винты, мосты . Известно, что некоторые виды колебаний неоднократно служили причиной многих аварий, а порой и катастроф. Колебания могут нарушать нормальные условия эксплуатации - приводить к вибрации станков, изменять характеристики приборов, установленных на вибрирующем основании (автомобиль, самолет), и влиять на точность их показаний [33]. Колебания могут оказывать и вредное физиологическое воздействие на людей, организм которых подвергается воздействию длительной вибрации. В то же время колебания могут оказывать положительные воздействия. Все шире применяются технологические процессы, основанные на использовании искусственно возбуждаемых колебаний, как, например, вибропогружение свай, вибротранспортировка сыпучих материалов.

В современной технике часто встречаются конструкции, в которых механизмы работают на подвижном основании. Естественно, что вибрация основания может оказывать на характер движения и режим работы механизмов существенное влияние. Накопленный опыт свидетельствует о том, что в некоторых случаях она приводит не только к количественным, но и к качественным изменениям характеристик движения. Поэтому большой интерес как теоретический, так и прикладной представляют исследования различных форм движения колебательных систем под действием источников энергии, в частности, ограниченной мощности. Такое движение сопровождается взаимным воздействием друг на друга источника энергии и колебательной системы.

Накопленные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что колебательная система может проявлять при вынужденных колебаниях особенности характера движения, не соответствующие представлениям существующей теории. Специфические особенности движения таких объектов, в которых проявляется взаимное влияние колебательной системы и источника энергии, требуют дополнительных исследований, базирующихся на классических экспериментах.

Одним из первых таких экспериментов, описанных в литературе, является классический опыт немецкого ученого Арнольда Зоммерфельда (1904 г.) [5]. Колебательной системой в этом опыте служил стол, на котором был установлен неуравновешенный электродвигатель небольшой мощности. Частота возмущающей силы регулировалась путем изменения подводимого к электродвигателю напряжения. В этой работе было установлено, что при увеличении расхода энергии, подводимой к электродвигателю, число оборотов его изменялось неравномерно. А именно: число оборотов мотора (частота вынужденных колебаний стола) оставалось неизменным в области, включавшей резонанс до тех пор, пока амплитуда изменялась до своего максимума, в то же время расход энергии увеличивался примерно вдвое. Затем, пройдя через резонанс, амплитуда колебаний значительно уменьшалась, а частота вынужденных колебаний (число оборотов двигателя) возрастала скачком (Рис. 1). Описанное явление, которое наблюдается вследствие обратного влияния колебаний стола на угловую скорость источника энергии, вошло в науку под названием эффекта Зоммерфельда.

В литературе описаны интересные случаи проявления этого эффекта [18]. Так, машинисту локомотива не удавалось увеличить скорость движения поезда плавно до нужного значения, она увеличивалась скачкообразно. Оказалось, что вблизи определенного значения скорости частота колебаний вагонов, возбуждаемых прохождением колесами стыков рельсов, оказывалась близкой к частоте колебаний жидкости в частично заполненных цистернах. Этот случай является примером того, что эффект Зоммерфельда может быть обусловлен и другими причинами, а не только неуравновешенностью ротора.

Позднее этим экспериментом заинтересовался С. П. Тимошенко [92]. Им были получены результаты, свидетельствующие об особом интересе, который следует уделить вопросам рассеяния энергии и поглощения ее фундаментом, однако, механизм взаимодействия колебательной системы и источника энергии в этой работе не получил достаточного объяснения. В дальнейших экспериментам было дополнительно установлено, что вид резонансной кривой может изменяться в зависимости от того, была ли она получена при постепенном увеличении или, наоборот, при постепенном уменьшении частоты возмущающей силы. Это свидетельствует о том, что не удается реализовать убывающую ветвь резонансной кривой. Весьма наглядны в этом отношении опыты А. К. Калищука [31] и В. С. Мартышкина [72], результаты которых приведены на рис. 2 и 3. Отметим, что опыт А. К. Калищука был проведен в лаборатории вибраций Ленинградского государственного университета в конце 1930-х годов.

