Нелинейные нестационарные задачи конвекции вязкой жидкости в ограниченном объеме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ8 О

2 1 :?АР Ш:*Й

АКАДЕМШ НАУК УКРАШИ ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису КАРАГОДОВ Вжтор Павлович

НБЛ1Н1ЙН1 НБСТАЩОНАРН1 ЗАДАЧ1 КОНВЕКЦЙ В'ЯЗКО! РВДИНИ Й ОВМЕЖЕНОМУ ОБ'еМ1

01.01.03 — математична <|наика

Автореферат дисертаци на одобуття паукового с ту пеня кандидата ф!эико-математичних наук

Кизв — 1994

Дисергаи! ев е рукспис

Робота виконана а 1ногитут1 математики АН Vicpaifra

Hay (совий к е р I в и а к:

доктор <pl знко-матекатичних наук ГАЛ1ШН А. С.

О ф . Ц 1 Я Н I О П О Л В II Т Н :

доктор ф! зико-иатематичних наук БАРНЖ 11. Я.,

кандидат ф!зако-матеиатичних наук гордшськии л. д.

П р о в 1 д к а о р г а и I з a u ! я I 1ногитут Пдромзхан1кн АН УкраПга

Захисгг в! дОудеться 1004 р, о 'i^ годин!

на зас!данк1 Слеп! ал1 зовакоГ ради д ОЮ.БО. 02 при i неггитут! математики АН УкраТни за адресом: 2S2B01 Kills - 4, ГСП. бул. Терещенк1вська, 3; FAX: (044) 223 20 10.

3 дисертаШею можна сзиаЯомнтися в 0|ьл1отец1 )исггитуту.

Вчений секротар Сцец1ал1зовано1 ради, доктор ipl зико-математичн профеоор

\

« Загапька характеристика роботц

А£тузпьи!огь теми. Конвекц!я р1д«ни (газу) як ф1зичнв явище ду»е широко рэзповсвджена в природ! 1 II вивчення в1д!граз важливу роль в Оагатьох Галуэш практично'!' д!ялыюст1 людини - таких як еноргэгика, х1м1'ша технопоПя, кегапурПп, кетеорс,;ог1 я, егрстекниса та 1нш1. одними з г>апа!льш актуальння в теоретичному I прикладному аспектах досл1да.енпя е задач!, пов'язан! з тогшсдои конвжц! ею в'язко! НеСТИСЛИЕО! р! лини, чо описуыться р1вяяннями Иав'е-Стскса в паближеин! СберОека-Б:, с! неска. Пород з тим, ко Ш р! сияния е од к ¡ев з назЫлыи досл1джених нагематачиих моделей (Д». Лере, Да. ЛЮпс, Р. темам, У. Хопф, 0. о. Ладижрнсыса; В. А.

. СолоннИсоз, К. К. Голоек! н та 1нш.) . (сиуе ряд приныипоеях питань, як! вимагають в!дпов1д1. Таким е питания про однозначну розв'язнЮгь лоз'яоаних з циин р! вняннями задач в загалькому тривиШрному виг дку, створдно б:дп£э5сгн на гке иожна поки-що пиие пря с.ттевих сбмеженнях на вкх!дн) данГ задач1.

Поряд з тесретичним досл1д*енням задач конвекц! 1' р!якн.! значка роль в)дводиться \х чнсельноку модепзаанню ( Г. 3. гершуи!, е. М. Жухо::.щький, е. Л, ТаруШн, В. 1. Полежаев, М. Н. Яненко, А. 0. дородншин, Б. . Л. Роадестнанстьк'лй. О. А. СамарськиП, Р. Темам, П. Роуч та 1н.). Ива аспекг досп1.сжэкь також поз'нэанчъ 1з значнями трудисками, викликаннш складн! ст» задач, до полягае в не л! И1 йноегг!, висог.счу порядку, багатовям1рност1, лаян ост! малого параматра пря старик пох1дкнх яифере:щ1алънях р! шгяпь, пкиш н! задач! опксуяггься. Тому надэзичапяо вахишвим е розробка ефзкгягзних метод!в для ?н иаСлижвного розв'яэування.

Мата робота:

- доел! дяення однозначно! розэ'язност! постай онарнкх задач г-оппеки! I пк чисто г!дродакаи1чдаго типу, так ! задач теь.ювоТ конвакцИ рЮТиа у тршзкн! р.ч! й замкнут! й оОяа.сгг!;

- розробка алгоритму «аОяаженого розз'язувэдшя задач про конвокцт р!дани, якнй Оаэусгься на засготванн! методу Гштъор'.а яа лля апроксинац! Г розв'язкЮ:

- досл(п*е!Шя ефективкост! заетос/вання методу ГапьорЧ на пря нлпли^аному розв'язувакч! задач про теплову конвекц!» р1лини;

- чисельне моделювання стаи!окарно! 1 настал!онарно! теч!й в широкому д!апазон! хчрлктернстичннх чисел тачП (число Грасгофа С/ в 10* - 10*6) та аиал1з результат!в.

Методика дссл!дж^нь. в робот! викоряоговувться метода ф/нкп! опального гнал! зу, геор!я узагальнених $ нкц!й. прикладШ аопеэти тесрП тар!ац1 йких метод! е. матом ск!нчешшх р1зниць, !терац1йиай кетод наб..л!кошго розв'язуеання ¡:ел! ш Яш-к аягебрзГчних систем.

