Нелокальные симметрии и решения некоторых классов нелинейных уравнений математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГБ ОД

нацюнальйа акадв1ш наук УНРА1Ш

ТЙЧИН1Н Вагаятиз АззтаШович

нзлашып свисти та розв'я&ш делних шгасш аьшижх ишянь итгаяичм сябяш

01.01.СЗ. - матеиатичпа

Автореферат дасердец!! на здобуття нзуковаго отушвя доктора ^1саяо-яатеяаткчпих назгя

На правах рукопису

Кш'в - 1994

Дисергац1ао с рукопис.

Робота викоаана у в1да!л1 присладякх доал1даель iHonrry-ту иатеиатшси 1Ш1 Укра'/ни.

Науковий консультант член-кореопоидогг HAH УкраКви ФУЩКЧ В.I.

0ф1 д!£н1 ошаавти: чжн-кореспоядект HAH УкраУки САМОЙЛЕШО Ю. I.

докгор ф1 аико-мзтематитеиж наук, пров1д-ниа науковиа сп1вроб1тник JIOTUIIН О-К.

доктор ф1вико-*атемгтгших наук» пров!д-лия аауповий сп!врогЯтиик 1ШЮ1А D.M.

Проа!даа орган!»aufя: Нац1оналышй уы1ворситет УкраУни Im. Тараса Йевченка

Z1 Ю /r-cbt» Ззхиат о1дЗудетьоя ** ■>< и __ 1094 р. о _£_г

годин! на эас1дэив} сгжщ! ад!зопагшУ радя Л 016.50.02 при 1нс-

титут! матеиатики HAH ГхраУвя ва адовшв: 262001 Ни! в 4, НСП,

вул. Терс!цвик1воька, 5,

3 дасергац! сю кожна оэаайоммтися е öleufore«! istmrryry.

2£/ ¿nj

Автореферат роу!йдаииа "_* .. _1Ш4 р.

йчекн» гехрет&р WuiMtöoBsnici рада

ЛУЧКА А.Я.

ЗЛГШШ ХАОДСТЕРЙЕТИКА РОБОТИ

Актуаяьи1сть rem, В остаян1 роки пел!я!йн! даференц!-елъл! р!ввязшя (НДР> в! д!грають вое б1льшу роль в иатвматич-пому модалованн 1 реалъта nponsoia, Цэ висувэе на шрама • ггягв проблему вгачегшл кел!п1 йних ди£ереш1 алышх р!внянь о часткшими пох!дтпш (1ЩРЧП), дуй тих сьогода! в(деугая те-ор!п та загальн! мзтоди розв*язування. Серэд нвйб!льо вагаль-аш методов дос.,:дае!шя i пойудови тотоюс розв'пзк!в споц{-злышх клас!э НДР, rati сформувалиая у в!дпов(дн! теор1¥ 1а-тегровност!, в)данатимо катод точкових перетворепь, Teopfа 1итегровзост! га»1льтояогай дивам1чтя систеи, нотод ойерю-яоТ задачи роэо J «звания (МОЗР), метода дифе{Г"ц1 альтах ов'яэ-к!в, шрзтвореяь Беклугде, псепдсштеиц! ал! в У олкв i ста-Естаб-рука, Ус! ц! иетоди явно або я неявно (стотко опираться на Grampian! властавост! ДР, !1айб1льа пошо вивчев! точяоэ! гаретвореявп тод!, кола Кх сунули! сть утворюе груду М. Тео-р1я неперервних груп точкових даротэоревь була створена О. М. заачвиз внасок у розвиток uleY галуз f apod или Дя. Кет-бел, А. Форсайт, Г. f3f ркгоф, Л.В. Озошн1коа, Н.Х. 1браг1моа, П. Олвер, Г. Блюжш та 1ша1.

Видкрэття перетворенпл Я!ури, яке дозволяю про(нтегру-ээтц р1пнянпй Кортевегз-де Ср!за (КЗФ) в рамках МОЗР. спркя-ло в!даовленш> !птересу безпосерздаь'о да первтворень Беклун-да (ПБ). В ptonf роки над проблемою нелокэлъних гтеретварснь працазэли О, Jli, А.В. Бейлупд, Дк. Клар1н, Е. Гурса та frnni.' Вваиартьсп, що сучасниа пер1од оастосування ПБ та розветку методу бе ре початок о робота К.. Лзвпера <1ЭБО р. >.

3 70-х рок! в в reopii" ДРЧП систематично а'лвляитъсл окрем! результата, як! на иоянз ооикшштя в рамках класичяо-го трутового аяал!зу, Иа осяоэ! внвчешя Еелокалышх симзт-р!й в 1074-73 pp. була шзбудовава теор!я груп перетворепь Л-Ееклувда. Аяз ар узагагьдаквя кла оттого го rpyrosoro amuxloy дало лию часткаво рсзп* пззапя проблеми.

Доол!даензя скмвТр18 ДР аа дооткогою яелокальяих горат-вореяь проводиться в !М АН УкраТш а 1970 р. Зскрема, запро-гюяовзно використовувати для цього itrTerpa- да{врвгщ!альп< оператори. Таке зосраження яалокальшп: снкетр!й ДР вшшияось ефектизнкя у вкладку л!п!аних ДРЧП. При вЕвченз! пелокальних сикетр1й пел!в1ша ДР користуемось Тх гобрзиенвяк ск1пченпк-

ни взлокалъними парйтворошнкн ок1 нюц (¡ШЗ). Апал! о одэрка-шас у щому яалряк:<у результат)ь показуо, щэ переваота б!лъ-EicTb з kmc мае природаУ ciMOTpiШу !итсрггратзц)и, тоОто ыся® бута стримала & сданоÍ cmarpfttuoY точки оору. Цз дао серйозн! niдстави для pospofiiai агга.тшогс cuMsnplauoro гйдгоду да npod-леки пойудош часгишла роов'язк(о Шггегрування) нел1н!йнух ДР мгггемзтично? (JiDiwiia ьюсаригтапкгм НПЗ. Отав, моиша cuacara, до основна 1дая даеертгщY паягсгаз а тому, sod глиЗсю Í ширие вкатите cmstpíw 1ЩР bí да ocho нелокальна третвореяъ зм1шшх/ a norlíi викорлстзти келокадьн! симетр5йя! азастивоат! дал -паЗудови i розмаоиетш вата роав'jkkíü plmmmui. В да-ецртац!i' e¡í:e;rniat!lctb гстод;в npoijuocTpoaaiia доя добро Bfflo-нщ 1ЗДР матекатачво? ф/ ainuí.

Сб'ект досл1;р«Ш!Я дасергзц! &i¡oí робота - делк! клаой иед1и1йика ДРШ изтсягтгаш? ф!»йки другого i третьего порад-i:ín, snü еайзкзть е!д даох ado йагэтьол неаалгкапя SMtHjats: р!впякая líasíaiforo'i TCrU!Qrrposi.Tijmcrri i,' Ьакре.ма, баготовкм(р-нв píebíseii талу'Боргерса, йед!и5йя! евслвщ&И р!ваяипя типу Гар!-Яй;3 (ГД> та Коргеайгз-де íplca (¡íDí)i р]вляпнй тео-pj'i вглЫШш хвиль» БорагМн^ельда <Б1>, 8рьод1 агора, сет-теж: г<дро- п. гаэодшзиЬда i т. я.

