Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи 0.

СИДОРЕНКО ОЛЬГА ГРИГОРЬЕВНА

Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

^иои гозвз

Стерлитамак - 2007

003070363

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамак-ской государственной педагогической академии и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РВ

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, чл -корр АН РБ Сабитов Камиль Басирович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Защита состоится 29 мая 2007 г в 12 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212 315 01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу г Стерлитамак, пр Ленина, 37, ауд 312

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан "¿2/ " апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Репин Олег Александрович кандидат физико-математических наук доцент

Биккулова Гюзель Галимзяновна

Ведущая организация Институт математики

им С Л Соболева СО РАН

доктор физ -мат наук, профессор

Кризский В Н

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе рассматриваются нелокальные задачи для вырождающихся уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов

Начиная с известных работ Ф Трикоми и С Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф И Франкля, К И Бабенко, А В Бицадзе, Т Д Джураева, В Ф Волкодавова, С П Пулькина, М М Смирнова, М С Са-лахитдинова, В И Жегалова, А М Нахушева, Е И Моисеева, К Б Сабитова, А П Солдатова и других математиков

Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости Для различных классов уравнений нелокальные задачи рассматривались А А Самарским, А В Бицадзе, В А Ильиным, Е И Моисеевым, Н И Ионкиным, А А Дезиным, В И Жегаловым, А М Нахушевым, А Л Скубачевским, А.И Кожановым, Л С Пулькиной и другими авторами

В трансзвуковой газовой динамике Ф И Франкль1 впервые для уравнения Чаплыгина

К{у)ихх + иуу = О,

где К(0) = О, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия("скачка уплотнения") и(0,у) — и(0, —у) = /(у), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и(х,у)

В работах М Е Лернера, О А Репина для эллиптического уравнения

УтиХх + иУу = 0, Ш > -1,

в полуполосе В = {(х,у)\ 0 < х < 1, у > 0} исследована задача с одним нелокальным условием и(0,у) — и(1, у) = 1рг(у), у > 0 и локальными граничными данными их(0,у) = щ(у), у > 0 и и(ж,0) = т(х),

1 Франкль, Ф И Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачкоы уплотнения /ФИ Франкль // ПММ - 1956 - Т 20 - №2 - С 196 - 202

О < х < 1, hm и(х,у) = О, 0 < х < 1 Методом экстремума доказана

у—>+00

единственность решения поставленной задачи, а разрешимость установлена с помощью метода разделения переменных, преобразования Фурье и теории специальных функций Аналогичные результаты получены для уравнения

2 р

Uxx + иуу Н--иу — b2u = 0, р € R, b > О,

в полуполосе D при <pi(y) = <Р2(у) = О

Е И Моисеев исследовал в полуполосе D аналогичную нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения

утихх + иуу = 0, т > —2, 0 < х < 1 у > О,

и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у > 0, и(х, 0) = J(x), 0 < х < 1, в классе функций и G C(D) f]C2(D), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи

М Е. Лернером, О А Репиным для уравнения смешанного типа

sgn У \y\mUxx + иуу = О; тп > О,

в области, где эллиптическая часть является полуполосой D, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) - и(1,у) = tpi(y), их(0,у) - их{1,у) = <р2(у). У > 0 Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений

Нахушев А М установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области

В работах Сабитова К Б исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа

sgn t It\muxx + Utt - b2sgn t \t\mu = 0 , m > 0, b > 0,

в прямоугольной области и в полуиолосе Методами спектрального ана-

лиза установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле

В данной работе предложенный в работах Е И Моисеева, К Б Сабитова спектральный метод применен для решения краевых задач с двумя нелокальными условиями для вырождающихся уравнений различных типов

Целью работы является доказательство существования и единственности решений краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Lu = K(t)uxx + utt - b2K(t)u = 0 , (1)

где K{t) = sgn t |f|m, m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D = {(x,t)| 0 < x < 1, -a < t < /3}, a,f3 > 0, с двумя нелокальными условиями

u(0,i)=ti(l,i), uB(0,i) =u,(M), -a<t<0, (2)

методом спектрального анализа

Методы исследования При доказательстве единственности и существования решения нелокальных задач для вырождающихся уравнений различных типов использованы метод разделения переменных, методы спектрального анализа, теория специальных функций

Научная новизна.

1. Впервые поставлены задачи с двумя нелокальными условиями для вырождающихся уравнений смешанного типа в областях их эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области в сочетании с различными граничными данными

2 Установлен критерий единственности решения нелокальных задач для уравнения смешанного типа

3 Решение нелокальных задач построено в виде суммы ряда Фурье и в случае уравнения смешанного типа доказано, что линия изменения типа, как особая линия, устраняется

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальней-

шей разработки общей теории нелокальных краевых задач для уравнений различных типов

Апробация работы Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К Б Сабитов, ФХ Мукминов, И А Калиев, 2003 - 2007 гг), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А И Филиппов, 2007 г) Стерлитамакской государственной педагогической академии, на научном семинаре отдела вычислительной математики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (научный руководитель - профессор Р С Сакс, г Уфа, 2007 г), а также на следующих научных конференциях «Студенческая наука - в действии» (г Стерлитамак, 2003 г), «Современные проблемы физики и математики» (г Стерлитамак, 2004 г), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г Нальчик, 2004 г), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы » (г Москва, 2004 г), «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г Нальчик, 2006 г), «Современные проблемы дифференциальных уравнении, теории операторов и космических технологий» (Казахстан, г Алматы, 2006 г) Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата В работах [1] - [4] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю К Б Сабитову

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 13 параграфов, списка литературы Объем диссертации составляет 120 страниц Библиография - 73 наименования

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту

В главе 1 для вырождающегося уравнения гиперболического типа методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями в сочетании

с различными граничными данными

Для вырождающегося уравнения гиперболического типа

Lu = (~t)muxx - иа - b2(—t)mu = 0 , (3)

где т = const > 0, b — const > 0, в области D_ = {(х,г!)| 0 < х < 1, —а < t < 0}, а - заданное положительное число, поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи

ЗАДАЧА 1 1 Найти в области D_ функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям

u(x,t) е C(DZ) П C\D- и {х = 0} и {х = 1}) n C2{DJ), (4)

Lu(x, t) = 0, (x,t)eD-, (5)

tt(0,i) = u(l,i), ux(0,t) — ux(l,t), ~a<t< 0, (6)

u(x,0) = r(x), 0<x< 1, (7)

ut(x,0) = u(x), 0 < x < 1, (8)

гдет и и - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = г'(1)

