Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений гиперболического и смешанного типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ефимов Антон Валентинович

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Плещинский Николай Борисович

доктор физико-математических наук, доцент Пулькина Людмила Степановна

Ведущая организация:

Орловский государственный университет

Защита состоится 25 ноября 2004 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан

«¿-1 »

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.. доцент

Е.К. Липачев

г 9бюо

Обшая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является важнейшим разделом современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. В последние десятилетия исследования в этой области проводились наиболее интенсивно благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, гидромеханике сжимаемой жидкости, безмоментной теории оболочек, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, математической биологии, математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и многими другими вопросами механики.

Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, К.И. Бабенко, Ф.И. Франкля, МА Лаврентьева, А.В. Бицадзе. В дальнейших исследованиях отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, ставились и исследовались новые краевые задачи, благодаря чему теория уравнений гиперболического и смешанного типов вышла на центральное место в теории уравнений с частными производными. Большая заслуга в этом принадлежит И.Н. Векуа, О А Олейник, В.П. Михайлову, СП. Пулькину, ВА Ильину, Е.И. Моисееву, Л.И. Чибриковой, В.И. Жегалову, A.M. Нахушеву. Интересные результаты получены в работах В.Ф. Волкодавова, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского, Р.С. Хайруллина, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, О.А. Репина, Л.С. Пулькиной, А.А. Андреева и др.

Наряду с изучением основных краевых задач для уравнений рассматриваемого типа, начиная с семидесятых годов возрос интерес к постановке и исследованию краевых задач качественно нового класса. Эти задачи, получившие название нелокальных задач, возникали при решении многих практических задач, связанных с динамикой почвенной влаги, описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера и диффузии в трехкомпонентных системах. Самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы А.В Бицадзе и АА Самарского, в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями.

Существенный вклад в развитие теории нелокальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа внесли В.И. Жегалов и A.M. Нахушев. предложившие ряд нелокальных краевых задач нового типа -краевых задач со смещением. Эти задачи сразу вызвали широкий интерес многих авторов: М.М. Смирнова, Х.Ш. Джураева, М.С. Салахитдинова, А.А. Килбаса. ОА Репина, ВА Елеева, С.К. Кумыковой и др. Особенно бурно теория задач со смешением стала развиваться в последние годы.

В работах японского математика М.Сайго для гиперболического

уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона в

БИБЛИОТЕКА СПе « 03 М>/

и производные дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) в ядре. На сегодняшний день в математической литературе имеются многочисленные работы, в которых изучены задачи, содержащие операторы Римана-Лиувилля в краевом условии, в то время как нелокальным краевым задачам, содержащим обобщенные операторы М. Сайго, было посвящено сравнительно мало исследований. Нелокальным задачам, содержащим операторы в смысле М. Сайго и операторы подобной структуры, посвятили свои работы М.М. Смирнов, М.С. Салахитдинов, А. Хасанов, О А Репин, АА Килбас, Д. Аманов, СИ. Макаров, СЮ. Назаров, А.А. Андреев, Е.Н. Огородников и др.

В связи с этим возникает необходимость дальнейшего развития теории нелокальных краевых задач со смещением для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов. Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладными значениями. Следует также отметить и такой аспект теории краевых задач со смещением, как получение новых результатов в теории дробного интегродифференцирования, а также в области дифференциальных и интегральных уравнений.

Цель работы. Постановка и исследование новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля, для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса), для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типа с дробной производной первого и второго родов.

Общая методика исследования. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для уравнений смешанного типа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля в явном виде получены решения двух новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

2. Для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной поставлены и исследованы задачи со смещением с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля в краевом условии.

3. Для модельных уравнений эллиптико-гиперболического типа первого и второго родов доказаны существование и единственность решений четырех новых нелокальных задач со смешением, содержащих обобщенные дробные операторы в краевом условии.

4. Выявлены условия обеспечивающие выполнение принципов

экстремума при доказательстве единственности решений.

5. Доказаны существование и единственность решения нелокальных задач для параболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии. Решение поставленных задач ищется в области с неограниченной параболической частью различного вида.

6. Установлены ограничения на параметры операторов М. Сайго, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения всех поставленных задач.

На защиту выносятся:

1) доказательство единственности и существования решения новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования;

2) исследование задач со смещением для смешанных уравнений эллиптико-гиперболического типа первого и второго родов;

3) постановка и разрешимость нелокальных задач для параболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии;

4) доказательство справедливости ограничений на параметры обобщенных операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, при которых имеют место все сформулированные в работе положения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов

Методы исследования могут быть применены для решения и исследования широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, а также прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации представлены на:

втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001 г.);

научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001 г.);

международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Мордовском государственном университете (Саранск, 2002 г.);

международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Самарском государственном

архитектурно-строительном университете (Самара, 2002 г.); третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» в Казанском государственном университете (Казань. 2003 г.):

межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2003-2004 гг.);

международных научных конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2002.2004 гг.): международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии» (Ташкент. 2003 г.),

международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе. 2003 г.);

международном российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик. 2004 г ):

десятой международной научной конференции имени академика М. Кравчука в Национальном техническом университете Украины «КПИ» (Киев. 2004 г.);

