Нелинейные задачи при определении вектора состояния потребителя системы спутниковой навигации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

р Г Б ОА

1 о ДПР 1935

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 619.6

ДУБИНКО Татьяна Юрьевна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ СИСТЕМЫ СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИИ

01.01.09 - математическая кибернетика, 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург, 1995

Работа выполнена на кафедре небесной механики математи-ко-маханического факультета и на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления СШ5ГУ.

Научные руководители: - доктор физико-математических наук,

профессор К.В.Холпевников,

- кандидат физико-математических наук, доцент А.Н.Коваленко.

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор В.Г.Дегтярев,

- кандидат физико-математических наук, доцент С.А.Клионер.

Ведуцаа организация: Государственный научно-исследователь-окий навигационно - гидрографический институт.

Защита диссертации состоится " ОПрвАЯ 1995 г. в " Щ " чаоов на заседании диссертационного ¡/оветаК-063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Ваоильевокий остров, 10 линия, д. 33.

. а^.вв

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета (10SO34, С.-Петербург, Университетская наб., д. 7/9).

Автореферат разослан "2k" /ЧОЫюП 1905 г.

Учений секретарь специализированного совета, доцент

В.Ф.Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный этап развития спутниковой радионавигации требует создания новых методов и алгоритмов математического обеспечения для раэрабать'лаемой потребительской аппаратуры. Эти алгоритмы должны одновременно сократить время и повысить точность вычислений, а также полностью автоматизировать вычислительный процесс.

Математические алгоритмы определения коогдинат и скоростей о использованием систем навигационных искусственных спутников Земли (НИСЗ) включают два типа задач: а) решение систем уравнений для определения координат потребителя систзмы спутниковой навигации, б) фильтрацию принятой с КИСЗ информации. При решении указанных, задач традиционно использовались линейные алгоритмы. Отход от них, естественно, усложняет задачу, но одновременно позволяет для типа задач а) определить координаты потребителя без априорного знания приближенного местоположения, а для типа б)- исключить влияние грубых ошибок в передаче и обработке информации. Именно этим двум нелинейным задачам математического обеспечения и посвящена данная работа.

Цель работа. Разработка методов определения ксординат по радиальным скоростям и расстояниям до НИСЗ при наличии систематической ошибки. Построение процедуры роЗастяого (помехоустойчивого) оценивания для выборок нормальных (гауссовых) измерений в условиях непрерывного асимметричного пасорэния. Качественное исследование полученных решений, создание рзсчетных алгоритмов на основе разработанных методов.

Методика исследований. Б работе используются методы математического анализа и высшей алгебры, фундаментальные положения теоретической и небесной механики, методы вычислительной математики, классические и современные принципы построения статистических оценок, методы математического и статистического моделирования.

Научная новизна. Задача определения координат с использованием информации, поступающей с системы НИСЗ, в данной постановке (при отсутствии априорной информации о местоположении и наличии систематической ошибки в измерениях) является новой. Для ее решения в диссертационной работе разработаны методы, озяованныэ на использовании измерений 1зк расстояний до НИСЗ, так и радиальных скоростей. При этом учитываются различные геометрические ситуации взаимного расположения спутников. Предложенные в этой части работы методы позволяют определять местоположение потребителя системы спутниковой навигации без какой-либо априорной информации о его полслении на поверхности Земли или вблизи нее.

Робаотное (помехоустойчивое) оценивание является сравнительно новым направленном в теории статистических сценок. Предложенная в диссертационной работе оценка параметра положения впервые построена в предположении непрерывного асимметричного засорения данных. 13 условиях гадачи спутниковой радионавигации построенная процедура обладает большей эффективностью по сравнению о известными и допускает рекуррентное представление для использования в линейном алгоритме фильтрации навигационных измерений.

Практическая ценность. Подученные в диссертации результаты, разработанные методы и алгоритмы в настоящее время используются в создании математического обеспечения многоканальной навигационной потребительской аппаратуры нового поколения позволяющей автоматически решать навигационную задачу в реальном масштабе времэни о повышенной точностей.