ЗАДАЧА 1 2 Найти в области D_ функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям (4) - (7) и

и{х, -а) = ip{x), 0 < х < 1, (9)

где т и <р - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = т'(1), у>(0) = <р(1), срЩ = у/(1)

ЗАДАЧА 1 3 Найти в области D_ функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (4) - (6), (8) и

ut(x, -а) = ф(х), 0 < х < 1, (10)

где v{x) и )(х) - заданные достаточно гладкие функции

ЗАДАЧА 1 4 Найти в области функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (4) - (6), (8) и (9), где (р и v - заданные достаточно гладкие функции, причем ^(0) = <¿>(1), ip'(0) = ip'( 1)

ЗАДАЧА 1 5 Найти в области функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (4) - (7) и (10), где тиф- заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = т'(1)

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (3), удовлетворяющие нелокальным условиям (6), которые имеют вид ик(:е,£) = Хк(х)Тк(1), где

Хк(х) 1, \/2со$(21ткх), \f2smi2nkx), к = 0,1,2, , (И)

ЩГ) = съуГ^^Ы-*)9) + (р*Н)в), (12)

2д ¿Я

ск и йк - произвольные постоянные, Л,(г) и У„{г) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно Используя эти частные решения уравнения (3), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье Например, решение задачи 1.1 найдено в виде суммы ряда

+оо +оо

и(х, Ь) = ио(^) + ^ ик{1) соз(2тткх) + ^ Ук(Ь) 51п(27гА;х), (13) к—1 к=1 где функции ик(Ь), ик{£) и щ(£) определяются по формулам

«*(*) = ОаыпО-^^-^М-^ ~ (14)

щ{1) = 2Чвт{1)%1к^Ги-Ь{1Рк{-1)<1) ~ ^^ъЫ-*)4), (15)

"о

- ы-m, ь > о,

t£o(i) = < 2951ПФ 2' 70

[ То + v0t, 6 = 0,

(16)

где 7* = -^ут- (~) 2\рк = y/WTJZKkf/q, q = (m+2)/2, тк uvk- коэф-

1 \2д) 4 1 '

фициенты разложения функций т(х) и и{х) соответственно по системе {\/2cos(27xkx)}^v тр и i/q - коэффициенты разложения функций т(х) и v(x) по системе {1}, а тк и vk - коэффициенты ряда Фурье функций т(х) и v(x) по системе {v^sin(27r/:x)}jj^ Справедливы следующие утверждения

Утверждение 1. Если существует решение u(x,t) задачи (4) - (8), то оно единственно

При доказательстве теоремы используется полнота системы функций Хк(х), к = 0,1,2, , в пространстве Ь2[0,1]

Утверждение 2 Пусть т(х) е С3[0,1], т(0) = т(1), т'(0) = г'(1),

т"(0) = т"( 1), и(х) € С2+*[0,1], | < 5 < 1, 1/(0) = у{1), 1/(0) = 1/(1)

Тогда существует решение задачи (4) - (8) Это решение определяется рядом (13)

Доказательство основывается на асимптотических оценках поведения функций Бесселя в нуле и на бесконечности и скорости убывания коэффициентов тк, Ук, Я, ук по тригонометрической системе Хк(х)

Результаты решения нелокальной задачи 1.2 сформулированы в виде следующих утверждении

Утверждение 3 Если существует решение и(х, ¿) задачи (4) - (7) и (9), то оно единственно только тогда, когда Ак(а) = ./оДр^а:9) ф 0

2 ч

при всех к € N

Если нарушено условие Ак(а) ф 0 при некоторых к — I £ N и а, то построены нетривиальные решения однородной задачи (4) - (7) и (9) (где т(х) = <р(х) = 0), которые имеют вид

щ{х, г) = Ь^^ЩСг + С2 соб(2тг1х) + С3 зш(2тг1х)), (17)

где С, - произвольные постоянные, г = 1,3

Утверждение 4. Существуют а и постоянная Со > 0 такие, что больших к справедлива оценка

т{\у/кАк(а)\ > С0 > 0 (18)

к

При выполнении условий Ак(а) ф 0 и (18) решение задачи 1.2 определяется в виде суммы ряда (13), где

угцАк(-г,а)

= п-ГЛ , ч-+ Тк-7Г- -т-г-т-, (19)

^ ^аАк(а) 2д Ак(а)

Ак(-1,а) = Уг(рка«)^(рк(-т - УМ-1У)^(Рка«),

2q 2д ¿д

Uo(í) в случае 6 > 0 определяется по формуле (19) при к = 0, а в случае

6 = 0 имеет вид -ио(£) = ———t + то, ьк(€) задается по формуле (19) с

а ~ ~

заменой коэффициентов щ и тк соответственно на (рк и тк

Если Ак(а) = 0 при некоторых а и к = тг^пг, ,пт, то задача (4)

- (7) и (9) при условии (18) однозначно разрешима только тогда, когда

выполнены условия

тк^ку/аУ±(ркач) + —ч>к=Ъ, к = щ,п2, ,пт, (20)

2 я 7Г

и решение в этом случае определяется в виде суммы «1—1 Íl2 — 1 +00

"( - " -'") {

k—l к=п\-+1 fc=nm+l

ill —1 п2~~1 +00 i(x, t) = u0(t) + ( ^Г + + + ) Uk(í)cos(27rfcr) +

П1 — 1 П2 —1 +00

к-1 к=П1+1 Ь=/1т+1 I

где в последней сумме I принимает значения П1, по, , п,п, функции Ы;(х, ¿) имеют вид

2д

"гОМ) =

y/aYj_(p¡aо)

+ CmnV^i^iit)

2q

cos(2nlx) +

+

ViV=iYx(Pl(-t)i) ^ ' -*-+ QTmV^tAiit)

sm(2nlx), (22)

VaY±{pia<>)

2 q

где C¡ - произвольные постоянные

"Утверждение 5. Пусть т(х), <р(х) Е С3[0,1] и ip(0) = </з(1), у/(0) = <р"(0) = <р"{1), т(0) = т(1), т'(0) = т'(1), г"(0) = т"(1)

Тогда задача (4) - (7) « (9) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Afc(a) 7^0« (18) Это решение определяется рядом (13), где коэффициенты Uk(t) и Vf.(t) задаются формулой (19) с соответствующими коэффициентами ip^, и

Если Ак(а) — 0 при некоторых а и к = щ,П2, ,пт, то задача (4) - (7) и (9) при условии (13) однозначно разрешима только тогда, когда выполнены условия (20) и решение определяется в виде суммы (21)

