Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г I I»

г ц

АКАДЕМИЯ ПАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. 8. И. РОМАНОВСКОГО

АКБАРОВА Маргуба Хамидовна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С Е Ш А ИНОГО ТИПА

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕ ФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Ташкент — 1993

Работа выполнена в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Научные руководители: — академик АН РУ, доктор

- физико-математических наук, профессор Т. Д. ДЖУРАЕВ

— кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник С. С. ИСАМУХАМЕДОВ

Официальные оппоненты: — член-корреспондент HAH Республики Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор Т. Ш. КАЛЬМЕНОВ

— кандидат, физико-математических наук, старший научный сотрудник А. С. ВЕРДЫШЕВ

Ведущая организация —Ферганский государственный

университет.

Защита состоится » Ск^-С-^И-Кг!Л 1995 г_ в ;;fV ча. сов на заседании специализированного совета Д 015. 17. 21 в Институте математики им. В. И. Романовского АН РУ по адресу: 700143, г. Ташкент—143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

.5 ^ , , .

Автореферат разослан « » Jju^/L^) 1995 г.

Ученый секретарь г

специализированного совета , ., '1 П. доктор физ.-мат. наук, проф. Ш - \ffjyШ. А. ХАШИМОВ

ОБЩЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акт^§льность_геш. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из интенсивно развивающихся разделов: теорий дифференциальных уравнений в частных производных. Основы этой теории били заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоыи,С.Геллерстедта, А.В.Бяцадэе, Ф.И.Фравкля и К.И.Ба-•бешш,

Имеется целый ряд работ, в которых исследуются основные краевые задачи н ставятся новые корректные задачи для'Уравнений смешанного типе. Основную библиографию по этим вопросам ыояне найти в работах А.В.Вицадза, М.С.Сэлахнтдннова, Т.Д.Дку-рзева, М.М.Смирнова, Е.И.Моисеева, Т,Ш.Кальмеаова, С.А.Терое-цова и др.

В настоящее время понятие уравнений смешанного типа.значительно раскурилось. Наряду о уравнениями эллипгако-гиперболиче-ского типа на практике встречаются эллиптико-параболические, царабода-пшерболичесиие в смешанно-параболические уравнения. Из работ, посвященных эллиптико-параболаческим и парабола- , гиперболический уравнениям, отметим работы Х.Г.Бжихатлова и. А.Ц.Нахушева, В.Н.Врагова, М.С.Салахиздинйва и А.С.Бердышева, • О.р.Исанухвмедова, А.К.Уранова, Т.Д.Дкураева а А.Сопуева, Д.С.Абдуллаева и др.

■ ■ Первыми работами о .смшанио-дарабодических уравнениях; была статьи французского математика Мерно Кевро, Дальнейшее развитие эта теория получила в работах с.D.Pagani, G.o.Taien-ti , С.А.Терсенова, И.Е.Егорова, А.А.Керефовв, С.В.Попова, Н.Н.Шополова а, др. Однако нелокальные краевые задачи для параболических уравнений смешанного типа изучены срввкцт.эдьвз ыало. В связи с эти« отметим лишь исследования Н.Н.Шополопа для модельного сыешаняс-параболичеснсго уравнения.

Следует ответить работы J.Cannon и Н.й.Ионкииа, в котвг-pax изучеча нелокальная задача о интегральным условием для уравнения теплопроводности. Это направление было рь&вито п работах Л.И.Каыынива, Р.Чегисе, E.M.Chrzanoveki, J.n.Cannon a Lin Jnnpir.d.J.Van der Hoer и др.

Задача Жеврз а задача с инто?рвлшш условием'были обэб-

шчнн для параболического уравнения ZU- -■ порядка в работах Б.Б.Еураева, в в работах Т.Д.Джураеыа ti С.Абдиназарова - для уравнений высокого порядке с кратными характеристиками,

UsiSJSäÖSIS- Постановка и исследование нелокальных крае- ' вых задач с условием типа Бицадзи-Сзмарского и интегральном условие:.! для сыешзино-параболаческих уравнений.