Катв ровояз - р&зрейигй конструкшш! катода даол! дагявя келокашиг сйветр{е велШЕж ДР{ провести ¡r-3aei4¡¡ кац! и па-лШйшк ДР. íEaspiантике вйдеоспо НПЗ, та ptBüraib, як i допус-каэть наюхалвд лШеаризаДОю; повудувзгн фораули розмнгапеа-вя розв'пшс!в,

Загалыг! гвтода дзал!доения» У дасертацН вжорйстоау -¡оться метода ди£ерснц1гш>них pi впяль мзтегдгтачноУ ф!ейкн, катод гругового aawlsy да, ¡аетода -reopi'í груп 1 алгебр Л(, мэ-тод иелокэлыш гарегесраяь. Ляп юшчеаия геоютрП' н&такаль-яих шретворзвь ззетоаовуотъея штоди днфйгхшш' ехьбоЧ паоыет-ptt\

Нвухова ковдала i црактачлв fcimilim». Роавиауткй в да-capraui í иаггрямок е склйдовсш чаепшши тга досл)дя©нь а га-луз} JKUttHÍñHoY кэтсуйэ-пгшо'/ ф!аиси, rati проъодктьея в Ш ЛИ Укрг'исг, ГОЖ АН УкрэУпи, ¡Тй АН УкрзУнк, КиУвгькому ун-т; i«. Т.Г. Есачсшз, Ml FocUObKo'f All ím, В.А. Ствклоза, ОЩ (ДуЗяэ>, lK¡rnrriTÍ г1дроданам1га1 СВ ТасШсыЫ /Л, «¡кесотсь' ¡raiiy ША> i Могреалъсыюму. <Кензда> уи;г«рс:тезау та »а.

Олэрваи! n ди**зртац(Т результата та розеияут! метода в повя-ии. Вони нсяуть бутя 0астооован1 при досл1даенн1 вкрокого кола гитзпь сучзсяоУ иятелатюто! $1 опта, для сгаватр! аного яяа-л!ву НДРЧП.

Оокогя! ре«зугьтвти, як! вияоспться до вахксту:

- розрс&ггво ковсггрукткшаа катод доел! даекяя важжальта си-Ksrpla НДР та Ti шморисггсявя хия поЗудови точних рсзв*язк1в:

- ormcaai широк! класи ДР, ral в 1нвар}антними в1даосво га-рзтвореаь годогрофэ, Лзяшндра I oa-sapa-Attnepa в R(l,n), tarn« ИГО, а такая др, tat допуекептъ л1нзаргоац1ю па дагюиогсэ цих парвтворепъ;

- проведана теоретагсо-грутом класир1кац1я ДРЧП другого поряжу, 1пвэр1антнюс в!лноспо труп Jtoperaa 0<1,п) та Пувнкаро Р(1,п), як! допускать гюретвореяия Лежа ядра:

- вапропопомп! нов! формули розмжяяаянл ровв*язк1в £®л1п19-них ДР, i¡raapf зптшя atетоспо КПЗ;

- введено поняття ушввоТ 1нвар1антяссг1 ДР в1дносио НТО те гшбудован! яласи уиозво 1ввар1антяих al дзюсгга НПЗ р1ввть;

~ побудоваи! формула пел1а(ено'( супзрпозкцИ розв'язк1о ДР, як i зводтться до M к i близ за догемогоо НПЗ;

- введено газяяттп уковяо* нелокальна л(Ееаризац1Т ДР, по-будо&ан1 класи ДР, ян! допускають увовиу налокальну aÍEsapa-аяц!ю;

- па допоиогоп НПЗ оягряаво розанрешзя ciampf 1 скроквго кола ДР матемзтичноУ ф1шоси: для них анаадав! нелмсальн! сгагэтр! I, псбудошгп! в!длов1дн1 яелокальн! анзаця.

Лхзробад1я робота. Результат! дасертац1 аво? робота дою-в!далися на гезфедр! катгешатичвоТ ф1зики КиТвського дзриавяо-го yaiвэрсигету la. îapaca Иевчетш. на сеч!парах nfдц!лгу приляашотх доел! даень Ш АН УкраТня, кзфздря шгаоТ кзтсааташ ЯШпропзтровського I нрепарионЗуд1 вэльного 1 на гиту гу, на н!я-.язрояпях ковферепц! ях в Конреал!, UookbI, Ртаi.

Публ1Е2«11. Зз теаоо дасертгц!Т опубл1коваво .23 pcdiT. Структура i св'са дасертвц11. Дссжртац!л складевться а вегупу, чотирьох роад!л1в, ваядачэягя 1 двог додатк1э, оа-галыптм об'виси 265 стор1яок. Опиооз л! тартгура шшпаа 257 вайиекувзяь.

ВШСТ РОБОТ»?

* *ч:т/п! обгр/нтоазна акгуальн!стъ тема та сформулмвз-на кета дас^деення, нашден! короткий оглдц роб 1т го тем! дясертац! I I ото вм!сту XI розд!л!в.

В сучаслюх роботах в теорП сум!спост! систем ДРЧП та твретворень Беклупяа широке разповсодкенвя зпайяов фораал!эм ввет!в у Шдпов!дних просторах,

У диоортац! К активно використовуеться метод пелокалъиих пвгегророчь, в якоку пзретворекля зм!нних визначакться сум! с шош то темами ДРЧП. Тому при досл!дкенп! озгаяьних власти-востей иелонзльних симетр!в ДР використавий дай формал!зм.

В просторах 5?" та К™ иезалажних эм1пяих (/) « Л, (|1« « ОТ^П тя залвтаюс ам1шгих (иА(х)) « й, (А « 17®) Ыдгто-в!дно, иобудовав! сукушост! К - дает! в Цх): Сукуп-

н1сть ус!:х )с- деат!в, коли х зм!нюстьсп в Ш = 5?" та и * Г(т) - в С™(1Н,1Н), породаув пучок к - дает!6 ЛкШ,Ш). Позначно

V

к

и « , и - (и^) .... , {ц.у - 071ГТГ)

Точка р я ,1*1 в Лк(Л,М) одаоэмачяо визначаеться ваборои чисел: р - (х, и, и,..., и), Загальяв систеяэ ДРЧП порядку к' 1 к

в! двоено ю нев! доших ^(х) иае вигляд

1Р(х, и, и..... и ) - о , (р - Г7?> .

» к'

Таким чином, можна побудовяти 8-е продовгення с истеки 1«р:

- о.....- о. •

С- V Фи*+ с,. ..^д;,.

Декарт!в добуток пучк!в дает!в ,5к(1Н,90 * (IX* .И') ■ <р, р' > пабудования як сукутш!сть пар ^д), не зв'яззнга н!я-

кикш дпдатковини уиовами. В шлму декартовому довутку яучк! в д»вт!в роэглянута Формальна сиотемэ [м вняяь

и, и,..., и ; у, V, V, ... , V ) > о , <0

» к' I I'

<а - Т7а , и(х) , ч » у(зг)) .

Ознэтзнпя 1. Множшу пар тачок (р.р*) ^екарг.шл о .ноОут-ку пучк!в доет!в, вв'лзаних сп1вв1даоиэотями

** => = Ьм<з, V, V.....V ), (а)

1 г

назвено дойутком пучк1а догг!э 1о ап1лыюо бпми и' ( -юлач-чюао Лк<&Г .ВОхл'Ш" ).

Нзхай р1шост! <2) вгаииваоть а систем-! (1), ич I, талер ива вигляд

Xй » V, V.....V ) ,

I г ;з)

В6(и, и.....и ; у, V, V,..., V ) » о .

I к' 11'

Коли система (3> допуекае мйрагення

Xм - V, V,..., V ) , иА(х) Н*(у, V, у,...,у) , (4)

1 Г V

«а допоногою оператора '11 - Б^1 'ьР'й** пыЗчдшзн!

форму-та продовження оп!вв!.диокекь (4):

.....

Туг позначево 0 = йбгЦБЬЦ Ф о, - алшЗра'1 чиа .¡п,№„«е1шя до елевевта П^Ь1' матриц! 1ГЬ0,

* - ИГ* и |<у- у' > •

Озшченля Й. Систему оп!ва! даошень <4), пе ви' шшмх п!~ якши додзтковдаш уковаки вкгляду (1 >, назвемо НК5 ие[ао]и роду порядку г < I у добугку пучк!в цкет) з 1в сп1лышю йазою.