Аналогично построены решения задач 1 3 — 1.5 в виде суммы ряда, доказаны теоремы единственности и существования полученных решений В случае 6 = 0 решение задачи 1.3 определяется с точностью до

постоянного слагаемого и возникает дополнительное необходимое усло-1

вие разрешимости f [¿'(а-) — ф(х)] dx = 0 о

В главе 2 для вырождающегося уравнения эллиптического типа

Lu = tmuxx + utt - bhmu = 0 , (23)

где m = const > 0, b = const > 0, рассмотрены нелокальные задачи в прямоугольной области D+ = {(ж, í)| 0<x<l,0<í< /?}, /3 > 0

ЗАДАЧА 2 1 Найти в области функцию и(х,£), удовлетворяющую условиям

и(х, г) 6 С(Щ) Л Сг(В+ и {х = 0} и {х = 1}) п С2(В+), (24) Ьи(х,1) = 0, {х,г)еИ+, (25)

и(0,4)=и(М), их(0,1) = их(1,г), О < г < /?, (26)

и{х, 0) = <р{х), 0<х<1, (27)

и(х,р) = ф(х), 0 < ж < 1, (28)

где ¡риф- заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = 1), ф(0) = 0(1), ^(0) = ^(1), ф'(0) = ^(1)

Задача 2 2 Найти в области функцию и(х,Р), удовлетворяющую условиям (24) - (26) и

щ{х, 0) = и(х), 0 < х < 1, (29)

щ(х, (3) = ф(х), 0 < х < 1, (30)

где и и ф - заданные достаточно гладкие функции

ЗАДАЧА 2 3 Найти в области (где ¡3 — +оо^) ограниченную функцию и(х,1), удовлетворяющую условиям (24) - (27), где (р - заданная достаточно гладкая функция, причем <^(0) = (р( 1), <¿>'(0) = <¿>'(1)

Предварительно построены частные решения уравнения (23), удовлетворяющие условиям (26) ифг,£) = Х^(х)Тк{Ь), где Хк(х) имеют вид

(П),

= акуД1±(р1р) + ЬкуГШМч), (31)

и Ьк - произвольные постоянные, и К„{г) - модифицированные

функции Бесселя

Используя частные решения уравнения (23), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье Доказаны теоремы единственности и существования полученных решений Остановимся на рассмотрении задачи 2.1 Используя спектральный метод и асимптотическое поведение функций Бесселя 1р(г) и К1,(г) в нуле и на бесконечности решение задачи 2 1 построено в виде суммы ряда (13), где

2q ¿4

Ak(t,P) = Кх{Рк11)1±{Рф1) - K±(pkpi)Ii_(pkt<i),

2q 2 q ¿<¡ ¿4

u0(t) в случае b > О определяется по формуле (32) при к = 0, а в случае 6 = 0 имеет вид = _¡_ yk(t) задается по той формуле

(32) с заменой коэффициентов <рк и фк соответственно на фк и фк Доказано следующее утверждение

Утверждение 6. Пусть ip(x), ф(х) е С3[0,1], и ¡р(0) = ¡р(1), <р'(0) = <р'(1), <р"{0) = <р"{1), т = ф(1), ф'(0) = ф'(1), Г(0) = ф"(1) Тогда существует единственное решение задачи (24) - (28) Это решение определяется рядом (13), у которого функции uk(t) и vk(t) задаются формулой (32) с соответствующими коэффициентами <рк, фк и ¡рк, фк В главе 3 доказаны критерий единственности и теоремы существования решений задач с двумя нелокальными условиями для уравнения смешанного типа (1) в прямоугольной области D = {(z,í)| 0 < х < 1, —ос < t < /3}, а > 0, 0 < 0 < +оо

задача 3 1 Найти в области D функцию и{х, t), удовлетворяющую условиям

и(х, t) е C(D) пфи{1 = 0}и{г = 1}) П C2(D+ U D-), (33) Lu(x,t)= 0, (х, t) £ D+ U D-, (34)

u(0,t) = u(l,t), ux(0,t) = ur(l,t), —a <t < (3, (35) и(х,-а) = ф(х), 0 <х <1, (36)

u(x,0) = tp(x), 0<х<1, (37)

где (риф- заданные достаточно гладкие функции, причем <р( 0) = у>(1)> ф{0) = ^(1), <¿'(0) = (р'{1), ф'{0) = ф'(1), D+ = D n {t > 0}, D_ = D П {« < 0}

ЗАДАЧА 3 2 Найти в области D (где Р = +ooj ограниченную функцию u{x,t), удовлетворяющую условиям (33) - (36), где ф - заданная достаточно гладкая функция, причем ф(0) = ф( 1), ф'{0) = ^'(1)

задача 3 3 Найти в области D функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям (33) - (35) и

щ(х,/3) = ф), 0 <х <1, (38)

щ(х, -а) = ф(х), 0 < х < 1, (39)

где (риф- заданные достаточно гладкие функции

ЗАДАЧА 3 4 Найти в области О функцию и(х,Ь), удовлетворяющую условиям (33) - (35), (37) и (39), где (риф - заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = </?( 1), р'(0) = <£>'(1)

ЗАДАЧА 3 5 Найти в области О (где (3 = +оо) ограниченную функцию и(х,Ь), удовлетворяющую условиям (33) - (35) и (39), где ф - заданная достаточно гладкая функция

При решении нелокальных задач для уравнения смешанного типа были использованы частные решения уравнений (3) и (23), полученные в главах 1,2, то есть ик{х,{) = Хк(х)Тк^), где определяются по

формуле

' Т-СО = + Ъку/1Кф>к#), * > О,

Ш = \

т-{1) = (-09) + 4\/=йхЫ-*)9), t < о

(40)

Постоянные аЬ/с. с/ и с1/: с учетом (33) выбраны так, чтобы выполнялись равенства

7К0 + 0) = 7Ц0-0), т;х 0 + 0)=Т/.(0-0) (41)

Это возможно при с^ = ттЬксЬд(-^)/2 — ак и4 = Тогда функции

Тк(Ь) примут вид

Г Т+(г) = акуГИфкР) + ЬкуДКхЫя), * >

I 2д

вд = I

[ Т4-(0 = -аку/=-ил.Ы-*)9) + ^^ * < 0,

(42)

где

В задаче 3.1 для нахождения постоянных ак и Ьк воспользовались граничными условиями (36), (37) и формулой ик(Ь) =

ф"(0) = ф"{\) Тогда задача (33) - (37) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Дд(а,/?) ^ 0 и (44) Это решение определяется рядом (13), у которого функции и¿(¿), и щ^) задаются формулой (43) с соответствующими коэффициентами рь, фк и <Рк> Фк

Если А^(а, /3) = О при некоторых а, (3 и к = п\, Пг, , пт, то задача (33) - (37) при условии (44) разрешима только тогда, когда выполнены условия (45) и решение определяется рядом (22)

Утверждение 10 Построенное решение и(х,{) задачи (33) - (37) принадлежит классу С2(1)) и функция и(х,Ь) всюду в И является решением уравнения (1) Следовательно, линия изменения типа 1 — 0 уравнения (1) как особая линия устраняется

Используя аналогичные рассуждения обоснованы единственность и существование решений задач 3 2 — 3.5.

