Нелокальные теоремы разрешимости различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ханикалов Ханикал Баратилович

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала 2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Дагестанского государственного университета.

Научные руководитель- доктор физико-математических

наук, профессор Г.М. Магомедов.

Официальные оппоненты- доктор физико-математических

наук, профессор Р.И. Кадиев,

кандидат физико математических наук, профессор Г.Г. Гаджимагомедов.

Ведущая организация- НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского НЦ РАН.

Защита состоится 30 декабря 2004 года в 14.00 часов на заседании диссертационнного совета К 212.053.11 в Дагестанском государственном университете (367025, г. Махачкала, ул. Дзержинского, д.12, математический факультет, аудитория 3-70).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан 29 ноября 2004 года.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических наук, доцент

Э.И. Абдурагимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Исследование нелинейных уравнений и, в частности, исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) обусловлено необходимостью решения практических задач механики, современной физики и биологии Нелинейные уравнения применяются и для описания различного рода краевых задач; они являются более универсальными для качественного исследования этих задач.

Впервые исследование НСИУ по предложению академика Кельды-ша М.В. было проведено в работах Гусейнова А.И., опубликованных в 1947-1948 г.

Нелинейные уравнения типа Гаммерштейна, в частности, НСИУ применяются в теории упругости, квантовой механике и ядерной физике; к ним приводят и различные задачи фильтрации.

Исследование нелинейных уравнений является в настоящее время приоритетным в связи с большим интересом, проявляемым к ним зэ-рубежом и в нашей стране.

Цель работы. 1. Исследование нелинейных уравнений типа Гаммерштейна и альтернативного класса уравнений, содержащих сингулярные интегралы в пространствах Ьр, Н0 .

2. Доказательство нелокальных теорем разрешимости для различных классов НСИУ с ядром Коши и ядром Гильберта в действительной и комплексной областях, в пространствах Ьр и гельдеровских классах непрерывных функций.

Методика исследования. В настоящей работе применяются различные методы нелинейного анализа, в частности, метод монотонности, а также метод априорных оценок.

Научная новизна. Исследованию нелинейных уравнений типа Гаммерштейна за последние десятилетия посвящено множество работ зарубежных и отечественных авторов Наши исследования дополняют эху область и расширяют класс допустимых линейных и нелинейных операторов, в частности, широко использованы случаи сингулярной композиции линейных и нелинейных операторов.

В работе исследуются линейные сингулярные интегральные опера-горы различного типа и получены теоремы однозначной разрешимости НСИУ самых различных классов в пространствах Ьр, а также в гельдеровских пространствах непрерывных функций.

Исследованию таких уравнений посвящены работы известных ма-

РОС ИЗ", '.НАЛЬНАЯ Б 'СКА

С -и ^оург

гоо^рк

трматиков X Ауана, X Брезиса, Ф. Браудера, ММ. Вайнборга, М \ Крагиосельс-сою и др

По теории линейных и нелинейных сингулярных интегральных уравнений написан ряд монографий (Мусхелишвили Н И . Векуа II.П., Гахов ФД., Михляч С.Г., Пресдорф 3., Погожельский В., Гусейнов А И. и Мухтаров X Ш ).

Впервые нелокальные теоремы разрешимости для НСИУ были получены в работах Магомедова Г.М. В нашей работе дается обобщение этих результатов, изучены новые классы НСИУ, применены различные методы исследования уравнений. Впервые получены теоремы нелокальной разрешимости для НСИУ на комплексной плоскости при минимальных ограничениях на нелинейный оператор.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты, а также новая методология исследования общих уравнений типа Гаммерштейна могут быть применены для исследования конкретных нелинейных уравнений. Исследование НСИУ открывает возможность применения этих результатов для описания новых классов различных задач математической физики, а также нелинейных граничных задач теории аналитических функций.

Полученные результаты могут быть применены к прикладным задачам в теории упругости, в гидро- и аэродинамике и в других облает 5'Х современной физики. Они представляют интерес для специалистов математической и теоретической физики, теории аналитических функций и нелинейного анализа.

