Нелинейные волновые структуры в моделях релаксирующих сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ
|
Владимиров, Всеволод Анатольевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Одесса
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГЗ ОДпОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
1 З СЕН Ш
Владіміров Всеволод Анатолійович
УДІ<*17.958:539.372
НЕЛІНІЙНІ ХВИЛЬОВІ СТРУКТУРИ В МОДЕЛЯХ СЕРЕДОВИЩ, ЩО РЕЛАКСУІОТЬ
10.04.01 - фізика приладів, елементів і систем
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізикО'математичния.наук
ОДЕСА • 2000
Дисертацією є рукопис.
Робота внкоїшіа в Інституті геофізики ім. С.1. Субботіна НАН України
Науковий
консультант:
Офіційні опоненти:
член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математачних наук, професор ДАІІИЛЕНКО В’ячеслав Андрійович, заступник директора Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України
доктор фізико-математичних наук ШКІТШ Анатолій Глібович, Інститут математики НАН України, завідувач відділом
доктор фізико-иатематичних наук МАКАРЕНКО Олександр Сергійович, Науково-навчальний комплекс "Інститут прикладного системного аналізу” НАН України та Міністерства освіти і науки України, професор
доктор фізпко-матемггтчних яаук, старший науковий співробітник ПАВЛОВИЧ Володимир Миколайович, Науковий центр "Інститут ядерних досліджень" НАН України, завідувач відділом
Провідна установа Київський національний університет ім. Тараса Шевченка
Захист відбудеться
_2000 р. о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д'41.052.06 при Одеському державному політехнічному університеті за адресою: 65044 м.Одеса, пр. Шевченка, 1.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Одеського державного політехнічного університету за адресою: 65044 м.Одеса, пр. Шевчеика, 1
Автореферат розісланий .
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
2000 р.
Л
Зеленцова
Велика кількість природних та штучних матеріалів характеризується наявністю внутрішньої структури. Експериментальні дослідження по динамічному навантаженню гетерогенних середовищ (фунтів, скельних порід, природної кам'яної солі, газо-рідинних. сумішей, тощо) свідчать про те, що структура суттєвим чином впливає на характер нелінійних хвильових процесів. Наявність структури проявляється, зокрема, в фрагментації початково гладких хвильових полів (Накоряков, ГІокусаєв, Шрейбер, Когарко) та підсиленні ударних фронтів в газо-рідинних сумішах (Борисов, Нігматулін), солітонних властивостях Р-хвиль в блочно-ієрархічних середовищах (Лунд, Николаев, Николаєвський, Даниленко, Венгрович), дилатансійних властивостях грунтів та полікристалічних матеріалів (Ляхов, Михалюк). .
Проблема теоретичного опису ієрархічних середовищ в умовах динамічних навантажень на сьогодні не вирішена в повному обсязі. Побудова континуальних моделей реальних середовищ була започаткована в працях Максвелла, Кельвіна, Фойгхта, Олдройда, які, узагальнюючи експериментальний матеріал, ввели поняття пружно-в'язко-пластичних релаксуючих середовищ, тобто тих властивостей, що є макроскопічними проявами структури та нерівноважності стану. Подальший розвиток цих досліджень стимулювався необхідністю вивчення післядії імпульсних навантажень, асоційованих з ударами та вибухами, та суттєвим зростанням можливостей експериментальних досліджень поведінки матеріалів в екстремальних умовах.
Як відомо, основою побудови макроскопічних моделей матеріальних середовищ є кінетична теорія, започаткована Л. Больцманом. Розвитку цієї теорії в напрямку врахування ефектів пам'яті та нелокальності присвячені праці Боголюбова, Гріна, Макленнана, Зубарєва та багатьох інших. В цих працях обгрунтовано існуючі феноменологічні моделі та викладено принципи побудови нових ієрархічних моделей процесів далеких від рівноваги. Одночасно розвивалися інші підходи до моделювання нерівноважних процесів в складних середовищах, зокрема, аксіоматичний в працях Трусдела, Колеманна, Нолла, Честера, та феноменологічний в працях Леонтовича, Мандельштама, Онзагера, Мешсснера, де Гроота, Пригожина, Ликова.
Характерною особливістю нелінійних нерівноважних процесів в системах з розподіленими параметрами є можливість існування когерентних станів, або дисипативних структур, теоретичне вивчення яких було започатковане в працях Пригожина та його послідовників. Виникнення структур початково досліджувалося в зв'язку з задачами хімічної кінетики (Бєлоусов, Жаботинський), гідродинаміки (Тейлор, фон Карман, Ландау, Хопф) та гермоконвекції (Бенар, Лоренц), однак
достатньо швидко з'ясувалося, що подібні явища спостерігаються в нелінійній ' оптиці (Хакен), біології (Іваницький, Кримський, Ейген), теорії горіння (Зельдович, Маломсд, Самарський) та інших дисциплінах. На сьогодні дослідження виникнення та еволюції когерентних структур достатньо повно проведені стосовно нсрівноважних процесів невисокої інтенсивності, що моделюються рівняннями параболічного типу. Одночасно з розвитком фізичних уявлень щодо виникнення дисипативних структур розроблено математичні методи, які дозволяють одержати строгі результати стосовно виникнення когерс.ітних структур на основі теореми про центральний многовид (Марсден, Мак-Кракен) та теорії атракторів дисипативних систем (Ладиженська, Темам, Фойяш, Чусшов, Мельник).
Нелінійні рівняння параболічного типу, що вірно описують процеси невисокої інтенсивності, стають непридатними для дослідження високонітенсивнпх швидкоплинних процесів. В працях Даниленка, Кудінова, Макаренка досліджувались дисипативні структури для ріві.янь гіперболічного типу, які враховують ефекти пам'яті -телеграфного рівняння та гіперболічного узагальнення рівнянь Нав'е-Стокса. До цього ж циклу слід віднести роботи по виникненню структур за фронтом детонаційної хвилі (Фікетт, Дейвіс, Ерпенбек, Пухначов, Мітрофанов, Топчиян, Дж.Лі, Даниленко, Борисов). В цих працях виявлено особливості утворення дисипативних структур в швидкоплинних процесах, зокрема, нові сценарії хаотизації та режими з загостренням.
Актуальність теми. Нелінійні хвильові процеси займають помітне місце в науці і техніці. Зокрема, можливість створення високоградієнтних хвильових полів в природних масивах є передумовою ефективного застосування геотехнологічних методів інтенсифікації видобутку корисних копалин. В зв'язку з цим набуває актуальності проблема виведення достатньо простих континуальних моделей структурованих середовищ, виходячи з фундамеїгпшьних принципів. В застосуваннях найчастіше використовуються моделі, основані на гіпотезі локальної рівноваги та феноменологічних законах, що відображають локальні зв'язки між узагальненими термодинамічними потоками та силами. Такі моделі адекватно описують процеси невисокої інтенсивності, коли основні термодинамічні величини можна вважати постійними на відстанях порядку довжини кореляції та на часових проміжках, порівнювальних з характерними часами релаксації, однак, при розгляді високо інтенсивних швидкоплинних процесів необхідно використовувати удосконалені моделі, які враховують нслокапьні ефекти. Оскільки параметри нелокальності в структурованих середовищах визначаються, в першу чергу, характерними розмірами елементів структури,
з
нелокальні ефекти в них можуть проявлятися при навантаженнях порівняно невисокої інтенсивності. Слід відмітити, що нині існує велика кількість рівнянь стану, що узагальнюють наявний експериментальний матеріал по динамічному навантаженню середовищ із внуїрішньою структурою, однак більшість з них виведено чисто механічним шляхом без належного термодинамічного обгрунтування. З цієї причини виведення нелінійних нелегальних моделей структурованих середовищ в рамках єдиного підходу, що спирається на закони феноменологічної термодинаміки незворотних процесів та принципи симетрії, є важливою та актуальною задачею.
Вивчення ієрархії моделей, що служать до опису високоінтенсивних швидкоплинних процесів в структурованих середовищах, дозволяє простежити вплив структури та ступеня відхилення від стану повної термодинамічної рівноваги на еволюцію хвильових полів, одержати нові розв'язки, суттєво підмінні від тих, що мають місце в моделях без нелокальностей, та визначити співвідношення між параметрами, за яких має місце втрата стійкості та виникнення дисипативних структур. Однак моделі швидкоплинних процесів в структурованих середовищах значмо складніші від тих, що традиційно розглядаються в рамках синергетичного підходу. Загалом для них не сформульовано аналогу теореми про центральний многовид, яка дозволяє, в принципі, виділити скінчену кількість мод (параметрів порядку). Через це набуває важливого, значення застосування альтернативних методів досліджень, зокрема теоретико-групових методів, які дозволяють виділити підкласи розв'язків, що задовольняють системам більш простим, порівняно із вихідною. Послідовне застосування точної групової редукції дає змогу одержати динамічні системи, які ефективно досліджуються якісними та чисельними методами. Широке застосування цих методів, в дослідженні систем нелінійних диференціальних рівнянь, для яких не має місця принцип суперпозиції, виправдовується тією обставиною, що інваріантні розв’язки дуже часто служать проміжними асимптотиками для інших, взагалі кажучи, неінваріантних розв'язків. Таким чином, теоретико-групові дослідження дозволяють прогнозувати еволюцію розв'язків початково-крайових задач, в певному сенсі близьких до автомодельних, в тих областях часопростору, де ці розв'язки вже не залежать від деталей початкових (крайових) умов.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами» темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках планових НДР Відділення геодинаміки вибуху Інституту геофізики НАН України: "Розробка ефективних та безпечних методів проведення гірничих, будівельних та інших робіт з використанням енергії вибуху в шаруватих масивах та п підводних умовах в застосуванні до регіонів УРСР, Поволжя,
Алтайського краю, Західного Сибіру" (затверджена Постановою Президії АҐі УРСР, (протокол №474 від 27.12.85 р., шифри 1.10.},8 та 1.5.4.2); "Удосконалення моделей геофізичних середовищ і розв’язок хвильових задач" (затверджена рішенням бюро відділення Наук про Землю ПАН України (протоколи №83 від 28.12.89 р. та №6, §35 від 5.12.94 р., шифр 1.5.4.4), та проекту №397 "Розробка наукових основ використання енергії вибуху для інтенсифікації будівництва підземних сховищ енергоносіїв, радіоактивних і токсичних речовин в геологічних формаціях України геотехнологічними методами", ще фінансувався Українським науково-технологічним центром.
