Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в односвязной и двусвязной областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Уринов, Ахмаджон Кушакович
АВТОР
|
||||
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Ташкент
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
РГ6 од
2 8 illüií Шёдшя н^к РЕСПУБЛИКИ ЗЗВЕКНСТАН
Институт натенатикн имени в. И. Романовского
Ш праМх рукописи
нринов йхмйдаон кэтшкович
НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ СМЕШАННОГО ТИПА В ОДНОСВЯЗНОИ И ДВУСВЯЗНОИ ОБЛАСТЯХ
01.01.02 - Дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискании ученой степенн доктора фкзико-натематиче ских нале
Ташкент- 1993
Работа выполнена в Ферганском государственной университете.
научный консультант - акаденик АН Республики Узбекистан,
доктор Физико-математических наук, профессор м. с. Салакитдинов
Официальные оппонента - заслуженный деятель науки
Кабардино-Балкарской Республики, доктор Физико-натенатических наук, профессор А. М- Нахушев
- член-корреспондент АН Узбекистана, доктор Физико-математических наук,
9
профессор Ш. А. Алимов
- член-корреспондент АН Казахстана, доктор Физико-натенатических наук, профессор т. Ш. Кальменов
Ведушая организация - Московский государственный университет
имени и в. Ломоносова.
зашита диссертации состоится __J^t—^l^r____ 1993 г.
в it? часов на заседании специализированного совета Д 015.17.21 в Ннсютгге математики имени В. Н. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент -143. ул. Ф. Ходхаева, 29.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математики ннеда в. И. Ронановского АН Республики Узбекистан.
^ /* / Г -v rt
Автореферат разослан _______ 1993 г.
Ученый секретарь специализированного совета ^ .ijfl
доктор физ.-кат. наук '/{,{, IKJXJ^^ ш. А. Хашимов
; ОБЩАЯ ХАРЖГБРИСТИКА РЛБСГГЫ
Актуальность темы. Наряду с изучением классических уравнений с частными производньшя эллиптического, гиперболического и параболического типов, начиная с двадцатых годов нашего столетия, внимание исследователей уделено изучении уравнений, которые в одной части их задания принадлежат .одному типу, а в другой - другому типу,т.е. уравнений.смешанного типа. Начало исследованиям краевых задач для таких уравнений было доложено в работах итальянского математика Ф.Триксми и получило развитие в работах С.Гел-лерстедта, А.В.Еицадзе, Ф.И.Франяля а К.И.Бабенко.
Интерес к изучению краевых задач для уравнений сметанного типа особенно возрос после того, как обнаружилась их связь с задачами газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек.
В связи с энт в последние годы в работах В.Ф.Еолкода-вова, В.Н.Врагова, Т.Д.Джураева, Т.Ш.Кальменова, Г.Д.Кара- ' топраклиева, М.М.Мередова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, С.П.Пулькина, М.С,Салахитдинова, М.М.Смирнова и многих других, теория краевых задач дан уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях. Обзор многих этих работ и юс приложений имеется в монографиях А.В.йшгдзе, Л.Берса, М.С.Салахихдакава, Т.Д.Дяураеве к МЛ-Смграсза.
Оаним из активно развивающихся направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является seo-, рая нелокальных краевых задач для уравнений такого типа«. В -TSS9 году A.B-Bmiexze л ¿.¿.Самарским было предложено некоторое обобщение линейных краевых задач для уравнений
мшшг^чеекого ш, которое няне аслуягло название "зеда-Ещедзо-Сй&шроксго". Затем появился ряд работ, которые «азавдэш изучению танах задач для уравнений ашагаическо-издмбойычеокого, элядашгсс-парабалического, параболо~ пшербалнчзского тапов. Вто работы М.С.Саяахнтдинова и АЛ'азшпш, Т.Д.Дгурзева а А.Саауеьа, Щ.А.Аламова,Т.Ш.Каль-шиш г. Б.К.Ершешсова, А.Ф.Напсо, А.К.Лулатоэа, Д»Амано-т п М.Н.Ддскшзаяа и др. Малоизученными в этом направденви осгакксь задачи таша Еацаязе-Самарского дяа уравнений эллщ •тшсо-ГЕпербожЕческого Т151Ш • ДОЛ 6 в I с конца 60-ых годов посла заагестних работ А.В.Еацадзе и А.М.Нахутева начато изуче-
•..........-I