Апробация работы- Основные результаты дисоертационной работы докладывались на XXVI Всесоюзных Циолковских чтениях (Калуга, 1991), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики" ( ИТА РАН, С.-Петербург, 1093), на Всероссийской конференции с международным участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная

- Б -

небесная механика" ( ИТА РАН, С.-Петербург, 1993), а также обсуждались на семинарах кафедры небесной механики математике- механического факультета и кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 62 наименования. Объем работы составляет 123 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность реваемых проблем, сформулированы цели исследований, осуществлена обв,ая постановка задач и введены основные понятия, . а также проведен анализ соответствующих научных работ по теме исследований.

Глава 1 "Определение начального приближения в задача спутниковой навигации" содержит 3 параграфа и посвящена'разработке математических методов определения координат материальной точки (потребителя системы спутниковой навигации) о использованием навигационных измерений. .

В параграфе 1.1 содержится постановка задачи и обоснование возможных путей ее решения. Особенность задачи заключается в том, что исходными данными являются йе иотинные значения дальностей (расстояний от потребителя до НИСЗ) Оиет и радиальных скоростей (скоростей удаления НИСЗ от потребителя) Уйист> а их псевдоэначения: .

О - Оист +50;

Уй - Уй„ст + ЗУ;

- в -

обумоьлекные наличием систематических ошибок измерений БП и 6\\ Причиной возникновения указанных систематических ошибок являются расхождения временной (для 50) и частотной (для бУ) шкал ■цотрвбетелп и оаотб!йы НИСЗ. При этом, благодаря высокой синхронизации. акал спутников одной навигационной системы, указанные опибот могут считаться одинаковыми для всех НИСЗ. Уточним такие, что дальности до ИСТ определяются нз основе разницы бремени зосылки сигнала о НИСЗ и приема его аппаратурой потребителя, а радиальные скорости - на оонове сдвига частот посылаемого л принимаемого.сигналов (эффекта Доплера).

Истинные значения измерений связаны с искомыми координата.« потребителя.X,У,г нелинейными соотношениями:

Сист - Г{х-Х)8+(у-ТГ)2+(г-г)*31/8) (2)

Укист-ССУх-Ух)(К-Х)+(У1гУу)(у-У)+СУг-Уг)(г-2)3/0,гст. ( 3 )

где к,у,г - координаты ЖСЗ в гринвичской вращающейся системе координат; Уи - составляющие векторов скоростей НИСЗ.

Предлагаемые в работе методы осьованы ча следующих предположениях:

- систематические . ошибки 50 и 5У являются неизвестными и тробукт учета в качестве дополнительных переменных;

- возможность приема информации с нескольких НИСЗ одновре-мянпо позволяет исключить время н рассматривать одномоментную задачу;

- шординати к, у, г и составляющие векторов скорости НИСЗ V*, Чу, \--г ягвеотщ на любой момент времени;

- потребитель считается нелодьшшой материальной точкой, т.е. Ух-Уу-72-0.

В зависимости от технических вогможностей используемой аппаратуры существует два пути решения задачи местоопределэния потребителя - либо на основе соотношения (2), либо на основе соотношения (Э). Этим способам посвящены параграфы 1.2 и 1.3.

В параграфе 1.2 предлагается метод численного опед.вления

вектора Ху = -I X, У, 1, 57 } с использованием радиальных скоростей 7г, измеренных для 4-х НИСЗ. Исходная система уравнений строится на основе соотношения (3) и имеет вид:

(х1-Х)уХ1 + (угУ)уу1+(21-2)уг1

--- уй1 + => 0 ; ( 4 )

1-1.4;

где 1 - индекс используемого НИСЗ.

Сначала приводятся результаты численных'экспериментов по реализации некоторых классических итерационных методов с различат нулевыми приближениями, л на их основании делается вывод о необходимости построения нового метода. Предлагавши далее метод, во-первых, преодолевает проблему неоднозначности решения системы (4) (позволяет отыскать именно нужное решэяиа) и, ео-вторых, позволяет ощутимо сократить объем вычислений.

Составными частями метода являются: а) определение улучшенного начального приближения в задаче о фиксированной ошибкой измерении 5У на основе предложенного А.Н.Коваленко способа параметрической линеаризации, обладающей свойстзом минимальной потери точности; б) решение задачи с неизвестной оиибкой 5У как набора задач о известными (последовательно приближающаяся к истинным) ошибками.

