Необходимые условия оптимальности для стохастических систем с запаздывающим аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

н о ,? сг $

академия кот азстайлзана институт кибернетики

Ка правах рукописи УДК 517.977.1

АГАЕВА ЧЕРКЕЗ АИ» кызк

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОЛМШЬКОШ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАШДЬГОАЩЭД Ш71,:£НТОМ

Специальность 01.01.09 - Кагематаческая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссзртацди на соаскакае уч-зной степени кандидата физико-магекагичесшс наук

Баку - 1552

о Работа выполнена з Институте кибернетика АН Азербайджана Научшй руководитель:

-•член-корр. АН Азэрба;:дкака, доктор фнзгко-катеултичзских наук,

профессор Дз.Э.Аллахзардиев Научный консультант:

- к.ф.м.к., с.н.с. Махмудов Н.И. Официальные оппоненты:

- д.ф.м.н., проф.Ибрамхалялов И.Ш.

- к.ф.м.н., с.н.с. Гадаез P.P.

Ведущая организация: Бакинский Государственный Университет

Защита диссертации. состоится " (У " 1992г.

в 14.00 часов та заседании Специализированного совета К 004.21.02 'по прасувденда ученой степени кандидата <5цз ак о-мат ема? иче с ких наук при йастагута кибернетики АН Азербайджана до адресу: 370I4I, г.Баку, ул. Ф.Агаева, квартал 553, дом 9.

С диссертацией моако ознакомиться в библиотеке Института

(

кибернетика АН Азербайджана

Автореферат разослан " O^qQIi-ClUSI_1992 г.

Ученый секретарь' специализированного совета, , , ,

к.ф.м.н. • ' А. ПШЮТОВ

/

.угдел :©ртациЯ

I.. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В теория'стохастического оптимального

управления изучаются системы находящиеся. под воздействием случайных возмущений которыми'нельзя игнорировать. Эффективным математическим аппаратом для описания динамики таких систем является стохастические дифференциальные уравнения Кто.

С другой стороны,, многочисленные явления практики для своего правильного описания требуют. использование диЭД-ереициальных уравнений с запаздыванием. Таким-образом, в различных прикладных вопросах управления, возникащихся: в ёлзикё, хвмйа, биологии, экономике, теории авто:<1агического; регулирования .представляет интерес исследования стохастических.систем управления с запаздыванием. Хотя, основные постановки таких задач известны давно; в. следствии некоторых'принципиальных трудностей, связанных с исследованием : стохастических систем с запаздыванием, число, законченных резуль-. . тэтов весьма невелико. Но получение стохастического аналога принципа максимума дала возмояность для <болев'пирокого рассмотрения таких задач .

При наличии запаздывания, получению необходимых условий оптимальности, для детерминированных задач посвящены работы авторов, Габасова Р.Кирилловой О.М., Колмзновсхого 2.Б., Мансимова К.Б., Ягубова Ы.А., Мардаяова М.Д., Алиева С.С., Гасанова К.К.и др. -

Принцип максимума полученный в. работе. [I] в дальнейшем привело развитию направления, связанного с . исследованием нелинейных задач стохастического.управления..Получению.необходимых условий

[I] Аркин В.И., Саксонов. М.Т. Необходимые условия оптимальности в задачах управления стохастическими дифференциальными уравнениями.-ДАН СССР. 1979, т. 244, Я I, с. П-16.

оптимальности для стохастических систе.\: пссряценн работы авторов Аллахзердиева £.".Э., ;.!£х\удсза Н."/!., Кол.\:а:-:оЕсхого В.Б., Аркнна

КцгЬпег Д?- . Среди вааных задач оптимального управления особо можно отменить задач с ограничения1.'.:: и существуют различные методы для Еывода необходимых условий для этих задач. В данной работе использован иетсд работ [2] для детерминированных а [3] в стохастически: задачах управления. .Цель таботп. •

1. Еывод необход:!!,'.и условий оптимальности для стохастических систем удравления с запаздыванием.

2. Ъыэод кеобходаскх услов;:;"; олти;>:алькссти в классе особых управлений для стохастических опием с-запаздыванием.

3. Вывод ковше необходимых условии.

' 4. Вывод кзобход::!.с;у и достаточных условий для ликейно-квад-раткческих стохастических задач управления с запаздыванием.