Коли систему ршнпнь (3) не можва зойраэити у п'/гляд! (4), веосМдно скористатись гсласичнго« алгоритмом И .с е Я.-ше---Кураа!ш-Спенсера, (або Е. Картава) для П дослЫжаннп на сум1сн)сть та а ведения до !вволщ{¥ по сукупност! зи1.чки-

Означения 3. Систему ешов! даош^нь

а - л» (у. v, v,..., у ) ,

1 г

и; м - ЕГ„ „ ,(и. и.....и I у. V, У.....у ) , (б)

«С н " С'"1?« н .<"» М.....Р.! у' ТЛ

И*, ...К, И 1М(...НГ' , к. I

идо одвркшаа в (3) введения* до !цволщП еа е«)шгшш <и), вчзвемо НЮ другого роду порядку г<1 у добуп^У пучк!в деат(в )з сп! хшоо СЗазои. и, и.. .Оудемо вазивати параизтричшаш по-

I

х1дамма.

Прикдздэми НПЗ пвршго рода в (¡еретворвиня годографа окалярноУ функц) '<

и и,, х&> - у, 5 в - у, Ф О , (в)

- V (у1, уа> , х^ - у0

■ у простора* (а ► 0) I й<1,3>, <а « 0,2,ЗИ гврвтьо -

(Шерз-Аипера

и<*> - V , Овц * о „ ^

• *». : «а - Уо <а. ь - ГГгРТ) ..

£ А;шадра ьРи.л-!)

v . йен v | ф о .

<8)

и<х> - » , с!а1| ^ | Ф О

Для гзйг шретворень а даовртвцП шбудрвац( формули Иро~ дотевв« 8э иераого I другого поряда!в. Вон* дроить

гро«:эдй!; тоед ка Гх тут ке наводимо.

Сшриотавйось НПЗ для пврвтворенвя ДРЧП. Розглянеиа в дв-иаргаюау добутку пучк! в дквт!в ia сп!льиою базой V дкфарен-ц!аяьн( р1вняиш» ...

!£■<*. и, и.....и > - о , '

* » к*

п.... * ) - о ,

I I

йаш НЮ яав ьйглед <4), ьнккня породаув в прос+ор1 ? <3" .(>' ) теку г!вй1сть:

ЬР<г, u, u,.... u ) - cf(7, V, V, .... V ) . (9)

« k< I k'T(l

Лавр р{внлння if m o допускае факторизац!d

^(У, г, V, ... , У ) - А?' ,е|-х5<у, V.....v> , ,

I к'-р 4 * I t

о

(ici в вах^д, (i « Г^), ici + t s к* + г)

э Х"«,с| - л1н1шша! иатричзшщ Онтсгро) - дафереЕц1 алыгош опэрзторамм, то з (9) одеряуемо cnlвв!дяовеппя

1?(Х, u, u.....u ) - *£',e|'l3<y, Т, V.....T) . (10)

l k' 4 t t

Озшпония 4, Будгмо говорит, rao ptваяния Lj (x,u> - Q oa

допоиогов НПЗ <4) вводиться до ДР - 0, коля Iояует-ь

тай функц!Т й", il*, для яних вжонуеться pinaf сть <10).

Таорзиэ I. Д*я того, шз ДР l£(x,u) » о допус!*зло зсэ-

лэтш до l§(y,v) » О НПЗ (4) порядку г, необх|дао влкопання

сиотеии вкзначальшх pf вяяпь

lp<x,u)| . ■ ■ о .

^ D L«Cyfv}

|с| *

Зэ' яэок и! н pi зияниями та Lj за догомогоя НПЗ другого роду одержуемо введениям додэткозих до скстеми (3) cyiif сшп в нею умов та введениям одержано!" систекн до irmojsouf ï sa зм!н-иимн (u>, <tvï), qo породгяуе р1вняная I^(y,v)- о, (Ь, <х,и) -

к в

- О, в(дпов1дао).

Будзмо казати, цо ДР \(х,и) - О f Hßapl антшэ а1даоско НПЗ, пкиа <10) мао еигляд L, (*,u> » <y,v).- Хут, як f panl-в8, А. - Jiinlama оператор. У тоиу вкладку, ими Xj<y,v) - о е лЫанга ДР, <х,и) допускзо л1 пзартаац)а ва догокогов НПЗ. Р 53 t Еф1 нIтезииальаi опзратсра групи Л1 Gf n Е' <УД)

як! утворвать алгебру Л1 лСг l^, X^î '» , вккористая1

для гобудоm сшрзтор1в " та

4,(y,V)[ 1 а - l£<T.»> >

д1 ючух в ¡H'. Дгя оператор! в мавш уковл

'Чх- V - • <Ш

^(y,V)(V*J « î£<y,v> - о . <12)

Надо виконуютъоя СП i Biii Aï ОКСКИЙ

£^(y,v)IuAI - V, v,...)uc И 0 , <13> в (11) внаходамо pJbnlcxb

{Ча О" С," СС} „ о » 0 ' <14>

За допомогоо внутр! uriboix» дсхЗутку 1-форм эа'яаностай

- (a u**4*" - HTU|<X. v. V; lOdx"

Xм " 1

э векторвгам шот * - $ If в та u* « du* - В

у X: У

оДЕЦвнане н!л(юь|днй гепиетротш предо! задания р1вяяняя <14):

* {С -I -i - -

• - « 2е) - о .

И - оператор Хо/даа, 8' « <ч°, 2°) - розширений !^эад зовы1ш-'t* фор« О plBitRiran (Ув о та систекч ш » 0.

В Ç4 розглянутиа в&'язок и)* л1\'всьюшм с«мвтр!ями р1в-шиь та I.,, «xt ва'язан! НПЗ. Пкщо ДР I«, <х>и) » 0 допуска с алпгйру Ai АСу шоратор!в Хл i НПЗ (4) маа "обернене"

f - gwU, u, u,,..) , v* « G*<X, u, u,...> , i i

r* !» A

б)дгп!.{дн( координата оператора " 7k<?«v)¿'v"

шгаяачикггьсЯ формулами

í^íy,v> . х>.нну") ; ^(y.v) - )£<MHv*) . ш

... веск.'нчекю продовиений оператор *tt. В podoTl формула (1в> ваотооована д*я встаноялеНия нелокально)' омметр! У р!вняння ф1лътрацП ньютон Ina bKoï pi дан»» у пористому еередовищ!

Х^ «г v0 - b< Vj , , ЛЬ - ft) .

Це р»внявия 88 допомогою НПЗ т, » ШГ* (ti) , v0 « U, , де tHJ" (•) - ойернвна до Н(-) функц!я, зв'язане а р1вняинга» а Ц, - h(u)a,, - D . Результата симетр!йного аизл1«у для цях р!вшть навядед! в ttpaeU га л(в!" колонках sierra!яга*

1. Н(й)~дов!лш»:

к,- "о ; 2,-0, ;

V 2Х,А+ 3t,d|+ т Ov¡

V ^ :

X,- э, ,

3. H(a) - охр a:

Xs.i- Mo- ôu :

3. Н(п) . ст"1 s"": а) а »< i ,

с) о- б .

4. Н(8> - ln a:

б. Н(и) . arotg в:

в. H<z) - A"1 -exp^Varctg в}, (X > o>:

X».»- -ЗД- * <V Vv •

лйсрош 3. Огарзторя naionaanoï сгтатр!Г ДР Iy, ra «ають виг ляд

О

, Xs., - - ( J СНГ1 <u><tx, flu j

s - - X'Vo- ( J tnr'fuJdSjjö, + 3U ;

Xj.ib- + h(v, )[h(v, ) - я,h(v, .

Hexaa НТО U> ав'явуе дафэренц! алм! р1внявгая L, (*,и) - о 1 L, <y,v)» П. Якяр р!внтгея qx(x,u)(uA] ° о у простор! Е(х.и) породигн! сркптр!пш ¡^(t^) ДР , то НПЗ (4) ставить ¥и у в!дгов1дн1оть в простор! Е' <y,v> р(ваяяяя порядку г » 1

^<x,u)u* - т£(х,и> - S*(у, v, v.....у ) - о . (17)

и I г»1

Р!вппккя (17) кожуть, ткргт, допускатн вобряженчя у вигляд!

s*<y, v. v.-...ryi ) . (18)

де Qplv*l » 0 - piBimfflrt, породами! л!ïвсыами сииетр1яии Xp<y,v> др Ь,.

