Нелинейные колебания в системах дифференциальных уравнений с импульсным воздействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

О OK S -"'П!?' Акадеык наук Уирамш 1иститут математши

На правах руюпш.у

АХМЕТОВ Марат Убайдуляовнч

НЕЛИИЙШ КОЛИВЛШШ В СИСТЕМАХ ДИФЕРЕНЦ1АЛ' НИХ РШИЯНЬ 3 ШПУЛЬСНОЮ Д1СЮ

01.01.02 - днферешОалът р'тгпшня

АВТОРЕФЕРАТ

дисрцтацп на одобугта »'иного ступенч доктора фЬиво-мачсматичних imyt

Кши

Днсертынею е рухопяс.

Робота пиконана на кафедр'1 диферспщальних та нгтегралыгих р!впгаь Кшвсыого утверситету шеш Тараса Шевчеяка

Науковяв копсультапт - доктор фюико-математичппх наук, професор ПЕРЕСТЮК М.О.

Офщшш опонспти: доктор ф)зию-математ1гчних наук, професор НАГАСВ Р.Ф.

доктор фюино-математичних наук, професор ПОКОРНИЙ Ю.В.

доктор фюижо-иатематичпих иаук, професор СЛЮСАРЧУК В.е.

Пров1дна установа - Саикт-Петербуроький ушверситет.

Захист дисертацн вщбудетъся "..ii^T. " 1994 року

о годин] на oaciflamii cuenianiooBauoi ради Д.016.50.02 при 1нсти-

Tyri математики ЛИ Укралш оа ¡у\ресою: 252С01 КпТв - 4, вул. Терощси Е)вська, 3.

3 днсертат'ею можна оонайомитися n 6i6nioTeni 1нстнтуту. Лвтореферет pooiaiano *1994 р.

Впений секрстар спешадкювапоТ ради

ЛУЧКЛ Л.Ю.

ЗЛГАЛЬНЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТ»

Актуаныпсть теми. Доомджения систем о ронрившшитраекторш-ми е пар;« одним о иайбшьш важлиьих 1 ¡нкавих шшрш.шп у теори ди-ференцЬлмшх ршшш, 1 онаходять оастосуванмя при створснш в1броу-дарних мсхажом'п», шпульсппх систем автоматичного регулюваиия, об-числюшш.них систем, а також у бюлопТта иеднцшп.

У киУпгл.кш школ! нол'иийноУ мехашки роогоряуто широху доиндтпщъку п^ограму оястосупашш ыетодЬ шпспоТ теори овичайних диферешналь-пих ршшшь, сполюцшпнх ртпянь, теорп оптимального ксрунанни, сто-хастичних ршшшь до систем о рооривними трасктор1ями. Рюн! аснеггн Ц1С| программ риоглядалигл у роботах А.М.Саыойлеика, М.О.ПерестюЕа та Ух учшв А.Л.АсялшпЛ, М.М.Астаф'евоУ, О.ВЛЗптаенсыгоУ, ('.М'Ургули, МЛлолова, В.I).Гщука, К.К.С'лгопдисва, 1.Каркипбасва, ВЛиИсовсько"), КЛО.Мамси, Ю.ВД'оговчекка, В.Г.Самойленка, О.М.Станжиц,.»ого, Ю.В. Тенлинсьього, П.I.'Ткячейка, СЛЛ^эофиычуга, ВЛЬШопкоиляса, О.С,Черни-ково!.

Поряд о икапаини шдходом в ¡дои! 1 роовиваються ншп ммоди. Так, в роботах А .А. Андронова, НЛЬПаутша, ЮЛ7Л1еймарка та Ух учгпп дп-наыг!Ш систем« випчалися аа допомогою методу точконих вщображень.

Як один о основних при вивчспш руху у в1броударних системах Ы.Влехмап, А.Е.Кобринсышй, М.З.Коловсмий, Р.Ф.Нагайв оастосову-валп метод припасунаппя.

Як математнчпу модель шпульсних систем, а також для оипеу I го-руваши дискретнимц династиями системами усшшпо опстосовупалм ртшшия в скшченпих рюпицях В.В.Ларш, В.С.Слюсарчуг, Я.аЦишЫ.

Шдкср)вшщтпом 10. В. Покорного рооробляеться теор!а мехаштих моделей, в яких роорипи вадбуваються оа просторового оы'шлою.

1мпульсп1 системи можпа рооглядатп як р^пшпня о? обурепипми типу рооподшв. 1^к1Ш1|!дх1дшшпачаедосл1д}кеш|яС.Т.Э&валшцпна, АН.Оге К!Па, Р.ФЛагаева, Д.Векслера

Робота €.Л.Барбаииша, Я.Курцвейпа, СЛИваб'ша спрагля тому, тип у впвпепш' процес!в о рооривами опайшли оастосувапня поияття м!ря, апарат !птеграл)'в Стшьт'еса, Исроиа, фупкцн обмеженоТ пг-р] ацп.

Задач! шпульсного ксрувашш присвл^спо багато роб!ттголп М.МЛ<р4-совського, досл5джегшя н!д кер1'пняцтвом ВЛ».Ларина, а тавож робот М.Х.Рооова, А.С.КовальовоТ, ТЛЧГнчепа.

3 чпслешшмп оастосупаппямп пов'яоадтй ропиитоз диф^ремшалыт* ртняпь п ропрпппога правок» «тетиною, якнн Сип идтгигтт п дгклд

женмх А.А.Андропова, М.А.Айоермапа, 1Ш.Баутша, Ф.Р.Гантмахера, ВЛ.Благодатських, б.А.Леонтович, С.В.бмельянова, ЮЛ.Неймарка, B.I. Уткша, А.Ф.Фшиова.

Сер ед велико? р1'зйомаштпост1 днференЦ1альннх р]вшшь о 5мпульсною дкю та методов Гх доыи'джеиня впдншмо оас систем, в яких роов'яоки оаонають роорпв!в при досягненш поверхш в рооширеному фаоовому простора або на множиш у фаоовому просторк Tfeuci системн палпвають системами з шпульспою dien у иефюсоват момента часу. Якрао до таких piBniitb приводить б1'льшкть оадач в!броударпоТ техшки. Важливкть Гх доанджепня ще в 1967 роц! шдкресдювали А.Д.Мшшис i А.М.Самойленко (Мьпдаис А.Д., Саыойлеако A.M. Системы с толчками в оадалпые моменты времепи// Мат. сб. - 1967. - Т. 74, выц. 2. - С. 202 - 208.). Але систематичного, о використаигшм досить оагалыюго методичного шдходу доапджеппя не ироводнлоса.

Мета роботи. Роопнток методш досшджеишг днференщальннх р1внякь о ¡мпульспою Д1ею у иефксоваш момента часу, дпференадалышх ршшигь о рооривпою правою частшюю та оастосування Тх для впвченш оадач' про перюдичш, май ж с перюдичш i рекурентш роов'яоки та ште-гральш nonepxni.

Методика дослщження. Застосовуються методи яюспо! Teopil овп-чайвшх диферешпальиих р1вшшь, диферешуалышх р!внянь о роорнвиою правою частипою та теор)я диферешиалышх р1вняпь о ¡мпульспою fliero.

Науаоаа ноамона. Практична та теоретична щпюсть. Робота мае теоретнчний характер.

