Системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнения с запаздывающим аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005048702 Л-

Уварова Ирина Алексеевна

СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2012

005048702

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Демиденко Геннадий Владимирович

Официальные оппоненты: Голубятников Владимир Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии паук, главный научный сотрудник Финогенко Иван Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией

Ведущая организация: Федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет" Защита состоится 20 ноября 2012 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет" по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пи-рогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета. .

Автореферат разослан " \ " октября 2012 г. ' ^^^ —~ ^

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Старовойтов В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие математические модели естествознания описываются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности

К таким системам приводят также классические способы построения приближенных решений краевых задач для уравнений с частными производными. Поэтому изучению систем высокой размерности посвящено очень много работ. При этом естественно рассматривать системы (1), как "укороченные" системы счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Построение теории счетных систем дифференциальных уравнений началось с работы А.Н. Тихонова (1934 г.), в которой впервые были доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2). Активные исследования таких систем начались в 50-е годы после работ М.А. Красносельского, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна, К.П. Персидского и др. Во многих работах результаты были получены с использованием методов функционального анализа и "укороченных" систем дифференциальных уравнений вида (1), имеющих высокую размерность.

Другой подход к изучению систем высокой размерности (1) заключается в сведении к исследованию систем обыкновенных дифференциальных уравнений малой размерности. Однако существует ряд задач, которые принципиально не могут быть сведены к системам малой размерности. В частности, к системам очень высокой размерности приводят исследования в биологии. При этом размерность систем может достигать настолько больших величин, что нахождение численных значений компонент решений на компьютере зачастую невозможно. Например, к таким системам относится следующая нелинейная система дифференциальных уравнений, моделирующая многостадийный синтез вещества

¿Хг

МЪхх,...,хп), г = 1,... ,п, п» 1.

(1)

ах'

—х1,х2,...), г =1,2,....

(2)

где

( п-1 т

71 — 1

О

71 — 1

Лп —

71 — 1

т

71- 1

О -в

x(t) = (X! (t), X2(t),..., xn(t))T, F(t, x) = (g(t, xn), 0,..., 0)T.

Процесс синтеза состоит из п стадий, т — суммарное время протекания стадий, в > 0. Компоненты Xj(t) искомой вектор-функции x(t) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса.

Отметим, что процесс синтеза вещества может иметь сотни тысяч промежуточных стадий п. В задаче синтеза вещества биологов прежде всего интересует концентрация хn(t) конечного продукта. Поэтому нужно уметь достаточно точно вычислять последнюю компоненту решения xn(t) при п»1. Отметим также, что систему (3) нельзя рассматривать как "укороченную" систему некоторой счетной системы (2), так как коэффициенты системы являются неограниченными при п -» оо. По этой же причине ни одним уравнением системы (3) нельзя пренебречь, чтобы свести ее к системе меньшей размерности. Построение на компьютере приближенного решения задачи Коши для такой системы представляет серьезную проблему. Поэтому при рассмотрении нелинейной системы (3) с очень большим числом уравнений возникает "проблема большой размерности".

В 2002 г. эта проблема была решена в результате совместной деятельности Г.В. Демиденко, В.А. Лихошвая и С.И. Фадеева. Метод ее решения основан на установленных связях между решениями системы (3) и решениями уравнения с запаздывающим аргументом

^- = -ey(t)+g(t-T,y{t-T)). (4)

at

Предположение о возможных связях было высказано В.А. Лихошваем,

исходя из биологических соображений. Численные расчеты, проведенные С.И. Фадеевым, подтверждали это предположение. Строгое доказательство существования таких связей впервые установлено Г.В. Деми-денко и опубликовано в работе [1] (см. теоремы 1-4). Эти теоремы дают обоснование эффективному методу для численного нахождения концентрации xn(t) конечного продукта при n> 1 с использованием уравнения с запаздывающим аргументом. Именно, для численного нахождения значений xn(t) достаточно приближенно решить начальную задачу для уравнения с запаздывающим аргументом (4), при этом можно оценить погрешность аппроксимации xn(t) ~ y(t) при n» 1.

Система дифференциальных уравнений (3) является упрощенной моделью процесса синтеза. При описании реальных процессов возникают более сложные системы, и для этих систем также необходимо уметь решать описанную выше "проблему большой размерности". Предельные теоремы Г.В. Демиденко послужили основой при получении аналогичных утверждений для различных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. библиографию в обзорной работе [2]).

