Нелинейные пространственно-временные оптические структуры в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты генерации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Кренц Антон Анатольевич

Нелинейные пространственно-временные оптические структуры в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты генерации

01.04.05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 2 НОЯ 2012

Самара-2012

005055263

005055269

Работа выполнена на кафедре физики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Молевич Нонна Евгеньевна

Официальные оппоненты:

Захаров Валерий Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)», заведующий кафедрой радиотехнических устройств;

^ Котова Светлана Павловна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Самарский филиал федерального государственного бюджетного учреждения науки Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, заведующая лабораторией моделирования и автоматизации лазерных систем.

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет».

Защита состоится 30 ноября 2012 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ), по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 29 октября 2012 года

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.т.н., профессор

В.Г. Шахов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена теоретическому исследованию нелинейных пространственно-временных оптических структур, формируемых в поле излучения широкоапертурных лазеров.

Актуальность темы. Нелинейная оптика широкоапертурных активных и пассивных оптических систем является быстро развивающимся научным направлением, иногда объединяемым под общим названием нелинейной поперечной оптики. Данное направление нелинейной оптики исследует спонтанное формирование пространственно-временных структур электромагнитного поля в плоскости ортогональной направлению распространения излучения. В широкоапертурных пассивных оптических системах были экспериментально зафиксированы такие пространственно-временные структуры как периодические структуры автоволнового типа, спиральные автоволны, различные вихревые структуры, включая изолированные вихри, вихревое стекло, вихревые дорожки, стационарные и нестационарные решётки оптических вихрей, пространственно-временной хаос. Существование таких структур в широкоапертурных лазерах с отстройкой частоты было предсказано теоретически [Abraham 1994, Newell 1998, Weiss 2003, Lugiato 2001, Hollinger 2005, Huyet 2007, Бабушкин 2011, Лойко, 2011 и др.] и за последние годы в связи с развитием новых методов исследования и новой быстродействующей экспериментальной техники зафиксированы в многочисленных экспериментах [Hegarty 2010, Lippi 2008, Brambilla 2000, Tredicce 2005, Cabrera 2005 и др.]. Одной из причин возрастания интереса к этим структурам является расширение области применения широкоапертурных лазеров, прежде всего миниатюрных твердотельных, а также полупроводниковых лазеров, излучающих вдоль (например, традиционные инжекционные лазеры) или поперёк (полупроводниковые вертикально излучающие лазеры) р-п перехода. В частности, полупроводниковые вертикально излучающие лазеры (ВИЛ) имеют очень маленькие продольные размеры, эффективная длина резонатора порядка 1 мкм. Такая конструкция лазера дает важное преимущество - ВИЛ работает на единственной продольной моде. В то же время, поскольку в этом типе лазеров генерация происходит поперёк р-п перехода, а не вдоль, как в обычных полупроводниковых лазерах, для получения требуемой для многих современных приложений мощности генерации приходится использовать очень широкую апертуру. Поперечный размер составляет от 10-20 мкм в типичных коммерческих лазерах до 200 мкм в лабораторных прототипах. Таким образом, в широкоапертурных ВИЛ поперечный размер резонатора гораздо больше продольного, т.е. резонатор имеет большое число Френеля, что способствует возбуждению большого числа поперечных мод, нелинейное взаимодействие между которыми может приводить к появлению сложных пространственно-временным структур. В ВИЛ с широкой апертурой наблюдаются поперечные оптические структуры близкие к модам пустого резонатора только при накачках близких к пороговому значению. При увеличении накачки значительную роль начинает играть взаимодействие поперечных мод, обусловленное

нелинейностью активной среды. При этом стоит отметить, что чем больше поперечные размеры, тем большее количество поперечных мод вовлечено во взаимодействие, и тем сложнее пространственно-временная динамика лазера. Значительное превышение накачки над порогом приводит к возникновению стационарных или не стационарных квадратных решёток оптических вихрей, переходам к режимам пространственно-временного хаоса.

Появление квадратных решёток оптических вихрей, оптической турбулентности зафиксировано также в широкоапертурных твердотельных и газовых лазерах. Во всех случаях, несмотря на принципиально разные физические процессы в этих активных средах, основными управляющими параметрами смены типов пространственно-временной структуры оптического поля являлись число Френеля, параметр накачки и отстройка частоты генерации. Последняя возникала в силу естественных (разогрев среды) или искусственных изменений оптической длины резонатора.

Миниатюрные лазеры активно применяются при передаче по оптическим каналам связи. Также активно разрабатываются системы передачи данных без применения оптоволокна, использующие распространение излучения в свободном пространстве. Данная технология требует высокой мощности полупроводникового устройства (а, следовательно, широкой апертуры) и чувствительна к пространственным неоднородностям, ограничивающим пространственную и временную когерентность.

На сегодняшний день очень перспективно использование широкоапертурных ВИЛ, как передающих устройств, в суперкомпьютерах. В современных суперкомпьютерах обмен информацией между отдельными стойками вычислительной системы осуществляется исключительно по оптическим каналам, общее число которых достигает десятков тысяч. Причем в качестве активного элемента передатчика используется исключительно ВИЛ.

Очевидно, что для эффективного использования широкоапертурных лазеров надо уметь классифицировать и контролировать сложную пространственно-временную структуру оптического поля, в частности, избегать нежелательных режимов генерации. Поэтому актуальным является теоретическое исследование устойчивости и динамики нелинейных оптических структур в поле излучения широкоапертурных лазеров с общих позиций, без детализации особенностей активных сред конкретных лазеров.

Цель работы — теоретическое исследование механизмов формирования и устойчивости нелинейных пространственно-временных оптических структур, возникающих в поле излучения широкоапертурных лазеров с отстройкой частоты генерации.

В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации.

С использованием аналитических и численных решений системы уравнений Максвелла-Блоха:

1) определить условия и сценарии перехода к хаосу для интенсивности и компонент оптического поля широкоапертурного лазера с отрицательной отстройкой частоты при больших числах Френеля;

2) исследовать пространственно-временную структуру хаотического оптического поля широкоапертурного лазера с отрицательной отстройкой частоты;

3) исследовать устойчивость стоячей волны и квадратной решетки оптических вихрей в широкоапертурном лазере с положительной отстройкой частоты;

4) изучить нелинейную динамику неустойчивой квадратной решетки оптических вихрей в широкоапертурном лазере с положительной отстройкой частоты.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Показано, что в случае бесконечно широкой апертуры лазера с отрицательной отстройкой частоты переход к хаотическому режиму генерации может осуществляться через последовательность удвоений периода квазипериодического колебания комплексной амплитуды оптического поля (бифуркации удвоения двумерного тора).