Означают 6. Коли иираэ (17) ш мой» dyrn вображенма у ант л яд i (18), будеиа говорит, що »1н визиачав нелакалъну ои-«öTpip ДР lj, яка городаева лНвськаю симетр!eju Qu<y,v)[ve) » •> 0 р!ввяння bj aa дошиогоо НПЗ (4).

СиЫетр1яш« HPJP маша скористатись дня анаходаення в(дпо-BifQiUX чвапттгх розе' гак/в. 1дзя такого викаристания симат-plB сягас оа 0. M. В1до*а, що коли ДР U. допускав оператори

г»

V). тол i його роза'иэок ножаа аукати у виг ляд! (Б. ®У -tot4, lflÔI p. )

V .. 1-<у)ф<»> + g(x> . (10)

limapíairrai з*1ни1 w(y) вкааачашься в уиов C^(y,v)lv*5 » о.

У днеe.¡ftm\ i а анзацу (16) р!вашаш L¡ за допокогою НТО U) псСудоагтиа анзац для ДР I, пришдагово нового вигляду:

х* « «. V. (Р, «.-..) .

I -I 2

и* « н*(у. », *»,..., «Р, <?,...) . (20)

t » г

ЗойрошвЕва. роз»*яаку u<xj р1ввяння у шглед1 скстеии (20) йудожп вазиаагш нелокальна» анзацом дая ДР 1,, а редакц) ю рилда.чя I,, яку одержует оа допоыогою авэзца (20>, - нелокально« редукц! ею цього ДР,

Нк'лО система (20) дозволяв вшиючети У та w(y) I U* в jtiatiuion диферекц! альною фуш<ц! сю ф(ш> порядку не в тар первого, одержуемо naüripooTtae узагальненВя вазацу (18) у виг.яяд!

и - Ь(х)ф(ш) + íUWi)) 0(х) , ы - ш(х> 4 (20а)

Шдкреслимо, що эойраження ровв'язку р!внянвя L, <Х,и) - О у. вигляд! <20а) е узагальненняи адзац!в, запрспоноваякг В, Фу-шлгаем (1601 р.) 1 П.А. КларкссноМ, М.Д. Крускалом (1089 р.), Лнзац (20а) викариатаюа для энвходженвя розв' язк!в р!вняиня Гвр1-Д!ма в IV роадЫ дасерггац! ï.

В1дриа, .«р иПвськв oimerpi И ДР (y,v> » о моте бути aaöpaweas ва допомогою (юрмул парамечричйого розмяожвяня роз-

в'язк!а вз э1дазв1даоэ трупе» Л1. р! пвгаяя Ь, <ж,и) - о, вз'яэзаого а Г^ (у, V) - оэ доподагоп ППЗ <4), одериуетю в1да! полокальп! фораулл ровтотояештя розв' ггакГв.

Пето, ДР Ь, *пзгр1гзтиэ э)даоояа КПЗ, формула ровмпшяея-пп розв'язк1в адэряуено бвзгооередньо з скотажи р1вягшь КПЗ. У випадяу, коли р! езяяяя 1«, вводиться до л!н!йиога ДР ,

4 3« 11 ( <21

принцип суггарпозщ!К розз'язк1о у (у) - ) + v<y) та НТО городаують формулу вел!а5апоУ сугаротакцП ровв'лвк(в р! п-ПЯШ1Я Ь,, Йоряулл рошшяивп розэ'язк!в дяя широкого кота ОДР побудовоа! I викоряс гоауюгься в другому та трзтьо:<у роэ-д!лзх дксгртагЦУ.

В другому роздШ побудовая! ютрсгс! клзси ДР, {пвар{-антп! в!двоено Ш!3, та форкухя розянояення розз*язк1в для штх. В 51 описан! деяк1 югаси годограф - 1язэр1 антгоп скаляргпп: р!вяяяь порядку й 2 в ©(1,1), В?<1,3> та окотея ДР а даояа пев!домиш функц!ями в

Теорекз 3. Дкфервнц! алмв р!вияяяя а часткагозга пох1двп1-ин даггого шргезду э а^ос-гор! 5?<1,3) евважшга ея!итш:

Ш,и> * - о . <о . ПТ7) , (21)

дэ г изотъ в иг ляд

^СХо, х,, Хз) , . «"««м О • г1<ч1; -ч"Ч> .

^(и,,; -и;Ч.> , -^^Ча- V1!, >> -

? ("аа; -«¡'«^ЧиГ ЗВ,1\Йа* ф, , >| ,

а, Ь » 0, 2, 3, а И Ь, в I* сукувгстя эа 1нвзксом а венав, Г* - дов1льп1 глздк!, в Iе (с » 177) - спгязтрячн! (Г(х,в)» - Г(а,х>), 1н&зр!автЕв в!даосио терзтеоргяггя годографа

и<х) - у, , зс, - *(у» , к^-, Уа . . (23)

До кяэсу р! впяль, 1нвар1 автаих в?даосяо таретворэявя годографа (23), гаодпть р! сияния еазговшга, Еорзэ-!яфэльда, йоша--Лмпара:

^•1! 1>пи - - ; - о .

Теорема 4. Яето ДГЧП в простор! ®<1,3) яезажжяих эм}ц-

ми inaapíazrraa в1даооко перетвщкння (23), то формула роз-мншшшя маа вкгллд иг »1 i

u<x, ,ха) - -t , Xj» u (t ,ха), (а - 0,2,3) . (24)

В другому параграф! описан! ¡сиси даференц!алышх plB-пннь, (raapiaímnflt шдяосво перетворгнь Ослара-Ампара (7) ! Лвжавдра (8) а К(1,а-1).

Неореиа 5. дрчп гюрядау * 2 у простор! R(l.n-i) неза-x&miu.eMitma х - (J^.Xj)

Ь(х.и) а Ф«^)) - О , (о - 07Ü) <26>

е абсолютам ди",«ро8ц! альшш 1ввар1штом (Ш) пйретворевня (7), фуякцП' Г" шшгь виг ляд

** К]. К- <). ** Ко г lu«bl • !UH„ I ) . ^Kaí-^'a^dí-^b'^^c^) . г4 К.-о) .

Iй (Uab: -dot-1 íucdi-O^íu^)] , Iе (u.-x^v U ) , <26Q)

lyr i дал! Ф, F, {a - D7B>- дов!льн! гладк!» (c » T^S)-- симстричл) по аргументах функц! í.

До клэсу plEHñHb. iiuiapí аштшх в!двоено перетворения (7>,шэдять, аокргка, pi веяния

"о ' ЧА. + ** - 0, Ц>о - det^i^l-fletlu^l * 0 ;

- ли - det"' lucd|-Sl Id <ucd) « о ; х2 в ^ ;

ИвГ

Biidí'^) - д^^ьСи^). ttb - dieatt,i,...,i> .

v У вгагадку перетворепня Лежаадра (8) р!вняння (85) Суду-еться в АД1 tf5!, <с * 1,2,3 , Ц = C^íCT)

ВагольЕо<'В!доно, цо дасл!двешя омметр! i' piвпяхшя в рамках л! í всысого п1дгоду es даз вйчерпно! ¡вфоризц!? про floro омметр!йн! влвстивост!. У дисертац! i досл!дагна i нвар! ант-в1сть ДР, як! допускаюгъ групу Лорвг эйо Пуашсарз, bíjghocho перетвореннй Лзжнпдрй. Зокрекз, встановлеко такс твардшння.