Отметим также работы H.H. Красовского, Ю.М. Репина, М.Е. Са-луквадзе, в которых при решении задач теории управления были установлены связи между решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздывающим аргументом. В этих работах изучался обратный вопрос об аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с помощью решений специального класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности.

Теоремы о связях решений систем дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнений с запаздывающим аргументом имеют важное теоретическое и прикладное значения.

Цель работы. Основной целью диссертации является установление связей между решениями некоторых классов систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнений с запаздывающим аргументом, получение оценок близости решений, изучение влияния начальных данных для систем на начальные данные для уравнения с запаздывающим аргументом, применение полученных результатов к изучению асимптотических свойств решений.

Основные результаты. Исследовано поведение последовательности, составленной из последних компонент решений серии задач Ко-ши для систем вида (3) с различными начальными условиями, при неограниченном увеличении числа уравнений. Доказано, что эта после-

довательность сходится к решению дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (4). Получены оценки скорости сходимости. Описана зависимость начальных данных для уравнения с запаздывающим аргументом от начальных условий в задаче Коши для систем вида (3) при п » 1. Изучено асимптотическое поведение решений системы (3) и уравнения (4) при £ —» оо.

Рассмотрено два класса систем дифференциальных уравнений высокой размерности. Один из этих классов можно рассматривать как возмущение системы (3) линейными членами, другой — как возмущение системы (3) нелинейными членами. Для этих классов систем установлены связи с уравнением с запаздывающим аргументом (4) и получены оценки близости решений. Для систем из первого класса доказана также обратная предельная теорема об аппроксимации любого решения уравнения с запаздывающим аргументом (4) решениями систем из данного класса.

Методы исследования. При получении результатов были использованы методы теории дифференциально-разностных уравнений, а также методы, предложенные Г.В. Демиденко в цикле работ, посвященных установлению связей между решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнений с запаздывающим аргументом. Вспомогательным аппаратом исследования послужили вейвлеты Хаара и теоремы вложения для соболевских пространств.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Установлены связи между решениями нескольких классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнений с запаздывающим аргументом. Все полученные результаты являются новыми. Они могут быть использованы при исследовании качественных свойств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнений с запаздывающим аргументом, а также при построении приближенных решений систем высокой размерности.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на конференциях: ХЬУШ и ХЫХ Международные научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2010 г., 2011 г.), IX молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2010" (Казань, 2010 г.), IV Международная конференция "Математика, ее приложения и математическое образование" (Улан-Удэ, 2011 г.), Всероссийская конференция по вычис-

лительной математике КВМ-2011 (Новосибирск, 2011 г.), Международная научная конференция "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" (Волгодонск, 2011 г.), Международная конференция "Моделирование, управление и устойчивость" (Украина, Севастополь, 2012 г.).

Основные результаты докладывались на научных семинарах: Общеинститутский математический семинар Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (руководитель: академик Ю.Г. Решетняк), семинар "Математика в приложениях" (руководитель: академик С.К. Годунов), семинар "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель: профессор Г.В. Демиденко), а также на заседании Сибирского математического общества (председатель: чл.-корр. РАН С.С. Гончаров).

Работа выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0127), Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-00035) и Сибирского отделения Российской академии наук (междисциплинарный проект № 80).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из них 3 — в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы. Объем работы — 149 страниц. Список цитируемой литературы содержит 50 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дается краткий обзор литературы и излагаются основные результаты диссертации.

Для изложения дальнейшего материала нам понадобится результат Г.В. Демиденко, опубликованный в [1]. Сформулируем этот результат. Для этого рассмотрим серию задач Коши

с1х

— = Апх + х), г>0, М (5)

х|(=о = а;0, п > по.

Предположим, что функция д(£, г) € С(К2+) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу. Будем неограниченно

увеличивать размерность системы (3) и рассматривать для каждой системы задачу Коши (5) с нулевыми начальными условиями х° = 0. Ясно, что при любом п задача Коши однозначно разрешима на произвольном отрезке [0,Г]. Рассматривая только последнюю компоненту решения каждой из задач Коши, получим последовательность функций (x"(t)} (верхний индекс означает число уравнений в системе, нижний — номер компоненты решения).

Теорема 1 (Г.В. Демиденко). Последовательность {x™(t)} равномерно сходится на любом отрезке

<(t) V(t), n оо.

