Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

(

003431666 Рустамова Людмила Рус га мои на

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 ФЕВ 2010

Белгород-2010

003491666

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова (КБГУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Елеев Валерий Абдурахманович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пулькина Людмила Степановна

доктор физико-математических наук, профессор Зарубин Александр Николаевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН

Защита состоится 24 февраля 2010 г. в 15 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан" из " января 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядиев В. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в силу своей теоретической и прикладной значимости является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Важным этапом развития теории уравнений смешанного типа, является исследования, проведенные К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.А.Лаврентьевым, Ф.И.Франклем, где наряду с фундаментальными исследованиями целого ряда существенных вопросов данной теории, была показана практическая важность проблемы уравнений смешанного типа.

В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типа стали предметом многочисленных исследований как отечественных, так и зарубежных специалистов. Основные результаты этих работ и соответствующая библиография приведена в монографиях Л.Берса, А.В.Бицадзе, К.Г.Гудерлея, Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова и

A.К.Уринова, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, Е.И.Моисеева, а так же в докторских диссертациях Д.Базарова, В.А.Елеева, О.А.Репина, К.Б.Сабитова.

Одним из активно развивающихся направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является теория нелокальных краевых задач для различных уравнений смешанного типа. A.M. Нахушевым в связи с нахождением общих подходов в теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного (эллиптико-гиперболического) типа второго порядка были поставлены и исследованы краевые задачи, получившие в настоящее время название задач со смещением. В этих задачах нелокальные условия связывают значение искомой функции или ее производной внутри области со значениями, принимаемыми на гиперболической части границы рассматриваемой области. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, процессов размножения клеток.

Исследованиями нелокальных краевых задач занимались.

B.И.Жегалов, В.А.Елеев, С.К.Кумыкова, М.С.Салахитдинов, А.К.Уринов, О.А.Репин. Систематическое изучение уравнений третьего и четвертого порядков, содержащих в главной части смешанные операторы эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов началось в 70-х годах в работах Т.Д.Джураева и его учеников. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для уравнений смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и уравнений смешанно-составного типа

содержится в монографиях Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова, М.М.Смирнова, в докторской диссертации Д.Базарова.

Цель работы. Основной целью работы является постановка и исследование однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых

зада для уравнений третьего и четвертого порядков, содержащих в главной части смешанные операторы параболо-гиперболического типа.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов функции Грина и интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, интегральных преобразований Лапласа, метода интегралов энергии.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Франкля для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка.

2. Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором дробного порядка в краевом условии доказана теорема об однозначной разрешимости нелокальной внутренне-краевой задачи.

3. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа четвертого порядка.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа задачи Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и со спектральными параметрами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. Результаты работы могут иметь также прикладной характер при решении различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по современному анализу, информатике и физике (руководитель - заслуженный деятель науки РФ, академик АМАН, профессор А.М.Нахушев), на семинарах по краевым задачам для уравнений смешанного типа и их приложениям в КБГУ (руководитель - академик АМАН, профессор В.А.Елеев), на Международных (Российско-Узбекской, Российско-Казахской, Российско-Азербайджанской, Российско-Абхазской) 2003, 2004, 2008, 2009годах, на региональных научных конференциях молодых аспирантов и студентов, на региональной научно-практической конференции «Вузовское образование и наука», посвященной 10-летию ИнгГУ (г. Назрань, 2005 г.), на региональной конференции (г. Владикавказа 2006 г.), на второй и третьей международных конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкала, 2005,2007 г.) и т.д.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах. Из них [б] выполнена в соавторстве с В.А. Елеевым, которому

принадлежит постановка задачи и общие указания о' путях ее решения, а Рустамовой JI.P. - реализация поставленной задачи. Из них [8-9] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 115 страниц состоит из введения, двух глав, состоящих из 6 параграфов и списка литературы, содержащего 81 наименования.

Содержание работы

Первая глава посвящена нелокальным задачам типа задач Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнений третьего и четвертого порядков, содержащим параболо-гиперболический оператор.

В § 1.1 исследуется аналог задачи Франкля для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка

toхх ~иу + Ли^у > О,Я-const > О,

0 =

(1.1.1)

у< О,

дх .дх

в конечной смешанной области П, ограниченной отрезками АЛдВс прямых х = 0, у = А, х = 1, соответственно, и характеристикой А[В: х-у = 1 уравнения (1.1.1).

