Некоторые вопросы теории оптимального управления в системах с запаздывающими аргументами при наличии ограничений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В В Е Д Е й И Е,.

§ I. ОБ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЯХ В СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДОАКШИМ.

АРГУМЕНТОМ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ. В . УПРАВЛЕНИИ.

1.1. Постановка задачи

1.2. Уравнение в вариациях.25;

1.3. Формула приращения функционала.

1.4. Необходимые условия особых управлений

§ 2. ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ И ОГРАНИЧЕНИЯМИ.

2.1. Постановка задачи

2.2. Принцип максимума.

2.3. Особое управление

§ 3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В СИСТЕМАХ С ЗАПАЗЛЫ-ВАЩИМ АРГУМЕНТОМ И С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КОНЦЕ ТРАЕКТОРИИ.

3.1. Постановка задачи

3.2. Приращение управления и траектории

3.3. Формула приращения.

3.4. Необходимые условия первого порядка

3.5. Особые управления.

3.6. Особая экстремаль

§ 4. О СУЩЕСТВОВАНИИ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УПРАВЛЕНИИ.

4.1. Постановка задачи

4.2. Вспомогательные факты.

4.3. Существование решения задачи Больца.

4.4. Индивидуальная теорема существования оптимального управления в терминальной задаче

4.5. Индивидуальная теорема существования, доказанная на основе метода приращений

Исторически постановка задач оптимального управления родилась из стремления учесть различного рода ограничивающие условия, наложенные на управляющие воздействия и координаты системы движения, которые описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная математическая теория для решения этого класса задач создана в середине пятидесятых годов и получила название теория оптимального управления. Выдающуюся роль сыграл в этом "принцип максимума" Л.С.Понтрягина [71]. Отметим, что принцип максимума является необходимым условием оптимальности первого порядка. Принцип максимума в некоторых случаях на некоторых интервалах изменения по времени выполняется тождественно. Такие случаи, следуя Л.И.Розоноэру [74] , называют особыми, а соответствующий процесс - особым процессом. К настоящему времени теория необходимых условий оптимальности особых управлений в обыкновенных динамических системах разработана достаточно полно (см.напр.[19, 20,25]и др.);.

В самых разнообразных областях науки и техники, таких как автоматика и телемеханика, радионавигация, биология, медицина, экономика и ряда других, часто встречаются процессы с последействием, которые описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом. Поэтому исследование задач оптимального управления системами с последействием имеет большое практическое и теоретическое значение (см.напр.¡10,19,45,53,70,73,75,83-8^ 88] и др.).

В 1961 году принцип максимума Л.С.Понтрягина[71] был перенесен Г.Л.Харатишвили]82] на задачи управления, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. В дальнейшем проблема необходимых условий оптимальности первого порядка в различных системах с последействием была исследована в работах[з,17,Щ 27,46,52,62,83,104] и др. Обзор этих и других результатов имеется в работах[19,25,52] и др.

Изучению необходимых условий второго порядка для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с запаздывающим аргументом в настоящее время посвящено большое число работ и получены важные результаты (см.напр.[2,7,20,35-38,50,58,59,63-65, 76,90]). Анализ и обзор статей по теории необходимых условий оптимальности второго порядка в обыкновенных динамических системах и в системах с запаздыванием имеются, например, в работах[20,24, 25] и др.

Большое теоретическое и прикладное значение имеют задачи оптимального управления с различными фазовыми и функциональными ограничениями. Впервые принцип максимума Понтрягина на задачи с фазовыми ограничениями был распространен Р.В.Гамкрелидзе[29] . В дальнейшем задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями при помощи различных подходов изучались в работах А.Я.Ду-бовицкого и А.А.Милютина[47,48], М.Р.Хестенса[105], Л.Нойштадта [Ю9] , Р.В.Гамкрелидзе[29], В.Е.Болтянского [э] и др.

В последние годы начато интенсивно изучение вопросов, связанных с получением необходимых условий оптимальности в различных системах управления с фазовыми ограничениями как в обыкновенных динамических системах, так и в некоторых системах с запаздыванием. Отметим работы[I,2,40,41,44,47,48,54,55,60,72,77, 95,98,99] и др.

Встречаются процессы, известные в экономике и в сложных производственных установках, на которые управления воздействуют по многим каналам и со многими запаздываниями. Такие процессы описываются системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении. Примером такого процесса является работа двух гидроэлектростанций, расположенных вдоль одной реки и питающих совместно с тепловыми электростанциями общую энергетическую сеть[1б]. В работах [16,21,99] и др. получены необходимые условия оптимальности первого порядка задачи оптимального управления для процессов, описываемых системами с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении.

