Немарковские эффекты в молекулярных потоках в жидкостях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

НЕМАРКОВСКИЕ ЭФФЕКТЫ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТОКАХ В ЖИДКОСТЯХ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Казанского государственного педагогического университета.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель профессор Юльметьев P.M.

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Овчинников И.В.

доктор физико-математических наук, профессор Сафаров Р.Х.

Ведущая организация

Казанский государственный университет

Защита диссертации состоится " 7 " фсщитр ! 997 г. в на заседании диссертационного Совета К.113.19.04 при Казанском государственном педагогическом университете (420021, Казань, ул. Меж, УК, 1).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке педагогического университета.

Автореферат разослан

января 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Хуснутдинов Н.Р.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение молекулярных потоков относится к одной из основных задач статистической физики конденсированных сред. Актуальность исследований определяется тем, что коэффициенты переноса исключительно важны для практических расчетов в разработках новых высоких технологий, основанных на физико-химических свойствах жидкой среды.

В последнее время установлено, что учет немарковских эффектов в релаксационных процессах, связанных с молекулярными потоками, дает существенные поправки к значениям коэффициентов переноса. С этой точки зрения разработка единого подхода к статистическому описанию немарковских процессов переноса в жидкостях отвечает актуальности выбранной темы.

Не менее значима и обратная задача. Исследование спектральных характеристик функций памяти с позиции современных представлений о немарковских релаксационных процессах в молекулярных потоках является самостоятельной важной проблемой. Соотношения Грина-Кубо связывают коэффициенты переноса с функциями памяти потоковых переменных. Поэтому коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности представляют собой удобный инструмент для исследования такого фундаментального свойства жидкой среды, как статистическая память.

Следует отметить, что постановка и решение обеих задач по теме диссертации объективно стали возможными только в последние годы после появления в физике таких новых понятий и количественных характеристик статистической памяти конденсированных сред, как параметр немарковости, спектр параметра немарковости, дисперсия спектра параметра немарковости и др.

Целью работы является исследование методом сокращенного описания свойств статистической памяти среды в неупорядоченных поперечных молекулярных потоках, микроскопических вихрях и плотности кинетической энергии частиц жидкости.

Научная новизна. Обнаружены и подробно исследованы немарковские временные корреляционные эффекты в молекулярных потоках в жидкостях.

Определены границы области высокочастотного приближения в исследованиях немарковских эффектов процессов переноса простых классических жидкостей. Показано, что в равновесных системах упрощение оператора временной эволюции функций памяти второго и выше уровней кинетического описания сопровождается сужением высокочастотного диапазона.

Найдено семейство рекуррентных соотношений для временных корреляционных функций (ВКФ) и функций памяти (ФП). Дано физическое объяснение и математическое обоснование замыкания бесконечной зацепляющейся цепочки немарковских кинетических уравнений (КУ) в виде линейного конечного разложения старшей функции памяти по младшим функциям памяти (квазигидродинамическое приближение). Определены коэффициенты такого разложения. Найдена погрешность вычислений ВКФ и ФП, вносимая применением квазигидродинамического приближения.

Найден вид параметров немарковости первых трех уровней кинетического описания, отвечающих квазигидродинамическому замыканию. Выведено уравнение связи для этих параметров.

Получены частотные спектры ФП первого и второго уровней кинетического описания флуктуаций' плотности поперечных молекулярных потоков для широкого диапазона значений волновых векторов. Найдена пространственная дисперсия спектра параметра немарковости поперечных молекулярных потоков. Выявлена связь коэффициента сдвиговой вязкости с параметром немарковости поперечных молекулярных потоков. Определено влияние температуры и плотности жидкости на параметр немарковости поперечных молекулярных потоков в явлении сдвиговой вязкости.

Предсказано существование флуктуаций микроскопических вихревых движений частиц в простых жидкостях. Установлена связь между флуктуациями микроскопических вихрей и флуктуациями коллективных возбуждений поперечного типа на высоких частотах вплоть до 1014 с-1 со временем релаксации порядка Ю-13 с. Получены частотные спектры ВКФ и первых двух ФП микровихрей. Обнаружена высокая чувствительность спектра параметра немарковости к микроструктуре жидкости. Начиная уже с первого уровня,

релаксации флуктуаций поперечных потоков и микровихрей носят немарковский характер.