семинарах кафедры прикладной математики и информатики СамГТУ в 2003-2004 гг. (руковод. - д. ф.-м. и . проф. Радченко В.П.): семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» в КГУ в 2004 г. (руковод. - д. ф.-м. н.. проф. Жегалов В.И.):

Публикации. Шестнадцать работ [1-16], опубликованных автором по теме диссертации, отражают ее основные результаты. Список статей приведен в конце автореферата. Результаты, полученные в совместной с научным руководителем работе [2], принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 120 страницах и состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов и библиографического списка использованных источников, включающего 120 наименований. Нумерация формул тройная: первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - номер формулы в нем.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор рсчулыаюв исследований но ее тематике, кратко изложено содержание раГнчы и методика исследований, приведены основные резулыаты.

Глава I носвяшена нелокальным краевым задачам со смешением для дифференциальных > равнений гиперболического типа.

£ 1.1 носит вспомогательный характер. В нем содержак-я определения

О

основных объектов исследования диссертации - операторов дробного интегродифференцирования М. Сайго, их связь с операторами Римана-Лиувилля, а также необходимые свойства и композиционные тождества. Приведен ряд лемм, посвященных вопросам действия обобщенных операторов в обычных и весовых пространствах Гельдера.

Будем в дальнейшем обозначать: И - операторы

в смысле М.Сайго; (/^^х) - оператор Римана-Лиувилля; / - единичный интервал 0 < X < 1, J - единичный о т р е зЮо^кпр ямой у = О; в0(х) и аффиксы точек пересечения характеристик рассматриваемых уравнений, выходящих из точки (х,0), с характеристиками АС и ВС соответственно.

§ 1.2 посвящен исследованию нелокальной краевой задачи для гиперболического уравнения первого рода (уравнения Геллерстедта)

В полуплоскости у < 0 уравнение (1) обладает двумя семействами характеристик:

Уравнение (1) рассматривается в конечной области Б, ограниченной интервалом (0,1) и характеристиками (2) уравнения (1).

Задача 1.1. Найти функцию 1]{х,у) е С(0)пС2(£)), удовлетворяющую уравнению (1) в области Б и краевым условиям

£/(*,0) = г(х) Ухе7, (3)

+ (лс^"1"4' + А/?-'*'"' )/(х,0) +

где Аг 5,- / = 1,2,3 - заданные константы; <р(х),т{х) - заданные функции, такие, что

^*)е//д[0.1]пС2(0,1), (5)

т{х)€ Яс/!'[0,1]пС2(0,1); (6)

Д,, Д 2, аг,, /?,. а,, Л, л,, Я, - действительные числа, причем

Д, б(-Д0)и(0,Д), Р = —^—,0<р<\, Д2 <0,а2 >0, 2{т + 2) 2

Р2 <тт[0,/72 + 1], Д, + 1-/? <Л<1, 1-2 Р<Хх <1, 0<Д, </?-Д,, /?, <Р- 1-Д,, Д|+1-/?<1ШП[Я1,-Д2]51, Д1 + 1-^<шт[Д,,-/?2]<1,

0<тт[Л,,/3-1-Д, -Д]<1 при о, >Д, +1 — /?. (либо О< тт[Л, +а, + ß-l-A„ß-l~A, -Д]<1 при 0<а, < Д, +1-^ ). (7) Доказана

Теорема 1.1. Пусть справедливы неравенства (7), А, и В, (/ = 1.2,3) -ненулевые константы, функции ip(x) и rix) удовлетворяют соответственно условиям (5) и (6).

Тогда поставленная задача 1.1 (3), (4) для уравнения (]) имеет единственное решение U(x.v). определяемое формулой

■ iin-t) "(¡-i) '' '-[(ii-D'M-i? uc i'(\) — а)v 4(1-JT)V v(x)z НГ-(ху" A:[0J]). 7=11^.

If 4 ^4(1-2/?)

y, zz _i-| __-, при выполнении одного из трех наборов условии:

l\m-vlj Г"(1-/?)

J. d(x) = uz(x)-*-b2 Ф 0 (xeJ), -ß-A, <Д, <0. h = Kzs'mn(ß - Д,),

и(х) = К,{1-х)у- А', cosjr(/?-Ä,). Л', = А, -AjS(] -ß).

А'. = tf(x) = argf . 0 < i? = 0(0) < 2/Т.

f{if «>x). g{x) = <p{x)-A{yX(ß)[lt-p ^ ' ^ r).v)-- fi.y.n/?))/,1 "* ' ! t\x)~ (a, 11 ß M s - Bzr- )r(.v).

<4v)F(v) Л2.,(х)1х. : \ -/ w F\t)dl J(x) m/(x)l f 1-х /„(/)('~.v)'

j

In'. 1-х In

2 d = az+b:* 0 (x e ./). « = A -A',cosjr(/3-A,), b = K2imn(ß-A ).

J " I i/ «/¿V 1-/ /-Х -

t :т(1-/)"

3. c/,(x) = а:(х) + Л,:(х)*0 (xeJ), A,(x) = A\(l-x) V"A; ''sin^y?-Д,). (v) = A', - A'.(l-x) 1 '^-"^cosÄ'f/ß-Д,). 0 < = ö (0) < 2ж. Д:<-/?-Д, F,(x) = x*' * (1-х)' ''(ff" \e)x).