Задача 1.1.1. Требуется определить функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:

1) и{х,у) является регулярным решением уравнения (1.1.1) в области П, кроме прямых У = 0, у = -х;

2) и(х,у)е С<П)п \ (х + у = 0)) 3) удовлетворяет краевым условиям:

ди

дх

А{А0

= 0, II<?,J0=WÖ0.

du дп

=vi00.

(1.1.2)

(1.1.3)

где п- внутренняя нормаль, причем у\(у)<= С [-/,0] у'оОО5 С [-/,/г] ^Су)еС[0,Л} у/0(0)=0.

Используя свойства первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, задача 1.1.1 исследована специальным методом редукции к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

В § 1.2 рассматривается уравнение

-Ьи--

8(1- signy

:+1±ШУиу + Ли) = о

(1.2.1)

дх " дх{ 2 УУ в конечной односвязной области £1 плоскости независимых переменных л и у, ограниченной отрезками АА^, АдВд, В0 В прямых х = 0, у =у0 , х = I, соответственно, и характеристиками АС: х + у =0, ВС: х - у = I, уравнения (1.2.1), выходящими из точек А и В, и пересекающимися в точке С(//2,-//2)

Л = Л\ при у > О, Л = Л2 при у < 0. Обозначим через О! = О п {у > 0}, О2 = О п {у < 0} параболическую и гиперболическую части области £2.

Задача 1.2.1. Найти регулярное в области О. (при уф 0) решение и(х,у) уравнения (1.2.1), непрерывное в £1, обладающее непрерывными производными их и и у в области / (ВВ$ иЛд^О и ВС), удовлетворяющее краевым условиям

а=0

: <р2 (у)

(1.2.2)

(У'У'х <*, у)+ Рх {у)В«хи(х, = Ь(у'Рохи(х,у)~_х==1 +

+ 5(у} 0<у<у0,

(1.2.3) (1.2.4)

и\лс =

ди дп

АС

= ^20с) 0 < х < I/2,

где - произвольная фиксированная точка интервала Р,/[, -

оператор дробного интегрирования порядка -а, а<О, п - внутренняя нормаль; <рх{х)е С[0,уъ]г*С2у,1[, (р2{х)&СХ[Ъ,у\ С2[0,//2],

у/2(х)е С1[0,//2], причем полагаем, что

<Р[ (0)= ц/\(0)= 0; (у} /?, (у} /' = 1,2, <5(у) - функции непрерывные в замыкании области их определения.

В начале рассматривается случай, когда Л\ = = 0 ■ В этом случае для следа и(х,0)= т(х) искомого решения, приходим к нелокальной краевой задаче для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения: г"Сс)-г'(х)=-а(;с) + а0 , (1.2.1')

г(0) = щ (0} г'(0) = <Р2 (0), 0.2.2')

И(ОУ(х)+ ß{®)D°xT(x)-_ = ^2(0>'(х)+ РгФУ)^т(хУ_

х=х0

Справедлива

Теорема 1.2.1. Пусть а<0 и a2(y)*Q,

ß\mx°

X=l

+ 5(0).

с.2.3')

А = а, (ОХехрС*)- ^ -1)+ J (ехР(0-1~ - О"1"" dt -

(1.2.5)

- fCexpCO- Г -1» - О"1-* dt Ф 0.

Тогда задача (1.2.1') — (1.2.3') разрешим ипритом единственным образом.

Схема доказательства следующая: после нахождения г(х) приходим к задаче (1.2.1) - (1.2.3), и(х,0)= г(х), которая в силу свойств функции Грина смешанной краевой задачи, эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода.

Пусть теперь ф 0, Х2 *■ Задача 1.2.1 эквивалентно редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая однозначно разрешима.