О^щая методика робота. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается с помощью принципов экстремума для варабо-глзчоских и сыешанио-пэраболлческих уравнении. При исследовании вопроса о существований реаеняя применяется теория, сингулярных интегральных уравнений.

Нэ£Ч|№Я_новвзна. Сформулированы и изучены краевые задачи типа Бзцадзе-Самарского с локальными я нелокальными начальными условиями в задачи с яитегрзльннш условиями для нэрз-болических уравнений смешанного типа.

Теоретическая и псэктпческа.т значимость. Полученные в диссертации результаты являются г.свымп и носят теоретический , характер. Они могут быть иополы.оваш Для -¿не.кей разработки теории краевых зад-,-'- для уравнений смешанного типа, а также "рп решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались im объединенном семинаре отделов дифференциальных уравнений в неклассичоских уравнения математической фтзики Института математика им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители: академики Ali РУз М.С.Свлвхихдивов и, Т.Д.Дкураев), на конференции молодых ученых г.Ташкента, • посвященной памяти В.II.Романовского-(1УУ2 г.), на Ыоздуна-' родной научной конференции "Вкроздвщиося уравнения я уравнения смешанного типа" (Ташкент, 1993 г.)..

Публикация. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах, перечень которих приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертация. Работа состоит ез введения, .двух глав, содержащих G параграфов,и библиографии.Общий объем работы III страниц- машинописного текста. Библиография содержит 50 наименований.

- Ь -

СОДЕШШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во пведетш дается соаор литературы по тома диссертация, пока зава актуельноаъ теш исследования а приводится краткий содержани9 работы.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена нссде-довавию ярзозых ээдот типа Бицадэе-Спнарокого лад уравнений

UVx;ä(zst)U^ci«,i)U - =ff?,i), (i)

• .г. -- * v^c-'+^J^u ; (2)

Jiyc'ib С? ~ CT1 * Uic1 U So - огрьшчг.шшл агЗаость плоскости {'л ,-t), где

- {(X ,{■>: 0< ж< 1, О ¿Л, <i J , I (х, 4 ): - i < Х- < О,

Огпаситвльйз коэйшшвитоп уравнений (I),. (2) прадпвлагаетсд, что

' i ^ (Q) „ e^-tUO 3 Q,

f t^i, O.t^Q* , о<Ыс'= ccnül <■(, LoiXt (т.-tuQ , L , it 2 ,

Примем обозначения:

В первом параграфе главы .1 .рассматривается модельное уравнение смешанно-параболического типе

1 г

Пусть - заданный функции -из- С [о}1] ,

причем , | ( •ё I , и они не меняют свой знак.

ЗАДАЧА I. Найтп регулярное в \Я(С1 решение

уравнения (5), удовлетворяющее

начальным условиям

и нелокальным условиям

• it(i,4)+ , О 4 -t < i , (5)

«(•^■»¿(M-UOf^-b^HKoA^'i , (в)

где )! Mit* )> aft) , S fr) _ заданные

функции, причем .

jv* (о) (i)+ci(o) 'U( rV) о) ; ¿w* fß) ,

ЗАДАЧА 2. Найти функцию tl(<r, , удовлетворянь цую всег условиям задачи I, кроме условия (4), которое заменяется условиями

Ц{я,0)4 &J At) U(x, ,ar «

U( ОС, ¿}-t Oxfy) U fx, О) -f4tO) , "-¿¿Ягб- О,

гдо ^¿(х-), С - ,у/^ /-С) , £ = 3; 4 _ заданные фракции, причем />1(0) - /Р)~~ О ■> .

Ииеют место ^

■ Т Е О Р Е !5 А I. Пусть * * 1 •

Тогда задача I вревт не более одного решения.'

Т Е О РЕМА 2.Пусть (0(4)1^, /¿У=9/к I, /</1-

Тогда задача 2 имеет не болев одного решения.