S

bx{x)Z,(x)\ x ■ £ fj(Q A r FMdl _0 б/(.г) ж/,(х) ' I Z(,U)U-x) ' J, . *

| 1 'Г<?,«)Л Alme1, (.г) = ехр<—| —-f ——>.

/ (.г) = ехр'

В ü 1.3 рассматривается нелокальная краевая задача для ! иперболического уравнения второго рода (уравнения Кароля)

U„-{-y)mUtl = 0. О<m < I, у < 0. (8)

Уравнение (8) рассматривается в конечной области D. ограниченной интервалом (0.1) и характеристиками

АС - х--(-у) 2 =0. BC:n = x + -l—(-v) 2 =1 (9)

2-т 2-т

уравнения (8).

Задача 1.2. Найти функцию U{x.y)eC(D)nC'[D). удовлетворяющую уравнению (8). краевым условиям (3) и

' и[0пф) + (А21^>^ 4 +BJ? " 'ф(.г,0) + о + В,)ü\(x,0) = <p(x) VxeJ. где А , А2. .4,. ß,, В. - заданные константы: у(х). г(х) - заданные функции, такие, что выполняются условия (5) и г(.т)е И'. [0.1]<~Ч"(0.]). \ .А-.ff .ß. «-.Д.'7-л, -действительные числа, причем

\ с|-ДО)^(и./0). ß =—-—. --</?<0.Д-<0.Д -)-/?< Д<1.

2{т - 2) 2

Д < ß -1 - Д,. 0 < Д, < ß - Д,. от, > 0. 0 < Д3 < 1. ß2 < min[0,/7: +1] • Д, +1 -/? < тш[Я, -Д>]<1, 0 < шт[Д,,/? — 1 — Д, — /?,]<1 при ах >Д, +1-/? (либо 0<minfÄ, +al +ß-\-Д,./?-1-Д, - /?,]< 1 при 0<а, < Д, +1-/?)-

Доказана теорема существования и единственности решения задачи 1.2, аналогичная теореме 1.1.

В §§ 1.4-1.5 поставлены и исследованы краевые задачи 1.3-1.4 для > равнения Бицадзе-Лыкова

y-UB-U„ + ctUx = 0. a-const. (10)

Уравнение (10) рассматривается в конечной области D. ограниченной интервалом (0.1) и характеристиками

■1С = ¡(.V. v)' л- = 0. v < 01. ВС = ',(.*. у): х —- — 1.у < 0) \ равнения (10).

Задача 1.3. Найти функцию и{х,у)<=С(0)пС2(0), удовлетворяющую уравнению (10) (а = 1) в области Б, краевым условиям (3) и

где <р(х) и т(х) - известные функции, такие, что выполняются условия (5) и

- заданные константы; действительные числа, причем

0<а<-,с<-,а + -<Я<:1,-<Я1 <1, 0<Л, < —~а, 2 2 2 2 '2

Д, <min[0,/7, +1], п>~\, 0<min[Я,,-/?, -or-—]< 1 при or, >or + (либо

1

0<т1п[Д, + ог, -а-—, -Д -от-—]<1 при 0<от, <а + — ),

от, >0, ог +• <тт[А,,-/?2]< 1, Д .

Задача 1.4. Найти функцию (/(х,у)еС(0)пС2(0), удовлетворяющую уравнению (10) (а = -1) в области £> и краевым условиям (3) и

( 1 ,

/„♦ 2 um)]

(х) + В1

f 1

/,-2 ЩвМ

(х) +

++вЛ'л'Пг Y'ixfi)+

иу(х,0) = ср(х) (xeJ),

, 1 Л

ч

У

где <р(х) и т(х) - известные функции, такие, что выполняются условия (5) и (6); А,. В, (/ = 1,2,3) - заданные константы; а,а,,or,,Д, ДмС^Д.ЛрЛ, -действительные числа, причем

-— < а < 0, с<0, а + 1<Я<1, а + 1<Я. <1, 0 <Л, <~а, 2

а +1 <min[/i.,,-с]< 1, Д <-а-1, /?, < min[0,r7, +1], аг +1 < min[A, ,-Д>]^ 1, ог: >0, 0<тт[Л,, -Д -а-ljcl при а, >а +1 (либо 0<mmfA, +а, -а-1, -Д -а-1]<1 при 0<а| <а + 1). Для задач 1.3-1.4 доказаны теоремы существования и единственности

решения, аналогичные теореме 1.1.

Во второй главе речь идет о нелокальных краевых задачах для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа и уравнений параболо-гиперболического типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля.

В § 2.1 поставлена и изучена нелокальная краевая задача 2.1 для эллиптико-гиперболического уравнения второго рода

Уравнение (11) рассматривается в односвязной области Б, ограниченной кривой Жордана Г. с концами в точках .4(0.0) и В{0.1). расположенной в полуплоскости 1' > 0, и характеристиками (9) уравнения (11).

