Нелинейные параметрические колебания оболочек нулевой и отрицательной гауссовой кривизны тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

0. ВВЕДЕНИЕ.

0.1. Актуальность работы.

0.2. Суть проблемы.

0.3. Цель работы.

0.4. Обзор литературы.

0.5. Методы исследований.

0.6. Практическая ценность данного исследования.

0.7. Распределение материала по параграфам.

ГЛАВА I. Общие зависимости нелинейной теории оболочек.

1.1. Уравнения общей теории оболочек.

1.2. Упрощение уравнений теории оболочек.

1.3. Постановка задачи.

ГЛАВА II. Нелинейные параметрические колебаний цилиндрической оболочки.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Математическая модель.

2.3. Численное решение.

2.4. Определение областей динамической неустойчивости системы.

2.5. Взаимодействие неосесимметричных колебаний с т и 2т волнами в окружном направлении.

2.6. Случай внутреннего резонанса.

2.7. Асимптотическое решение системы уравнений неосесимметричных параметрических колебаний.

2.7.1. Решение в зоне параметрического резонанса для у\{€) и вне зон параметрического возбуждения для у2^).

2.7.2. Решение в области наложения главной зоны праметрического резонанса для (£) и второй зоны параметрического резонанса для

2.7.3. Случай двойного резонанса.

2.8. Хаотические колебания.

2.9. Исследование движения типа "бегущей волны" при параметрических колебаниях цилидрической оболочки.

2.9.1. Постановка задачи.

2.9.2. Математическая модель.

2.9.3. О расщеплении частот.

2.9.4. Об энергообмене между изгибными формами.

2.9.5. Интегрирование системы.

2.9.6. Анализ полученных результатов.

ГЛАВА III. Нелинейные параметрические колебания конической оболочки.

3.1. Нелинейная деформация конической оболочки при параметрическом возбуждении.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Построение математической модели.

3.1.3. Использование уравнений теории пологих оболочек.

3.1.4. Структура переменных и разрешающей системы.

3.1.5. Приближенное аналитическое решение.

3.1.6. Численный пример.

3.1.7. Область параметрического возбуждения.

3.1.8. Амплитуда параметрических колебаний.

3.1.9. Взаимодействие форм с т и 2т волнами в окружном направлении.

3.1.10. Выводы.

3.2. Применение построенной модели к изучению колебания диафрагмы электродинамического громкоговорителя.

3.2.1. Введение.

3.2.2. Экспериментальные результаты.

3.2.3. Математическая модель диафрагмы громкоговорителя.

3.2.4. Численный пример.

3.2.5. Зависимость частоты и амплитуды параметрических колебаний от параметров подвижной системы громкоговорителей.

0.1. Актуальность работы

Можно привести множество примеров, иллюстрирующих важность колебательных явлений в технических устройствах. Механические колебания могут причинить и значительный вред. Именно эти случаи впервые привлекли внимание инженеров к проблемам теории колебаний. Часто механические колебания создают прямую угрозу прочности весьма ответственным конструкциям, таким, как турбинные лопатки, мосты, перекрытия промышленных зданий и т.п. Колебания неоднократно служили причиной многих аварий, а иногда и тяжелых катастроф. Теория колебаний решает задачи не только предвидения, но и, по возможности, предотвращения вредного воздействия колебаний.

Решение проблемы прочности тонкостенных оболочечных конструкций связано с изучением взаимосвязаиности и взаимодействия их упругих колебаний, возникающих при периодических или иных внешних воздействиях. Взаимосвязанными могут быть крутильные (тангенциальные) колебания оболочек с продольными, поперечные (изгибные) колебания с продольными, изгибные колебания, отвечающие кратным собственным частотам.

Наиболее существенно эта взаимосвязь проявляется при немалых динамических перемещениях оболочек (когда они нелинейно зависят от деформаций) и определенных "резонансных" соотношениях между собственными частотами. Именно при этих условиях создаются предпосылки для радикального перераспределения энергии между различными обощенными координатами оболочки, вследствие чего могут возбуждаться интенсивные колебания по тем формам и в тех направлениях, по которым не действуют внешние возмущающие силы. Такая прекачка энергии внутри упругой системы способна вызвать опасные виды динамической неустойчивости.

В практике чаще встречаются случаи взаимосвязанное—; • ствия чисто изгибных форм колебаний, так как в поперечном направлении тонкостенные конструкции испытывают наибольшие деформации, а частоты реальных оболочек резонируют между собой (находятся в кратных соотношениях).

Однако, несмотря на важность проблемы энергообмена и взаимодействия изгибных форм оболочечных элементов конструкций, ей посвящено незначительное количество работ. Это вероятно, объясняется сложностью соответствующих динамических задач, которые с одной стороны являются нелинейными, с другой - многомерными неавтономными.

0.2. Суть проблемы

Для упругих систем, обычно изучаемых в курсах теории колебаний, различают "обычные" и "параметрические" нагрузки. Первые из них изменяются независимо от колебаний самой системы, они фигурируют в уравнениях, описывающих движение системы, как некоторые функции времени и пространственных координат. Нагрузки второго типа входят в уравнения в виде некоторых параметров. Нагрузкам первого типа соответствуют вынужденные колебания, второго типа - параметрические. Надо отметить, что в гибких пластинках и оболочках нагрузки "обычного" типа - например, нормальное давление - могут вызывать периодически изменяющиеся усилия в срединной поверхности; тогда возникают вибрации параметрического типа.

В работе изучаются оболочки вращения нулевой и отрицательной гау-совой кривизны, подверженные сжимающему усилию, приложенному к одному из краев оболочки и меняющемуся периодически во времени. Основное состояние конструкции при подобных колебаниях является осе-симметричным и безмоментным. При определенных соотношениях частоты пульсаций нагрузки и частоты собственных колебаний подобное основное состояние становится неустойчивым, и возникают нарастающие неосесимметричные колебания.