Доказательство творен I, 2 проводится на основе принципов экстремума для параболическая и смошаино-параболичосках уравнений.

Существование решения задач-I, 2 рсследуется сведением к разрешимости сингулярного интегрального.уравнения, при атом рассматриваются отдельна возможные случаи:'"'

2) о ** *■$(*} - ° '>

3) * * * *) ОЮ1--

4) -{ йо * 1 а(о\ о;

'• >

• , Второй параграф главы I посвящен исследованию в общей постановке краевой задача типа Бицадзо-Семарского для линейного сме-

'ионно-яараболического уравнения (Г). __

Пусть , я-* у./(-),] ~ - произвольно

заданные"функции аз о/[<?,4 1 , причем ■,{<

/г^У.пг. , О* рб п. , пл. < со ,

ЗАДАЧА 3. Найти регулярное а ^ решение

урзрнения (I), удовлетворяющее следующим условиям:

11(1С,Ф ех<к)П(Т1о)* ^(ос) , -{ Г* о , (8).

IV

^к,1)-4+ % (^ш,

(10)

где

заданные функции.

ЗАДАЧА 4. Найти цувкцяй , удовлетворяющую

всем условиям задачи 3, кроме (9>1, ((10)^, которое заменяется .' условием

■ = 4

г

Ооцоввш результатом.данного парвгрефа является следившая

■ -ТЕОРЕМА 3. Пусть / 9^/х) / £ 1 , ,

' п.

0,^(Я (0)4* , М1 > / * ^ /

а ¿(о) = /¿(о)» ^ - , л,

Тсвдз задача 3 ¡шеот единственной решение.

, В параграфе 3 главы I изучается'нелокальная краевая задачи для уравнения (2). .

3 £ Д А Ч А 5. Найтя регулярное в решена о

/ € С (С? ) уравнения (2), удовлетворяющее условиям (9), ,(10) а

3»уодовию склеивания вида - ♦ -

• 0 йш, я С1аъ(-Х) "¿¿к

ГД9 (1С(г1), ¡ = Г- 0>"1 > Я

задзияив функцяя аз С (о, 4 ) 1 причем вы-

полняются условия евглзовяакия!

Б эяоы параграфе 3 дснвзкв&ется следующая теорема об однозначной раэрэшшости задачи 5,

ч

Т Е О Р Е М А 4. Если ^ fQ. ) / < и,- ¿ = °

I j. , "¡о задача 5 ьмоет одайывеиноа решойво.

J ' '' . ,

'Отеши, что существование реяевея эрхочъ 5 б случай di - c(i - et- , сведем к -разрешамссхи сангулзраого гкюградь-рого ургвыеввя, з в случае -ф с<гЬ - иягы'рашюго ургзнениа {.рэзрозьыэ второго рода.

Вторая 'ГЛивз восшцвва постановке к ссследозагл) вело-r-тыш греема задач с кигегральшл услчв'аем ддя ураввеяа? (I), (П>, (3).

D гарагрефо' I глава II всслвдуегся зсдача для модельного урз^неьия \3). _ j

ЗАДАЧ I 6. Определить функции со создающими свойствен*!: 4) является регулярным решением уравнения (3) в ; удовлвтаоряог условиям (4) и

1 U

Sttlo^cla^jiiJ*), ¿1 , (i3)

где j'' ^Н--) > l - 4. й _ заданные функции, причем

i О ; .

О -"X ■

определенных ограничениях на гладкость заданных функций

- It -справедлива следующая

Т Е О ? S у А 5, Задача 6 шэат едааотвеиаоэ реаенпе. Шее? г.г-сп ПИЩИ 5':сТРйОТГА; реаенпе ) звд/т 6

liP'J

•k^-lV^O о.(ос)= о ,'í =

пплокггалтл'сто упкешумэ н отрвдатольвого минимума bQ> до-дагое? им* на часта V0- VJ f¿ граийцч

1доохзв::яосп р?з<шзз задача 6 елздьот непосредственно на

пушпга !."oip=;<vH3, р сусмогиованпо решения сводится к ррзро-itKoew огггуаяучого ай?ег; адьаого уравнения пгрмхьпаго т;;пй с

.'Сдзглг! аздокссы.