Задача 2.1. Найти функцию Ь'(х.у)е С(0)пС!(0. и.У)о (О. и О,). удовлетворяющую уравнению (11) в каждой из

(ншоей О и £>.. краевым условиям

6'и.у)|г=(0(л-.г) У(А-Л')<ЕГ. (12)

Ах' ' ''г'-'СЮ,(/)])*) = я(/0:"- *ацт.0))х) +

и условиям сопряжения

и (х- 0) = Щх,+0), и, (.г-0) = -и} (х,+0).

Здесь - заданные непрерывные функции; А. В -

ш 1

заданные константы; 0--, —</3<0; Ь.с.а,.в,.Я,/п - действи-

2(т-2) 2

тельные числа, причем выполняются условия

ЧМл-)е/7;-[0.1], 0< Л < I. с<\-2р. а. >1-2р~с (или 0<а, <\-2р-с).

А

Единственность решения задачи 2.1 доказывается с помощью аналога принципа -экстремума А.В. Биналзе. а вопрос существования решения данной шачи сводится к разрешимости уравнения Фрелгольма второго рода.

В § 2.2 рассматривается уравнение смешанного эллиптико-гиперболи-чеекою гипз

в односвязной области Б, ограниченной кривой Жордана Г. с концами в точках ,4(0,0) И 5(0.1). расположенной в п о л у п л о с к о й>т£)и и характеристиками (2) уравнения (13).

Обозначим через Д И й-, - эллиптическую и гиперболическую части смешанной области Б соответственно.

Регулярным в области Б решением уравнения (13) назовем функцию и(х,у) е сф) о С1 (£>) п С2 (£>, и п2), удовлетворяющую уравнению (13) в

на концах интервала (ОД) может обращаться

в бесконечность порядка ниже

Задача 2.2. Найти регулярное в области Б решение 11{х,у) уравнения (13). удовлетворяющее условиям (12),

и > словиям сопряжения

Здесь - заданные константы;

-Л-, 0< /? < —;

2{т + 2) и 2

- заданные непрерывные функции, - неубывающая

неотрицательная функция из класса действительные числа, причем

^(л:)^//д[0,1], 0<Д<1, с<0, а, >1-2р-с (или 0<я, <1-2/?-с),

Как и в случае задачи 2.1, единственность решения задачи 2.2 вытекает из аналога принципа экстремума А В. Бицадзе Вопрос же разрешимости задачи 2 2, с помощью известного метода регуляризации Карлемана-Векуа. сведен к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма второго рода. Безусловная разрешимость этого уравнения следует из единственности решения задачи 2.2.

В § 2.3 рассматривается параболо-гиперболическое уравнение

которое имеет вырождение первого рода при т>0 и вырождение второго рода при -1 < m < 0 .

Здесь - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка

а, 0<а <1 от функции и(х,у) по второй переменной: с!

1 (0<а<1,у>0).

Пусть - полуполоса, а

Б - область, лежащая в нижней полуплоскости ^<0), ограниченная

характеристиками уравнения (14) и отрезком [ОД] прямой у = 0.

Задача 2.3. Найти решение Щх,у) уравнения (14) при т > О, в области D , удовлетворяющее краевым условиям

U®>y) = 9i{y\U{\,y) = <h{y\ (15)

+ A1{l»ß-tA0-l--M'H-tU,(t,0)>х) = g(x) MxeJ, (16)

а также условиям сопряжения

lim y'-"U{x,y) = lim U{x,y) (xeJ), (17)

lim у^-Щх^Х = lim U}.(x,y) (xeJ). (18)

Задача 2.4. Найти решение U(x,y) уравнения (14) при -1 < m < 0 , в

области D, удовлетворяющее краевым условиям (15)-(16), а также условиям сопряжения (17)-( 18).

Здесь g(x) e C(J)nC'(J), <?,(>'), <р2(у) - заданные функции, такие,

что У^Д^У^МеСф7), срх(0) = <г>:(0) = 0; Д = , Л, Л,

2{т + 2)

А},Ь,С - действительные числа, причем, At И А-, числа одинаковых знаков, противоположных знаков, а Решения U(x,y) поставленных задач ищутся в классе дважды дифференцируемых функций в области D, таких что

Единственность решений задач 2.3-2.4 вытекает из аналога принципа экстремума А.В. Бицадзе. Существование решения задач 2.3-2.4 доказывается путем сведения задач 2.3-2.4 к интегральному уравнению Вольтерра второго рода

где - пространство действительных

ь

функций (р(х) с конечной н о |р||0 и последующим

о

использованием теоремы, приведенной в книге М.М. Джрбашяна «Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области» Теорема 2.1. Пусть функция f(x)eL[a.b). Тогда интегральное

уравнение

где р> 0. Я - произвольный комплексный параметр, имеет единственное решение

принадлежащее L[a,b], Здесь

&Г(м + к/р)

функция типа Миттаг-Леффлера, которая является целой функцией (комплексной) переменной z-x + iy порядка р> 0. П р,ш=3 т а функция

совпадает с функцией Миттаг-Леффлера

Приведенная теорема, позволяет записать решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода в явном виде:

Используя функциональные соотношения между т(х) и v(x) из параболической и гиперболической частей области D, находим функцию т(х) в

каждой из областей D+ и D~, и получаем решение задач 2.3-2.4 в каждой из областей, а значит, и их решение в заданном классе функций в области D .