шг зедач (со смещеажеа) дат урсжяейзй гиперболического, в/Дйал^шго-гшз^бокичоского е параболо-гапербодического та-гмз с нэйокшшншш краевыми услошшда в гиперболической »ззж грзящы расскатраваемой ойтасжи. Изучению таких задач лееащекг шогомкслешые работысреди которых следует работа М.С.Салахатдаиоаа, Т.Д.Дкураева, А.М.Наху-гаяиа, В.&.Вгшщгазова, Ь^.Сйиряога, В.И.Кегалоза, М.М.Ке-р^жеса к ах учежнов. Б божншнсЕве р^йот, где изучены ее-дачу со сэдедаса, рассмотрены идя кодслёше уравнения дол дшнейзиз ургшаенгя со специально подсбраняыш коэффщяен'ха-ет врз аиадаш: арсззвсднах. Однако небольшое, часло рабзг досвяарко исследованию задач со с&ещзявем для уравнеаай счеяшкого тапз о »вддашги чдеязш*
Со второй шхтаетш 70-ах годов пнгеясквно изучаются краовяе задачи для урэвнгиай смешанного.типе со спектральным параметрам. В работах Б.ПЛ&хайяозза, ЕЛ1.Моисеева, С.М.Пансшарева, Т.ШЛ{аяькено.за, А.М.Бяава к С.П.Пудыяша,
Т.Д.Дяураева и А.Сопуева, Ю.У.ТапЕЯ1р5аава, К-В.Са<&г<ш я ряда других авторов изучена единственность рьязяйя задача Трикоьи для различных уравнений смешанного тина со спектральным параметром. Нессмяеняцй интерес представляет изучение задач типа Еицадзв-Самарсиого к задач со емзв&шгей для таких уравнений•
В начале 50-ых годов А.В.Еэдздзз был поставлен л апу-чен аналог задачи Траком для уравнения Лавренхьега-Еэдпд» гз в двусвязной области. Однако, до настоящего врзмопя локальные, так й нелоаалыше краевое задзчж, в оснсвнсгг, рассматривались в односвязкыгс областях. Крзехйз зада-м,даже локальные, для уравнений смешанного тшо я двусвязяой области исследовались совсе?л мало.
Данная диссертационная работа посвящ-зпа постановка 2 исследованию нелокальных краевых задач для следушк дав-евней аядатако-гипврболачесгого типа
+ % = °> (I)
а^ - 121уГи=о, >ъ > о, (2)
ихх + - /з^их+рч - О, Ш
ГДЭ а.(Х,у) ,. £(Х,>/) , заданные фушздЕЗ,
а Л - ззданяоз чесло.
Цель работы. Исследование вопросов существования з единственности решения задач с лелокольенки краевыми условиями как в эллиптической, так к в гзперболачсско.1 части смешанной одяоевязней обяаота для урашшай (Х)Д2),
(3), а также задач со смещением для уравнения (4) в смешанной двусвязной области.
Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач.доказывается методами интегралов энергии и принципа экстремума, причем при применении первого метода существенно используется интегральное представление функции Бесселя. Существование решения рассматриваемых задач доказывается методом интегральных уравнений. Hps этом широко используются теория сингулярных интегральных уравнений, теория линейных интегральных уравнений Фред-голыла второго рода, а иногда - теория'интегро-ди|ференци-гяышх уравнений.
Научная новизна. В диссертации подуче-ЕН следующие основные результаты:
1. Введены некоторые операторы с функцией Бесселя в ядрах, которые играют существенную роль при постановке s исследовании краевых задач для уравнений со спектральным параметром. Изучены свойства введенных операторов, связанных с'их суперпозицией, установлен принцип экстремума для атих операторов.
2. Исследована разрешимость некоторых интегральных и .интегро-дифференциальных уравнений, которые встречаются при изучении краевых задач., рассматргваелшх в диссертации.
3. Впервые.поставлены и изучены задачи со смещением для уравнений (I) и (2), когда Л ^ О '.
4. Доказана'однозначная разрешимость двух задач для каждого из уравнений (I), (2) с нелокальными краевыми условиями как в эллиптической, так и в гиперболической части смешанной односвязцой области. .
5. Исследованы задачи типа Езцадзе-Самарского для уравнения (3) в смешанной односвязной области.
6. Поставлены и исследована задачи со смещением для уравнения (4) в смешанной двусвязной области, а также ряд вспомогательных задач для зтого га уравнения в сдносвяз-яых областях.
Hps исследовании краевых задач .для уравнений (1),(2), (4) существенно используются операторы а юс свойства,отмеченные в пункте I, причем в уравнениях (I), (3) предполагается, что Л - комплексное число, а э (4) -As Q .