При решении задачи в линейной постановке оказывается, что таким неустойчивым зонам основного состояния соответствуют прогибы нарастающие от цикла к циклу. Важно отметить, что первая зона такой динамической неустойчивости лежит вблизи частоты пульсаций нагрузки, составляющей удвоенную частоту собственных колебаний конструкции (имеется в виду система с одной степенью свободы). Вторая и последующие зоны динамической неустойчивоти лежат вблизи 2 из v — -—, к = 1,2, Распределение областей динамической неустойгь чивости для уравнения

У + 1У + - д cos vt)y = О показано на рис.0.1. В некоторых монографиях он называется диаграммой Айнса-Стретта. Рис.0.1.а соостветствует случаю, когда демпфирующие факторы не учитываются 7 = 0. Рис 0.1.6 построен с учетом демпфирования 7 ф 0. Для второй и последующих зон область неустойчивости отходит далеко от оси асбцисс, так что явление неустойчивости здесь проявляется при весьма большом уровне нагрузки. Практически поэтому наибольшее значение имеет первая зона; ею мы и будем интере

Рис. 0.1. Зоны динамической неустойчивости: а) без учета демпфирования б) с учетом демпфирования

Характерным для оболочек по сравнению с одномерными конструкциями является обилие собственных частот, некоторые из которых весьма близки друг к другу. Из-за этого области неустойчивости могут частично перекрываться, даже при малых амплитудах возбуждения. В этих частично перекрывающихся областях имеют место более одной формы параметрически возбуждаемой неустойчивости.

В статье Шу С. [88] приведен рисунок (рис.0.2), иллюстрирующий распределение областей динамической неустойчивости для цилиндрической оболочки из алюминия при пульсирующей осевой силе и давлении. Заштрихованные участки соответствуют областям неустойчивости. На рисунке приведены восемь областей первого порядка (к = 1) и пять областей второго порядка (к = 2) неустойчивости. Области параметричесокй неустойчивости оболочки расположены у значений у = 2ит/к. Здесь т— число волн в окружном направлении, а к— номер резонанса. f 0.02

0.01

0.1 0.2 о)/й)0

Рис. 0.2. Области потери устойчивости для цилиндрических оболочек при пульсирующей осевой силе и давлении.

Согласно линейной теории нужно ожидать, что амплитуды колебаний в пределах областей динамической неустойчивости должны неограниченно возрастать со временем. Однако этот вывод находиться в противоречии с опытными данными, которые указывают на существование в пределах областей неустойчивости колебаний с установившейся амплитудой [116].

В линейной постановке мы считаем прогибы малыми и силы, действующие на тело линейными функциями перемещений, скоростей и ускорений. Однако с ростом амплитуд все в большей степени сказывается влияние нелинейных факторов. Именно эти факторы ограничивают беспредельное возрастание амплитуд, предсказываемое линейной теорией. Поэтому вопросы об установлении параметрических колебаний, а также о величине установившихся амплитуд можно рассматривать только на основе нелинейных дифференциальных уравнений.

Нелинейность колебаний оболочек прежде всего проявлялась в их неизохронности, следствием которой являлось искривление амплитудно

Рис. 0.3. АЧХ нелинейной системы.

Наиболее типичные кривые зависимостей между амплитудой поперечного прогиба /(£) и частотой собственных нелинейных колебаний О приведены на рис.0.3. Здесь сио — частота собственных линейных колебаний оболочки. При этом характер нелинейности: мягкая(1), жесткая (2), мягко-жесткая (3) определяется физико-механическими и геометрическими параметрами оболочки. Специфическая зависимость частот колебаний от амплитуд может привести к срывам колебаний в резонансной области, колебательному гистерезису и другим нелинейным явлениям.

Возникает вопрос не внесет ли наличие нелинейных факторов каких-либо изменений в распределение областей динамической неустойчивости, которое дается линейной теорией? Мысль о том, что линейное приближение является достаточным, чтобы судить о динамической устойчивости стержня была впервые четко сформулирована И.И.Гольденблатом [38]. Правильное соотношение между линейной теорией и теорией, основанной на нелинейных дифференциальных уравнениях, может быть понято на основе теории устойчивости движения A.M. Ляпунова [57].

0.3. Цель работы

Построение математической модели тонкой упругой оболочки вращения нулевой и отрицательной гауссовой кривизны при параметрическом возбуждении.

Изучение взаимодействия прогибов с различным числом волн в окружном направлении и их влияния на распределение зон динамической неустойчивости и амплитуды неосесимметричных параметрических колебаний системы.

Взаимное влияние осесимметричных вынужденных колебаний и неосесимметричных параметрических колебаний. Изучение поведения системы, находящейся в области двух резонансов — резонанса вынужденных осесимметричных колебаний и главного параметрического резонанса неосесимметричных колебаний.

Исследование процесса установления колебаний и режима биений в области главного параметрического резонанса.

Выяснение вопроса о возможности возникновения режима "бегущей волны" в области главного параметрического резонанса, как частного случая установившихся колебаний.

Влияние демпфирования на все вышерассмотренные типы движений.

Применение построенной модели для изучения колебаний диафрагмы электродинамического громкоговорителя.

0.4. Обзор литературы.

Подробный разбор литературы по теории динамической устойчивости, доведенный до 1951 г., можно найти в встатье Е.А.Бейлина и Г.Ю. Джанелидзе]^]. Остановимся на некоторых этапах развития теории.

Стандартным примером параметрических колебаний служат изгиб-ные колебания прямого стержня, шарнирно опертого по обоим концам, нагруженного периодической продольной силой. Вынужденные чисто продольные колебания в определенном интервале частот становятся неустойчивыми и на них накладываются изгибные колебания с частотой вдвое меньшей частоты вынуждающей силы. Этому примеру посвящено первое обстоятельное исследование параметрических колебаний [9], выполненное Н.М. Беляевым в 1924 г., первое после того как уже Фарадей [99] в 1831 г. наблюдал параметрические колебания жидкости в сосуде, а Мельде [106] в 1859 г. наблюдал параметрические колебания струны, последние были теоретически объяснены Стреттом [114] в 1883 г.

В 1935 г. Н.М. Крылов и H.H. Боголюбов [51] вновь возвращаются к этой задаче, рассмотрев общий случай опорных закреплений. Применяя вариационный метод Галеркина, авторы сводят общую задачу к уравнению, которое уже рассматривалось Н.М. Беляевым, с той разницей, что коэффициентами уравнения являются приближенные параметры (в смысле метода Галеркина). Годом раньше Н.Е. Кочин [52] рассмотрел родственную в математическом отношении задачу о колебаниях коленчатых валов.

Отметим, что первые зарубежные работы по динамической устойчивости стержней относятся к концу 30-х началу 40-х годов [104, 116].

Динамическая устойчивость пластинок, сжатых периодическими продольными силами, рассматривалась В.А. Боднером [10], З.И. Халило-вым[82] и Р. Эйнауди[97]. задача о динамической устойчивости кругового кольца под действием радиальной вибрационной нагрузки решена Г.Ю.Джанелидзе и М.А. Радцигом [46]. А.Н. Марковым [62] и О.Д.

Ониашвили [74] рассмотрены некоторые частные задачи динамической устойчивости оболочек.