На захцсгг виносятьсн так! рэзупьтати:

- коп! локальн! оШнки гальорк1нськях наОлижень до розв'язк1в задач конве.сцН в ' пзко! носггиошгаоТ р!дини, як! узагальнюють аналогии! результата 0. 0. Ладиязнсхко'С { и. К. Коренева, та стрормульован1 на основ! шх оц!кок покальи1 теоремн "!снування 1 едикосг1 розв'язк!в них задач;

- обгрунтування переваги засгосування методу Гапьорк1на при наОпкженоку розв'язуванн! задач конвекц!{ з вксокою 1нтенсяган¡стш течП над ск! нченно~р1 зшвевим методе« та методом сяс!нченкия елеменП в,

- принципе застосузання методу Гальорк! ап при чиселыюиу иодалшанн1 процес1в теплово!' кснвекцИ та оснований на цьому метод! алгоритм;

- нов! результата чиселького моделваання осесиметрично! задач! стац1онарно1 теплово! ко; теки) Т р!дини в цилишр!, ®о п!д1гр)ваеться збоку;

- результата чисельного моделювання кесгац!онарних задач теплово! конвекШ I р1 лига при великих значениях числа Грасгофа.

Наукова новизна, отриман! нов! сц! глеи для гальорк! нсысих наблиякжь до розв'язк!в тривим!рних несггац1 онарних задач конвекШ р1лини, як! узагальнюють в! дом! результата I зб1лыукггь часовня пром!жок. д( Г теорем про однозначну розв'язн!сть вказаннх задач.

Досл1джено методолог! в застосування методу Гальорк!на при наближенону розв'язушнн! тривям1ряих нэеггац! онарних задач конвекц! Г р! дини 1 оОгрукговано перевагу кеперзрвко! апроксимац! I но простору над методами ск!нчешшх р!зниць та ск1нченних елемею^в. При цьому виявлено високу ефектнвн1 сть використання Функц! я Лекандра дш поОудови наближеного розв'язку в нченновим! рноку базис!.

розроблено алгоритм сОчвслекъ I поОудовано комплекс програн, то грунтуеться на звсяосуванн! методу Гапьор.с! на, для наОяииеного розв'язування осескмзтричнин за"1Ч теппово! конвекц!'{. Чисельнин нодепюванкяи всгшювпено 1 оСгрунтовано нов! ефекти в сгац1 онарному рус1 рГпини а ск! нчанному круговому Цйл!кпр1, 150 п! д! гр! ваегься збоку, як1 суггево в1 др1 знгаетъся в1д в1аоких. На основ! читального моделювання досд1 дазно еволвШю термокоивекцП при великих эначенняч числа Грасгофа (Сг » ю1 - 10"5).

Практична ц!нн1сть. 0тр,..«п1 результата доел 1 дження однозначно! розв'язност! трчвим!рних кпстац! сшарних задач колвекцП р!лики можуть бутк вакористан! в посл1 л^точих доел! дяэннях в кгпрякку Естановлешя единого глобального розв'язку шх задач.

Розроблена методолог! я застосування методу Гальорк1на при наближоному розв'язуванн! тривкм1рних нестец!онарних . задач термохонвекц!I, а також алгоритм сбчислень I сгворениа комплекс програм кожуть бутя внкоряегган! для чисельного досл1дження р!зноман!тних Ф1 звчнкх процес!в, пов'язаних з конвек.и! ев р!данк.

АпробаЩя роботн. Основн! результата робота допов! дались:

- на ккол! -сем! нар! "Динамика твердых н упругих тел, взаимодействующих о жидкостью" (м. Ки1в, 1982 р.);

- на рвслубл1канськ1й конферена!( по нел!н!йних задачах натсматкчно? ф!знкя (м. Донецьк, 1033 р.);

- на 4-му зас!данн1 и!«народного Ояро по г!рняч!й теплоф!зиь. (Великобрнтан1я. 1883 р.):

- на ко!нтзре>~1!' -.Язврекгьевскке чтения по математике, механике и физике" (га. Кн»в, 1683 р.);

- на республ!каиськ!5 г.от^еренц) I "Экстремальные задачи теории приближенна я нк применение" (м. КиТв, 1860 р.);

- на сеи!нарах в!яя1л1в прикладных досл1даень, дннам1ки 1 ет1.йкоет[ Оагатсзнк!рких сготен 1пституту математики АН Укра1ни.

Публ1кац!1. По тем! вксертацП опубл! ковано 10 роб1т, список лких наведано нкжчэ.

Структура та обсяг роботи. Робота ск-здаетьсп 1з вступу. трьоя глав, шеновк!в та списку цитозаяоГ л!тературн I н1спг-ь юв стор1нок тексту, вклячавчи в таблиць та 7 рксунк1в (з вар'антами). Список л!тератури м!сгить 85 найменувань.