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом

1 y{t)=0, t & [0,т], у(т + 0) = 0, при этом справедлива оценка

\хп^> ~ 2/WI < ¿77, « > "о,

где константа с > 0 зависит от функции g(t,z), величины Т и параметров т, в.

В первой главе настоящей диссертации рассмотрена последовательность задач Коши (5) для систем вида (3) с ненулевыми начальными условиями. Основная цель главы — описание предельных свойств последовательности при различных начальных данных в (5),

получение оценок скорости сходимости и описание поведения решения при t —> 00.

Первая глава состоит из девяти параграфов. В первых трех параграфах доказываются вспомогательные утверждения, которые используются при доказательстве предельных теорем.

Четвертый параграф первой главы посвящен доказательству предельных теорем для последовательности {x™(t)}, которые являются аналогами предельной теоремы 1. Сформулируем основные результаты, доказанные в этом параграфе.

(6) (7)

Вначале рассмотрим последовательность задач Коши вида (5), предполагая, что векторы начальных данных имеют последнюю компоненту, отличную от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, то есть векторы начальных данных в (5) имеют вид

хп'° = (0,... ,0, а)т. (8)

Неограниченно увеличивая число уравнений и рассматривая только последние компоненты решений каждой из задач Коши вида (5), получим последовательность функций {x£(t)}.

Теорема 1.4.1. Пусть начальные условия в (5) имеют вид (8). Тогда последовательность равномерно сходится на любом от-

резке [0,Г], Т > т:

xn(t) V(t), п-^ со.

Предельная функция y(t) является решением следующей начальной задачи

ly(i)=ae-et, t e [0,т], у(т + 0)=ае~вг, при этом имеет место оценка

max \xl{t)-y{t)\ < п>п0(в,г), (10)

где константа с> 0 не зависит от п.

Рассмотрим последовательность задач Коши вида (5) с начальными данными, имеющими более общий вид. Сформулируем некоторые результаты.

Теорема 1.4.4. Пусть n = ml+l,0<s<m — целое и начальные условия в (5) имеют вид

Хп'° = ..., = а, х]'° =0npuj^sl + l.

Тогда для любого Т > т для последовательности {x"(t)} имеет место сходимость

\\xl{t)-y{t),Lp{0,T)\\ ->0, оо,

предельная функция у(£) принадлежит пространству \¥^(т,Т) и является обобщенным решением начальной задачи

dy(t) dt

= -ey(t) + g(t - t, y[t - r)), t > т,

(П)

y(t) = 0, ¿e[o,^r), y{t) = ae-e(t-sS±T), te^r.r], у(т + 0) =ае'в^т. Из доказательства теоремы 1.4.4 вытекает оценка скорости сходи-

мости.

Теорема 1.4.7. Пусть начальный вектор хп'° в (5) такой, что

j=1

Тогда последовательность {#£(£)} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > т, предельная функция у(£) является решением начальной задачи (6), и имеет место оценка

max |x£(í) - y(t) | < +

te [о

где константы с\, С2 > 0 не зависят от п.

Рассмотрим две последовательности начальных векторов {х"'°} и {хп'°} в (5). Пусть (5"(í)} — последовательность, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (5) с начальными векторами из последовательности {хп,°}. Будем предполагать, что последовательность {x"(í)} является сходящейся в пространстве Lp(0,T)

при этом предельная функция y(t) принадлежит пространству Wp(r, Т) и является обобщенным решением начальной задачи

dy(t) dt

-ey(t)+g{t-T,y(t-T)), t>T,

y{t) = (p{t), t 6 [0,r), y(r + 0) = a.

Аналогично, последовательность {x™(t)}, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (5) с начальными данными хп'°, сходится в Lp(О, Т)

K(t) - m, Ыо, Г)|Н 0, п 00,

к обобщенному решению y(t) € W^ (г, Т) начальной задачи

№ = №), ie[0,r), у{т + 0) = а.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4.8. Пусть начальные данные в задаче Коши (5) имеют

вид

xnfi = хп'° + хп'°.

Тогда для любого Т > т для последовательности (a;™(i)} имеет место сходимость

\\K(t)-y(t),Lp(0,T)\\^0, л ^ оо,

предельная функция y(t) принадлежит пространству Wp(r,T) и является обобщенным решением начальной задачи

I ^Г = -вУЮ+М-т,У&-т)), t>T,

( y{t) = <p(t) + <p(t), te [0,т), y(r + 0) = a -)- a.