В § 2.4 поставлены и исследованы две нелокальные краевые задачи 2.5 и 2.6 для уравнения (14).

Пусть D = D'\jD' , где D* = {(х,у): -¡» < х < оо, у > о} - верхняя полуплоскость, D' - область, лежащая в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченная характеристиками уравнения (14) и отрезком [0,1] прямой y = 0;

- заданная функция,

m

-. At,A2,A},b,c

2(т + 2)

действительные числа, причем, А, и Аг числа одинаковых знаков, А, и А3 -противоположных знаков, ас < 0.

Задача 2.5. Найти решение и(х,у) уравнения (14) при т > 0, в области Б, удовлетворяющее краевым условиям (16) и

а также условиям сопряжения (17)-(18).

Задача 2.6. Найти решение и(х,у) уравнения (14) при -1^<0, в области Б, удовлетворяющее краевым условиям (16) и (19), а также условиям сопряжения (17)-(18).

Для доказательства единственности и существования решений задач 2.52.6 применяется методика решения задач 2.3-2.4.

Отметим, что решения исследуемых задач 2.3-2.6 найдены в явном виде. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Репину Олегу Александровичу за поддержку и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Ефимов А.В. Некоторые краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа. / А.В. Ефимов // Тезисы докладов XXVII самарской областной студенческой научной конференции. - Самара: Изд-воСамГТУ,2001.-С79.

2. Ефимов А.В. Аналог задачи A.M. Нахушева для уравнения Геллерстедта. / А.В. Ефимов, О.А. Репин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.8. Вып.1. -М.: Научное изд-во «ТВП», 2001. -С. 169.

3. Ефимов А.В. Нелокальная краевая задача для уравнения Геллерстедта в характеристической области. / А.В. Ефимов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 11. - Казань: Изд-во «Унипресс», 2001. - С. 83-87.

4. Ефимов А.В. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения Геллерстедта. / А.В. Ефимов // Актуальные проблемы современной науки. Труды 3-й международной конференции молодых ученых. Самара, 30 сентября - 2 октября, 2002. Ч.1. Математика. Механика. -Самара: Изд-во СамГТУ, 2002.-С. 13-14.

5. Ефимов А.В. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода. / А.В. Ефимов // Дифференциальные уравнения и их приложения. Сборник трудов международной научной конференции. Самара, 26-31 мая, 2002. - Самара: Изд-во СамГАСА, 2002. - С. 113-116.

6. Ефимов А.В. Две нелокальные краевые задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа с дробной производной. / А.В. Ефимов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 21. - Казань: Изд-во «Унипресс», 2003. -С. 108-110.

7. Ефимов А.В. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с дробной производной. / А.В. Ефимов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Самара, 29-31 мая, 2003. Ч.З. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». - Самара: Изд-во СамГТУ, 2003. - С. 60-66.

8. Ефимов А.В. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода. / А.В. Ефимов // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 19. -Самара: Изд-во СамГТУ, 2003. - С. 29-33.

~ 2005-4

17280 197 79

9. Ефимов А.В. О нелокальной задаче ДЛЯ параооло-гиперболического

уравнения с дробной производной. / А.В. Ефимов // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 25-28 октября, 2003. -Душанбе: Изд-во «Нодир», 2003. - С. 76-79.

10. Ефимов А.В. О постановке и разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с дробной производной. / А.В. Ефимов // Современные проблемы математической физики и информационной технологии. Труды международной научной конференции. Ташкент, 2629 ноября, 2004. Т.1. - Ташкент: Изд-во НУУ им. М.Улугбека, 2003. - С. 27-33.

11. Ефимов А.В. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной. /А.В. Ефимов // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 26. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. - С. 16-20.

12. Ефимов А.В. Задача со смещением для уравнения Бицадзе-Лыкова. / А.В. Ефимов // Материалы десятой международной научной конференции им. академика М. Кравчука. Киев, 13-15 мая, 2004. - Киев: Изд-во НТУУ «КПИ»,2004. - С. 105-107.

13. Ефимов А.В. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Бицадзе-Лыкова. / А.В. Ефимов // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Материалы международного российско-казахского симпозиума. Нальчик - Эльбрус, 22-26 мая, 2004. - Пятигорск: Изд-во ООО «Рекламно-информационное агентство на КМВ», 2004. - С. 76-78.

14. Ефимов А.В. О краевой задаче с обобщенными дробными операторами для гиперболического уравнения Бицадзе-Лыкова / А.В. Ефимов // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции. Стерлитамак, 16-17 сентября, 2004. Т.1. - Уфа: Изд-во «Гилем», 2004. - С. 136-142.

15. Ефимов А.В. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при а = - 1. / А.В. Ефимов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. Самара, 26-28 мая, 2004. Ч.З. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». -Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. - С. 101-105.

16. Ефимов А.В. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа второго рода. / А.В. Ефимов // Актуальные проблемы современной науки. Труды 5-й международной конференции молодых ученых. Самара, 7-9 сентября, 2004.4.1, 2. Математика. Математическое моделирование. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. - С. 38-42.

Заказ №665. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе.

Самарский государственный технический университет.