г-г,- рой й яосыщоя последоваят? ::олокп-:;*

ГЗЛЭЧ"! для яааьШат": урилснпл (I).

Пуст;. . /•<;, ; у ;, •<, ^

4

- задешше у у п от л ".г> С /V.', /у , првчем

-у ... <хр(*)-*о< ... •

* & w * £ ^ * • '" - № 'г ■< ~/ '

(7 4 Р ¿ IV < со , Ü Í 1/ s m ^ 00 •

•ЗАДАЧ А 7.Определять ^ункцяв УДа',^} 6 С (Q JflC^Qj со следующими свойствами:- > является регулярным реаачк-

ем уравнения (I) з ; удовлетворяет условиям (II) и

/-< J J (И/

С < -t < i ,

и,

И (-М) + ^ Ш \ /л ,

гдо а^;, > ' **2

- заданные непрерывные функции, прячем

^го^».^ г^) = аг =

ТЕОРЕМА 6. Пусть выполнены неравенства

П-

\a-mix. ^ <1, ■

(16

Ни

(г?

Тогда задача 7 кисет единственное решей'ле. «

Имеет'место следующий ПРИНЦИП ЭКСТРЕМУМА: пусть .решение задачи 1 .аул) - О, ¿.¿,¡1 ц справедливы «ера реаства (16), (17). Тогда, функция -й^я; свой положительный «аксамуы и отрицательный-ивинмуы в ^ ыокет достигать лишь, ни Гс и/} границы оС?

При доказательстве теоремы 6 единственность решения цеказц Еается с поиощью принципа экстремума, а существование решения -энвиаалеитныу образом сведено к разрешимости системы' сингулярны натегрвлышх уравнений.

В параграфе 3 главы П изучена сведущая _ 13 А Д А Ч А 6. Найти фуыэдю и(зг, ЦеС ) , хсотора дошитая ригу^арцыя .решением уравнения (2) а. И удов-

двгвордег ¿сдоазду (И), (12), (14), (15), где

а ■ (4), /с у, /г., Sy (-i),}, j,m

- заданные функции из С Lo,-43Ос (о, d) , причем ' A í0) sAl - Q¿f°)r - j= ■

Основным результатом данного параграфа является доказательство существования, и -единсгненносгй решения задачи 8.

ТЕОРЕМА 7. Пусть выполнена неравенства (16), (17).

Тогда- задача В имеет единственное решение.

ПРИНЦИП ЭКСТРВЛУЫА. Пусть ас({~), в;(1) ,X¿fi)<

ОС Н),У (4) - такие функции, что вапол-' V ' > ñ+4 __

няются неравенства (16), (17). Если

реиеняз задачи 8 при JJ¿ )- Ó, ( То эта функция

своего полоаительйого максимума и отрицательного минимума в ££ .' монет достигать é ляшь но ГоОТ^ границы •

Из этого принципа экстремума следует единственность реие-вня задачи. Существование решения изучено сведением к разрешимости система сингулярных интегральная уравнений нормального типа .о нулевкм индексом.

Заметим, что во всех задачах, изученных в диссертации, непрерывные условия склеивания при х-0 моано 'заменить разрывными условиями вида

(С U Р, М'О, ^ . • ■ .