В пятом параграфе первой главы изучается поведение решения задачи (5) при t —¥ оо. При этом на параметры задачи накладываются дополнительные ограничения:

О <L<9, (12)

где L — константа Липшица для функции g(t,z). Кроме того считаем, что

ЗМ) = 0. (13)

При этих условиях имеет место теорема.

Теорема 1.5.1. Нулевое решение задачи Коши (5) асимптотически устойчиво и имеют место следующие оценки

к=1

где

к=1

в-Ь 1 , в + ь

5 = шш < —-—, — 1п

2 Ь

}■ (14)

В шестом параграфе при выполнении условий (12) и (13) доказаны аналоги теорем 1.4.1-1.4.8 на полуоси {£ > 0}. Основной результат этого параграфа заключается в следующем.

Теорема 1.6.3. Пусть последовательность начальных векторов {жп,°} в задаче (5) такая, что последовательность составлен-

ная из последних компонент решений задач Коши вида (5), сходится на отрезке [0, Г] для любого Т > т к решению начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом

¿у{1)

— - ^-г^ —, (15)

уЦ) = ф), 4 6 [0,г], у(т 4- 0) = а,

для некоторой кусочно-непрерывной начальной функции Пусть

выполнены условия (12), (13). Тогда при п » 1 справедлива оценка

Е| п

I хк

.п.,01

|К(г)-у(0,£р(о,<х>)|1<

пя(р)/(р+1) '

где константа с > 0 не зависит отп и начального вектора хп'°, функция д(р) имеет вид

1/р, 1 <Р< 2,

я(р) = .

1/2, р> 2.

При этом

КО) - WpV.oo)!! -> 0.

В седьмом параграфе изучена непрерывная зависимость решений уравнения с запаздывающим аргументом (4) от начальных условий.

Теорема 1.7.1. Пусть выполнено условие (12). Пусть также <pi(t), <р2(£) — кусочно-непрерывные функции на отрезке [0,т] с конечным числом точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Пусть yi(t), 2/2(i) — обобщенные решения задач

{ ^r = -eyi(t) + 9(t-T,yj(t-T)), t>r,

l Vj(t) = <Pj(t), t 6 [0,r], yj(r + 0) = aj, где j = 1,2 соответственно. Тогда имеет место оценка

||2/i- y2(t), И^(т,оо)|| < с(К - а2| + - <P2(t), Lp(0, r)||),

где с > 0 — константа, не зависящая от начальных данных <p\(t),

(t) U й\, Ü2-

В следующем параграфе доказана теорема об аппроксимации любого решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом последней компонентой решения системы (3).

Теорема 1.8.1. Пусть y(t) — решение начальной задачи (15) с кусочно-непрерывной начальной функцией <p(t), которая имеет конечное число точек разрыва первого рода. Тогда функция y(t) может быть сколь угодно точно аппроксимирована решениями задачи Коши вида (5) при п>1.

В последнем параграфе с использованием полученных ранее оценок показано, что решение уравнения с запаздывающим аргументом имеет такое же асимптотическое поведение, как функция x™(t).

Теорема 1.9.1. Пусть выполнены условия (12) и (13). Тогда нулевое решение начальной задачи (15) асимптотически устойчиво и имеет место оценка

\y(t)\<ce~5t, t> 0, где показатель 6 > 0 определяется (14).

Вторая глава посвящена изучению связей между решениями системы дифференциальных уравнений высокой размерности

йх

— = Апх + Р(Ь,х), Ь>0, аъ

где

п- 1

п - 1

О

тг-1

п

V

о

'п-1

п—1

о

-в

Яг, £) = (,?(£,£„), о,... ,0)т,

и решениями уравнения с запаздывающим аргументом (4). Эту систему можно рассматривать как возмущение системы (3) линейными членами. Результаты этой главы существенно опираются на результаты главы 1, обобщают их. Вторая глава состоит из четырех параграфов.

Как и ранее, предполагаем, что 9 > 0, функция € С(Ж2+)

ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу. Для коэффициентов т]1 системы выполнены следующие условия

Рассмотрим задачу Коши для этой системы

{(1х

— = Апх + Р(г,х), г>о,

,п ■

1.

(16)

Будем неограниченно увеличивать размерность системы п. При каждом п задача Коши (16) однозначно разрешима на любом отрезке [О, Т]. Рассмотрим последовательность {££(£)}, составленную из последних компонент решений задач Коши вида (16). Как и ранее, верхний индекс

обозначает размерность системы, а нижний — номер компоненты решения.