В качественной теории оптимальных процессов, наряду с теорией необходимых условий оптимальности, важное место занимают вопросы, связанные с существованием решений в задачах оптимального управления. Это важно для обоснования корректности математической модели реального процесса и для нахождения решения, основанных на использовании необходимых условий оптимальности.

Для линейной системы первые теоремы существования оптимальных управлений получены в работах В.В.Гамкрелидзв [31], Р.Беллман и др.[п]. Для нелинейной системы общая теорема существования оптимального управления в задаче на быстродействие в классе измеримых управляющих функций при предположении о выпуклости множества допустимых скоростей системы получены в работе[81] А.Ф.Филиппова.

В дальнейшем проблема существования оптимального управления развивается и распространяется на различные задачи, описываемые как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и системами с запаздыванием (см.напр.[12,13,15,18,23,28,42,43,51,56,69,71,87, 100-102,109] и др.).

В работах[78-80, 108] доказаны некоторые теоремы существования решений в нелинейных задачах управления с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении. В этих работах обобщается лемма Филиппова и применяется при доказательстве, теоремы существования. Приведенный пример Т.А.Тадумадзе¡80] показывает, что результаты, полученные в работе[l08], не верны.

Основной целью настоящей диссертации является получение необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающими аргументами и с запаздыванием в управлении при наличии ограничений. Далее, в диссертации изучается существование оптимального управления в различных системах с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении.

Диссертация состоит из четырех параграфов.

В § I рассматривается процесс управления, описываемый дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении: j(ifoc(i)^c^(b)}ud)fu(^(b))> ttct.ti] (I) удовлетворяющим условиям xd) = (fd), о7, где X céj t (f(t) % - мерные вектор-функции; urt) t \(Ь-г - мерные вектор-функции; скалярная функция.

Управление U(¿) назовем допустимым: если оно кусочно-непрерывно и кусочно-дифференцируемо и принимает значения из заданного множества 1/ в .

Требуется среди всех допустимых управлений найти такое, чтобы соответствующее ему решение задачи (1)-(2) давало минимум функционалу

В этом параграфе получены необходимые условия второго порядка для управления, имеющего особые точки. В отличии от традиционной формы, здесь второе сопряженное уравнение взято в векторной форме. Используя последовательное применение вариаций для управления, имеющего две различные особые точки, получены три условия. Третье условие существенно усиливает первые два условия в том смысле, что при выполнении первых двух условий это условие может не выполнятся.

Пусть допустимое управление II (Ь удовлетворяет условию мак

3) где (р(х)- скалярная функция. симума: хаш, иа«>), и; У (г (¿>))}

- (¿и>, ^сЬ) + г(Ь хскльуаж/, иссыц, ьаии, уи^)), и множество СКОсТ/ ш на и множество ^¿^/^и , на котором достигается максимум выражения

Н&> Х(Г*> и* + г(?)НС1<?)> хскщ иск?», (¡/(гсЩ включает в себе более одного элемента, тогда точку Те[(0^1] назовем особой. Здесь

Н({>»,у, ¿¿, го = Р'/й £ ^ ; »г«*«^

- является решением сопряженной задачи

- ¿ГЙ //у Я, = -фх(*<ь>); (4)

- обратная функция к при и

ЧЫ)-^! при ^>tO(t1)) (штрих) - означает транспонирование. Сформулируем теорему, в которой получены необходимые условия оптимальности второго порядка для управления, имеющего особую точку.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть II({) оптимальное управление, ¥ - особая точка этого управления. Тогда необходимо выполнение неравенства шеасТ), (5) здесь

Л (Г}г'а^о гес)7\'(1сг», (6)

8 ¿(4) = 2 (¿; Г,г»), Л 1±) (и V) решения систем (b = - Hfoc (hl(i) - id)»Чп скШМО -~Ы)НухШМкЬ)? Uti.JJ\luxrj9r, гсЩ } (?)

Mii^feiiMt) +fy(i)M<0(tt), t€(Z,til\{tCt)} (8) удовлетворящих условиям idt) = -фхх (х(Ъ)ШЪ)> ia«))~Z(t(r+c»)+ l (com)-Mho, cJCtolii^, ли. где

МОссЫ)> хИ), ис*),гг(Щ.

Далее, для управления, имеющего две различные особые точки, получены следующие необходимые условия.