2) Установлено, что режимы генерации, предсказанные на основе анализа автомодельной системы, оказываются устойчивыми и на конечной апертуре при большом числе Френеля. Найдены параметры лазерной системы, при которых наблюдаются периодические оптические структуры автоволнового типа, а также условия перехода к пространственно-временному хаосу через бифуркации удвоения тора.

3) Доказано, что для широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой при любом значении накачки независимо от соотношений между релаксационными константами.

4) Показано, что вблизи порога генерации широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты квадратная решетка оптических вихрей является устойчивой оптической структурой.

5) Показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Критическое значение накачки зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей. Показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Защищаемые положения:

- результаты численного моделирования автомодельной и распределенной систем уравнений Максвелла-Блоха с отрицательной отстройкой частоты. Расчеты спектра колебаний комплексной амплитуды оптического поля, показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре, показывающие существование устойчивых двух-частотных колебаний комплексной огибающей оптического поля и переход к хаотическому режиму через каскад бифуркаций удвоения двумерного тора;

- результаты анализа устойчивости полной системы уравнений Максвелла-Блоха для оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты, показывающие, что стоячая волна является неустойчивой оптической структурой как в одномерном, так и в двумерном случае при любых значениях релаксационных констант и накачки;

- диаграмма устойчивости квадратной решетки оптических вихрей и результаты численного моделирования оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты, показывающие, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Оптический пространственно-временной хаос активно используется в системах связи и кодировки информации. С другой стороны, во многих практических приложениях хаотическая структура оптического поля является нежелательным явлением. Таким образом, практическая и теоретическая ценность проведенных исследований заключается в том, что их результаты могут быть использованы при выборе оптимальных параметров и режимов генерации широко-апертурных лазеров. Стационарные решетки оптических вихрей могут быть использованы в качестве оптических ловушек. Результаты исследования устойчивости, бифуркаций и эволюции нелинейных оптических структур являются важным вкладом в теорию самоорганизации распределенных динамических систем и ее приложений, в частности в развитие теории поперечной нелинейной оптики.

Достоверность полученных научных результатов обеспечена корректной математической постановкой задач, использованием общепринятых уравнений и моделей для широкоапертурных лазеров, применением известных апробированных асимптотических методов, отсутствием противоречий между аналитическими и численными решениями, а также качественным согласием полученных результатов с данными других авторов, включая экспериментальные данные.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 9 статей в изданиях, рекомендованных ВАК России, 15 тезисов всероссийских и международных конференций.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах Самарского филиала Физического института РАН имени П.Н. Лебедева, Самарского государственного аэрокосмического университета имени С.П. Королева, Института систем обработки изображений РАН, отделения квантовой радиофизики им. Н.Г. Басова Физического института РАН. Результаты работы докладывались на У1-1Х Всероссийском молодежном Самарском конкурсе-конференции научных работ по оптике и лазерной физике (Самара 2008-2011 гг.), 51 и 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва 2008, 2009 гг.), V и VI Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках» (Тверь 2009,2010 гг.), XIII Международной молодежной научной школы «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань 2009 г.), Высшей лазерной школе «Современные проблемы лазерной физики» (Москва 2009г.), X

б

Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «Королевские чтения» (Самара 2009 г.), XV и XVI научной школе «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» (Нижний Новгород 2010 и 2012 гг.), международной конференции Int'l Conference on Coherent and Nonlinear Optics - ICONO 2010 (Казань 2010 г.), Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара 2010 г.), 9-й Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.), международной конференции 4th Chaotic Modeling and Simulation International Conference (Греция, г. Агиос-Николаос 201 Ir.).

Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены: стипендией Президента Российской Федерации за 2011/2012 гг.; премией победителя в Самарском областном конкурсе «Молодой учёный», номинация «аспиранты» - 2011 г; дипломом победителя конкурса НИР в номинации «Лучшая студенческая работа» на Всероссийской научной «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». (Москва, МФТИ - 2009 г.); дипломами Самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике 2009г. - III место, 2010г. - II место, 2011г. - III место (Самара, СФ ФИАН, СГУ); дипломом за III место во всероссийском молодёжном конкурсе НИР по фундаментальной и прикладной физике, по направлению «Оптика» - (Ml ТУ им. Баумана, Москва 2012 г.).

Авторский вклад Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии.

Связь с государственными программами

Работа была выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проекты 1.2.08, 2.1.1/309, 2.1.1/13492, Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», ГК № 14.740.11.0703, ГК №П1930, Государственного задания ВУЗам № 2.560.2011, НИР ГР 01200805605.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы. Общий объём 153 страницы, в том числе 108 рисунков и 74 библиографических ссылки.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, изложены основные результаты работы и их научная новизна, приведены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе приведен обзор существующих экспериментальных работ по пространственно-временной динамике нелинейных оптических структур в поле излучения широкоапертурных лазеров с отстройкой частоты генерации. Проведена классификация одномерных и двумерных нелинейных оптических структур, наблюдаемых в поле излучения широкоапертурных лазеров. Приведены

7

условия применимости уравнений Максвелла-Блоха, учитывающих поперечное распределение электромагнитного поля в резонаторе, для описания пространственно-временной динамики оптического поля широкоапертурного лазера.

В безразмерной форме лазерные уравнения имеют вид: дЕ ,дгЕ V _ . . . „

ЛР

Г^-+(1 + /А Я)Р = -Ш, (1)

. 3/ 2

Безразмерные время г и поперечная координата х связаны с размерными величинами ^ и ^следующим образом: г = гл1Т,, х = ха(2к/Т,с)"2, где Т, = 1//, - время релаксации населенности уровней активной среды; Е и Р - медленно меняющиеся амплитуды оптического поля и поляризации, нормированные на величины насыщения амплитуд оптического поля Е, и поляризации Р соответственно; N = где g,gl — коэффициенты усиления активной среды на центральной частоте лазерного перехода и потери, усредненные по длине резонатора; Г = 1/^7], где у1 - скорость релаксации поляризации; V = ст& = Т,ус = г с /г»; Ае=(®-й)с)/ =(со — (ос)/- отстройка частоты генерации от моды пустого резонатора, нормированная на ширину линии резонатора; Аа =(а>а - со)/у^ отстройка центра линии усиления от частоты генерации, нормированная на ширину линии усиления активной среды; Ыт = я„„ / , где - ненасыщенный коэффициент усиления на центральной частоте перехода (коэффициент усиления слабого сигнала).

Описана методика адиабатического исключения переменных из полной системы уравнений Максвелла-Блоха, дано определение динамических классов лазеров. Обоснована определяющая роль знака отстройки частоты генерации на пространственно-временную динамику нелинейных оптических структур в поле широкоапертурного лазера.