ДРЧП поряжу « S у простор! ¡Ш 1-1) яеза тжиих вм!йяих, яке допускав трупу Пуанкаре p(l,n-l) i was витляд

L, (x, u. u, u) » 02{1°> «o (a-1,2), (28) * t г *

aflcoJMTHO 1тзар1антЕа в! даосао гкротворепвя Лзяапдра. Apry-wairri Г* в АД1 порядку £ 2 груш Пуанкаре } пэротвормгал Лэ-»андрз:

11(ш; ttotf'lViSlUKu^)] ,

Xя[detiu^ls üat"nluKV|tíBtJaH1)(iJy„)|j . (27)

def

TyTSlld(u^) а 9w - dlag(-l,l.....1) .

Наводага язк'-тька пртелад!в ДР, (пвзр(зптних в1дпосяо груп 0(1,п-1) sóo Р(1,я-1) i bíwiocüo пгротзорэйяя Лваавдрэ.

dotlu^J-nu i SlW(u^) - 0, (20)

^""V detl^J i ЛЧиЧо* ' 0 •

ííx^ctefju^l i Г(u/J )def mn • dot" {auv(u^)| - o .

Pi внятаня

Ц>ои1.- <0- Cuti . <39>

cs^-delju^lou i cí^-SIUKU^) - O ,

^(uy^fletl^lcu i ¿'(x^SlfcKu^) - o

bs fKsapiamuJ в1даосно груп 0(1,n-i) або P(l.n-i), ara вони limopiairml в!дзоспо пгрепюреппя Лзявпдрз .

0дз1сю з фундзмептаташх ветстазоотеа р!впгпь, (пвар!-антгосс niдгсосно горетворення Cflj-íра - Аг.та ра »ш Лзмапдра, a №жяиа1стъ педП'вського равмяетйкпп Кх роээ'язк1в.

Teopcua Б. Якщо р1вяяння iimsp! sbteo е)дпосво парэтворен-hr Леи-эндра <в) у npocTopi Rd.n-i), то ровавогэгоя його роз-в' язк! в виконуетъсл за формуле»

'<2 1 <11 u i _

и(х> - уУ*) - и<т) (|i . Ü7?PI) .

о, <3°> *м " Vx) » 1 " .....Vi> •

di - 'tai

Тут u (х) - в!доша розв'пзок р1шянпя, и <х) - новка його роэв'язок, т - функц(онвлыпй паргг-.-етр, х «(Хо,^,... >,

detiu^t ^ о .

Теорема ?■ йгааа ДРЧЯ у npocrropi R(l,n-1) вевалешших emlwHOt (нвар{азтна »{даосао ие.ре:гворення 0Злера-Ампера (7), год! розквоисевнк його poôq'hokîb нисану аться t¡r 1 дно формула

<21 fil 11» иЦз.Х) - ЧАио<Х - и(х 0<с> , ■ • <31)

Тут х- {Xг, . ч-«*,,^.....Vi' •

и^Ц, „г) » , tíatfu^l и О .

а

Некай чаеткаинй раза*язск лзжандр-1ивзр1антвого р1впшвя

- - "ÔÔ"»! - 0 (аа>

(I > , ,

као вкглед и (х0,х, ) - s iÇctb x1, тод! ношей розв'язок ДР '32), поСудабазкй ва допомогоо формули (30), о таким:

tai .-___

ü - 4 3t,arctb to , и . У 1 í at,, X, .

В грйтьоиу параграф! доел) дяава 1ввар1анти1 сть в!двоено НПЗ ДР вал1н1ЛноУ теплопров1даост1» eaouBouJ Йнях р|ваяиь треть-oro порядку типу Гар1-Д1ма та ЮТ, а такой р!внйнь нел!н)й-boÏ тоор! Ï шширенвя хвихь t Ерьод! кгерз. Рчогллнут! р) ваяния виду

Чф - fdiju,,, « 0 , (33а)

гс - ^ С(В) « о , <с<2) - U) , (33а)

*о - >WÍ1» - О I (33в>

mi природяо вззвати pi вняайями типу Гар1 -Д1 ма, ookí лыш при Î(U> m Ds a pi ВВЯЯЙЯ (ЭЭО) ОДЗрЖубМО В1ДОМ0 р)ВЙЙНЙЯ ГД

Дифорс юц!альяе р)внявяя (33d) Iнвзр!автвё

в(даосно шретшренъ

8<*o »*» ) * i »*) ) <3W>

V , ^ - У, , ^ ü у0 , (V,^ 0) , (34Ö)

* 2<Уо.У1> (Э4я)

тод1 1 т(лыш тод1, коли воно мае виглед

г0 - *-ср(1п 2)-г,] = о . (35)

Ч> - дов1льна, гладка, парна фушц1п.

Як наел!док ц|ег теореми одеркувмо, цо /;н I р!н-

пяння класу (33а) в такими:

ц, - [(с)"'(и)] 2- ф[1п(ГоГ1 (и)!]^ и . ,чз5а?

(о)"'(и) - функц)я(ск5ер1ена до о(и), визначпетьед р|вн1сти

и = д ср<ап а)с!з .

11 >

Теорзиа 9. Яшр и (х) в рсав'яаком р1вн>тия кмсу \35а), 12 >

то >пмий роав'язом и (*) цього р!вияпня йуиуггьел ¿г! ц«о формуди

ц^.х, ) . [х^ ( |'и'2 (^.-Оск]^]5 Л "гг1 ,

ГМ '-5 X, » ] и (X,, ,П>Й1 ,

_3

% - - о . «в)

и >

Теорема 9 дао моишЫоть а етацишэрноги роав'пзку ихр.х, >з • у -X, )3 р1вЯЯННЯ Ц,- II3и,, I 53 ДОПОМОГОЮ форК.УЛИ Об)

,21 1 г г

енайти новиа роев'язок и (х^х,) - х,)1, ^ = | |]3

Одержано таком 1ншй* формул ровмяомепяй раза' язмн для р!внянь типу ГД»

Конструктивна { вручиа в ваотоеувайа! формула розмно-Аевйя розв'лзк1в для р1йняння

Ь, (и) « Ц, 4 6ии,+ и1п » О 137)

г1ош> вв'яэана в в1доиил1 для аього т.е. автошг^тВорендяи ЁекЛуяДа (АПН).

(II

Теорема 10« Нахай и (X) о роав'явком р1»няняя СЗ1?). )»• (г )

вий роав' яэой и (х) нього р!внття йудуопей дч фйрмулвю

\

íe

1 z i ii)

иЦ>»*1 > - ) - Z'T ,

X, - T1 ,, iHXg ,Xj ) , <x - xf^.x,)) ,

V tni « о (x, is dtt} .

1 п* 1 i (n> iru

Ц - u - 2 х,

< П> (Л!_ (Ш

^ = X + Ц

(Г11 (ni' (ni

-61 Xt +

11 )

Pi вшт2нл (38) cyslichi ТОД/ f tíjímot год! , ко-ш u (x) e pob-в'пзком pf вряння K5<1.

Яюцо щ;ан?в.шт працес ровшонеаня розв'язк)в, то вя п --му кроиi одецкуоио фораулу

<SSa>

У вкладку, коли и (х) » К « const, ионша побудувата аагаль-пт роов'язок p¡Biiimiw Pimcarrl а система (38a) для доз!льяого

t П 1

и .

( П I I п-1 ) < П-1 I

X « - 1 - V

(mil Г if ( п n-rar(m) 1 <n»t I 1

у In Jexp jsj^-l) J у dXj jitXj + с (x^)I . (39)

Таю у j ишак, 3 (38a) одеркуеко алгоритм, яюй дозволяв, в прин mini, йудувати юзск! п'ченлу гоол1довн* сть точаих робв'яок1в р1ваяшя ICSJ за таким прашдоа:

И I 12 1

X —а + Й! V-. К + &5t г -—» ... .

(ii со i

Тут позначно х » - v ,

За допокогов формул (3S), (38ct), (39) гобудрвэн! так! гавщшки чаотипяиг резв' язк! в ДР (37):

О

6<24^,Х,- X, ) (12X^,4 4)

С03 (Xj- 2Хд ).