В первом параграфе доказана следующая теорема. Теорема 2.1.1. Пусть при любом п начальные условия в (16) нулевые. Тогда последовательность {££(£)} равномерно сходится на любом отрезке [О, Г], Т > т:

Xn(t) п-л оо.

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи (6) для уравнения с запаздывающим аргументом и имеет место оценка

max \xl\{t) - y(t)| < cn~1/2 + с max |т" - т\, n> п0(в, т). (17) te[o,r] j=i,...,n-i

Случай ненулевых начальных данных рассмотрен во втором параграфе. В этом параграфе доказаны аналоги теорем 1.4.1-1.4.8. Сформулируем основные результаты.

Теорема 2.2.1. Пусть начальные условия в (16) имеют вид

хп'° = (0,..., 0, а)Т.

Тогда последовательность {£"(£)} равномерно сходится на любом отрезке [О, Т], Т > т:

xZ(t)->y(t), п —^ оо.

Предельная функция y{t) является решением начальной задачи (9), и имеет место оценка (17).

Теорема 2.2.4. Пусть 71 = ml -f~ 1, 0 ^ s < ш — целое и начальные условия в (16) имеют вид

~п,0 п,0 ~п,0\т 0 п, 0 р. -/1,1

х' = (aV ,...,<• ) , xsi+1=a, Xj' = 0 при j ф si + 1.

Тогда для любого Т > т для последовательности {£"(£)} имеет место сходимость

\\xZ(t)-y(t),Lp(0,T)\\->0, п-> оо,

предельная функция y(t) принадлежит пространству Wp(r, Т) и является обобщенным решением начальной задачи (11).

Теорема 2.2.7. Пусть {а;"'0} такая последовательность начальных данных в (5), что последовательность сходится к решению у(Ь) € УЪТ'^т^) начальной задачи

у{£) = ф), ¿б[0,т), у(т + 0) = а.

Тогда последовательность составленная из последних компо-

нент решений задач Коши вида (16) с начальными данными хп,°, также сходится к у(£).

Рассмотрим теперь начальную задачу для уравнения с запаздывающим аргументом

I уф = ¥>(*), «б[0,т), у(т + 0) = а, где функция 1р{Ь) имеет специальный вид:

м 2т

¥>(«) = е~вг ст,к<Рт,к(*М + сое'91, (19)

т=О )с=1

<Рт,к(з) — функции Хаара:

Г 2т/2, 8 6 [(к- 1)2~т,(к- 1/2)2-т), ¥>т,*(я) = < —2т/2, я е [(А - 1/2)2~т, к2~т), У 0, з 0 [(£- 1)2-т,А;2-т),

тёИи{0}, к = 1,2, ...,2т.

Из теорем 1.4.4, 1.4.8 и 2.2.7 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.2.8. Пусть п = 2м+11 + 1. Тогда существует последовательность начальных данных в серии задач Коши вида (16) такая, что при I —э- оо последовательность {х™(£)} сходится

Предельная функция у(Ь) является обобщенным решением начальной задачи (18) с начальной функцией (19). При этом

Третий параграф посвящен изучению непрерывной зависимости решения начальной задачи (18) от начальных данных в случае, если начальная функция ср(£) кусочно-непрерывна на [0, г] и имеет конечное число точек разрыва первого рода. Получены оценки близости решений.

Теорема 2.3.1. Пусть <Р1(Ь), (р2{Ь) — кусочно-непрерывные функции на отрезке [0, г] с конечным числом точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Пусть у\(Ь), у2(£) — обобщенные решения задач

¿УЛ*)

<И

+ - т, у,(4 - г)), г > т,

%(*) = Ы*). 1 € [о.т). УЛТ + 0) = «л

где j = 1,2 соответственно. Тогда имеет место оценка

ШЬ)-У2{Ь),\У^{т,Т)\\ < с(|а1 - а2\ + \\ч>1(1)-у2{г),Ьр{0,т)\\),

где с > 0 — константа, не зависящая от начальных данных ^{Ь), и ах, а2.

В последнем параграфе этой главы доказано, что любое решение задачи (18) может быть аппроксимировано последней компонентой решения задачи (16) при достаточно больших п » 1.