¡щ(х,у), (х,у)efi), \и2(х,у}

Задача 1.2.2. Найти регулярное в области Q, у & 0, непрерывное в О. решение и(х,у~) уравнения

|~(£«)= 0, (1.2.6)

ду

обладающее непрерывными производными их,иу в области .Q и удовлетворяющее краевым условиям (1.2.3),

u\x=Q=<P\(y\ 0 <у<у0,

Обозначим и(х,у)=

«| АС

du дп

АС

= у/2(хУ

ди on

ВС

= Уъ

(1.2.7)

(1.2.8)

и условиям склеивания

(х,0) = и2 (х,0), и\у (х,0) ~ и2у (х,0), Щуу (х,0) = и2уу (х,0),

где заданные функции (р\{у\ у/\{хУ, цг2(х) 11 коэффициенты нелокального условия (1.2.3) а,(у), /?,(у) г = 1,2, 6(у) обладают такими же

свойствами, как и в задаче (1.2.1), а ^з(х)е 2,/1 причем у/2(//2)= -у'зИ/2).

Методом редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная разрешимость задачи 1.2.2.

В §1.3. в области П (см. §1.2) для уравнения четвертого порядка, содержащего гиперболо-параболический оператор

0 =

1М> У>0

дх<

-Гг*хх-«уу')

дх

(1.3.1)

у <о

ставятся и исследуются следующие нелокальные задачи:

Задача 1.3.1. Найти регулярное решение уравнения (1.3.1) в области О при уФ 0, непрерывное в замкнутой области П с непрерывной производной при переходе через отрезок АВ, удовлетворяющее граничньш условиям

и\х=й=<Р\(у),и\х=1=<Рг(у), мх|Л=0 (1-3.2)

= fx2(y>xM+ 02(УУ>&(а>У)~

х~х0

Х=1

(1.3.3)

du дп

АС

. д2и

= У2<» —7

- Л

= 1/3(у) -И2<у<0. (1.3.4)

АС

области

5п'

Здесь п — внутренняя нормаль области 0.2, - произвольная фиксированная точка интервала - оператор дробного

интегрирования порядка-а, а < 0, <Р2(уУ <Рз(у)е С[0,уц1 (У^О) '/^Су} ^3"О)еС[-//2,01 (у* ¿(у) » = 1,2, ¿ООе С[0^01 ^(»еС[0,>'0]пС2]Э,>'0[ причем а2(у)*0, ^(0) = ^(0).

Задача 1.3.2. Эта задача отличается от задачи 1.3.1 тем, что условия (1.3.2), (1.3.3) заменяются условиями

м

:<РзОО>

(1.3.2')

"(*о >>0=°(yMi, y~)+ß 00- О-З.З')

Заданные функции (р,(у1 у/,00, ' = 1,3, а,(у), ßt(у) ' = 1,2, 5(у) обладают такими же свойствами, как и в задаче 1.3.1. Выписывая соотношения между г(х)= и(х,0) и v(x)=uy(x,0), приносимые

из областей Dj и Qj на линию у = 0, а так же учитывая граничные условия (1.3.2) и (1.3.3) задачи 1.3.1, получим вспомогательную нелокальную задачу относительно т(х) вида

т"(х)~т,(х)+Ахт(х)= о-! (0)+ XU2 (0)- п(х~) = й(дг), (1.3.5)

r(P)=p,<Pi г(/)=р2(0) т'(0)=?»з<Р), (1.3.6)

И ФУ(х)+ А (0)П£хт(хХ = ФУ(Х)+ р2 (О)О^т(х):

х=х0

Х=1

(1.3.7)

где Я(х)=а1(Р)+^ог2(0)- } + ~ - 2^2(0)+

42 ,

+ —у/ - у СГ1(Р) и о"2<Р)- произвольные константы.

Доказана следующая

Теорема 1.3.1. Пусть выполняются неравенства

^={к2-кОЯ(1> *2ек*1-к^'ут*0,

(1.3.8)

Л2=©4(*2-*1

(*2)/{<?)-"

к2~к1

-[(к,-*,)©, -2(0, -©,)//(/)-2/'(0)]х где 0] — (О^е^ + рхфЖ/* ~ «2№"Рг<РУ>£/1Х

х=х0

©2 +А<рр£/2*

©3= «1/1X^0)+А '

д:=х0

- «2(0> 2 -р2ф)й°хеК

х~х2

- а2фУ((1)-р2ф}ОохЛ^

(1.3.9)

Х=1

У

Х---А

х=1

©4 = «1 Ф)/2 (*0)+ А (0Р0°/2 (*) - «2 Ф)/2 (О" /2 «Г

Тогда задача (1.3.5) - (1.3.7) разрешима и притом единственным образом. Аналогично доказывается однозначная разрешимость задачи 1.3.2.