С W

16 о

5№ Юво Ш 20002500 л щ ш в № № № го гг

Рис.2

Рис. 3

Первая попытка аналитического рассмотрения задачи о взаимодействии линейной колебательной системы с источником энергии была предпринята И. Рокаром [4], который опубликовал решение задачи о колебаниях системы, возбуждаемых силами инерции неуравновешенной вращающейся массы, приводимой в движение электродвигателем, момент которого линейно зависел от скорости вращения. В этой работе было установлено существование области неустойчивых режимов колебаний, положение которой было уточнено при изложении аналогичной задачи в монографии Р. Мазе [2].

Исследованиям эффекта Зоммерфельда посвящено много работ. Некоторые из них представляют значительный интерес. В частности, отметим работу И. И. Блехмана [15], из которой следует, что режим колебаний при резонансе может оказаться неустойчивым, и система скачкообразно перейдет в новое состояние устойчивого движения, которое окажется расположенным за областью резонанса.

Вопросы взаимодействия колебательной системы и источника энергии получили развитие в работах В. О. Кононенко [36-43], причем в уравнения движения им была введена статическая механическая характеристика источника энергии в виде заданной нелинейной функции скорости вращения. Изучение устойчивости стационарных режимов движения позволило получить условия их неустойчивости, проанализировать возможности срыва колебаний. При этом использовался несколько иной вид классического критерия устойчивости Рауса-Гурвица.

Следует отметить, что колебательную систему, вынужденные колебания которой возбуждаются источником энергии, можно рассматривать как электромеханическую систему (ЭМС), которая представляет собой совокупность механических частей и электрических цепей с взаимообусловленными механическим и электромагнитными процессами.

Наибольшее распространение для получения уравнений движения колебательных систем с сосредоточенными параметрами получила форма уравнений Лагранжа II рода [45], имеющих следующий вид: d дТ дТ Ш 3D . . .

----+-+-= Q., j = 1,2.п dt dcjj dqj dqj dqj где T,TL,D - соответственно кинетическая, потенциальная энергия и диссипативная функция системы, q - обобщенная координата, Q обобщенная сила.

Их обобщение для электромеханических систем, а именно, включение в функции T,H,D электрических составляющих было предложено Максвеллом [69], и поэтому они получили название уравнений Лагранжа-Максвелла. Этот аппарат позволил учесть непосредственное взаимное влияние источника энергии и колебательной системы. Такой подход был использован в работах А. Ю Львовича [62-65]. В рамках этой модели оказалось возможным уточнение уравнений движения самих источников энергии -электродвигателей. Отметим, например, работы В. А. Диевского [26-29] и Ф. Ф. Родюкова [67,68].

Следует также отметить, что системы дифференциальных уравнений, описывающие движение электромеханических систем, являются во многих случаях нелинейными, поэтому они требуют специальных методов решения. Известно, что достаточно хорошее первое приближение можно получить методом осреднения [11, 19], а также методом малого параметра [22, 77]. Метод осреднения принадлежит к так называемым асимптотическим методам, которые с успехом были использованы в работах П. Е. Товстика, 6

С. Б. Филиппова [94], К. В. Холшевникова [104], К. Ш. Ходжаева [98, 102, 103]. В работе А. А. Алифова [8] и монографии А. А. Алифова и К. В. Фролова [10] была предложена несколько отличающаяся от общепринятой замена переменных, позволившая привести систему к виду, оптимальному для аналитических исследований.

Цель работы заключается в составлении и исследовании полных уравнений движения электромеханических систем в форме Лагранжа-Максвелла как аналитическими, так и численными методами, а также в аналитическом исследовании устойчивости стационарных режимов движения, позволившем определить области устойчивости при различных способах возбуждения.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы уравнения движения источников энергии, предложенные А. Ю. Львовичем, Ф. Ф. Родюковым и В. А. Диевским и методы осреднения, разработанные Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, Ю. А. Митропольским, Н. Н. Моисеевым, К. Ш. Ходжаевым, А. А. Алифовым, К. В. Фроловым. Для выявления областей устойчивости стационарных режимов используется классический критерий Рауса-Гурвица. Численное решение систем уравнений произведено с помощью ЭВМ.

