Нелинейные управляемые стохастические системы эволюционного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

о

нащональна академ1я наук укра1ни

? Институт прикладно! математики та мехашки /

На правах рукопису

КАРАБАШ МИХАЙЛО ОЛЕКСАНДРОВИЧ

НЕЛ1Н1ЙН1 КЕРОВАН1 СТОХАСТИЧН1 СИСТЕМИ ЕВОЛЮЦ1ЙНОГО ТИПУ

01.01.05 - теор1я ймов1рностей та математична статистика

Автореферат дисертацп на здобуття паукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

Донецьк -1997

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана на кафедр1 алгебри та теорн ймов!рностей Донецького державного ушвсрситету.

HayKOBi кер1вники:

Член-кореспондент HAH Украши, доктор

ф1зико-математичних наук, професор Г1ХМАН I.I.

Доктор ф1зико-математичних наук, професор БОНДАРСВ Б.В. Оф^щйш опоненти:

Доктор ф1зико-математичних наук, професор ШАЙХЕТ Л.Ю. Кандидат ф1зико-математичних наук, доцент ШУРКО Г.К. Провщна установа:

Нащональний Техшчний Ушверситет Украши ( КП1 ), м. Кшв.

на засщанш спещал1зовано1 ради К06.01.02 при 1нституп прикладноТ математики та механжй HAH Украши за адресою:

340114, Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

3 дисертащею можна ознакомитесь в 6i6nioTeui шституту.

ГОДИН1

Автореферат роз!слано

Вчений секретар спещал1зованоУ ради кандидат ф1зико-математичних наук

ЧАН1 О.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Кероват стохастичш системи знаходять широке практичне застосування в р1зномаштних галузях науки та техшки (економпса, с|шика, бюлопя, телекомушкащя, aBiaqiH та космонавтика).

Значний вклад в теорпо керованих систем з випадковими впли-вами внесли Р. Беллман, I.B. Прсанов, P.E. Калман, Г.Дж. Кушнер, P.C. Быоа, У. Флемшг, Р. Р1шел, I.I. Пхман, A.B. Скороход, М.В. Крилов, M.I. Портенко, В.Б. Колмановський, Л.Ю. Шайхетта

iHiiii.

Одтею з найбшын важливих з прикладно! точки зору задач е розробка теорй' керованих стохастичних систем еволюцшного типу. Для uiei проблематики е притаманним синтез концепций та метод ¡в теорп стохастичних р1внянь та теорй' оптимального керування.

В 60-их роках В.В.Бакланом, Ю.Л.Далецьким та Т.Л.Чантладзе впроваджеш стохастичш piвняння в гшьбертових просторах. В перших роботах коефщенти р1внянь задовольняли умови Лшшщя. Результата А.Бенсусана, Р.Темама (1972), а шзнше Е.Парду (1975), М.В.Крилова та Б.Л.Розовського (1977, 1979) суттево розширили клас розглядуваних р1внянь. В цих роботах припуска-еться, що коеф)ц1енти р1внянь ввдповщають вимогам коерцитив-ност1 та монотонност1. Встановлено низку теорем ¡снування та едишеп в цьому напрякп. Р1вняння з монотонними коефщентами в скшченновим1рному npocTopi дослщжеш М.В.Криловом та Л.А. Алюшиною.

Проблеми опттшацй для деяких клаав нескшченновим1рних стохастичних систем дослщжеш в роботах А.В.Балакришнана, А. Бенсусана, Ж.-Л. Люнса, Ю.М. Срмольева, Т.И.Царенко, С.А. Мельника, Н.У. Ахмеда та шших автор!в.

У нескшченновилнрному випадку залишився недостатньо дослщженим важливий для практичних застосувань тип задач : цшовий функщонал е нелерервним у метрищ, яка визначаеться максимальним за часом вщхиленням (у функщоналъному простор^ тpaeктopiй роз'язшв стохастичного р^вняння та середшм за часом вщхиленням керуючих процеав, а стратеги е кусково-постшними керуваннями зворотного зв'язку.