1 ^[(Хд+бузШ 3(^-2^)4003 ЗОд-гХрН?] [2<х>40X0 Hain

\ » н

_^ 1в[(Х1-6^)ЗЙ а(Х(4ЙХь)-011 2(^42^) i]

[2<X,-5X0)+sh 2 (X, 42x^)3

Йокрена, роэв'язок u - -I + Hcîf 2 (^-t- 2\ i за дощу.^гом лНвського розияожзння нэбуш>о виг.яяду, класпчииго га/и'тсм-його раза' иску и « 2а1 elf а {£.'(:*, - 4о2хач- Я, > .

Якщо вимагати JfiBa.olairrHicTb ДР »)дпос/да НТВ лита нй деЯКШ П1ДМШИИЯ! floro рОУВ' ЯЗН1Вr IlpiKO/aiVO ,|(П ЛОНЯТТЛ y.VGB-hoï 1ввар1антаост1 цього ДР в^днооно дан'Л'о пелокалмого jiß-ретворення.

У. §4 наведен! приклада умавног iimapf УНтиастг /1Г' brocho 1ШЗ.

11 I

Teopeisß II. Hexaä u(X) •■ в!домкй роза' пиок тэтами iрно-га р!вняквп типу Еюргероз

ц, 4 и- |ш| - ьм » D , (40)

(2 )

год! повий його розв'язок и(х) Лудувгьоя Ва tcpvy/.ore

(21 (Il 1» »

U « (8-1) Ü - 2'9'Vlri Ü ,

12 ( < 1 > f i »

0, U, - T U -3'7lll u ,

, . t.JL l,(,2.>, I 1 I <2), (¿I

.: ц Ц % г 90ln u « \ uMv'íu) ,

: % - - v(ve) . ü , .

111,

tg - 2-vln u • (v."tl - - 0 .

? * 0 * 0 , 7« t.ft, (VI) » о . (4 Kl)

PÍBnocrí Uia) a додаткотии уметал Iftaapf актност1 pi б'! (40) в!дноспо ИПЗ.

Розд1л III притгсен^ досл1даенгоо НДР, л1аеаризоБи«л зэ Допомогоы НПЗ. в Я ггобудопап! класи ДР порядку s 2 f were ми, цо аводптъся до л!п!2 них перетвореннкми годографа, а та-koîh формули пол! я i йноУ cjrnepnoomtf ï ïx ропв'язк!в.

Теоромп 12, Нзл1и1йне ДРЧП другого порядку в простор! 6?(1,3) зе э э.ташщ sMiiams вводиться ва доггомогов шретворен-ня (¡33) дч л)я1йеого р!вняш!я

h * ^„S b^v öt + 0 " 0 • («)

да t/"'* b'\ lA". b, с - дов!льн1 глада/ фугасц! i у « (Уа,У, >, (о - тод! I т!льки тод!, кали воко мае вигляд

bUU*JUu 4 b1 'u^tlljUjj- UjU, J 1 ■+ bUU,"4<liJu|t- ZUjUjUjf 4

u|un> -f ö'V'M^r ЧЛе> - »i-^Uik- "Л.*1 + + ^'uj'iij + b'u^1 - bxt - с = О , (43)

В р1вия1ш1 (43) коеф!ц1снти зажвать в!д (xn,u), К, I» » О, Z, 3, К I1 В, п!дсуисвування за 1вдексами В poaywlска в простор! <х0.х,,, Х3) в метрикою dlsg(i,l,i). До гслэсу

pfвишь (43) входить, зокрема, р!впяпвя

Ц,- l^Kl- 4t2- u3 3 +

+ 24j1 (iijUj2+ ^Uu)- 0 . (44)

Аналог! чне твердкэшт доведаю душ л!веаркзовних сиотем ДРЧ11 Первого порядку в Е(1,1) в двома аалешиш ¡?м!яигага.

Т' ореиз 13. Якио яел!п!йие ДР другого порядку вводила// до л!н1йного рхваяпая (42) оа допоиогва горегворенвя годагра фа (23), то формула нэл!п!йво? сугеертазшП його розв"язк1в вав вигляд

(3) II)

U > " U <*а. г> J

(II (21

U (Х^, X) = и (ха, X,-t) , (45)

1 к 1. <3 1

1ут U(x), (к - 1,2) - ровв'язки НДР, U(x) - НОВИЯ «01 о роз-в'явок, а ж 0,2,3. Нехай

'u - V Хз- тф'а,- с2)} ,

1

/и * [Коч-Ч.)«-.^ Г

- задан! розв'язки р!вняння (14). Тод! нонии йогь рем б' лзск ta I

и , побудований за формулою (45), мае вигляд

'Ù'Z+ - z сз[хГ-<сг+ С4> - С!е2Р{Хй- '^Г

В другому параграф! описанt клаои ДР, як! зеошпжл дм л!п!аного ДР (42) за д'люмогон перетворень Ойльрп • Ампера <171 ! Лзиавдра (8) в R(l,n-ih В простор! №<1,3 V аобуровяниА ia-кош клас леюапдр-л!невриэодапих ДР третloго порядку- Нлп[.;« лад, л!веаризац!ю за допомогоп паретворенян OiUepa-Ампера лч ■ пуокають так! р!шяння:

UqUj j + i " 0 , ЯГ!)

uo-datlu^li + д,.,,и - О , <a,t « i,2> (4?)

До класу лешаидр-л!неариз')в0нил' р!вияпь юю^лть однойим!рие р!вия1шп Борва-1вфельда, а ттсош р!вая1шя

Цц0- 0,(11)11,,- o2(u)det|uj| =. О , (X = (ïq.x, )) ,

Slld(u^) - о , (n.v « ;17n-f) .

Для вазначеиих вица клао!в !ЩР встяяоллая! nt ¡uioaiдш" тверд-кпная про розипоження роза'язк!в. .

I 1 ) 12 1

Теорема 14, Пегая U(x) ! u(x) - розв'язки р1вмя«ня, яка оаодипьоя до л!н!йного ДР эа доиомогою мретьореиня оилеря-■•

' 3

- Ампера (7) в простор! б?(1 ,п-1 ), тод! hobi\û роз&'язок u(x) иього р!вляяня будуеться зт!дно {.ормули

<31 (1) (11 (21 - (II

uo^.xl = иЦ,,* ) + u^.x - г ) ,

(Il (1) (21 (21 111(21

ua.<xo,'t ) " Ua<*0»'t > . x » г + t . (4rt)

тут X « (X,, Xi,.,) , 1 » (1,, ) ,

(kl (kl (kltk)

г ) - fl<t,u(xl), 1 ) .

a

У випадку л! неариэац! ï ДР за допомогсю пйретва{е(шл Ле-шандра в R(l,n-l) й!дпов! дна формула мае вигляд

13) НИН «21(21

щю ■ «и ) + и( 1 ) ,

III 1) !г > (г/

V т > " "«< г > »

11 1 «г I •_

х « т + т , (ц - ОТгРТ) . (49)

хуг пэ8нч-кяю х«(хогх1,яг,...,хп.1), 1 - .....1п.|'-

I к I I к I < к I I к I

V > !! 5 4 >•

Ие*з4 частинп( рова'язки р(вишня (47) нають виглпд «'(Хц ,х, «х^> » х^'^е + 2х„х,в"1 , г2 = х| ,

бга,^ = ± е-ехр {-^[в^х?] '} :

<Г1 за

Ц Ц,,*,,^) - X?- I» ,

I з )

Тод1' новий роза*явок и(х) р1вняння (47), пойудовэнвд эг(д-по форжули (48), одершусмо у неявному вигляд!

иОСр.х,^) - е(х,- в) г(х,- |е)и + в3- ях,е> +

+ 2х„е' (х,-+ х^(х1-вГг<х,-|б)г ,

_2 ,1 г _а (^ + 0Э- 2Х. ек

8ЯХ (X - Ъе> - 1 в-ехр г--4—1 .