В1дштимо ocuoBiii реоультати та положения, як1 вионачають наукову новиону ) вииосяться на оахист:

Зведенпя до вивчення систем р!вшшь, в яких шпульап обурення проходить у фшеов&т, попередпъо вибраш належшш чипом момеяти часу. Такс □ведения ввдбувасться оа допомогою локально? (в окол! nonepxni роориву) дефорыацн ¡нтегральиих крнвпх.

Представления система диферепц!алышх р!внянь о ¡мпульспою да ею на поверхиях як едемента тополопчпого або метричиого простору-добутку, спшмножнпками яхого е простори, axi вионачаються 1) правими частицами диференщальвпх рЬняпь ¡мпульспо! системи; 2) воображениями, яч) вгоначають стрябок роов'яожу при шпульенш дн; 3) фунхщями, як> иадиоть поверхш роориву. HaocnoBi такого представления стало можли-мш оастосування методов та прийом1в теори динам1чних систем.

1. У мпожиш кусюпо-нспсрервпих фупхцш, ям, Boarani кажучи, не ма-

ють сшлытпх топок роориву, спсц!алъшгм чином оопаЧена тополопя. На Tí основ! пивчеш оагальш пластнвоси нелппйних шпульсннх систем: icny-ваипя та едшпсть роои'яокт, ncnept. iiiiá оалсжшсть в«д ночатковнх да-них тапараметр1в. Писдене означения ctíhkoctí оа Ляпуиовим роов'яокш дифсрешиалышх ршшшь о ¡мнулъсною десю у нефксоваш момеитн часу.

2. Цноначеш дос" vmií уыовн ¡снуваши обиежених, нерюдичиих та майже иерюдичннх роов'яокЬ слабопелишших ¡мнульсних систем, права частица яких оадоволыше умову Л'тшнця. Доыпджусться стшмс-гь таких систем.

3. Вводиться оппачення диференфальпо? палежност'] довольного cííh- . чецного порядку та акал'тгшоТ оалсжпост! роов'ягшв дифереиц'тлышх ртнянь о ¡мпулъсиою flicio у нефксоват моментп часу. -Встановлеш до-статш умови, оа яких ¡cuyють noxifliii скшчениого порядку i ыожлцве ро-овинишя роов'ясшв в ряд оа початковимп даними та нараме'1 ,>ами. По-будовано алгоритм вноначешш коефннсшт1В роовинегшя в ряд.

4. Метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова оастосоваио для нога ноплешш исобхщшх та достатшх умов кнуваиня иерюдичних та ыани«: перюдичпих роои'лик'т uejiiiimitux систем. Ршглядаютьсл крнтичний та пскрггпггшт вппадки. Виоиачеш умови, о'а яких можлпвий асимито-тпчнпй роовпток оа малнм параметром перюдичпих роов'яокш слабо-iKuiiiiiÍHux piiimnu. та наведено cnoc¡6 побудовн такого роовитку. Уоагаль-пено теорему Ляпунова-Пуанкаре про ст'ишсть перюдичного роов'яоку пел'нпйноТ шпульспоУ спстемя та теорему про умрвну cTÍHKicTb такого роов'яоку. Внвчено падачу про ¡спуваппя та ет'ишсть перюдпчпого та майке перюдпчпого роов'яомв системн о Ьлиульсною д!оо на поверхнях, блиоькоТ до довшьпоТ пелшшпоТ.

5. Доведено твердженпя про ¡спуваппя штегральплх та локально штеградъяпх поверхопь слабонышшшнх шпульсннх систем, в!дпомдп& одпор1дна система для якнх е еЕспошмпиально дпхотишчною (е.д.). Доводиться уоагальпепгц теоремч Ляпунова-Нерона upo умовпу cTiíir.icTb точки спокою. Дооиджуються дпференц)ал1,п) властпвосп штегралышх повсрхош». На етабаоп&п'ишш гшпульсш система пошпрюсться пркпцкл аасдсшш.

G. Досл5джуютьса дпферешппльт пласттюст! portB*soK¡b та аовоак/-чих режимм диферсншалышх pinrraib о рооривною правою частшюю. Наведено оопаченпя диферепц!альпоУ оалежност! дов!льпого скшченпого , порядку i апалггпчпо! oajrexutocxi роов'зкжв гид початшйпх далпх та ti-v раметр!». Даотться доетатш умовп глздкосг! роов'яяпв. Внвчено оадачу

про ¡снувашш перюдичних роов'жшо нелшйнпх систем о роортшаыправою частиною в критичному випадку та для ртшшня, блпоького до до-вшыюго ислпшшого.

7. Введено ооначеппя метричного та тополопчного нростирш хусково-пеперервних фушщш, на основ! як их вионачаютьсл та вивчаються вла-стивост! роорншжх майже перюдичних (м.п.) функцш. Доведено уоа-гальнсния теорем Амерю та Фавара, одшсисно псрсв'1рку спрапсдлипост! уоагальпеиня теорем и Е.Мухамадква, теореми В.М.МЫонщикова про ¡снуваппя грапичпих рехуреитного та майже перюдичного роов'яокш для неавтономно! сиг.теми о 1'мпуд1.сною д!сю на поверхнях, дослужено оадачу про регулярность лшшного диференщального оператора о уповаю роариву, встаиовлено ов'япок гиеГ властивосп о експонеыщ'алыгою днхотом!ек>.

Ропроблет в дисертацн ыстодн досл}джешш дифереш^альннх р'пшлнь а ¡мпульсною д!ею в неф!ксоваш момента часу, диференшалышх р1шшш> о роорнвпою правою частиною можиа оастосовувати до широкого хласу нелншшпх дифереищалышх р1в1шш>. Реоультати можуть бутл внко-ристаш при створенш в1броударних ыехашом!в, в теорл 'нлпулъспого г.еру-вання, прп роов'яоаШн оадач! синтезу керування оа допомогою ковоаючих режнм1в.

Алробац1я роботи. Реоуяьтати, включен! а длсертацш.), допо-в'щалися на Всесоюашн иауковш копференцп "Нелннйш проблем» ди-ференШалытх р!вшшь та ыатематичпоТ фгоики" (м.Терношль, 1989), Республшапськпх школах-семшарах "Роорпвш дшгошчш систсмн" (м. Кшв, 1989; мЯвано-Франкшськ, 1990; ы.Ужгород, 1991), Рооишреиому сем1пар! по теорн и ангин та мехашомт "Мсха1ша в!броударннх систем" (м.Москва, 1988, 1992), Республшапсьхих ¡¿¡жвуо^всысих конференциях по математшв та мехгш'иу (м.Алма-Ата, 1984, 1989), Воронеоькцх матема-тичпнх школах (1992, 1993), Лершш украшсько-амсрнхансьхш матема-тпчшн школ) (м. Судах, 1993), !И)жнародшй колфсреицн "Нелшшш лро-блемп диференшалышх р'шнянь та математнчно? фшпкн - друп боголюбо-вськ! чптання" (м.Киш, 1993), на сешнарах: МДУ шд кер1вшщтвом про-4>ссо1)1в В.М.Мшошцикова, М.Х.Ропова, В.А.Кондрнт'ева (1984, 1992), 1М ЛИ Украши шдкертництвом ахадем|ка Ю.О.Мнтропольського (1993), 1ММ Уральсыого »¡ддЬення РАН гид хср'шнидтвом проф. С.ТЛавал'нцина (1991), "МеханобрГ пщ кор^вшщтвом проф. М.Влсхмана (1992), НД1 математики Ворокеиького ушверсигету шдкерншинтвом проф. Ю.В.Покорною, 1нсипут1 мсх.ипин АН Укранш ш'д кертпшпвом проф. Н.П.Ларша,

г

а також семжарах по дифсренщальиих р'шшпшях у Кшвському ушверси-теть

ПубтквцП. Ocuoiuu реоультати чисертаци опублиоваи» в работах [I - 31]. 1с» сшльних публшацш в дисертацт> включен) т!льки реоультати, отрнмаш дисертаптом самоспйно.