В дашй робот1 на основ! анал1зу властивостей розв'язшв нелшшних стохастичних еволюцшних р1внянь отримаш сшввщно-шення оптимальних щн у р1зних класах припустимих стратегШ для згаданого вище типу цшових функцюнал1в.

Мета роботи. Дослщження стввщношень оптимальних щн у р1зних класах припустимих стратегш для цшових функцюнал1в, неперервних у метрищ, яка р1вном1рна за роз'язком нелшшного стохастичного еволюцшного р1вняння та штегральна за керу-ванням.

Методика дослЦження. У робот! викорисговуегься теор!я мартингал1в та стохастичний анал!з в нескшчснновим1рних просторах, метод динам1чного програмування, теор!я лшшних опера-тор1в у оснащених просторах,

Наукова новизна. В робоп розглянуи нов1 пщкласи стохастичних еволюцшних р!внянь. Досшджено влacтивocтi роз'язшв таких р1внянь.На цьому шляху знайдеш нов1 науков1 результата :

- оцшки вищих моменпв та модуля неперервносп роз'язк1в;

- швидкють збíжнocтi кусково-постшних та ейлерових апроксимацш розв'язив;

- доведено тотожность оптимальних цш керування нелшшним стохастичним еволющйним р1внянням у р1зних

класах припустимих стратегш для щнових функцюнал1в, що непе-рершп у метрищ, яка pißHOMipHa за роз'язком р1вняння та ште-гральна за керуваиням;

-одержан! результата застосоваш до керованих стохастич-них р1внянь у частинних похщних.

Теоретична та практична цпписть. Дисертащя е теоре-тичним дослвдженням у галуз1 фундаментано'1 науки. Ii результата дають основу для подалыпого вивчення властивостей розв'язюв нелшшних стохастичних р1внянь еволюцшного типу, що може бути корисним для розвитку теорп керованих стохастичних систем. Практичне значения роботи полягае в тому, що дозволяе зводити пошук щн для клаав керувань загальногс вигляду до розгляду лише схщчастих керувань зворотного зв'язку. Ця обставила суттево спрощуе впровадження чисельних метод!в оптим1зацп для стохастичних систем з розподшеними параметрами.

Апробащя роботн. Основш результати дисертацп доповща-лись та обговорювались на Республжанськш конференцп з теорп стохастичних диференщальних ртнянь (Донецьк, 1982), Другш Донецькш конференцп "Ймов1рносш модел! процеав в керувант та надшносп" (Донецьк, 1990), ГГятш К<йжнароднш науковш конференцп im. акад. М. Кравчука (Кшв, 1996), Всеукрашськш конференцп "Диференщально-функщональш р1вняння та i'x засто-сування" (Чершвщ, 1996), на наукових семшарах кафедри алгебри та теорй ймов1рностей Донецького держушверситету, вщдшу теорй ймов1рностей та математичноГ статистики 1нституту прикладно\" математики та механпси HAH Украши (м. Донецьк) та в1ддшу

теори випадкових процеав 1нституту математики HAH УкраГни (м. Кшв).

Публжацп. Основний 3MicT дисертаци в достатнш Mipi вщображено в опублпсованих роботах [1-11].

Структура та обсяг роботи. Дисертащя складаеться з вступу, трьох роздшв, як[ М1стягь 9 naparpat|)iß, та списку л!тератури з 92 найменувань. Загальний обсяг роботи 119 стор1нок.

3MICT РОБОТИ

Перший роздш мктить позначения, означения та деяю припущення, яю використовуються в наступних двох роздшах.

Позначимо {-^ili е[01]' Р) - повний 1Мов1ршсний

npocTip; w(t) - BiHepiBCbKHÜ процес i3 значениями у гшьбер-товому npocTopi Е, який узгоджений з потоком о-алгебр

Q - ядерний ковар1ащйшш оператор процесу w(t).