Теорема 2.4.1. Пусть ?/(£) — решение начальной задачи (18) с кусочно-непрерывной начальной функцией </?(£), которая имеет конечное число точек разрыва первого рода. Тогда функция у(Ь) может быть сколь угодно точно аппроксимирована на любом отрезке [0,Т] решениями задачи Коши вида (16) при п 1.

Замечание. В четвертом параграфе так же описан алгоритм построения начального вектора для задачи (16) по начальным данным а, <р(г) задачи (18).

В третьей главе рассмотрена последовательность задач Коши для систем нелинейных дифференциальных уравнений следующего вида

(1X1 Т1 — 1 XI

~Ж = ~ г 1+Р1хТ+9(*М г>0'

п

(¿Х ц

х|4=0 = х°.

х1-1

1+Р^х] = 2,... ,п — 1,

Хп—1

1 + р^х]

(20)

_—__вх

г 1 ^

Эту систему можно рассматривать, как возмущение исходной системы (3) нелинейными членами. Как и ранее, предполагаем, что в > 0, т > О, кроме того

О <pj<p, 7?>7>0, j = l,...,n-l.

Функция g(t,z) 6 C(R2+) неотрицательна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу. Будем считать, что начальные данные для задачи (20) неотрицательны Xj > 0, j = 1,..., п.

В первом параграфе доказывается однозначная разрешимость задачи Коши (20), из которой вытекает, что последовательность (5"(i)}, состоящая из последних компонент решений серии задач Коши (20), определена на любом отрезке [0,Т].

Второй параграф посвящен доказательству предельной теоремы для задачи (20) с нулевыми начальными данными, которая является аналогом теоремы 1. Существенным отличием является утверждение о том, что скорость сходимости i"(t) —> у it), п —» оо, можно оценить следующим образом:

- y{t)\ < Cln-1/2 + с2п~-'1, п>по(0,т,7,р). (21)

В третьем параграфе доказаны предельные теоремы для некоторых наборов ненулевых начальных данных. В частности, доказана следующая теорема.

Теорема 3.3.1. Пусть начальные данные в задаче (20) имеют вид

хп<° = (0,...,0,а)т, а > 0.

Тогда последовательность (5™(i)} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > т:

Xn(t) Vit), п -> оо.

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом (9).

Из доказательства теорем 1.4.1 и 3.3.1 вытекает оценка скорости сходимости вида (21).

Замечание. Отметим интересный факт, вытекающий из оценки (21). А именно, для того, чтобы для заданного е > 0 обеспечить выполнение оценки

Kit) - y(t) I < г, te [0, Т], п > No(e, 7),

при малых 7 и 0 нужно выбирать значительно большие номера Лго(е, 7), чем те, которые вытекают из теоремы 1 в случае невозмущенной системы (3). Впервые этот факт был обнаружен в совместных исследованиях Г.В. Демиденко и Т.В. Котовой в 2004-2005 гг. для систем с линейными возмущениями.

Литература

1. Лихошвай В.А., Фадеев С.И., Демиденко Г.В., Матушкин Ю.Г. Моделирование уравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвления // Сиб. журн. индустр. мат. 2004. Т. 7, № 1. С. 73-94.

2. Демиденко Г.В. О классах систем дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнениях с запаздывающим аргументом // Итоги науки. Юг России. Сер. Математический форум. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. Т. 5. С. 45-56.

Работы автора по теме диссертации

1. Демиденко Г.В., Мельник (Уварова) И.А. Об одном способе аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 528546.

2. Демиденко Г.В., Мельник (Уварова) И.А. О свойствах решений дифференциальных уравнений, моделирующих многостадийный синтез вещества // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2010. Т. 40. С. 114-118.

3. Мельник (Уварова) И. А. Непрерывная зависимость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2010. С. 64.

4. Матвеева И.И., Мельник (Уварова) И.А. О свойствах решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений большой размерности // Новосибирск, 2011. 17 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 261).

5. Мельник (Уварова) И.А. Об одной нелинейной системе дифференциальных уравнений, моделирующей многостадийный синтез вещества // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16, № 5. С. 1254-1259.

6. Мельник (Уварова) И. А. О свойствах решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений, моделирующей многостадийный синтез вещества // Материалы IV Международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование". Ч. 2. Улан-Удэ: Издательство ВСГТУ, 2011. Ч. 2. С. 115-120.

7. Мельник (Уварова) И.А. О свойствах решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений / / Материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференция "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск: Ново-сиб. гос. ун-т, 2011. С. 53.