Вопрос о влиянии затухания на границы областей неустойчивости обсуждался Э. Меттлером и К.А. Наумовым [68]. Заметим, что соответствующая задача в более общей формулировке была решена еще в 1927 г. A.A. Андроновым и М.А. Леонтовичем[4].

Упомянутые выше работы харктерны тем, что задача динамической устойчивости сводится в них (точно или приближенно) к одному дифференциальному уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами (уравнению Матье-Хилла). Между тем, уже В.Н. Челомей [84] показал, что задача динамической устойчивости в общем случае приводит к системам дифференциальных уравнений с периодичесими коэффициентами. Б.З. Брачковский [20] (на основе вариационного метода Галер-кина) и В.В. Болотин [15] (на основе интегральных уравнений) установили класс задач, которые могут быть точно сведены к одному уравнению второго порядка. Обобщение этих результатов на случай диссипативных систем дано Ю.Г. Джанелидзе [45].

И.И. Гольденблат [37] рассмотрел задачу о динамической устойчивости сжатого тонкостенного стержня, которая в случае сечения с одной осью симметрии приводит к системе двух дмфференциальных уравнений. Используя результаты H.A. Артемьева [6], И.И. Гольденблат указал способ построения областей неустойчивости путем разложения по степеням малого параметра. Сходный прием, лишенный, однако, строго обоснования, применил Меттлер [107], к задаче о динамической устойчивости плоской формы изгиба балки. Вейденхаммер [117] тем же методом рассмотрел задачу об устойчивости стержня, защемленного на концах. Вариант метода излагается Кухарским [103] в применении к частной задаче динамической устойчивости пластинок и Реклингом [111] - в применении к частной задаче динамической устойчивости плоской формы изгиба.

Другой метод, свободный от предположения о малости параметра, предложен в статье В.В. Болотина [15]. Там же исследуется структура общих уравнений динамической устойчивости. В.В. Болотиным рассмотрена как общая задача динамической устойчивости плоской формы изгиба, так и задача динамической устойчивости пластинок. В книге [17] этот метод распространяется на диссипативные системы и применяется последовательно к задачам устойчивости стержней, арок, балок и оболочек.

В перечисленных выше работах задача динамической устойчивости рассматривалась в смысле нахождения областей, в пределах которых заданная форма движения становится динамически неустойчивой. В то время как линеаризованные уравнения колебаний всегда приводили к растущим решениям в областях неустойчивости, в опытах, например тщательных экспериментах Утиды и Седзавы [116], были обнаружены стационарные колебания, т.е. периодические решения. Это противоречие получило объяснение только при нелинейном исследовании параметрически возбуждаемых колебаний.

Мысль о недостаточности линейной трактовки для определения амплитуд в резонансных областях была впервые четко сформулирована И.И. Гольденблатом [38], который указал на связь этой задачи с задачей о параметрическом возбуждении электрических колебаний [60]. Изложение нелинейной теории в применении к задаче о динамической устойчивости сжатого стержня дано В.В.Болотиным [14]. Аналогичная задача почти одновременно рассматривалась Вейденхаммером [118], который пытался учесть один из геометрических и частично физических нелинейных факторов. В работе В.В.Болотина [15] нелинейная теория распространяется на случаи побочных областей неустойчивости, а также на случай стержня, имеющего начальную кривизну. Некоторые нелинейные задачи динамической устойчивости пластинок рассмотрены автором [16] с учетом растяжения срединной поверхности. Затем последовали в изобилии исследования, посвященные различным задачам о параметрических колебаниях. Исследования проведенные до 1956 г., среди которых основополагающий характер имели работы В.В.Болотина, систематизированы в его монографии "Динамическая устойчивость упругих систем."

Со временем появления книги В.В.Болотина были не только изучены разносторонние приложения параметрических колебаний, но и существенно развита их теория. Из всех направлений исследований проводившихся в последнее время, особенно важными оказались два. Во-первых, изучение нелинейностей привело к теории комбинационных ре-зонансов, которая будучи дополнена новыми исследованиями по устойчивости привела к пониманию этого поразительного на первый взгляд явления. Во-вторых, было объяснено еще одно противоречие в области параметрических колебаний, состоящее в следующем: при учете геометрических нелинейностей и нелинейных законов упругости получались стационарные амплитуды, что не соотвсствовало виду полученных в экспериментах резонансных кривых. Было показано, что замена обычного линейного выражения демпфирования более близким к действмитель-ности нелинейным выражением объясняет этот вид; тем самым было объяснено и существование максимальных амплитуд и, в частности, то обстоятельство, что последние не зависят от остальных нелинейностей. Благодаря этому стало возможным оценивать опасность параметрически возбуждаемых колебаний, исходя только из нелинейностей демпфирования и не принимая во внимание прочие нелинейности. Описание обоих этих направлений занимает центральное место в книге Г.Шмидта [87].

Начало теоретическим исследованиям нелинейных колебаний оболочек положено в 1955 г. Э.И. Григолюком и Рейсснером [42,112], которые разработали основную нелинейную модель,использовав приближенные методы. В качестве разрешающих уравнений в данных работах использовались геометрически нелинейные уравнения теории пологих оболочек, а динамический прогиб и функция напряжений в срединной поверхности аппроксимировались одночленными выражениями вида w(t) = f(t) sin ГП7*Х cos пв; Ф(£) = (p(t) sin cos пв. (1) t i где m — число полуволн по длине оболочки; п —число полных волн по окружности; х, в —обобщенные координаты; / —длина оболочки. Для определения обобщенного перемещения f(t) получено нелинейное дифференциальное уравнение, приближенное решение которого определялось с помощью метода Бубнова-Галеркина и метода возмущений Линд-штедта.