Теоретическая к практическая а а а з о о i ь . Результаты, полученные в диссертация, косят теоретический характер. Они могут быть использована г,г~ дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа, а также ара решении прикладных задач > срк-водящихся :к тагам уравнениям.
Апробация работы - Основные результаты работы докладывались на объединённом семинаре отделов де§>-$;зрзнциальшх уравнений а неклассических уравнений математической фазшщ Института математика им.Э.И.Романовского АН РУз (руководители - акадешки АН Узбекистана М.С.Салахит-деяоз и Т.Д.Дкураев), на семинаре при кафедра математической шзеки Ташкентского .государственного университета (руководитель - члея-корр.АН РУз Ш.А.Алимов), яа объединенном научного следовательском семинаре по нелокальным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных и их прялете-киям ж моделирования и автоматизации проектирования систек з распределенными параметра?® (г.Нальчик, 1986 г., май),на
Всесоюзном симпозиуме "Современные проблемы математической физики" (г.Тбилиси, 1987 г..апрель), на Всесоюзной школе молодых ученых "функциональные методы в прикладной математике Е математической физике" (г.Ташкент, IS88 г., май),на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Самара, 1992 г.,май), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (г.Новосибирск, IS92 г., июль).
Пу бликации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-22] .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она изложена ва 260 страницах машинописного текста. Список литературы включает 106 названий.
СОДЕРЖАЩЕ РАБСЩ Во введении дан краткий.обзор работ, относящихся к тьме диссертации, и приведены основные результаты диссертации Первая глава, шейная вспомогательный характер, состоит из трех параграфов. Б § I.I-I.2 введены я рассмотрены следующие операторы4, которые существенно используются при постановке и исследовании краевых задач для уравнений (I), (2) и (4):
ÏMtSF & ïM^û^l*.
a z .
_ *
л» (х), а
- функция Бесселя первого рода порядка V ; Л » уЗ £ £ » причем 0<В><1/2; ¡х = 0,Л.
В § 1.1 изучаются свойства операторов Ла;с и , связанные о их суперпозицией, а в § 1.2 доказываются принципы экстремума для операторов Дазс , В>ах и <2ах .
В § 1.3 исследуется разрешимость некоторых интегральных и интегро-дкфферерлдаалъшх уравнений, в ядрах которых участвует функция Бесселя с параметром Л. . Находятся их решения в 'форме, удобной лря исследовании краевых задач для уравнений (I), (2) и (4). Результаты этой главы используются в главах П, Ш и 7,
Вторая глава, состоящая аз пяти параграфов, посвящена постановке и изучению двух нелокальных краевых задач для. уравнения (I), которые названы задачами БС° и ВС* . Причем здесь предполагается, что Л г Л£ . при ^ и
-Я - -Дг ПР- > а ^.^г - заданные комплексные числа.
В § 2.1 дается постановка задач. Пусть Л - конечная одаосвязнзя область плоскости независимых переменных у , ограниченная при ^>0 линией^-' и пр-л
У<0 характеристиками АС : , ВС :
С
я - у £ ' уравнения (I), а 4,= Д П (¡{>0), А^йП(^О),
Пусть, далее,» г точки пересечения ха-
рактеристик, выходящих из точки (X, О) А В} с характеристикам® АС и &С. соответственно, т.е.
Нике под ре:туляряш в области Д и Д. ±,2) решением уравнения (I) понимается функция и.("Х,у) из класса
С(й)ПС'(тС2(А ив) 2 С(А.)ПС.%иАЬ)ПС%),
г. ^ <;
удовлетворяющая уравнению (I) в области Д\АБ и Д^ (¡¡-4,2) о о ответственно и такая, что частные производные Ц.Т(Х,0), 11ц(Х,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при з: —XI
Задача 5С0 заключается в отыскании регулярного в .ооласгл Д решения уравнения (I), удовлетворящего краевым условиям ■ "
, '" (5) .
ч-С(х)й(х.о) = а(х), (2,0)£ ЛЬ,
где ¿^(ъу) (я* ¿Л), ОССХ), £(х), С(Х),
- заданные действительные,, функции, а 4. п. ) -
- заданные действительные числа,причем. 34х)
-16 X £ I, О < ^ < г, < ... ^ ^ С 1-.
Задача отличается от задача. БС° тем, что
вместо (5) задается условие
* **>4 [зги<9<>] +
(6)
+С(Я)Ц,и(Я:,0) = с/(х), (Х,о)еАЬ.