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть оптимальное управление, ^ 9й[{01±] особые точки. Тогда выполняются условия

О , сос&,2е) ¿о , (Ю) для всех Кг е ЛСП , дС € £1(0) , где ¿(Г.пг;*,*) = ^к)-Я (%я>сО;0,'Х)+

Я (I) = & Ц, + и?-)Ну Г,гсг)ЦуСгсН, хсг&^уам;, шью)**, ф(1«>))) + ц (4 »ж*), у и), усН); (12) ({•> ЗД = Г, иг) - IV/; сссТ)) ,

Очевидно, что условия (10) являются необходимыми условиями оптимальности управления второго порядка. Условие (II) является дополнительным и усиливает (10), точнее говоря, (II) действует и в том случае, когда условие (10) вырождается соссу го-) = о , УгггеасО , , ¥ Же £1(б>) и

Приведен иллюстрирующий пример.

§ 2 посвящен получению необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями вида

- ъс-6), эс(сйс£))3 сс (¿))о -¿е[4(13) с начальным условием и при наличии ограничений у , . (15) где ОС.Ы) - 7Ь - мерная вектор-функция, определяющая состояние системы.

Измеримую вектор-функцию и (4) назовем допустимым управлением, если существует абсолютно непрерывное решение задачи (13)-(14) на и выполняются ограничения (15).

Требуется найти условия, выделяющие среди всех допустимых управлений те , на которых функционал

1(11.) = ф(Х(Ьй + //V/,

Ьо принимает наименьшее значение.

Обозначим через Ж = и) минор порядка 16 матрицы ъи? /рЦ'"

17) отличный от нуля в окрестности точки ; I - множество индексов р , которое совпадает с номерами столбцов матрицы (17), входящих в минор ; , - определители, образованные из заменой I - го столбца векторами (1? ,. }' Ну. >*' - > соответственно , = ,. ^¿^ >- - Умножество всех ССеКг , которые удовлетворяют условию ^ (¿>х> У> и) — О,

Для допустимого управления Ю(^) и соответствующего ему решения Х(^) системы (13)-(14) определим вектор-функцию как решение системы ф({) = - Н^ ос(4), yU), ИШМЦ + | Ц Hrfii,MthWitä

J-et

- iL (">](*>[hi щт, и ¿„и, (18) bh) = (*«i>) , да) где

H (К * ^ >Р - у > -/ М(+) -//у №)> Hrf (i> *ci>> J tccridr ? cd (ttj])

- прообраз множества при отображении

Необходимое условие оптимальности первого порядка сформулировано в виде сле,пующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть U- (i), ¿¿Ü^ti] оптимальное управление, X(i) и fei) соответствующие ему решения задач (13),(14) и (18) (19) соответственно. Тогда почти при всех t£ [t^ii] выполняется условие максимума

- 13 yci) 9 и. (é), pit) = упси -х. ¡-/({. X(é), >11, i*(êj) .

Далее, в этом параграфе для особого оптимального управления получены необходимые условия.

В § 3 рассматривается задача минимизации функционала си,) - ф0 (X(tx)) (20) при ограничениях

X. (¿) = X(-è), acccJ(é));u<-6)? ОС (tùrt)))^ it [i0)ijf X({) = <f(i) y Ï }t0J> te[b)cio),to) , (21)

Ф (occh)) ¿6, ÎJP . £

Кусочно-непрерывная Ъ - мерная вектор-функция

U ci) circtP, iéléo^J называется допустимой, если соответствующая ей траектория X(é) удовлетворяет условиям ф€ ôuitt) é.0 , ~Р . (22)

В данном параграфе доказаны различные необходимые условия оптимальности первого порядка. На основании полученных условий дается определение особого управления и особой экстремали. Для особого управления и особой экстремали получены необходимые условия оптимальности.

Возмущенное управление ОС ci) о, параметрами &; , и/, /Г, t <г <с j-^ AT р £ определим следующим образом м (23) где и/еУ ; ¿о £ - произвольные неотрицательные числа ; £ >0 достаточно малое число такое, что полуинтервалы л ^ не пересекаются и £ ¿1

Соответствующее этим вариациям приращение функционала пред-ставимо в виде

1г-**1<-*0(е*), (24) где и первая и вторая вариации функционала Уе : - £ $ ], оТр , (25) д.

26)

Выражение см.стр. , формула (3.25)).

Используя полученные формулы (24), доказана следующая ТЕОРЕМА 3.1. Пусть И>(£) оптимальное управление в задаче (20)-(21), а - решение системы (20)-(21), соответствующее этому управлению. Тогда необходимо, чтобы существовали не все где равные нулю неотрицательные числа 5у1± , •-«^р такие, что неравенство ? М

И ЕЛ $ £^Нф,*(*/)>№)

V' & ^ ШМЩ^сщФ®;)] (27) было справедливо для всех в}£ Но,)^ ,

Ь) = , (28)

Не Ы) = на, и гг(Н, = У?*, (29)

Для оптимальной пары ос,Ы)) введем обозначения 1-1^-

Для простоты будем считать, что7=/*, Кроме того, положим 1-{о} 1/1=/о,!,. .