Отдел типографии и оперативной полиграфии.

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Введение.

Глава 1. Краевые задачи со смещением для дифференциальных уравнений гиперболического типа.

§1.1. Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования и некоторые их свойства.

§ 1.2. Нелокальная краевая задача для уравнения

Геллерстедта.

§ 1.3. Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения второго рода в характеристической области.

§ 1.4. О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана

Лиувилля для уравнения влагопереноса при а = 1.

§ 1.5. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при а = -1.

Глава 2. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа.

§ 2.1. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода.

§ 2.2. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода.

§ 2.3. О нелокальных задачах для параболо-гиперболичского уравнения с дробной производной.

§ 2.4. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной.

Диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов в ограниченных областях, а также для уравнений смешанного типа с дробной производной в неограниченных областях.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов. Теория краевых задач для таких уравнений является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Основополагающими в развитии этой теории стали труды Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [94]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи. Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит A.B. Бицадзе, С.П. Пулькину, В.А. Ильину, Е.И. Моисееву, Л.И. Чибриковой, В.И. Жегалову, A.M. Нахушеву. Интересные результаты получены в работах В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского, P.C. Хайруллина, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, O.A. Репина, JI.C. Пулькиной, A.A. Андреева, и др. Среди опубликованных за последние годы работ, отметим следующие: [5-6], [8-11], [13-14], [22-25], [26-27], [29], [33-34], [40], [43], [47], [48-50], [58], [65-66], [69], [70-71], [77-79], [90-91], [92].

Необходимость решения современных проблем физики, как отмечает в своей обзорной работе A.A. Самарский [81], повлекла за собой возникновение качественно нового класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе A.A. Дезина [19].

Это такие задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.

На подобные краевые условия, возникающие в теплопроводности, в 1922 году было указано В.А. Стекловым [86] и в 1956 году - Ф.И. Франклем [89] при решении конкретной газодинамической задачи. Однако самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [11], в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы.

Существенный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов внесли В.И. Жегалов [22] и A.M. Нахушев [56], предложившие ряд нелокальных задач нового типа. Эти задачи вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением.

Благодаря исследованиям A.M. Нахушева, его учеников и последователей стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [58].

Классические и современные результаты теории дробного интегродифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, A.A. Килбаса и О.И. Маричева [82].

Новым этапом развития этой теории было положено работами японского математика М. Сайго [98-102]. В его работах для гиперболического уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона (Э.Д.П.) в краевых условиях появились интегралы и производные дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) в ядре.

Нелокальным задачам, содержащим операторы в смысле М. Сайго и операторы подобной структуры, посвятили свои работы М.М. Смирнов [84], М.С. Салахитдинов, А. Хасанов [80], O.A. Репин [72-76], [31-32], A.A. Килбас [31-32], Д. Аманов [1], С.И. Макаров [45-46], С.Ю. Назаров [54-55], A.A. Андреев, E.H. Огородников [2-3] и другие математики.

Результаты настоящей диссертации являются продолжением исследований [31-32], [73], [95] в этом направлении. В работе поставлен и исследован ряд новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля, для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса), для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа и параболо-гиперболического типа с дробной производной первого и второго родов. Отличительной особенностью этих задач является наличие в краевом условии производных и интегралов дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса.

Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, поскольку вырождающиеся дифференциальные уравнения с частными производными связаны с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории оболочек, теории плазмы, математической биологии, математическим моделированием различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и многими другими вопросами механики. Следует отметить и такой аспект теории краевых задач со смещением, как получение новых результатов как в теории дробного интегродиффренцирования, так и в области дифференциальных и интегральных уравнений.

В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для уравнений смешанного типа.

В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля в явном виде получены решения двух новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования.

2. Для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной поставлены и исследованы задачи со смещением с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля в краевом условии.

3. Для модельных уравнений эллиптико-гиперболического типа первого и второго родов доказаны существование и единственность решений четырех новых нелокальных задач со смещением, содержащих обобщенные дробные операторы в краевом условии.

4. Выявлены условия, обеспечивающие выполнение принципов экстремума при доказательстве единственности решений.

5. Доказаны существование и единственность решения нелокальных задач для параболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии. Решение поставленных задач ищется в области с неограниченной параболической частью различного вида.

6. Установлены ограничения на параметры операторов М. Сайго, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения всех поставленных задач.

Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов

Методы исследования могут быть применены для решения и исследования широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, а также прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Основные результаты диссертации докладывались на:

- Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001 г.);

- научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001 г.);

- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Мордовском государственном университете (Саранск, 2002 г.);

- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Самарском государственном архитектурно-строительном университете (Самара, 2002);

- всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2003-2004 гг.);

- третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» в Казанском государственном университете (Казань, 2003 г.);

- десятой международной научной конференции им. акад. М. Кравчука в Национальном техническом университете Украины «КПИ» (Киев, 2004 г.);

- третьей и пятой международных конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2002 г., 2004 г.);

- семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2003-2004 гг. (руководитель - д. ф.-м. н., профессор В.П. Радченко);

Шестнадцать работ [105-120], опубликованных автором по теме диссертации, отражают ее основные результаты.