■vx (w, i) *с/лm-v* >

где ^ С [О, i; ] QCl(o,d), о/л Ж б С Со,4]~

- звдаинче. функции, причем о/« /4) > С' •

Пользуясь случаем, пираваш искреннюю благодарность кзин руководителям - акадеиику АН Республики Узбекистан Тухтемураду Джураевичу Джураеву ц кандидату -маг.наук, старшему научному солруднкуу Седову Сабаровачу Исемухамедову за постановку . задач, постойное внимание и ценные совели при выполнена!; настоящий работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих роботах:

• Г. Акбарова Li.X. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием для. смешанно-параболического уравнения // ДАН РУз. I992."ii I..- С.б-Э;

2. Акбарова U.X. Ой одной нелокальной задаче с интегральным условней для смьшенки-ньраболйческого уравнения // Уз.(,Ix,1992, та з, 4. - с.3-13.

3. Дзурьев Т.Д., Акбароьа'М.Х. Нелокальные краевые задачи для. сиешавво-аьрсболичесйого уравнения //'Уэ.!&, 1У92,

С. 16-25. .

4. Джураев Т.Д., Акбарова М.Х, Вгорая краевая &адача с нелокальны?,! условней для сыешаяно-лараболического уравнения // Таз. докл.Мекдунадодыои научной конференции "Выроадйидиес&'уравнения и уравнения смазанного типе". Ташкент, 1993, - С.59.

5. Исамухвмедоь С.С., Акбарова Ы.Х. Нелокальная краевая задача для шрокдвщбгося параболического уравнения смешанного типа. // Тез i доил.Мендународной научной конференции "Вироедавдибся уравнения й уравнения смешанного типа". Ташкент, 1993.-С.77,

, 6. Акбарова Ы.Х. Краевая задача с нелокальным:! условиями для линейного смешанно-параболического уравнения // ДАН РУз, 1994, И 7.- Q.

7. Акбарова LI.X. Нелокальные краевые задачи с интегральным условлен длд линейных смешанно-параболических уравнений // уа.ШЕ, 1994, Л 3.- С.32-39.

АРАЛАЖ ТИ1ЩГИ ПАРАБОЛИК ТЕНГЛАМАЛАР ' УЧУЙ' НОЛОКАЛ ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАР

Ушбу диссертация киряш нясми вэ икия бббдан иборят. Биринчи бой оролаш типдог'и парэболик тенглаыалар учун Бицадзе-Самарский тнпидагя иосалзларни урганпога багишлан-гаи. • . , ■

йшшшг иккинчи бобида Ьсачегврввий ивртлара интеграл иуринишида берилтав нолокаЛ масалалар ургацнлган.

Днссергацвяда ургянилган иасэлэлар ечимпнпнг ягеналпга экстремум принципа вз экстремум нуцтвда яормал хосилздинг пшорасп зузцадагл теоремзга асослвяяб псботданган. Масалалар эчвминпнг мавжудлиги эса сангуляр тенгдамвлар вз .фрвдаольи иккинчи тур интеграл тэиглемалар наззрияларани копг здллаш асоспда ургашдгон.

Дчссертациядэ олингэн натяазлар вралаш тппдаги товгла-малэр яэзарпясида, зцэмдэ шу тенглэмэлзрга олпб кед^вчз амг-ллй мосвлзларни ечишида нулланвши мумкпн.

- 1b

NOMIQOAi BOU11DAHY VAlUi, RiObLliMS FOB PAMBOIJO EQIUTIOHS OS" MIXED I'm .

ihe candidate ai&Gci-ta ticn conflicts of introduction end two oViaptero.

She firat chapter is devoted to the investigation of boundary value problems Bit2adzfc-&a!Mrekii type for mixed parabolic equations.

In the yecoiid chapter the r.or.Iocal boundary value problems with integral coRditicx.s i'cv the mixed typu parabolic uquationn are studied.

.The solution.uniqueneas of problemu studied in the die-Bcrtation iP pi'oved by the ex tre„:;:.-i principle. On cotiiiidera-ticn of,the solution existence tho theory of oingular integral equations and Sredgolm equations of tl,j second genua are widely used.

The obtr-ijied results of the dissertation ure new and of theoretical nature., Ttoy can be need for further -inveatiga-tiona of the theory of boundary "value probiei.it of mixed type end for the' nolving of epplied probloiriB resulting in Euch equations,