л

Осн о вииА зм!ст роботи

У вступ! розгяядаеться актуальи! сть тематики в теоретичному i прикладному аспектах , îbcoï тсргсееться дцсэртац1я. На ociioBi öl OP.i сграф! чного анал5зу проводиться короткий 1сторичний огпяд Bi ДПОВ! ДНО! проГ-ЛЭХйТИКЦ, а такон висв!тлеються oohobhí трудной!, з ягчин поз ' яза'-is П вивчекня на дакий час. Подазтьая змЮТ приведения р. диаертацП доелiджвиь автора та результатов цях лосл1 джень, а такок апробац1я остам! к.

§ 1 гл. 1 м!стить в i дои! твердяэиня, що стосуться Функц1 окальиих простор 1 е i nspiencoreíi як для скапяршх, так 1 для вэкторних фужшв, hkí Бикорястгсвуються noTlM при узагакькенШ постанови! р^зглянутях задач, поЭудов! oui кок для гальорк!ноькпх наблюгекь до ïx розз'изк!в та фориулввани1 таорсм про однозяачну розз'язн1сть даних задач, а такте; при розгляд! пятань про засгосування мат оду Гальори на для на&виэного розв'язування ïx.

В § 2 uieï глави спочатку розглядазться класкчна постановка заяач1 про нестац!онзрну конввкШв а'язкс! нзстислявоГ pi дани в обменному об'ем! Q при удавах пркгошаннп на границ! оОлгст! 1 задания початков!»'* швядкосг! руху рг'лпни <ï(x) ra сила збуроння ТСх, I.', що опасуеться онстеиою р!вплкь

ft (У- 1 = У Д t - 9 Р * ? , dl У * о , (í)

г

- ÎW . t\ - 0 , (2)

т

BS fix, t), p<x. t) - в I дпсв! дко, ешдк! сть руху pi НИШ i TiíCK в точи! i- е Q с Е3 в момент часу t s 10, TI; v = const - е'язг.Югь pi дина; ST - границя оЗласт! QT = Q к (0, ГI. На основ! uieï постановка вводиться поняття узагалькзного розв'язку.

Означения 1. Узагалькенкн розз'язком задач! (1), (2)

о о

иазиваеться функи!я t) <*W'(Q ) n яка задовольняз

2 T 11 T

rotosüictb

t t

}[ ' + и (tr, tx> - (<i-7) p, f;] at » J<t. t) dî, (3)

0 o-

o о

при ЛОШЛЬНИХ t) s .) n Jf<?T; та £ e (0, Ti 1 В ЯК1Й

i снуить Bol, ко входять до не!, ! нтеграли. Тут ! дан! рискою oepxy iIz<QT>) позначаиться простори вектор-спжц! R,

а

шдпоз1дн1 в!доким скапярним фунад! онзльннн просторам <Лг(С'т^, а нулик зверху в позначеши простор!в означав, що функцП в;дпов1дннх просгор1В нають нул'-овий сл1 д на границ! облает! г к вкзначеьня. 7(<)) - п!дпрост!р простору Тг<<)). да складаеться з солено?дальних вектор-грункц! й. Конструкт я С , > означав скалярний добуток в аоо в Тг(()).

Поряд з цкн розглядаеться також поняття "слаСкого" роэн'язку, отрикакога Е. ХоПфом, 1 в ньону ?,в' яэку - отриман1 О. О. Лапиженсь-1сою точя! шж! ¡спасу ед>.;:осг! роза' нзк1 в, по визначааться левним! сп1вз1днолетщш, як) вонн повп: .ч! задовольняти.

Що стосуеться ФункцП р(х, П. то завдяки узагальнвн!й постанови! задач! (1). (2) зпзначення п вводиться до окромо! поряд з (4) задач!. В зв'язку з цин наводятся деда( в!дом! тверд«ення про 1 снування та еднп!сть ц!е1' склэдово! позв'язку дано! задач!, а також про П вл«ст!1Посг1.

Дал! розглядаеться задача про тшлову кенпекц! ю. яка о наближйнн! Оберсека-Бус! песка представллеться сисггеиов р!внянь

? * ч ? ■ 1» 4 ? - V р - | 3 и *■ ? , <}IV $ = 0 , (4;

- $(х) , ^(8 * 0 , (5)

и1 + V) и = к А и + ч , (6)

и1. » а , и| « 0 . ( /■

1О '5

т

да исх, £) - температура в точи! х е о с £з в момент часу ( с (0. Г1, ¡2 - кеефШеот теплового розширення; "¿- прискорення стш; тязкНшя; а - 'ге»1ературопров1дн1 сть р!диня; ц<х, г> - виутр!ин! яжерела тепла; ио<х> - почэткова температура р!дини.'-I ни! величпни означаеть та ж сане, до й в поперадн!й задач!. На основ! класичноГ постановки (4)-(7) ФорнулкЕтьсп узагальнека постановка задач!.

Означения 2. Узагалывним роэв'язком эдач!а (4)-(7) при I •-= 1С, Т) названо пару фунта!Я П?, и) £ <%"/<Зт) п яка

эоцовольняв тото.шсктг! «

= [[- Р <" 1, $) * '1. Iи

(8>

о

! [П1_ в> » ж (и^. вк> - иУ-ч) о, и)] Л » jíg, в) <п (9)

н*

> для

• >ри йудь-яких !) € п7(<31-) 1 е<г*> £-'

•эо1х ( « Ю, Л 1 таких, 15« 1 снукхгь вс! пггеграшг в цнх

'■товностях.