В условиях (5), (6) под понимается оператор,
изученный в главе I, причем здесь Л - .
Задачи, полученные из задач БС° и БС~ при >С - П- , названы задачами Г я Г соответственно. Они представляет самостоятельный интерес и используются при исследовании задач
Б0° и ВС1 .
В § § 2.2 и 2.4 рассмотрены задачи Г" к Г* соот-зетстзеяно. Единственность решения задачи Г° сформулирована в виде трех теорем, а задачи .Г* - в виде четыре;, теорем и они доказаны методом интегралов энергии с использованием интегрального представления функции Еесселя. Сущее?-
Го т £ '
_______ ^ ...... и 1 доказано методом интегральных уравнений.
СЬнавшм результант §§ 2.3 и 2.5 является доказатель-стзо существования и единственности реиенкя задач е
соответственно.
Единственность решения задачи б'С" сформулирована в виде трех теорем, а задачи - в виде четырех тзо-
(Х(х)А
чх
- 12 -
рем е они доказаны-методом принципа экстремума. Существование решения задач Б0" и ВС* доказано эквивалентным сведением их к интегральному уравнению Фредгодьма второго рода, разрешимость которого следует из единственности изучаемой задачи. 1
В третьей главе, состоящей из пяти параграфов, рассматривается уравнение (2) и исследуются аналоги задач БСа , Б С* для этого уравнения. Здесь также предполагается,что -Л=при ^>0 и А-Лг при , а \ , _ заданные комплексные числа. .
В § 3.1 дается постановка задач БС? , ■ Б С* для уравнения (2) и их частные случаи Г° , Г1 .
Пусть, теперь, Д - конечная одяосвязкая область плоскости переменных . Х- и у , ограниченная при % линией б; ; Х.г+ [2/(гк+2)]г = 1 и при у<0 характеристиками АС:
ВС: * { уравнения (2), а
А* А П (¡/>0).,
Через ■ и - обозначим точки пересечения характеристик, выходящих из точки (Х,0) & А& , с характеристиками ЛС и &С соответственно, т.е.
Под регулярным в области решением уравнения (2) понимается функция и(х,
удовлетворяющая уравнении (2) в Лу . (/- ¿,2) и такая,
что частная производная и^ непрерывна вплоть
до отрезка АВ> , а ^ (Х.О) мояет, обращаться в бесконечность порядка меньше . при ^ —»- ±±.
Регулярное в области Л^ решение задачи Коки для уравнения (2) представимо в виде
( ] - г п— \ [щ-ь^Д^^та^]^^
где Т(Х)= и(Х,0) , Ях) = , причем сС^е:
£СВ£.ЦПСг(-и), 1(х)£ а может обра-
щаться в бесконечность порядка меньше при
в-= с-р(т*2}/2 , = Ггс+о 1К т,
(7)
Ге С21) . - модифицированная функция Бесселя порядка . Под обобщенным в области А2 решением уравнения (2)» принадлежащем классу , понимается функция и представшая в ввде (7), в которой и 9(х) соот-
ветственно удовлетворяет условию Гельдера с показателем больше 2-уЗ к у3 при
Задача Б С" для уравнения (2) формулируется следующем образом: найти в области А функцию , обладающую следующими свойствами: I) : С (А) ; 2) и Сх,у) _ регулярное решение уравнения (2) в области
; 3) Щхф _ обобщенное решение уравнения (2) .принадлежащее классу в области ; 4) выполняется условие склеивания
У-++0 4 а г «
5) и(Х,р
-14-
удовлетворяет условиям
и (ХМ)- £ ¿с ' (8)
(9)
4С.(Х)и(Х,0)*с1(Х), (Х,0)СА&, %
гае (¡С--ГЛ), с!(ху-
- заданные действительные функции, а (¿^-1,/г ) -
- заданные действительные числа, причем ' а?(_ос) + Чхе.Ы,1\г <~ ... _ . ^ а
- операторы дробного дифференцирования порядка ¿>о , а Л^- оператор, изученный в главе I, причем здесь А- Л2 .
Задача . ВС* для уравнения (2) формулируется аналогично, только здесь вместо (9) требуется условие
. (10)
+ С(х) = с/(<с), ' ■ СЗД. е .
в
Задачи Г*° и Г* для уравнения. (2) следуют из задач ВС Е при (¿^(Х.р-О, .Здесь также задачи Г° , Л1 представляет самостоятельный интерес и используются при исследовании задач ВС" , .