Вторая глава посвящена исследованию формирования нелинейных оптических структур в поле широкоапертурного лазера класса В в случае отрицательной отстройки частоты генерации. В разделе 2.1 проведено исследование сценария перехода к хаосу для интенсивности оптического поля с помощью одномерной автомодельной системы Максвелла-Блоха с адиабатически исключенной поляризацией. С использованием численных методов было показано, что при скорости распространения волны /? меньше критического значения рсг режим однородной стационарной генерации оказывается устойчивым по отношению к малым возмущениям оптического поля. Установившиеся периодические решения, соответствующие поперечному распределению интенсивности автоволнового типа, появляются только при е = Рсг)!Увеличение параметра £ приводит к

8

бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода и в итоге к хаотическому режиму колебаний интенсивности оптического поля. На рисунке 1 приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая механизм перехода к хаосу для интенсивности.

J J

Рисунок 1 - Бифуркационная диаграмма (а) и её увеличенный фрагмент (б)

Спектральный анализ полученных решений показал, что кроме основной частоты со в спектре колебаний интенсивности присутствуют её гармоники 2со, Зсо и т.д., которые отвечают за вклад соответствующих нелинейных слагаемых. В результате бифуркации удвоения в спектре появляется субгармоника га/2, а также её линейные комбинации с другими гармониками основной частоты. Очередная бифуркация удвоения периода добавляет в спектр частоту са/4, а также её всевозможные линейные комбинации с другими частотами. В итоге такой механизм приводит, после бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, к сплошному спектру, что является необходимым условием для существования хаотического режима колебаний.

Раздел 2.2 посвящен исследованию динамики и сценария перехода к хаосу для комплексной огибающей оптического поля с помощью автомодельной системы Максвелла-Блоха с адиабатически исключенной поляризацией. Численное моделирование показало, что при малых значениях параметра е для комплексной огибающей реализуется режим устойчивых двухчастотных колебаний. В фазовом пространстве этому режиму соответствует аттрактор в виде двумерного тора (рисунок 2а). В диссертации впервые предложен механизм рождения двумерного тора из замкнутой особой кривой. О квазипериодической двухчастотной динамике свидетельствует также рассчитанный спектр колебаний комплексной амплитуды (рисунок 26), на котором хорошо видны две частоты О и ¿о, а также сечения Пуанкаре (рисунок 2в), представляющие собой замкнутые кривые. При увеличении параметра е происходит переход к хаосу через бифуркации удвоения тора.

Рисунок 2 -а- фазовые траектории, б - спектр колебаний комплексной огибающей,

в - сечения Пуанкаре.

Проведены расчеты полного спектра показателей Ляпунова (рисунок 3) в зависимости от параметра е. При любом значении е >0 нулю оказываются равны как минимум два показателя Ляпунова, что свидетельствует о режиме двухча-стотных колебаний оптического поля. В точках удвоения периода (А, В, С, Б) нулю оказываются равными сразу три показателя, что свидетельствует о сценарии перехода к хаосу через бифуркации удвоения двумерного тора. В точке Е старший показатель становится положительным, что является необходимым условием существования хаотического режима колебаний.

е

Рисунок 3 - Спектр показателей Ляпунова

В разделе 2.3 исследовано влияние конечности времени релаксации поляризации на механизм перехода к хаосу в автомодельной системе Максвелла-Блоха.

Важным недостатком поиска решения уравнений Максвелла-Блоха в виде волны бегущей с постоянной скоростью является предположение о бесконечно широкой лазерной апертуре. Известно, что подобные решения не всегда устойчивы при конечных размерах пространственной области, т.е. в данном случае при конечной ширине лазерной апертуры. В разделе 2.4 решается задача проверки устойчивости полученных ранее автомодельных решений на конечной апертуре. Для этого проведено численное моделирование распределенной системы уравнений Максвелла-Блоха в частных производных. Для численного моделирования использовалась неявная конечно разностная схема. В качестве управляющего вы-

бирался параметр у, определяющий отношение скорости релаксации оптического поля в резонаторе к скорости релаксации инверсии.

Численные расчеты показали, что при небольших значениях управляющего параметра V любое начальное пространственное распределение поля с течением времени эволюционирует в стационарную пространственную структуру, показанную на рисунке 4а, наблюдаемую при у <6. При увеличении управляющего параметра, наблюдается рождение периодических оптических структур автоволнового типа (рисунок 46), наблюдаемых при 6<у< 14. При у >14 наблюдается хаотическая структура оптического поля.

а б в

Рисунок 4 - Зависимость распределения интенсивности оптического поля от времени а - при у = 5, б- при У = 9.5, в - при У = 15

Анализ спектра колебаний комплексной огибающей оптического поля подтвердил существование в распределенной системе устойчивых двухчастотных колебаний (рисунок 5а). Найдены бифуркации удвоения тора, с соответствующим им появлением в спектре колебаний субгармоники ю/2 (рисунок 56). О переходе системы в режим динамического хаоса свидетельствует сплошной спектр колебаний (рисунок 5 в).

1п(С/Стах)

1п(С/Сгаах)

" п

ш-П

со+П

1п(С/Ст„)

% Т 11

а б в

Рисунок 5 - Спектр колебаний комплексной огибающей а - при у = 9.5, б- при у = 11, в - при у = 15, С - мощность спектра, Сп1ах - максимальное значение мощности, / - линейная частота

Третья глава посвящена исследованию формирования нелинейных оптических структур в поле широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты генерации. В разделе 3.1 исследованы нелинейные оптические структуры и их устойчивость в одномерном случае. На основе полной модели Максвелла-Блоха была построена система уравнений, описывающая нелинейное взаимодей-

ствие двух волн распространяющихся в противоположных направлениях. В случае равенства амплитуд двух встречных волн в поперечном сечении излучения широ-коапертурного лазера устанавливается периодическое распределение интенсивности, которое в литературе принято называть стоячей волной. Анализ полученной системы показал, что в одномерном случае в широкоапертурных лазерах стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой при любых значениях накачки, независимо от соотношений между релаксационными константами.