!, нарвет!, рсзглялаэться кг.асична та узагаяьнена постановки зацач! про тег.лову конвекд!в в'язко! нзстясливо! р1якнн, ис зштовнт цк.ч1 ндричиу порозгашу га.! ячзннйк розм!р!з в

теплопрошсноку твердому касте! - акс!аньвону пил! кар! Ог- При ньому викаргкггсвуюгься безрпзн!рн! звлячняй внм!ру простору, часу, зшкдохл"! та температуря, в такса вводиться 5#нкц!я тэч> I <■'<', г.. t; при ¡фипужаи;!' акс!штьгюТ сикетрП еня1дккк ланчх задач!. В наЗнижешН Сберйзк.а-й'с!веска т ззпача предстгавляетьсп наступнот системою р!вкякь:

<вф, г'гВф> , , ■ ч

_ г-------П> = г Ф - С-г , гг. г) * <? ,

' асг, г) У аг> '

« [§Т ТТГРЛт] " 1 А Г • ГГ. ^ - 0. I > 0;

ф = = О, (г, ?) « Г^ [10 ;

( и I = ( \ (71 • V я > 1 - 0, (г, г) с Г , г > О ; ^ 1

'к ('Л ■ ъ и) < а и - }' , (г, г) с Г, !> О ;

ф(г, г, = Фо(г, ¿) , (г, г) е о ;

иI ' . г, 0) = и (Г, 7.) , (Г, 2> £ 0 . о

"р »/'". 2) ззагал! канучи, розривкз <рункц!я:

и , (г, г) е 0 ,

10 . ■ , 41

(10)

(И)

(12)

(13)

(14)

(15) (18)

П (Г , 7 > ~

(Г, 7.) е <) ,

' 0 . ) > -

о - ер с 1 г ! 1 А 1

- 1'Р с ? ' ?. 2

, ел, г)

го

О -.ператор Стокса:

= г

В дан1й систем! <рункц1я течИ ф(г, г, I) 1 базрозшрна температура и(г, г, I) - вишукуван) фунмдП; Сг « - число

Грасгсфа; Щ(г, г, *,) I Т< г. г, и - фуккц! I йбуренпя ротора пгендкост! та температур;!, в1дпов|дно; V - в'язк1сгь р1дини; р -коэф! ц! Б)п Т8ШЮПОГО рсзкйрвиня р1дагаг. % - величина прискорення скли тяянгая; р , с , Л[ - в!дпсв!дно гусгтина, теплоемн! сть та теплолроя!ли! сть р]лкни ( I « 1) ! твердого касиеу ( I = 2): а а(г. г> - ц!ент тешюп^едач! на пошрин1 Г маскв-/ <?2; ¡а! - стркйок на Г1 функц!I х .задано! в С, р1вняй (хг~ а]-> (тут

I *2 - звуження функцП иа 1 О V V • в! лпоп!дко); п 1 г?1-нормал! до Г I Г , в1дтюв1дао. Вс1 навзден! ф!зичн! харэктористнкк р1дин:1 1 твердого месиву впакаюгься пост! йниии.

Отже р!вняня (10) розгледаеться в цин1няр! С,т = * 10- П. а р!вняння (11) з розривнинз коаф1Ш ентами <г 1 X, що описуе роэ'юд! л темп-зратурк ж в р)дни1. так 1 в масив!, - в иил1ндгЛ 1 С^и ("О \ Л 10, Т1 (гк вшыявае з крайовия умев, функШ'-з $ коша продовжитк нулем з область <?т \ <?1Т).

Характерняип оссблйвосгпми сформульовано! зачач! е нел[н!йн1сгь, р!зя! порядки ди(рерэкц1 альшх р!княнь (10), (11), розрявШсть козфШентЮ право! частика р!випння (И), валик! экачекня числа Сг (10ь - Ю16), ко в)длоз!ласть Шльиост! пронес! п топлсоОн!ну в р! динах, як! зустр!чаглъст на практяц!.

Вякористосуючи навел пн! з дасертап! I Пггеграл^п! сп1ов1д!ЮИ011ня та в1дпов!ян1 функШ онапьм! просторл, «тормуджеться постановка задач! для узагаяьнвного розв'язку.

Означэннп 3. Узагалькеним розз'язкок задач! (Ю)-(1б) казвемо пару фуккша (у, и), ш належить простору к

вена зааово.чьняе 1нтегральн! тотоетост!

/К Г

о

о

11

| <г[ ц>я . 1 и ] * Ч' " ■ 7 °)} гагагпг -

= j Г G rdrdzüt J f в dr - a j u e dy (18)

Г Г

при всякому t е 10, T1 1 üOBiЛЬШЯ пар!. Гр, в) з О (0Т} х V'• V<3r'. ле банахов! проягорк К^'® (1)т> з дисвртаШ в!япов!днин чином Еизначен1.