В § 3.2 исследуется задача Г° для уравнения (2). Здесь по пути рассматриваются задача Коии-^рса для уравнения (2) в области с краевыми условиями
и^&.у)* Ях) , (п)
и1и = % <*>> -¿¿¿¿О, (12)
( ' Ъ (13)
ш находятся лредст«алекая ах разешая. С помощь® этих пред-става&таЗ находится фушшшааьасе соотншензш между а- на Л В , пргаесеггяоа аз области , которое
сутагтвеаяо вспожьзуетез крз доказательстве единегэейыосги з сущэсявсвания решения задачи Л" а .
Единственность реаения задачи Г" с^ордулзрована в виде грех теорем и доказана методом кятегрзяов эьэргшг с 5тспояьзйвеей8й шгтеграяьного предгаеакккг» функцшг Бесселя» а еуа^гасваяа» доказано шгетозш антегральшк уравнений»
| 3.3 поквяцев дсйагэтельотщ су*ге*50ванзя и единст-ззшгосгг рваегтя ззхэча ВС* . Едасгаенность её рэиегам сфорг^дарокша з вгде ?р&х теорем г докагене методом прин-пда® э.жтр««!рга. Существсзекиз регеняя задача ВСС' д0кз-' эано еэетатаи к эквивалентному интегральна уравнению фредгашяа второго рода.
В § 3.4 исследуется задача Г'1 агя уравнения (2). Здесь сначала находятся зредставганкя решения задач Дарбу джя уравЕ&ния (2) ъ обдгесззг Д* с краевыми условиями (12) ((13)) а и(Х,0)* -¿¿Х4 1 , а затем с псмо-
вгь» их находится <§унниковаяьн09 соотношение ыедду т.
в >>(Ж> т А& » пряэесашгоа из области •
— £
Единственность решения задачи Г сформулирована
. - 16 -
в четырех теоремах и дозгазана методом интегралов энергии, а существование решения доказано методом интегральных уравнения.
Основным результатам § 3.5 является доказательство однозначной разрешимости задачи Б С1 . Единственность решения, которая изложена в четырех теоремах .доказана прт-адом экстремума, а существование - методом интегральных уравнений.
Четвертая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена исследованию двух задач типа Бицадзе-Самарского,которые названы задачами БС^ и Б^ , для уравнения (3).
В § 4.1 дается постановка задач. Задачи и БСг для уравнения (3) в области Л , описанной в главе Ш, формулируются аналогично задачам БС° и БС* для уравнения (2), только здесь вместо условий (9) и (10) задается условие (12) и (13) соответственно,,а яод классом обобщенных решений уравнения (3) в области Д^ понимается класс функций, введенный'К.К.Бабеяко (ем.М.М.Смирнов. Вырсвдахкцкеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 е.).
В этом же параграфе с использованием принципа макси-мука для■гиперболических уравнений доказана единственность решения задач Б С, и Б С2 . - ,
Существование решения, задач ■ б С, и БСг доказано в § 4.2, причем'здесь для простоты положена = ¿(х,у)~0 , т.е. взято уравнение
- 17 -
В этом параграфе для уравнения (З') рассмотрены задача Коши-Гурса в области Л^ и задача "Гриксш в области Л , которые имеют вспомогательный характер при доказательстве существования решения задач ВС1 и ВС^ . Выписано решение задачи Коши-Гурса для уравнения (3') с краевыми условиям (II), (12) {(II), (13)) в форме, удобной для сль-некших исследований и оно (решение) использовано и.и доказательстве существования решения задач Трикоми и БС± (ВС2).
Пятая глаЕа, состоящая из семи параграфов, посвящена постановке и исследованию двух задач со смещением, которые названы задачами А" и А1 , для уравнения (4) в дэусвяз-ной области. Причем здесь предполагается, что Л - заданное действительное число.
В § 5.1 дается постановка задач А" , А и задач, которые имеют вспомогательный характер при исследовании задач А" , А1 , но представляющие такяе самостоятельный интерес.
Пусть О - конечная двусзязная область, плоскости переменных X и у , ограниченная при х-у > О линиям и при х-и<о характеристиками уравнения (4).
Введем обозначения: Л-5? ЛП (х>0) п(у>0),
^0п(р<.г^<срп(яю), %2*ОП(о<х+у«})п(ро),
%*[(х>о, ро\>
- 1с -
ДЛ - 1Щ): Ь
¿Л- {<**).: Х€16 },.
А % * ' у* I};
Д*. , » ^ - геомет-
гачасзш» симетргчкае соотввадсэввко фгоурвк:
л> »Ц. $, , ^ . ^ $ V'- <**> <*«<**-
тедьво привей ■ .