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть оптимальная пара задачи (20)

21). Тогда необходимо, чтобы неравенство М т¿к Л % /ЪЩ> %су) + х *

МЩ», Шсв^ о (30) выполнялось для всех €Ь±) % ц}сУ", , И , где определяются из формул (28), (29) соответственно.

На основании полученных необходимых условий первого порядка определяется особое управление и для особого управления доказаны две теоремы. Одной из этих теорем является

ТЕОРЕМ 3.4. Пусть [¿Ы) оптимальное управление, Х(^) - соответствующая ему траектория и для

-е€10={4:фе«ссЬ)) = о} , 10 С1 .

Тогда неравенство выполняется для всех бу )} И^е <У, ¿¿Ъ0 ?таких, что тде^({) , ¡-¡¿С^) и определены формулами (28),(29) и (3.22), стр. 60. ). Управление И назовем особой экстремалью на отрезке если удовлетворяет условию (30) и выполняется равенство шп, Ш^Н^) + йрН^И&ОЫИ^о (зз) Г ищУО" , ие& , тли Л СУ,

ТЕОРЕМА. 3.5. Пусть (М^) является особой экстремалью на отрезке Тогда необходимо, чтобы неравенство пин, /£. £ Щ ; 1т) ■+ 1-Е. и* ; и/, Ъ') (34) выполнялось для всех ф € intC, и/е. таких, что f¡ [áuJ Ht<V (ЩЩЛ >0> (35) где через Ij - обозначено максимальное подмножество из Т , обладающее свойством +AfrИе (tí-é^i^J-Oy eQ-J teG*. Приведены иллюстрирующие примеры.

Последний параграф посвящен исследованию проблемы существования оптимального управления в системах с запаздыванием по состоянию и в управлении.

Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении

XC¿)= ved), y(i)9tL(4), b(é))JéT=[i0)íj> (36) с начальными условиями ucí) = 5 d), i€[сл&с+о), t) , где i^ci) — oc,(cDxc¿)}\ uU)- fc - мерная управляющая вектор-функция; ф(4) - заданная непрерывная Ц- - мерная вектор-функция; ^^J-- мерная измеримая вектор-функция.

Допустимым управлением будем считать произвольную измеримую вектор-функцию W(í) Со значениями в V(i) .

Множество 1/(4) полунепрерывно сверху относительно включения и при каждом Í€ Etychj^J компактно в К . Отметим, что ^(i) также искомое управление. Пару вектор-функций (UCé)^ XC~é)) t Где Ustf) - допустимое управление, cc.(-¿) - соответствующее решение задачи (36)-(37) назовем процессом.

На множестве процессов рассмотрим задачу минимизации функционала / ví

У (и.) - <р (oic-ti)) -tf / (é3 xch.ycé), u,cí)9ir(b)¿¿ C38) o где ф * f0 ~ заданные функции.

В этом параграфе при различных ограничениях на данные задачи доказаны различные теоремы существования оптимального управления. Для доказательства некоторых теорем используются необходимые условия оптимальности расширенной задачи. Это, в свою очередь, дает возможность расширить класс задач, для которых удается установить существование решения.

Сначала доказываются две вспомогательные леммы. ЛЕММА I. Пусть (f(í)~o * вектор-функция /(¿^у&гг) непрерывна и существуют положительные постоянные А , В такие, что для -UT, а.ьеТг9 нXrii —j*j llytl£j>> где If - замкнутое множество в ^ такое, что

V( i) CLV , i e í ti J ;

Тогда каждому допустимому управлению U соответствует абсолютно непрерывное решение xd) , определенное на Т и удовлетворяющее условию HxcéjíféJ>9'teT. Обозначим через

Обратную функцию ¿Ц-Л^при é í± при -t>cd¿(éj),

Определим натуральное число JV из условия ¿-¿х

В *1<ь=t, ^ch=t¿ ch ^J), % а/щ.

ЛЕММА 2. Пусть выполнены условия леммы I и множество у)={ее я*;

-о~лГ'3 и°3. и.**") е. 1Г(-6)} выпукло для Ьс [10> , ^ » ¿-о^лг , где я*,.f- .-Л")'> тгЫ) = 7Г№ла))х-(га)х. .