В § 1 гл. 2 узагальнгжться рззультати, отринан! О. О. Ладкяен-ською для трнекм!рп"х нэствц! онарнгч задач конвекцП в'язко! неипиетшоо! pl.'j'w:;, цо опйсушъйя нааедвкамк бшв р1ечяянлни (1), (2). Цв узагалькэнш сгсеуетьси йасамяеред ои!нок для гальорк! hci-ких кайлижамь до розБ'пзк!в вказанях зайач i при ввэдЕних позначенню:

y(t) ' II r(X, t) », f>(t) = 1 ?х(Х, t) я,

ф(1) * Н » (X, t) ü, F(t) ■ I I (*, t) В,

t г t

лэ символ ii-ii означаэ норму в I2(Q). сформульогзнне у зигляд! пэсгтупиоУ лет.

Лама 1.. Якцо fix. t) задовслькяЕ пря майке ecIk i <= (0, Т! •-ч' кв! дношенш

V Ii ' » <р2 = <t. ■ ( iS)

2 fr ' v f' ' rV V * ((V V (Z0)

при bcix ! e 10, t 1 МЗШЪ Mi СТО оц1нки

n

yft) s ■+ h' , (21)

t (к )

i/Xt) s C2e " " , (22)

П

t, г E Г • (23)

1 = 1

» n

ле rx - ков! льне додатт натурально число, к -Eft ,

i-i 1

z„(fi- = ^ v^1 Uro) ♦ с h ♦ ftl , Г - наксииальн! значэкня

" ' I»1 1

»Г, «,<»>/ , х, ( к) \-i-l функц! 1 Т,(с, Ii) = г йС* е 1 |Д[е е ' + 5 •

к! досягаю!ься в точках <с , h ) при умов!

I м -

с (4Ю'' (pro; + Va ♦ ft|' * t»i * '

t /з

> 0 .

Для ECix 1 - 1,2..., л при icio, (! викокусться текол ои.н^

\ , z í * î / 1 ¡«i ..

(ГШ * Zf J F' fit s 2 С* e 1 e 1 * il ,

о

ли y » ? ^, якщо e =• e( Í ft « ft (.

Hi основ! отрицании ouIhok f 21)-{24) оормуластьс-я тоорйма про

одкозначну розб'язн(сть задач! (1), (2) на в!др!зку 1С, t !.

в

Теорема i. Якко Í s IF* (0) n ^(QK ? « x2fí?r.'. f s T2 то при £ с !o, tri), tn t ÍO, т), {снуе единил

узагальнспий розв'ваок, для pico г о еиконуюггься cul пкч леки 1 ¡

L_(Q ). У , T. (Q >, al? - елекент простору 7 (Q), ко

S Т к t * 2 T t

непврерпно залемль в!д t в елаОкiя тополог!? KQ). Величина t_ «¡iгасеться знизу шр!вн!ств (23).

8 g 2 ni eï гпавк розгпядаються аналогии! olUhkh для задач! (4}~(7). В дансму внпадку узагальнвиться результата, отрпман! М. К. Ксрпигвян.

Вб!вши податково ьозначеннк

Z(i) - Sii<x, t)i, er Í J = nu (X, t)B, '(t) = eu <x. ил,

"X t

R(t) = i и Пй, да символ s-s означае корму в LjO us узагальнэння межна сфоркулааатн у вигляя! наступайх лвм,

Лена ?.. Якщо фукхц!í Wjt, X) i и(х, t ) задоБопьияшъ при иайкг-

BClX £ е !0, Ti CT,i DH¡ ДЯОЕРНМЯ

1 âr y2 - У ?г - -л (U t t) - (?. t) . iZ5.

2 ïïT zl + ж " f(?' u> ' !26'

7 ЗГ t * - UVv) V Ь> - КU* • <27>

1 d г ат

(«tt r) ♦ ((?•*) « t ft) ♦ j nVf, *t). (29)

то при Eiíi к í e 10. tj, jce t í T, знконуиться ou! гаси

f ru S firoj + й (30)

!íí2Í:;> < шл etc) * т£л {«/'го; ♦ зг |£|г Г[г-/з Г2 с *

С С I Ll

1 d e * я J - ((Г -7) Ut, U) ♦ Ut) . (23)

i •

» ггг «г| * lDt ♦ z\ j" «g*2 dt] * I] { «ft«2 dt-} x

o o

X exp [ * (г;» ♦ ё;*) т] - c¡ . <зо

t ï $г(1> * Zfíc, к) [ F* dt S у?г(0) \ £¡* J Ч> dt <

[е;2 ♦ ¿;г) t] с со ♦ ß> |?¡2[[2-v3 £;г ct* с;

-г!

J

t т т

x J ç* dt ♦ \ e* j sça* et] * t\ J n^a* dt-* GWE; è) , (32)

о о о

яч Ê » <ê , t » ГГ5) задиеслыше умов/

< к, ft J *- J'

a с - (E . I = 175) - унсву yje. h) > 0 i tj оц^нветься знизу нер! бн! стю

t 2 к) « Т*(ft, e, с) . (33)

Лена 3. Яквд tí i uíjí, О завовольнаоть пря t e 10, TI сп1вв1дношеняя (?5)-(29), то яря Eclx t e ['„_,' 'J' да r' " дов!кьне додатне натуральна число, внконуетъея оц'нкк (Sl)-(33) 1

оц]нка ф(t) s ? f k при значениях fe » й i к* - г" , до

П - Ï П л Л

задовопьнявть максимум право! частник üspIbkoctí

г - Î г 2 7 (t, t) ft2 С"' a r'fft, £*) (34)

h n -I "ñ 4 fi*

при умешай

7U. ♦ ft](CJ * e«/*) >0.. (ЗЯ)

ve. fc, - V -¡il - ♦ ft)(г; ♦ г;-) - о.