Получены частотные спектры первых двух ФП флуктуаций потоков плотности микроскопической энергии частиц жидкости для щирокого диапазона значений волновых векторов. Найдена зависимость коэффициента теплопроводности от параметра немарковости микроскопических потоков энергии частиц. Определено влияние температуры и плотности жидкости на параметр немарковости флуктуаций потоков полной энергии частиц в явлении теплопроводности, причем вблизи тройной точки обнаружен скачкообразный переход системы из слабо- в сильно-немарковское состояние.

Автор защищает:

— вывод и решение системы кинетических уравнений для ВКФ и ФП поперечных молекулярных потоков. Обоснование квазигидродинамического замыкания бесконечной цепочки КУ в высокочастотном (коротковременном) приближении. Применение найденных решений для оценки влияния эффектов статистической памяти среды на коэффициент сдвиговой вязкости. Вычисление параметра немарковости поперечных потоков при различных температурах и плотностях жидкости;

— вывод и решение системы КУ для ВКФ и ФП флуктуаций микроскопических вихрей. Анализ свойств ВКФ и ФП микровихрей;

— вывод и решение системы КУ для ВКФ и ФП флуктуаций микроскопической плотности кинетической энергии частиц. Использование решений КУ для оценки влияния статистической памяти на величину коэффициента теплопроводности жидкой среды. Вычисление спектра параметра немарковости для потоков кинетической энергии частиц для различных температур и плотностей жидкости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XXIX Совещании по физике низких температур (Казань,1992г.),XXX Совещании по физике низких температур (Дубна,1994г.), на Междуна-роднодной конференции по статистической физике и теории конденсированных сред (Львов, 1995г.), на ежегодных научных конференциях проф.-преподавательского состава КГПУ, семинарах кафедры теоретической физики КГПУ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Содержит 140 страниц машинописного текста, 2 таблицы, 24 рисунка. Список цитируемой литературы включает 143 наименования.

Содержание работы

Во введении диссертации дано обоснование актуальности выполнения исследования, сформулирована цель работы, обоснован выбор метода исследования. Кратко изложено содержание каждой из глав.

В первой главе дан краткий обзор литературы, посвященной теоретическому изучению коллективных корреляций теплового молекулярного движения.

В §1 приведено общее описание применения проекционных операторов в кинетической теории процессов переноса.

В §2 рассмотрены методы вычисления коэффициентов переноса.

Во второй главе развивается в терминах ВКФ метод сокращенного описания явлений переноса в жидкостях.

В §3 с помощью данного метода находятся точные уравнения для ВКФ и ФП флуктуаций Фурье-образов динамических переменных 6 0). Временная эволюция ВКФ и ФП определяется оператором

ехр (¿¿22 Сложный вид диагонального матричного элемента ¿22 исключает в общем случае вычисление ВКФ и ФП.

В §4 показано, что в области частот ~ 1013-1014с-1 возможна

замена ¿22 на более простой обычный Лиувиллиан ¿, применение которого широко используется в расчетах ВКФ и ФП. Для этого

ехр (¿¿22 разлагается с помощью тождества Кубо в операторный ряд, и после преобразований Лапласа приводится к алгебраическому ряду по степеням частотной переменной Замена в ФП экспоненты найденным рядом дает разложение Лаплас-образа функции памяти по степеням переменной $

Мг(5) = М,(0)(«) + Ц-2 (5^,-1(5) - I)2 х

00 " ¿—1 ) х ЕЕ^О*'-!«) • (1)

п=1¿=1

П,(2) = (| 8о,1{к,0) |2){| (5а/_х(^,0) |2)-1.

В соотношение (1) входят: числовой коэффициент С", который для каждого конкретного значения п несложно рассчитывается; зависящие от свойств среды и внешних условий частотные параметры и а также Лаплас-образ ФП предыдущего уровня кинетического описания (в), угловые скобки (...) означают статистическое усреднение в каноническом ансамбле Гиббса.