Тогда множество решений задачи (16)-(17) компактно в саш-Х), где пространство непрерывных % - мерных векторфункций на Положим ьал^л) = / £ Ч^&ФЬ, «-с~1) •

-о и х*я с г, &. ^ < • V У(*>лсЬ)хУ(+)* . * .

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть:

I ),ф , £ > £ ~ непрерывны при т^бГ , ссеГ, Яп ,

2) множество допустимых управлений непусто,

3) множество решений 9 соответствующее множеству допустимых управлений равномерно ограничено,

4) функция

ВЫПУКЛО ПО %

Тогда в задаче (36)-(38) существует оптимальное управление. Далее, получены критерии выпуклости пофункции .

Вторая часть этого параграфа посвящена доказательству индивидуальной теоремы существования оптимального управления в терминальной задаче. При доказательстве этой теоремы используется необходимое условие оптимальности расширенной задачи.

Расширенную задачу назовем задачей минимизации функционала УСв)- (39) при условиях

X(tl(h)~2Z OiK(h ti(i)J(tfci)9 Х(фо? yet^i)), (40) £=0

CiL d), ¿ = t i rt'j } itlh; tJlC^)Jj K=Z 0> c/*+t)n> . (42)

Управлением расширенной задачи является измеримая функция /с-о, } определенная на [{0> ^ dc)], принимающая значения из множества где i(i)zz pxlfci) > >,0 ? И t

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть для некоторого оптимального процесса сс*Ы>Х / €tto, ^¿(¿о)7 расширенной задачи множество l-Z^T, (urt> U.% . , ислr)&M*c4)} выпукло,здесь jf

M*ci) = je«:1, uf, • • .,u?)tifd) '•^'¿[фШф*), fct'cЩ p*(titf))j =

Ir р*(-1) - решения сопряженной расширенной задачи.

Тогда в задаче (36)-(38) (-£0-о) существует оптимальное управление .

В последней части данного параграфа рассматривается задача минимизации функционала

У(и) = ф (хЫ±) 9 &)) (43) при условиях

44)

X (Ь у (И, х„ (¿) = и), Н 47,

45) уЬ у игжЬЛ), где Ъ(сО(4));17(4)=и(&1'*))I

ШуЦ)- скалярные функции; ^Х (№)).

Для этой задачи вычисляется приращение функционала соответствующей расширенной задачи. На основании полученной формулы приращения доказана

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть оптимальное решение расширенной задачи, (р - решение сопряженной системы соответствующее. Далее, пусть функция ф(х}х^)ъотщиэ. ио(х>х„) и множество

I ш(4) Ь(гс+*сн9 и <4 и,1)? ¿- ¿Гдг, и") е М*с4)) выпукло и выполняется одно из следующих трех групп условий: I. ф ,

П. , функция вогнута по и £ >,О при

Ш. , функция - выпукло и ^и> аг^Л

При ¿¿(¿2)] где

I-о 6 <лкъ,и.1, ц.^^сг'-ия+й^ш, и1-1 )+

ЬН4), и«', и^)} = дах тЦШр^ШШ А(Ы>, 1т, ъс~л)х*(ъШ + + (гЫ, ь1'1))] .

Тогда в задаче (43),(44),(45) существует оптимальное управление.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений АТУ им.С.М.Кирова в 1978-1984гг. и кафедры высшей математики АзПИ им.Ч.Ильдры-ма в I981-1984гг., на I Республиканской конференции молодых ученых по прикладной математике и кибернетике (ИК АН Азерб.ССР, Баку) в 1982г., Республиканской школе-семинаре молодых ученых по прикладной математике и кибернетике (ИК АН Азерб.ССР, Баку) в 1984г., научно-теоретической конференции "Прикладные задачи анализа" (Кировабад) в 198Ф.

1. Аноров В.П. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида. Автоматика и телемеханика, 1967, № 3-4, сс.5-15, 5-17.

2. Аграчев A.A. Необходимое условие оптимальности второго порядка в общем нелинейном случае. Матем.сбор., 1977, 102(144), № 4, с.551-568.

3. Ахиев С.С. Некоторые вопросы теории оптимального управления. Автореферат канд.дисс., Баку, 1973.

4. Ахиев С.С. О построении сопряженных уравнений в линейных функционально-дифференциальных системах. Докл. АН Азерб.ССР, 1977, 33, 1Ь 6, с.3-7.

5. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. К более общему понятию сопряженного уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом нейтрального типа. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1972, Л 3, с.126-130.

6. Ахмедов К.Т., Меликов Т.К., Гасанов К.К. Об оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. Докл.АН Азерб.ССР, 1975, 31, № 7, с.7-10.