В разделе 3.2 исследованы нелинейные оптические структуры и их устойчивость в двумерном случае. На основе полной модели Максвелла-Блоха впервые была построена система уравнений, описывающая нелинейное взаимодействие четырех волн распространяющихся во взаимно перпендикулярных направлениях. Линейный анализ устойчивости полученной системы показал, что в двумерном случае в широкоапертурных лазерах стоячая волна также оказывается неустойчивой оптической структурой при любых значениях накачки, независимо от соотношений между релаксационными константами. Анализ полученной системы также показал, что в двумерном случае нелинейное взаимодействие четырех бегущих волн может приводить к формированию квадратной решетки оптических вихрей. Показано что квадратная решетка оптических вихрей оказывается устойчивой пространственно-временной структурой при накачке близкой к порогу генерации. Однако существует критическое значение накачки гг, при котором решетка вихрей теряет устойчивость, параметр накачки нормирован на пороговое значение. Критическое значение накачки, при котором решетка вихрей теряет устойчивость, зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей, иллюстрирующие зависимость критического значения накачки от параметра а = ус/у± (рисунок 6а) и зависимость от параметра у = уи/у к (рисунок 66).

_ ст=1

¡ищи

7=0.1

Не>стоЛч1!ВОстъ

Рисунок 6 -Диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей в плоскости параметров а - (<Т,г), б - (/,г).

Раздел 3.3 посвящен численному моделированию динамики оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты на основе полной распределенной системы уравнений Максвелла-Блоха. Для численного

решения использовался фурье-метод расщепления по физическим факторам (Split-step Fourier method - SSFM). Данный метод относится к числу псевдоспектральных методов и широко используется в нелинейной оптике.

Численное моделирование при положительной отстройке в одномерном случае показало, что при накачке близкой к порогу на начальной стадии генерации устанавливается решение в виде суперпозиции двух волн, бегущих в противоположных направлениях, - стоячая волна. С течением времени нелинейность активной среды лазера приводит к взаимодействию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. В результате взаимодействия две волны начинают конкурировать друг с другом. В итоге нелинейность приводит к тому, что конкуренцию выигрывает одна волна, её амплитуда достигает насыщенного значения, амплитуда второй волны оказывается равной нулю. При этом в поперечном сечении устанавливается однородное распределение интенсивности. Таким образом, результаты численного моделирования полностью подтверждают результаты линейного анализа устойчивости полной системы Максвелла-Блоха -в широкоапертурных лазерах в одномерном случае стоячая волна оказывается неустойчивой пространственно-временной оптической структурой при любых значениях накачки, независимо от соотношений между релаксационными параметрами.

Численное моделирование в двумерном случае показало, что на начальной стадии генерации при накачке близкой к пороговому значению наблюдается множество волн оптического поля бегущих в разных направлениях. Взаимодействие волн приводит к тому, что из всех возможных направлений распространения волны остается лишь четыре. Интерференция четырех волн дает двумерную стоячую волну (рисунок 7). Однако стоячая волна живет конечное время, т.е. является неустойчивой пространственно-временной структурой. Нелинейность лазерной среды приводит к тому, что стоячая волна начинает разрушаться.

Ш9К1М г щ шЖ:ш

НКМПШ1

X X

а б в

Рисунок 7 -Двумерная стоячая волна а - интенсивность, б - фаза, в - спектр пространственных частот

В дальнейшем, нелинейное взаимодействие четырех волн приводит к формированию устойчивой пространственно-временной структуры - квадратной решетки оптических вихрей первого порядка (рисунок 8), предсказанной аналитически.

Рисунок 8 -

а б в

Стационарная решетка оптических вихрей а- интенсивность, б-фаза, в — спектр пространственных частот

Численное моделирование полной системы Максвелла-Блоха в частных производных показало, что стоячая волна является неустойчивой пространственно-временной оптической структурой при любых значениях накачки, не зависимо от соотношений между релаксационными константами. Квадратная решетка оптических вихрей, образующаяся в результате разрушения стоячей волны, является устойчивой оптической структурой вблизи порога генерации. Также численно показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Численным моделированием показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной колебательной моды. Оптические вихри начинают осциллировать в узлах решетки подобно атомам в кристаллической решетке. Центр каждого вихря начинает двигаться по эллиптической траектории, причем соседние вихри совершают обходы в противоположных направлениях. В спектре пространственных частот появляется множество побочных максимумов, что свидетельствует об усложнении поперечной структуры оптического поля. Дальнейшее увеличение накачки приводит к усложнению траекторий вихрей и в конечном итоге к нерегулярной динамике оптического поля широкоапертурного лазера. Расчеты на узкой апертуре показали, что стоячая волна может быть устойчивой оптической структурой при накачке близкой к пороговому значению.

В заключении перечислены основные результаты, полученные при выполнении данной диссертационной работы:

1) На основе численного моделирования автомодельной одномерной системы уравнений Максвелла-Блоха показано, что в случае бесконечно широкой апертуры лазера с отрицательной отстройкой частоты переход к хаотическому режиму генерации для интенсивности осуществляется через последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний. Построена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая сценарий перехода к хаосу. Показано что последовательность бифуркаций удвоения периода приводит к сплошному спектру колебаний интенсивности. Для комплексной огибающей оптического поля наблюдаются устойчивые двухчастотные колебания, переход к хаосу осуществляется через последовательность удвоений периода квазипериодического колебания (бифуркации удвоения двумерного тора). Рассчитаны сечения Пуанкаре и полный спектр

характеристических показателей Ляпунова, подтверждающие данный механизма перехода к хаосу.

2) Установлено, что режимы генерации, предсказанные на основе анализа автомодельной одномерной системы уравнений Максвелла-Блоха, оказываются устойчивыми и на конечной апертуре при большом числе Френеля. Найдены параметры лазерной системы, при которых наблюдаются периодические оптические структуры автоволнового типа. Анализ спектра колебаний комплексной огибающей оптического поля подтвердил существование в распределенной системе устойчивых двухчастотных колебаний. Найдены бифуркации удвоения тора, с соответствующим им появлением характерным усложнением спектра колебаний. О переходе системы в режим динамического хаоса свидетельствует сплошной спектр колебаний.

3) В результате проведённого линейного анализа устойчивости и численного моделирования уравнений Максвелла-Блоха установлено, что для широкоапер-турного лазера с положительной отстройкой частоты стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой как в одномерном, так и в двумерном случае при любом значении накачки независимо от соотношений между релаксационными константами.

4) В результате проведённого линейного анализа устойчивости и численного моделирования уравнений Максвелла-Блоха установлено, что вблизи порога генерации широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты квадратная решетка оптических вихрей является устойчивой пространственно-временной оптической структурой.

5) Показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Критическое значение накачки зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей. Показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Основные результаты опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Венцлавович Т.Э., Казакевич B.C., Кренц A.A., Крестин C.B., Моле-вич Н.Е. О возможной природе высокочастотной модуляции импульса излучения СО лазера // Квантовая электроника. - 2009. - Т 39 - №6 - С 528-530.

2. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Каскад бифуркаций удвоения тора в лазере с отстройкой частоты // Квантовая электроника. - 2009 - Т 39 - №8 - С 751-756.

3. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Исследование сценария перехода к хаосу в динамической системе с особой окружностью на фазовой плоскости // Известия Самарского научного центра РАН. - 2010. - Т.12. - №4. - С.108-112.

4. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Пространственно-временная динамика поперечного профиля оптического поля в лазере с отстройкой частоты // Компьютерная оптика. - 2010. - Т.34. - № 4. - С.110-118.

5. Кренц A.A., Молевич Н.Е. Рождение устойчивого тора из замкнутой особой кривой и его бифуркации в лазерной системе с отстройкой частоты // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2010. - №5. - С. 211219.

6. Кренц A.A., Молевич Н.Е. О переходе к хаосу в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты // Физическое образование в вузах. - 2010. - Т.16. -№1. - С. П18-П19.

7. Анчиков Д.А., Кренц A.A., Молевич Н.Е. Образование сложных пространственно-временных структур в поперечном сечении пучка в лазере с отстройкой частоты // Физическое образование в вузах. - 2011. - Т.17. - №1. -С.П38.

8. Кренц A.A., Анчиков Д.А., Молевич Н.Е. Возникновение сложных пространственно-временных оптических структур в поперечном сечении ши-рокоапертурного лазера // Известия Самарского научного центра РАН. -2011.-Т. 13.-№4(2).-С. 601-605.

9. Кренц A.A., Анчиков Д.А. Решетки вихрей в широкоапертурных лазерах // Известия Самарского научного центра РАН. - 2012. - Т. 14. - №4. - С. 201205.

Подписано в печать 26 октября 2012 г. Формат 60x48/16. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета заказчика. 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34, СГАУ.

Введение

Глава 1.Современное состояние теоретических и экспериментальных исследований динамики нелинейных оптических структур в поле излучения широкоапертурных лазеров

1.1 Динамика нелинейных оптических структур в поле широкоапертурных лазеров. Эксперимент

1.2 Динамика нелинейных оптических структур в поле широкоапертурных лазеров. Теория

Глава 2. Нелинейные оптические структуры в поле излучения широкоапертурного лазера при отрицательном знаке отстройки

2.1 Сценарий перехода к хаосу для интенсивности излучения

2.2 Сценарий перехода к хаосу для комплексной огибающей 67 оптического поля

2.3 Учет конечности времени релаксации поляризации 83 2.4. Численный расчет динамики оптического поля широкоапертурного лазера на конечной апертуре

Глава 3. Нелинейные оптические структуры в поле излучения широкоапертурного лазера при положительном знаке отстройки

3.1 Нелинейные оптические структуры и их устойчивость при положительной отстройке в одномерном случае

3.2 Нелинейные оптические структуры и их устойчивость при положительной отстройке в двумерном случае

3.3 Численное моделирование динамики оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты 123 Заключение 144 Литература

Диссертация посвящена теоретическому исследованию нелинейных пространственно-временных оптических структур, формируемых в поле излучения широкоапертурных лазеров.

Актуальность темы. Нелинейная оптика широкоапертурных активных и пассивных оптических систем является быстро развивающимся научным направлением, иногда объединяемым под общим названием нелинейной поперечной оптики. Данное направление нелинейной оптики исследует спонтанное формирование пространственно-временных структур электромагнитного поля в плоскости ортогональной направлению распространения излучения. В широкоапертурных пассивных оптических системах были экспериментально зафиксированы такие пространственно-временные структуры как периодические структуры автоволнового типа, спиральные автоволны, различные вихревые структуры, включая изолированные вихри, вихревое стекло, вихревые дорожки, стационарные и нестационарные решётки оптических вихрей, пространственно-временной хаос. Существование таких структур в широкоапертурных лазерах с отстройкой частоты было предсказано теоретически [1-5] и за последние годы в связи с развитием новых методов исследования и новой быстродействующей экспериментальной техники зафиксированы в многочисленных экспериментах [1-22]. Одной из причин возрастания интереса к этим структурам является расширение области применения широкоапертурных лазеров, прежде всего миниатюрных твердотельных, а также полупроводниковых лазеров, излучающих вдоль (например, традиционные инжекционные лазеры) или поперёк (полупроводниковые вертикально излучающие лазеры) р-п перехода. В частности, полупроводниковые вертикально излучающие лазеры (ВИЛ) имеют очень маленькие продольные размеры, эффективная длина резонатора порядка 1 мкм. Такая конструкция лазера дает важное преимущество - ВИЛ работает на единственной продольной моде. В то же время, поскольку в этом типе лазеров генерация происходит поперёк р-п перехода, а не вдоль, как в обычных полупроводниковых лазерах, для получения требуемой для многих современных приложений мощности генерации приходится использовать очень широкую апертуру. Поперечный размер составляет от 10-20 мкм в типичных коммерческих лазерах до 200 мкм в лабораторных прототипах. Таким образом, в широкоапертурных ВИЛ поперечный размер резонатора гораздо больше продольного, т.е. резонатор имеет большое число Френеля, что способствует возбуждению большого числа поперечных мод, нелинейное взаимодействие между которыми может приводить к появлению сложных пространственно-временным структур. ВВИЛ с широкой апертурой наблюдаются поперечные оптические структуры близкие к модам пустого резонатора только при накачках близких к пороговому значению. При увеличении накачки значительную роль начинает играть взаимодействие поперечных мод, обусловленное нелинейностью активной среды. При этом стоит отметить, что чем больше поперечные размеры, тем большее количество поперечных мод вовлечено во взаимодействие, и тем сложнее пространственно-временная динамика лазера. Значительное превышение накачки над порогом приводит к возникновению стационарных или не стационарных квадратных решёток оптических вихрей, переходам к режимам пространственно-временного хаоса.

Появление квадратных решёток оптических вихрей, оптической турбулентности зафиксировано также в широкоапертурных твердотельных и газовых лазерах. Во всех случаях, несмотря на принципиально разные физические процессы в этих активных средах, основными управляющими параметрами смены типов пространственно-временной структуры оптического поля являлись число Френеля, параметр накачки и отстройка частоты генерации. Последняя возникала в силу естественных (разогрев среды) или искусственных изменений оптической длины резонатора.

Миниатюрные лазеры активно применяются при передаче по оптическим каналам связи. Также активно разрабатываются системы передачи данных без применения оптоволокна, использующие распространение излучения в свободном пространстве. Данная технология требует высокой мощности полупроводникового устройства (а, следовательно, широкой апертуры) и чувствительна к пространственным неоднородностям, ограничивающим пространственную и временную когерентность.