Об'ем та структура. Дисертацшна робота складасться о вступу, шести роодЫв та списку лпсратури о 196 налв i викладепа на 237 сторш-ках.

Осковний omict роботн

У BCTyni наводиться короткий огляд метод!в, як! використовуються pioiiHMH авторами в теори систем о poopimmiun рсюв'яокамн. Опису-ються дв'| модсльгп мехатчш оадач}, досл!джеиня яких можна овести до диферепфалышх р1вняпь о ¡мпульсною дкю в нефнсоват моменти часу. Дано опис основних наукових реоультатш роботи.

У першому роодш дало оагальний опис методу сведения для piBnaiib о ¡мпульсною д1г.ю у пефтсоваш момеити часу. Наведено достатт умови ¡спування обмежеиого роов'яоку, ¡спувания та стшкосп пср'юднчного та майже исрюдпчпого роов'яок1в слабконелшшпоТ ¡мпульсноГ систем«, права частила яко! оадовольняе умову Лтшпця.

У §1 викладеш оагальш питания Teopii дифсрепц1альппх piniiinn, о ¡м-пуяьснок» дкю па иоверхпях.

Нсхай I - числовий иромшок in It. Роопшгсмо множпку Е/ пенерср-впнх олта о рооривами першого роду функцш, впопачеинпх на /, як! прпймаготь оначепня n IV. Припускасться, що мпожина точок рдарчпу южно! о цпх фуикд|й не бш.т, »¡л oninenna i не мае скшченнях грашп-ннх точок в Л1.

Нехан е > 0 - фксоване чпело. Пудемо говорит«, що фуякц!я y(t) 6 S; опаходиться в е-окол! фупкци х(1) 6 Н/, якщо 1) точки роориву фуихц'п у{1) роомицеш в е-околах точок рсорпву фупкци х(1); 2) для ncix i 6 J, як! не лежать в е-околах точок р ipuny фупкци т.(1), справедлива nrplnnkt». ||х(()-,;(0!|<с.

Сукуптсть е-окол!в, с 6 (0, оо), bcix елсмепт!в множили л/ утвортг базу топологи, яку паовемо В-топояогкю.

Пехай дана система дпфррепц!алышх pitmnm, п ¡мпульстда дкм на поверх нях, що мае пи глад

~<=F(t,x), tf-Tdr), Даг|„7;(1) = *,(*), (I)

в яки! х 6 Л", функци F i Ф вшиачеш та неиерервш для bcíx i € Л, i £ /Г, ¡ 6 2 (2 ■ множина ni л их чисел), поверхш роориву Taxi, що T¡(x) < 7i+1(x),« € Z.

Дал-1 пiд правою частиною ¡миульсно! система виду (1) будемо рооукпти TP¡HKy{F, {<!»,},№}}•

íiexaíi x(t) ■ роов'яоок системи (1), I = r¡ - впорядковаяа последовшсть точок роорпву цього рооп'яоку.

Будемо говоритн, що роов'яоок x(t) оадовольняе а-умову, якщо icnye число 0 6 fí',0 > 0, таке, що для ncix i: r¡+1 - r¡ > б; Д-умову, якщо опайдеться ц:лс число к > 0 тале, "що кошгнй одшшчлий в|др]оох дшсно; прямо! R mícthtl не бшьше, ni ж А;'точок аосл!довпост1 r¡.

Якщо кожпий роов'яоок системи (1) оадопольпяе а-умову (Р -умову) о одним i тим же числом в (вдоюввдно к), то будемо говорити, що система (I) оадопольпяе а-умову (/?-умопу).

Принустнмо, що x(t) оадоволыше хоча б одну о умов а чи ¡3 i ви-оначений на пром!жку / = [а,оо) при дсякому а £ R. Тод] роов'яоок наоивасться нескшченио продовжуваним вправо.

Ооначеши 1.1. Розв'язок х{1) системи (1) називаеться B-cmtüKxut за Ляпуновим (просто В-стШким), skiцо для дооиьних с та t¡¡ > а icnye diücuc число 6 > 0 такс, що роз о 'язок y(t) nicí системи, який задаеолъняе умоау ||*(ío) — у('о)|| < находиться о е-околг роза 'язку x(t) на промхжку / = [/о,+оо). Точка i0 не пооинна бути точкою ро-зриву розв'язкгв x(t) та у(1).

Ооначення 1.2. Розв'язок x(t) pietiswu (1) назисас.тъся нестШким, якщо для дсяких с > 0 i í0 € I та довыьиого 6 > 0 icnye такий роз в 'язок y{t), ъцо |[*(t0) - t/(t0)¡| < 6, точка t0 не с точкою розриву розо'язтв i y(t) к с ка,1схситъ е-околу z(t) на пролйжку I = [í0,+co).

Ооначення 1.3. В-с.тШкий розе 'язок x(t) системи (1) називаеться П-асимптотично ст»йкид4, якщо eiu B-cmiüxuü i ienye такс diücitc число f> > П, що для ocix e > 0, U > а та реза'хзку y(t), ||a;(io) - y(to)|| < 6 шаНдгться diücne число 9 > U таке, vio y(t) належитъ е-околу x(t) при

I = ¡Moo).

Оагальиа характеристика методу сведения. Застосувашш ме-и>ду пведепия до системи (1) полягае в тому, що деяк! П властивосп до-1Л1джуютъс.я па основ) вивченая в]дпов1дних влас/гивостсй р1вняння

^ = t Ф г„ Д;/и = ВД. (2)

di

де ^ - дся*а впорядковаиа поайдовгасп. дшених чисел, IVj : Rn -+ /Г -

спец5алъшш чипом побудоваш вщображенпя.

Пехай П, С й" - обмежеиа область, - обмежений ¡нтервал i j > О, к > 0 - цш числа. Поопачимо _

n= {(t,®,»)|ten(1xen„» = ;,j + fc}

Нехай Г,- - поверхш роориву для (1). Припустимо, що I* ыожна шшп-сати у впгляд11 = г,- + б,(г), | 0<(х) |< и < -Нэо, > 6 Z,

Дал1 символом [а,Ь| будемо пооначати в!др!оок (a,i), якщо а <Ь \ Biflpi-оок (Ь, о], якщо Ь < а. Заф5ксуемо ». Нехай i0(() - рсюа'яоок оадач! Кош\

^=F(t,x), х(0 = х. (3)

Поопачимо t = в; - момент оустр)ч! роов'яоку Zo(*) о Г,-. Иважа-ючп, що рооп'яоок ii(i) ртияпня (3) о початковою умовою Х| (0,-) == яо(0|)+Ф|'(®о(0|)) визпачеций па проышку (т,',0,], побуду емо воображения

обо

Wi(x) = J ' F(ti, x0(u))du + Ф{(х + ' F(u, x0(u))du) + J ' F(u, x,(u))du.