Нетепл исследитанкя. В работе применяются .теории сигнального управления, случайных процессов функционального анализа и ьипуклого анализа. .Научная нордзна: I. Получены кесбходаае условия оптимальности в §:орм© принципа максимума для выпуклой стохастической задачи управления с за- • паздиванием и для стохастической задачи управления с неуправляе-

[2] С1агке Р.Н. Go.nera.UzQd ¿/¿¿¿ег^ гтб. дрр11са4/опз, ^тП5.,Атег.-7па1Ь.50С.;1975,У.205,р.247-2б2. '

13] Аркан В.И., Саксонов 11.2. К теории стохастического принципа максшума ь-задачах с непрерывным временен - В кн: • Модели и ма-тот йтохасзическо! оптимизации. Ы.: ЦЭШ, .1983, с. 3-26.

о -

кой дидаузке:: с запаздывающе: аргументом.

2. Получены необходимее услсэ;:я оптимальности, для особых управлений в стохастических системах с запаздыванием.

3. Получены новые необходимые условия 'оптимальности для стохастических задач управления с запаздыванием, когда коэффициент диффузхи. ко зависит от управления.

4. Лолучекн необходима и достаточные условия оптимальности для jmhei'HKx стохастически задач с запаздывание:/..

Теоретическая » пгдлтпчеекая ценность. Работа коси? теоретический характер.

Аггообаг.чя габот;;,:; чубл^кагуп Основные результаты рабсги долозены на семинарах отдела "Лате.'латнчеекке сопросн киберпетпгх" ИК АН Азербайджана (I985-I9SI), ка научной конференции аспирантов республик:; (Баку, 1£2Сг.)

По те:.;э диссертации опубликованы четпре работы список которых приведен з конце автореферата.

Об-ьэ.м :: .структура тзбо-ту. ДлсеертаоЕЯ состоит из введения, пята параграфов п списка литературы, зклачаадего 72 наименований. Объел работы составляет SS стр. Маклисп:; сного текста.

Вс введен:;:-: дается краткий обзор работ, прз:.п.гкапщ;:х к теге диссертации, обосновывается актуальность те.\а и излагается краткое содержание диссертации.

Пусть (£2 ,9- , Р ) - полное вероятностное пространство

I. СОЛЕЕШ-У.З РАБОТЫ

т

ЕЛм*) Iе <#<'<» :

о

12Х[0,Т-,ЯП) - ЛрОС7р£НСТ5Э ФУНКЦИЙ ¡-(¿) е ¿^(0,7; йл)

с п.н. непрэр~енк:.:и траектория:,:;;.

- пространство линейных' ограниченных операторов

действующих лз_ з

= л - мерный зинерозский процесс.

Б § I рассматривается задача о минимизации функционала Т

(х(г)) + Е 'Щх&М^М ■ о

при ограничениях

сЬсЬ = + ■¿яв),

о,т}, Ь.уУо, (2) •

т^ФФЛеЬкЛ, 13)

= (4)'

(5)

Ер(х(г))<=&. (6)

Здесь Х(. )е , <?(•)€ .

& - замкнутое вшуклое множество в . Предположим, что выполняются следующие условия:

I. Функция а,д,<о) непрерывна по совокупности аргументов

и (/,<?,«> а'хЛ/Л [^Г]—*'х /5я х

, П. При фиксированных:.. . функция . дифференци-

руема по (а,ф и удовлетворяет условию линейного роста:

•ЬI идН^Ь.уМ + ifo.y.öl + {Цх,и,{■)])< N.

Ш. функция k(3S):Rn-—fl непрерывно дгТдерз^цпр} е/.а и удовлетворяет условна

п

ТУ. Оуккгдя p(x.):R R ког.рорызно дийзрекапруома я удовлетворяет условии

Здесь и всгсду в дальнейшем предполагается что: y{i) = X.[i-h~).

Доказывается:

Теоремз I.I. Пусть выполняются условия 1-Е росение задачи (1)-(5). Тогда калдутся случайные процессы '2 Гл г- о"-) о /2

[О, Г) к"), ß {{) е L% {0,7-, ("/?", Я такие, что

а) М) +

- 4 (ж'0, ¿¿Ш))^ +0 i/У/Й, ts ГT-k, Т),

<J) шах -1.Н.,

где = -

Лег.из I.I. Пусть выполняются услозия I-Ш. Тогда:

p

U , если g —«►£>.

g

Здесь: - траектория, соответствующая управлению

uXi)+&ue(t,t).