На сегодняшний день очень перспективно использование широкоапертурных ВИЛ, как передающих устройств, в суперкомпьютерах. В современных суперкомпьютерах обмен информацией между отдельными стойками вычислительной системы осуществляется исключительно по оптическим каналам, общее число которых достигает десятков тысяч. Причем в качестве активного элемента передатчика используется исключительно ВИЛ.

Очевидно, что для эффективного использования широкоапертурных лазеров надо уметь классифицировать и контролировать сложную пространственно-временную структуру оптического поля, в частности, избегать нежелательных режимов генерации. Поэтому актуальным является теоретическое исследование устойчивости и динамики нелинейных оптических структур в поле излучения широкоапертурных лазеров с общих позиций, без детализации особенностей активных сред конкретных лазеров.

Цель работы - теоретическое исследование механизмов формирования и устойчивости нелинейных пространственно-временных оптических структур, возникающих в поле излучения широкоапертурных лазеров с отстройкой частоты генерации.

В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации.

С использованием аналитических и численных решений системы уравнений Максвелла-Блоха:

1) определить условия и сценарии перехода к хаосу для интенсивности и компонент оптического поля широкоапертурного лазера с отрицательной отстройкой частоты при больших числах Френеля;

2) исследовать пространственно-временную структуру хаотического оптического поля широкоапертурного лазера с отрицательной отстройкой частоты;

3) исследовать устойчивость стоячей волны и квадратной решетки оптических вихрей в широкоапертурном лазере с положительной отстройкой частоты;

4) изучить нелинейную динамику неустойчивой квадратной решетки оптических вихрей в широкоапертурном лазере с положительной отстройкой частоты.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Показано, что в случае бесконечно широкой апертуры лазера с отрицательной отстройкой частоты переход к хаотическому режиму генерации может осуществляться через последовательность удвоений периода квазипериодического колебания комплексной амплитуды оптического поля (бифуркации удвоения двумерного тора).

2) Установлено, что режимы генерации, предсказанные на основе анализа автомодельной системы, оказываются устойчивыми и на конечной апертуре при большом числе Френеля. Найдены параметры лазерной системы, при которых наблюдаются периодические оптические структуры автоволнового типа, а также условия перехода к пространственно-временному хаосу через бифуркации удвоения тора.

3) Доказано, что для широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой при любом значении накачки независимо от соотношений между релаксационными константами.

4) Показано, что вблизи порога генерации широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты квадратная решетка оптических вихрей является устойчивой оптической структурой.

5) Показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Критическое значение накачки зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей. Показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Защищаемые положения:

- результаты численного моделирования автомодельной и распределенной систем уравнений Максвелла-Блоха с отрицательной отстройкой частоты. Расчеты спектра колебаний комплексной амплитуды оптического поля, показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре, показывающие существование устойчивых двухчастотных колебаний комплексной огибающей оптического поля и переход к хаотическому режиму через каскад бифуркаций удвоения двумерного тора;

- результаты анализа устойчивости полной системы уравнений Максвелла-Блоха для оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты, показывающие, что стоячая волна является неустойчивой оптической структурой как в одномерном, так и в двумерном случае при любых значениях релаксационных констант и накачки;

- диаграмма устойчивости квадратной решетки оптических вихрей и результаты численного моделирования оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты, показывающие, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Оптический пространственно-временной хаос активно используется в системах связи и кодировки информации. С другой стороны, во многих практических приложениях хаотическая структура оптического поля является нежелательным явлением. Таким образом, практическая и теоретическая ценность проведенных исследований заключается в том, что их результаты могут быть использованы при выборе оптимальных параметров и режимов генерации широкоапертурных лазеров. Стационарные решетки оптических вихрей могут быть использованы в качестве оптических ловушек. Результаты исследования устойчивости, бифуркаций и эволюции нелинейных оптических структур являются важным вкладом в теорию самоорганизации распределенных динамических систем и ее приложений, в частности в развитие теории поперечной нелинейной оптики.

Достоверность полученных научных результатов обеспечена корректной математической постановкой задач, использованием общепринятых уравнений и моделей для широкоапертурных лазеров, применением известных апробированных асимптотических методов, отсутствием противоречий между аналитическими и численными решениями, а также качественным согласием полученных результатов с данными других авторов, включая экспериментальные данные.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 9 статей в изданиях, рекомендованных ВАК России, 15 тезисов всероссийских и международных конференций.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах Самарского филиала Физического института РАН имени П.Н. Лебедева, Самарского государственного аэрокосмического университета имени С.П. Королева, Института систем обработки изображений РАН, отделения квантовой радиофизики им. Н.Г. Басова Физического института РАН. Результаты работы докладывались на VI-1ХВсероссийском молодежном Самарском конкурсе-конференции научных работ по оптике и лазерной физике (Самара 2008-2011 гг.), 51 и 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва 2008, 2009 гг.), V и VI Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках» (Тверь 2009, 2010 гг.), XIII Международной молодежной научной школы «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань 2009 г.), Высшей лазерной школе «Современные проблемы лазерной физики» (Москва 2009г.), X Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «Королевские чтения» (Самара 2009 г.), XV и XVI научной школе «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» (Нижний Новгород 2010 и 2012 гг.), международной конференции Int'lConferenceonCoherentandNonlinearOptics -ICONO 2010 (Казань 2010 г.), Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара 2010 г.), 9-й Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.), международной , конференции

4thChaoticModelingandSimulationInternationalConference (Греция, г. Агиос-Николаос 2011г.).

Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены: стипендией Президента Российской Федерации за 2011/2012 гг.; премией победителя в Самарском областном конкурсе «Молодой учёный», номинация «аспиранты» -2011 г; дипломом победителя конкурса НИР в номинации «Лучшая студенческая работа» на Всероссийской научной «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». (Москва, МФТИ - 2009 г.); дипломами Самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике 2009г. - III место, 2010г. - II место, 2011г. - III место (Самара, СФ ФИАН, СГУ); дипломом за III место во всероссийском молодёжном конкурсе НИР по фундаментальной и прикладной физике, по направлению «Оптика» -(МГТУ им.Баумана, Москва 2012 г.).

Авторский вклад Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии.

Связь с государственными программами

Работа была выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проекты 1.2.08, 2.1.1/309, 2.1.1/13492, Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», ГК № 14.740.11.0703, ГК Ж11930, Государственного задания ВУЗам № 2.560.2011, НИР ГР 01200805605.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы. Общий объём 153 страницы, в том числе 108 рисунков и 74 библиографических ссылки.