Будемо говорити, що снстеми (1) i (2) /У-екв'шалентш в облает! <7 С /?■", якщо для довшыгого роов'яоку x{t) ртняшш (1), виопачепого на ирошжку U С R, який мае точки роориву i = <?, i такого, що x(i) € G, < € U, icnye роав'яоок y(t) ртняння (2), який вионачений на U i оадовоаьпяв умовн

V{t)=x(t), (4)

Иавпаки, для кожного ропп'яоку y(t) системи (2), y{t) 6 (7,1 6 V fenye ргов'яоок x(t),t£ U системи (1), якпй оадовольпяв умову (3).

Припустимо, що фупкцп F, Ф;, 7} pienoMipno оа х п.П оадовольняють умову Лшплщя oi сталою К i

sup||F|| sup (¡ФЦ - М < +00 п п

Нехай також Т, : П» О,. Эафксуемо деяк'| х0 6 Пг i Й 6 Л,// > 0 та*, щоб Н > Л/(1 4- 2и) i множила {х € Л" : ||х - х0|| < /7} була включена п П». Поопачимо також Л = Я - Л/(1 + 2v), II = Н - М{\ I- v).

Теорема 1.1. t) Для кожного i = j, j k функци icnye i шииачгне на лмогшим ilh = {t g П.п : ||x - i..i| < h}; S) для bHtw ж,» e ГЦ та кожного ц'лпго ччс-ia i справедлива mpinwctnh ¡¡1Ц(1;) - IV.farl!) < k(l, Л'1'u - г/!|. дс К) - вбмпжеха функц1г; 3) piemwit (t) { (!!) *

ofaacmi П* В-екв1вллентт, причому, якщо розе 'язок систему (1) або (S) приймас зпачениж в П^, то вШовШий Ному в силу В-екв%валентност\ розв'язок приймае зиаченнл в {1ц,

На основ! теореми 1.1 доводяться теорема про киуваиня та еднш'сть роов'яоыв, неперервну оалежшеть роов'яоЕШ мд початкових даних та пат раметрт.

У §2 рсюглядаеться система дифереввдальних pinuanb о ¡мпульспозо д»ею а а поверхнях внгляду

~ = + /(*.«). *Фъ + Ч*),

(5)

Ax|i-r,+i.(*) = Bi* +

в як!й х € Я", матриц! Á(t), < 6 R, В„ i 6 Z роом1ру n x n, фупкц'ш f(t,x) нсперервна при < € R, матриц! (E + B¡), i € Z, певироджеш.

Иоряд о системою (5) будемо рооглядати в)дпоп!дпу лшшпу систему

~ = A(t)x, t Ф ту, Дг|lmr, = BiX. (6)

Припускаемо, що фупкщ! /, /¡, 0¡ pÏBHOMipno оа хоадоволышють умову •Шгшшця oí стапою I, а система (5) перюдична о перюдом w > 0. Це ооиачас, що A(t + и>) = 4(0, /(< + w,a) = f(t,x), t 6 R i ¡сиуе цше число Я > 0, для якого Ti+P = г, + и, 0j+p(x) = e¡{x), Bi+P = B¡, I¡+P(x) = I¡(x), i 6 Z. Pinmmia (6) не мае характеристичпих покаятшв о нульовою дшеиою частипою.

Доведено теорему upo достатш умови для ¡спуваигш единого перюдич-пого роов'яоку, яжий буде В - стшкпм, якщо дшеш частипи bcíx характе-ристичних noKaoHHsiB системи (6) вщ'емш.

У §3 припускасться, що система с майже периодичною (м.п.), тобто А i / м.п. оа Бором оа омшпою i, послщовност] B¡ i /,- м.п. оа » p'mnoMipno os ï, посл1довлост1 rf, i € Z, t¡ = r¡+j —n, j 6 Z, одпостайно майже перюдичш (о.м.н.).

Роов'яоок x(t) системи (5) иаоивасться м.п., якщо для дов1льного дш-сиого числа е > 0 ienye вщпосио щиьпа па дшелш oci fi множина чисел X таха, що дня кожного т еТ фуикщя x(t + г) палежить s - околу роов'яоку з(1) при I - R.

У нрииущенш, що матрица Komi системи (б) оадовольняе лершшеть

|SA"(<,r)H< ЛГсхр(-о(« -г)), -оо<г<<<4оо, (7)

де К > 1 I а > 0 - дшсц1 стал1, доведено, ащ при досить иалш сталш Лшошця / ртоянпл (5) мае единый Я-асцмнтотично стшкий м.и. рооп'яаок. Роагляиуто також випадг":, коля система (0) пер'юдичпа 1 не мае характер истнчпих иокаошшв о нульовою д!йсною частиною.

Пптвипл про достали) умовп ¡снуиання обмежених роов'яок1в слабко-нелшшгаТ системи о чкепонешнальво дихотомгшою (е.д.) лишнюю частиною даонджусться у 'четвертому параграф!.

Другпй роод!л нрисв'ячено внвченню диферешмальних властивостей роов'яоыв систем ршняиъ о пефисовашши моментами ¡мпулъсноУ да.

Исхай П( х С Л х Я* - обмелена область, = «о =

(го,...,г") - роов'яоок р1вияпня (1) о точками роориву ( = т;,« = ЦЕ. Поопачимо Л0 = Д^ (/и...../»„) = Ах, Н = (Ло,...,Ля).

Будемо говорити, що роов'яоок ж(<) мае В-пах'щш оа початковими данями <о I до /-го (I > 1) порядку включио, якщо при досить малому ||/||| ¡спус роов'яоок £(*) = ¿(¡,1 о + ЛС,хо +• Д®) I для иього внконуються умовн

1) ■«(!)-*(<)-Ш 1о,*о) + о(||Л||'), <=175; (8)

2) 0. - г; = <?!('о,Яо) + о(||Л||'), ¿ = 171; (9)

де - точка роориву рооп'яоку 2(I), И, (} - полшоми порядку { вдаосно Л, коеф'щкнти я к их симетричга в>диосно перестановки 'шдекс'т 5 пеперервпо оалежать п!д

Шдпотдт коефпцепти шшпошв Р|, <3{, I — 1, к, утиорюють + 1-*и, як! лапвемо М-пох1днимп рооп'яоку х(1) па початковими даппмп.

Рооп'яоок наппвалться Д-аиал1тичпим оа ®0, якщо роов'яоок Де ж воято о досить малого околу г0, оадополыше умовн:

1) для вах * £ [Г|Д], де в{ - точки роориву роов'яаку 0). мажпив« роовянення цього роов'яояу в ряд о а степенями координат вектора х - хп',

2) р1он1Щ1 0, - г( при кожному « також роовивасться в ряд оа степенями координат вектора х - Хц.

Ооначенпп гладкост1 рооп'яоку ¡мпульсноТ системи оа параметром аиа-лопчш наведенпм вшне оопаченяям гладкост! оа початковимч далими,

В даному роодЫ вионачетп умовп, при яких р'мгшнля о ¡мпулыном д¡гм па поверхнях припускають Д пох!дш довшьного порядку оа псттмпимп даними та параметрами. Допечено також теореми про умовн, нря «хих мог мки« Н-п.нал!тичнг1оалеж1исть риов'яок1в тд лочаткових д.чнпк та па раметр1в. Нобудовало агимптотичпп представления ропв'ятшя регулярно обурен их систем.

В роодш 3 рооглядаеться оадача про ¡спуванпя Перюдичиих та манже перюдпчних роов'яок)в ¡мнульсиих систем о гладкою правою часги-пою. На так! системи поширюеться метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова.