Мета і задачі досліджень. Мета роботи полягає в побудові нелінійних нелокальних моделей динаміки середовищ, що релаксують, на основі фундаментальних принципів та їх застосуванні до опису когерентних хвильових структур. Нижче перераховані основні задачі дослідження.
1. Створенім континуальних моделей, що описують післядію
іі.теисивних навантажень в структуроааїшх середовищах.
2. Проведення групового аналізу релаксаційних моделей струїяурованих середовищ, отримання обмежень на функції стану і кінетики.
3. Якісні та чисельні дослідження динамічних систем, які одержані факторизацією вихідних моделей, визначення умов виникнення автохвильових розв’язків, вивченім впливу нелінійних ефеетів, нелокальності та неоднорідності на характер інваріантних хвильових структур.
4. Чисельні дослідження атракторних властивостей інваріантних
автохвильових розв'язків. -
5. Теоретико-групові та якісні дослідження гідродинамічних моделей без
релаксації. '
Наукова Новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:
1. Побудовані такі моделі багатокомпонентних релаксугачих середовищ в довгохвильовому наближенні:
а) гідродинамічна модель середовища з одним та двома релаксаційними процесами онзагерівськоготипу;
5) гідродинамічна модель середовища з одним релаксаційним процесом, який визначається узагальненим співвідношенням мок термодинамічними потоками та силами;
в) тензорна модель середовища з одьам релаксаційним процесом, що визначається співвідношенням онзагерівського типу.
2. Показано, що система гідродинамічних рівнянь з кінетикою допускає
нескінченновимірну групу. '
3. Розв'язано задачу групової класифікації для системи гідродинамічних рівнянь з кінетикою, отримано в- явному вигляді широкий клас
функцій кінетики та внутрішньої енергії, при яких симетрія системи розширюється.
4. Виконано теоретико-груиову факторизацію вихідних систем рівнянь, отримано системи з меншою кількістю залежних і незалежних змінних, які описують сім'ї часткових розв'язків вихідної моделі з наперед заданою симетрією.
5. Визначено умови, що призводять до виникнення періодичних, квазі-
періодичних, мультиперіодичних, хаотичних та солітонних інваріантних розв'язків в релаксаційних моделях структурованнх середовищ. - .
6. Отримано критерій виникнення квазіперіодичиих розв'язків для динамічної системи загального вигляду у випадку подвійного виродження лінійної частини.
7. Складено параметричні поріретн автохвильових розв’язків, побудовано біфуркаційні діаграми для хаотичних атракторів, які відповідають різним проявам »«локальності.
8. Показано, що деякі інваріантні розв'язки служать проміжними асимптотиками для широкого класу ясчатково-крайових задач та встановлено критерій збіжності. Здійснено чисельне моделювання утворення структур в задачі про поршень та зіткнення хвиль.
9. Визначено групову структуру гідродинамічних моделей без релаксації та отримало багатопараметричні сім'ї точних розв'язків. Встановлено, що максимальна грУпа інваріантності у випадку тетівського рівняння стану нескінченновимірна. Для баротропної моделі здійснено нелокальну лінеаризацію.
Практичне значення одержаних результатів Дисертаційна робота має теоретичний характер. Для середовищ із внутрішньою структурою отримані динамічні рівняння стану. Ці рівняній містять параметри, для знаходження яких, замість детального вивчення перебігу релаксаційних процесів, достатньо визначити їх прояви на макрорівні. Моделі, отримані в роботі, можна використовувати для опису післядії ударів та вибухів.
Для системи ріві.янь релаксаційної гідродинаміки знайдено ряд випадків розширення базової групи інваріантності при певній довільності функцій стану т? кінетики. Це відкриває шлях до ефективного використання теоретико-алгебраїчних методів при моделюванні післядії імпульсних навантажень.
В роботі вказано умови створення імпульсів наперед заданої форми в релаксуючому середовищі. Це можна використати як засіб діагностики структури природних масивів, а також як спосіб керування нерівномірністю хвильових полів, що є основою вибухових методів інтенсифікації масообмінних процесів'.
Результати роботи можуть також бути використані в механіці гетерогенних середовищ, теорії дисипативних структур та як навчальні курси в Вузах (КНУ, КНТУ).
Особистим пнссок здобувана. Особисто здобувачем отримані наступні результати:
1. Виведено динамічне рівняння стану (ДРС) для середовища з двома релаксаційними процесами онзагерівського типу.
2. Виведені ДРС, виходячи з інтеїральних залежностей між термодинамічними потоками та силами.
3. Виведено ДРС для пружно-в'язкого релаксуючого середовища з урахуванням тензорного характеру полів напружень та деформацій.
4. Проведено дослідження теоретико-групових властивостей рівнянь гідродинаміки релаксуючих середовищ.
5. Проведено якісні дослідження гідродинамічних моделей релаксуючих середовищ, основаних на співвідношеннях онзагерівського типу, визначено умови існування інваріантних автохвнльових розв'язків, показно, що ці розв'язки служать проміжними асимптотиками для широкого класу початкових та крайових умов.
6. Здійснено теоретико-групову редукцію нелокальних моделей, виділено клас динамічних систем (ДС), що описують розв'язки типу біжучої хвилі. Наведено критерії існування періодичних і квазіперіодичних режимів та розв’язків двояко асимптотичного типу (петель гомоклініки) для довільної системи третього порядку із виродженою лінійною частиною.
7. Проведено теоретико-групові та якісні дослідження гідродинамічних систем без релаксації, здійснено групову класифікацію, знайдено багатопараметричні сім'ї точних розв'язків, отримано результат про наявність нескінченної групи симетрії у гідродинамічної системи з рівнянням стану тетівського типу.
Разом з В.А. Даниленко було виведено динамічне рівняння стану (ДРС) для середовища з одним релаксаційним процесом, підпорядкованим узагальненим феноменологічним співвідношенням [2,4,21,22,23]. Спільно з В.В. Сорокіною та В.О. Хрищенюком проводилися чисельні дослідженім виникнення хвильових структур в гідродинамічній моделі, замкнутій ДРС ляхівського типу [4,5,24,36,38]. Разом з
B.О.Сидорцем та С.І.Скуратівським проводились чисельні дослідження хаотичних режимів в системах з пам'яттю та просторовою нелокальністю [14,16,18,20,26], Спільно з В.А.Тичнніним було здійснено нелокальну лінеаризацію гідродинамічної системи з баротропним рівнянням стану [1]. Спільно з М.А. Селехманом проводились якісні дослідження автомодельних розв’язків гідродинамічно! системи з тетівським рівнянням стану [35]. Разом з А.В. Михалюком та
C.В.Михуляком отримано результат про Ъплив просторового та часового
розосередження точкових зарядів на характер хшльовж* полі» тэ> інтенсифікацію масообміну в середовищах $ ієрархияок> структурою {11,19]. . ■
Апробація результатів дисертації*. Матеріали диссртгаиіі доповідались на міжнародних школах-семінарах "DifFerentraÈ Eíquaítows, Bifurcations and Chaos" (Кацивелі, 1991, 1994); міжнародній конференції "Free-boundary Problems in Continuum Mechanics" (Новосибірськ, 1991); На І-ПІ школах-семінарах з вибухових явищ (Алушта, 1990-1992); на семінарі "Акустика неоднородных сред" (Новосибірськ, 1992); та міжнародній школі-семікарі по фізиці та газовій динаміці ударних хвиль (Мінськ, 1992); на міжнародній школі-семінарі "Non-equilibrium Processes in Gases and Low Temperature Plasma" (Мінськ, 1992); нз міжнародній конференції "Combustion, Detonation and Shock Waves" (Москва, 1994); на IV міжнародній конференції "Lavrentyev Readings" (Казань, 1995); на І-Ш міжнародних конференціях "Symmetry ш Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, 1995-1999); на міжнародній конференції "IFIP95" (Варшава, 1995); на III міжнародній конференції "Bogolyubov Readings" (Київ, 1997); на XXX та XXXI симпозіумах з математичної фізики (Торунь, 1998, 1999), на міжнародній конференції "Modern Problems of Mathematics and Mechanics" (Львів, 1998); на наукових семінарах Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України (Київ, 1986-1998).