Основные результаты, полученные при выполнении данной диссертационной работы:

1) Показано, что в случае бесконечно широкой апертуры лазера с отрицательной отстройкой частоты переход к хаотическому режиму генерации для интенсивности осуществляется через последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний. Построена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая сценарий перехода к хаосу. Показано что последовательность бифуркаций удвоения периода приводит к сплошному спектру колебаний интенсивности. Для комплексной огибающей оптического поля наблюдаются устойчивые двухчастотные колебания, переход к хаосу осуществляется через последовательность удвоений периода квазипериодического колебания (бифуркации удвоения двумерного тора).Рассчитаны сечения Пуанкаре и полный спектр характеристических показателей Ляпунова, подтверждающие данный механизма перехода к хаосу.

2) Установлено, что режимы генерации, предсказанные на основе анализа автомодельной системы, оказываются устойчивыми и на конечной апертуре при большом числе Френеля. Найдены параметры лазерной системы, при которых наблюдаются периодические оптические структуры автоволнового типа. Анализ спектра колебаний комплексной огибающей оптического поля подтвердил существование в распределенной системе устойчивых двухчастотных колебаний. Найдены бифуркации удвоения тора, с соответствующим им появлением характерным усложнением спектра колебаний. О переходе системы в режим динамического хаоса свидетельствует сплошной спектр колебаний.

3) В результате проведённого линейного анализа устойчивости и численного моделирования уравнений Максвелла-Блоха установлено, что для широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой, как в одномерном, так и в двумерном случае при любом значении накачки независимо от соотношений между релаксационными константами.

4) В результате проведённого линейного анализа устойчивости и численного моделирования уравнений Максвелла-Блоха установлено, что вблизи порога генерации широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты квадратная решетка оптических вихрей является устойчивой пространственно-временной оптической структурой.

5) Показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Критическое значение накачки зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей. Показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Заключение

1. Hegarty, S.P. Pattern Formation in the Transverse Section of a Laser with a Large Fresnel Number текст. / S.P. Hegarty, G. Huyet, J.G. Mclnerney // Physical Review Letters. - 1999. - Vol. 8. - №7. - P. 1434-1437.

2. Voignier, V Stabilization of self-focusing instability in wide-aperture semiconductor lasers текст. / V.Voignier, J.Houlihan, J.R. O'Callaghan, C. Sailliot, G. Huyet // Physical Review A. 2002. - Vol. 65. - 053807.

3. Lippi, G.L. Evidence that transverse effects cause an instability in a single-mode C02 laser текст. / G.L. Lippi, N.B. Abraham, G.P. Puccioni, F.T. Arecchi, J.R. Tredicce // Physical Review A. 1987. - Vol. 35. - №9. - P. 3978-3981.

4. Tredicce, J.R. Spatial and temporal instabilities in a CO2 laser текст. /Physical Review Letters. 1989. - Vol.62. -№11.- P. 1274-1277.

5. Cabrera, E. Evolution of the Correlation between Orthogonal Polarization Patterns in Broad-Area LasersTeKCT. / E. Cabrera, S. Melle, O.G. Calderon, J.M. Guerra // Physical Review Letters. Vol.97. - P. 233902.

6. Cabrera, E. Development of spatial turbulence from boundary-controlled patterns in class-B lasers текст. / E.Cabrera, O. G. Calderon, S. Melle, J. M. Guerra // Physical Review A. 2006. - Vol. 73.- P. 053820.

7. Genevet, P. Bistable and Addressable Localized Vortices in Semiconductor Lasers текст. / P. Genevet, S. Barland, M. Giudici, J.R. Tredicce // Physical Review Letters. 2010. - Vol. 104. - P. 223902.

8. Arecchi, F.T. Chaos in a C02 waveguide laser due to transverse-mode competition текст. / F.T. Arecchi, R. Meucci, L. Pezzati // Physical Review A. 1990. - Vol. 42. - №9. - P.5791-5793.

9. Encinas-Sanz, F.Time Resolved Pattern Evolution in a Large Aperture Laser текст. / F. Encinas-Sanz, I. Leyva, J. M. Guerra // Physical Review Letters. 2000. - Vol. 84. №5.-P. 883-886.

10. Chen, Y.F. Spontaneous transverse pattern formation in a microchip laser excited by a doughnut pump profile текст. / Y.F. Chén, Y.P. Lan // Appl.Phys. B. 2002. -Vol. 75.-P. 453-456.

11. S.Chen, Y.F. Formation of optical vortex lattices in solid-state microchip lasers: Spontaneous transverse mode locking текст. / Y.F. Chen, Y.P. Lan // Physical Review A. 2001. - Vol. 64. - P. 063807.

12. Chen, Y.F. Transverse pattern formation of optical vortices in a microchip laser with a large Fresnel number текст. / Y.F. Chen, Y.P. Lan // Physical Review A. 2001. -Vol. 65.-P. 013802.

13. M. A. Schulz-Ruhtenberg текст. / Experimental analysis of spatial states in broad-area vertical-cavity surface-emitting lasers // Ph.D. Dissertation, Berlin. 2008. - P. 184

14. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки, М.: Наука, 1990.

15. Jakobsen, Р.К.Space-time dynamics of wide-gain-section lasers текст. / P.K. Jacobsen, J.V. Moloney, A.C. Newell, R. Indik // Physical Review A. 1992. - Vol. 45.-№11.-P. 2076-2086.

16. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров М. : Наука : Физматлит, 1999.

17. Lega, J.Nonlinear transverse modes of large-aspect-ratio homogeneously broadened lasers II. Pattern analysis near and beyond threshold текст. / J. Lega, P.K. Jacobsen, J.V. Moloney, A.C. Newell // Physical Review A. 1994. - Vol. 49. -№5.-P. 4201-4212.

18. Huyet, G. Spatiotemporal Dynamics of Lasers with a Large Fresnel number текст. / G. Huyet, M.C. Martinoni, J.R. Tredicce, S. Rica// Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 75. - № 22. - P. 4027-4030.

19. Boscolo, I. Three mode rotating pattern in a C02 laser with high cylindrical symmetry текст. /1. Boscolo, A. Bramati, M. Malvezzi, F. Prati // Phys. Rev. A. -1997. V. 55. - №1. - P. 738- 743.

20. Weiss, C.O. Restless optical vortex текст. / C.O. Weiss, H.R. Telle, K. Staliunas, M. Brambilla// Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - №3. - P. R1616-R1619 .