Диссертационная работа изложена на 120 страницах и состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов и библиографического списка использованных источников, включающего 120 наименований.

1. Аманов Д. Некоторые нелокальные задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // ДАН Уз. ССР. 1984. № 7. -С. 4-7.

2. Андреев A.A., Огородников E.H. Нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы и интегральные уравнения третьего рода // Интегр. уравнения и краевые задачи матем. физики. Мат. Всесоюзн. конф. Владивосток. 1990. С. 97.

3. Андреев A.A., Огородников E.H. Матричные интегродифференциальные операторы и их применения // Вестник СамГТУ. 1999. Серия «физико-матем. науки». С. 27-37.

4. Ахмед Махер, Плещинский Н.Б. Граничные задачи для уравнений смешанного типа с дефектом на линии изменения типа. Казань. «Препринт». 2001. - 30 с.

5. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи матем. наук. 1953. Т. 8. №2.-С. 160.

6. Бабенко К.И. О принципе максимума для уравнений Эйлера-Трикоми // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777-782.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1.: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. 1973. - 296 с.

8. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа // Труды Матем. института АН СССР им. В.А. Стеклова. 1953. Т. 41. С. 3-57.

9. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука. 1966. - 203 с.

10. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981.-448 с.

11. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. -С. 739-740.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ. 1959. -628 с.

13. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 1. С. 7-16.

14. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983. - 84 с.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. - 640 с.

16. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной АН. 2000. Т. 5. № 1. С. 16-19.

17. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной АН. 2001. Т. 5. № 2. С. 18-22.

18. Гринько А.П., Килбас A.A. Обобщенные дробные интегралы в пространствах Гельдера с весом // ДАН БССР. 1990. Т. 34. № 6. С. 493-496.

19. Дезин A.A. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. № 1. -С. 61-86.

20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. - 671 с.

21. Джунисов А.Т. О единственности решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа с сильным нехарактеристическим вырождением // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 175. № 1. С. 168-170.

22. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1962. Т. 122. Кн. 3. С. 3-16.

23. Жегалов В.И. Задача типа Трикоми с пятью смещениями в гиперболической части области // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанск. ун-та. 1978. Вып. 15. С. 48-52.

24. Жегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-112составного типа // Изв. вузов. Математика. 1982. № 10. С. 15-18.

25. Жегалов В.И. К краевым задачам со смещениями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. вузов. Математика. 1986. № 3. С. 61-64.

26. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. -С. 88-94.

27. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения Трикоми в неограниченной области // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 715-717.

28. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 1.-С. 178-181.

29. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1991. Т 27. № 1.-С. 60-68.

30. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллипти-ко-гиперболического типа // ДАН СССР. 1953. Т.88. № 2. С. 197-200.

31. Килбас A.A. Репин O.A. Задача со смещением для параболо-гиперболи-ческого уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 6. С. 799-805.

32. Килбас A.A. Репин O.A. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №5. -С. 638-644.

33. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. -С. 1427-1436.

34. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения // Матем. сб. 1984. Т. 125 (167). № 1.-С. 19-37.

35. Кобелев В.Л. и др. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН России. 1997. Т. 355. № 3. С. 326-327.

36. Кобелев В.JI. и др. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН России. 1998. Т. 361. № 6. С. 755-758.

37. Кобелев B.J1. и др. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН России. 1999. Т. 369. № 3. С. 332-333.

38. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1359-1368.

39. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. №4.-С. 660-670.

40. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Д.: Изд-во ЛГУ. 1990. - 204 с.

41. Кумыкова С.К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболичес-* кого уравнения в характеристическом двуугольнике // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 79-91.

42. Лернер М.Е. О качественных свойствах функции Римана // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2106-2120.

43. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло и массообмена // Инженер.-физ. жур. Минск. 1965. Т. 9. № 3. С. 287-304.

44. Макаров С.И. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Аналитические методы решения дифф. ур-ий. Куйбышев: Изд-во КГУ. 1988.-С. 105-111.

45. Моисеев Е.И. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Матем. заметки. 1986. Т. 30. Вып. 5. С. 707-718.

46. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 110-121.

47. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. С. 93-103.

48. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., исправл. и дополн. - М.: Наука. 1968. - 512 с.

49. Мухлисов Ф.Г. О новых краевых задачах для одного сингулярного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Сибир. конф. по неклассическим уравнениям матем. физики. 1995. Новосибирск. — С. 71.

50. Назаров С.Ю. О некоторых краевых задачах для уравнения Эйлера-Дарбу // Изв. АН Арм. ССР. Мат. 1989. Т. 24. № 5. С. 484-495.

51. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С. 736-739.

52. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик: Логос. 1995. - 59 с.

53. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995.-301 с.

54. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, изд-во КБНЦ РАН. 2000. - 299 с.

55. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН. 1996. Т. 2. № 1. С. 26-28.

56. Нахушева В.А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Нальчик. НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 1998. 9 с.

57. Нахушева Ф.Б. Некоторые конструктивные свойства решений гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С. 334-340.

58. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. // Теорет. и матем. физика. 1992. Т. 90. № 3. С. 354-368.

59. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Труды МИАНСССР. 1968. Т. 103.-С. 181-200.