Розглянемо тршку сепарабельних дшсних гшьбертових про-cTopiB (V, Н, V ), де V с Н та V * дво!стий до V вщносно скалярного добутку (•,•) в Н\ якщо ототожнити Н i3

#*, тод! Г с Я с F *. Нехай N^'IMH'L'IHI^ ~ норми в V,

Н, V , Е\ [•,•]- канотчна бшншна форма (КБФ) -продов-ження (•,•) на VxV*, SEq{E,H) - npocTip лшшних опера-TopiB i3 Q^2E в H, поповнений вщносно норми

\B\Q = [tr(sg1/2)(5g1/2)* Тршку ( V, H, V *) назвемо нормальною1, якщо вкладення V çz H œ F щшьш та при деяких константах ci , ci, а мають Micue nepiBHOCTi: VveV IvI < Cj|v\v; VheH \h\, <c2\h\\-,

VveF Vv'eF [v,v*] < c3|v|K

В ( V, H, V ) розглядаються стохастичш еволюцшш р1вняння

d££t) = + B(t,Ut))dw(t). (1)

Надал1 ми користуемось такими позначеннями : при фшсованих невипадкових константах р> 1, v>2, будемо

писати (A,B)eKv М^(У,Н,У*,р), якщо V(f,v,©)e[0,l]xKxQ A{t,v,®)eF\ B{t,y,&)eS0{E,H)-,

2) для кожного v eV A(i,v,(o) i B(t,v,ca) - процеси y вщповцщих просторах таю, що можуть бути передбаченими;

3) A(t,v,(ù) е семшеперервним2 за v з iMOBipHic™ 1;

4) юнують невипадков1 константи Kk0,x>0 TaKi, що vie[0,1]; v,v15v2gf; cû е q

2[v,yi(i,v,CD)]+Cv-l)|JÎ(/,v,a))|g+x|v|^ < Д1 + Н2); (2)

1 Див. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов М.: Наука, 1978 та Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы.- М.: Наука,1983

2 Див. Гаевский Х.,Грегер К.,3ахариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.-М:Мир,1978

2[у1-У2,Л(/,У1,е>)-Л(*,У2,а))] +

+ < ^Ц^-УзЦ2; (3)

И^со)^ < ¿ГО + М^-1). (4)

Позначимо (А, В) &Ку , Н , р), якщо виконат т1 жпри-пущення, але умова (2) замшена на

2

+

Е

+ х|у|;<^(1 + |у|2)3 де VЛеЯ «(*) = { ° [=° -у [IIА|| А И*О

Зазначимо, що умова (А,В)еК2М\(У,Н,¥ ,р) сшвпадае з при-пущеннями, як1 прийнят1 в робот1 М.В. Крилова та Б.Л.Розов-СЬКОГО3 (при /(л\С0)н1, 2(5,ю) = 0 ).

Гснування та едишсть розв'язку (1) доведен! в згадашй статп М.В. Крилова та Б.Л.Розовського; там же наведеш поняття Н- 1 К-розв'язюв, неперервно! в Н модифнсацн V- розв'язку , деяю ощнки момент1в розв'язив . Одну з цих ощмок можна подати у вигляд1

м

f 1 ^

Ч/е[0,1] 0 7 ;

зир ||^)||2 + 1\т£*\ * ф + М ||$(0) ||2). (5)

В роздш 2 дослщжеш властивот розв'язив (1). Для скшченнор1зницево'1 схеми ¿з дискретизащею за часом знайдеш ощнки швидкосп зб1жносп апроксимацш розв'язюв (1) у мет-

3 Див. стор.104 у кн. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об эволюционных стохастических уравнениях.// Итоги науки и техники.-М: ВИНИТИ, 1979

рищ, р1вном1ршй за Зауважимо, що в роботах С.А.Мельника розглянут1 наближення в середньому квадратичному за I. Ана-лопчний результат для ейлерових апроксимацш poзв'язкiв р1внянь з коерцитивними коефщентами у скшченновим1рному простор! наведено у Л.А.АлюшиноГ.