7. Ашепков Л.Т., Эппель Д.С. Аналог условия Келли в оптимальных системах с запаздыванием. Дифференц.уравн., 1974,10,}Ь 4,с.591-597.

8. Ашепков Л.Т. Об оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. Сибир.мат.ж., 1973, 14, Л 6, с.1180-1188.

9. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач.УМЕ, 1975, т.30, вып.3(183).

10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., Мир, 1967.- но

11. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс 0. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М., ИЛ, 1962.

12. Вапнярский И.Б. Теорема существования оптимального управления в задаче Больца. Некоторые ее приложения и необходимые условия оптимальности для скользящих и особых режимов. ЖВМиШ, 1967, 7, № 2, с.259-283.

13. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., Наука, 1977.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981.

16. Вежбицки А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления. Автоматика и телемеханика, 1970, № 10, с.13-20.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума для оптимизации систем с последействием. ДАН СССР, 1970, т.194, № 5.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М., Наука, 1971.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние оптимальных процессов. Автоматика и телемеханика. 1972,№9, с.31-62.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М., Наука, 1973.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, Наука и техника, 1974.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Шнек, Изд-во БГУ, 1981.

23. Габасов Р., Мордухович Б.Ш. Индивидуальные теоремы существова-оптимальных управлений. ДАН СССР, 1973, т.215, № 4, с.772-775.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка (обзор). Препринт ИМ АН БССР,В 30(115), Минск, 1982, 48 стр.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т.6. M., 1976, с.133-262.

26. Габасов Р., Салиев Э.А. К теории необходимых условий оптимальности в системах управления с запаздываниями. Деп.ВИНИТИ26 мая 1980, № 2060-80, 26с.

27. Габасов Р., Чуракова C.B. Необходимые условия оптимальности в системах с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1968, № I, с.43-64.

28. Габасов Р., Чуракова C.B. О существовании оптимальных управлений в системах с запаздыванием. Дифференц.уравн., 1968, 3, №.12, с.2067-2080.

29. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах. ДАН СССР, 1959, т.125, № 3, с.475-478.

30. Гамкрелидзе Р.В. О скользящих оптимальных режимах. ДАН СССР, 1962, 143, № 6, с.I243-1245.

31. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. Изв.АН СССР, сер.матем., 1958, 22,4, с.449-474.

32. Гасанов К.К., Гулиев В.Ю. Об особых управлениях в системах с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении. Деп.АзНИИНТИ 25 апреля 1984г., № 193 Аз-Д84.

33. Гасанов К.К., Гулиев В.Ю. Необходимые условия оптимальностив системах с запаздывающим аргументом и ограничениями на конце траектории. Деп.АзНИИНТИ 9 июля 1984г., 1Ь 243 Аз-Д84.

34. Гасанов К.К., Гулиев В.Ю. О существовании оптимальных управлений в системах с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении. Деп. в АзНИИНТИ 9 октября 1984, # 259 Аз-Д84.

35. Гасанов К.К., Марданов М.Д., Юсифов Б.М. Об условиях оптимальности второго порядка в системах с запаздыванием. ДАЙ Азерб. ССР, 1979, 35, № 12, с.7-12.

36. Гасанов К.К., Юсифов Б.М. Об оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1980, № II, с.9-15.

37. Гасанов К.К., Юсифов Б.М. Индукционный анализ особых управлений в системах с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1982, № 6,

38. Гасанов К.К., Юсу|бов Ш.Ш. Необходимые условия оптимальности особых процессов в системах с запаздывающим аргументом. Проблемы оптимизации и АСУ (тематический сборник научных трудов) Баку, 1983, с.29-43.

39. Гомес Х.А. Принцип максимума для управляемых систем с переменным запаздыванием по траектории. Вестник МГУ, мат.мех., 1981, № 3, с.42-46.

40. Гордион М.И., Плотников В.И. Необходимые условия оптимальности в задачах с ограничениями. Изв.ВУЗов, Радиофизика, 1969, т.ХП, № II, с.1622-1631.

41. Гордион М.И., Плотников В.И., Стерлин A.M. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем с запаздыванием в задачах с ограничениями. Изв.ВУЗов, Радиофизика, 1970, т.Ж, № II, с.1621-1629.

42. Горелик С.Б., Мордухович Б.Ш. Необходимые условия оптимальности особых управлений и теоремы существования решений в задачах оптимизации динамических систем с запаздыванием по состоянию. Минск, 1979, 46с., Деп.ВИНИТИ 24 декабря 1979, }Ь 43-79 Деп.