На защиту выносятся следующие результаты

1) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с другими локальными граничными данными для вырождающегося уравнения гиперболического типа в прямоугольной области

2) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения эллиптического типа с различными граничными данными в прямоугольной области и в полуполосе

3) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения смешанного типа с различными граничными данными в прямоугольной области и полуполосе При этом установлен критерий единственности Решение нелокальных задач построено в виде суммы ряда Фурье и доказано, что линия изменения типа, как особая линия, устраняется

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю д ф -м н . профессору Сабитову Камилю Басировичу за предложенную тематику исследования, ценные советы, постоянное внимание к работе

Публикации по теме диссертации

1 Сабитов, К Б Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом /К Б Сабитов, О Г Сидоренко // Труды международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» - Уфа Гилем, 2003 - Т 1 - С 213 - 219

2 Сабитов, К Б Существенно нелокальные задачи для вырождающегося эллиптического уравнения /К Б Сабитов, О Г Сидоренко // Материалы международного российско-казахского симпозиума «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» - Нальчик НИИ ПМА, 2004 - С 220 - 223

3 Сабитов, К Б Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа /КБ Сабитов, О Г Сидоренко // Сборник тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящ 103-летию со дня рождения И Г Петровского - М Изд-во МГУ, 2004 - С 183 - 184

4 Сабитов, К Б Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения /КБ Сабитов, О Г Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» - Уфа Гилем, 2004 - Т 1 - С 80-86

5 Сидоренко, О Г Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / О Г Сидоренко // Международная научная конференция «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» Алматы, 2006 - С 106

6 Сидоренко, О Г Нелокальная задача для уравнения смешанного типа / О Г Сидоренко ,// Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан Серия «Физико-математические и технические науки» - Уфа Гилем, 2006 - Выпуск 3 - С 201 - 208

7 Сидоренко, О Г Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа / О Г Сидоренко // Материалы III междунар конф «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», посвящ 70-летию А М Нахушева и 15-летию НИИ ПМА - Нальчик НИИ ПМА, 2006 - С 261 - 264

8 Сидоренко, О Г Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольнике/ О Г Сидоренко // Сборник трудов Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» - Самара "Универс-групп", 2007 - С 116 - 121

9 Сидоренко, О Г Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуиолосе/ О Г Сидоренко // Известия вузов Математика - 2007 - №3 - С 60 - 64

Работа выполнена по тематическим планам НИР СГПА и СФ АН РБ при финансовой поддержке РФФИ, код гранта 02-01-97901, и АН Республики Башкортостан

Сидоренко Ольга Григорьевна

Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов

АВТОРЕФЕРАТ

Подписало в пс *ать 25 04 2007 Формат 60 х 84^/16 Гарнитура «Tames* Печать оперативная Уел печ 1 1 Тираж 100 экз Закрз ^¿¿5/07

Отпе 1атано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии 453103, г Стерли гамак пр Ленина, 49

Введение

Глава 1. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа

§1.1. Поиск частных решений.

§1.2. Нелокальная начально - граничная задача.

§1.3. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§1.4. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§1.5. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями

Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа

§2.1. Поиск частных решений.

§2.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§2.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§2.4. Нелокальная задача в полуполосе.

Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа

§3.1. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§3.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в полу пол осе.

§3.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§3.4. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории электронного рассеивания и других областях.

Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волко-давова, С.П. Пулькина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, В.И. Жегалова,

A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, А.П. Солдатова и других математиков.

Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокальные задачи рассматривались А.А. Самарским и А.В. Бицадзе [7], А.В. Бицадзе [8],

B.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [17, 18], А.А. Дезиным [12], A.M. Нахуше-вым [30, 32], АЛ. Скубачевским [52], О.А. Репиным и М.Е. Лернером [24] -[27], О.А. Репиным [40], А.И. Кожановым [21, 22], JI.C. Пулькиной [35] - [38],

Е.И. Моисеевым [28, 29], Н.И. Ионкиным [19, 20] и другими авторами.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [67] для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0, где if (0) = 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия("скачка уплотнения") и(0,у) — и(0,—у) = f(y), 0 < У < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и{х,у).

В работе [24] М.Е. Лернера, О.А. Репина для эллиптического уравнения

Утихх + иуу = 0, т> -1, в полуполосе D = {(х, у) \ 0 < х < 1, у > 0} исследована задача с одним нелокальным условием и(0,у) — и(1,у) = <fi(y), у > 0 и локальными граничными данными: аДО,у) = ip2(у), у > 0 и и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1, lim и(х, у) = 0, у->+оо

О < х < 1. Методом экстремума доказана единственность решения поставленной задачи, а разрешимость установлена с помощью метода разделения переменных, преобразования Фурье и теории специальных функций. Аналогичные результаты получены в работе [25] для уравнения

2 р ихх + ичч Н--uv -b2u = 0, р£ R, b > о, У в полуполосе D при <р\{у) = 0, <^2(у) = 0.

Е.И.Моисеев в [28] исследовал в полуполосе D аналогичную нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения: утихх + иуу = 0, т > -2, 0 < х < 1, у > 0, и(0, у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у > 0, и(х, 0) = f(x), 0 < х < 1, в классе функций и G C(D)f]C2(D), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

М.Е. Лернером, О.А. Репиным в работах [26, 27] для уравнения смешанного типа sgn у ■ \у\тихх + иуу — 0, т> О, в области, где эллиптическая часть является полу полосой D, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) = (р\(у), их(0,у) — их(1,у) = (f2(у), у > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.

Нахушев A.M. [31] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области.

В работах Сабитова К.Б. [42, 43, 48] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа sgn t • \t\muxx + utt - 62sgn t • \t\mu = 0 , m > 0, b > 0, в прямоугольной области и в полуполосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле.

В данной работе предложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применен для решения краевых задач с двумя нелокальными условиями для вырождающихся уравнений различных типов.