Задачи (1.3.1), (1.3.2), м(х,0)=г(д:) и (1.3.1), (1.3.2') и и(х,0)= г(х) эквивалентно редуцируются к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая имеет единственное решение.

Во второй главе исследованы на корректность нелокальные задачи типа задачи Франкля и Бицадзе - Самарского для уравнений смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

В § 2.1. исследуется нелокальная краевая задача типа задачи Франкля для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками вида

0 =

-а\(х,уУ1х+а0(х,уУА-иу, у> 0,

(2.1.1)

8 п

а — + ß—

дх ду j

д_и__д_и_

.2 я.,2

, у<0

и\лс

ду ,

в области Q (см § 1.2).

Задача 2.1.1. Определить функцию и(х, у), обладающую следующими свойствами: 1) и(х, у) - является регулярным решением уравнения (2.1.1) в области О, кроме прямой у = 0; 2) и(х,у) eC(Q) пС'(£1); 3) и(х,у) удовлетворяет граничным условиям:

"(0,у)=<р\(у), u(l,y)=<p2(yl

(2.1.2)

ихФ,уУих(],у')=<р3(уУ 0 <y<h,

f =уг(х\ 0 <х<1/2, (2.1.3)

д" АС

где <pi (у), д>2 (у), <р-$ (у) и у/\ (х), у/2 (х) — известные гладкие функции, причем

щ(0)=щ(0), щ(у)eC'p.Äl <p2(yy93(y^C[Q,h1 ^WsC2[0,//2]

у/2(х)е С1[0,//2]. Относительно коэффициентов в уравнении (2.1.1.) предполагаем, что öiа1х(х,у)е C(fi), а,ß = const,

1 1

а + ß ^0. Рассматривается случай, когда а^(х,у^)= const = Л, aj(х,у) = 0, а = 1, ß - 0. Доказываются следующие утверждения:

Лемма 2.1.1. Пусть Я < 0 и выполняются равенства

lim м(^,0>хг(д:,0)=0, lim w(x,0>xx(x,0)=0. (2.1.4)

Тогда для любого регулярного в области Oj решения уравнения (2.1.1.) справедливо неравенство

Лемма 2.1.2. Если и\АС =0,

(2.1.5)

= 0, то для любого регулярного в

I = /г(.ху(хук < 0. 0

дп\ЛС

области С12 решения уравнения (2.1.1.) справедливо неравенство х

I = ¡т(хУ{хУ1х > 0. 0

Теорема 2.1.1. Пусть и{х,у)- регулярное в области С2 решение однородной задачи (2.1.1), удовлетворяющее условиям (2.1.4). Тогда и(х,у*)= 0 в П при всех значениях Л< 0.

Из теоремы 2.1.1 непосредственно следует единственность решения задачи 2.1.1.

Для определения следа г(х)= и(х,0) искомого решения на линии у = 0, приходим к нелокальной задаче

тт(х)-т'(х) + Лт(х) = р(х), (2.1.6)

т(0) = ^(0), г(/) = ?2(0), г'(0)-г'(/) = ^з(0>- (2-1.7)

Обозначим через S - Л /4 —1/27 дискриминант характеристического уравнения

кЪ-к + Л = 0, (2.1.8)

соответствующего однородному уравнению (р(д:)= 0) (2.1.6). Теорема 2.1.2. Пусть выполняются условия

1) Д0 = -2ch(2kl)+ klQ. -3kl)+ (1 + 3*/)Г w * 0, если 5 = 0;

2) Al = ft - k2Wk3 + е1{к^Ъ (k2 - kx Wh +

+ (k2 - kxWkl + el{kl +кз}> 0, если5 < 0;

3) Д2 = 2s h(alXb cos Ы-За sin bl)-be~2a! * 0, если 5>0,

где ¿ = /rj = 1,26, k2 =-2,46-l,oWl-62, /t3 = 2,46 + l,oWl-62,

а = м+и, 6 = V3(« + u)/2, и = з|^+л/5, и = при 5 = 0,

5 < 0 и а =

in b = ctgip при S> 0, тогда задача (2.1.6),

(2.1.7) разрешима, притом единственным образом.