Теоге-да 1.2. Пусть выполняются условия I-ГУ и (¿X(i),U{ij) - ■ -решение задачи (1)-(6).- Тогда ка:"дутся случайные процессы Щ)е.1?7{0,Т; Rn) , рфе1р{0,п {R^R")) и постоянные

такие, что:

а) Яq'Z'O, Яу ~ нормально к мнояеству £ в точке Ер(х(Г)),

, Я* •ЬЦ,]2 = /.

й) г= _ (¿(^V), П) ''

-\Цх\1), uxt),t))d{ +-p)dw(bt iefo,T4), dp® ~-{fx{x\{),y0(i),uV) + safety, (8)

+ p№dww, i*z[r-k.r) {Ф1?) -

шах

где ИШ^'^./М - b,i) - •__

■ (81) Лемма 1.2. Пусть выполняются условия 1-1У й с1(иП&),и(.Ь) —» 0 , пра/2—*оо .

Тогда' Um {sup «д. .

в)

V/

Дамка 1.3; Пусть (//(¿) решение системы (1.34), а ЩЬ)

- реиениа системы (1.24) [си. cvp.jM¿jcite]. Тогда

у-С

£ JlM Е $ [ sfa -^¡^ О, если00.

Вывод необходимых 'условий оптимальности для задач с ограничениями использован метод аппроксимаций. Вводится ШЕЯУЛзирукзнй функ-т ционал з зиде функции расстояния. С! помощью этого функционала за-, дача (1)-(6) заменяется последовательностью задач без ограничений. Переходя к пределу в этих аппроксижруацих задачах получаются необходимые условия оптимальности в задачах с ограничениями. Во втором параграфе рассмотрена следущая задача:

1{и) = В Jsfab, UiiU) c/t — inf (9) о

dx& dwd) (I0) = <t>&,ii=U,0)t x(d) = x0,

Ep(x(7)) = 0, • (I2)

umsu. ■ ;

Пусть выполняются условия i, п a : ■

IУ : Фуякцая p{x)'R R дважды непрерывно дифференцируема

Iptol+I^tol^^lai). ■

Полученные з этом параграфа необходимые условия оптимальности для задача (9).-С12) представляют интерес во. время-исследования: анормальных задач, которые являются довольно специальными а ио-клячдтельнши. Вводится следующее множество:

ТО _ — ¿о —

. K-ib, i)K(i-h) + a(xtä,x(i-k), -

Доказывается следующая теоре:.:а.

Тоот?"','а Г.. Г Пусть гжслнязгся условия I.Z.l'J1 pesesrce задач:; (5X12), Тогда для дгбас сар [К^иЩ^-В^Х) найдутся не разные однозро.ч:о.-::-;с нулю число Яц >О , векторы % 1Д2 е R :: процессы pf % (4) G А1 [ü, Г; , е также

>cß{Rn,R.n^) такие, что справедливы следующее соотношения:

•аХ = -[{v,°(i),л'Ш,% it),%+ Ну [иЫ>г u'U4), 1 +А)]Ф. ТД(^¿М'О, [0,7-k) ;

№)> & Ф) Н fx {хй xV-Л),

иЩßtvxfo®, Ыт-ьх

i-рг(bdwii), i<=\0,7-h')-, '

- II -

X+ß2(l)dvKi)

п.н.

= ffiflX H{u,z\i),z\l-k), ФМ), (p2(i), к({))

ue{/

Здесь Hfjr, X\{), хЦ-k), ty Ц), % (i), К [ty = +

В третьем параграфе рассмотрена следующая задача стохастического оптимального управления с запаздыванием для системы с управляемой диффузией:

т

ü(u) = E{k{x(ri) + — min (13)

= (j {xi{),x(i-h),u(-i),-i) di + <3 [x({), ccU-k), u(Vjt)dw(t)f

tzfarhkx?, (I4)

= eis)

x{ö) = oco, . (I6)

EpjpC(f))&Gt ■

Потребуем выполнения следующих условий:

Функция непрерывна по совокупности аргументов.

П1. При фиксированных' {i,U.) функщ? ' 'дифференци-

руема по и удовлетворяет условию, линейного роста.

Сперва для задачи (13)-(16) доказана сладуюцая теорема.

- 12 -

Теорема. 3_..i; Пусть решение задачи (13)-(16)

Тогда найдутся.случайные процессы

такие, что •

а) Фюмй^*^

+ fy иГМгЫ) р [Ы) f zfaXUlrt),

и\Ш,Mtyfrkh?Jx\ti,ti&^di +0.Ы), iem-k),

- 4 (х\й ф fp i e Г Tr-h, T~),

б) max = H(i xXv^b.iplb.iCm), л.н. где //(£ ,= ру.иЛ)+

<=£>(( £ (ОД* ty-Д); а б

I/, О)}.