21. D'Angelo, E.J. Spatiotemporal Dynamic of Lasers in the Presence of an Imperfect 0(2) Symmetry текст. / E.J. D'Angelo, E. Izaguirre, G. Huyet, L. Gil, J.R. Tredicce // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 68. -№25. - P. 3702-3705

22. Cabrera EduardoPattern formation in large- aspect -ratio single -mode inhomogenously broadened lasers текст. / Cabrera Eduardo, Calderon Oscar G., J.M.Guerra // Phys. Rev.A.- 2004. V. 70. - № 6. - P. 063808-1 - 063808-11.

23. Taranenko, V.B. Spatial soliton laser: Localized structures in a laser with a saturable absorber in a self -imaging resonator текст. / V.B. Taranenko, K. Staliunas,

24. C.O.Weiss// Physical Review A. 1997. - V. 56. - № 2. - P. 1582-1591 .

25. Dangoisse, D. Two-dimensional optical lattices in C02 laser текст./!). Dangoisse,

26. D. Hennequin, C. Lepers, E. Louvergneaux, P. Glorieux// Phys. Rev. A.- 1992.-V.46.- №9.-P.5955-5958

27. Calderon, O.G. From Nearly Tilted Waves to Cavity Phase Solitons in Broad Area Lasers with Squeezed Vacuum текст./О.С. Calderon, E. Cabrera, M.A. Anton, I. Gonzalo, F. Carreno, J.M. Guerra// Phys. Rev. Lett. 2004 - V.92.- №16.-P.l 63901-1-163901-4

28. Rica, S. Interaction of defects in two-dimensional systems текст. / S. Rica and E. Tirapegui// Phys. Rev. Lett. 1990 .- V. 64, P. 878

29. Aranson, S. Interaction of spirals in oscillatory media текст. / S. Aranson, L. Kramer and A. Weber // Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 67, P. 404

30. Staliunas, K. Dynamics of optical vortices in a laser beam текст. / К. Staliunas

31. Opt. Commun. 1992.- V.90. - P. 123 45.Oppo, G.L., Spatio temporal dynamics of optical parametric oscillators текст. / G.L. Oppo, M. Brambilla, D. Camesasca, A. Gatti and L.A. Lugiato // J. Mod. Opt. - 1994.-V. 41.-P. 1151

32. Staliunas, K. Transverse pattern formation in optical parametric oscillators текст. / К. Staliunas // J. Mod. Opt. 1995. - V. 42. - P. 1261

33. Lugiato, L.A. Bistability, self-pulsing and chaos in optical parametric oscillators текст. / L.A. Lugiato, C. Oldano, C. Fabre, E. Giacobino and R. Horowicz //, NuovoCimento . 1988. -10D. - P. 959

34. Swift, J.B. Hydrodynamic fluctuations at the convectiveinstability текст. / J.B. Swift and P.C. Hohenberg // Phys. Rev. A 1977. - V. 15. - P. 319

35. Mandel P. Transverse effects in coherently driven nonlinear cavities текст. / P. Mandel, M. Georgiou and T. Erneux // Phys. Rev. A 1993. - V. 47 - P. 4277

36. Valcrarcel, G.J. Transverse patterns in degenerate optical parametric oscillation and degenerate four-wave mixing текст. / G.J. de Valcrarcel, K. Staliunas,E. Roldran and V.J. Sranchez-Morcillo //, Phys. Rev. A. 1996. V. 56. - P. 1609

37. Longhi, S. Swift-Hohenberg equation for optical parametric oscillators текст. / S. Longhi and A. Geraci //Phys. Rev. A. 1996.- V. 54. - P. 4581

38. Staliunas, К. Tilted and Standing Waves and Vortex Lattices in Class-A Lasersтекст. / К. Staliunas, C.O. Weiss// PhysicaD . 1995 , V.8. - P. 79-93 60. Staliunas, K. Transverse patterns in nonlinear optical resonators текст] / К.

39. Staliunas, V.J. Sanchez-Morsillo // STMP 183, 2003. 61.Staliunas, K. Nonstationary vortex lattices in large-aperture class В lasers текст. / К. Staliunas, C.O. Weiss // JOSA В . 1995. - V. 12. - P. 1142

40. Кренц, A.A. Каскад бифуркаций удвоения тора в лазере с отстройкой частоты текст. /A.A. Кренц, Н.Е. Молевич//Квантовая электроника. 2009. - №8. - С. 751-756.

41. Кренц, A.A. Исследование сценария перехода к хаосу в динамической системе с особой окружностью на фазовой плоскости текст. /A.A. Кренц, Н.Е. Молевич//Известия СНЦ РАН. 2010. - Т. 12. - №4. С. 108-112.

42. Кренц, A.A. Пространственно-временная динамика поперечного профиля оптического поля в лазере с отстройкой частоты текст./А.А. Кренц, Н.Е. Молевич // Компьютерная оптика. 2010. - Т.34. - № 4. С. 110-118.

43. Кренц, A.A. Рождение устойчивого тора из замкнутой особой кривой и его бифуркации в лазерной системе с отстройкой частоты текст./А.А. Кренц, Н.Е. Молевич// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. № - 5. С. 211-219.

44. Кренц, A.A. О переходе к хаосу в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты текст. / A.A. Кренц, Н.Е. Молевич// Физическое образование в вузах. 2010. - Т.16. - №1. С. П18-П19.

45. Анчиков, Д.А. Образование сложных пространственно-временных структур в поперечном сечении пучка в лазере с отстройкой частоты текст. / Д.А. Анчиков, A.A. Кренц, Н.Е. Молевич//Физическое образование в вузах. 2011. -Т.17. - №1. С. П38.

46. Кренц, A.A. Возникновение сложных пространсвтенно-временных оптических структур в поперечном сечении широкоапертурного лазера текст. / A.A. Кренц, Д.А. Анчиков, Н.Е. Молевич// Известия СНЦ РАН. 2011. - Т. 13. -№4(2). С. 601-605

47. Кренц, A.A. Решетки вихрей в широкоапертурных лазерах текст. / A.A. Кренц, Д.А. Анчиков// Известия СНЦ РАН. 2012. - Т. 14. - №4. С. 201-205

48. Amroun, D. Complex intermittent dynamics in large-aspect-ratio homogenously broadened single-mode lasers текст./Е). Amroun, M. Brunei, C. Letellier, C. Leblond, F. Sanchez// Physica D.-2005.- V.203.- P.-185-197

49. Staliunas // Phys.Rev. A . 1993. - V. 48. - P. 1573 73 .Madelung, E. Quantentheorie in hydrodynamischer form текст. / E. Madelung //

50. Phys. Rev. 1996 .- V.69. - P. 322 74.Coullet, P. Defect-mediated turbulence текст. / P. Coullet, L. Gil and J. Lega // Phys. Rev. Lett.- 1989. - V. 62. - P. 1619