8. Мельник (Уварова) И.А. О свойствах решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений, моделирующей многостадийный синтез вещества // Математика, ее приложения и математическое образование: Аннотации докладов IV Международной конференции. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2011. С. 42.

9. Мельник (Уварова) И.А. О связях между решениями систем нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздывающим аргументом // Международная научная конференция "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование". Тезисы докладов. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 142-143.

10. Матвеева И.И., Мельник (Уварова) И.А. О свойствах решений одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений большой размерности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 2, С. 312324.

11. Матвеева И.И., Мельник (Уварова) И.А. Предельные свойства решений одного класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности // Международная конференция "Моделирование, управление и устойчивость", посвященная 110-летию Н.Г. Четаева и 80-летию В.М. Матросова. Тезисы докладов. Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. С. 57.

Уварова Ирина Алексеевна

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнения с запаздывающим аргументом

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать Of.-to.Yl. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1.3. Уч.-изд. л. 1.3. Тираж 100 экз.

Заказ №248.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул Пирогова, 2

Введение

Глава 1. Система без возмущений

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Формулы решения задачи Коши

§ 1.3. Свойства функций

§ 1.4. Предельные теоремы на отрезке

§ 1.5. Асимптотическое поведение решений системы.

§ 1.6. Предельные теоремы на полуоси

§ 1.7. Непрерывная зависимость решений уравнения с запаздывающим аргументом

§ 1.8. Обратная теорема на полуоси

§ 1.9. Асимптотическое поведение решений уравнения с запаздывающим аргументом

Глава 2. Система с линейными возмущениями

§ 2.1. Предельная теорема для задачи Коши с нулевыми начальными данными.

§ 2.2. Предельные теоремы для задачи Коши с ненулевыми начальными данными

§ 2.3. Непрерывная зависимость решений уравнений с запаздывающим аргументом

§ 2.4. Аппроксимация решений уравнения с запаздывающим аргументом

Глава 3. Система с нелинейными возмущениями

§ 3.1. Разрешимость задачи Коши на полуоси {£ > 0}

§ 3.2. Предельная теорема для задачи с нулевыми начальными данными

§ 3.3. Предельные теоремы при ненулевых начальных данных . 135 Литература.

Многие математические модели естествознания описываются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности = №,х1,.,хп), г = 1 п» 1. (1)

К таким системам приводят также классические способы построения приближенных решений краевых задач для уравнений с частными производными (например, методы Фурье, Галеркина и т. д.). Поэтому изучению систем высокой размерности (задача Коши, краевые задачи, методы построения решений, качественные свойства решений, теория устойчивости) посвящено очень много работ (см., например, монографии [3,6,20] и имеющуюся в них библиографию). При этом совершенно естественно рассматривать системы (1), как "укороченные" системы счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1х ■ 1,гг2,.), ¿ = 1,2,. (2)

Отметим, что построение теории счетных систем дифференциальных уравнений началось с появления знаменитой работы А.Н. Тихонова [39], в которой впервые были доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2). Активные исследования таких систем начались в 50-е годы после работ М.А. Красносельского, М.Г. Крей-на, С.Г. Крейна, К.П. Персидского и др. (см., например, [6,18,36]). Во многих работах результаты получались с использованием методов функционального анализа и "укороченных" систем дифференциальных уравнений вида (1), имеющих высокую размерность.

Другой подход к изучению систем высокой размерности (1) заключается в сведении к исследованию систем обыкновенных дифференциальных уравнений малой размерности. Однако существует целый ряд важных научных задач, которые принципиально не могут быть сведены к исследованию систем дифференциальных уравнений малой размерности (см., например, [1]). В частности, к системам очень высокой размерности приводят исследования в биологии (см., например, [10,23,42]). При этом размерность систем может достигать настолько больших величин, что нахождение численных значений компонент решений на компьютере •при непосредственном решении системы зачастую невозможно.

Приведем два примера таких систем дифференциальных уравнений, возникающих при моделировании многостадийного синтеза вещества [10, 21]. Общим для этих систем является тот факт, что каждая из них может иметь очень высокую размерность 105, 106 и более).