43. Горелик С.Б. Теорема существования оптимальных управлений в системах нейтрального типа. Минск, 1980, 41с., Деп. ВИНИТИ 3 марта 1981, № 484-81 Деп.

44. Гороховик С.Я. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижным правым концом траектории. Дифференц.уравн., 1975, т.XI, В 10, с.1765-1773.

45. Гурецкий X. Анализ и синтез управления с запаздыванием. 1974.

46. Демьянов В.Ф. О необходимом условии экстремума в задачах управления с последействием. ДАЕ СССР, 1966, 166, № 2, с.275-277.

47. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. ЖВМиШ, 1965, т.5, № 3, с.395-453.

48. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенство. ЖВМиШ, 1968, т.8, № 4.

49. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.

50. Каганович С.Л. Об индукционном методе исследования особых экстремалей. Автоматика и телемеханика, 1976,MI, с.28-39.

51. Красовский H.H. Теория управления движении. М., Наука, 1968.

52. Красовский H.H. Об одной задаче оптимального регулирования. Ж и М., 1957, 21, № 5, с.670-677.

53. Колмоновский В.Б., Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального типа. Автоматика и телемеханика, 1984, № I.

54. Левитин Е.С., Милютин A.A., Осмоловский НН. О необходимых и достаточных условиях локального минимума в задаче с ограничениями. ДАН, СССР, 1973, т.210, № 5, с.1022-1025.

55. Левитин Е.С., Милютин A.A., Осмоловский Н*Н. Условия высшихпорядков локального минимума в задачах с ограничениями. УМ&, т.33, 1978, вып.6(204), с.85-148.

56. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., 1972.

57. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в некоторых системах с последействием. Автореферат канд.дисс., Баку, 1979, 15с.

58. Мансимов К.Б. Об одной последовательности необходимых условий оптимальности для особых управлений в системах с запаздыванием. ДАН Азерб.ССР, 1978, 34, Jfc 10, с.8-12.

59. Мансимов К.Б., Ягубов М.А. Об одном способе исследования особого случая и задаче терминального управления. ДАН: Азерб.ССР, 1981, 37, № 10, с.3-7.

60. Мансимов К.Б. Некоторые вопросы качественной теории оптимальных процессов. Часть I. Обыкновенные непрерывные системы. Деп. в ВИНИТИ, № 3118-82, 193с.

61. Марданов М.Д., Гасанов К.К. Условия оптимальности для систем интегро-дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 1972, $ 3, с.114-119.

62. Марданов М.Д. Некоторые вопросы теории оптимального управления в системах интегро-дифференциальных управлений. Автореферат канд.дисс., Баку, 1973, 22с.

63. Марданов М.Д., Меликов Т.К. К необходимым условиям оптимальности в системах с запаздыванием. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 197^ № 6, с.47-51.

64. Марданов М.Д. Об оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. ДАН. СССР, 1980, 253, №4, с.815-818.

65. Меликов Т.К. Исследование особых процессов в некоторых оптимальных системах. Автореферат канд.дисс., Баку, 1976, 17с.

66. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М., Наука,1975.

67. Мордухович Б.Ш. Некоторые случаи существования оптимального управления в терминальной задаче. Вестник Белорусского ун-та, сер. I, 1972, № I, с.89-90.

68. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений в задаче со свободным правым концом. Дифференц.уравн., 1972, 8, № I, с.I994-1998.

69. Мордухович Б.Ш. Необходимые условия оптимальности измеримых особых режимов и теоремы существования оптимальных управлений. Минск, 1982, Деп. в ВИНИТИ, № 1321-82 Деп., с.85.

70. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Москва, Наука, 1965, 356с.

71. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука,1976.

72. Пляко Д.А. Оптимальное управление линейной системой при наличии запаздывания в управлении. Сиб.мат.ж., 1977, 18, № 2, с.268-379.

73. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. Москва, Наука, 1983.

74. Розоноэр Л.И. Принцип максимума в теории оптимальных систем 1-Ш. Автоматика и телемеханика, 1959, М 10-12, с.1320-1334, I44I-I458, I561-1578.

75. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М., Наука, 1969.

76. Срочко В.А. К оптимальности особых управлений в системах с последействием. Дифференц.ур-ия, 1976, 12, № 12, с.2275-2278.

77. Срочко В.А. К решению задач оптимального управления с фазовыми ограничениями неравенствами на правом конце. Управляемые системы (Новосибирск), 1979, $ 19, с.65-77.