Предметом досш'джеяня перших двох параграфов е система, яка мае вигляд

dx

= A(t)x + Д() + ■ t Í

= Д-* + Jí + рф.'(а.р), (10)

в якш a G й", Д(0, i 6 Я, - веперервиа pooMÎpy nxn матрица, B¡,i£Z~ квадратш порядку г? сталi матриц), áet(E+B¿) / 0, фупхцш / аеперервва для Bcix 1 € Л. Система (10) е (j-пер'юдичпою, тобто ¡спують числа а; 6 R, w > 0, та р е 2, р > 0, для яких /!(< +w) = >!(<), y(í + —

/(I + w) = /(i). fl¡+p = Дп Ф.чр(а.м) = Íi+í = Z¡, =

= n + u> pÏBHoMipHo oa¡62,le R.

Прппустимо, що породжуюче ршпяшш мае единий w-перюдичиип роов'яоок ï0(t) i пооиачимо fl, = {х € R" : ||з - х„|| < d,0 < í < w}, де d > 0 - фнеоване число, fl( - деякий oxia для |0,w] в й, fif = (— де Цо > 0 - ф)хсоваие число. Пехал П = Í2< х ílx х ílm tp € C(0,1,1)(ft),

й.ф.-е^'-'Н«** ПД

Теорема 3.1. При достатньо малому |/í| система (10) мае единий o>-nepiodu4Huú розе 'лэск x(i,fi), skuü при ц —► 0 в В-топологп прямуе до розе 'язку xa(t) породжуючого pieiisHHJ.

Лкщо вс» мулътиплЫатори oidnoaidnoï для (10) системи (6) po3MÍ-u«ew» ecepeduni единичного круга, то розо'язок x(t,n) при достатньо малому \fi] В-асимптотичпо стШкий.

Заф]ксуеыо е > 0 так, що Пг - об'еднапля £-охол)в точок r,-,i = MicTHTbca в [0,ы]. Рооглянеыо систему (10), припускаючн додатково, що фупкцп <p,0i,i¡!¡ голоморфш оа í в област1 Пг х Ux х íl^.

Теорема 3.2.При достатньо малому \ц\ система (10) припускае единим розо'язок x(t,fi) nepipdyw, який В-анал1тично залежить eià ц о точцг fi = 0 i при fi—*Q прямуе а В-тополог » «а промгжку 1 = ¡0,о>] до породжуючого розе 'язку хо(£).

Рооглянемо систему (10) при умов!, що «¡дловцна однорадиа система (6) мае & (1 < k < r) перюдичиих а нерюдом w poob'hokíb ¡pi,i = як] утворюють максимальну лшйно нсоалежиу систему. Припускаемо, що ;;дя детого щлого /> 1 :

ш./(«) е cl-'{nt)nc\nt), е с'(пг х nj,

V е хп.х п„) пс^пу

Спряжепа до (6) система

^ = Ау\<„п=:-(Е+ф-хВТу . (11)

(Г - опак транспопуваипя) також мае к лтшпо птоалежтгах и>- нерюдичлих роов'жшв. Свладемо о них матрпцю //(г) роошру п х к ) припустимо, що ппконуеться р'тшсть

У"

./о

тод1 породжуюче для (10) р5вшгапя ирипускае &-параыетричие сшейство ш-нерюдичпих роов'яоов х(1,а) = аг1У>1 + -+а^* + <Ро| дс « = (а!,...,а*), <ра - частковий роов'яоок цього р)впятш. Теорема 3.3. Пехай р(опяинм ¡/(а) = 0, да

«/(в) = ^Яг(1М1,®(«,о),0)Л + ¿#г(т1)[Ф(*(т,,а),0) -

прппускае розо'язок а = сг0, для якаго сЫ^^) ^ 0. То<?1 при дастатньо малому |д| система (10) мае розв'язок х(1,ц) пергодуи), який при ц -* 0 прямус в В-тополог» до розв'язку »' возражения

*(*,/0 = г(*,во) + + ... + +

справедлиес для вей ( £ (тм^л, Ос - точка разриву розв'язку х({,д). Длг кожного »".• |г,- —-+ 0 при ц —► 0.

Наведено приклад, яхпн ¡люструе теоремп 3.1 1 3.2. Лпалоггшо до пеавтопошгах систем в §3 рооглядаеться оадача зспу-ваппя асимптотитпого оображеиня оа иаяпм параметром перотдггашх, роов'яок5в автономно! кваошпшто! ¡мпульспс! системи в критичному ви-иадку.

Уоагальнепня теореия Ляпунова-Пуанкаре про сийкктьш-перюдичпого роов'яоку системп о шпуяьсного дзею (1) доведено в §4.

Рдагдяпемо систему диферепщальних р^ппяпьо )мпулъсноюд1ею вигллду йх

— = /(«,®) + г ф п(г) +

Hexaií íiz x С x Л1 - обмежена область, Пц - окш пула, П = {(sc.í.ím) : х £ íir,í 6 Л,й € íiM,¿ £ 2}, Припускаемо, що систе -а (12) вионачсма в П. Нехай ршшшня, £цо породжус (12), е cJ-иерюдичпим i припускас сдииий w-перюдимшй роов'яоок iu(i) о, точками роориву 1=0,, О < 01 < ... < 0, < w, прямому 0^(30(0,'))/(0¿, ®e(0¿,r)) ?í 1.

У §5 доведено дон теорсми, що наводиться нижче. Припустимо спо чатку, що система (12) е иыюрюдичною.

Теорема 3.4. Нехай мультиплхкатори системи ухвнжнь у eapianisx oiduocuo розе 'язку io(í) ие piaui одиницг. Todi при досыпь малому |/í¡ pió пяти (12) припускас ш-перюдичний розв'мзок x(t,fi), який при ц —» 0 прямус о В-топологи до Хо(t). Япщо крйt того eci мульти-плЫатори розмщеш ocepeduui единичного круга, то розв'язок х(1,р.) В-асимптотично стШкий,

Нехай тепер в (12) функцш g м.п. оа Бором оа t, W¡ ¡ 0¡ м.п. поапдо-bboctí р]'впом!рно с П.

Теорема 3.5. Якщо система pieusnu у eapia-'sx oiduocuo розв'язку хо(t) не мае мультипл1катор1в на единичному кол i, то при достатпъо малому |/<| система (12) припускас сдииий м. п. розв'язок, i кий при |р| —► 0 прхмуе е В-топологи до x0(t).

Kp¡m того, в §5 проведено аналю оадач! про ¡снувания перюдичиих роов'яокш системи (12) у випадку, коли породжуюче р1вшшпя мае nei-оольопаиий из- перюдичпий роов'яоок. Вионачеш умови, ирп яких система (12) мае перюдичний о першдом и) роов'яоок, якпй прямус в //-топологи до одного о першдичнях роов'яок!п цороджуючого р!шшшя.

Наведено приклад одше> в'|броударноТ системи, для я ко! па основ) теорем 3.4 та 3.5 доведено ¡спування коливних роов'яокш.

У §0 ш-перюдичиа система виду (1) рооглядаеться при умов!, що воиа припускас fc-параыетрцчне сшейсгво w-пер'юдычяих роав'яопв x(t<X), А е Л1. Доведено теорему про умовну /7-аснмптотичну ст)йк»сть ропв'яоку x(t, А) шдиосио дсякого (п — к) - вим'фного ыноговиду-

У §7 дослщжепо питания про ¡спувалня першдичпих роов'яакЬ нелшш-uoro шпупьспого р'шшигая о малим параметром. При умов!, що породжуюче р!в1шшя мае нсюольовапий перюдичпцй роов'яоок, отримаш умовн, при яких ca.ua система припускас в omni иороджуючого рдав'яику nepio-дич1шй роов'яоок.