Публікації. Основні результати і положення дисертації висвітлені у 42 науковнх роботах, список яких подано в кінці автореферату.
Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків і списку цитованої літератури з 282 назв. Обсяг дисертації складає 353 сторінки, включаючи 96 рисунків та 5 таблиць.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтована актуальність теми, дана загальна характеристика робота, подано короткий огляд літератури та висвітлено розміщення матеріалу по розділах.
У першому розділ! виведені динамічні ¡рівняння стану, які описують еволюцію довгих Нелінійних хвигь в структуроваиому середовищі. При розгляді великого класу задач механіки структурованих середовищ використовується модель одношвидкістного континуума у вигляді рівнянь балансу маси, імпульсу (моменту імпульсу) та енергії. Для того, щоб така система була замкнутою, необхідно встановити функціональну залежність між N термодинамічними величинами, які характеризують стан системи. Однак, як свідчать експерименти по динамічному навантаженню гетерогенних матеріалів, при фіксованих значеннях N -1 термодинамічних параметрів, в таких системах все ще можливі
зміни внутрішнього стану, який визначається не миттєвими значеннями параметрів' а всією передісторією системи. Математично це твердженій формулюється так: визначальні рівняння мають вигляд інтегро-диференціальних співвідношень
_ / +00
/”= / <1Ґ ¡Ктг(І,І';х,х')Хг(Ґух’)<іс’, (1)
—00 —00
що зв'язують узагальнені термодинамічні потоки Зт та сили Xі. Інтегральне ядро переносу Ктг(1,Ґ',х,х'), в принципі, може бути визначене після розв'язку динамічної задачі про рух частинок середовища, однак такі розрахунки надзвичайно складні і в більшості ситуацій визначальні рівняння (1) залишаються чисто формальними.
Опис нелокальних ефектів за допомогою достатньо простих співвідношень стає можливим, якщо обмежитися процесами, що характеризуються невеликими відхиленнями від стану повної термодинамічної рівноваги. Тоді відхилення від рівноваги можна зв'язати з певними "внутрішніми'' змінними А.,, і = що
формально задовольняють рівнянням хімічної кінетики:
= (2)
Змінні разом із сукупністю "зовнішніх" термодинамічних
параметрів (тиском р, температурою Т, тощо) повністю визначають стан системи поблизу рівноваги. При визначенні властивостей невідомих функцій ЛДр,7’Д*)та феноменологічних коефіцієнтів оіу, використовується другий закон термодинаміки у формі Гіббса
ТЖ = сіЕ + рсіУ + ^ А.Ж, (3)
м
та принцип взаємності Онзагера, згідно з яким термодинамічні потоки та сини зв'язані між собою лінійними фунхційними співвідношеннями. Утотожнення їй! І сії з термодинамічними потоками, а функцій А] з узагальненими термодинамічними силами дає змогу отримати обмеження на функції споріднениості релаксаційних процесів, що випливають з другого закону термодинаміки.
В нестаціонарних інтенсивних процесах потоки J' будуть зв'язані з термодинамічними силами X' співвідношеннями вигляду
Іг)(и‘ „і 0Хк
V —ц- + ^ = «а Xі + Ил (4)
Де т\г\ ал, - феноменологічні коефіцієнти. Співвідношення (2)-(4) використовуються для виводу динамічних рівнянь стану, що враховують вплив релаксаційних процесів на зміну основних термодинамічних параметрів середовища. ..В п. 1.2 розглядається один релаксаційний процес. Розкладаючи функції У = р~1 =у(р,Т,к) та А = Л(р,Т,к) в ряд біля рівноваги, одержимо, після виключення параметрів X, 7', таке динамічне рівняння стану:
ЛР-хії^с^рі—-Ц-ІР-Ро)-Ь{р+СтМр)г/р-р]}, (5)
УРо /
• .
де = Ж = 3 + и‘е()/¿&1, г"1 ~-а(Ал\yQjy - час релаксації,
X = СІ<2Тр /(2П., Ягу = \ + т/(атху), х,у-пара спряжених термодинамічних параметрів, Ь = хп,х(г), а, т - скалярні аналоги коефіцієнтів аік, СТ0, СГоо- рівноважна та заморожена
швидкості звуку, відповідно, р0, р0- рівноважні значення параметрів. Зовні аналогічне рівняння одержано в п. 1.3 для гетерогенного середовища з двома релаксуючими компонентами онзагерівського типу:
йР-&Р=кр-Д-а|^+|2(р)2/р-р|, (6)
дер = р/р0, р = (р-рв)І{р0СГа) + к,
С2ТО , ті'г2СГ Xі ТУ
к =---------, /» = -■-■ —--, <т=~— = —----,
СУ®(2-а) т о(2-а) т’ рТ х рт
а = йт0Г-/—+ -^-'], * = Г—г— + ~Г~
ГУ X ТУ' \Х рУ X рУ
т0- характерний час навантаження, . г£, = (< = 1,2)-
характерні часи релаксаційних "роцесів. В п. 1.4 подібні рівняння одержуються безпосередньо з інтегрального представлення (1). Розділ 1 завершується п.1.5, в якому виведено динамічне рівняння стану для пружно-в'язкого рслаксугочого середовища з урахуванням недіагональносгі тензорів напружень та деформацій.
У другому розділі викладено результати теорегико-ірупового аналізу гідродинамічної системи рівнянь, що описує адіабатичні процеси в релаксуючому середовищі: '
(7)
сїй' (р-— + .1* II р л<
а дх‘
±+м 54-N. =е
ж дх1 <*
де функції М, N зв'язані з внутрішньою енергією Я(р, р, X) та кінетикою 0‘(р, р,Х)=аі)А ^(р, р. А) співвідношеннями
ЛГ = (/>-рЧ)/(рЕД Ы = -Е)}Ок]Ёр (9)
(нижній індекс означає диференціювання по відповідній змінній). Теоретико-груїюві методи дозволяють зробити важливі висновки щодо моделі, не вимагаючи точного знання окремих її елементів. У випадку системи (8) це стосується функцій Б та б*, які, взагалі кажучи, невідомі Інфінітезимальний оператор симетрії для системи (8) шукаємо у такому вигляді:
Л- = $“А+п'А*т£+е!_+у*3 а = 0,..и, 7,* = 1„..л. (10) дха щ ар др дКк
(ми утотожнюсмо змінну х0 з часом). Система (8) інваріантна відносно однопараметричної груші перетворень, яка породжується оператором (10), за умови, що
*00 І =0, (11)
де Х(Р) - дія першого продовження оператора X на рівняння системи
(8). Стандартна процедура розщеплення дозволяє розділити лінійну перевизначену систему (її) на дві підсистеми, одна з яких використовується для визначення функцій т, 0:
= 02 +Ы+Ь,
£'=(#:'+/')/ + сх(-(-а'*'
ц' = дх' +/' +и'{с-Ь^0)+а‘{и>, (12)
т = р[т-(2 + п)й/]+/(0. .
Є = р(а-п&),
де с, й, Ь, И, Iі, т - довільні константи, = -о/,а =2(Л-с) + т, /(/) - довільна функція. З урахуванням формули (12), систему, шо
містить невідомі функції у* =уі(*;р,рД), М, N £?' (класифікуючу підсистему) можиа представити в такому вигляді:
'А/' /
N г
ч
ьм
*о + (т,-^)ЛГ+пвА/
(13)
Зауважимо, що параметри А, Iі, д‘, а\, не входять до системи (13). Цим параметрам відповідає сукупність інфінітезимальних операторів
Р„1 р=А
0 д( ’ 1 дх,
Ль =хаРь-хьРа+иа
б.=(— + А. / = і „
' дх, ди, ’
(14)
иР
ди„
а,6 =1,2,...«,
які замінюють визначальні рівняння в тотожність при будь-яких функціях М, N та £?. Таким чином, справедливе наступне твердження:
Теорема 1. Базовою групою інваріантності системи (8) є
[л(л + 3)+2]/2 - параметрична група Гал ідея О(я), яса породжується операторами (14).
З формули (12) випливає, що симетрія системи (8) може бути розширена, принаймні, до групи Шрьодінгера, яка включає, окрім (14), оператори масштабних та проективних перетворень
а- д , д . д л д д,д
Д =1---------и —- + 2р—, О, -х,—+и,--------------------------¿р—,
1 5/ ди' ф 2 ' дх, ‘Єй, Удр’
'і. }
5р др .
Дія системи з одним релаксаційним процесом умови максимального розширення симетрії дає наступне твердження:
Теорема 2. Якщо М = ур, N ~ />°^(<о), б=-ЛГ/р, де ш = ¿р/р'', у = (я + 2)/я, <т=(и+4)/(я+2), ч'О - довільна функція, тоді система (8) допускає нескіиченповиміріїу групу.
У тому випадку, коли внутрішня енергія системи лінійно залежить від змінної X, а <2 є функцією р, р, перші я *2 рівняння системи (8) утворюють незалежну підсистему
= /Д + хіОі - (я + 2)/£>}.