Схема доказательства следующая: после определения г(лг) в области Dj приходим к задаче (2.1.1), (2.1.2), единственность решения которой доказывается методом интегралов энергии, а его существовалие доказывается с помощью теории потенциала и аппарата преобразования Лапласа. В области С12 приходим к задаче (2.1.1), (2.1.3) решение которой выписывается в явном виде.

Во второй части § 2.1. исследуется нелокальная краевая задач 2.1.1. ад(х,у) = const, а[(х,у~)*0,а = 0, /3 = 1. В этом случае справедливы утверждения:

Лемма 2.1.3. Если и(х,-дг)= 0, — (х,-х)= 0, то для любого

дп

регулярного решения уравнения (2.1.1) имеет место неравенство

X

J = Jr2 (r>2 (tyit S: 0 при любом x e [0, /]. О

Лемма 2.1.4. Если a|(jc,0)-a0(x:0)> 0 и

lim u(x,Q)/xx(x,0)= 0, Hm «(x,0)«xx(x,0)=0, щ (0)=<P2 (0)= <рз (0)= 0, x->l+0 x->/-0

то для любого регулярного решения уравнения (2.1.1) справедливо

соотношение

0

Теорема 2.1.3. Пусть и(х,у) - регулярное в области О) решение однородной задачи 2.1.1. Тогда и(х,у)= 0 в П.

Из теоремы 2.1.3 непосредственно следует единственность решения задачи 2.1.1. С помощью преобразования Лапласа задача 2.1.1 эквивалентно редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая однозначно разрешима.

В §2.2. исследуется на корректность аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащими спектральные параметры

иххх~иу-ки> >'>0

0=

Гд2и д2и ,

---J + Ä2U

у < 0, s = 0 или 1

(2.2.1)

¿Г

В односвязной смешанной области О (см. §1.2.) Задача 2.2.1. Найти функцию

и(х, у) е С<П)п С1 (П)п С$>р(С11 )П С£'2)(П2 ), удовлетворяющую уравнению (2.2.1) в О] и02 и внутренне-краевым условиям

ихф,у)=<рх{у), (2.2.2)

a\iy)— + ß\(y>(x,y)

ох

х=х0

ох

Х=1

ч{х,у~\АС=\1/х{у), О<х<1, если s = 0

+ S(y% (2.2.3) (2.2.4)

и ии\АС=щ(х\ 0 <х<1,

ди dü

АС

= Vi 0<х<1/2,

ди дп

= 1/2<х<1, если б = 1, (2.2.4')

ВС

где хо- фиксированная точка интервала 0<х<1;

<5/, Р,, / = 1,2, <Ро(у), <р\(у~) - заданные функции, непрерывные в

замыкании области их определения, причем

/?200*0, <Рг<У>СХ[Ъ,Уо1 П^С2[0,//2] ^2(х)бС1|0,//21

щ{х^СХ[И2,11 91(0)= (0), у/2'(//2)=-^3'(//2).

Пусть i = 0. В этом случае относительно следа г(х) ис]сомого решения на линии у = 0, получаем нелокальную внутренне-краевую задачу для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка

г"СО- г'(х)- Я! Г(д0= (2.2.5)

г(0)=р0(0) r'<P)=ft<PJ (2-2.6)

[ßl (ОУ (х)+ ßi (РХ*)]^ = [а2 (ОУ (х)+ ß2 (0)r(x)]J=/ + <5(0), (2.2.7)

если Л2 = 0 и нелокальную задачу (2.2.6), (2.2.7) для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка

ти(х)-г'00+ ф)r(x)= Ja+ ©(*), (2.2.8)

о

если Я2 * О, где N(x,^\ q(x\ 0(х) - выражаются через заданные функции. Имеет место

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены неравенства

[mia№ + ß\(miemiX° -emXa] + [m^2(0) + ß2(Q)][eml-e^l] +

{[2mx0a! (0) + /?! (0)х0 ] • е"1*« -m/ajW-e^J-iw-m^^O (2.2.9) в случае задачи (2.2.5)-{2.2.7),

а!(0>7(хо)+ ^(ОЯ^о)-^(OK^-ÄiOM)^ 0 (2.2.10)

в случае задачи (2.2.8), (2.2.6), (2.2.7), где mj = ЗЯ^, /л = [- ЗЯ)]/2, да(;с)-

известная функция из класса С1 [0,/]. Тогда задачи (2.2.5)-(2.2.7) и (2.2.8), (2.2.6), (2.2.7) однозначно разрешимы.