У ршдш 4 дослщжепо питания ¡спуваппя штегралмшх иоиеротнь слабоиелнйшюТ системи виду (5). Додщоео до умов розану 1 припускаемо, що почато* координат е. точкою cnounci гипемп.

У §1 доведено аналог теоремп Ляпунова-Перона, покаоапо, що прп уыов) ехспоиенц>альио> дпхотом)чпост! дм п'1дпоп'|дно7 снстемн (6) р!вцяп-пя (5) припускав локадьш (птегральп! поверхш Ф+ та Ф_. Рооп'яоки, як! почииаються па воверхиях Ф+ та Ф_, пряыують до початку координат вщпошдпо при t —» +со, I —» —оо. Дал!, в §5, оа рахупок посилення умов па поверхпях роориву вдаеться оастосувати метод оведепня уже у всьому простор! Я" та довести уоагальпенпя теоремн Ляпунова-Перропа.

У 52 досл!джено диференц!альи! пяастивосп !итсгральиих поверхопь, ¡спувагаш яких доведено у иоиередньому параграф!. Покапано, що якщо права частина ртоягпш (5) мае деяку властив1сть гладкост!, то аналопчлу властпв!сть ыають поверхш Ф+ та Ф_.

У §3 рооглядаеться ¡мпуяьспа система вигяяду

^ = A(t)x+Mt,w)t

~ = Су + /j(i, го), i у* т.- + 0¡(w), (13)

-Ml-H+Í.M = B¡x + Jl (w)> Ду|(»п+^(ш) = '?(W)> V) = (я, у), х 6 Л", у 6 Rm. Припускаемо, що в!дпов1дпа система (0) така, що викопуеться умова (7), власш числа матриц! С мають пев"|д'смш д! йен! частиии i справедлива умова Л!шииця

\Ш W) - /;■('. а)Н + И'РМ - WII +

(14)

+№(») - <'(!«»- tóll, i = 1,2.

Доведено теорему про пеобхздш та достатш умовн ¡снувапшт локальннх штегральннх поверхопь Ф+ та Ф_ для системп (13).

У §4 наведет умови па поверхш роориву, при яких метод оведенпя можна оастосувати у всьому простор! Я".

У §6 принцип оведепня поширкзеться па ¡мпульеш слабкопелгашп си-1 стеми о сталими коефщ'штамп прп частит омшннх.

Нехай ¡мпульгна система (1) виоцалепа на множит Я* х R ¡ Т - 5пте-гральпа поверхня д!еГ системи. Пехай т '6 Я, поопачимо Тт = {ж € Я" : [т,х) € Т}.

Означения 4.1. Розв'язок x(t) знахооитъел в е-околг noacpzui Т па пром1жку I С R, якщо z(t) визпачений па цъому промгжку i для acts reí, розмщепиг поза е-вколами точок розриеу розв'язку x(í), точка х(т) належать е-околу мпожипи Тг> тобто справедлива нергвшеть infxer, ||я(т) - х|| < е.

Ооначеши 4.2. 1нтегралъна повертя Т B-cmiüKa, якщо для кожного е 6 R, с > 0 знайдетъся дгйсне число b > О таке, що довмънчй розв'язок x(t) = x(i, io, , для як ого t0 не с точкою розриву i х0 ро-ом1щепа в е-окол* множини Т^, знаходитъея в c-okoai noeepxui Т при / = [to,+ 00).

Ооначеши 4.3. 1нтегральна поверхня Г В-асимптотично cmiüuo, якщо ¡снуе число Д 6 Я, Д >0 таке, що для кожного дМснаго числа е > 0 та розе 'язку x(t) - ®о), Оля як ого t = <о «е <* точкою розриву

» хо належишь Л-околу множини Т1о, знайдетъся diücne число в > 10 таке, що x(t) належигпь с-окалу noeepxui Т п/ш I — [в, 4-оо).

Ооначеши 4.4. ¡нтегралыш повергня Т иазивасться В-стЫкою в циому, якщо для net числа Д в попередньому означ&ш можна еибрати доьмъним.

Пехай жтегральна поверхяя система (13) оадаеться ршшншм х = Q(t, у). Тод! иа цш поверхш си геыа вводиться до р'шпяпия

^ = Cy + /j(i,Q(y,i),y), rj + ftiQG/.ihv),

(15)

Ay|l=ri+i.w(y.0.y) = О.У)-

Теорема 4.1. При доситъ малгй сталШ ДЫшиця I Ытегральиа по-верхня <Р_ системы (13) В-стШка в циому.

Теорема 4.2. Якщо система pie нянь (13) критична i в (¡4) I -* 0 при ||u>(| + ||t2?j| —»- 0, то cmiüxicmb, асимптотична спййкктъ та uecmiüKicmb нульового розе 'язку щел системы мають мгеце modi i тыъки modi, коли нульовий розв'яэок системы (IS) буде стШкчм, асимптотично стгйким чи нестШким.

У роодш 5 досшджуеться гладмсть рооа'яомв та коданих режим!в ди-ферсищальиих piuiuub о рооривною правою частниою.

Ilexaii fi = х П, С Л1 хй"- обмежена. область, Fj,»' — Т7р - поверх«] в Л1 х Я", ооиачеш р>вшшшши t — г<(х). Припускаемо, що поверхн! Г,- мо-жуть перетинатися по (п — 1)-пим1ршп rincpnoBepxni або пе мати жодноТ сшльпо! точки i рообивають ft на област'| ft*, к = Т,т. На об'еднанш ih мпожпн Ok ооиачиыо кусково-пеперсрвпу «Jiymcu'no f(t,x). Прии>стимо. 1цо юоиа разом oi своТыи похадними исисрсрвиа на кожши о множил П.,,

Роогляиемо систему диферепшалышх р'ншчнь виду

dx

¿¡ = f(t,x). (Iii)

Дослщимо диферепщапьш властивост! ковоиих режим1в р1пняш!я (16).

Коганими режимами пашшаються роов'яоки, що рухаються но поверг xni poopiroy i оадовольняють на uin noBepxni piBiuiHiui, отрнмале lia nifi noBepxni oa дономогою довшзначення oa А.Ф/Мл'шоиим.

У ucTyni наведено оагальлий онпс р!впяш>, що випчаютъея. Пидшспо чотпри класи pi вши ь в оалежносп В1Д поведншг роои'яокт шдпоспо по-верхонь роорнну: 1) снстемн, роов'япки яких перетинають поверхню ро-ориву; 2) снстемн, роов'яоки яких, иотрапяяючи на поверхню роорнву, не-реходять у ковоннй режим; 3) р'шпяния, роов'яоки яких с ховопимя режимами, як1 нотрапляючн на (п - 1)-вим1риу иоверхпю, переходять о одшсТ поверхш роориву на другу; 4) снстсми, ртов'яакняких сночатку копоають по поверхш роориву, a штм сходять о iionepxni при досятпсши даяко? кривоТ. Сформулъовапо теореми про неперервпу оалежшеть роов'яомв В1д початкових дапих та правоТ частили р]'вшшпя. Шд правою частппого р1вгш1шя о роаривнога правою частшгою рооумю.ю сукупшсть фупкци f(i,x) i фуикц!й, як] В1гоиачають nonepxni роориву nicï фупкцп.