Течяг пзрёсвч&шя характеристик, вьгхадааах тозкг ((&.,£)€ ЛгВ2 } , с харакгегщсягвгавг
а:*/*? и ( а >
обозначим через ц с?* ( к ^ ) соответственно, т.е.
- 19 -
Точками: пересечения характеристик, выходящих из точки
, с характеристиками Х*У = _<? ^ (х+у^-у и являются
9* ж 0* ( и ) соответственно,здесь
** V г
- 20 -
ЗАДАЧА А . Определить в области О функцию и(х}у) со следующими свойствами:
причем U3.ll,о), их(о,1) , ,-и.у (£>Л) могут
иметь особенность порядка меньше единицы при £ i ^ я Ь ± 1 ;
2) и (з:, у) - дважды непрерывно дифференцируемое в области
О\(х-у=0) \ (я*у*о) Л решение
уравнения (4);
3) и (X, и) удовлетворяет краевым условиям
= (х,р , (х,у)е £ ^ у» ■ (н.) , (х.у)ег* ,
°з</> [и0Щ)] + + Ь - 4 Су), (о, Ах 4 , (15,)
. ■> Ч* - ; йу
- 21 -
где ^.Щ), 0,-Ю, 1^1), £¿(1), с1-Ц), (].({),
- заданные функции, причем +
Задача А " отличается от задачи ¡С тем,что вместо условий (15^), (15^) задаются следущие условия
Л - « (¿2 )
Ф * 4(у), Г^/; е л*а;,
№
Од)] +
ё
«у
и (в,)
(V?)
+ 12(р их{оф* ¿2Ц) , (о,у)еАг&2 •
ЗАДАЧА (аналог задачи Холмгрена). Определить в
области Ав решете. и(Х,^)&С(10)П^(АвиА^иА£Ва)ПСг(&в) уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям (141),(14г) и
и^оу-.^х), ; ■ иа(0,у) = 1>л(у), у&12> (18/) -
здесь ¿¿(я-) и »¡¡(у) - заданные функции.
ЗАДАЧА $ . Найти в области решение Ы(х,у)Е . €■ £(йе)П(?(&,)уравнения (4), удовлетворяющее краевым условием (14х>, (14г) и __
, Те!, ; цэ.)
- 22 -
где % (X) и Тг Сзс) - задакнне функции.
ЗАДАЧА . Определить в области Лв
решение и(*,(/)£ £(&В)П С* и А- } Я С2(йв) , урав-
О V
кешгя (4), удовлетворяющее краевым условиям (14й), (Щ), (16/) и И9К), причем ¿ - ± л с ъ задаче
и /-2 , . £ = 4 в задаче А/ Я .
ЗАДАЧА 1УРС.А. Найти непрерывное в ( ) и дваж-•да непрерывно дифференцируемое в решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям СГ6^)¥ ((16^)) и
и
гяе и Х2 (у) - заданные функции.
ЗАДАЧА Г° . Найти в области 4 решете и(х,у)е С(А)П О С*(&) П С2 (А \ -¿>)) уравнения (4), удовлетворявдее краевым условиям (14г), (14^) и (15^) а
а, (-х) А°х [и (в,)] ^ 4 Ы) Г и (ь2) ] + .
V - • (20),.
+ ^(-Г) и (Х, 0) =с!3(Х) , (х, О) С ^ ,
такое, что их(1,0), их (оЛ), "у (¿,0) , Ыу (0,1) ■ могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы-при и ^ 4 , здеоь с13Сх) - заданная функ-
дая.. „
ЗАДАЧА Т1. Найти в области А функцию и (х,у) , удовлетворяющую всем условиям задачи Г , кроме (15^) и (20), вместо которых" должны быть выполнены условия (17) и
т
где с!^ (х) _ заданная функция.
В § 5.2 доказаны существование и единственность реше-' ния задач , Э, Вл^ в- И^® . Решение этих задач выписаны в явном виде.
§ 5.3 посвящен нахождению решения задачи Гурса для уравнения (4) в областях ^ и ( ^ - £ > 2) ■ Найдена представления решения' задача Гурсо для уравнения (4) в этих областях.
В § 5.4 и 5.6 исследуются задачи Г" и Г соответственно. Единственность решения этих задач доказывается методом интегралов анергия с использованием интегрального представления функпии Бесселя, а существование - методам интегральных уравнений.