А.пробация раГюты. Основные результаты работы докладывались на семинарак кафедр математического анализа и теории функции и функционального анализа математического факультета ДГУ, на городском семинаре по математике в г.Махачкале; на Первой Северо-Кавказской региональной конференции Махачкала (1986), на конференции "Функционально дифференциальные уравнения" (1988), на Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции "ФДУ и их приложения" (Махачкала, 1977), на VII Международной конференции " Математика. Экономика. Экология. Образование" (Новороссийск, 1999), н?| Международной научной конференции ДНЦ РАН (Махачкала. 1999, на Международной конференции "Современные проблемы математики" (Махачкала, 2004)

Публикации. Основные результаты опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата

Объем и струк гура работы. Диссертационная работа изложена

на 84 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 45 наименований.

Краткое содержание работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девять параграфов, и списка литературы. Введение посвящено обоснованию темы исследования и краткому обзору работ по данной тематике.

В первой главе, состоящей из 2-х параграфов, исследуются уравнения типа Гаммерштейна общего вида

Фи =f и + А о Fu = д, (I)

и некоторый класс альтернативных им уравнений.

Нелинейный оператор Fu = f(x,u(x)) определяется функцией f(x, г), определенной на 6' х Ж и удовлетворяющей известным условиям Каратеодори. Кроме того, функция / удовлетворяет неравенству

\f(z, ^ + М\г\". (1.1)

где а 6 Lp(G).

Теорема 1.1.1. Пусть функция f(x,r) не убывает по г почти при каждом х € G, удовлетворяет условию (1.1) при 0 ^ и < 1 , квазимонотонный линейный оператор А ограничен в соответсгтву ющем Lp; а, \g\v 6 Lp\ 2 ^ р ^

Тогда уравнение (I) имеет решение и(х) такое, что и — g Е Lp

Если, кроме того, оператор А положительный, то это решение единственное в Lp.

При доказательстве теоремы опираемся на коэршиивность оператора Ф и монотонность F.

Из доказательства теоремы следует, что при v = 0 функция д(х) может быть любой измеримой, а при 0 < и < 1 \д\ может принадлежать любому Lp (р 1).

Отдельно доказывается однозначная разрешимость уравнения (/), когда v = 1 и А - линейный ограниченный в Lp положительный оператор.

Доказательство опирается на монотонную (секторную) ограниченность скалярного оператора F. Решение принадлежит тому пространству Lp, которому принадлежит а(х) и д(х)

В случае, когда показатель степени в (1.1) больше 1, композиция А о F действует из Lp (р = 1 + v) в более широкое пространство

Г 4 (q — 1 4- и уравнение относится к классу сингулярных уравнений типа Гаммерцгтейна. В этом случае на функцию f(x.r) нам пришлось наложить дополнительное условие ограниченности снизу:

Ь{х)+т\т\и % \f(x,r)\ ^ а(х) + М\г\1/+а, (1.2)

где v < I, а < 1 m > О

Теорема 1.1.3. Пусть функция f(x,r) из теоремы 1.1.1. удовлетворяет неравенству (1-2), причем и 4- а > 1.

Пусть далее А - линейный положительный оператор из L-, в L-y (f + 1 ^ 7 f Р-, р = v + а + 1) и, кроме то?о, он ограничен и снизу, т.е.

mi\\u\\p < ||i4u||p, То! > 0.

Тогда при g £ Lp уравнение (/) имеет решение в Lp и оно единственное в Lpj (pi = v + 1).

При доказательстве теоремы мы заменяем уравнение (I) его аналогом вида

Щи) d= -А*и + А о FA*u = g (7)

и существенно используем факт коэрцитивности оператора Ф в пространстве Lp .