У §1 даеться оопачетш диферсшцалыюТ оалежногл i роов'яок1в в')д початкових дашгх та параыетр1-в дов!лыюго скшчснного порядку. Для кож-пого типу pintuitfb, що рооглядаються, будуеться система оведенпя i па ïï ocnoBÎ по аналоги о 1маульсшшн системами формулюються теореми про достатш умопи ¡слування похуушх оа початковими дашши та оа параметром.

У §2 уоагальнепа теорема Пуанкаре про роовнпення в ряд оа координатами по атковнх опачепь та оа параметром.

§3 ириевлчеио доииджеппю оа доиомогою методу малого параметра питашхя про перюдпчт роов'япки р^вияггал о рооряиного правою частн-ною. Рооглддасться ршлянпя виду

^=f(l,xtfi), xeir, (17)

права частина якого w-перюдячпа оа t. У припущешн", що породжуюче р'шпяпия припускав ¿-параметричие семейство w-nepicynrmnx рооп'жшв' <p{t, А), А 6 Д\ даготься достатш умови Дм ¡спувапш у спстеми (17) при достатньо малому \ц\ роов'яоку перЬду якнй при fi 0 прямуе до ip(tt А0), де А = А0 виоиачасться як роов'яоок алгебра!чпого р^вняши.

Уоагапьпепо теорему 1.Г.Малкша про ¡снувашш перюдпчпого роов'яоку систем», блтько» до довольно! пелтипки, в критичному вииадку. Наве-дрпо приклад оастосуваппя дано! теореми.

Рооди 6 нрисвячено досл1дженпю питания про ¡снування роорив1ШХ м.п. роои'асшв систем днфереищальиих р^вияш» о шпульспою /уею.

У §1 вводиться ооиачецня рооривпоГм.п. фупкцн. Для цього в простор! кусково-цеиерсрвннх функций вводиться метрика, основана иа результатах Л.М.Колмогорова та Л.0.Скорохода.

Иооначиыо черео К мвожину кусково-иеперервиих функщй, ооначених па дшсшй оса Л, виключаючи сшчспну множину точок роориву першого роду (для ркших фуикцш Ь точки роориву не обов'яиково ствпада-ють). Множнна точок роориву функци ш 31 не мае скшчешшх граиичних елеметтп ! пеобмежепа сшва та справа.

Фунхц'11 / 5 а ю К паовсмо с-скшвалснтпими 1 поопачимо / ~с д, якщо: а) точки роориву цих фуикцш можиа оанумеруватя , к € Z,

Пехай /)(/,<?) = \wij~4 с - число, яке вионачае в!дстаиь м!ж фуикцшми / / д. ЭафЬгсусмо <р е Э? I пошгачиыо черео множипу функщй / ¡а 3?, для яхих ^(/,¡7) = р{1,д) - ск'шчеине число.

Лома 6.1. 9?,, - мгнри^тий простгр.

Ооначсши 0.1. Фупкцм <р б 9? пазиваетьы м.п., лкщо дли ¿семь» и ого с > 0 зпайдетьсх вгдиоско ицыьна множина сНйсних чисел Г, длл кожного слсмента т £ког справедлива нсршисть Ч- г),у>(<)) < с.

Доведено, що м.и. функция обмежена рапом о послздовшстю - вit б де 0,- - точки роориву функцп р!вном!рно ненерср-вна на сукупност! штервал!в ненерервиость Доводиться аналог теореми Бохиера.

Вг.сдепо прост1'р О ол!ченних мпожнп дшсяпх чисел на дшснш прями! Я1 тавнвчешТх властивоетъ

Пехай 51/ - множила кусково-иеперервних функцшо рооривами першого роду у скшчсннш множил] точок, оопачепих па ш'дршку/ € Я. Лпалопчно В1дсташ р(/,д) для фуикцш га К вводиться вдетань р;(/, д) дня фупкн'ш мпож1шя 5?/. Доводиться, що Ш/ • метричнпй простер.

У другому параграф! вивчаеться иптання про кнуваппя единого асим-ПТОТПЧЦО СТШКОГО М.п. роов'яоку ГЛ1СТСМП ШТОГрОД!1ф''[>''!1Ц№П,1П1.\ ршшшь о ¡мпульсиою дшо у фасовал! моменти часу

1.-1

Припускаемо, що Л(г) - м.п. оа Бором фупкц'ш, / - м.п. оа г фупкщя, В;, /,- - м.п. поопдошюсп 1 вщпов'щна (18) одноруща система (б) - експо-пенц'1алык> дихотомгша, фупкц'ш и> - м.п. оа I 1 5, а фунхциТЧ1 - м.п. оа я, посл!дошюст1 г/ - одпостайно м.п. Права частнна р!вняипя (18) оадовольпяс умову Лшппщя.

У третьему параграф! для ¡мпульсипх систем уоагапьнепо теореми Амерю та Фавара. Викорлстовуеться Н-клас, побудовапий як оампкашш в ыетричпому просторЬдобутху, ооначеному по прав»! частнш ¡мпульсно! системп.

У §4 дослщжуеться регулдршсть лпшшого дифсрснц]ального оператора о умовою роорнву. Встановлено ов'яоок ц!сГ властнвост! о ехспо-ненщалъпою дихотом>ею. Доведено уоагальпешш теореми Е.Мухамадшва про рсгундршсть м.п. лпшшого дифсрепщалыгого оператора о умовою роорнву.

Поопачнмо чероо К прост)р фупкцш ю 3? о толологкю об!жпост! п ме-триц1 кожного простору де / - в!дрюок т Л.

Пехай також <р' = <р{1+а),з € Я, - осув оа часом фупкцп </>(£)• Ооначнмо абстрактпу динам|'чпу систему, трасктор1ями яко! е осувн функцм <р 6 ЗГ уодовж чнсловоТ прямо! Л.

Функщя (/> 6 5? наонваеться рекурептпою, якщо рекурентпоюе траскто-р1я ц>° у топологи К.

Роогяяь^мо ¡мпульспу систему

в якш х 6 Л", фупкцп /,/,г, г е [г0, +оо) = Л+,1 = 0,1,2,... неперервш оа х па деякому компакт К 6 Я". При доильному х. € К п1рпо, що Д*,г) е 3?/^, поапдовшсть 7,- обмежепа р1впом1рпо в К, система (19) оадозолыис /?-умопу.

Ооначешш 0.2. Фупкц\л х'(1) називаетьсж граничим розв'язком рюттч (19), якхцо для делкоИ посмдовностг розо'язк:'о Х{(() ц»с» си-стсми I послгдоппостх зсувга 0к,0к —* +оо при к —> -гоо, посмдавтсгпъ Хк{1 + 0к) збкасться до х'(<) в кожному простора К/,1 С Л.

Насту иш* теореми е уоагальнепшгми для ¡мпульспих систем реоуль-тат!в В.М.Мшонщикова.

Теорема 0.1. Якщо система (¡9) припускас розо'язок аго(') € 3 то гсиус граничный рекурентпий розе 'лзах цт систсми.

И-г

(19)

Ооначеиня 6.3. Розо'язок x0(i) системи (¡9) иазивасться устале-иим, якщо дли довиьииз чисел е > 0 i Т < 0, знайдутъся diücni v i-сла S > 0 i 0 пит, що якгцо г" > т > в i ||so(r') - Яо(т")|| < S, то />(?>«) М г' + 1),ха(т" + 0) < с.