Последующие исследования нелинейных собственных, а затем и вынужденных колебаний оболочек (главным образом цилиндрической формы) выполнены многими советскими и зарубежными авторами. Наиболее существенные результаты получены Э.И. Григолюком, В.В. Болоти-ным, A.C. Вольмиром, а также С.А.Амбарцумяном, Г.Е.Багдасаряном, В.Ц. Гнуни, А.Н. Гузем, B.C. Калининым, И.Г. Кильдибековым, H.A. Кильчевским, Г.В. Мишенковым, О.Д. Ониашвили, В.И. Пастушихиным, И.Т. Селезовым, А.П. Филипповым, Бэбкоком, Вентресом, Довеллом, Ивенсеном, Мацузаки, Новинским, Рейсснером, Фыном, Ченом,Чу и др. Соответствующие ссылки можно найти в работах [17, 29-32, 44, 73, 77, 81]. Основной путь исследования обычно заключался в предварительном сведении с помощью вариационных методов континуальной конструкции к системе с одной-двумя степенями свободы, которая затем анализировалась либо численно, либо с использованием аналитических методов нелинейной механики (асимптотического метода Крылова-Боголюбова, метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре, метода возмущений Лайт-хилла, гармонического баланса и др.[12, 49, 59, 109])

Параллельно с исследованиями собственных и вынужденных колебаний разрабатывалась теория динамической устойчивости нелинейных параметрических возбуждаемых колебаний оболочек. Наболее существенный вклад в ее развитие внесли В.В. Болотин, A.C. Вольмир, В.Л. Агамиров, Г. Шмидт, , С.А. Амбарцумян, Г.Е. Багдасарян, А.З. Богданович, Вийярагхван, В.Ц. Гнуни, Ивэн-Ивановски, М.А. Ильгамов, К.Кисляков, Д.Е.Липовский, Г.В. Мишенков, А.Т. Пономарев, О.И.Теребушко, Э.Г. Фелдмане, Шу, Яо и др.[11, 17, 25, 29, 30, 36, 64, 73, 87, 88, 102, 119, 120]. Параметрическое возбуждение оболочек при пульсирующем осевом на-гружении и давлении; кинематическое возбуждение оболочек на вибрирующем основании; "внутреннее" параметрическое возбуждение оболочек при действии распределенного импульсного или ступенчатого давления; параметрическое возбуждение оболочек акустической средой с источниками; комбинированное статико-динамическое нагружение, содержащее элемент параметрического возбуждения (пульсирующую нагрузку) — вот краткий перечень основных задач, которые рассматривались в этих работах.

Кратко цели и задачи всех исследований по проблеме параметрического возбуждения оболочек сводятся прежде всего к определению областей динамической неустойчивости и изучению характеристик движения оболочек при потере устойчивости. В ряде работ [11, 17, 64, и др.] показано, что форма и расположение областей динамической неустойчивости практически определяются линейными частями уравнений с периодическими коэффициентами, составленными относительно обобщенных перемещений /¿(¿). Нелинейные факторы (упругость, инерционность, затухание и пр.) в свою очередь обусловливают ограничение нарастания прогиба в областях неустойчивости и приводят к явлениям, характерным для вынужденных колебаний с немалыми прогибами (затягиванию колебаний, колебательному гистерезису, субгармоническим резонансам и др.) Во многих работах изучалось влияние начальных неправильностей на динамическую неустойчивость и параметрические колебания оболочек [53, 54]. Поскольку начальная погибь изменяла частотный спектр оболочек (по сравнению с идеальной оболочкой), то это, естественно, несколько трансформировало области динамической неустойчивости. Однако качественно поведение оболочек было таким же, как и при отсутствии начальной погиби.

Следует отметить, что несмотря на обширный перечень работ по нелинейным проблемам динамики оболочек и оболочечных элементов конструкций: практическую важность полученных результатов, высокую степень разработанности отдельных нелинейных задач — определенные фундаментальные вопросы остаются пока нерешенными. Среди них важное место занимает проблема нелинейного взаимодействия форм изгиб-ных колебаний оболочек при воздействии как периодических, так и аэродинамических нагрузок. Актуальность этой проблемы стала очевидной в последние годы.

Интересные результаты получены в последнее время в ходе экспериментальных исследований динамической неустойчивости оболочек [19, 35, 75]. Во всех проводимых опытах при медленном сканировании частоты параметрического возбуждения наблюдалось явление "вторичной" потери устойчивости. Вначале скачкообразно возбуждались колебания оболочки по одной из собственных форм, затем — по геометрически подобной изгибной форме, ориентированной таким образом, что ее узлы примерно совпадали с пучностями исходной формы. При этом переход от одной формы к другой при прямом и обратном сканированиях частоты происходил при различных значениях этой частоты. Наблюдался двойной колебательный гистерезис.

В некоторых случаях движение оболочки представляло собой либо специфическую, бегущую в окружном направлении волну, либо нестационарные процессы циклического перехода от одной изгибной формы к другой [34]. Бегущая волна могла при этом самопроизвольно изменять направление движения. Аналогичные результаты получены при виброиспытаниях стеклопластиковых оболочек, несущих присоединенную мае-су [33].

Следует также отметить, что при решении нелинейных задач колебаний оболочек всегда предполагается (хотя это и не оговаривается), что собственные частоты оболочек разнесены друг от друга настолько, что взаимовлиянием соответствующих им изгибных форм при колебаниях можно пренебречь. Кратные соотношения между частотами также считаются отсутствующими. Между тем в численных примерах эти требования очень часто не выполняются, что может стать причиной дисгармонии теории и эксперимента. Близость или кратные зависимости между частотами как при свободных, вынужденных, так и параметрических колебаниях неизбежно приведут к взаимосвязанности соответсвующих им форм и взаимодействию при нелинейных колебаниях.

В современной литературе часто обсуждается вопрос о переходе параметрических колебаний в область хаотических при больших динамических нагрузках. Этой теме посвящены работы [69, 96, 110].

0.5. Методы исследований.

В настоящей работе изучаются колебания тонких упругих оболочек вращения нулевой и отрицательной гауссовой кривизны под действием осесимметричной периодической нагрузки, приложенной к ее верхнему краю. При этом основное внимание уделяется параметрическому резонансу. Поскольку оболочка является телом более сложной геометрии, чем стержни и пластины у этих явлений появляется ряд новых свойств, таких как комбинационные и внутренние резонансы.

Теория оболочек развита в монографиях В.З.Власова [27], А.Л. Гольденвейзера [39,40], В.В. Новожилова [70].

Сложность трехмерных уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения. Поэтому при исследовании колебаний оболочек используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. Одним из таких подходов является использование двухмерных теорий.

Существующие методы сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче теории пластин и оболочек принято условно разделять на три группы: методы разложений по толщине, методы гипотез, асимптотические методы.

Первые исследования в теории пластинок были выполнены Коши и Пуассоном [70] методом, который основывается на разложении всех перемещений и напряжений пластины в ряды по степеням расстояния точек от срединной поверхности. Однако известное противоречие, возникшее вследствие несоответствия между порядком основного дифференциального уравнения (четвертый) и выведенных Пуассоном граничных условий на боковой поверхности (их было три), а также неопределенность области и характера сходимости данных рядов, приостановило развитие теории.