При I/ > 1 нам удалось снять в (1.2) ограничение а < 1, встречаемое у других авторов, и расширить класс допустимых А в уравнении

(О-

Теорема 1.1.4. Пусть в неравенстве (1.2) v > 1, а ^ 0, гп > 0, Fg G Lp (р ^ v + а + 1), функция f(x,r) удовлетворяет и остальным условиям предыдущей теоремы. Пусть далее линейный квазимонотонный оператор А ограничен сверху и снизу в LPl (и + 1 ^ pi ^ р)._

Тогда уравнение (I) имеет реш,ение в Lp и если, кроме того, А положительный оператор, то это решение единственное в L7 (7 > 1)-

Во в юром параграфе главы исследуется некоторый класс уравнений типа

Фи d= Аи + Fu = g (II)

Для этого уравнения получены теоремы разрешимости аналогичные теоремам 1.1 1 , 1.1 3., 1.1.4. Но здесь получен и более сильный результат об однозначной разрешимости (II) без ограничений сверху в

неравенстве (1.2) на функцию f(x,r) Это дало возможность получить аналогичное утверждение и для уравнения (I).

Теорема 1.2.1. Пусть функция f(x,r) ((x,r) G G х К) удовлетворяет условиям Каратеодори, монотонна по г почти при каждом х £ G и удовлетворяет 'неравенству (1.1) при v < 1; линейный положительный оператор А ограничен снизу и сверху в соответствующем пространстве Lp, т.е.

т\\и\\р < ||Au||p < М\\и\\р.

Тогда при каждом g 6 Lp (р ^ 2) уравнение (II) имеет единственное решение в Lp.

Для доказательства теоремы к левой части уравнения добавляем регулирующее слагаемое, обеспечивающее коэрцитивность оператора Ф и рассматриваем последовательность уравнений:

def т , л- т и\и\р~2

Ф пи = Ф„ (и) + Ф и = д, Ф„ = -U-.

п

Доказывается однозначная разрешимость каждого из этих уравнений. А в последующем сходимость к нулю последовательности (Фп(ип)} по норме Lg, I + i = 1.

Утверждения теорем 1.2.2 и 1.2.3 аналогичны утверждениям теоремы 1.1.3.

Теорема 1.2.4. Пусть оператор А и функция f(x7r) удовлетворяют всем условиям теоремы 1.1.4■ и а,Ь € Lv (р ^ v + 1).

Тогда уравнение (II) при каждом g € Lp имеет в Lp, единственное в ¿2 решение.

При доказательстве теоремы применена некоторая "срезка" функции f(x,r) и оператор F заменен на последовательность операторов Fn, каждая из которых действует из LPl в Lqi (р1 = и + 1, qx = 1 + и-1, v > 1).

Следующая теорема доказывается без ограничений сверху в неравенстве (1.1) при v > 1 с дополнительным требованием строгой монотонности оператора F.

Теорема 1.2.5. Пусть функция f(x,r) удовлетворяет условиям Каратеодори, строго монотонна по г почти при каждом х 6 G и имеет место неравенство

-Nr + m\r\"+1 ^.rf(x,r), v > 1, m > 0;

при г гринадпеигащем любому отрезку [—Г0,г0] функция }(х,г) 6 Ь„ (р = 7У+1).

Пусть, далее линейный оператор А ограниченно действует в Ьр (р ^ 2) и квазимонотонен.

Тогда уравнение (II) при каждом д € Ь,, имеет решение в Ьр и оно единственно в Ь2 ■

При доказательстве теоремы мы заменяем и(х) на оператор Р-1, обратный Р и сводим уравнение (II) к уравнению (I), которое удо-ц-тетворяет условиям теоремы 1.1.1

Эта теорема дает возможность доказать утверждение

Теорема 1.2.6. Пустг, функция /(х,г) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, а оператор А условиям теоремы 1.2.1. Тогда имеет место соответствующее утверждение об однозначной разрешимости уравнения (/)

Вторая глава состоит из пяти параграфов

В первом параграфе исследуются линейные сингулярные операторы (ЛСО) шести видов

7Г а

1 С й — X 1 /*

Аи — — / «(в)^-дв, Ви= — / -ёв,

27 у 2 7г] в-г

— 7г —а

Си - рВ(ир~х), -С*и = р~гА(ир), р(х) = (а2 - х2)^,

ж а

<Аги)(х) = ~ I К^х^Мз^^-йз, (ЗДОО = 1 У

- тг — а

где К3(х.а) = К](з,х).