Теорема 6.2. Негай x0(i),xo 6 3?д+ - усталений розо'язок ргвняння (19). Todi граничний per.ypcurnnuü розо'язок х'(1) щ'еГ системи майжс пер'юдичиий.

Осноши положения днеертацн опублкошш) в наступпих роботах:

1. Ахметов М.У. Почти периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воодействием// Дифференц. уравнения. - 1084. - 20, N. 5. - С. 911 - 912. •

2. Ахметов М.У. Об устойчивости периодических решений диффереи-циалышх уравнений с импульсным воздействием// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. - Алма-Ата. - 1986. - С. 8 -13.

3. Ахметов М.У. Почти вериодичсские решения интегро-дифференциальных уравиешш с импульсным воодействием// Мат. фионка и нелп-Пеип. механика. - 1987. - 8. - С. Б - 9.

4. Ахметов М.У., И рестюк H.A. О периодических решениях систем с импульсным воодействием// Иов. АН КазССР. - Сер. фио.-мат. наук. -1984. - N. 1. - С. 13 - 17.

5. Ахметов М.У., Псрссткж II.A. О почти периодических решениях ' одного класса систем с импульсным воздействием// Укр. мат. жури. -

1984. - 36, N. 4. - С. 486 - 490.

6. Ахметов М.У., Псрестюк H.A. Почти периодические решения нелинейных импульсных систем// Докл. АН УССР. - Сер. А. - 1988. - N. 1, -С. 3 - С.

7. Ахметов М.У., Перестюк II.A. О движении с импульсным воодействием на поверхностях// Иов. АН КаоССР. - Сер. фио.-мат. паук. -1988. - N. 1. - С. 11 - 14.

8. Ахметов М.У. Интегральные поверхности кваоилипейпых импульсных систем// Всесоюан. конф. но нелпиейп. проблемам дифференц. уравнений а мат. фиоаки, Терпоиоль, 12 -15 септ. 1989 г.'. Тео. докл. -ТЪрнополь, 1989. - С. 14.

9. Ахметов М.У. Периодические решения неавтономных спстем дифференциальных уравнений с импульсным поодпйс гвием в критическом случае// Поп. АН КаоССР. - Сор. фи?», мат. наук. - 1091. • N. 3. .-

С. 62 - 65.

10. Лхметов М.У. Реккуреитпые и почти периодические решения неа'п-топомпых импульсных спстем//Иов. АН КаоССР. - Сер. фпо.-мат. паук. - 1988. - N. 3. - С. 8 - 10.

11. Лхметов М.У., Персстюк H.A. Почти периодические решения нелинейных импульсных систем// Ухр. мат. жури. - 1989. - 41, N. 3. - С. 291 - 29G.

12. Самонленп А.М., Персстюк H.A., Лхметов М.У. Метод сравпеиия для систем, дифференциальных уравнений с импульсным воодействием. -Киев, 1989. - 42 с. - (Ilpcnp. / ЛИ УССР. Ип-т математики; 89.3).

13. Ахметов М.У., Персстюк H.A. О дифференцируемой оаппспмостп решений импульсных систем от пачальпых данных// Укр. мат. журп. -1989. - 41, N. 8. - С. 1028 - 1033.

14. Ахметов М.У., Перестюк H.A. Устойчивость периодических решений систем дифференциальных уравпепий с импульсным воодействием па поверхностях// Укр. мат. жури. - 1989. - 41, N. 12. - С. 159G - 1601.

15. Перестюк H.A., Лхметов М.У. О почти периодических решеииях имнульспых систем// Укр. мат. жури. - 1987. - 39, N. 1. - С. 74 - 80.

16. Ахметов М.У., Перестюк H.A. О методе сравнения для дифференциальных уравнений с нмпульспым воодействием// Дифферепц. уравнения. - 1990. - 26, N. D. - С. 1475 - 1483.

17. Самойленко А.М., Перестюк H.A., Ахметов М.У. Дифференциальные свойстча решелнй и интегральных поверхностен нелинейных импульсных систем. - Киев, 1990. - 50 с. - (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 90.11).

18. Ахметов М.У., Перестюк H.A. Периодические решения квазилинейных импульсных систем в критическом случае// Уяр. мат. журя. -1992. - 44, N. 1. - С. 5 - 11.

19. Ахметов М.У., Перестюк II.A. Асимптотическое представление решений регулярпо-воомущеипых систем дифференциальных уравнений' с неклассической правой частью// Укр. мат. ж урн. - 1991. - 43, N. 10. -С. 1298 - 1305. (

20. Ахметов М.У., Перестюк H.A. О существовании В-проиоводпых высшего порядка решений импульсных систем по начальным данным// Иов. АН КаоССР. - Сер. фио.-мат. наук. - 1991. - N. 1. - С. 15 - 17.

21. Ахметов М.У. О разложении в ряд по начальным оначениям и параметрам решений дифференциальных уравнений с раорывной правой частью// Ухр. мат. журп. - 1993. - 46, N. 5. - С. 724 - 727.

22. Ахметов М.У., Перестюк Н.А. Дифференциальные свойства решений и интегральных поверхностей нелинейных импульсных систем// Дифферепц. уравнения. - 1992. - 28, N. 4. - С. 555 -500.

23. Ахметов М.У., Перестык II.А. Периодические н почти периодические решения сильно нелинейных импульсных систем// Прикл. математика и механика. - 1992. - 56, вып. в. - С. 92В - 934.

24. Ахметов М.У. С применении метода малого параметра к нелинейным импульсным системам// Тео. докл. шк. "Современные методы ц теории краевых оадач", Воронеж, 2-9 мая 1992 г. - Воронеж, 1992. - С. 8.

25. Ахметов М.У. О методе исследовании дифференциальных свойств решений систем с раорывной правой частью// Нелинейные проблемы дифференц. уравнений и матем. фиоикв - вторые боголюбовские чтения, Киев, 28 сеит. - 2 охт. 1993 г.: Тш. докл. - Киев, 1992. - С. 12.

26. Ахметов М.У. Иериодн" -скис реакция сильно нелинейных систем с неклассической правой частью п случае семейства порождающих решений// Ухр. мат. жури. - 1993. - 45, N. 2. - С. 202 - 208.

27. Ахметов М.У. Периодические решения систем дифференциальных уравнений с пеклассической правой частью, содержащей малый параметр// Асимптотические решения нелинейных уравнений с малым параметром. - Киев, 1991. - С. 11 - 15.

28. Ахметов М.У. Интегральные множества слабонелпнсйных импульсных систем// Теория фупкцпй, дифференциальные уравнения в математическом моделировании, Воронеж, 2 - 9 сент. 1993 г.: 'Ло. докл. -Воронеж, 1993. - С. 14.

29. Ахметов М.У, О гладкости решений дифференциальных уравнений с импульсным воодействисм на поверхностях// Дифферепц. уравнения. -1992. - 28, N. П. - С. 2007 - 2008.

30. Ахметов М.У., Перестюж Н.А. О методе сравнения в пространстве Л"// Укр. мат. журя. -1093. - 46, N. 0. - С. 753 - 763.

31. Ахыетов М.У. О гладкости решений дифференциальных уравнений с раарывпой правой частью// Укр. мат. жури. - 1993. - 40. N. 12. - О. 1587 - 1594.