1 «о**!" 9> 1

53 прнсвячений доал{да8нню л! неаряззц} Т деякнх клчс!в пел!н!йякх др тепло пров1дно ст!, еволюц1йних р!ваявь типу ГЛ, р!внявь нел!н1йноУ теорП гсоливань та 1нших ДГ мате матично! ф1викя. Побудовай! в(дпов(дн( форму ли нел1н(йно1 оугергазицП роэв'яэк)в.

Вот'вЕовлено, що еволид1Ен{ ДР третьего порядку ищу ГД (ЗЗо-в) тод( 1 т!лью: тод! вводятьоп да л!н1йного ДР V,, » - ,а, коли вони маять вигляд а

и„- , (5ТО)

(5Ш)

*0 » ч?^ . (вов)

III (21

Творена 16. Яящо и (х) 1 и (х) - рови'пзчи ДР (Йй),

то новий роав'язок р!вляяня (50а), породаении НПЗ (31а-в) та

.»I. м>. »1

в1длов!дним л! н!йним принципом сушрпоащ1У '' " V + V , ¿у-дуэться аг!дао форму ли'

(31 III III 121 12)

и(х0,х1) - иО^.ч > + ^КХр.Ч ) +

-.УТЛ П 1' Iй I «г> + 2У и(х0,п ) и(зг0,г ), (1) (г I

а а___й^з____

т/ 111 11) п/т (21 '

г и(Х0,Т > V КХ^Т )

(II 121

X + 1 в х4 ,

-,/ГП ГТГТГ] тгг 1 ' и(х°'х } *___.

0 и 5 'л/т—тгг ^ ,/га~-ггг ' У иЦ,,а ) 4 У исл^л )

г(I | (II (2> (г I ,

•[А»^»* > + ц.чл )] •

За допомогою форму ли. (51) пч чаотмних отац)онарник роз -'1> - 121

В'явках ДР (БОа) и * х^, и * щ побудивши«. «еси'фойариий ройв' явок

о» г -в* /~т~~т1~х ь ~-ел'~г1

иОс,,,*, > - [ЯХ,- се °± Уса " -'асх,в 0

и» , <в1 . Э розв' пак( в и = х^, и а оде\.«усмо

13' , Г ^ >

иО^.х, )«> 01*,+ яс>е сов 5 агсеш I

Для нел1н!Якого хвклового р)пнячп<!

доведано твке твердыни я.

Теорема 16* ДР (ь;1.) а дов1льжпо гладкою функц!ею С (и) пажжальним п(?|х>твор6нвй.* ем)нних

« - , - V, , (|1 „ ОД) , » * Фо , (53)

»водиться до лЬНйного

L « voc- с'Чу,)*,,- О (54)

(S3 i

r.,<x,u> -►AL?<y,v).

Orsipartip I me. вигляД - fTiV '^«.»OQ^ll- 0<У1>*О0>- С<У.>Т10^Э100 +

+ totjjk,,- v=oyco101+ zto(yj )vlovûovooo" v10v100

+ t'lo^oco- voovioo,l*ii + oíy.^oo5- ¿<yi>voo • .

Sn дошмогою НИЗ <63) для ДР (62) встановлана формула вол1н1йног сушрпозицй' розв'язк!в, ва в1доиими та внаАдзни-ш розв' пэками Jif HiúFioro р!вняння <64) побудовайо широк! кла-си новкг fxlsb'nskîb piвняння (52).

Якш в)дмов1тгиоь Bf д вшоги л1пеаризовност1 ДРЧП на во!8 KriossíHÍ роов'язк!в i вжяагзти виконаннп ni ci вявстивоат! лита Ей до як i й Yz п(даножкн!, то ножна суттсво розшириги клао р(внянь, до яких можна вастосувати метод нелокально'/ л! псари-еяцГ/. "laicy процедуру природно и; >.вати умовпов нелокальною л1изаризчц1ею ДР. Цим нитаняям присвятениа § 4. Зо крема, вота-ношено тэке твврщення.

Язореыа 17. Tpmml pm pi вняння яелМйноУ теплопров!д-ffoorí типу Бйргврсз

ujj-u|VU|- ли - о (55)

нелокальним пэрэтЕореинян азлзяяо'( bmí hroÏ (узагальненням па-ретворенвя Коула-Хогжрэ)

и - 2 /(vin w)2 (Бв)

чводаггьоя до л!в1йвого р! вняння »0 » ля эг!дно форчули Up - ujvui - ли - [w*"1 V - w~2?wU«0 - aw) . Анзаци

u - г/ ff In (pí^.u)]2 , ш = ab¡xa (a » 1,2,3) ,

u - г/ tvln (2(n-1 )x0+3c)]2 , x e (x, ,xj ,x3), n = 4 ,

редукувть ДР (Бб). Побудовзна формула нелгн!йног сулерпози-UiY розв'язк!в piвняння <55).

ЧзпзергпЭ (ooramitfi) роэд!л дисерггац! Ï присвячений ви-

кориотанно додатнових лИвських <51 ) та недокал m л* (}*',) ои-ветрШ допом1шша ДР до яша вводяться »а ценимого») 1013 дрол(днуван1 pi ваганя J\ . [ЬЙудовая! нелокальа! íiIüíhuji, формулы розМноження розв'язк1в НДР.

Вотановлеио, що лП'воъка симетр!я рйиншш 1ар'-Д1ма

^ - u3ult, * О (D7ci)

сшраа ц1м лИвська cißWTpifl ДР ' _ г

wo - *tï ».,, - 0 i^ö)

За догюмагою додвткового оператора П - 11 итэрн

iifflepl антнос.т! piвняшгя (Б7а) пойудрван! i!eei.í>,:h-!..eimil niУь-

оьк! анзаци, як! в1доутн1 у ДР (67d), 3 ihtjcrj Зсчсу. ■» S3

розд!лу II встановлено, ис р1вняяня (Е7а) зв'нзуче з BP ib?û)

i к

niдстансалою u(x„ ) wu (x^x, ), Нелокальи! шикш* ДР <57d), побудован! за дошмогою цьоги 1Ш в л!ни« шк>ац1в р1вияння (Б7а),мэють вигляд

w - И(х)•(!<") +■ I(x)-4>(u) + д(х) . (ж)

Напршиад, аизаци

1. и» « S Ь -1 , f =.-2xlt g - \jCj4 Ц ;

-i. -1 а. ш « In X(,4 X,"1 ¡ h - хД í « -2x,*or, g » V:1

редукують ДР (57Û) до таких ЗДР: _ i

1. -1][з <1 Г- $ ] « о ,

8' К " 2Х>][ 3 4> + Ф - 2 $'Г ] - О , i,» i,» ü .

Цга* н&лП'бським яцзацам в1дпоЫдзють ДРЧ11, лк( виан vi iíirii вблоиальиу cmeipiи ДР (Ь7й)

Побудован) вагшопараметркчн! класи розй'пзк1в р!нагшь <67а ,d).

Ö другому параграф 1 дня поСУдови нелскапьям ¿fia.iui и га

À

фариул розцдоюення розв'язк1в доел!двуаашя нел! к1£шя р!в-пяль 3\ викориотан1 нелокальи! скшггр!¥ дрпоы!шних р!вшшь \ Пкщр датой!жне р!паяния л1н!(Ше, сшратори Аого лПв-

III (21

ськоУ скгатрП даавсшють за'гаггти роаа'каки м(У) I сп!вв!дцошеаяяа

(2 1 (II

v<y> - Ц. у<у) . (59)

Розглянут! так! пелшииьн! сижгтр! Ч (63) л1н1шмго р1шшная

(21 (II

^у) - в1 у(э) , <б8а>

12» С к I 11 к Ч >

*(У) - с V(У) » V, 1 | УЬУ , (63б>

Естаков^еао, азкрема, езр щя вал!а!£наго р1вня2ыя (48) 1 + ♦ 1 ■ О справедлив! фораули разинааешш розв'вак!в, породвза! «¡метр! паи (ЬШ.й) л!в!Ииаго р!ьнкшя <2 1 ( 1 к иС^.х,) - х^х^.т»- * ,

(I >

(г» пин , и I «II

и^р.Х,) - и*; а 1 - *(А .