Научная новизна. В работе составлены полные уравнения движения ЭМС в форме Лагранжа-Максвелла, что позволило учесть взаимное влияние механических, электрических и электромагнитных процессов. В предыдущих исследованиях [10,14, 34, 35, 37, 38], в основном, учитывалось влияние источника энергии на механическую часть ЭМС только в форме его статической механической характеристики. При совместном анализе уравнений, описывающих механические и электрические процессы для стационарных режимов движения получены значения амплитуды и фазы вынужденных колебаний, а также тока в обмотке якоря источника энергии. Впервые рассмотрено уравнение, характеризующее частоты вынужденных колебаний, в которое явно входит характеристика источника энергии. Полные уравнения движения ЭМС, в которую входят два источника энергии, впервые исследованы с помощью метода малого параметра. В этом случае также показано, что суммарное влияние на колебательную систему двух источников энергии уменьшает вибрацию платформы. Впервые уравнения ЭМС с электродвигателями постоянного тока приведены к безразмерной форме, что автоматически выявило малость правых частей этих уравнений.

Результаты, выносимые на защиту:

• исследованы полные системы уравнений Лагранжа-Максвелла при упругом и инерционном способах возбуждения комбинационных резонансов. Каждая из систем имеет две механические и одну электрическую степени свободы. Найдены условия устойчивости стационарных режимов движения • проведен качественный и количественный анализ ЭМС, содержащей два источника энергии как соизмеримой, так и несоизмеримой мощности. Система имеет три механических и две электрических степени свободы. Метод малого параметра и метод осреднения применены к анализу полной системы уравнений ЭМС • выявлена область критических значений подводимого напряжения.

Практическая значимость. Исследование стационарных режимов движения позволило выявить области неустойчивых режимов работы

Рассматриваемых ЭМС и дать для них аналитические оценки. Показано как с помощью изменения конкретных параметров можно избежать критических с точки зрения эксплуатации этих систем ситуаций.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного Университета, на V Международной конференции «Проблемы Пространства, Времени, Движения» (Санкт-Петербург, 1998), на Международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» (Санкт-Петербург, 1999), на Международной научно-практической конференции «Вторые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2000).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [51-54, 56-58, 60]

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 104 наименование. Общий объем диссертации 93 страницы, включая 22 рисунка.

Заключение.

Таким образом, рассмотрено несколько задач о взаимодействии колебательной системы с одним и двумя источниками энергии. Составлены полные уравнения движения ЭМС в форме Лагранжа-Максвелла, что позволило учесть взаимное влияние механических, электрических и электромагнитных процессов. В предыдущих исследованиях, в основном, учитывалось влияние источника энергии на механическую часть ЭМС только в форме его статической механической характеристики. При совместном анализе уравнений, описывающих механические и электрические процессы для стационарных режимов движения получены значения амплитуды и фазы вынужденных колебаний, а также тока в обмотке якоря источника энергии. Условия устойчивости стационарных режимов при этом уточняются, так как включают и параметры источника энергии. Впервые рассмотрено уравнение, характеризующее частоты вынужденных колебаний, в которое явно входит характеристика источника энергии. В случае одного источника энергии колебания возбуждались силами инерции и силами неуравновешенных эксцентриков. Полученные системы уравнений интегрируются методом осреднения, причем вид решения несколько отличается от общепринятого, что позволяет исследовать комбинационные резонансы. Выявлены области значений частоты вынужденных колебаний, которых следует избегать на практике. Даны рекомендации для регулирования угловой скорости вращения ротора. В случае взаимодействия двух возбуждений в электромеханической системе рассматривается несколько вариантов: источники энергии несоизмеримой мощности - когда влиянием на колебательную систему более мощного источника энергии можно пренебречь и источники энергии ограниченной мощности, когда учитывается влияние на колебательную систему обоих источников энергии. Полные уравнения движения ЭМС, в которую входят два источника энергии, впервые исследованы с помощью метода малого параметра. Впервые уравнения ЭМС с двумя электродвигателями постоянного тока приведены к безразмерной форме, что автоматически выявило малость правых частей этих уравнений.

Численное интегрирование системы уравнений движения показывает, что суммарное влияние на колебательную систему двух источников энергии сглаживает колебания платформы и, следовательно, уменьшает вибрацию, что способствует улучшению эксплуатации электромеханических систем. Численное интегрирование системы уравнений движения проведено методом Рунге-Кутта для размерных и безразмерных величин. В обоих случаях получено, что для того, чтобы добиться минимальных значений амплитуды колебаний платформы, что важно при реальной эксплуатации колебательной системы, следует избегать малых значений подводимого напряжения.