Однозначная разрешимость задач А и Л ' изучена. в§5.5и§5.7 соответственно. Она (однозначная разреви-мость) доказана сведением задач А° я А* соответственно к задачам Г" и Г1 в областях Л и .
В заключение автор выражает глубокую благодарность научному консультанту академику АН РУз Ы.С.Салахктдинсву за постанонсу задач, ценные советы и постоянное вниманзе' при выполнении настоящей работы.
Основные результаты диссертации опубликованы в слеяу-рзбокис:
- 24 -
1. У р и и о в А »К. Краевые задачи для уравнения смешан-,
. ного типа с негладкой линией вырождения //Изв.АН УзССР. Серия фаз.-мат.наук. 193?. й 6. С.22-2?.
2. Салахитдинов М.С., У р и н о в А .К.
Краевые задачи в двусвязной области для уравнения смешанного типа с негладкой линией выреядения. В кн.: Современные проблемы математической физики. Изд-во Тбилисск.ун-та. 1987. С.349-356.
3. Салахитдинов М.С,, У р и я о в А.К. '
Нелокальная краевая задача в двусвязной области для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения //Докл.АН СССР.. 1988. Т.299. №1. С.63-66.
4. Салахитдинов М.С., У р и н о.в А.К.
О свойствах некоторых операторов вольтеррсвского типа //Докл.АН УзССР 1988. № 4. С.3-5. .
5. У р и н о в А.К. Об одной нелокальной краевой задаче
для уравнения Лаврентьева-Еицадзе //Изв.АН УзССР. Серия фаз.-мат.наук. 1988. ЯЗ. С.36-42. ■
6.Уринов А.К. Об одной задаче типа Еидадзе-Самар-ского в двусвязной области. В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых "функциональные методы' в прикладной математике и математической физике".
П часть. Ташкент, 1988. С.53-54. ■7. У р и н о в А.К. О единственности решения некоторых задач типа Еицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа //Докл.АН УзССР. 1990. Л С.9-П. 8. У.р и н о в* А.К. Задачи для общего уравнения Лаврентьева -Бицадзе в двусвязной области //Изв.АН УзССР. •
- 25 -
Серия фяз.-маг.наук- Г990. S 6. С.29-36. 9. У р к н о в А.К. Задачи типа Бицадзе-Самарского с ко-нормальной производной для уравнения сиеганного типа// Докл.АН УзССР. 1991. Я I. С.12-14. 10. У р и н о в А.К. Теоремы единственности для некоторых задач типа Еицадзе-Сакарского а интегральные уравнения, связанные с ними //Докл.АН У$ССР. 1991. » 3. С.8-11.
П. У р и н о в .А.К. Об одной задаче типа Вщадзе-Сзмар-ского для уравнений смешанного типа //Узбекский кате-маг.журнал. 1991. $ 5. С.56-63.
12. С а л в х и i к и н о е М.С., У р s н о в А.К.
Принцип экстремума .для некоторых операторов типа Еоль-терра //Докл.АН УзССР. 1991. w 4. С.3-4.
13. Салахитдиноз U.C., У р а н о з А. К.
Задачи типа Еицадзе-Самарского для уравнения смеаанно-го типа //Докл. АН СССР. Г991. Î.3I7. № 5.С.1058-Г061.
14. У р и к о в .А .К.- О'существовании и единственности
решения одной нелокальной задачи для уравнений скапанного типа /Донл.АЕ УзССР. 1991. Л- 9. C.S-ÎI.
15. У р и н О-В А.К. О единственности решения некоторых
задач типа Бицздзе-Самарского .для уравнений смешанного типа //Узбекский катешт.журнал. 1932. № 1.С.43-БХ-
16. 7 р и н о в А.К. О единственности решения некоторых
кслокалыых задач для уравнения смешанного типа. В кн.: Тезисы докладов Международной научной конференции. Самара. 1992. С.254-255.
17. У р и я о а А.К. О едаясгвеняости решения некоторых задач для уравнения Лаврентьева-Бздадзе с кошлексньш спектральным параметром. I. //Узбекский математ.журнал. 1992. №3-4. С.92-101. ЗВ.Урзнов Л-К. О единственности решения некоторых . задач для уравнения йаврентьева-Бицадзе с комплексным спектральным параметром. П. /Дзбекск:;;: матеггат.журнал.
1992. 5-6. С.78-£6.
19. У р и н о в А.К.' О единственности реиения задачи < Трикомп для обобщенного уравнения Трикош с комплексным спектральным параметров //Докл.АК РУз. 1992. '5.8-9.