Оператор Лиувилля, действующий в гильбертовом пространстве конечных динамических переменных и их потоковых составляющих ограничен по норме, введенной в этом же параграфе. Поэтому, резольвенту в функции А//_ 1(5) можно разложить в сходящийся по норме Лиувиллиана ряд Неймана, у которого верхний предел суммирования временно заменен на достаточно большое конечное число Л';. Такая замена вносит определенную погрешность, которую можно уменьшить. Определение условий, при которых допустимо пренебрежение суммой в правой части выражения (1) приводит к анализу сильного неравенства

м10){8) > О,-2 (зЩ^в)- I)2

П=1]=\

Из которого следует соотношение

позволяющее оценить величину А'/, при которой вносимая погрешность будет наименьшей. В соотношении (3) введен масштабный множитель Р для перехода от сильного неравенства к слабому, (С^)тах — наибольший коэффициент среди множества

Возникают два случая. В первом случае жидкость находится в

(1) (О

состоянии, когда нечетные частотные параметры и Щ не

равны нулю. Тогда в (3) выбирая переменную в, так чтобы выполнялись условия

и , (4)

приходим к неравенству для верхнего предела суммирования 1 _р, и'

К, < -¿у. (5)

)таг «Ц

Соотношение (5) ограничивает круг изучаемых явлений только такими, у которых релаксационные частоты 0,1 удовлетворяют условию

П» (6)

Второй случай отвечает равенству нулю частотных параметров ыр^ и . Это случай соответствует состоянию термодинамического равновесия жидкости. Тогда А"; должно удовлетворять условию

К, < \ ** (7)

В соотношении (7) величину К\ можно взять достаточно большой, если

3п, » (8)

Неравенства (4) и (8) определяют границы области высокочастотного приближения. Из (7) и (8) следует, что никаких ограничений на

верхний предел суммирования не существует. Но повышение точности приводит к поднятию нижней границы высокочастотной области и сужению диапазона.

Циклическое повторение данной математической процедуры для первых слагаемых правой части равенства (1) приводит к

окончательной замене резольвенты модифицированного оператора

¿22 на резольвенту обычного Лиувиллиана.

В §5 на основании результатов предыдущих параграфов получены рекуррентые соотношения для ненормированных ВКФ и ФП, выполняющихся в любой момент времени в пределах данного приближения:

(¿а;(М)$ат(М)) = 0, (¡фт), . (9)

(6 а* (к, 0) (»¿)* 6 ап(к, 0)) = (6 а*п(к, 0)

х(г!)<:{(гХ-4'1"1))бап-1(^0) + Г22_15ап_2(^0)}), (10)

(<К(М) 6ап(к,1)) = (¿а*(к,0) {гЬ)к ¿вп_*(М)), (И)

(<$<(£, 0)(гЬ)к+1 <5аг(М)) = 0, (0<к<п, 1 < п - к). (12)

Здесь же приведен простой способ нахождения динамических переменных на основе их взаимной ортогональности.

В §6 с помощью формул §5 (в рамках коротковременного приближения) введено рекуррентное соотношение для произвольной нормированной ФП.

.г.ч 1 ( ((»£ 6 ап-1(к, 0))* (»•£ 6 а„-1(к, <))) Мп{к'1)-Щ{ (| 5 а„-1(к, 0) р)

+ ып (е< г(М) -П^М^кЛ. (13)

(I 8 о„_1(А;,0) |2) ]

Данное соотношение представляет один из возможных вариантов замыкания бесконечной цепочки КУ. Однако, для практического

применения более важное значение имеют два следствия. Первое следствие связано с тем, что при < = 0 тождество (13) переходит в рекуррентное соотношение для частотных параметров произвольного уровня

П2 + П2 _ (I »•£*«-|(*,0) |2> _ а = } (14)

Второе следствие представляет частный случай (13) для п = 3 и и™ = 0 :

Мз(М) = С2М2(М) + СгМ^к^) + С0М0(М), (15)

_ РМ- 27?) _ II _ а-д

Со- -Ц)'

7; — частотные моменты начальной ВКФ. Ошибка вычислений К, возникающая при переходе от формулы (13) к выражению (15) не превышает величины

Д <

/ >2 , ,2 о ш3 ~ Ш2 -

С физической точки зрения приближение (15) означает переход от бесконечного набора динамических переменных к ограниченному, когда произвольную динамическую переменную можно спроектировать на ограниченный базисный набор переменных, имеющих макроскопические аналоги из основных уравнений сохранения. Такой подход к описанию жидкой среды является традиционным в гидродинамике. Поэтому данное замыкание для определенности можно считать квазигидродинамическим. В конце параграфа приведены решение в Лаплас-образах системы КУ и алгоритм численного расчета ВКФ и ФП.