В §3 одержан! узагальнення оцшки (5).

Теорема 3.1. Нехай У>2, М || £(0) ^ < оо,

(А, В) е МХ(У, Н,¥*,р). ТоЫ кнуе невипадкова константа

С\ = С\(К, р, х, v) така, що длярозв'язку £,(/) рмняния (1) мае м1сцг ощнка

Мзир [5(0||ЧМ/< с^+м^оГ). (6>

telO.ll о

При У = 2 оцшки (5) та (6) щентичш. Зрозумшо, що нер1вшсть (6) залишаеться справедливою, якщо умову (А,В)еКу Мх(¥, Н, V*, р) замшити на (А,В)е^М1(У,Н,У\р).

В дисертащ'1 дослщжеш керування зворотного зв'язку, яш е оптимальними та е-оптимальнимн вщносно цшових функщонал1в, що неперервш у метрищ, яка р1вном1рна за / ввдносно розв'язку р1вняння (1) та штегральна за t вщносно керування. Отже, важливу роль вдаграе швидюсть зб!жност1 вщповщних апроксимацш . В §4 длярозбиття у = {0=?0 < <•••< + ^ = 1} вщр1зка [0,1] були запроваджет схщчасп (кусково-постшш) апроксимацп розв'язку : £у(0) = £(0);

\fk = 0,1,...,m \/te]tjc,tjc + l] Z,y(t) = £,(tic), ощнка швидкоеп зб1жносп знайдена в теорем14.1.

Теорема 4.1. Нехай V>2, M||£(0)||V<

• (A,B)eKvMx{V,H,V\p)-

М sup \m\lP/l= *,<«>; (7)

t 6[0,1]

Todi icnye невипадкова константа Cj = Ci(K, p, x, v) така, що

\2/v

t e[0,l]

Msup + + (8)

де |y|= max {tk+x~t^. ¿=0,1,... ,m

Наведений у цьому ж параграф! приклад показуе, що коли в формулюванш теореми 4.1 вилучити умову (7), то ощнка (8)

(при Ki = 0 ) не мае м1сця.

3 теорем 3.1 та 4.1 випливають ощнки швидкоспч зб1жност1 схщчастих апроксимацш у тршках upocTopia, як! е нормально вкладеними. Отже, розглянемо дв1 нормалыи тршки

(V0,HQ,VQ*) та (VUHX,V*) так1,що HlQV0 , Vf czVQ* , причому вкладення е щшьними та обмеженими у вщповвдних нормах. Норми у Vj, Я^ та КБФ у (V^H^V*) при / = 0,1 позначимо, вщповщно , |-|у , .

Як вщомо 4, icnye такий додатний самоспряжений оператор А:НХ->Н0 , що ||АА|| =||А|| , 2)(Л2) е щшьним у Hh

Позначимо Z=|v:ve^ п 2>(Л2); A2v eV0 j. Тршка (Vx, Щ, V*)

називаеться нормально вкладеною в (Ро,#0,^о*)3 якщо на до-даток до вищезгаданих припущень Л2Z е щшьним у F0 .

Теорема 4.2. Нехай {V\,HX,V*) - нормально вкладена в

(VQ,H0X), Vi S v > 2, ре] 1,2], Pi > 1; МЦ^О)!*1«»; (^еКуМ^НоХ'Р)'*

(A,B)eKvMl{VuHl,Vl\pl).

Todiрхвнянпя (I) мае розв'язок ^(t) у тршц1 (V0, H0,Vq) та icnye така константа сз = Сз(К,р\, v], х) , що

Msup 11^(0-C3(i + M||5(0)|HVv|Yr2>/v. t €[0,1]

В §5 було досладжено вужчий клас еволюцшних р1внянь: а саме таких, що коеф1щенти А та В е обмеженими операторами, для яких виконаш умови Лшшщя та сублщшного зростання. В цьому випадку можна значно спростити формулювання результата та i'x доведения вщносно §§ 3 и 4. Наведено оцшки швид-KOCTi збiжнocтi не лише схщчастих, а й ейлерових апроксимацш розв'язмв р1вняння (1).