78. Тадумадзе Т.А. О существовании решения в оптимальных задачах с отклоняющимся аргументом. Сообщения АН Груз.ССР, 1978, 89, № 2, с.314-316.

79. Тадумадзе Т.А. О существовании решения в оптимальных задачах нейтрального типа. Сообщения Ш Груз.ССР, 1980, 97, № I,с.33-37.

80. Тадумадзе Т.А. О существовании решения в оптимальных задачах, описываемых нелинейными дифференциальными функциональными уравнениями. Дифференц.уравн., 1984, 20, № 4, с.597-604.

81. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестник МГУ, сер.мат., мех., астрон., физ, хим., 1959, № 2, с.25-32.

82. Харатишвили Г.Л. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием. ДАН СССР, 1961, № I, с.39-42.

83. Харатишвили Г.Л., Мачаидзе З.А., Маркозашвили Н.И., Тадумадзе TUA. Абстрактная вариационная теория и ее применения к оптимальным задачам с запаздыванием. Тбилиси, Мецниереба, 1973.

84. Харатишвили Т.Л., Тадумадзе Т.А. Нелинейные оптимальные системы управления с переменными запаздываниями. Мат.сборн., 1978, т.107 (149), J& 4(12), с.613-633.

85. Цыкунов A.M. Адаптивное управление объектами с последействием. М., Наука, 1984.

86. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.,Наука,1964.

87. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М., Мир, 1979.

88. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М., Наука, 1978.

89. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., Мир, 1974.

90. Юсифов Б.М., Гасанов К.К. Об оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 1981, № 2, с.129-133.

91. Гулиев В.Ю. Об оптимальных процессах, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом и ограничениями. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 1980, № 5, с.33-37.

92. Гулиев В.Ю. Необходимые условия оптимальности особых управлений для систем с ограничениями. Матер. I Республ.конф. мол. учен, по прикл.матем. и киберн. Баку, 1982, с.27.

93. Гулиев В.Ю. Об оптимизации систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и ограничениями. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мат.наук, 1983, № 2, с.136-138.

94. Гулиев В.Ю. Об оптимальности особых управлений для систем с запаздыванием и ограничением. Краевые задачи механики деформированных сплошных сред и численные методы оптимизации. Тематич.сборн.научн.трудов. Баку, 1984, с.72-76.

95. Вак-*-*- V. . Л мцхсмири ръсиир^е аи ор&уиа?Цго^ ошо/ П з , Д ЗЛ-К .96. Ж'Т. иоиАЖюнЬ /оТ ООИ^О-РгьШ* ъаъа£4е ^¿ме А/Ч . ^&и{хШ, М, р.

96. I^qíÍoímo^ Jî. Opûv**? J-оь SyzfewS

97. Hedeutes M-t Vot^uccètcucce -(rLeeï.y u-uotytc^e ZVH4U>£ Ui&fig. Ceuipui. Meé'UoJx O^Û^fis, fa-iï&HiS,Jl/èlù Venu- Uonoto*, J)*aJ, fteu. 796 <f.

98. Hot^iCiLeiL J- T^ti^ut^ tpitu,*? UHf.ti*'? y.0fflcH+£S. ii.a>\y oLHotaffli.tyWj S%>p Sfî-flO.

99. Votco-ÉS Mo^e fi, ¡¿aoTi 'jzùi . A optCmu+ut zeMcuu? ^Ueu, foi h^e- s^sû^s. - y. JltUh . Anot suj(fifft. (m, yo9M39 f>.

100. J^OtMoiK S.J. Fc&ffofr Tyfe JuHtétbHSpôe£ût^e QWtd ùh 0cpfiicj&£à>t* -¿o -ét^q cfeâiffeetOpéc^e c^tA.i^f furi&nÇ. !9Ï9> ^109. LW. I-éUày efesdtey.tonfid. Qu+ct Sti, ^rtd

101. Qiùmms ///., Croies FJ. Jpl'iAtio» o/€ ùt ¿Wca,oie. -¿&S> (LOiA^S, Ct>td 2r€ cC£>S OL UVL û^-Hù.^Ck. e/e coutleyÇ cx>n >tei<*ïJo ^ .opex. ¿W^At/^JJ-W111. HoocciJctMat RXJUedh. (913 jio,

102. Xg. 3TAATST. cJl/a-tss*^ ^uJciùouzJ-ot vutb lughtlL c/e'Uu?cd>t:h€ -êvtuto/eJUa£e TrOtXict&ts. Jeu, (9H , M ¥9 f. éùl- ¿36.H3. Roxlîm E.O. Jke. txteuce ^¿Wi,--jUîclu^oMaU .1lui 99 j>. 103~ti$*