для якої справедливий такий результат:
Теорема 3. При довільних функціях М, N система (16) допускає алгебру Галілся (14). Симетрія системи максимально розширюється, якщо М = \р, а N - /?>(ю). В тому випадку, якщо 4/0* довільна функція, система (16), окрім алгебри (14), допускає оператори К,
А » у . А Л Л /ч А
Д + Д; якщо і/г{а>) = Леи*- оператори К, А +аД, Д +оД, де 0=л(1 + 2цу)/[2(ц-1/V)], ¿)=ицу/(ц-1/V); врешті, при V 0 -оператори К, Ц, Д, Д.
Наведені вище симетрії систем (8) та (16) є максимальними. В п. 2.3 подані розв'язки системи (ІЗ), в якій відсутня проективна частина, пов'язана з генератором К. Такс спрощення дозволяє розв’язати задачу групової класифікації, тобто знайте функції Е, £?, яким відповідакш. нетривіальні розширення базової групи інваріантності. Отриманий результат представлений в роботі у вигляді таблиці, в якій перераховано 15 внпагіків розширення, причому в багатьох з инх вирази для Е, £> містять довільні функції.
У третьому розділі результати тєоретико-групового аналізу гідродинамічних моделей релаксуючих середовищ застосовуються до вивчення умов виникнення автохвильових розв'язків. Як відомо, симетрію того чи іншого рівняння в частининх похідних можна використати для виділення класів розв’язків, які залежать від меншої кількості змінних. Метод редукції традиційно використовується для пошуків точних розв'язків. Спід, однак, зауважити, що існує велика кількість когерентних рухів суцільних середовищ, які не описуються точними розв'язками. Це, зокрема, періодичні та квазіперіодичні розв'язки, образами яких служать, відповідно, граничні цикли та тори, солітонні розв'язки, образами яких служать двоякоасимлготичні траєкторії, а також прздтурбулектн і розв’язки, образами яких служать дивні атрактори. З цієї причини становить інтерес проведення якісних досліджень фактор-систем. ^
Для функцій Е, 0 що виражаються згідно із формулою
Я=р/[р(о-1)]+/і(Х), Q^ag(kЩp, р) (17)
в розділі 3 наведені всі фактор-сиетеми рангу 1, які "успадковують" симетрію вихідної системи і можуть бути зведені до динамічних систем
другого і третього порядку. У випадку двовимірних динамічних систем, існує можливість проведення вичерпних досліджень в рамках якісно! теорії За умови, що 3=ру , £> = жр(/>/р)/~‘, Л(А.) = ^(А,„-X), підстановка анзаца »' • •
м = а>+Ща>), р = р0ехр5(ю), р=і(щ)ехрБ(в>), а=х/(.
в рівняння (16) дає одну квадратуру та динамічну систему т^=ЩЩГ-Ю+2-^(2)+(а-Щ]^иу, іга2=дімЧг) - (о - і)г]+(і - а)г/,
де Д = ^ - IV2, Ці^} = aq(<з - 1)<р(2’). Підсумки якісних досліджень
системи (18) підводить наступне твердження :
Теорема 4. Якщо в певному околі точки 2, > 0 функцію кінетики можна представши у вигляді ряду \у(2) = (о-\)ІХ +4(2-2,)+... і для параметрів ст виконуються нерівиості £>(се2 +1) /(ст-1) >0, тоді в околі критичного значення
де ЛеС, - дійсна частіша першого індексу Флоке канонічної форми системи (18), існує відкритий інтервал І є Л1 такий, що при у єі система має стійкі періодичні розв'язки.
В розділі З розглядаються також системи другого порядку, отримані за допомогою анзаца
и~№(<я)+ О, р = ррехр[а/ + 5(га)|, р = р2(о), ш = х-£>/, (19)
який описує розв'язки типу біжучої хвилі. Формула (19) побудована на інваріантах оператора 1\,спже вона факторнзує систему з відповідною симетрією. Обмеження, які випливають з вимог симетрії відносно /)3 та диференціальних наслідків другого закону термодинаміки дозволяють зредукувати довільність »¡виборі функцій стану. Підставляючи (17) в формулу (3) і порівнюючи між собою змішані похідні = 5ЇЦ, одержимо таке представлення для функції кінетики:
При й=С^ехр(П/С3) формула (20) описує кінетику арреніусівського тилу. Якщо одночасно накласти вимогу інваріантності відносно оператора тоді, у випадку лінійної залежності від X, одержимо представлення
Система (16) має сім’ю розв'язків типу біжучої хвилі, якщо 3=ур, а функції стану виражаються за формулою (21). В цьому випадку, використовуючи анзац (19), одержимо одну квадратуру та динамічну систему
= ЩуіУ+аг - ч/(2)] а Я/,
1ГД2 = Д\К2)+(1-о)2/,
де Д = №'2г-аг, ц/(г)=$(г-к), £=-ад2кч(о-і). Множину
розв'язків типу біжучої хвилі має також система
яка одержується з (16) при малих відхиленнях від рівноваги. Підставляючи анзац (19) в (23), одержимо динамічну систему
И'МЇ=ЩтгІУ+(і + та)г-к]тІГ/, .
1КЛ^=(у1Г+о2)Д + (2-»г2)/, (24)
де Д = т^2 - х)
Спільною рисою систем (22), (24) є наявність особливої точки
IV = -/>, 2 = к в фізичній області значень параметрів, при додатковій
умові а-уОІк. Точці Д-Д/ґ) відповідає єдиний інваріантний стаціонарний розв’язок, що належить до множини (19):
Сформулюємо для систем (22), (24) умови виникнення автоколнвних розв'язків.
(21)
(23)
и = 0, р=р0ехр(^с/£>), р = кр.
(25)
Теорема 5. Якщо а < 0 і викопуються нерівності ^ / а > ст / (о -1) > 1,. тоді існує відкритий інтервал У єй1, замикання якого містить критичне
(22) має стійкі періодичні розв'язки.
Теорема б. Якщо а<0 і виконуються нерівності х>к/(і+ат)>к,
має стійкі періодичні розв'язки. - .
Між результатами, сформульованими в теоремах 5 та 6, існує прямий зв'язок, який можна розкрити, використовуючи представлення (21). Підставляючи вирази для Б і А в другий закон термодинаміки, одержимо, у випадку адіабатичного процесу, визначальні рівняння
Використовуючи (26), можна виразити в явному вигляді параметри, що фігурують в рівняннях (23) та (24): х~1 = С* = % = <лс, = к. Звідси
одержуємо
Наслідок. Умови виникнення граничних циклів в системах (22), (24) повністю співпадають. •
Чисельні експерименти показують, що співпадає також картина зміни режимів в околі точки а(- О, к}. Якісна ідентичність розв'язків точної
та наближеної моделі свідчить про адекватність опису системою (23) слабонерівноважних процесів.
В п. 3.7 викладені результати чисельного моделювання утворення хвильових структур. Розглядалась система
значення параметру =^к(£ + а<т)/£, такий, що при DєJ система
тоді існує відкритий інтервал ./є/?1, замикання якого містить критичне
значення параметру йсг =уІк-%ах, такий, що при DєJ система (24)
р-ра + слс У0-'1 (V-У0) + д(сг- 1)К0-11 (X-X „ ) = 0,
(26)
д и д р д V д и
яка одержується з (23) переходом до змінних Лагранжа
та заміною К = р . Чисельні експерименти показують, що локалізовані
хвильові пакети з плином часу прямують до автохвильових інваріантних розв'язків, асоційованих з відповідними факгор-системами. В експериментах використовувався достатньо широкий клас збурень, які задавались на фоні інваріантного стаціонарного розв'язку
Виявилось, що параметри збурення можна підібрати таким чином, що хвильовий пакет, який прямує "вниз”, тобто в напрямку зменшення щільності, з плином часу буде наближатись до інваріантного розв'язку, який породжується петлею гомоклініки. •
Рис. 1 Збурення неоднорідного стаціонарного розв'язку (28) (а) та графіки часової залежності відстані між породженими ними хвильовими пакетами та гомо клінічним інваріантним розв'язком (б). Часові залежності відстані та початкові збурення, які породжують відповідні хвильові пакети, позначені однотипним маркуванням. На правому трафіку подані значення повної енергії відповідних збурень
Збіжність слабо залежить від форми та розмірів початкового збурення
і визначається, головним чином, його повною енергією, яка задається співвідношенням
рігається тоді, коли значення Еш близьке до 45. На рис. 1 представлені початкові збурення та часові залежності мінімальної відстані між
и
(28)
Р
0
4
Для х = 1-5, т = 0.07, к = 10, д0 = 120, у ~ -0.037 збіжність спосте-
Рис. 2 Збурення стаціонарного інваріантного розв'язку системи (27) (ліворуч) та породжениЯ ним хвильовий пакет (праворуч) на фоні гомоклінічного розв'язку (штрихові лінії) '
хвильовими пакетами, породженими збуреннями та інваріантним розв'язком, асоційованим з петлею гомохлініки. На рис. 2 представлена часова еволюція хвильового пакету породженого збуренням з Еш - 44.8.