(38)

г": '.* - це сукупн!сгь кара^тр!в е = се;. ; « Т"Д>> I e » (t^ I -, що epiгур/ють в (33), (36). т - f'(ft„, г*) - таж, Т*(й, с*)

nr. Г' s F г,

визначаь ouîracy в!др1зка п , f 1 зии^у: t - ! ? ! . ouf ну и,

r ti - I И ' г. - 1 г 'I

ко в1даов1дапть t s ft ti, виконукться wsn *Нх ! fo. I 1,

l п - ¡ г>j

ira {__ * £ Г . , Cî7'

i - »

Пфичян! anp^pril oqlvw лпзволякпь rflvpn» гк(»•> " '' £

с

и

+

10, t ) теоршу про i снування един го р-узз' язку запач! про теплин

n

коявгкц! » з' язке'! Иестисливо! pi дини.

О

Творена 2. Якво в задач! (4)-(7) t s ?{ X,(Q) n W\(Q) . и .

W\<Q> n ■ ft * VV • 4i е W • т-Х "?¡¡ Сг ' "

max tqu • В < Ol. , то пои í е !0. ti, яе t ои!нюятьсл зкизу

2 ' * n

hepibhlotb {37), ! снуе ьлнння роза'пзок С?, и) иI рï за .ч;

поичсму i , f , í б T ((! ), Y2, цг, и , и , u с I. 1(1

^ я t t Jt 2 T X t t * ¿

$ - sî^« I f = «u^ii - Hsnepepsül «¡¡ункцП яо £ на ГО. tnJ i для

та и мавть н! rae оц 1 нки лемп 3.

Глава 3 праевпчэна гг.ст осушктеэ методу Гальорк!на прн

наСлия:еному розв'язупзнп! tpijbjíiíí рш:л лостан1онарних задач

тзплово! кокззкцИ, що лають ¿¡ссНзльку симвтрпэ. Постановка од ni ci

з них наведена висе.

В g J на прямая! прост!soi в1д згадано! задач! розглядаиться

загальк! питания, поз'язви' з эастссуванняк вказаного метолу ло

в

даного класу задач. А самэ, в г i лъбертовону r.pocrropl lf^'t"; )з скалярни* добпкои (¡¡¡, ч>) - f M rdrdz вкЯярзеться деяка повна

J р 2 Г2 О

в ньолу система координатннх сункц! il if^r . 2 , i координат',ir

система {« (г, z)}°° , пенка в W'(Q) (аСо ÍC1 (0) у си пал;; у крайово

I 2 2

умови для тенператури и = 0). Нзближений розв'язок в!дш куеться внгляд!

N

г, t) = z), (г, 2) 6 Q. t * о .

k - i

H-

и'ш(г, г, t) = } г), (г, z) s Q, t * 0 , (30

i-i

дэ cH"(t), J = i.N+,M. - в!дкукуван! кокпонентн розв'язку Пндэкс км надал! опусясаьгься).

Вякорксповувчи в! дону методику'эзсггосуваннп мел ту Гальорх!нп для отрицания капляженкх розв'язк!в, прийдемо дЭ задач! Коя! дл^ систекч звичзйнил днфкрегщ! ¡зльних р!внянь в1дност нев!доних

л л г

К - D(C) + А с - G , cfoj с101 ,

де с « {с (t). J ' i. W+M),

0 ! A ■J«" : *

A * ПТ

алочш Ksrpiful, як! складг гься 1з матриць Л1", В

л л „

poiMlpHocri N ч N , матр.шь Л<г), В1 розм1рност1 М - М 1 матркиь л

lj', Л13' розн! рнсст! N х М; D(c) - квадратична форма в!дносно епеивкПв вокгора , ыо з! дпов!дае нел!н1 йнин членам р!внянь (Ю), (11); с101. G -:в!док! Еектор-стовпи!, ко в1 дпов! дають початксвим умсвам та BlnbHwM членам задакоГ задач!. CnociO вязначеяня вс!к зламент!в скстемя (40) описаний в дисэртацП.

''ля розв'я /вання вказано'1 система використовуеться схэна Кража-!!! колсона, до забезпечуе друг на порядок тсчност! апрсксимзаП' ¿лдносно кр жу по часу с . Отриману при цьому алгобраКчну систему нел!йник р! в;¡янь п р спо.чуеться розь'язувати узагшн пням !тьрац!8.-1иь' методом Ньвтона , записавши И для цього у вигляд!

( В ♦ I Л ) с— . ( В - | ^ ) С- . т fl ( С"У с' j

♦ I [ С'*1 + С* J . <42)

Було всгановлено, во як перие наближення на кожному кроц! доШльно викорксггсвуватк розв'пзок с**1 в!дпоз 1 дно! л1 н!fmo'i снстеми, отриманоГ з 142) виклвчэнням нел!н!йного члена

В п!'дсунку цього розд1 лу наеться з а гальиий опис алгоритму чисельного розв'язування даного клаоу задач на ЕОН, а також деяк! особлавост1 раал! зац! I сгворэиогс програк к его комплексу на ЕОН.