После определения г(х) в области Qj, в обоих случаях приходим к задаче (2.2.1)- (2.2.3), и(х,<У)= и(х~% и(1,у)= <р2(уУ которая эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции РгОО- Это уравнение безусловно, и однозначно разрешимо.

Доказывается однозначная разрешимость задачи и для случая i = l, Я2=0. А в Q2 решение рассматриваемой задачи выписывается в явном виде.

В § 2.3 рассматривается нелокальная краевая задача для нагруженного

уравнения с кратными характеристиками, содержащими спектральные

параметры.

Рассматривается уравнение

иххх ~иу +Я1м(х,0), > 0,

0 = ] д (2.3.1)

— ("л* -Uyy) + Ä2u(x,0), у<0, ду

в области Q, определенной в §1.2.

Задача 2.3.1. Найти функцию и{х,у), удовлетворяющую условиям: /;м(дг,3/)еС(0)пС1(а)пС^(П1)г\С^;у(а2).' 2) "(* ,у)-регулярное решение уравнения (2.3.1) в О] 3) и(х,у) удовлетворяет краевьш

условиям (2.2.2)-(2.2.4).

При определенных условиях на заданные функции доказывается однозначная разрешимость задачи (2.3.1).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.А. Елееву за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Рустамова, Л. Р. Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка / Л. Р. Рустамова // Вестник КБГУ. Серия мат. наук. - 2003. - № 3. - С. 57-60.

[2] Рустамова, Л. Р. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка / Л. Р. Рустамова // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик -Эльбрус, 18-25 мая 2003 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2003. - С. 83.

[3] Рустамова, Л. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Л. Р. Рустамова // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума. Нальчик - Эльбрус 22-26 мая 2004 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004. - С. 153-155.

[4] Рустамова, Л. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения третьего порядка со спектральными параметрами / Л. Р. Рустамова // Сборник научных трудов Ингушского государственного университета. - Магас, 2004. - Выпуск № 2. - С. 298-303.

[5] Рустамова, Л. Р. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения с кратными характеристиками / Л. Р. Рустамова // Материалы региональной научно-практической конференции «Вузовское образование и науки». - Магас, 2005. - С. 61-68.

[6] Елеев, В. А. Нелокальные краевые задачи со смещением для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка / В. А. Елеев, Л. Р. Рустамова // Материалы второй Международной научной конференции «Функционально-дифференцируемые уравнения и их приложения». - Махачкала, 2005. - С. 93-96.

[7] Рустамова, Л. Р. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка с оператором смешанного параболо-гиперболического типа / Л. Р. Рустамова // Материалы второй Международной научной конференции «Функционально-дифференцируемые уравнения и их приложения». -Махачкала, 2005. - С. 156-158.

[8] Рустамова, Л. Р. Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с группой младших членов / Л. Р. Рустамова // Известия высших учебных заведений.

Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2007. - № 3. — С. 14-16.

[9] Рустамова, Л. Р. Нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа четвертого порядка / Л. Р. Рустамова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2007. - № 4 - С. 14-16.

[10] Рустамова, Л. Р. Некоторые краевые задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором дробного порядка в краевом условии / Л. Р. Рустамова // Материалы третьей Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала, 2007. - С. 177- 180.

[11] Рустамова, Л. Р. О некоторых нелокальных задачах для уравнения смешанного типа четвертого порядка / Л. Р. Рустамова // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума. Нальчик-Эльбрус, 12-17 мая 2008 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2008. - С. 145.

[12] Рустамова, Л. Р. Нелокальная краевая задача типа задачи Фраккля для уравнения смешанного типа третьего порядка / Л. Р. Рустамова // Материалы Российско-Абхазского симпозиума. Нальчик-Эльбрус, 17-22 мая 2009 г. - Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2009. - С. 192-193.

Подписано в печать 19.01.2010. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 5. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85