Начиная с работы Кирхгофа, где был решен вопрос о граничных условиях, получение многих важных результатов было связано с методом гипотез. Метод Кирхгофа, внесший в теорию пластин физическую ясность, быстро получил признание и сохраняет его по настоящее время. В применении к оболочкам он был доработан А.Лявом.

Многие важные результаты, полученные в теории оболочек и пластинок за последние десятилетия связаны с применением асимптотического метода. Асимптотические методы в теории оболочек и пластинок развивались в двух направлениях. Первое направление основано на непосредственном асимптотическом интегрировании уравнений трехмерной задачи теории упругости и развивалась в работах К.Фридрихса, А.Л. Гольденвейзера, Л.А.Агаловяна [1,40]. Введение фундаментального понятия показателя изменяемости напряженно-деформированного состояния по пространственной координате и проведение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости позволило построить основной итерационный процесс, приводящий в первом приближении к двухмерной теории оболочек, и дополнительный, приводящий к теории погранслоя.

Асимптотический метод позволил также взглянуть на погрешность двух-меных теорий оболочек и пластин, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости напряженно-деформированного состояния.

В данной работе в качестве исходных используются классические уравнения двухмерной теории оболочек, полученные с использованием гипотез Кирхгофа-Лява. Допущения или гипотезы метода Кирхгофа-Лява [70] сводятся к следующему: а) предполагется, что прямолинейные волокна пластины или оболочки, перпендикулярныек средней ее поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности, сохраняя при этом свою длину; б) предполагается, что нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно по сравнению с прочими напряжениями пренебречь.

Двухмерная система является сингулярно возмущенной, так как содержит малый параметр при старших производных. В качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности оболочки. Для решения такого рода уравнений наиболее эффективными считаются асимптотические методы. Они играют важную роль как при построении приближенных уравнений теории оболочек, так и при получении решения этих уравнений.

Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика, И.В. Андрианова, ЮД. Каплунова, Л.Ю. Коссовичаи др.[39,40,72,78,101].

Асимптотический анализ позволил оценить напряженно- деформированное состояние оболочки, сравнить входящие в систему уравнений члены, упростить систему исходных уравнений и сделать оценку погрешности этой системы.

Применение метода Бубнова-Галеркина [30] к упрощенной системе дифференциальных уравнений в частных производных дало возможность получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно искомых обобщенных координат, зависящих от времени.

Последний этап заключался в решении этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение искалось численным интегрированием с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка, а также асимптотическим методом. Результаты сравнивались.

0.6. Практическая ценность данного исследования.

Исследования неосесимметричных параметрических колебаний находят применение при проектировании динамических громкоговорителей. Как известно, в процессе конструирования и производства громкоговорителей серьезную проблему представляет задача снижения призвуков, часто прослушиваемых как при возбуждении громкоговорителей чистым тоном, так и музыкально-речевыми сигналами. Экспериментальный анализ характера призвуков у серийно выпускаемых громкоговорителей [2, 3] показал, что при увеличении напряжения подводимого сигнала у многих громкоговорителей наблюдаются частотные области, где в спектре воспроизводимого сигнала появляются гармоники с частотой, равной г//п, где V — частота, п — 2,3,4 Чаще всего колебания модулируются гармоникой с частотой, равной половине частоты возбуждающей силы. На слух это явление воспринимается как призвук, который при дальнейшем увеличении напряжения может переходить в дребезг. Диафрагма громкоговорителя представляет собой тонкую упругую оболочку вращения и сущность этого явления заключается в потере динамической устойчивости оболочки. В процессе работы громкоговорителя мы слышим осесимметричные колебания его диафрагмы, которые передают основной сигнал. При некоторых определенных соотношениях величины и частоты приложенной силы и конструктивных параметров оболочки возникает параметрический резонанс, который проявляется в возникновении интенсивных поперечных колебаний с частотой, не кратной частоте приложенной силы, и большой амплитудой. Именно эти колебания мы слышим как призвуки и дребезг. Расчет зон параметрической неустойчивости, а также определение амплитудных характеристик внутри этих областей, влияние конструктивных параметров оболочки на распределение зон динамической неустойчивости и амлитуды, влияние массы, прикрепленной к верхнему краю, моделирующей звуковую катушку, и сил демпфирования позволяют сделать ряд важных рекомендаций проектировщикам для снижения призвуков этого рода в акустических системах.

0.7. Распределение материала по параграфам.

Первая глава данного исследования посвящена выводу уравнений движения оболочки для поставленной задачи. С использованием асимптотических методов и оценок напряженно-деформированного состояния сделан ряд упрощений общих двухмерных уравнений теории оболочек и получены приближенные уравнения задачи, обсуждаются также и формы приближенного решения этой системы уравнений, наиболее удобные для ряда рассматриваемых задач.

Во второй главе рассматриваются низкочастотные параметрические колебания цилиндрической оболочки, строится приближенная аналитическая модель нелинейных колебаний оболочки. Модель неосесимме-тричных параметрических колебаний строится на основе предположений о тонкостенности оболочки и большом т - числе волн в окружном направлении, поскольку т ~ где Н — толщина оболочки. Методом Бубнова-Галеркина упрощенная система в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обощенных координат, характеризующих амплитуду неосесимметрич-ных колебаний во времени. Анализ данной системы позволяет получить условия возникновения параметрических колебаний, распределение зон динамической неустойчивости, взаимное влияние осесимметричиых и пс-осесиммтричных колебаний, а также параметрических колебаний с т и 2т волнами в окружном направлении друг на друга. Исследование конечной системы проводится как численными методами так и аналитическими. Рассматривается случай резонанса осесимметричных и неосе-симметричных колебаний, который приводит к хаотическим колебаниям. Анализируется поведение системы при больших значениях возмущающей силы, построены диаграммы Пуанкаре, определен порог перехода системы в область хаотических колебаний. Изучается поведение амплитуды колебаний внутри зоны динамической неустойчивости, характер установления амплитуды.

Для цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами построена модель, учитывающая две сопряженные формы, описывающие неосесимметричные параметрические колебания во взаимно перпендикулярных направлениях. Применение метода Бубнова Галаркина к двумерной системе уравнений теории оболочек сводит задачу к решению системы с двумя степенями свободы, имеющей близкие линейные собственные частоты. С использованием метода многих масштабов выполнен приближенный качественный анализ возможных колебательных режимов, исследованы условия возникновения бегущих в окружном направлении волн и режимы колебаний, соответствующие наложению бегущей и стоячей волн.