п по о*
,20. У р и н о в А.К. О единственноста решения некоторых задач' для уравнения Лаврентьева-Еицадзе с комплексным спектральным параметром. Ш. //Узбекский математ.журнал. 1393. »2. С.76-85.
21. У р и н о в А.К. О единственности решения некоторых
нелокальных задач для обобщеного уравнения Трикоми . с кс&щлексныы спектральным параметр®! //Докл.АН РУз.
1993. Я 2. С.14-17.
22. С а л а т д и н о в М.С., У р и к о в : А.К.
О единственности решения некоторых задач типа Бвдад-зе-Самарского для уравнения смешанного типа //Доил.' ■ АН РУз. 1993. № 3. С.3-5.
- 27 -
АРАЛАШ ТИПДАГИ ТШГЛАММАР УЧУН БЙР Б0Г1АМЛЙ ВА ШИ БОЩМЛЙ СО^ШРДА КОЛОКАЛ ЧЕГАРАБИЙ
" .. МАСАШАР '
Ушбу ни баш бобдая абора? буляб, униат бириячи бобвда спектрая паргыатрла тепгламалар учун чегаравиЗ ыасалаларет текширищда фойдаланала.изган бир нача опэраторлар «иротвягзг ва уларнанг хоссалара урганилгзн, Шушшгдек бнр неча интеграл ва интэгро-дифферевдиал тенгламаларнинг вчншгарз тоаадган» Гшбу бобяннг натаяалара П,Ш,У бсбларда фойдалЕяшгган.
йккяича бобда спектрая параматрла ЛаврантБав-Бвцадзв тенглаыаси учун бар боглашш аралш сарда акая касзлз урга-зилган. Бунда ^аралазтган сохаяанг зялашвис ^декада зрм» гипербаяак кисмнда гаа полагая чзтарзвзЗ гартлзп бзралтая.
Учннча бобда mawrgas зара&атржа умуашзван Трияшв тонт-хамасз учун бвр бокпгзля аргзая сохзда икншна бобда айгидтан иасаяаларга ушапг акай нолокал чвгаразай; иасала ^аралган.
Туртшгча бобда акканчи тартабла аралаш гшвдагя чаза^ла уыумай 'генглаыа учун Бицадзе-Самарсквй масалаонга ухиага :гаса-яалэр бар бсгаамля аралаш со^ада гаетарилган.
Бептнча бобда спектрзл аарамвгрди Лаврентьев-Бицадзэ гонг-памасига ухшапг тенглаыа учуя аралаш ккви богламла со^ада акка силяишли маеала ^уййдган аа текширилган, Бунда бар нача ардаыча до к ал ва нолокал масалалар бир ботлзшт созрдаГ урганилгзн.
Ишда ургйналган маоалалар ечиманинг ягоналигя энергия пнтегралларн ва экстремум принципа уоуллара ердамида исЗотлан-ган. Масадалар ачимпнвнг ааваудаигинн асбогяашда зса„ интеграл тенгламалар уоулада фойдалааилган.
- 2a -
NOHLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS-F® MIXED TYPE. EQUATIONS III SIMPLY - AKD DOUBLY COIffiECTED- DOMAINS
■Hie thesis consist of the five chapters. In the first chapter some operators containing Eessel functions in kernels are introduced, that are playing the essential role at the statement and. -.nvestigstion of boundary value problems fox- the equations with spectral parameter.
The properties of such operators are studied. Hers the solvability of sone integral and integro-differential equations is investigated also. The results of the chapter I are used in the chapters II, III and V. '
In the second-chapter in one-connected mixed domain "two nonlocal boundary value problems for Lavrientjev-Bitsadae equation with spectral parameter are studied.. Here both in elliptic .and in hyperbolic parts of considering domain nonlocal conditions arc getting.
In the third chapter for the generalized Tricorai equation with spectral parameter'in mixed one-connected domain two nonlocal boundary value problems of the type mentioned in.the second ■ chapter are considered.
In the forth chapter Biteadse-Samrski type .problems for general linear mixed type and first kind equation of the second order in an mixed one-connected domain are investigated.
• In the fifth chapter in nixed doubly-connected domain .two
rroulecs with displacement for one mixed type equation Lavrien-
ioev-Biteadze type with spectral parameter aro setting and imtes-
floating a'ir.ultaneously here soine auxiliary local and nonlocal •
problems in one-connected domain are studied. V
The uniqueness theorems for all posed problems are proved by the energy Integrals and extrernum principle cethode. She existence theorems are proved with the aid of integral equations nettaods.