4 Див. Лионе Ж.-Л., Мадженес Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.:Мир, 1971.

Роздш 3 мктить результата стосовно Teopiï керованих стохастичних систем еволюцшного типу : t t 4(0 - + + jB(i,Ç(j),ri(j))iftKs) , (9)

о о

де r)(,s)-- керування, яке набувае значень у метричному про-CTOpi U з метрикою р, коефщ1енти A(t,v,u) та B(t,v,u) е невипадковими та вим1рними (за Борелем) за сукупшстю змшних, w(s) - як i вище - вшер1вський процес.

Позначимо С(Н) - npocrip неперервних функцш, яю виз-начеш на [0, 1] та набувають значень у гшьбертовому npocTopi H, 33 (U ) - множину борелевих функцш з [0,1] в U\ ро- метрику в C(H)~x93(U), що означена формулою

",(■)), foC'W'Î} sup К(0-^2(0|| + \?{ult),u2{î))dt.

0

Припускаеться, що diamt/ = sup р(и15и2) < t»; для

ux,u2eU

цшового функщоналу i7(x('), и(-)), який визначений на С (H ) х 9i(U) , BHKOiiani там умови : кнують константа К > 0, X > 0 , для яких

( 1 Л О < F(jc(0,iK0) * К sup I x{t) I + 1

(10)

V t е[0,1]

для кожного R> 0 функцюнал F (х(-), и(-)) piBHOMipHO непе-

рервний на множит \(x(-),u(-j) eC(H)xfflU), sup \x(t)\ < i?

I *e[0,lf 11 J

щодо метрики po.

В дисертацн використовуються загальновживаж означения клас1в припустимих стратепй, яю набувають значень в U (узагальнених, кусково-постшних, зворотного зв'язку)5. Hi класи позначен!, вццюв1дно, 41 ,41 ст .

Для кожного г) e4i , де 41 - довшьний клас припустимих стратепй, яга розглянута в роздш 3, icHyc единий розв'язок р1вняння (9). Це безпосередьо випливае з результат роздшу 2 та вже зга-дано! статт1 М.В. Криловата Б.Л. Розовського.

Звичним чином запроваджено оптимальну цшу в 41 :

¿141 )= in (О.ЛС"))» поняття оптимального та г) е 41

г - оптимального керування в 41 .

Надал1 будемо позначати (А,В) е Kv Н, V*,p,U),

якщо для кожного ueU мае м1сце (Аи,Ви) H,V ,р),

де Au(t,\)-A(t,v,u), Bu(t,\)~ B(t,\,u) ; константи К,р, %

в умовах типу (2) - (4) с незалежними вц; t, v, и. Запис

(А, В) е Kv H,V*,U,p,r) означае, що на додаток до умови

*

(А, В) eKv Мц(У,Н,У ,p,U) виконаш припущення стосовно

неперервносп коеф1щент1в за и : ¿снують константи re [О,/?], К > 0 i дшснозначна функщя ф(а) така, що

sup ср(а) = ф <оо, Пш ф(а) = ф(0) = 0; для q= 0<a<diam U а->+0 р-\

5 Див. Гихман И.И., Скороход A.B. Управляемые случайные процессы. - Киев : Наук, думка, 1977

i Bcix ie[0,l], veV, uvu2eU

¡Bfc^uJ-Bfav.uJ2 * *(l + |v£ )ф(р(«]5и2)).

В §7 доведена неперервна залежшсть розв'язку р1вняння вщ керування та початкових даних.

Позначимо при / = 1,2 — два розв'язки р1вняння (9)

в (V,H,V*), яы вщповщають почагковим умовам ^¿(0) та

стратепям г| .(•) е 4J. .