В параграфе 2.2 исследуется линейный сингулярный оператор на комплексной плоскости

^ 1 Г и(т)<1т . . т т - <

Показано что оператор 9 является положительным в Ь2 в смысле оператора на комплексной плоскости, т.е. получено

11е (9и,и)ь2 = 0.

Показано, что оператор заданный на произво-тьном контуре L можно свести к выше рассмотренному оператору

В параграфе 2 3 устанавливается разрешимость различных классов НСИУ типа Гаммерштейна в пространствах Lp

Ввиду кососимметричности наших ЛСИО, функция f(x,r) может быть как неубывающей по г на всей прямой почти при каждом ж, так и невозрастающей по г.

Утверждения теоремы 1.1.1. остаются в силе, если в качестве линейного оператора в уравнении (7) взять ЛСИО Ai,Bi, С, С*.

Когда А = В, или А = С* остаются верными утверждения теоремы 1.2.1.

При замене в уравнении (7) А на Ai, Вi верна георема 1.1.2.

Утверждения теоремы 1.1.4 при v > 1 остаются верными при замене А на В в пространствах Lp (р > 2) В пространствах L® и L°p в качестве линейного оператора в уравнении (7) можно взять соответственно наши ЛСИО Л и С. Показано, что теорема 1.2.5 без ограничений сверху на f(x,r) остается в силе, если вместо А поставить наши В, С, А.

В теореме 1.2.6 в пространствах Lp в качестве линейного оператора можно взять В или С*, а в пространствах L° (р > 1) и L° (р > 2) можно взять соответственно А и С.

В четвертом параграфе исследуются НСИУ типа (7) и (77) на комплексной плоскости.

Основным результатом этого параграфа является доказательство разрешимости уравнений без требования монотонности оператора F.

Ввиду — $)2 =■ 7, уравнения (7) и (77) эквивалентны.

Оператор 3> сначала считаем заданным на окружности |т| = 1. Оператор F определяется функцией f(t,z).

Теорема 2.4.1. Пусть функция f{t,z) удовлетворяет условиям Каратеодори на L х С и неравенству

|/(i,z)|^|a(t)| + M|z|", 0 < f < 1 (4.1)

и пусть вместо оператора А стоит ЛСИО @ с ядром Коши. Тогда при a(t), g{t) € Lp (р > 1) уравнения (7) и (77) имеют решения m Lp

Если, кроме того, функция f(t,z) строго монотонна по z, то это решение единственно в Lp.

Доказательство основывается единственно на коэрцитивности оператора Ф.

Если А = Я. а ^и = ги то соответствующее уравнение (I) не имеет никакого решения, если разложение g(t) в ряд Лорана содержит ракую-то степень tk. (к - целое положительное). Отсюда вытекает, что ограничение и < 1 в неравенстве 4.1 при отсуствии других ограничений является существенным. От ограничения и < 1 можно отказаться, еел л потребовать некоторой коэрцитивности функции

ДМ) •

Теорема 2.4.2. Пусть комплексная функция f(t,z) удовлетворяет условиям Каратеодори на L х С и

-Ntz\ «-m|z|14" Re[f{t,z)- z], u>0 (4.2)

?t при \z\ <T (T любое положительное), .f(t,z) € Lp.

Тогда при A = ф и g € Lq (p = 1 + i/, <7 = 1 + v~l) уравнение (I) имеет решение в Lp.

Если, кроме того, F строго монотонный по z, то это решение единственно в Ьр.

При доказательстве теоремы используя коэрцитивность оператора Ф в Lp доказываем существование последовательности условных решений уравнения вида

п

un(t) = aktk-

k=—n

Последовательность {un} равномерно ограничена в Lp.