Целью работы является доказательство единственности и существования решений краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Lu = K(t)uxx + utt ~ b2K(t)u = 0 , (0.1) где K(t) = sgn t • \t\m, m = const > 0, b — const > 0, в прямоугольной области D = {(x,t)| 0 < x < 1 ,—a < t < /?}, a, {3 > 0, с двумя нелокальными условиями u(0, t) = u( 1, t), ux{ 0, t) = ux{ 1, t), -a<t<P, в сочетании с другими локальными граничными данными.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 для вырождающегося уравнения гиперболического типа методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с различными граничными данными.

Для вырождающегося уравнения гиперболического типа

Lu = {-t)muxx - utt - b2(—t)mu = 0 , (0.2) где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D- = {(ж, 0 < х < 1, —а < t < 0}, а - заданное положительное число, поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи.

ЗАДАЧА 1.1. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям и{х, t) 6 C(DZ) П C\D- U {x = 0} U {x = 1}) П C2(£L); (0.3)

Lu(x,t) = 0, (x,t)eD; (0.4) u{Q,t) = u(l,t), ux{0,t) = ux(l,t), -a<t< 0; (0.5)

U(X,0) = T{X), 0 < x < 1] (0.6) ut(x,0) = u(x), 0<ж<1, (0.7) где т и v - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т( 1), r-(O) = /(1).

ЗАДАЧА 1.2. Найти в области D- функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.6) и и(х,-а) = <р(х), 0 < ж < 1, (0.8) где г и ср - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т( 1), т'(0) = т'(1), <р(0) = <р(1), <р'(0) = ^'(1).

ЗАДАЧА 1.3. Найти в области функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5), (0.7) и щ(х, -а) = ф{х), 0 < ж < 1, (0.9) где v(x) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 1.4. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5), (0.7) и (0.8), где ip и v - заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = ^(1), <р'(0) = ф'Щ

ЗАДАЧА 1.5. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.6) и (0.9), где тиф- заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = т'(1).

Методом разделения переменных построено множество частных решений уравнения (0.2), удовлетворяющих нелокальным условиям (0.5). Решения уравнения (0.2) имеют вид: uk(x,t) = Xk(x)Tk(t), где

Xk(x): 1, \/2cos(27rb), у/2 sm(2wkx), k = 0,1,2,., (0.10) Tk(t) = JjL(pjfc(-t)') + dky/^Y±(pk{-t)«), (0.11)

2q 2 q

Ck и dk - произвольные постоянные, Jv{z) и Y„(z) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно.

Используя частные решения уравнения (0.2), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье, например, решение задачи 1.1 построено в виде суммы ряда

00 +00 u(x,t) = щ(£) + ^ Uk{t) cos(2irkx) + sm(2irkx), (0.12) k=1 k=1 где функции uk(t), vk{t) и uo(t) имеют вид

Uk(t) = ^jyTk%V=iJlq(pk(-ty) - (0.13)

Vk(t) = о * , x Jk%V^iJi(pk{-ty) - Hy/ZiJifal-ty), (0.14)

2gsin(i) lk

Я" Г-Гт / / аяч

2?

-roTo^J-f (poH)') - b > 0; о(0 = { 2<?sin(^ "2? 70 T0 + '6 = 0,

0.15) где 7A; = ^ттт(^)2?, Рй = v^+T^Trfcp/g, q = (m + 2)/2, тк и - коэффи

1 Щ 4 2 7 циенты разложения функций г(ж) и г/(:г) соответственно по системе (\/2cos(27rft£)}^, то и vq по системе {1}, а, тк и щ - коэффициенты ряда Фурье функций т(х) и и(х) по системе Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 0.1. Если существует решение u(x,t) задачи (0.3) - (0.7), то оно единственно.

При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций Хк(х), к = 0,1,2,., в пространстве 0,1].

Утверждение 0.2. Пусть т(х) € С3[0,1], т(0) = r(l), г'(0) = т'( 1), т"(0) = т"( 1); i/(a?) € C2+<J[0,1], ± < 5 < 1, i/(0) = v(\), i/(0) = i/'(l). Тогда существует решение задачи (0.3) - (0.7). Это решение определяется рядом (0.12).

Доказательство основывается на асимптотических оценках поведения функций Бесселя в нуле и на бесконечности и скорости убывания коэффициентов Ч, Щ, Ч, Vk по тригонометрической системе Хк(х).

Аналогично построено решение нелокальной задачи 1.2 с граничными условиями первого рода, обоснованы единственность и существование построенного решения. Результаты сформулированы в виде следующих утверждений.

Утверждение 0.3. Если существует решение u(x,t) задачи (0.3) - (0.6) и (0.8), то оно единственно только тогда, когда Д&(а) = Jj(pkaq) ф 0 при

2 q всех к.

Если нарушено условие Д&(аг) ф 0 при некоторых к — I G N, то построены нетривиальные решения однородной задачи (0.3) - (0.6) и (0.8) (где т{х) = ср(х) = 0), которые имеют вид ui(x,t) = + C2cos(2tt/x) + C3sin(27r^)), где Ci - произвольные постоянные, i = 1,3.

Утверждение 0.4. Существуют а и постоянная Со > 0 такие, что при больших к справедлива оценка inf|V^Afc(a)| >О)>0. (0.16) к

При выполнении условий Ак(а) ф 0 и (0.16) решение задачи 1.2 определяется в виде суммы ряда (0.12), где y/=iJh(pk(-t)«) ^iAk(-t,a)

W) = 4>к-г-д , ,-+ Тк----—г-:—(0.17) л/аАк(а) 2 q Ак(а)

Ak(-t, с) - Ух(р*а*) Jf (Pk(-ty)Vf (Р*«®).

Zq 2q lq 2q

Тк и ipk ~ коэффициенты разложения (функций т{х) и ср(х) по системе {\/2cos(27rФункция U(j{t) в случае b > 0 определяется по формуле

0.17) при к = 0, а в случае 6 = 0 имеет вид uo(t) = ———t + то, Vkit) задается по формуле (0.17) с заменой коэффициентов <рк и соответственно на Тк и (рк — коэффициенты ряда Фурье функций т{х) и ip(x) по системе {\/2sin(27rb)}g?.