Рассмотрим часть б) несколько подробнее. Для решения задачи с фиксированной ошибкой 5У достаточно трех уразкзний системы (4) из четырех. Такое решение можно подставить в 4-е уравнение и получить невязку.. В пространстве "ошибка 57 - невязка А" существует некоторая кривая Л(ЗУ);

У*4(Х4-Х(вУ))+Уу4(У4-У(87))+У24(24-2(67))

Л(37)-------:-— -Чяа+Ы) ( 6 )

((Х4-Х (5У) ) (У4-У (57)) (24-2(57))-)

которую можно нетерполкровать по точкам и определять ошибку, соответствующую нулевой невязке.

Решение задачи начинается с определения границ интервала, локализующего ошибку 6V. Указанный 1штервал строится из условия прямой видимости потребителем используемых НИСЗ (в случав нахождения потребителя на поверхности непрозрачной сферы ради-уоа R):

maxi Vfti-Ui* > < 6V < ш а х i Чщ-иГ >j

1-1~4 1-1 "4

i f

( 6 )

R(XjZ+yiZ+Zi2)1/2 U± - ± -:- .

CVxi2+Vyi2+V2iZ)1/Z

Утве изделие 1.3.1. В пределах интервала локализации систематической ошибки (6) система уравнений (4) имеет не*более двух решений.

Следующим шагом предлагаемого метода является вычисление невязок (В) в граничных точках интервала локализации 15",8*3. Это позволяет сразу идентифицировать ситуацию, когда внутри указанного интервала содержится два решения исходной системы (олучай Д(5_)-Д(б+)>0). В случае, если сущеотвует возможность апостериори из двух решений выбрать нужное, метод позволяет произвести спуск к обоим решениям, в противном случав рекомендуется смгна рабочей четверки НИСЭ.

Подученные две точки в пространстве " 5V - Д " позволяют провести линейную интерполяцию и найти некоторую третью точку (В*,й*) на кривой (Б).

Экспериментальным путем установлено существование двух типичных вариантов расположения кривой (5) на интервале локализации. В зависимости от типа кривой она приближается либо о использованием прямой, либо обратной квадратичной интерполяции.

При этом критерием к применению прямой квадратичной интерполяции может служить неравенство:

(Д(8Т)-Д(в-))(Д(5>Д(5Т)) < 0 ; в противном случае применяется обратная квадратичная интерпо-

ЛЯЩ1Я.

Точка пересечения 5° построенного интерполяционного полинома с осью 5V принимается за искомое значение систематической ошибки, по величине 5° находятся приближенные координаты потребителя методом для гадачи с фиксированной оаибкой.

Следует отметить, что увеличение числа узлов интерполяции не дает в данной задаче существенного выигрыша по точности и значительно увеличивает объем вычислений.

Параграф 1.3 посвящен решении задачи определения координат с использованием измеренных дальностей до НИСЗ. Исходная система уравнений относительно неизвестного вектора Хо-< Х,У, Z.8D У строится на основе соотношения (2) и имеет вид:

((Xi-X)z+(yi-Y)z+(2i-Z)z)1/z-Di+3D-0, i-1,4. ( 7 )

Данная система уравнений, в отличие от системы (4), имеет аналитическое репение. После соответствующих преобразований система уравнений (7) сводится к линейной системе 3-го порядка относительно вектора X--t X,Y,Z >, зависящей от параметра 3D и квадратному уравнению для отыскания неиввеотного параметра 6D: А'X - k'5D + 1 ; a- (8D)a + b- 6D + о - О .

В процессе исследования решения задачи доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.3.1. Система уравнений (7) при |А|*0 и а*0 имеет единственное решение.

Теорема 1.2.2. При |Л|*0 и а*0 решение системы уравнений ( 7 ) имеет вид Xq-< X*,5D" где X* - A"1k-eD*+A~1li

BD" - (-b-(b2-4ao)1/2)/2a; т.е. истинному решению соответствует именно меньший корень квадратного уравнения.

В качестве частного случая рассмотрена ситуация, когда извеотно расстояние от начала координат до точки положения потребителя ( что имеет место, в частности, для потребителей, находящихся на поверхности мирового океана). Решение задачи в

этом случае имеет более простой вид.

Глава 2 "Робастная фильтрация измерений в задаче спутниковой навигации" состоит из трех параграфов и посвящена построению аффективной процедуры обработки информации, принимаемой аппаратурой потребителя (при неоднократном приеме одной и той же величины). Основным требованием, предъявляемым к данной процедуре, является ее устойчивость к появлению грубых ошибок в исходных данных (влияние помех, сбои в аппаратуре и т.п.).