Рис. З Чисельний розв'язок задачі про поршень, що збуджується в імпульсному режимі. Розв'язки поблизу джерела збурень (а) та иа значних відстаням від нього (б) зображені на фоні інваріантного періодичного розв'язку (штрихові лінії)
Розглядалося також питання про збіжність розв’язків початкових (крайових) задач до інваріантних автохвильових режимів! Вихід на такі режими не спостерігається в тих рипадках, коли за початкову (крайову) умову береться одне локалізоване збуренім, проте збіжність має місце, наприклад, в задачі про поршень, рух якого періодично ініціюється в імпульсному режимі. Тут також ефективно працює енергешчяий критерій, але, окрім відповідного підбору енергії імпульсу, для досяг-иення збіжності необхідно збуджувати рух поршня з певного затримкою, тривалість якої визначається параметрами системи (27) та початкової неоднорідності (28). При поданих вище значеннях параметрів збіжність спостерігається, якщо енергія повністю сформованого хвильового
збурення близька до 17, а час затримки імпульсу вагається біля 22. На рнс. З представлені типові результати чисельного моделювання: інваріантний періодичний розв'язок "огинає” цуг хвильових збурень біля джерела збурень і майже спінпадає з ним на великих відстанях.
В кінці підрозділу 3.3 показано, за рахунок чого асимптотичні властивості інваріантних розв'язків можуть знайти використання в діагностиці неоднорідних релаксуючих середовищ.
У четвертому розділі аналізуються інваріантні розв'язки системи гідродинамічних рівнянь з ДРС, які враховують ефек.ті часової та просторової нелокальності. В п. 4.1-4.4 розглядається система рівнянь балансу маси та імпульсу, яку замикає рівняння стану, узагальнююче рівняння (5):
ііи д р ^ р——н—= З,
</ ( д х
8 р 8( р и)
— + -ІІ—-=0, (29)
дідх к '
<ІГ
Підстановка аизацу (19) в формулу (29) дає систему, циклічну відносно змінної Я((о). Функції и(ш), ¿(©), та Ж(ю) = </{//</ ю задовольняють автономній динамічній системі
ии = іт,
иі^уи+ог+щг-и2)*!', (ЗО)
їм = (А - Еигу' + ЩХ-М2- ІУ(А - Еи2))},
де М = 1- Ба, С(2) = 2~В{7.). Для вивчення умов виникнення автохвтльових розв'язків проводився локальний нелінійний аналіз системи (ЗО) в околі особливої точки Л({7(,7|,^), координати якої визначаються співвідношеннями Щ - С(2,) = 0, £/, = -2,а/у. Зарод-
ження структур можна відссежнти аналітичними засобами в тих випадках, коли матриця лінеаризації системи (30) вироджена. Розглядалось виродження корозмірності 1, при якому матриця лінеризації має оДші від'ємний і пару чисто уявних коренів, та виродження корозмірності 2, типу (0, ±/П). В останньому випадку системі можна поставити у
відповідність канонічну форму Пуанкаре (КФП), аналіз якої дозволяє судити про умови виникнення автохвшіьових режимів .
Побудова КФП розділяється на декілька етапів. Спочатку шукається точна заміна змінних (С/, Z ¡V) -»(.г,, хг, лг3), яка приводить лінійну частину системи (ЗО) до квазідіагональної форми
=-П*2 + '£Аі)хіх/ + '^tAvtx,xJxk+...4
* /sys*
X1 = П*! + L V<* і + ZB«k-x<xir* ■+........ <31)
ISjSk
X3 - Z CiJXlXJ + X Ci* +•-•••
isy «sys*
Далі застосовується асимптотична заміна змінних х, = у, + '2^Р}кУ/Ук-‘ jsk
Коефіцієнта Pjk підбираються таким чином, що всі нерезонансні
мономи другого ступеня зникають і система, з точністю до о(\у\2), записуєтеся у вигляді
у, = -Пу2 + у,(М,у,'+ $,у2),
Уг = ПУ\+Уз($гух + Мгу2)у (32)
Уз ^^(у* +y22) + N2yj.
Після здійснення переходу до полярних координат r = ~\у\ +yl, 0 = arctg(y2 / ух) та усереднення за "швидкою" змінною 0, одержується КФП
г'-а\гуг, Уг=Ьхгг+Ь2у\.
Для того, щоб оцінній тип стійкості режимів, які виникають в КФП після усунення виродження, необхідно включити до розгляду мономи третього ступеня. При наявності виродження типу (0, ±іП), можна* застосовуючи асимптотичну заміну змінних та масштабні перетворення, "вбити" всі мономи. третього ступеня, крім одного. З ТОЧНІСТЮ ДО Ц|г|3 КФП представляється у вигляді
r’ = atry, y’^b^+by + f у\
. ж * 1 «ми 1 - і
Ш- І ■ 7 38Й
щ м- .... і
\ І 0а
Рис. 4 Перетини Пуанкаре системи (ЗО) в площині (ог,х), отримані: (а) при збільшенні параметру £)* та (б) - при зменшенні цього параметру
В роботі отримані залежності коефіцієнтів системи (33) від коефіцієнтів квазідіагонального представлення (31), до якого зводиться будь-яка система третього порядку в околі точки, що мас виродження типу (0, ± іГ2):
а, =-
А,у + В
'23
Ь,
_ С[ і + С
22
¿2 - С33.
2 2
Одержано також вираз для /. При = 0 він має вигляд
/ = С:
333 '
зз^із
П
В загальному випадку формула сильно ускладнюється, тому ми її тут не приводимо. Процедура побудови КФП була спочатку виконана для найпростішого випадку А = 1, Е = 0, для якого були знайдені умови виникнення періодичних, квазіперіодичних та солітонішх розв'язків. Крім того, що такі дослідження мають самостійний інтерес, вони легко узагальнюються на інші випадки. Розглянемо результати, отримані для значень А*=Е = Р<0, г = 1, % = \, 0(2)= 2-к, які відповідають ДРС (5). Умови виродження (ОДіО) для цього випадку формулюються так:
\-KiD2 ^-аКя-ар^-І)1), -каІК-0, ~±іог-а2=П* >0, М = \-,ва.
■ к
Умови (34) задовольняються при к = 0. КФП при цьому має вигляд
г' ~ ^¡г +а гу+о(\г\\\$), у’=М2У+Ьігг+ о(\г\\М3), .
а-И/К, Ьх=(Пг+а2)І(Ора1), де Ц), ц2 - сім'я малих збурень.
(34)
(35)
« 1 Г “ 1 ' \
“Ч N к * зл, ... ...
Ч, \ ч —- !
1
і — і
! ! І в*
Рис. 5 Біфуркацінні діаграми системи (36), одержані при о = а = т = 1, х = 3, п=-1, т\= І та різних значеннях к
Дослідження канонічної форми служили відправною точкою для чисельного моделювання системи (ЗО), яке проводилося в околі значень , £>„ = ^1+Ра, к = 0 при фіксованих параметрах (і, а. Розв'язки системи (ЗО) в околі особливої точки А(-0СГ,0,0) характеризуються вс/иікою різноманітністю. Тут спостерігаються періодичні та мультаперіодичні режими, а також спіральні атракгорн, які існують в малому околі стаціонарної точки. При збільшенні к періодична траєкторія, яка знаходиться всередині спірального атрактора, починає проявляти біфуркацінні властивості. Аналіз авто коливних рухів в системі (ЗО) проводизся із залученням техніки біфуркаційних діаграм. Опишемо сценарій розвитку автоколивань при р = -0.8, а = -1.25, к = 0.05. При перетині параметром
£>2 правої гілки кривої нейтральної стійкості
^(ар+І-^Ха + Р2)
Ог(ар-1)+І
в точці £> = 1.927178, к = 0.05 м'яко народжується стійкий граничний
цикл. Амплітуда його зростає із збільшенням О2, однак при й2 = 3.095 цикл втрачає стійкість, а в його околі з’являється стійкий 2Т*цикл. Подальше зростання параметру О2 супроводжується серією біфуркацій подвоєння періоду 2Т -* 4Т ->..2г Т та виникненням дивного атрактора.
Дослідження зони хаотичних коливань показали, що хаос неоднорідний по своїй структурі - в ньому спостерігаються вікна періоду
Рис. 6 Біфуркацііші діаграми системи (36), отримані при а = 1.5, а = 0.9,
X = 8 та різних значеннях к
5-Т, 6-Т, та 3 • 7'. Характерна особливість системи (30) проявляється в тому, що вікно періоду 3 • Т має гістерезисний характер (рис 4) - при . одних і тих самих значеннях параметрів в системі існують два типи ав-токолиьань - періодичне, з періодом 3 • 2" Т, та хаотичне.