На приклаЩ одновйм!рно! тестево! задач! в цьому роздш да-монсггруеться також значнай нэгатнв-ша вплив на тсчш '<пъ раэв'пэху апроксимац!йно1 в'язкссИ пря застосуваш i р!еннцзби>' схем.

В § 2 розглянуг! пптатэт шЗсру коордзнаткпк дункШй для апроксикаиП розв'язку (ф. и). Як -sc о ординатHi пря цъояу застосовувалнсь, б1дпов!дко, фунпцП вкглкду

9?, (г. z) * гг f (г) f (г) . Л, т.' гл® ;

km k ш

¿»„/г, 2) • т}v<r> Т1ц(2) , р, U » т71г ; (43)

ТЯг¥ШгЬпгТ7 * ЪГ-Т Р,-г<2г 1 ' '

ЦЧ - 0 * япгт■ <)]•

2С2Ш ♦ i)

, «И

побудсван1 на ослозI пол! нон! п Лелапдра г о:) з врахувь.ня»

к

грзничшх умов для фуикц! Г трч! i •■).

Ллп апроксимацП температуря и вилемось зручшм викорксговуватл тригоноеттричн! функм! I

îî^f г> » cos «с» - 1)Г , ' cos jj íjj - \Yl ( -451

у вкпздку лриродкоГ гранично! уноеи на Г Í фУнкнН

Цу,(Г) = eos Í,(2V - \)Г, T^fZJ * cos о Z (43)

у вяпадку граничноГ укоян и » 0 на Г.

3 иегои rtopi вкяяня екксриетевуяавясь такс» для опроксннац! » фУНКЦ'Л 754 ¡ I $ KOKÔlHaOiî ТрИГСКОИЗТрИЧНйХ ФУКХЙ1Й вигляду

fk(r) X cos Llülj-ll-t л Г - ros (D - 1.» к Г

fjz) = cos i'1^1' ' ^ - cas (m - l> zj-z (47)

Завдяки дтакоку зиОору коарялнатних функа1й bc¡ элемента натрааь Л та S I ковф! ш ешта квадрагично1 форгл D(c) обчислк ^ся точно в квадратурах, до зиечяо зкеняуе апрокетмац!йн! похнбкя.

3 иэтоы визначения оптгашъного по точнссгг! 1 позш ру сличенного базису для впрскснкаиП розй'пзку бул« прозедян! обчйсжвапьн! акспэркнэетн на то<пйсгть знаяодаення вшсних значенъ споктральнкх задач

» is1" -О, 1UI Í и В111 » 0 . (43)

Прздстаялен! п днсертахИ! результат« спз!дчать про те , ко з ззстосуванням пол! ноя! в Лгжандра задоз!лыт tcîhIcti доспгаетьсп rase при N » 4 (16 координатам зунпй fi), 150 ~cnlвставляеться з точн!сгга при N » 8 (54 кооолинатних функц!й) з застосувшгаям ТрИГОНОМаТрИЧННХ фУПКЦ!Й. 3|?ИЧа9!Ю, В 3D ' ЯЗХУ 3 П«Л1 HI Mhi (Jla. задач, m ролглядаиться, тсчн'ш ¡знзкачитн рози'р базису мо*лл липе? експеримзнталыю в npotiRo! Тх розз'язувашм.

В § 3 розгпянуП результат« тестовоТ перев1ркя алгоритму ; програмного комплексу на ess дсал i ятеннх задачах про топлову конвэкц!ю в квадрат! (Г. 3. Герщун!, е. К. Жуховшдький, е. Л. Тару-

н!н) при значениях числа Грасгскра Сг » 10*, 10ь та в круговою,' шш1 ндр!, що н! д! гр! ваеться збоку (В. 1. Полежаев, С. Г. Черкасов), при значениях С г » ¡о5, 107. Координатн) фумкцП в них випадках С, дуться, в основному, так само, як це описано ввде, з деякими особливостями, обумовленими у] эвами цих задач, що в1дзначвйо в дисертац1I.

До стосуеться першо! задач1, то вже при невелик!й к!лькост! координатних ерункша (К - М « 3, 4) лосягаеться задов! ль не сп 1 впадання розв' яок) в, отримаких за допоиогою методу Гальорк! на, з отрикакими !з застосуванням методу с! ток, Застосуваяня ж методу Гальорк!на для *юзв'язувакня друго! задач! приводить при тих ®е параметрах до як1стю 1 као! течП. Разом з так. Оуло встановлено, ио резуьтатам застосування методу с)ток при чьсл1 Сг - 7- Ю6 доОре в! дпов! дають результата отрицал! з застосуванняк методу Гальорк!на при чигл1 Сг * 7-10*. Зказана кев!дпов!да!сть результата при однаковнх значеннях ' числа Грасгскра пояснюеться вплпвом апрокс,.лац! йно! в'язкос. 1, що виннкае при р!экнцев1Я апроксинац! I нел!н!йних член!в вих!дних р!внянь.

На основ1 отринаних нових як! сннх та к!льк1ских результат/в проведений детальний анал!з стац1 онарно! точ11 у випадку ц1ет задач! для значень Сг = 7-Ю4 та Сг - 7-10ь.