В параграфе 2.1 содержится постановка задачи. Будем рассматривать результаты радионавигационных измерений как реализацию некоторой случайной величины. Выборка из п измерений этой случайной величины Хп-< XI,..,хп > обладает следующими свойствами:

- большая часть измерений принадлежи к нормальной совокупности //(0,6);

- в измерениях о вероятностью е содержатся сбои, которые могут быть значительными по величине;

- засоряющее распределение, вообще говоря, асимметрично относительно математического ожидания основного распределения;

.-.отношение параметров рассеяния засоряющего и основного распределений (б и бг соответственно) есть величина к» 1;

. В данных условиях требуется построить эффективную выборочную оценку параметра положения, устойчивую к влиянию грубых ошибок в измерениях.

В параграфе 2.2 приводятся используемые принципы построения помехоустойчивых оценок, проводится анализ априорных данных и на схзнове приведенных выше свойотв отроится оценка 0 параметра положе: гя Л для выборки измерений Хп. Кратко опишем это построониа.

Плотность вероятности е-засоренного распределения с учетом асимметричности засорения может быть задана моделью:

Ф(х-О) - (1-е)<р(х-й) + еГ(х) ;

( 8 )

где <р и Г - плотности вероятности основного и засоряющего распределений соответственно.

Для построения требуемой оценки испольэуэтсл метод максимального правдоподобия, который при известных ф и Г дает представление оценки в виде взвешенного среднего: п п

5-Е Н(Х1-»)'Х1 / Е Н(х4-») •, ( 9 )

1-1 1-1

где Н(х) - максимально правдоподобная весовая функция.

Заметим, что вед засоряющего распределения неизвестен, однако, используя модель асимметрично засоренной выборки (8), можно получить соотношение для максимально правдоподобной весовой функции в условиях поставленной задачи:

Н(х) - 1/(бг(1+(е/(1-е))(2я)1/г£(х)-бхр(х-5)2/2б2)). ( 10 )

Предлагается аппроксимировать засоряющие распределение равновероятным па конечном интервале с неизвестными границами а и Ь: Г (х)«1/(Ь-а) и считать расположение интервала, вообще говоря, несимметричным относительно оцениваемого параметра. Известное соотношение для параметра рассеяния равновероятного распределения на конечном интервале бг-(Ь-а)/(12)г/'г позволяет исключить в явном виде неизвестные концы интервала Са,Ь] (другими словами, неизвестный сдвиг математического ожидания засоряющего распределения относительно основного) и получить окончательный вид весовой функции (10):

Н(х) - 1/(бг(1+(г/(1-е))(п/б)1/2-к-ехр(х-5)2/2б2)). ( 11 )

Уравнение правдоподобия (9) в данном случае предлагается

решать последовательными приближениями:

п

- Е Н(х,-й])-х, / Е . ( 12 )

1-1 1-1

Утверждение 2.2.1 Итерационный процесс (12) с нулевым приближением в виде выборочной медианы сходится к единственному решению.

В параграфе 2.3 показана эквивалентность для данной задачи существующих различных понятий робастности в смысле устойчивости к влиянию грубых ошибок. Здесь же проведена оценка качественных характеристик построенной процедуры.

Теорема 2.3.1 Построенная оценка параметра положения с весовой функцией (12) обладает свойством асимптотической качественной робастности.

Для данной оценки также построена кривая чувствительности, получены некоторые количественные характеристики, проведено сравнение с существующими оценками данного класса.

На основе серии численных экспериментов с использованием метода Монте-Карло показано преимущество по эффективности построенной оценки в условиях задачи спутниковой навигации.

Глава 3 "Алгоритмы и результаты численных экспериментов" содержит 3 параграфа. Параграфы 3.1-3.2 включают алгоритма определения координат по измеренным радиальным скоростям Уд и дальностям И соответственно. Эти алгоритмы разработаны на основе методов, предложенных в главе 1.

Они построены с учетом анализа всех возможных особых ситуаций, содержат специальные процедуры повышения точности и имеют на выходе иокомые координаты или сообщение о невозможности получения решения с указанием причины.