В п. 4.5 представлені результати досліджень системи
uu=uw,
U2 = yU + aZ + W{Z-UJ) З F,
UW = [<т(1 - U2) Г1 {U2[rF + xW(x-Z) + Z - к]+ (36)
+ а(С/[у (а + fV)~ o.UW\ - аг)(а + W) +
+ и(а + IV)[ п(а + IV) + U(y- UW)])},
яка одержується підстановкою анзаца (19) в гідродинамічну систему рівнянь балансу маси та імпульсу, замкнуту динамічним рівнянням стану, що враховує просторову нелокальнісгь та релаксаційні ефекти:
Уявлення про особливості зміни автоколивних розв'язків системи (36) дають дві серії біфуркадійних діаграм, представлені на рис. 5,6. Перша з цих серій (рис. 5), одержана при о = а = т = 1, х = З, п - -1, ц = 1 та
Рис, 7 Біфуркаціґша діаграма системи (36) в параметричному просторі (¿>2, к): 1 - стійкий фокус; 2-ІГ- цикл; 3 - тори; 4-2"Т- цикли; 5 - хаос; 6 - втрата стійкості
значеннях к, що лежать в інтервалі 3<кі8, ілюструє таку важливу характеристику системи (36) як самоподібність, що проявляється в повторю вальносгі біфуркаційних властивостей на різних масштабах. Друга серія, отримана при о = 1і, сс = 0.9, т = 1, х. = 8,л--1, т| = І та значно більших к, відзначається наявністю адитивного каскаду в ^ вікнах періодичності та "жорстким" переходом в хаотичний режим з періоду 1Т (рис. 6). При о = 1.5,а = 0.9,т=1,х = 8,и = 1,гі = х, крім мультиперіодичних. та хаотичних, в системі (36) з'являються квазіперіодичні розв'язки, розташовані а площині параметрів (Ог, к) біля вісі абсцис (рис. 7). За цих значень параметрів в системі існують
Рис. 8 Фазовий портрет двояко асимптотичної траєкторії, (а), та зображення однієї з координат як функції со, (б)
двояхо асимптотичні траєкторії шильнігавського типу (рис. 8), які с образами локалізованих збурень вихідної системи.
У п'ятому розділі розглядаються деякі субмоделі гідродинамічної моделі суцільного середовища. Спрощені постановки дозволяють, застосовуючи теоретико-групові методи, отримати сім’ї точних розв'язків. В тих випадках, коли точні розв'язки одержати не вдасться, відповідні фактор-системи вивчаються якісними методами.
Досліджується модельна система
j+mp)
ар | д(р»,.)
Зі д хІ
яка одержується підстановкою в рівняння балансу імпульсу залежності /з = F(p> Г(/)) = /•’(/.р). Вивчення симетрійішх властивостей системи (38) показало, що базовою групою інваріантності двдиеїє и(и + 3)/2-
і,а,Ь~\,...п (див. формулу (14)). Симетрія розширюється при певних конкретних значеннях функції F{t, р). В роботі знайдено 20 випадків розширення симетрії, для яких застосування аналітичних та якісних методів виявилось найбільш ефективним. Розглядалось також питання інваріантного продовження інваріантних ударнохвильових розв'язків в стаціонарну область, розташовану перед фронтом ударної хвилі. Для багатьох фактор-систем розв'язки вдається знайти в функцінному вигляді, або у вигляді квадратур. Серед розв'язків присутні такі, що залежать від довільних функцій.
Теоретико-групові властивості одномірних рівнянь математичної фізики дуже часто відрізняються від властивостей своїх багатомірних аналогів. Причиною цього є нелінійне збільшення кількості визначальних рівнянь, які одержуються при застосуванні алгорігшу пошуків допустимої алгебри Лі, із збільшенням розмірності простору незалежних змінних. Внаслідок цього простори розв'язків одномірних систем мають інколи нескінчену розмірність. В роботі показано, що гідродинамічна система (38) замкнута тетівським рівнянням стану допускає нескінчену групу.
Теорема 7. Система (38) з рівнянням стану
мірна неперервна група, яка породжується операторами Р„ G(, J^,
т + 2
(39)
допускає, у випадку однієї просторової змінної, нескінченновішірну алгебру, яка, окрім галілеєвських операторів Р0, і\, 6, включає такі генератори однопараметричних підгруп:
д [У-г/зу(р)|, д ді I 2 ) дх~
от+1 2 2 рЧЧр) д
—ы + --------—-----— —
2(т + 3)М +(т+1Х»я + 3) ди
2(т+3) (т+1Х»я
от+1 г 2 р
------—и + ---------
—----к р и-—-
др
д
де Т(р) = Рр", (7, Н - довільні розв'язки системи
С,р-иНр + Ф(р)^=0, С,+рНр- «Я,=0.
Той факт, що система (38) донускас нескіичешювнмірну групу дозволяє ставити питання про її зведення до деякої лінійної системи. Виявляється, що нелокальна лінеаризація можлива при довільному рівнянні стану, яке не залежить від /. Більш точно, справедлива Теорема 8. Система рівнянь
нелокальною лінеаризацією зводиться до лінійного рівняння другого порядку відносно функції 2(х,у):
де Ч/(ш)=<а',іДЗ>(о>)/і/й>.
Цей результат використовується для того, щоб одержати багато-параметричні сім'ї розв'язків вихідної системи та сформулювати закон нелінійної суперпозиції. Звернемо увагу на те, що метод нелокально! лінеаризації дозволяє одержати загальний розв'язок системи (40), якщо Ф(р) = А + В/р. Рівняішя стану такого вигляду, запропоноване
С.АЛаплигшіш в минулому сторіччі, знайшло останнім часом широке застосування в теорії нелінійних середовищ "квазігазового" типу.
Для трьох типів симетрії (плоскої, циліндричної та сферичної) одиовимірму гідродинамічну систему, замкнуту рівнянням стану (39) можна представити так: .
(40)
у = 0,1,2. (41)
В роботі дається повний аналіз динамічної системи
<о {и - 6)0+шрігк+и(и -1)+орд"*1 =0,
шШ + <й({/-3)Л + Я[(<г + у+і)£/-і] = 0, (42)
яка описує автомодельні розв'язки системи (41) вигляду
и = 7І/(о), Р=(т) Л(ш), ю=4> ввЛ-
/ V// /® да + 1
В якісних дослідженнях визначено області існування монотонних та осцшооючих розв'язків, доведено існування інваріантних ударнохвильовнх режимів та локалізованих розв’язків. Показано також, що введення в рівняння балансу імпульсу масової сили 3-ГхЛг призводить, за певних умов, до виникнення розв'язків автохвильового типу. Умови виникнення біфуркації Хопфа в околі точки
и.,і,
У
при я. > 1 мають вигляд нерівностей
аР
О с ° + 1 /.пч
-<5<------, (43)
У 7+2
де 7 = а + V +1. У випадку, коли за біфуркаційшій параметр обирається
г..г . г_°Р°~№и°-і)+^о(у0-іХг+2)
Г~Г„ + ^ г+2 +е,
чисельшій аналіз дає таку послідовність зміни режимів: при £ < 0 особлива точка А{ий,На) є нестійким фокусом; при малих додатних значеннях с в системі існує нестійкий цикл, який руйнується внаслідок злиггя стійкої та нестійкої сепаратрис сідла. При подальшому збільшенні є особлива точка стає стійким фокусом. Осцшиоючий розв’язок, який відповідає стійкому фокусові, може, в принципі, проявлятись в системі (41), проте, через жорсткі- обмежеїшя на параметри, що задаються співвідношеннями (43), та малість амплітуда коливань, яка пов'язана з тими ж нерівностями, структури, асоційовані з ним, не одержують розвитку. '
ВИСНОВКИ
]В дисертаційній роботі побудовані континуальні моделі, які описують динаміку ієрархічних середовищ в довгохвильовому наближенні, зокрема гідродинамічна модель . середовища з релаксаційними процесами, які визначаються співвідношеннями онзагерівського типу; гідродинамічна модель середовища з одним релаксаційним процесом, який визначається узагальненим співвідношенням між термодинамічними потоками та силами; тензорна модель середовища з одним релаксаційним процесом, що визначається співвідношенням онзагерівського типу. Ці моделі відображають такі характерні особливості динамічного навантаження гетерогенних середовищ, як зсув фаз між полями напружень та деформацій, дисперсія швидкості звуку та гістерезис.
Знайдена максимальна група інваріантності гідродинамічної моделі ієрархічного середовища з онзагерівським механізмом релаксаційних процесів в елементах структури. Розв’язана задача трупової класифікації відносно невідомих функцій стану та кінетики.
Здійснено теоретико-групову редукцію для гідродинамічної моделі з . одним релаксаційним процесом онзагерівського -пшу, одержано
о динамічні системи, які описують сім’ї розв'язків вихідної моделі з наперед заданою симетрією. Отримано умови та обмеження па фізичні параметри за яких існують інваріантні автохвидьсві режими. Проведено чисельне моделювання еволюції інваріантних розв'язків, показано, що авгохвильові інваріантні розв'язки та граничні до них солітоноподібні розв'язки служать проміжними асимптотиками для широкого класу початково-крайових задач. Встановлено, що повна енергія хвильового збурення є критерієм збіжності. Здійснено чисельні експерименти по утворенню когерентних структур в задачі про поршень та зіткнення хвильових фрошів. ’
Сформульовано умови вншпшсішя інваріантних хвильових структур для узагальнених иелокалышх моделей ієрархічного середовища. Складено параметричні портрети та визначено області значень параметрів, що відповідають мультиперіодичіпш, квазіперіодичним та хаотичним режимам. Виявлено основні відмінності розв'язків динамічних систем, пов’язані з проявами просторової та часової нелокальностей. Показано, що у випадку пасової иелокальності хаотизація авто хвильових розв’язків відбувається за відомим сценарієм подвоєння періоду, а характерною відмінністю дивного атрактора є наявність гістерезиса у вікні періоду ЗГ, в якому співіснують періодичні та хаотичні режими. Дивні атрактори, які асоціюються з ефектами просторової нелокальпості, мають більш багату структуру. Характерною
відмінністю цих об'єктів є самоподібність - сценарій хаотизації при певних значеннях параметрів має тенденцію до повторювальності на різних масштабах. При інших значеннях параметрів спостерігається "жорсткіш" режим хаотизації з періоду 17' та наявність в хаотичній області адитивного каскаду. В обох типах нелокальних моделей зустрічаються спіральні атрактори, які породжують складні періодичні та хаотичні режими. Крім того, серед автохвильових розв'язків асоційованих з просторовою нелокальністю с квазіперіодичні режими та двояко асимптотичні траєкторії шяльніківського типу, яким відповідають багатогорбі солітоноподібні збуреній. Зазначимо, що нєкласичні багатогорбі солітони утворюються при сильних землетрусах в літосфері, що має блоково-ієрархічну структуру.