1. Koenig Н. Е., Blackwell W. A. Electromechanical System Theory, New York, 1961.

2. Mazet R. Mechanique vibratoire. Paris, 1955, 368 p.

3. Moser J. A new technique for construction of solutions of nonlinear differential equations. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 47, № 11, 1961, p. 1824-1831.

4. Rocard Y. Dinamique generale des vibrations, Paris, 1949, 458 p.

5. Sommerfeld A. Naturwissenschaftliche Ergebnisse der neueren technishen Mechanik. //VDI, 1904, N 18, p. 631-636.

6. Sommerfeld A. Vorlessungen uber theoretische Physik, Bd. 1. Mechanik, Leipzig, 1949.

7. Алидема P. И., Родюков Ф. Ф. Виброплощадка с инерционным возбуждением колебаний от асинхронного двигателя./УВторые Поляховские чтения. Избранные труды. СПб., 2000. с. 54-64.

8. Алифов А. А. Обобщение критериев Рауса-Гурвица в форме Кононенко на системы n-го порядка; метод усреднения для анализа колебаний систем, взаимодействующих с источниками энергии.//Ин-т машиновед. АН СССР. М., 1984. 11 с. Деп в ВИНИТИ, 1985, № 356.

9. Алифов А. А., Глухарев К. К., Фролов К. В. К теории колебаний элементов машин, содержащих источники энергии ограниченной мощности. //Механика машин, 1980, № 57, с. 52-57.

10. Алифов А. А., Фролов К. В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М., 1985. 328 с.

11. П.Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., 1981, 568 с.

12. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., 1979, 432 с.

13. Бишоп Р. Колебания, М., 1986, 192 с.

14. Блехман И. И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии вибрации на нелинейные механические системы. // Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 6, с. 13-27.

15. Блехман И. И. Самосинхронизация вибраторов некоторых вибрационных машин. //Инж. сборн., т. XVI, 1953. с.

16. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. М., 1981,351 с.

17. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М., 1971, 312с.

18. Блехман И. И. Что может вибрация? М., 1988, 208 с.

19. Боголюбов И. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. 1974, 504 с.

20. Булгаков Б. И. Колебания. М., 1969, 892 с.

21. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М., 1976, 384 с.

22. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М., 1971, 506 с.

23. Вольдек А. И. Электрические машины. JL, 1978, 832 с.

24. Галилей Г. Избранные труды. Т.2. Механика., М. 1964.

25. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике, М., 1966, 300с.

26. Диевский В. А. К описанию процессов в электрических машинах с коммутацией.// Прикл. мех., вып. 4, Л., 1979, с. 60-66.

27. Диевский В. А. К теории коллекторного линейного электродвигателя постоянного тока.//Прикл. мех., вып. 3, Л., 1977, с. 218-223.

28. Диевский В. А. Математическое описание коллекторного линейного электродвигателя с учетом коммутации. //Вестник ЛГУ, 1978, № 19, с. 155.

29. Диевский В. А., Львович А. Ю. Об одной модели коллекторной машины постоянного тока. //Вестник ЛГУ, 1976, № 7, с. 93-102.

30. Каваляускас А. П., Львович А. Ю. К задаче о взаимодействии неидеальных возбудителей с колебательными системами. // Прикл. мех., Л., 1988, вып. 7, с. 39-47.

31. Калищук А. К. Элементарный способ изучения динамических свойств систем. ЖТФ, вып. 8, 1939.С. 687-696.

32. Квасников Б. Н. Оценка погрешностей в некоторых задачах теории колебаний. Л., 1993, 51 с.

33. Кельзон А. С., Яковлев В. И. Опыт приближения к практическим вопросам раздела «Вынужденные колебания материальной точки» в курсе теоретической механики // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. М., 1982, вып. 12, с. 45-50.

34. Колпакова Л. В. Синхронизация в колебательной системе с ограниченным возбуждением. //Вестник ЛГУ. 1971, № 19, с. 97-103.

35. Кононенко В. О. Вопросы теории динамического взаимодействия машины и источника энергии. //Изв. АН СССР, МТТ, 1975, № 5, с. 1930.

36. Кононенко В. О. Вынужденные колебания системы с источником энергии в случаях малой нелинейности. //Изв. АН СССР,ОТН.1960, №6.

37. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М., 1964. 256 с.