В §7 анализируется различие понятий между статистической памятью и инерционностью релаксационных процессов. Получены аналитические выражения параметра немарковости для случая квазигидродинамического приближения.

г _ ЯИЩ-СгПр - _ П§(С„П§-<ЭД) ц' ' ~ ПЦСоЩ - С2Щ)' П?(П! - <ЭД) '

£з(к) =

ПЦЩ-СгЩ)

(16)

£1

Щ{СоЩ - с2щу

Выведено уравнение связи этих параметров. В третьей главе выполнено исследование статистических эффектов памяти в поперечных молекулярных потоках в простых жидкостях.

Введение главы содержит дополнительное краткое обсуждение исследований другими авторами поперечных молекулярных потоков. Здесь же дано пояснение структуры главы.

В §8 с применением результатов второй главы находятся система КУ для ВКФ и ФП и соответствующий ей набор флукту-аций Фурье-образов поперечных молекулярных потоков.

В §9 приведены графики частотных спектров ВКФ и ФП флук-туаций поперечных молекулярных потоков, рассчитанных по формулам §6. Теоретические кривые правильно воспроизводят все основные характерные детали экспериментальных данных, в частности наличие, положение, интенсивность и ширину первого и второго пиков. Замечено существенное влияние статистических про-

1 —

Рис.1

2 к,А

странственных эффектов в распределении частиц на частотные параметры и весовые множители квазигидродинамического разложения (15). На рис.1 приведена пространственная дисперсия спектра параметра немарковости поперечных потоков для жидкого аргона при температуре Т = 76К и плотности р =1407 кг м-3. (Рис.1.

Обозначения: 1 - €г{к), 2 - £г(А)> 3 - £з(к), 4 - статический структурный фактор жидкого аргона (в произвольном масштабе)). У теоретических кривых отмечаются особенности вблизи первого максимума структурного фактора.

В §10 дано приложение предыдущих общих теоретических результатов к решению конкретной численной задачи. Рассчитан ко-эффицент сдвиговой вязкости. По выведенной формуле зависимости коэффициента сдвиговой вязкости от релаксационных частот, были выполнены основные вычисления. Оказалось, что для термодинамических состояний жидкого аргона вблизи тройной точки наши результаты точнее примерно в 1.5 — 2 раза, а в удалении — сравнимы с теоретическими расчетами, полученными двумя другими способами, в которых ФП первого уровня аппроксимировалась экспоненциальной зависимостью с подгоночными параметрами. В первом способе они подбирались методом Монте-Карло, во втором — расчитывались через частотные моменты //. Из решений системы КУ при квазигидродинамическом замыкании и формул Грина-Кубо для коэффициента сдвиговой вязкости т] в длинноволновом пределе (к —* 0) была найдена непосредственная связь с параметром немар-

ковости £у

Г} =

_ {\ахЦк = 0)р) е?(£=0)

УквТ ^2(^ = 0)'

(17)

Здесь /тхг(к) - недиагональ ные компоненты тензора натяжений. По формуле (17) была определена зависимость параметра немарковости для потоков поперечного импульса частиц от температуры и плотности жидкого аргона. (рис.2:1 — п* = 0.85, 2 - п* = 0.75, 3 -п* = 0.65, тройная точка -71* = 0.83, Т* = 0.68; п* =

Т* = квТг-1,£/кв = И9.8 К, а = 3.405

е

б

4

1 2 3

1

2

Рис.2

10_1Ом, У.Т -

объем и температура аргона, N - число частиц в объеме V).

Исследованию свойств флуктуаций микроскопических вихревых движений частиц на масштабах среднего межатомного расстояния посвящен §11. В начале параграфа кратко поясняется связь вектора поперечного потока частиц с вектором ротора. Далее вводятся динамические переменные молекулярного вихревого движения. Представленная во второй главе схема построения цепочки К У и ее решения вновь применяется для ВКФ флуктуаций Фурье-компонент микроскопического вихря частиц. Отмечается идентичность результатов исследований ротора и угловой скорости вращения микроскопических вихрей.