В пятом, последнем, параграфе главы рассматривается НСИУ более общего вида чем (I) и (II):

Фи=( u + F!U + AoF2u = g, (III)

Фи ~f AFlU + F2u = g. (IV)

Теорема 2.5.1. Пусть функции Д удовлетворяют условиям Каратеодори и /1 монотонно не убывает по г, а /2 монотонна в одну сторону по г почти при каждом х £ (—а,а). Кроме того, пусть имеет место неравенство

\h(x,r)\^N + M2\r\a\

а функция }\(х,г) 6 Ьр при каждом фиксированном действительном, г Пусть далее вместо оператора А стоят ЛСИО Ах или В\

Тогда при д € Ьр (р ^ 1) уравнение (III) имеет решение в Ьр.

Доказательство основано на том, что оператор Р$и и + Р^и обратим.

В случае а2 < 1 вместо оператора Аг или В\ может стоять и операторы С или С*.

Теорема 2.5.2. Пусть функция удовлетворяют всем

условиям теоремы 5.1, а функция Д строго монотонна по г и удовлетворяет неравенству

-N+ т\г\" ^\^(х,г)\, и>1, т>0.

Тогда при каждом д € Ьр (р ^ 2) уравнение (IV) имеет решение в Ьр, и оно единственно в ¿2 •

При доказательстве уравнения (IV) сводится к уравнению 1ипа (II).

Следствие. Утверждения теорем 2.5.1 и 2.5 2 можно доказать и при замене оператора В на оператор С .

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена доказате 1, сгву принадлежности решений уравнений типа (I) и (II) гельдеро • ским классам непрерывных функций.

Основным методом исс педования в этом параграфе является метод априорных оценок.

В первом параграфе исследуется НСИУ

Фи =Г и + \Вх о Ви = д, (VI)

при К(х, ±а)/(±а, г) = 0. Через обозначено банахово простран-

ство с нормой

1М1 = |М1с + 1Ии2 =

Сперва доказывается вспомогательное утверждение

Лемма 3.1.1. Пусть функция /(х,г) определена и непрерывна в области [—а, а] х (—00,00), удовлетворяет условию

|/(х,и)К М|и|а + ЛГ, (Ка<1,

имеет частные производные f'x и f'z для кот,орых справедливы оценку

О ^ /г ^ Mi\r\a~e ■+• N1, О <esCa,

а

IШх,и{х)]I + (\K(x,x)\\f'x{x,u(x)]\)2}dx < M2\\u\\la2,

— а

функция К(х. s) и операторе Вi имеет частные производные по обоим аргументам из некоторого гелъдеровского класса .

Тогда, если и0 решение уравнения (VI) из W^, то при любом фиксированном А имеет место

IMK*i(i + ll$ll),

1де постоянная Кj но зависит от и0 и д. На основании леммы доказывается

Теорема 3.1.1. Если функция f(x,r) и ее частные производные f'r и /Ц определены и непрерывны в области [—а, а] х (—оо, оо), оператор F"r : С —1/2 непрерывен в Ь2 и, кроме того, выполняются условия

леммы 3.1.1, то при любых фиксированных А,<? € W^ уравнение

(VI) имеет решение W^ и оно единственно в С.

Во втором параграфе при некоторых дополнительных ограничениях на футткпии /(х. г) мы доказываем принадлежность решений уравнения (VI) полученных в главе II гельдеровским классам непрерывных функций.

Теорема 3.2.1. Если функция f(x,r) и ее частная производная f'x определена и непрерывна в области [—а, а] х (—оо,оо) и

О \f(x,r)\^K + M\r\, f(±a,r) = 0,

a f'x(x,r) удовлетворяет условиям Каратеодори и

|/:Ка(г)+М|г|, aeLp, р> 2.

Тогда уравнение (VI) при А = В и g' € Lp имеет единственное решение в гельдеровском классе Ни, v = |.

При доказательстве использована последовательность полученных в 1еореме 1.1.2 условных решений ип(х). Установлена ограниченность в ¿г последовательности производных {и'п(х)}. Знакопостоянство f'r

означает монотонность оператора Ри и это используется при доказательстве сходимости всех приближений.