Если Afc(а) = 0 при некоторых а и к = ni,n2,. , nm, то задача (0.3) -(0.6) и (0.8) при выполнении условия (0.16) разрешима только тогда, когда выполнены условия

2 q

TklkV®Y±(pkaq) + —ifk = 0, к = nh п2,., nm, (0.18)

2</ 7Г

П1-Х 712-1 +00 i(M) = «ОЙ + ( £ + XI +•••+ ^ ) uk(t) соз{2пкх)+ и решение в этом случае определяется в виде суммы

П1-1 712 — 1 +00 к=1 &=7ll + l fc=71m+l

П1 —1 712 — 1 +00 ( J2+ £ Л ) и*Мвш(2тгЬ)+ (0.19) где в последней сумме I принимает значения n\,n2,. ,nm, функции ui(x,t) определяются по формуле: пу/^УфН)9)

Ui(x,t) =

2 q у/аУфю?) CirmV^tHt)

2 Я cos(2ttIx)+

2? sin(27r Ix), где Ci - произвольные постоянные.

Утверждение 0.5. Пусть <р(х), т(х) G С3[0,1] и у>(0) = <р( 1), 0) = </(0) = ip"{ 1), r(0) = т(1), т'(0) = /(1), т"(0) = т"(1). 7Ьг<?а задача (0.3) - (0.6) и (0.8) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Ак(а) ф 0 и (0.16). Это решение определяется рядом (0.12), где коэффициенты Uk(t) и Vk(t) задаются формулой (0.17) с соответствующими коэффициентами щ, Тк и <рк, Ч

Если Ajfc(a) = 0 при некоторых а и k = щ,П2,. ,пт, то задача (0.3) -(0.6) и (0.8) при условии (0.16) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.18) и решение определяется в виде суммы (0.19).

Аналогично построены решения задач 1.3 - 1.5 в виде суммы ряда, доказаны теоремы единственности и существования полученных решений. В случае

6 = 0 решение задачи 1.3 определяется с точностью до постоянного слагае1 мого и возникает дополнительное необходимое-условие / \у(х) — ф{х)'\йх = 0. о

Глава 2 посвящена изучению нелокальных задач для эллиптического уравнения

Lu = tmuxx + utt - b2tmu = 0 , (0.20) где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D+ = {(х, i)| 0 < х < 1,0 < t < (3}, (3 - заданное положительное число, и в полуполосе (/3 = +оо). Методом спектрального анализа получены решения нелокальных задач с различными граничными условиями.

Для уравнения (0.20) поставлены следующие нелокальные задачи. ЗАДАЧА 2.1. Найти в области D+ функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям u(x,t) Е С{Щ П С1^ и {х = 0} и {х = 1}) П C2{D+); (0.21)

Lu{x,t) = 0, (x,t)eD+] (0.22) u(0,f) = u(l,t), ux{0,t) = ux(l,t), о <t<(3- (0.23) u{x, 0) = tp(x), 0 < ж < 1; (0.24) u(x,(3)=i>{x), 0 < a? < 1, (0.25) где Lp и ф - заданные достаточно гладкие функции, причем <£>(0) = <£>(1), ф(0) = ф(1),<р>(0)=<р>(1),ф'(0) = <ф'(1).

ЗАДАЧА 2.2. Найти в области D+ функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.21) - (0.23) и щ(х, 0) = ф), 0 < х < 1; (0.26) щ(х, (3) = ф(х), 0 < х < 1, (0.27) где и и ф - заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 2.3. Найти в области D+ (где (3 = +ooj ограниченную функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям (0.21) - (0.24), где - заданная достаточно гладкая функция, причем </?(0) = ^'(0) = ^'(l)

Предварительно построены частные решения уравнения (0.20), удовлетворяющие условиям (0.23): Uk(x,t) = Xk(x)Tk(t), где Xk(t) определяются по формуле (0.10), a Tk(t) имеют вид

Tk(t) = akV~tI±{pktq) + ЬкуДК±(рн1*), (0.28)

2 q 2 q где и bk - произвольные постоянные, Iv{z) и Ku(z) - модифицированные функции Бесселя.

Используя частные решения уравнения (0.20), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье. Доказаны теоремы единственности и существования полученных решений. Остановимся на рассмотрении задачи 2.1. Используя спектральный метод и асимптотическое поведение функций Бесселя Iv{z) и Kv{z) в нуле и на бесконечности доказаны следующие утверждения.

Утверждение 0.6. Если существует решение u(x,t) задачи (0.21) - (0.25), то оно единственно.

Доказательство проводится с использованием свойства полноты системы функций (0.10).

Решение задачи 2.1 построено в виде суммы ряда (0.12), где

2 q 2q азо)

2 q 2 q l TTTii^M + т"¥клоШ ь > 0;

0(0 = ? ^^ (0.31)

Фо" ^ + еть ь = 0, р где т^тт(тг)2?' Рк = + fak)2/q, q = (m + 2)/2, <рк н фк - коэффици-1Ж ^ Кг(рк1*)1г(ркр1) - Кфк(31)1М),

2q 2q 2q 2 q

2q (Pk\h lk=** енты разложения функций </?(ж) и ^(ж) соответственно по системе у/2cos(2nkx)}^v (ро и фо по системе {1}, а <рк и фк - коэффициенты ряда

Фурье функций <р(х) и ф(х) по системе {y/2sm(2iткх)}^.

Утверждение 0.7. Ilijcmb (р(х), ф(х) £ С3[0,1], у?(0) = <р(1), <р'(0) = <р'(1), (р"{0) = </(1), ф(0) - ф(1), ф\0) = 1/(1), ф"(0) = ф"( 1). ТЫа существует решение задачи (0.21) - (0.25). Это решение определяется рядом (0.12), где функции uk(t), vk(t) и uo(t) определяются по формулам (0.29), (0.30) и (0.31) соответственно.

В главе 3 доказаны критерий единственности и теоремы существования решений краевых задач с двумя нелокальными условиями для уравнения смешанного типа (0.1) в прямоугольной области D = {(z,t)| 0 < х < 1, —a <t< /5}, а > 0, 0 </3< +оо.

ЗАДАЧА 3.1. Найти в области D функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям: и(х, t) <Е C{D) П C\D U {х = 0} U {х = 1}) П C2(D+ U £>); (0.32)

Lu(x,t) = 0, (x,t) £ D+UD;

0.33) u(0,t) = «(1,0, ux(0,t) = ux(l,t), -a<t<P; (0.34) u(x,(3) = (f(x), 0 < x < 1;

0.35) u(x, —a) = ф(х)1 0 < x < 1,

0.36) где сриф- заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = '/'(I),

0) = ф(1), <р'(0) - ц>'{1), 1/(0) = ф'( 1), D+ = Dn{t> 0}, £> = Dn{t < 0}.