В третьей главе рассматриваются низкочастотные колебания тонкой упругой усеченной конической оболочки и оболочки отрицательной гауссовой кривизны, близкой к конической. К верхнему краю оболочки прикреплена масса mi, соединенная с пружиной жесткостью ci, нижний край упруго заделан пружиной с жесткостью c<¿. Верхний край оболочки находится под действием осесимметричной гармонической нагрузки F = Fq sin vt.

Работ в этой области для конических оболочек мало, что объясняется более сложным видом составляющей функции прогиба вдоль образующей, в отличие от цилиндрической оболочки. Однако именно эта геометрия оболочки широко востребована на практике.

Рассмотрен ряд последовательно усложняющихся моделей. При моделировании основное внимание уделено анализу низкочастотных не-осесимметричных колебаний, частота которых ниже первой резонансной частоты осесимметричных колебаний. Поэтому вначале предполагается, что осесимметричные колебания отсутствуют, а решение представляется в виде разложения по известным формам неосесимметричных колебаний с искомыми амплитудами.

Простейший подход заключается в использовании не связанных между собой одномодовых линейных приближений. При этом для каждого значения m числа волн в окружном направлении задача сводится к хорошо изученному уравнению Матье (Mathieu), для которого могут быть найдены области параметрической неустойчивости. Полная область неустойчивости получается при объединении областей для различных т.

При таком подходе в области неустойчивости амплитуда неосесимметричных колебаний неограниченно возрастает. Конечное значение амплитуды параметрических колебаний находится путем включения в рассмотрение нелинейного слагаемого, пропорционального кубу перемещения.

Построенная модель была применена к расчету диафрагм эелектро-динамических громкоговорителей. Диафрагма громкоговорителя моделируется оболочкой отрицательной гауссовой кривизны типа тора, но с малой кривизной образующей, поэтому в уравнения, описывающие колебания диафрагмы вводится радиус кривизны образующей Ri. Установлен характер параметрических колебаний (призвуков) и их связь с конструктивными параметрами, рассчитаны частотные области и амплитуды параметрических колебаний диафрагм громкоговорителей.

Последующее усложнение модели заключается в исследовании взаимодействия форм неосесимметричных колебаний с т и 2т волнами в окружном направлении. Для этого прогиб ш, функция усилий Ф, а также усилия и моменты в оболочке раскладываются в ряд Фурье по (р с учетом первых трех слагаемых. Задача приводится к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Целью этого усложнения является оценка погрешности одномодового приближения.

При построении модели, учитывающей осесимметричные колебания оболочки, приближенная система уравнений, описывающих движение оболочки, выписывается с использованием вариационно-энергетического метода Гамильтона-Остроградского. Таким образом, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя степенями свободы, две из которых описывают осесиметричные колебания оболочки, а третья характеризует амплитуду неосесимметричных параметрических колебаний оболочки, неосесимметричные колебания здесь рассматриваются в одномодовом приближении.

В последнем параграфе данной главы рассматривается взаимное влияние несопряженных форм неосесимметричных колебаний, соответствующих близким собственным частотам и)т, т = 5,6. Обсуждаются причины и условия возникновения энергообмена между формахми.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы.

Основные результаты работы отражены в публикациях [21-24, 92, 93].

На защиту выносятся следующие результаты: построение математической модели, описывающей нелинейные параметрические колебания тонкой упругой оболочки вращения нулевой и отрицательной гауссовой кривизны, который сводит задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы; численное и аналитическое решение задачи о взаимодействии неосе-симметричных параметрических колебаний с различным числом волн в окружном направлении, возникающих в цилиндрической и конической оболочках при параметрическом возбуждении; численное и аналитическое решение задачи о взаимном влиянии осс-симметричных вынужденных колебаний и неосесимметричных параметрических колебаний, изучение поведения системы, находящейся в области внутреннего резонанса — резонанса вынужденных осесимметричных колебаний и главного параметрического резонанса неосесимметричных колебаний; условия возникновения режима " бегущей волны" в области главного параметрического резонанса для круговой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями; исследование хаотических колебаний, возникающих при параметрическом возбуждении цилиндрической оболочки; применение построенной модели неосесимметричных параметрических колебаний для изучения колебаний диафрагмы электродинамического громкоговорителя.

Основные результаты работы заключаются в следующем: построена математическая модель, описывающая нелинейные параметрические колебания тонкой упругой оболочки вращения нулевой и отрицательной гауссовой кривизны, которая сводит задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с конечным числом степеней свободы; определены области параметрической неустойчивости и расчитаны амплитуды неосесимметричных параметрических колебаний для круговой цилиндрической оболочки, усеченной конической оболочки, а также для оболочки отрицательной газ^ссовой кривизны, близкой к конической; построены численное и аналитическое решения задачи о взаимодействии неосесимметричных параметрических колебаний с различным числом волн в окружном направлении, возникающих в цилиндрической и конической оболочках при параметрическом возбуждении; построены численное и аналитическое решения задачи о взаимном влиянии осесимметричных вынужденных колебаний и неосесимметричных параметрических колебаний, изучено поведение системы, находящейся в области внутреннего резонанса — резонанса вынужденных осесимметричных колебаний и главного параметрического резонанса неосесимметричных колебаний; установлены условия возникновения режима "бегущей волны" в области главного параметрического резонанса для круговой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями; исследованы хаотические колебания, возникающие при параметрическом возбуждении цилиндрической оболочки; построенная модель неосесимметричных параметрических колебаний применена для изучения колебаний диафрагмы электродинамического громкоговорителя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука. Физматлит. 1997. 414 с.

2. Алдошина И.А. Определение областей динамической неустойчивости диафрагм громкоговорителей // Акустический журнал, 1971, т. XVII, вып.1, с. 19 23.

3. Алдошина И.А. Разработка методов расчета частотных и амплитудных характеристик призвуков// Труды ЛИКИ, 1976, т. XXIII, с. 71-80.

4. Андронов A.A., Леонтович М.А., Журнал РФХО, ч. физ., 59, 1927.

5. Андронов A.A., Витт A.A. Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959. — 915с.

6. Артемьев H.A., Изв. АН СССР, сер. мат.,1944

7. Бабаков И.М. Теория колебаний М.: Гос. Изд-во Технико теоретич. Лит-ры, 1958

8. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю.// Прикладная математика и механика 16, вып.5, 1952.

9. Беляев Н.М., Сборн."Инженерные сооружения и строительная механика", изд-во "Путь", 1924

10. Боднер В.А. Прикл. матем. и мех. 2(нов. серия), вып.1, 1938.

11. Богданович А.Е., Фелдмане Э.Г. О расчете нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, с.171-177.

12. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.:Наука, 1974. — 504с.