Из частотных спектров Лаплас-образов ВКФ флуктуаций микровихревых движений молекул жидкости, полученных при частных случаях квазигидродинамического замыкания, следует, что более удовлетворительное приближение дает равенство двух соседних ФП. В конце параграфа находятся пространственная дисперсия времени релаксации микроскопических вихрей, время жизни коллективных вихревых возбуждений, а также значения спектральной функции ВКФ микровихрей на частоте возбуждений. Обнаружено существенное влияние структуры среды на величины данных характеристик.

На основании анализа дисперсионных кривых параметра немарковости сделан вывод о существовании пространственных областей статистической памяти среды. Особенностью такого распределения зон памяти является то, что одни и те же пространственные области для одних кинетических процессов могут быть марковскими, а для других, в то же самое время, — немарковскими.

В четвертой главе исследуются эффекты статистической памяти в процессах релаксации микроскопических потоков энергии частиц.

Во введении главы приведен краткий обзор работ по исследованию малых возмущений неоднородной плотности энергии.

В §12 вводятся динамические переменные микроскопических потоков энергии частиц. По схеме из второй главы строится система КУ для Лаплас-образов ВКФ и ФП Фурье-компонент плотности кинетической энергии частиц. Входящие в уравнения коэффициенты

содержат неизвестные частотные параметры. Поэтому система была решена численным способом. Численное решение основано на псевдоградиентном поиске (метод Дживса-Хука) минимума целевой функции в пространстве неизвестных частотных параметров. Точность решения определяется применением итерационного метода Ньютона. Целевая функция представляет сумму квадратов отклонений от экспериментальных значений реальной части частотного спектра ВКФ минимизируемой теоретической кривой. Кроме того точность решения дополнительно проверяется подстановкой найденных корней в исходное уравнение.

Из полученных соотношений для ВКФ и ФП вытекает существенная зависимость реальных частей ФП от мнимых частей ВКФ. Это выполняется для ФП любого уровня кинетического описания. Изложенные выводы хорошо согласуются с частотными спектрами ВКФ и ФП флуктуаций плотности кинетической энергии частиц.

В §13 дано приложение предыдущих теоретических результатов к решению численной задачи расчета коэффицента теплопроводности. Вычисления проводились по выведенной в этом же параграфе формуле для коэффициента теплопроводности Л, учитывающей зависимость от релаксационных частот. Оказалось, что для термодинамических состояний жидкого аргона вблизи тройной точки наши данные грубее примерно в 2 раза, чем результаты, полученные так же как в случае с вязкостью подбором с помощью метода Монте-Карло экспоненциальной ФП, но точнее в 2-3 раза расчетов из второго способа. Вдали же от тройной точки ошибка наших вычислений в среднем меньше в 4 раза, аналогичных расчетов двух упомянутых способов.

Полученное для коэффициента теплопроводности Л выражение позволяет установить связь с параметром немарковости е\(к).

, (\ч2(к = 0)\2) £?(& = 0)

Здесь qz(k) - микроскопический поток полной энергии молекул. По формуле (18) была установлена численная зависимость параметра немарковости для микроскопических потоков энергии частиц от

температуры и плотности жидкости. (Рис.2, 4 — п* = 0.85, 5 — п* = 0.75, б — п* = 0.65, ). Наблюдаемый на рисунке с приближением к тройной точке скачок параметра немарковости соответствует резкому усилению влияния статистической памяти в явлении теплопроводности .

В заключении обобщены основные результаты настоящей работы, выносимые на защиту.

В приложении приведен листинг программы решения системы кинетических уравнений.

Основные результаты работы

1. Обнаружены и подробно изучены немарковские временные корреляционные эффекты в молекулярных потоках в простых классических жидкостях.

2. Найдены аналитические выражения для первых трех точек в спектре параметра немарковости молекулярных потоков, отвечающих квазигидродинамическому приближению.