III , О I -4» I

Д.Ш иел1в!»вого р!ьннанй теплопров1даост! ^ » 31 (и и,) таиаж. гкЛудоааи! фораули размножения роза'язк1в, породаш! (ииок&хьюскг статр1яян (БЭа.а) лШШюго р1ваяпня. У випад-ку (Ый), яаприклад, вотавоьлваа формула

(II, (11,(11

•2 1 »» I .(11(1 1(1 I ,-1

иЦ,,*,) ~ и 5Ц,,-1>[ IV - и Во I ,

Ь вакличеиш коротко сформулъоваш результата дасертац! К, як! виноояться на эахкот,

В додатках н 1 отяться восл1даен«я лПвсько'! снматр! 1' р!в-чяпь (33а-в) 1 доведения формула (30).

(1 )

Освовн! толсжеквя дисертац!Т опубд!кован! в таких роботах:

1. Владимиров 8.А., Тычкниз В.А. Нелокальная линеаризация одной системы гидродинамических уравнения, допускасеотх бесконечную группу инвариантности // Краевые задачи математической физики. - Киев : Наук, думка , 1890. - с. 59-82.

2. Тичкн1н В.А. Групова класиф! кац! л р!впянь Ио-ч" 1)^,,

та тт0- и,,,/ Дрп. АН УгераК ПИ.-1992. - # 10.- С. 24-28.

3. Титан! н В. А. Нелокальна скметр!я та розмшжепня рсп-в'нзк(в р!вняняя "ои,,* 1-0 // Сикетр!йниа аяал!з р1внлнь иатемаптаоК ф1онки.-Кшв: 1б-т иатематюси АН Укра'(пи, 1003.-С. 26-33. • _

4. Тичш!в В.А. Про л1неаргоац!ю Оагатовкя1рного р!вяян-ня талу Бюргерса // Доп. АН УкраУш1.-19М.- Л 5. - С. 35-30.

5. Тичия|н в.А. Нелокальп! анзаци для пел!и!алого хвильо-вого р1вняння // Доп. АН УкраУни.-1994.- #8. - С. 23-32.

8. Тычедин В.А. Приведзнвэ некоторых автономных уравнений нелинейных каяэЯзниа к линеявьм однородным. Преобразование завискмоа пэремегагаа // Динамика и прочность тяжелых нашив. вып. 4. - Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1979. -С. 143-148.

7. Тычинип В.А. Приведет® некоторых автономия уравнения нелинеаных колебания к линейяым однородны». Преобрззо-ваниэ независимых и зависимых переменных // Динакика и прочность тяжелых машин. Был. 5. - Днепропетровск: Днепропетровский ун-Т, 1980. - С. 187-174.

8. Тычянин В.А. Исполъзовагоээ преобразований Ли-Беклуп-да для приведения некоторых уравнения в частных производных к удобному для интегрирования виду // Дифференциальные уравнения и их приложения. - Днепропетровск: Днепропетр. уя-т, 1960. - с. 57-62.

9. Тытанин В. А. О некоторых нелинейных уравнениях в частных производил второго пэрядка, приводима: преобразо -ванием /л-Беклудца зависимой пэремоявоя к уравнении линвяноя теплопроводности // Дифференциальные уравнения и их приложения.- Днепропетровск: Днепропетр. уя-т, 19Э0.- с. 63-67.

10. Тычияин в.А. О преобразованиях.Ли-Беклунда в некоторых задачах нелинейного тепло-мэссообиева // Иатеиатпескш методы тепломассогюреноса. - Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1(*ю. - с. 60-65.

ц. Тнчииин П.А. Шлокальная линеаризация и точные резания уравнения Борна-Инфельда и некоторых его обобщенна // Теоретика- групповые иоследования уравнений мзтематшеской фет вики. - Кшв: Ия-т математики АН УССР, 1В85. - С. Б4-60.

13. Тыпшип В.А. Симметрия и точные решения уравнения и^» Ь(и)ии)< и Симметрияшй анализ и решения уравнения математической физики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1888.0. 72-77.

13. Тычинин В.А. О нелокальных преобразованиях, связывающих уравнения и^- Ь^ц^ и - (Ь)х // Сгашзт-рия и ревения уравнения математической физики. - Киев: Ин-т изтемгтемэтики АН УССР, 1В39. - С. 64-86.

14. Тычинин В.А. О построении новых точных решений нелинейных уравнения по известный частным // Симметрия и решения уравнений математической физики. - Киев: Ин-т Математики АН

УССР. 1939. - с. 88-89.

1Ь. Тычинин В.А. Нелинейные уравнения, связанныэ преобразованием Эйлера-Ампера с уравнениями Кортевега - да Фриза, их точные решения и нелокальные симметрии // Специальные граничные задачи .теории теплообмена. - Киев: Ин-т мапгенатикн АН УССР, 1090. - С. 91-06.

16. Тычинин В.А. Нелокальные симметрии и точные решения аелинеРяого волнового уравнения и Теоретико- алгебраический анализ уравнений математической физики. - Киэв: Ин-т математики АН УССР» 1890. - С. &4-У7.

17. Футмч В.И., Тычинин В.А. О линеаризации некоторых нелинейных уравнения с помощью нелокальных преобразования. -Киев, 1982. - БЗ е.- (Препринт Г АН УССР. Ин-т математики; 82.33).

18. Фушп В.И., ТыЧшшн В.А. Точные резения и принцип сушрпоаицки дхя нелкнвййого волнового уравнения // Докл. АН УССР. Сер А.- 1090. - & 5.- С. 33-38,

19. Фудич В.И., Тычизш В.А., Жданов Р.З. Нелокальная линеаризация и точные решения некоторых уравнений Мопжа-Акпера, Дирака. - Киев, 1685.г 27 С.-(Препринт / АН УССР. Яя-т иатоматики; 85.34).

20. Фуиич В.И., Тычинин В.А., Серов Н.И. Формула раз -множекия решений .уравнения Кортевега - да Фриза // Укр. мат. «урн.- 1992.- 44, »5. - С. 716 -719.

21. Фупцк ПЛ..Серов ИЛ., Tirtnuln П.А,, Ал^роа Т.Н. Про нелоюиъи! сикетр1V piмклия ке-ií sianoY гепд()пряа1дпоог1 // Доп. АН УкраУяи» -1Где,- >í 11.-С. 27-33.

22. Фунмч D.I., Tiramls З.А. Уознло'М!нын роз'нак1в на-jtnißma р!пнянь аа дагакогой гееретеореяля Лгкакдра // Доп. AU УкраУпи.-ШЙ.- 7.-С. 20-25.

23. Фугоп B.I.,1-Tueraiл i).Л. Иялсшигыш <ивгэтр1я га роз-МП0НКШ1Я роза'язк1п дад р1вия!гь -гаду Гер) -Д! ца // &ш. АЛ Уг,-p?ïmî.-1982.- !> 9.-С. а-1-30.

2-1. Фугой Э. 1. Дни tit! п В.Л. Ровшимаияп pcs'insta ддд ;*_•)-¿Iniftraoc р!впкаь оа долимого» najmiMiniutfl Вйора-Аупзра ft Доп. Ail y;tpaïitH. -1033.- 7.-Ö. <Ш--1Б.

25. Фущи ВЛ. .Титан! п В. А. Пзютвореяня лэдографа та рояазсжешш роэ'яз5с!п tasi iu3)íieí ди1»раиц1 аяьвмх pi -.nsm /) Доп. All Уггрэ'/нй. -1ШЗЗ. - ¡? 10.-С. Е<2-Ь8.

26. Tyohynln У. Ai Iîoti-LochI sjmotry rind tjïieratUig solutions for Harry-Cya type lon.e tf J. Fhy ï.. X,- \<ЗЗД. ■ 27, tf Ii.- p, 27Ö7-27S7.