13. Болотин B.B. О поперечных колебаниях стержней, вызываемых периодическими продольными силами, сб. "Поперечные колебания и продольные скорости", 1, 46-47, 1951

14. Болотин В.В., сборн."Поперечные колебания и критические скорости", вып. 1,Изд.АН СССР, 1951.

15. Болотин В.В., Сборн."Поперечные колебания и критические скорости", вып.2, Изд. АН СССР,1953.

16. Болотин В.В., Изв. АН СССР(ОТН),1954, 10

17. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М. Гостехиздат, 1956 — 500с.

18. Бондаренко A.A., Телалов А.И. Экспериментальное исследование динамической неустойчивости цилиндрических тонкостенных оболочек на вибрирующем основании. — В кн.: Всесоюз.конф. по пробл. устойчивости в строит, механике JI.;M.,1977, с.128-129.

19. Бондаренко A.A., Телалов А.И. Динамическая неустойчивость цилиндрических оболочекпри продольном кинематическом возмущении. — Прикл. механика, 1982,18,1,с.57-61.

20. Брачковский Б.З., Прикл. матем. и мех. 6, вып.1, 1942.

21. Букашкина О.С., Товстик П.Е. Низкочастотные колебания удлиненных пластин и цилиндрических паненлей// Прикл. механика, вып. 10, 1997, с.141-148.

22. Букашкина О.С. Нелинейные параметрические колебания цилиндрических оболочек.//тезисы междуиар.конф. "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий", 1999, с.38.

23. Букашкина О.С. Нелинейные параметрические колебания цилиндрической оболочки.// Вестник СПбГУ, серия 1, вып.2, N 8, 2000, с. Ц551.

24. Букашкина О.С. Нелинейные параметрические колебания конической оболочки.// избран, труды конфер. "Вторые Поляховские чтения", 2000, с.247-257.

25. Вийярагхван, Ивэн-Ивановский. Параметрическая неустойчивость круговых цилиндрических оболочек. — Прикл. механика: Тр. амер. о-ва инж.-механиков. Сер.Е,1976, 34,4, с.266-272.

26. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений //Успехи матем. наук,1960

27. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — 784с.

28. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. — М.: Гостехиздат, 1956. — 416с.

29. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем.— М.:Наука, 1967. — 984с.

30. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972.— 432с.

31. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости. — М.: Наука, 1976. — 410с.

32. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. — М.:Наука, 1979. — 320с.

33. Галака П.И., Ковальчук П.С., Менделуца В.М., Носаченко A.M. О динамической неустойчивости стеклопластиковых оболочек, несущих сосредоточенные массы. — Прикл. механика, 1980, 16, 8, с. 42-47.

34. Галака П.П., Ковальчук П.С., Менделуца В.М., Телалов А.И. Экспериментальное исследование нелинейного взаимодействия изгибных форм колебаний цилиндрических оболочек при параметрическом возбуждении. — Пробл. машиностроения, 1981, вып.13, с.50-57.

35. Ганиев Р.Ф., Ковальчук П.С. Динамика систем твердых и упругих тел. — М. Машиностроение, 1980.—208с.

36. Гнуни В.Ц. К теории нелинейной динамической устойчивости оболочек. — Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961, 4, с.72-80.

37. Гольденблат И.И., Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений. Стройиздат, 1947.

38. Гольденблат И.И.,Динамическая устойчивость сооружений. Стройиздат, 1948

39. А.Л.Гольденвейзер, В.Б.Лидский, П.Е.Товстик Свободные колебания тонких упругих оболочек, М.: Наука, 1979, 384 с.

40. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1976, 512 с.

41. Гонткевич B.C. Собственные колебания некруговых цилиндрических оболочек. — Тр. лаб. гидравл. машин, 1964, вып.11, с.53-61.

42. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания пологих стержней и оболочек. — Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1955, 3, с.33-68.

43. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.— М.: Наука, 1978. 360с.

44. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов В.Н. и др. Методы расчета оболочек/ Под ред А.Н.Гузя.—Киев: Наук, думка, 1980.—т.1. 636с.

45. Джанелидзе Г.Ю., Труды Ленингр. Ин-та инженеров водного транспорта, вып.20, 1953.

46. Джанелидзе Г.Ю., Радциг М.А., Прикл. матем. и мех. 4(нов. серия), вып. 5-6, 1940.

47. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки М.:Наука,1982

48. Егоренков Д.Jl., Фрадков Ф.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB. БГТУ, СПб, 1996, 192с.

49. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М.:Изд-во иностр. лит.,1961. — 777с.

50. Кильдибеков И.Г. Исследование собственных нелинейных колебаний цилиндрической оболочки.— Прикл. механика, 1977, 13, 11, с.46-52.

51. Крылов Н.М., Боголюбов H.H., Сборн."Исследование колебаний конструкций", ДНТВУ, 1935.

52. Кочин Н.Е.// Прикл математика и механика 2, вып 1, 1934

53. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. Киев:Наук.думка, 1989

54. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрической оболочки. Киев: Наук.думка, 1984, 220с.

55. Ладыгина Е.В., Маневич А.И. Нелинейные свободные колебания цилиндрической оболочки с учетом взаимодействия сопряженных форм. // Механика твердого тела, 1997, т.З, с.169-175.

56. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. СПб: изд-во СПбГУ, 1992

57. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения Гостехиз-дат,1950

58. Мак-Лахан Н.Б. Теория и приложения функций Матье. — М.: Изд-во иностр. лит., 1953.— 475с.

59. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491с.

60. Мандельштам JI.И., Папалекси Н.Д., ЖТФ 4, вып.1, 1934

61. Маневич А.И. Взаимодействие сопряженных форм при нелинейных свободных изгибных колебаниях кругового кольца. //ПММ. 1994, т.58, Вып.6, с.119-125.

62. Марков А.Н., Прикл. матем. и мех. 13, вып 2, 1949.

63. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964.— 431с.

64. Мишенков Г.В. О динамической устойчивости пологих упругих оболочек. — Инж. журн., 1961,1, 2, с.112-118.

65. Мун Ф. Хаотичесикк колебания. М.:Мир, 1990.

66. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих болочек.— Казань: Таткнигоиздат, 1957.— 431с.

67. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений, М.: Мир, 1984, 535с.

68. Наумов К.А., Труды МНИТ, вып. 69, 1946.

69. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.:Наука, 1987, 424с.

70. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. —Л.:Судпромгиз, 1962.— 431с.

71. Новожилов В.В., Финкельштейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ, 1943, т.7, вып.5, 331-340.

72. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение. 1991. 416 с.

73. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. —М.:Изд-во Моск. ун-та, 1963,— 420с.

74. Ониашвили О.Д., Сообщ. АН Груз.ССР И, вып.З, 1950.

75. Паламарчук В.Г., Носаченко A.M. Динамическая неустойчивость цилиндрической оболочки с присоединенной массой. — Прикл. механика, 1977, 13,7, с.42-50.

76. Попов A.JL, Чернышев Г.Н. Механика излучения оболочек и пластин. М.: Наука, 1994, 208 с.

77. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3-х т./ Под ред. И.А.Биргера, Я.Г.Пановко.—М.Машиностроение, 1968.— т.З. 568с.

78. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995, 320с.

79. Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов A.J1., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций.- СПб.: Изд. С.Петерб. ун-та, 1995. 220с.

80. Товстик П.Е., Товстик Т.М. Уравнение Дуффинга и странный аттрактор//" Анализ и синтез нелинейных механических систем", т.2, 1998, СПб, 229-235.

81. Тонкостенные оболочечные конструкции:(Пер. с англ.)/Под ред. Э.И. Григолюка. — М. Машиностроение, 1980. — 608с.

82. Халилов З.И., труды Азерб. гос. ун-та, сер. матем, 1, вып. 1, 1942.

83. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. — М.: Мир, 1968. — 204с.

84. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций. — М.: Изд. Аэрофлота, 1939. — 113с.

85. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем. — ДАН СССР, 1980, 252, 2, с.307-310.

86. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Гостехиздат, 1955

87. Шмидт Г. Параметрические колебания, М. Мир, 1978, 335с.

88. Шу С.С. Параметрическое возбуждение и задачи проще л кивания для оболочек. —В кн.:Тонкостенные оболочечные конструкции. М.: Машиностроение, 1980, с.125-156.

89. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.:Мир, 1988.

90. Эвенсен Д.А. Нелинейные колебания круговых цилиндрических оболочек. — Тонкостенные оболочечные конструкции. Теория, эксперимент и проектирование. М.¡Машиностроение,1980,с. 156-176.

91. Якубович В.А., Старжинский В.М. линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.— М.: Наука, 1972.— 718с.

92. Aldoshina I., Bukashkina О., Tovstik P. Theoretical and Experimental Analysis of Nonlinear Parametric Vibrations of Electrodynamical Loudspeaker Diaphragm- 104th AES Convention preprint, Amsterdam, 1998, ?p.

93. Aldoshina I., Bukashkina O., Tovstik P. An Advanced Model of Nonlinear Parametric Vibrations of Electrodynamical Loudspeaker Diaphragm 106th AES Convention preprint, Munich, 1999, lip.

94. Chen I.C., Babcock C.D. Nonlinear vibration of cylindrical shells.— AIAA Journal, 1975, 13, N 7, p.868-876.

95. Chu H.N. Influence of large amplitudes on flexural vibrations of a thin circukar cylindrical shells.— J. Aerospace Sci., 1961, N 28, p.602-609.

96. Davies M.A., Moon F.C. Solitons, chaos and modal interactions in periodic structures// Nonlinear Dynamics, Series on Stability, Vibration and Control of Systems, Series B: Vol.2, World Scientific Publishing Company, 1997, pp. 119-143.

97. Einaudi R., Atti della Acc., Gioenia 1, 1936-1937

98. Evensen D.A. Some observation on the nonlinear vibration of thin cylindrical shells. AIAA Journal, 1963, 1, N 1, p.2857-2858

99. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures and on certain forms assumed by a group of particles upon vibrating elastic surfaces, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 121, 299-318.

100. Fung Y.C., Sechler E.E. Instability of thin elastic shells // Structural Mechanics. Pergamon Press. 1960.

101. Kaplunov I.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London. Academic Press. 1998. 226 p.

102. Kisljakov S.D. On the nonlinear dynamic stability problem for thin elastic plates. — Int. J. Nonlinear Mech., 1976, 11, N 4, p.219-228.

103. Kucharski W., Ing. Arch. 18, 1950.

104. Lubkin S., Stoker J., Quart, of Appl. Math., 1943.

105. Matsuzaki Y., Kobayashi S. A theoretical and experimental study of the nonlinear flexural vibration of thin circular cylindrical shells with clamped ends. — J.Jap.Soc.Aeronaut.Sei., 1970, N 12, p.308-315.

106. Melde F. Ueber Erregung stehender Wellen eines fadenfoermigen Koerpers., Ann. Physik und Chemie, 109, 193-215, 1859.

107. Mettler E. Eine Theorie der Stabilitaet der elastishen Bewegung, Ing. Arch. 16, 135-146,1947.

108. Mettler E. Allgemeine Theorie der Stabilitaet erzwungener Schwingungen elastischer Koerper, Ing. Arch. 17, 418-449,1949

109. Nayfeh A.H. Perturbation methods.— New York: Wiley, 1973.— 455p.

110. Rand R., Zounes R., Hastings R. A quasiperiodic Mathieu equation // Nonlinear Dynamics, Series on Stability, Vibration and Control of Systems, Series B: Vol.2, World Scientific Publishing Company, 1997. pp 203-221.

111. Reckling K.A., Ing. Arch. 20, N 3, 1952

112. Reissner E. On transverse vibration of thin shallow shells. — J.Quart. Appl. Math., 1955, 13, N 2, p.169-180.

113. Stevens K.K. On the experimental determination of instability regions in rheolinear vibration problems.—Trans. ASME, 1972, 39, N 6, p.831-832.

114. Strutt J.W. Lord Rayleigh (OrpeTT P9Jieii) On the crispations of fluid resting upon a vibrating support, Phil. Mag.,16,50-53

115. Tobjas SA. A theory of imperfection for the vibration of elastic bodies of revolution. — Engineering, 1951, N 172, p.109-115.

116. Utida I., Sezawa K. Dynamical stability of a column under periodic logitudunal forces, Rep. Aeronaut. Res.Inst., Tokyo Imp. Univ.,15,139-183,1940.

117. Weidenhammer F., Ing. Arch. 19, 1951.

118. Weidenhammer F. Nichtlineare Biegeschwingungen des axialpulsierend belasteten Stabes, Ing.Arch.,20,315-330,1952.

119. Yao I.C. Dynamic stability of cylindrical shells under static and periodic axial and radial loads. — AIAA Journal, 1963, 1, N 6, p.1391-1396.

120. Yao I.C. Nonlinear elastic buckling and parametric excitation of a cylinder under axial loads. — Trans. ASME, 1965, 32, N 1, p.109-115.