60. Петрушко И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения и^ + уиуу + ссиу + ßux +уи = / в смешанной области // Дифференц.уравнения. 1968. Т. 4. № 1. С. 123-135.

61. Псху A.B. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН. 2000. Т. 5. № 1. С. 45-53.

62. Псху A.B. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 2001.-43 с.

63. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнений и ±и +—и =0хх уу X

64. Ученые записки КГПИ. Куйбышев. 1958. Вып. 21. С. 3-55.

65. Пулькина J1.C. Об одной задаче для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами // Труды второго междунар. семинара «Дифференц. уравнения и их приложения». Самара. 1998. С. 129-132.

66. Пулькина JI.C. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С.279-280.

67. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 23. № 1. С. 173-176.

68. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Изд-во Саратовского ун-та. 1992. 164 с.

69. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН России. 1994. Т. 335. № 3. С. 295-296.

70. Репин O.A. О задаче с операторами М.Сайго на характеристиках для уравнения влагопереноса // Сб. науч. трудов Белорусского университета, Минск. 1996. С. 299-305.

71. Репин O.A. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 110-113.

72. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром // Диффернц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1.-С. 117-126.

73. Сабитов К.Б. К проблеме обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля // Диффернц. уравнения. 1990. Т. 26. № 5. С. 841-851.

74. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

75. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987.-688 с.

76. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970. - 296 с.

77. Смирнов М.М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Матем. 1982. № 3. С. 68-75.

78. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк. 1985. - 304 с.

79. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983.-432 с.

80. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.JI.: Гостехиздат. 1947. - 192 с.

81. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // Журнал технической физики. 1998. Т. 68. № 1.-С. 138-139.

82. Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающиеся прямым скачком уплотнения // Прикл. мат. и мех. 1956. Т. 20. № 2. С. 196-202.

83. Хайруллин P.C. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением // Труды семинара по краевым задачам. Казань. 1987. Вып. 23. С. 231-238.

84. Хайруллин P.C. К теории уравнения Эйлера-Пуассноа-Дарбу // Изв. вузов. Мат-ка. 1993. № 11. С. 69-76.

85. Чибрикова Л.И., Показеев В.И. Задачи Трикоми для одной многосвязной области. В кн. Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1962. с. 73-79.

86. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. Вып. 5(11).-С. 1875-1884.

87. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25 A, 29. P. 1-23.

88. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic type // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. Vol. 36. № 2. P. 261-273.

89. Nigmatullin R.R. The realization of the Generalized Transfer Equation in a Medium with Fractal Geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol. 133. № 1. P. 425-430.

90. Pleshchinskaya I.E., Pleshchinskii N.B. The Cauchy problem and potentials for elliptic partial differential equations and some of their applications // Advances in Equat. and Inequal. (ed. J.M.Rassias). Hadronic Press. 1999. - P. 127-146.

91. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions. // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. Vol. 11. № 2. P. 135-143.

92. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation // Math. Japan. 1979. Vol. 24, № 4. P. 377-385.

93. Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1980. Vol. 12. № 2. P. 55-62.

94. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation // Math. Japan 1980. Vol. 25. № 2. P. 211-220.

95. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation // Math. Japan 1981. Vol.26. № 1. P. 103-119.

96. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces. Transform Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ., Singapore. 1995. P. 282-293.

97. Saigo M., Repin O.A., Kilbas A.A. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type // International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. Vol. 5. № 1. P. 104-117.

98. Ефимов A.B. Некоторые краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа // Тезисы докладов XXVII самарской областной студенческой научной конференции. Самара. СамГТУ. 2001. С. 79.

99. Ефимов A.B., Репин O.A. Аналог задачи A.M. Нахушева для уравнения Геллерстедта // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.8. Вып.1. М.: Научное изд-во «ТВП». 2001. С. 169.

100. Ефимов A.B. Нелокальная краевая задача для уравнения Геллерстедта в характеристической области // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 11. Казань. «Унипресс». 2001. С. 83-87.

101. Ефимов A.B. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения Геллерстедта // Актуальные проблемы современной науки. Труды 3-й международной конференции молодых ученых. 4.1. Математика. Механика. Самара. СамГТУ. 2002. С. 13-14.

102. Ефимов A.B. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода // Дифференциальные уравнения и их приложения. Сборник трудов международной научной конференции. Самара. СамГАСА. 2002. С. 113-116.

103. Ефимов A.B. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 19. Самара. СамГТУ. 2003. С. 29-33.

104. Ефимов A.B. О нелокальной задаче для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с-120сингулярными коэффициентами. Душанбе. «Нодир». 2003. С. 76-79.

105. Ефимов A.B. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 26. Самара. СамГТУ. 2004. С. 16-20.

106. Ефимов A.B. Задача со смещением для уравнения Бицадзе-Лыкова // Материалы десятой международной научной конференции им. академика М. Кравчука. Киев. НТУУ «КПИ». 2004. С. 105-107.

107. Ефимов A.B. О краевой задаче с обобщенными дробными операторами для гиперболического уравнения Бицадзе-Лыкова // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции. Т.1. Уфа. «Гилем». 2004. С. 136-142.