Далее мы устанавливаем некоторые дополнительные правила дифференцирования ЛСИО В и С. Установлено в частности, что

Эти правила используются при доказательстве следующей

Теорема 3.2.2. Пусть функции К3(х,з) и }{х,ь) удовлетворяют условиям теорем 3 1.1. и 3.1 2. без требований обращения в нуль на концах. Тогда уравнение (VI), где оператор А заменен на В1, В или С имеет решение соответственно такое, что (ир)'р € Ьр и и'р е Ьр при каждом (др)'р € Ьр или д'р £ Ьр.

Существование решения и о для уравнений при замене А на В или В1 доказано в первой главе. Здесь мы устанавливаем, что (иор)'р 6 Ьр.

При замене А на С, получаем, что и'0р £ Ьр. Из последнего следует, что решение щ принадлежит некоторым На внутри интервала (—а, +а) и ограниченность решения «о(ж) при р ^ 2.

Перечень публикаций автора по теме диссертации.

1. Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Теоремы разрешимости нелинейных уравнений второго рода и некоторые приложения. //Доклады АН СССР, 1983. Т. 270, №5. С. 1051-1053.

2. Ханикалов Х.Б., Магомедов Г М Некоторые новые результаты разрешимости нелинейных уравнений типа Гаммерштейна. //Функционально -дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов Первой Северо-Кавказской региональной кон- ференции)-Махачкала, 1986. С. 214.

3. Ханикалов Х.Б. Метод монотонности для нелинейных сингулярных интегральных уравнений. //Функционально-дифферен- ци-альные уравнения. Махачкала, 1988. С.23.

4. Ханикалов X Б., Магомедов ГМ Теоремы существования и единственности решений для нелинейных сингулярных интегральных уравнений в гельдеровских пространствах при различных ограничениях на параметры. // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала, 1989. С 99-104

5. Ханикалов X.С.. Магомедов Г.М. О применимости метода монотонности к нелинейным уравнениям типа Гаммерштейна. //Фун-К1 иона тьно-дифференциальные уравнения и их приложения Махачкала, 1994. С. 103-109.

6 Ханикалов X В., Магомедов Г.М. Метод априорных оценок дъя но линейных сингулярных интегральных уравнений. // Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения Межвузовский научно- тематический сб. Вып. 3. Махачкала, 1997. С. 211-215

7. Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. О некоторых новых результатах для систем нелинейных уравнений с монотонными операторами. Материалы Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально -дифференциальные уравнения и их приложения". Махачкала, 1997. С. 62

8. Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. О некоторых особых классах нелинейных уравнений типа Гаммерштейна. // Материалы VII Международной конференции. "Математика. Экономика. Экология. Образование". Ростов-на-Дону, 1999. С. 28.

9. Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Применение метода монотонности без условия положительности линейной компоненты. // До-< 1 ижения и современные проблемы развития науки в Дагестане. Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала. 1999. С. 367-368.

10. Магомедов Г М., Ханикалов Х.Б. Исследование некоторых нелинейных уравнений второго рода с сингулярными интегралами. // Вестник ДГУ, Естественные науки. Вып.1. Махачкала, 1999. С. 5964.

11. Магомедов Г.М, Ханикалов Х.Б., Муртазалиев М А Об одном методе монотонности для систем нелинейных уравнений типа Гаммерштейна. // Вестник ДГУ, Естественные науки. Вып.4. Махачкала, 2001. С.61-65.

¡2 Ханикалов К.Б. Исследование некоторых классов нелинейны < сипгулярных интегральных уравнений, заданных на негладких контурах. // Магер. Международной конференции "Современные проблемы математики", Махачкала, 2004 С. 77-79.

Подписано к печати 26.11.2004.

Формат 60x84 1/16 Отпечатано в типографии №7 Заказ №197. Тираж 100 экз.

РНБ Русский фонд

2006-4 6026