Проведено теорегико-групові дослідження моделей без нелокальності. Розв'язано задачу групової класифікації для гомотермічної моделі, одержано умови існування ударнохвильових розв'язків та знайдено деякі точні розв'язки у нелінійному випадку. Показано, що гідродинамічна модель з тетівським рівнянням стану має нескіїгчелу симетрію. Знайдено для неї нслокальну лінеаризацію, встановлено нелінійний аналог принципу суперпозиції та вказано загальний розв'язок для чаплигінського рівняння стану.
Складені фазові портрети автомодельних розв'язків для тетівського рівняння стану у випадку плоскої, циліндричної та сферичної симетрії. Показано, що в моделі без нелокальності у цьому класі існують лише нестійкі автохвильові розв’язки.
Таким чином, в роботі запропоновані континуальні моделі, що визначають динаміку ієрархічного середовища в довгохвильовому наближенні. При побудові цих моделей використовувались фундаментальні принципи - симетрія, феноменологічна термодинаміка незворотних процесів та певні загальні положення щодо перебігу релаксаційних процесів в елементах структури, тому рівняння мають універсальний характер і можуть використовуватись для опису швидкоплинних процесів в структурованих середовищах в тих
і ятуаціях, коли є виправданим застосування одношвидкісної гідродинамічної моделі. Аналіз сім'ї розв'язків тішу біжучої хвилі в рамках ієрархії вкладених моделей тетівська с ляхівська с з просторовою (часовою) нелокальністю дозволяє простежити процес ускладнення когерентних режимів в міру включення до опису нових проявів нелокальності, пов'язаної з наявністю внутрішньої структури.
Список опублікованих автором праць за темою дисертації
1. Владимиров В.А., Тычинин В.А. Нелокальная линеаризация одной системы гидродинамических уравнений, допускающей бесконечномерную группу инвариантности // Краевые задачи математической физики. - Киев: Наук, думка. -1990. - С. 59-64.
2. Владимиров В.А., Даниленко В.А., Королевич В.Ю. Качественный анализ и динамика волновых структур в нелинейных нелокальных моделях природных сред // Доповіді АН України. - 1992. - № 1. С. 89-93.
3. Владимиров В.А. Качественные исследования системы уравнешш
гидродинамики реагирующих и релаксирующих сред // Моделирование динамики деформируемых сред.- Киев: Наук, думка. -1993.-С. 18-25. *
4. Danylenko V.A., Sorokina V.V., Vladimirov V.A. On the governing equations in relaxing media models and self-similar quasiperiodic solutions // Joum. of Physics A : Math&Gen.- 1993. - V. 26, № 9. - P. 7125-7135.
5. Christenyuk V.O., Danylenko V.A. and Vladimirov V.A. On the
modelling of selforganization effects in relaxing medium //Доповіді HAH України. -1994, № 8, - С. 39-42. '■
e6. Danylenko V.A., Vladimirov V.A. Qualitative and numerical study of the non-equilibrium high-rate processes in relaxing media // Control and Cybernetics. - 1996. - V. 25, no. 3. - P. 569-581.
7. Danylenko V.A., Vladimirov V.A. On the self-similar solutions of generalised hydrodynamics equations and non-linear wave patterns // Joum. of Nonl. Math. Physics. - 1997. - V. 4, no. 1-2. - P. 36-43.
8. Владіміров В.А. Про автохвильові інваріантні розв'язки рівнянь релаксаційної гідродинаміки // Праці Інституту математики НАН України. -1998. - Т. 19. - С. 48-53.
9. Владіміров В.А. О динамическом уравнении состояния многокомпонентной среды с двумя релаксирующими компонентами // Доповіді НАН України. - 1998. - № 3. - С. 132-136.
10. Владимиров В.А. О периодических и квазипериодических решениях
одной системы гидродинамических уравнений, моделирующей нерав-иовесные процессы в гетерогенных средах // Доповіді НАН України. -1998,- №4. -С. 145-149. .
11.Michaluk A.V., Buzin W.A., Wladimirow W.A. Sterowanie wlaiciwosciami masywôw skalnych na podstawie dylatansji // Pn^egl^d gômiczy. -1998. -T. 54, nr. 12. - S. 25-28.
12. Владимиров В.А. О периодических решениях и промежуточных асимн готиках в модели многофазной среды с одной релаксируюшей компонентой// Доповіді НАН України. - 1998. -№ 5. - С. 117*121.
зо
13. Владіміров В.А. Про термодинамічні обмеження на функції стану середовища, що релаксує та еквівалентність двох описів шваргантгейК хвильових структур // Вісник Ужгородського університету. Сер. Фізика. -1998. - Вил. 3. -С. 129-132.
14. Владіміров В.А., Скуратівський С.І. Дослідження інваріайтгйй* розв’язків моделі структурованого середоваща, що враховує нелокальні ефекти // Вісішк ЖІТІ. Технічні науки. -1999. - № ї І. -• €. 24-28.
15. Владимиров В.А. О симметрии одной системы гидродинамических уравнений и условиях существования автоволновых иггазрйзпггнш решений II Доповіді НАН України. -1999. - № 1. - С. 7-11.
16. Владимиров В.А., Сидорец В.Н. О стохастических автоколебательных решениях нелинейной гидродинамической модели сплошной среды, учитывающей эффекты релаксации // Доповіді НАН України. - 1999. - № 2. - С. 126-131.
17. Владимиров В.А. О гидродинамической модели реЛаксирующей среды и некоторых ограничениях, вытекающих йэ Принципов симметрии // Доповіді НАН України. -1999. - Ш 3. - С. 7-11.
18. Vladimirov V.A., Sidorets V.N., Skurativsky Si. Complicated travelling wave solutions of a modelling system describing media with memory and spatial nou-Iocaiity // Rep. Math. Phys. - 1999. - V. 44, tio. 1/2. - P. 275282.
19. Владіміров B.A., Микуляк СІ. НапружеїіИй стан геофізичного середовища при просторово-часовому розосередженні імпульсних навантажень // Геофизический журнал. - 2000. - Том 22, № 1. - С. 31-39.
20. Vladimirov V.A., Skurativsky S.I. On invariant wave patterns in non-local mcdel of structured media // Праці Інституту математики HAH України. -2000.-T. ЗО., ч. l.-C. 239-244.
21.Даниленко В.А., Владимиров В.А. Определяющие уравнения u постановка задач й мЬМШікй сплошных сред с внутренними переменными // Краевые задачи математической физики. - Киев: Наук, думка.
- 1990. - С. 82-93.
?2. Владимиров В.А., Дакиленко В.А., Королевич В.Ю. Волны в нелинейных нелокальных моделях активных и релаксирующих неоднородных сред // Акустика неоднородных сред. - 1992. - Вып. 105.-С. 116-121.
23. Владимиров В А., Даишіенко В.А., Королевич В.Ю., Хрищенюк В.А. Качественный й численный анализ структуры ударных волн в Нелинейных нелокальных моделях активных и релаксирующих сред // Математическое моделирование. - 1992. - Т. 4, '№12. - С. 282-283.
24. banylenko V.A., Sorokina V.V., Vladimirov V.A. On the governing eqtiations in relaxing media models and quasiperiodic solutions // Доповіді НАМ України. - 1993. - № 4. - С. 97-102.
25. Danylenko V.A., Vladimirov V.A. On the self-organisation phenomena in
some models of relaxing media. // Proceedings of the International Conference "Combustion, Detonation and Shock Waves". - V. 2. - Moscow: Semenov Inst, of Chem. Physics, Acad. Sci. of Russia. - 1994. - P. 436438. •
26. Sidorets V.M., Vladimirov V.A. On the peculiarities of stochastic invariant solutions of a hydrodynamic system accounting for non-local effects // Proceedings of the Second International Conference "Symmetry in Non-linear Mathematical Physics". - 1997. - V. 2. - Kyiv: Inst, of Mathematics, NAS of Ukraine. - P. 409-417.
27. Владіміров В. А. Про асимптотичні властивості інваріантних розв'язків рівнянь релаксаційної гілролшіаміки // Праці Інституту математики НАН України. - 1998. - Т. 19. - С 54-63.
28. Vladimirov V.A. Modelling system for relaxing media. Symmetry, restrictions and attractive features of invariant solutions // Праці Інституту математики HAH України. - 2000. - T. ЗО., ч. 1. - С. 231-238.
29. Владіміров В.А. Про коефіцієнти канонічної форми Пуанкаре трьохвимірної динамічної системи з виродженою лінійного частиною // Вісник Київського університету. Серія фізико-математнчні науки -2000.-Вип. І. -С.
в 30. Новиков В.Д., Юрик И.Й., Владимиров В.А Автомодельные решения задачи о точечном взрыве в воде - К.: 1984, - 23 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 84-29).