Теорема 7.1. Нехай ц>1, (А,В) еК2М (У,Н,У*,U,р,г)

та М||^(0)||2<оо. Todi Ve > 0 36 > 0 таке, що iз МЦ^О)-^)]2<8 та р| f p{y\p\y\2{t))dt >5 | < 5

виплшас Р| sup||L(/)-^ (/)f >£ \<e.

L ie[0,l] J

Основний результат §8 - теорема про ¡снування (для кожного е > 0 ) кусково-постшного керування зворотного зв'язку,

яке е £ - оптимальним в 41 .

Р1вняння (9) розглядаеться у двох тршках npocTopiB:

<УХ, Hv У{)

нормально вкладена в (VQ ,Н0,У0 ). Для розбиття у = |o = i0</j<•••< tm+i = l} , множин {jc0,Xj,...,^} сHq та [uQ, щ, ...,%} с U позначимо Xy(0)=xQ, Uy(0)=uQ;

т т

V? (

е]ОД] ху(1)=£хкх (О, иу(0=ХикХу , рУ,

¡М

*„,,«(,, «,,...,«„) = ^(хуОХЫуСО) (де хм(0 -

шдикатор множини М).

Для наведених вище припущень щодо коефщ1ент1в р1вняння (9) та цшового функцюналу ¡з теорп керованих стохастичних послщовностей6 випливае ¿снування оптимального (вщносно

Ру(х0,хр...,хт,и0,и1,...,ит)) керування {'П^}™ стохастич-

ною послвдовшстю {^\}тк_0. Тут при к = ОД,... , т

Г), & - вим1рш випадков1 величини ¡з значениями в V; рекурентно к к

означена послщовшсть С,к + , = ^кЦк + [), де для +

Г /

'к 1к

т

Позначимо л*(0= Л*0Х{0}(О+ £ Л^Х,, , ХО I

к-0 к' к + 1

£ (•) _ розв'язок (9), який вщповщае кусково-постшному керу-

ванню зворотного зв'язку Г] (•).

Теорема 8.2. Нехай v > 2, ц>1, ре]1,2], 0 <г<р ;

м1< со; (А,В) еКу М^Уц,#0,и,р,г), (А,В) еКу Нх,У*,р,и); для функцюналу ^(х(-), и(-))

6 Див, §3 роздшу 1 монографп, яка згадана у виносщ 5

(на додаток до наведених вище умов) константа X у (10) задо-вольняе itepienicmb 0 < а, < v . Todi

а) Z(äZ\$(0)) = lim MFy^CO),^^/!)..........л^);

|уИ

б) для достатньо малого | у \ керування зворотного зв'язку pieiiHHUHM (9) г| (?) с z-оптимапьиим в 41 .

Як приклад розглянута задача оптимального керування i3 щновим функщоналом еволюцшного типу.

В §9 вивчаються кероваш стохастичш р!вняння (9) там, що коефщкнти A(l, v, и) та В((, v, и) задовольняють умови Лшнпця за v . По-перше, формулювання аналогов результатов §8 значно спрощуються. Вщповщний результат мютиться в теорем1 9.1.

KpiM того, розглянуто задачу оптимального керування ейлеро-вими наближеннями до розв'язку р1вняння (9). Позначимо (як i в §5):

$0=$(0); ^+=^+lA(s,^,rlk)ds+lB(s,^Jt)dW(s); (11) lk h

- оптимальне (вщносно Fy{x0,x^,...,xm,u0,Up...,un^)Kepy-

k=0

вання посл1довшстю ' визначен0 Р^внянням (II)

при

В теорем1 9.2 доведено, що в умовах теореми 9.1

Z(4l,my lim м*' (^^(^„...^(/^.Vo.-.nm)-

|г|-»0

Таким чином, якщо потр1бно за допомогого ЕОМ знайти лише оптимальну цшу керування розв'язком р1вняння (9), то зручно кори-

Основт результата дисертацп опублшоваш в роботах:

1. Карабаш М.А. О существовании оптимальных управлений обратной связи СДУ в гильбертовом пространстве // Поведение систем в случайных средах,- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР,1979.-С. 32-38.