ЗАДАЧА 3.2. Найти в области D (где (3 = +оо) ограниченную функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.34), (0.36), где ф - заданная достаточно гладкая функция, причем ф(0) = Ф{1), Ф'{0) =

ЗАДАЧА 3.3. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.34) и где (р иф - заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 3.4. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.35) и (0.38), где (риф - заданные достаточно гладкие функции, причем р(0) = <р(1), у'(0) — ^'(1)

ЗАДАЧА 3.5. Найти в области D (где Р = +оо) ограниченную функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.34) и (0.38), где ф - заданная достаточно гладкая функция.

При решении нелокальных задач для уравнения смешанного типа были использованы частные решения уравнений (0.2) и (0.20), полученные в главах щ(х,/3) = (р(х), 0 < х < 1;

0.37) щ(х, —а) = ф(х), 0 < х < 1,

0.38)

1,2, то есть щ(х, t) = Xk{x)Tk(t), где Tk{t) определяются по формуле T+(t) = akVtIi(pktq) + ЪкуДКфкУ), t > О,

2 q

Tk{t) = <

Tk(t) = Ck^tJ^PkHY) + dkV=iY±{pk{-t)q), t < 0. Постоянные bk, Ск и dk с учетом (0.32) выбраны так, чтобы выполнялись равенства

Г*(0 + 0) = Т*(0-0), Тк(0 + 0) = тк(о — 0).

Это возможно при ск = irbkCtg(-^)/2 — йк и dk = —irbk/2. Тогда функции Tk(t) примут вид:

Tk(t) =

T+(t) = akyftU(pktq) + ЬкуДК±(ркР), t > 0,

2q 2q

Tk(t) = -ak^tJ±(pk(-t)q) + ^yy/^t Yh[pk(-t)% t < 0, где

УфкПУ) = 1

2 q

0.39)

2 q

ЫркПУ) + J-dPk(-t)q)

2 q

2 q

В задаче 3.1 для нахождения постоянных ак и Ьк воспользовались гранич1 ными условиями (0.35), (0.36) и формулой uk(t) = у/2 fu(x,t) соъ{2-ккх) dx, о к = 1,2,. , так как дважды дифференцируя функцию и используя уравнение (0.1), получим что функция Uk(t) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и функция Tk(t), поэтому uk(t) = Tk(t) при t £ [—а,/3]. Значит она имеет вид (0.39) и удовлетворяет граничным условиям:

1 1 ик(/3) = J и(х,(3) cos(2irkx)dx = J ip(x) cos(2itkx)dx = (pk, о о

Uk(-a) = J u(x, —a) cos(2Trkx)dx = J ф(х) cos(27rkx)dx = фк. о о

Исходя из этих условий найдем ак и Ьк и ykVaiAk(a,t) + фкУЩЛк(t,/3) t>Q uu(t)-\ >Ак{<х,Р)у/а@ ' ' fn 40)

2A к{а,(3)^ф где

Д*(а,0) = Ji(pkaq)Kj(pkf3q) + f Yj(Pkaq)UPk(3q),

Zq 2 q u 2 q 2 q

Ak{a,t) = J±(Pkaq)K±(Pktq) + I±(pk(3q)KApktq) - Ырк1Ч)К±(рк(3<1),

Zq zq Zq Zq

Bk(a, -t) = Y±(pk(-t)q)Ji(pkaq) - Y i(pkaq)J±(pk(-t)q),

2 q 2 q 2 q 2 q

Ak(-t,/3) = J±(Pk(-t)q)Ki(Pk(3q) + |Ff (Pk(-t)q)I, (Pkf3q),

Zq Zq u Zq Zq uo(t) в случае b > 0 определяется по формуле (0.40) при /г = 0, а в случае 6 = 0 ч Ро-Фо, . а(ро + (Зфо , имеет вид wo(c) =-^-сН--^—, аналогично построены функции vk[t) а + р а + р с коэффициентами фк и фк функций <р(х) и ф(х) по системе {y/2s'm(2irkx)}^v Утверждение 0.8. Если существует решение u(x,t) задачи (0.32) - (0.36), то оно единственно только тогда, когда Ак(а,(3) ф 0 при всех к.

Если при некоторых а, (3 и к = 1 € N нарушено условие Ак(а, (3) ф 0. Тогда однородная задача (0.32) - (0.36) (где ср(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение г

Ai(a,t)Vi(Ci + C2cos(27t/z) + C3sin(27r/a;)), t > 0, ui(x,t) = <

Ai(-t, ($)yf=t(Ci + C2cos(2trlx) + C3sin(27r/x)), t < 0, где Ci - произвольные постоянные, г = 1,3.

Утверждение 0.9. Существуют а и постоянная Cq > 0 такие, что при всех (3 > 0 и больших к справедлива оценка

M\VkSk{a,p)\>C0>0, (0.41) к где

Кффч) йМ) = JApkofl)T2\ ПпЛ + -Уф**).

2 q

I^PkPi) 2

2 q

При выполнении условий Ak(a,fi) ф 0 и (0.41) решение задачи 3.1 определяется в виде суммы ряда (0.12), где Uk(t), Vk(t) и wo(i) имеют вид (0.40).

Если Afc(a, /3) = 0 при некоторых а, (5 и к = щ, П2,., пт, то задача (0.32) - (0.36) при условии (0.41) разрешима только тогда, когда выполнены условия piyfaJi(piaq) + ihy/pi^toF) = 0, I = щ, n2, • • •, fhn, (0-42)

2 9

2 q и решение в этом случае определяется рядом (0.19), где f wVil±(pit4) $iVili(pit4)

4 cos(2-kIx) H—m 4——— sin(27r/x)+

VPh-(piPq) zq

2 q

Ci + C2 cos(2tt/x) + C3 sin(27r/®)), t > 0,

J±[Piaq) ui(x,t) = <

• cos(2txlx) +-?=~1-г— sin(27r/a;)+ faJi (piofl)

2 q aJ±{piai)

2 q

CiM-t,p)

C\ + C2 cos(2tt/z) + C3 sin(27rfo)), t < 0,

Ырф«)

2 q где Q - произвольные постоянные.

Утверждение 0.10. Пусть ip{x) 6 C3[0,1], y>(0) = <p(l), (p'{0) = y/(l), </(0) = */'(l); G c3+'[o, < S < 1, V(0) = ф(1), ПО) = ■0"(O) = ^"(l). Тогда задача (0.32) -(0.36) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Ak(a,j3) ф 0 и (0.41). Это решение определяется рядом (0.12), у которого функции Vk{t) и щ(£) задаются формулой (0.40) с соответствующими коэффициентами <pk, фк и фк, Фк

Если Ак(а,(3) = 0 при некоторых а, /3 и к = щ, пг, • • •, пт, то задача (0.32) - (0.36) при условии (0.41) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.42) и решение определяется рядом (0.19).