38. Кононенко В. О. Нелинейные колебания механических систем. Киев, 1980, 382 с.

39. Кононенко В. О. О прохождении через резонанс колебательной системы, содержащей двигатель.//Тр. Семинара по прочности АН СССР, вып. 5,1958.

40. Кононенко В. О. О резонансных процессах в колебательной системе, содержащей двигатель.//Изв. АН СССР, ОТН, № 2,1959.

41. Кононенко В. О. Резонансные колебания вращающегося вала с диском.// Изв. АН СССР, ОТН, № 7, 1958. V

42. Кононенко В. О. Резонансные свойства центробежного вибратора. //Тр. ИМАШ АН СССР, вып. 71, 1958.

43. Кононенко В. О., Фролов К. В. О взаимодействии нелинейной колебательной системы с источником энергии.// Изв. АН СССР, ОТН, №5, 1961.

44. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику, Киев, 1937.

45. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1. M.-JL, 1950, 594 с.

46. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика, М., 1965.

47. Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый А. И. Частотные методы в теории колебаний, т. 2, СПб, 1992,164 с.

48. Лестев А. М. Резонансные явления при движении гироскопа в кардановом подвесе на вибрирующем основании. //Изв. Вузов. Приборостроение, 1977, № 2, с. 86-91.

49. Лопатухин А. Л., Лопатухина И. Е., Поляхова Е. Н., Поляхов Н. Н. О работах М. В. Остроградского в области баллистики и аналитической механики (к 200-летию со дня рождения).//Вторые Окуневские чтения: Тезисы докладов, СПб, 2000, с. 200-204.

50. Лопатухин А. Л., Лопатухина И. Е., Поляхова Е. Н., Поляхов Н. Н. К 150-летию со дня рождения Софьи Ковалевской.// Вторые Поляховские чтения: Избранные труды, СПб, 2000, с. 39-52.

51. Лопатухина И. Е. Вынужденные колебания в электромеханической системе // Прикл. мех. Л., 1988. Вып. 7. с. 47-52

52. Лопатухина И. Е. Исследование движения электромеханической системы с помощью уравнений Лагранжа-Максвелла. // Тезисы докладов V международной конференции «Проблемы Пространства, Времени, Движения», СПб, 1998, с.29-30.

53. Лопатухина И. Е. Исследование совместной бесперебойной работы электродвигателей на поточных линиях. // Внедрение механизированных и автоматизированных поточных линий в производство, Киев, 1975, с 25-26.

54. Лопатухина И. Е. О взаимодействии двух возбуждений в одной электромеханической системе // Прикл. мех. Л., 1979. Вып. 4. с. 86-90

55. Лопатухина И. Е. О преподавании курса «История механики» в Санкт-Петербургском государственном университете.// Прикл. мех., СПБ, 1997. Вып. 10, с. 189-190.

56. Лопатухина И. Е. Об устойчивости стационарных режимов движения электромеханической системы //Прикл. мех. Л., 1995. Вып. 9. с. 79-83

57. Лопатухина И. Е. Устойчивость стационарных режимов движения электромеханической системы // Тезисы докладов международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий», СПб, 1999, с. 44

58. Лопатухина И. Е. Эффективное использование электромеханических систем производственного оборудования. // Эффективноеиспользование оборудования и техническое перевооружение предприятий. Киев, 1976, с. 8-9.

59. Лопатухина И. Е., Поляхова Е. Н. О методической особенности изложения курса истории механики в курсе лекций Н. Н. Поляхова в 60-70-х годах. // Вторые Поляховские чтения: Тезисы докладов, СПб, 2000, с. 143.

60. Лопатухина И. Е., Федосеева М. В. Колебания электромеханической системы, возбуждаемые двумя электродвигателями // Вторые Окуневские чтения: тезисы докладов, СПб, 2000, с 145.

61. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., 1961, 824 с.

62. Львович А. Ю. К задаче о вибропогружении.//Прикл. мех., вып. 9, СПб, 1995, с. 57-64.

63. Львович А. Ю. Механические колебания, возбуждаемые электродвигателем.//Вестник ЛГУ, 1968, № 7, с. 45-58.

64. Львович А. Ю. О структуре двух форм уравнений Лагранжа-Максвелла. //Вестник ЛГУ, 1989, № 22, с. 53-58.

65. Львович А. Ю. Электромеханические системы. Л., 1989, 296 с.