В § 4 розгляпаеться веся» пере01г конвективного процесу в!д моменту зародаення до сга01л!зац!1 для осганньо! задач1 пря вказаних значениях числа Грасгара. Наведен! як1сн! картини твч! I та II к1льк1сн1 характеристики (максикальн1 значения фуикц!! тач!! та модуля швидкосг!). Коненгуюгься найхарактерн! и! стад! I та особливосгг! цього процесу.

На завершения проведених досл!джень розглянуто чисельне моделювашя дестац! онарно! твплово! конвекцП, що описана впще системою р1внянь (Ю)-(Ш. в як! а вважаеться Ф«Р«/»0,а*0 1 (й • V и) = 0 на границ! Г, Початковий розпод! л безрозШ рно1 температуря в систеи1 р1дина - твердэ т!ло з врахуваннян геотерм1чного град1ента задавався у виглядЬ

(Г, 2) е о

( 0 . ......

и (Г. 2) - Л 1

0 I - 0,00714 2 0.99286 , (Г. г) <= О

Обчяслення проводились для значень Сг « 7.6636- ю' , дв к ' б, 10, 14 . з кроком по часу г « 10"* , ю-6 , 10"8 , в!диов!дно. Реэ. льтати представлен! у вигляд! !зол1н!й функцП теч!Т та 1зотерм, а також 1зол!н1й модуля швидкосг!. пупьсаи!п модуля

ввидкост1 в ф1ксованих точках об' чу.

OchobhI результати дисертаиП опубл!кован! в наступим* роботах:

1. Галицын А. С., Карагодов В. П. Об одной экономичной разностной схеме численного решения системы уравнений теп ->вой конвекции в цилиндрической лакуне // Дифференциальные уразнения i частными производными в прикладных задачах. - Киез: Ин-т математики АН УССР. 1982. - С. 33-40.

2. Галицын А. С., Жуковский А. Н., Карагодов В. II. Нелинейная сопряженная задача о термоконвектизйоп динамике вязкоа жидкости в замкнутей полости я чнсленнс-анапитнческия метод ее реиення // Республиканская конференция по нелкпесным задача;! математической физики. Донецк. 12 - 14 сент. 1S83 г.: Тез. докл.^ - Донецк: Ин-т прикл. математики и механик)!, 1883. -С. 32.

3. Карагодов В. П. Проекциончо-раэностньй метод реиення задачи о конвекции вязкой ,.;идкосги при больших числах Грасгофа // Численно-аналитяческиэ методы исследовании динамики и устойчивости сложных систем. - Киев: Ик-т нзтематики АН УССР, 1S83. - С. 142-152.

4. Галиции А. С., Жуковсглй А. Н., Карагодов В. П. О применении метода Галеркина к решению осеспмштричной задачи конвекции жидкости в замкнутом объеме. - Киев, 1985. - 48 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 85.40).

5. Галицын Л. С., Жуковский Л. Н., Карагодов Б. П. Интегрирование квазилинейной системы уравнений нестационарной конвемии при сопряженном теплообмене методом Галеркина // Тез. докл. ! I Все coro. KOHtp. "Лавршггьевсхиэ чтения по математике, механике и физике", Киев, 9-11 свит. 1933 г. - Киев. 1985. С. 66-68.

S. Gal 11 sin Л. S.. ZhUKoYsfcy А. N., Karagodov V. P. Method ano results of mathematical model ling combined' t/iermophysIcaI processes !n underground equipment containing a viscous fluid // 4-th IBMT Session, Abstracts, United Klndom. - 1985. -I*. 1-7.

7. Галиныt А. С., ЖуковсжиЯ A. H., Карагодов В. П. Решание нелинейных задач конвекции в заьккуток с5гс?:-з втзкоп жидкости проекционно-разностным методом - Киев, 1987. - 44 с. - (Препринт АН /ССР. Ин-т математики; 87.6).

8. Карагодов В. П. Об оценках галеркииских приближений для решений трс ¡мерных задач конвекции вязкой несжимаемой жидкости // Специальные граничные задачи теории теплообмена. - Киев: Ин-т

матенатикк АН УССР, 1680. - С. 41-47.

8. Карагодов В. П. об оценках гаперккнскии -прнСлнкениз для реаений некоторых задач течения вязкой носжк.чазмой жядкостк // Ti3. докл. респ. науч. конф. "Экстремальные задачи теории приближения и ик прилоивния", Киев, 29-31 мая 1800 г. - Киев, 1890. - С, 83.

10. Карагсдсв В. П. О лекальной разрешимости трехмерных задач тепловой конвекции вязкой нэсяимаемой видхосп'и. - Ккев, 1891.- 17 с - (Препринт / АН V -СР. Ии-т математики; fll.EO).

тдо. до друку 21.02.64. Формат 607.64/16. Пап1р врук. офс. друк. Ун. друг., арк. 1,16. Ум. qspüc-BijgS, í.ie. OSi!. -бяя. арк. О, в Тираж 100 пр. Заи. 4i Бззкоштовно.

Ыдцруковано в i нспггуП иа.енаткка АН Укранш 532901 Ки1в 4, ГСП, еун. TspatgsimlBObKa, 9