3. Из частотных спектров ФП первого и второго уровней кинетического описания флуктуаций поперечного импульса частиц следует существенное влияние мнимой части предыдущей ФП на форму реальной части последующей ФП.

4. На основе квазигидродинамического приближения вычислен коэффициент сдвиговой вязкости. Найдена прямая зависимость коэффициента сдвиговой вязкости от параметра немарковости. Обнаружено существенное влияние температуры и плотности жидкости на параметр немарковости.Вблизи тройной точки аргона для сдвиговой вязкости наблюдается заметное ослабление статистической памяти среды.

5. Теоретически подтверждено существование в классических жидкостях флуктуаций микроскопических вихревых движений частиц, существующих в форме коллективных возбуждений поперечного типа на высоких частотах вплоть до 1014с-1

и обладающих сильным затуханием со временем релаксации порядка 10-13с. Обнаружена высокая чувствительность спектра параметра немарковости микровихрей к микроструктуре жидкости.

6. Форма и особенности частотных спектров ФП флуктуаций плотности кинетической энергии частиц жидкости показывают взаимосвязь между ВКФ и ФП первого и второго уровней описания. С помощью квазигидродинамического приближения вычислен коэффициент теплопроводности. Установлена непосредственная зависимость коэффициента теплопроводности от параметра немарковости. В спектре параметра немарковости проявляются температурные и плотностные эффекты. В окрестности тройной точки обнаружено резкое усиление статистической памяти среды.

7. Пространственная дисперсия параметра немарковости поперечных молекулярных потоков указывает на существование пространственных областей, в которых среда сохраняет остаточную статистическую информацию о предыдущих своих состояниях. Различные процессы переноса характеризуются спектрами собственных зон статистической памяти.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Yulmetyev R.M.,Galeev R.I. and Yulraetyev T.R. "Microscopic vortices in classical liquids"// Physica-1994.-v.A 212-P.P.26-42.

2. Yulmetyev R.M.,Galeev R.I. and Shurygin V.Yu. "Investigation of non-Markovian kinetics of microscopic vortices in liquids"// Physics Letters-1995.-v.A 202-P.P.258-262.

3. Галеев Р.И.,Шурыгин В.Ю.,Юльметьев P.M. Вычисление коэффициентов сдвиговой вязкости и теплопроводности жидкого аргона методом сокращенного описания.// Укр.Физ.Журн-1991. -T.36,No.3.-C.396-400.

4. Галеев Р.И.,Юльметьев P.M. Немарковские временные корреляционные эффекты в явлениях переноса в простых жидкостях.// Укр.Физ.Журн.-1993.-Т.38,№э.2.-С.253-257.

5. Galeev R.I."Microscopic vortices in classical liquids" //in "International Workshop on Statistical Physics and Condensed Matter Theory", Programme and Abstracts, September 11-14, 1995, Lviv, Ukraine, p.73.

6. Галеев Р.И.,Шурыгин В.Ю .Юльметьев P.M. Вычисление коэффициентов переноса для жидкого аргона.//в тезисах докладов XXIX Совещания по физике низких температур.// Ч.2.,Казань,30.06-4.07.1992г.,С.Г16.

7. Галеев Р.И.,Юльметьев P.M. Спектральные свойства флук-туаций поперечных потоков в сжиженном инертном газе.// в тезисах докладов XXIX Совещания по физике низких температур., 4.2., Казань,30.06-4.07.1992г.,С.Г17.

8. Галеев Р.И.,Юльметьев P.M. Коротковременное приближение в квазигидродинамическом замыкании кинетических уравнений в сжиженных инертных газах.// в тезисах докладов XXX Совещания по физике низких температур.,4.2.,Дубна,б-8.09.1994г.,С.15.

9. Галеев Р.И.,Мохов С.А.,Шурыгин,Р.М.,Юльметьев P.M. Исследование временных корреляций частиц в жидкостях методом сокращенного описания.III. Динамический структурный фактор.// Деп.в ВИНИТИ АН СССР 23.02.90г., No.l564-B90.-29 С.

10. Галеев Р.И.,Юльметьев P.M. Исследование поперечного потока частиц в простых жидкостях.// Деп.в ВИНИТИ АН СССР 11.08.92г.,No.2627-B92.-42 С. p^J^