Z) означает звездную.окрестность точки z » относительно икскества £ , т.е.:

fa,Z)s>$}.

Используя методику метрических аппроксимаций описанного в работе И получено следующее утверждение.

Теорему 3.2 Пусть М реаекаа задачи (13)-(17),

Тогда найдутся постоянные (Я;, %1)&Р,ПН , случайные процессы

такие, что:

а \ 'КцУ/О »Я/ - нормально к множеству в точке

.. Ер(хХг)) и

•б) с1р0)=иф,1)ф(Я +ехУ-к),

+ иХик), I +к) ф(М) +

в)

ие

Здесь И) = +

четвертом.параграфе рассмотрена система (1)-(6) и в задачах Ц)-(5) и (1)-(6) для осойых управления, в сшсле принципа максимума Понтрягяна, получены необходимые условия оптимальности. Пусть выполняются. следующие условия: •

AI. Сункцая непрерывна' по совокупности аргументов и:

<5Г: «"хЯ'х Гз 74 — ¡¿(8п, Я'):

АН. При йихсирозакнш: (í, и) функция (С£) ■ двагды непрерывна да^фаренздруома по X,LJ и удовлетворяет условию линейного роста; •

(ЖЗД -ь 14(3?,и,Ы + ^

+1 Щ{х,у,и,1Я +

+ \Cjzx + + V,Í)\ +

+14* faífrj^ll^rC^Ai+l^í«^;!-« М

ALíl. Функция k('■£)• Rr" —" R двадда непрерывно диййоренцируема и: ■ '

O+Jai) + '.

А1У. Оуикцня р{хУ R*-* R дза-да непрерывно дифференцируема и

{н Ы)~'(\Р(Х)] + 1РЛ{Х)0 + ÍP** tol « Af. Справедливы сдедуэдие утвэрвдониа

Теооема 4.1. Пусть выполняются условия Л1-АП а.иШ особое управление в о.сысло принципа глксамума з задаче Ш-(5). Тогда

для . V&-6 здоль процесса (üfap выполняется

следующее керазенстно.

£x{6-k),U{6),6) к($,в)x"(Q-k),UЬ),

почти при зсех Bs\D,T) % Здесь: M(l¡>(b,X({),XíM), U'¿),i) = f®<j(xtí),xí4-h),ulb,i) -

Случайные процессы

являются решениями системы (7) $) имеет следующий взд:

-г,- • ' (18)

I - единичная матрица. Теорема 4.2. Пусть выполняются условия А1-А1У. Лдя оптимальности особого в смысле дркнцида максимума управление и"^) в задаче (1)-(6) необходимо, . чтобн вдоль процесса (яУ), ¿¿"(¿)) .для У 2г е С/ и почти при всех выполнялось следующее неравенство:

(«70),/С&)Л;, е) у у®, иЬ)}в) +

Постояннее такие, что %6">/0>%1 - ксрмаль-

. но к множеству..(? в точке, и =/,

Случайные процессы ,

являются решениями системы (8), функции КС^Э.) определяется следующим образ о:.::

и определяются аз соот-

ношений (18) к (б3'). ,

Пятый параграф.посвящен линейно-квадратичной задаче удравж кия с запаздывание!!. Для данной задачи получено необходимое и д< таточкое .условие оптимальности. Для оптимального управления найдено выражение з виде обратной связи.

Основный .вез^льтаты .работы, опубликованы в следующих работ.

I-. .Махмудов Н.И., Агаева Ч.А..Необходимые условия,оптимальности для.стохастических систем управления с.запаздывающим аргумен . там. - Баку, 1990, дел. б ЗШЖИ 28.С4.90, й 2291- Е90.

2. Агаава Ч.А. Необходимые условия оптимальности особых управле на£ в стохастических системах с.запаздывающим аргументом. Баку, 1390. деп. в ВИНИТИ 13.06.90, 5 3495-390.

3. Агаева Ч..А. Задача управления и фальтрадаи для линейной стохастической' система.с запаздыванием по состоянию. - Ьаку, П деп. з ЗПЕТ/ 32.08.90, 4834-В90.

4. Агаева Ч.А. Об одном необходимом условии оптимальности стохастических систем с запаздывающим аргументом для особых управлений. - В кн: "Материалы республиканской научной конференции аспирантов", Баку, 1991.

Л ,

-'О