3Î. Новиков В.Д., Юрик И.И.,Владимиров В.А. Инвариантные решения задачи о точечном взрыве в воде. - К.: 1985. - 24 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 85-39).
32. Владимиров В.А. Групповая классификация уравнений гидродинамики реагирующих и релаксирующих сред - К.: 1987. - 28 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 87-46).
33. Владимиров В.А., Даниленко В. А., Даневич Т.Б. Качественный анализ уравнений г идродинамики релаксирующих и реагирующих сред. -К.: 1939. - 42 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т проблем прочности; 89-30).
34. Владимиров В.А., Даниленко В.А., Королевич В.Ю. Нелинейные модели многокомпонентных релаксирующих срсд. Динамика волновых структур и качественный анализ. - К.: 1990. - Ч. I, II. -82 с. (Препр. / АН УССР. Институт геофизики им. С.И. Субботина; 90-29).
35. Владимиров В.А., Селехман Н.А. Качественный анализ автомодельных решений задачи о точечном взрыве в материальной среде с уравнением состояния в форме Тэта. - К.: 1990. - 20 с. (Препр / АН УССР. Институт геофизики им. С.И. Субботина; 90-46).
36. Владимиров В.А., Сорокина В.В. О квазипериодических решениях уравнений гидродинамики активных сред. - К.: 1992. - 24 с. (Препр. / АН Украины. Институт геофизики им. С.И. Субботина; 92-12).
37.Danevich T.B., Danylenko V.A., Korolevich V.Yu., Sorokina V.V. attd Vladimirov V.A. The Equations of Hydrodynamics for active media. Symmetries, qualitative analysis and wave structures' evolution. - Kiev: 1992. - 82 p. (Preprint / Academy of Sei. of Ukraine, Subbotin Inst, of Geophysics; 92-40).
38. Christenyuk V.O., Danylenko V.A,, Sorokina V.V. and Vladimirov V.A. On the selforganization phenomena in the models of relaxing and reacting media. - 1993. - 64 p. (Preprint / Academy of Sei. of Ukraine, Subbotin Inst, of Geophysics; 93-11).
39. Christenyuk V.O., Danylenko V.A. and Vladimirov V.A. Complicated self-similar solutions ia generalised hydrodynamics // Abstracts of the Int. Conf. "Differential Equations, Bifurcation and Chaos". - Kyiv: Inst of Mathematics, NAS of Ukraine. -1994. * P. 20.
40. Владимиров B.A., Даннленко B.A., Сорокина B.B. Исследование
нелинейных быстропротекающих волновых процессов в релаксиру-ющих средах И Тезисы докладов четвертой международной научной конференции "Лаврентьевские чтения". - Новосибирск: Институт
гидродинамики РАН. - 1995. - С. 66.
41. Vladimirov V.A. On the self-similar autowave solutions and localised
intermediate asymptotics in relaxing media models II Abstracts of the Int. Conf. "Asymptotic and qualitative methods in the non-linear oscillations theory". - Kyiv: Inst of Mathematics, NAS of Ukraine. - 1997. - P. 194195. •
42. Vladimirov V.A. On the asymptotic features of a set of relaxing hydrodynamics equations invariant solutions. // Proc. int. Coflf. "Modern Problems of Mechanics and Mathematics". - Lviv: Inst, of Applied Pioblems of Math. & Mech., NAS of Ukraine. - 1998. - P. 277.
Владіміров В.Л. Нелінійні хвильові структуры в моделях середовищ, що релаксують. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-мзтематнчних наук за спеціальністю 01.04.01 - фізика приладів, елементів і систем. - Одеський державний політехнічний університет, Одеса, 2000.
Дисертацію присвячено побудові та дослідженню континуальних моделей середовищ з ієрархічною структурою. Виведені динамічні рівняння стану, які описують макроскопові прояви структури. Сформульовані умови виникнення автохвильових режимів. Визначені області існування мультиперіодичних, квазіперіодичних та хаотичних режимів, виявлені характерні відмінності атракторів, що відповідають різним проявам нелокальиості. Проведені чисельні дослідження гідродинамічної моделі структурованого середовища. Встановлено, що автохвильові інваріантні режими відіграють роль проміжних асимптотик для широкою класу початкових та кранових задач. Досліджено симетрію гідродинамічних моделей без релаксації, отримано точні розв'язки, здійснено нелокзльну лінеаризацію у випадку тетівського рівняння стану.
Ключові слова: середовища з ієрархічною структурою, нелінійні ,рівняння, хвильові процеси, симетрія, якісний аналіз, біфуркації
Владимиров В.А. Нелинейные волновые структуры в моделях релаксируїощих сред. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01.04.01 - физика приборов, элементов н систем. - Одесский государственный политехнический университет, Одесса, 2000.
Диссертация посвящена построению континуальных моделей сред с иерархической структурой и их использованию для описания длинных нелинейных волн. С помощью методов феноменологической неравновесной термодинамики построены динамические уравнения состояния, описывающие слабо неравновесные процессы. Уравнения отражают макроскопические проявления структуры и содержат только такие параметры, определение которых не требует знания деталей релаксационных процессов в элементах структуры. В случае конечных отклонений от равновесия получены ограшічения на неизвестные определяющие соотношения (уравнения состояния и кинетики), вытекающие нз фундаментальных физических принципов. Показано, что предлагаемые модели качественно правильно описывают опашки сред обладающих внутренней структурой на динамические нагружения.
Проведены теоретико-групповые исследования гидродинамической модели репаксирующей среды, показано, что ее базовой группой инвариантности является группа Галилея, а максимальная группа, допускаемая при определенных функциях состояния и кинетики, бесконечномерная. Проведена групповая классификация, получены в явном виде определяющие соотношения, при которых имеют место нетривиальные расширения симметрии. Осуществлена теоретикогрупповая редукция, получены динамические системы для подклассов решений с наперед заданной симметрией. Сформулированы условия возникновения автоволновых режимов в классе автомодельных решений и решений типа бегущей волны при наличии пространственной неоднородности. Для динамических систем, полученных редукцией модельных уравнений, учитывающих эффекты пространственной и временной нелокальности составлены портреты областей параметрического пространства, соответствующие периодическим, мультипериодическим, квазипериодическим и хаотическим режимам. Определены характерные особенности странных аттракторов, возникающих при учете эффектов пространственной и временной нелокальности, найдены двояко асимптотические режимы, соответствующие многогорбым солитоноподобным решениям исходных систем. Для динамических систем общего вида установлен критерий существования квазипериодических режимов в окрестности особой точки с определенны типом вырождения матрицы линеаризации.
Проведено численное моделирование эволюции инвариантных решений в случае гидродинамической модели среды с одной релаксирующей компонентой, подчиняющейся кинетике онзагеровского типа. Установлено, что автоволновые (и предельные к ним) решения играют роль промежуточных асимптотик для достаточно широких классов начально-краевых задач. Сформулирован критерий сходимости к автоволновым решениям, показано, что это свойство можно использовать для диагностики структуры неоднородных рвлаксирующих сред. Проведено прямое численное моделирование возникновения когерентных структур в задаче о поршне и столкновении нелинейных волн. Решена задача об оптимальном рассредоточении импульсных возмущений при дилатансионном разуплотнении структурированной среды. '
Проведена групповая классификация гидродинамических моделей без релаксации. Осуществлена теоретико-групповая редукция, найдены условия инвариантного продолжения инвариантных решений через фронт ударной волны. Получены многопараметрические семейства точных решений. Установлено, что система уравнений баланса массы и импульса, замкнутая уравнением состояния тетовского типа, допускает
бесконечномерную группу. Найдено нелокальное преобразование, сводящее эту систему к линейному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, установлен нелинейный аналог принципа суперпозиции. Для уравнения состояния описывающего газ Чаплыгина получено общее решение. Проведено полное качественное описание автомодельных решений в случае тетовского уравнения состояния. Показано, что в классе автомодельных решений возникают неустойчивые автоколебательные режимы при наличии внешней силы.
Ключевые слова: среды с иерархической структурой, нелинейные уравнения, волновые процессы, инвариантность, редукция дифференциальных уравнений, автоволновые решения, качественный анализ, бифуркации, странные аттракторы, промежуточные асимптотики
Vladimirov V.A. Nonlinear wave structures in relaxing media models. -Manuscript.
Thesis for a doctor's degree by speciality 01.04.01 - physics of devices, elements and systems. - Odessa State Polytechnic University, Odessa, 2000.
The dissertation is devoted to construction and investigation of continual models of media with hierarchic structure. There are obtained dynamical equations of state, describing the structure manifestation on macrolevel. Conditions, leading to the autowave regimes appearance are found. There are located domains of parameter space, corresponding to the multiperiodic, quasiperiodic and chaotic regimes. Peculiarities of strange attractors, corresponding to different kinds of nonlocalities, are studied. There are performed numerical simulations of the hydrodynamic model of structured medium and stated that invariant autowave solutions play role of intermediate asymptotics for a wide class of Cauchy and boundaiy value problems. For the hydrodynamic models without relaxation symmetry analysis is performed and exact solutions are found. For the Tate equation of state non-local change of variables is obtained, leading to the linear equation;
Keywords: medium with hierarchic structure, non-linear equations, wave processes, symmetry, qualitative analysis, bifurcations