Утверждение 0.11. Построенное решение u(x,t) задачи (0.32) - (0.36) принадлежит классу C2(D) и функция u(x,t) всюду в D является решением уравнения (0.1). Следовательно, линия изменения типа t = 0 уравнения (0.1) как особая линия устраняется.

Используя аналогичные рассуждения обоснованы единственность и существование решений задач 3.2 - 3.5.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с другими локальными граничными данными для вырождающегося уравнения гиперболического типа в прямоугольной области.

2) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения эллиптического типа с различными граничными данными в прямоугольной области и в полуполосе.

3) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения смешанного типа с различными граничными данными в прямоугольной области и полуполосе. При этом установлен критерий единственности. Решение нелокальных задач построено в виде суммы ряда Фурье и доказано, что линия изменения типа, как особая линия, устраняется.

Основные результаты опубликованы в работах [44] - [47], [53] - [57]. В работах [44] - [47] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю К.Б. Сабитову.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, И.А. Калиев, 2003 - 2007 гг.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2007 г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии, на научном семинаре отдела вычислительной математики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (научный руководитель - профессор Р.С. Сакс, г. Уфа, 2007 г.), а также на следующих научных конференциях: «Студенческая наука - в действии» (г. Стерлитамак, 2003 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2004 г.), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы » (г. Москва, 2004 г.), «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2006 г.), «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» (Казахстан, г. Алматы, 2006 г.).

1. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

2. Бабепко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. - Т. 8. №2. - С. 160.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.- М.: Наука, 1966. Т. 2. 267 с.

4. Берс, JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

5. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.

6. Бицадзе, А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1966. - 404 с.

7. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский //Докл. РАН. -1969. Т. 185. - № 4. - С. 739 - 740.

8. Бицадзе, А.В. К теории нелокальных краевых задач / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 277. - №1. - С. 17 - 19.

9. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949.- Т. 1. 798 с.

10. Бахания, Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / Н.Н. Бахания // Сообщения академии наук Грузинской ССР. 1958. - Т. XXI. - № 2. - С. 131 - 138.

11. Двайт, Г. В. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1983. - 176 с.

12. Дезин, А. А. Операторы с первой производной по "времени"и нелокальные граничные условия / А.А. Дезин // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1967. - № 31. - С. 61 — 86.

13. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. — 239 с.

14. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. - Т. 122. -кн. 3. - С. 3 - 16.

15. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. - С. 168 - 172.

16. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. -Т. 1. - 616 с.

17. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 291. - № 3. - С. 534 - 539.

18. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 8. - С. 1422 - 1431.

19. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

20. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. - № 7. - С. 1284 - 1295.

21. Коэ/санов, А.И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

22. Коэюанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. 2004. - № 30. - С. 63 - 69.

23. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н. Лебедев. М.: Мир, 1963. - 471 с.

24. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 1087 - 1093.

25. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полу полосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1562 - 1564.

26. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, О.А. Репин //Сиб. матем. журнал. 1999. - Т. 40. - № 6. - С. 1260 - 1275.

27. Jlepnep, M.E. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными / M.E. Jlepnep, О.А. Репин // Мат. заметки. -2000. Т. 67. - № 3. - С. 478 - 480.

28. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. 1999. -Т. 35. - № 8. - С. 1094 - 1100.

29. Моисеев, Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - № 11. -С. 1565 - 1567.

30. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59.

31. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. - С. 190 - 191.

32. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 304 с.

33. Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З.А. Нахушева // Дифференциальные уравнения. 1986. -Т. 22. 1. - С. 171.

34. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 752 с.

35. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Матем. заметки. 2001. - Т. 70. - № 1. - С. 88 - 95.

36. Пулькина, JI.C. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск.: ИМ СО РАН. - 2002. - С. 176 - 184.

37. Пулькина, JI.C. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений: дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / JI.C. Пулькина. Москва. - 2003. - с. 257.

38. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

39. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полу полоса / О.А. Репин / / Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32. - № 4. - С. 565 - 567.

40. Репин, О.А. Нелокальная задача A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа / О.А. Репин // Вестник СамГТУ. 2001. - № 12. - С. 5 - 9.

41. Сабитов, К.Б. Уравнения математической физики. / К.Б. Сабитов. М.: Высшая школа. - 2003. - 255 с.

42. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Уфа: Гилем. - 2004. - Т. 1 - С. 80 - 86.

43. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Докл. РАН. 2007. - Т. 413. № 1.- С. 23 26.

44. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / К.Б. Сабитов, Г.Г Биккулова, А.А. Гималтдинова. -Уфа.: Гилем, 2006. 150 с.

45. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

46. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференциальные уравнения. 1980.- Т. 16. № И. - С. 1925 - 1935.

47. Скубачевский, А.Я. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / АЛ. Скубачевский // Математический сборник. 1983. - Т. 121. - № 2.- С. 201 210.

48. Сидоренко, О. Г. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольнике / О. Г. Сидоренко // Сборник трудов Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» Самара: "Универс-групп". - 2007. - С. 116 - 121.

49. Сидоренко, О. Г. Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе / О. Г. Сидоренко // Известия вузов. Математика. 2007. - № 3. - С. 60 - 64.

50. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

51. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

52. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1973. - Т. 9. - № 2. - С. 325 - 332.

53. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 1. - С. 143 - 152.

54. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // Докл. РАН. 1993. - Т. 332. - № 6. - С. 696 - 698.

55. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // Докл. РАН. -1993. Т. 333. 1. - С. 16-18.

56. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихинов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 735 с.

57. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

58. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль //Изв. АН СССР. Серия математическая. -1945. Т. 9. - № 2. - С. 121 - 142.

59. Франклъ, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. 1956. - Т. 20. - №2. - С. 196 - 202.

60. Франклъ, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. М.: Наука, 1973. - 711 с.

61. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М.М. Хачев // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. XI. - № 1. -С. 151 - 160.

62. Хачев, М.М. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа / М.М. Хачев // Дифференциальные уравнения. Минск. 1976. - Т. 12. -№ 1. - С. 137 - 143.

63. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. Нальчик: Изд. "Эльбрус", 1998. - 168 с.

64. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. 1963. -V. 62. - P. 371 - 377.

65. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat / S. Gellerstedt. Uppsala, 1935. - 92 p.