66. Львович А. Ю., Поляхов Н. Н. Приложение неголономной механики к теории электромеханических систем. //Вестник ЛГУ, 1977, № 13, с. 137-146.

67. Львович А. Ю., Родюков Ф. Ф. Приложение механики к расчету электромеханических систем. //Вестник ЛГУ, 1980, № 7, с.70-76.

68. Львович А. Ю., Родюков Ф. Ф. Уравнения электрических машин, СПб, 1997, 270 с.

69. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М., 1952, 688 с.

70. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний, М., 1972, 470 с.

71. Мартыненко Ю. Г., Новожилов И. В., Разделение движений вэлектромеханике систем твердых тел. // Механика и научно-техническийпрогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М. 1987. с. 156-169.

72. Мартышкин В. С. Установка для изучения динамических характеристик строительных материалов. // Динамические свойства строительных материалов, М., 1940. с.

73. Мельников Г. И. Расширенная система уравнений Лагранжа и уравнение энергии // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. М., 1982, вып. 12, с. 29-34.

74. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М., 1987, 304 с.

75. Митропольский Ю. А. Асимптотические методы и развитие нелинейной механики //Механика и научно-технический прогресс, т. 1, Общая и прикладная механика. М. 1987. с. 72-87.

76. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике, Киев, 1971,440 с.

77. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., 1981. 400 с.

78. Морозов Н. Ф. Избранные двухмерные задачи теории упругости. Л., 1978,181 с.

79. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем, М., 1967, 520 с.

80. Пальмов В. А. Колебания упруго пластических тел. М., 1976.

81. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М., 1991, 256 с.

82. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., 1987, 352 с.

83. Папалекси Н. Д. Собрание трудов. М., 1948

84. Поляхов Н. Н. О дифференциальных принципах механики, получаемых из уравнений движения неголономных систем.//Вестник ЛГУ, 1974, №13, с 106-114.

85. Поляхов Н. Н. Уравнения движения механических при нелинейных неголономных связях.//Вестник ЛГУ, 1974, № 13, с. 124-132.

86. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. М., 2000. 592 с.

87. Регель В. Р., Слуцкер А. И., Томашевский Э. Е. Кинетическая природа прочности твердого тела. М., 1974, 560 с.

88. Реймерс Н. А., Ходжаев К. ILL, Усреднение квазилинейных систем со многими быстрыми переменными // Дифференциальные уравнения. 1978 Т. 14. №8. с. 1388-1396.

89. Саратов Ю. С. К вопросу формирования дифференциальных уравнений движения нелинейных систем //Сб. научно-методических статей по теоретической механике. М., 2000, вып. 23, с. 53-57.

90. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М., 1952,184 с.

91. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., 1976. 624 с.

92. Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. М., 1931, 444 с.

93. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М., 1985,472 с.

94. Товстик П. Е., Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб, 1995, 184 с.

95. Уайт Д., Вудсон Г., Электромеханическое преобразование энергии. М, 1964. 528 с.

96. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. М.-Л.,1957, 424 с.

97. Фролов К. В. Нелинейные резонансные эффекты в механических системах при учете свойств источника энергии //Вестник АН СССР, 1987, № 10, с. 9-20.

98. Фролов К. В., Ходжаев К. Ш. Взаимодействие источника возбуждения с колебательной системой.// Вибрации в технике. М., 1979. т. 2. с.

99. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М., 1988, 184 с.

100. Ходжаев К. Ш. Колебания, возбуждаемые электромагнитами, в линейных механических системах //Известия АН СССР, МТТ, 1968, №5, с. 11-26.

101. Ходжаев К. Ш. О влиянии нелинейности в ферромагнетике на колебания, возбуждаемые электромагнитами. //Известия АН СССР, МТТ, 1973, № 6, с 36-46.

102. Ходжаев К. Ш., Шаталов С. Д. О качественном исследовании движений с помощью асимптотических методов нелинейной механики.//ПММ, 1989, т. 44, вып. 5, с. 802-810

103. Ходжаев К. Ш., Шаталов С. Д. О медленных движениях проводящего твердого тела в магнитном поле // Известия АН СССР. МТТ. 1981. №2. с. 175-182.

104. Холшевников К. В. Асимптотические методы небесной механики. Л., 1985, 208 с.