2. Карабаш М.А. Об управляемых стохастических дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве II Теория случайных процессов,- 1980. -Вып. 8.-С. 74-78.

3. Карабаш М.А. О слабой компактности плотностей мер, порожденных управляемыми стохастическими дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве И Теория случайных процессов,- 1981. -Вып. 9.-С. 49-52.

4. Карабаш М.А. Об аппроксимациях решений стохастических уравнений с монотонными коэффициентами //Теория случайных процессов,- 1986. - Вып. 14.-С. 25-28.

5. Карабаш М.А. О непрерывной зависимости решений стохастических уравнений с монотонными коэффициентами от управления// Теория случайных процессов.- 1987. - Вып. 15,- С. 37-40.

6. Карабаш М.А. Об управлениях обратной связи для стохастических уравнений с монотонными коэффициентами // Теория случайных процессов.- 1988. -Вып. 16.-С. 28-33.

7. Карабаш М.А. О скорости сходимости ступенчатых аппроксимаций решений стохастических эволюционных уравнений// Теория

яку легше моделювати, шж

що розглянута в §8.

случайных процессов и её приложения,- Киев, Наук, думка, 1990.— С.61-65.

8. Карабаш М.А. О марковских управлениях СДУ в гильбертовом пространстве // Республиканская конференция по теории стохастических диференциальных уравнений (16-17 сентября 1982г., г.Донецк,4982).- Тезисы докладов - Донецк: НЭП АН УССР, 1982.-С.45-46.

9. Карабаш М.А. Об управляемых суперпараболических уравнениях Ито второго порядка // Вторая Донецкая конференция " Вероятностные модели процессов в управлении и надёжности" (25-28 мая 1990г., г.Донецк).-Тезисы докладов-Донецк: ИПММ АН УССР, 1990.-С.27.

10. Карабаш М.А. О непрерывной зависимости решения задачи Коши от управления для нелинейного стохастического уравнения // П'ята М1жнародна наукова конференщя iM. акад. М. Кравчука (16-18 травня 1996р., м. Кшв).-Тези доповадей,-Кшв, 1996.—

С.172.

11. Карабаш М.А. Об оценках гладкости решений задачи Коши для нелинейного уравнения Ито II Всеукрашська конференщя "Диференщально-функщональш р1вняння та ix застосування" (15-18 травня 1996р., м. Чершвщ) .- Тези доповщей,- Ки1в, 1996.— С.83.

АННОТАЦИЯ.

Карабаш М.А. Нелинейные управляемые стохастические системы эволюционного типа. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1997.

В работе рассмотрены управляемые стохастические эволюционные уравнения с функционалом стоимости непрерывным в метрике, которая равномерна по решению уравнения и интегральна по управлению. Введены новые подклассы стохастических уравнений, исследованы свойства их решений.

Доказано совпадение оптимальных цен в классах ступенчатых управлений обратной связи и обобщенных управлений. Полученные результаты применяются к управляемым стохастическим уравнениям в частных производных.

ABSTRACT.

Karabash М.А. Nonlinear controlled stochastic evolution systems. Manuscript. Thesis for a Degree of Candidate of Science (Ph. D.) in Physics and Mathematics, the speciality 01.01.05-Probability Theory and Mathematical Statistics. Institute of the Applied Mathematics and Mechanics NAS of Ukraine, Donetsk, 1997.

Controlled stochastic evolution equations are considered in the work. The cost is assumed to be continuous with respect to a metric, which is uniform in a solution and integral in a strategy. Some new subclasses of stochastic equations are introduced. Properties of solutions for those subclasses are investigated.

An exact coincidence of optimal costs for classes of feedback step-strategies and generalized strategies is proved. The results obtained are applied to controlled stochastic partial differential equations.

Kmo4QBi слова : стохастичш еволюцшш р1вняння, апроксима-ци, модуль неперервносп, кероваш процеси, дина\пчне програму-вання, кусково-постшш керування зворотного зв'язку.