Алгоритм, использующий измеренные радиальные скорости Уя, реализует приближенный метод поиска решения, и при необходимости предполагает подключение дополнительного блока итерационного спуска. Алгоритм предполагает выбор наилучшей тройки НИСЗ из рабочего оозвездия (здесь под рабочим созвездием понимается четверка используемых НИСЗ) для решения задачи с фиксированной ошибкой IV и систему смены используемых троек НИСЗ при возникновении особой ситуации. В случае невозможности получения решения алгоритм на выходе имеет сообщение с рекомендацией смены рабочего созвездия.

Алгоритм, использующий измеренные дальности И, предполагает учет влияния геометрического расположения рабочего созвездия на точность решения и дополнительный блок выбора наилучшего рабочего созвездия.

Для отладки алгоритмов и соответствующих програшных средств был создан специальный программный комплекс, моделирующий движение среднеорбитной системы НИСЗ. Указанный комплекс является источником информации о текущих координатах и скоростях НИСЗ и дальностях (или радиальных скоростях) по отношению к выбранному положению потребителя. Приведены результаты численных экспериментов по реализации разработанных алгоритмов о использованием указанного модельного комплекса.

Параграф 3.3 посвящен практическому применению а навигационной задаче процедуры робастного оценивания, построенной в главе 2,

Решение задачи спутншговой навигации включает в себя обработку погрешностей исходных данных двух видов: а) сильнокоррелированные во времени погрешности (погрешности прогноза координат спутников, расхождение временных шкал спутников относительно системного времени и т.п.), влияние которых на точность решения может быть снижено за счет наблюдения избыточного числа НИСЗ, б) слабокоррелировагаша во времени погрешности измерения псевдодальностей Б, которые сглаживаются во времени независимо по каждому измерению (поканельная обработка).

В поканальной обработке последовательных навигационных измерений (сглаживании шумов измерений псевдодальностей О во времени) используется линейный рекуррентный алгоритм, предложенный Ю.С.ДубинкО:

О* - 04-1 + 1,-1^ + Ьа-Ьг-е, ; где »1/01 ~ статистический весовой коэффициент.

Для того, чтобы исключить влияние грубых ошибок измерений на точность решения, необходимо, чтобы коэффициент Ьг облагал свойством юобаотиооги (помехоустойчивости).

В качестве последнего предлагается использовать весовую функцию (И) оценки, построенной р главе 2:

hr - HC ej.e,62).

Для оценки неизвестной дисперсии б2 во времени предлагается использовать метод конечных разностей.

Приведены результаты численных экспериментов.

3 АКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Метод определения координат о использованием измеренных радиальных скоростей НИСЗ при наличии систематической ошибки в измерениях без априорной информации о местоположении потребителя системы спутниковой навигации.

2. Метод определения координат с использованием измеренных расстояний до НИСЗ при наличии систематической ошибки в измерениях без априорной информации о местоположении потребителя.

3. Разработанные на основе вышеуказанных методов и доведенные до практической реализации алгоритмы определения координат потребителя системы спутниковой навигации с использованием радионавигационных измерений.

4. Помехоустойчивая процедура оценки параметра положения для нормальных выборок измерений с непрерывным асимметричным засорением, являющаяся эффективной в условиях задачи спутниковой навигации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Коваленко .Н. .Дубинко Т.Ю. Определение координат потребителя в системе спутниковой . навигации без предварительных сведений о местоположении потребителя.- а) Тезисы ¿окладов на XXVI Циолковских Чтениях; 6) Труды XXVI Циолковских Чтений, Калуга, 1091, с. 31-56.

г. Коваленко А.Н. Дубинко Т.Ю. Быстрый алгоритм определения координат потребителя системы спутниковой навигации. -. Тезисы

докладов на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики", С.- Петербург, 1993, с.41-43.

3, Коваленко А.Н.,Дубинко Т.Ю. Алгоритм определения начального приближения координат потребителя системы спутниковой навигации. - Тезисы докладов на Всероссийской конференции о международным участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", С.-Петербург, 1993, о.24-23.

4. Дубинко Т.Ю. Робастная оценка параметра положения для нормальной совокупности с асимметричным засорением. // Вестник С.-Петербургского университета, серия механика, 1995, вып. 1

N 2 , . <53 - &5 '

Подписано к печати 17.02.95 Заказ 58 Тираж 100 Объем I п.л. ГШ СПГУ

19Э034, Санкт-Петербург, наб. Макарова,6.