Вначале рассмотрим следующую почти линейную систему дифференциальных уравнений, моделирующую многостадийный синтез вещества без учета обратимости процесса: где dx ~dt 71 — 1 т п- 1

Ап — Апх + F(t, х), 0 п- 1

3) о о V о п- 1 т

71 — 1 Т 0

-0 x{t) = {xl(t),x2{t),., xn{t))T, Fit, x) = (g(t, xn),0,., 0)T.

Процесс синтеза состоит из п стадий, т — суммарное время протекания стадий. Компоненты хi(t) искомой вектор-функции x(t) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса. Первое нелинейное уравнение системы (3) определяет закон инициации синтеза вещества, последнее уравнение задает закон деградации вещества (параметр в > 0), остальные уравнения характеризуют скорость изменения концентрации вещества на промежуточных стадиях (см. [10]).

Система дифференциальных уравнений (3) является упрощенной моделью синтеза. При описании реальных процессов зачастую возникают нелинейные дифференциальные уравнения, соответствующие промежуточным стадиям. Следующая система дифференциальных уравнений для моделирования многостадийного синтеза вещества без учета обратимости, но с учетом нелинейной динамики процесса, имеет вид

7 = 2,. ,72 — 1, (4) dxn п — 1 х—1 dt где 9 > 0, т, р, 7 > 0, функция g(t, z) неотрицательна (см. [10,22]). Компоненты Xi(t) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса. Очевидно, при р = 0 система (4) совпадает с (3).

Отметим, что процесс синтеза вещества может иметь сотни тысяч промежуточных стадий. Следовательно, уже при изучении модели (3) исследователь сталкивается с серьезными трудностями, поскольку система может иметь огромное число уравнений. Но тогда построение с помощью компьютера приближенного решения задачи Коши для такой системы представляет серьезную проблему.

Следует подчеркнуть, что в задаче синтеза вещества биологов прежде всего интересует концентрация конечного продукта. Поэтому, рассматривая, например, систему (3), нужно уметь достаточно точно вычислять последнюю компоненту решения xn(t) при n ^ 1. Но из вида системы вытекает, что ни одним из ее уравнений пренебречь нельзя. Кроме того, эту систему нельзя рассматривать как "укороченную" некоторой счетной системы (2), так как коэффициенты системы являются неограниченными при п —> оо. Следовательно, при рассмотрении почти линейной системы (3) с очень большим числом уравнений может возникнуть "проблема большой размерностиРазумеется, эта проблема возникает и при решении систем более общего вида (4).

Для системы (3) эта проблема была решена в 2002 г. в результате совместной деятельности Г.В. Демиденко, В.А. Лихошвая и С.И. Фадеева. Метод ее решения основан на установленных связях между решениями системы (3) и решениями уравнения с запаздывающим аргументом. Предположение о возможных связях между последней компонентой решения системы (3) (при g(t,z) = g(z), п » 1) и решением уравнения б было высказано В.А. Лихошваем, исходя из биологических соображений. Численные расчеты, проведенные С.И. Фадеевым для конкретных систем, подтверждали это предположение. Строгое математическое доказательство существования таких связей впервые установлено Г.В. Деми-денко и опубликовано в совместной работе [21] (см. теоремы 1-4). Как отмечено в [9], "с математической точки зрения гипотезу о наличии связей между компонентой xn(t) решения системы (3) и решением уравнения (5) можно было высказать, проводя параллель с исследованиями [19,37,38,48]". В этих работах изучался обратный вопрос об аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с помощью решений специального класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые результаты Г.В. Демиден-ко, поэтому мы дадим их краткое описание.

Для пояснения способа решения отмеченной проблемы для системы (3), рассмотрим серию задач Коши dx . = Anx + F(t,x), t> О, x\t=Q = х°, п> Щ.

Предположим, что функция g(t, z) € С(М^) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу z1) - g(t, z2)| < L\zl - z21, t > 0, z1, z2 e Ш.

Будем неограниченно увеличивать размерность системы (3) и для простоты рассматривать для каждой системы задачу Коши (6) с нулевыми начальными условиями x\t=o = 0. Ясно, что при любом п задача Коши однозначно разрешима на произвольном отрезке [0,Т]. Рассматривая только последнюю компоненту решения каждой из задач Коши, получим последовательность функций {x™{t)} (верхний индекс означает число уравнений в системе, нижний — номер компоненты решения). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (Г.В. Демиденко). Последовательность {x^t)} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т]., Т > т: xnn{t) -)• y(t), п оо.

1 4

Предельная функция y{t) является решением начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом ^ = -9y(t) + g{t - г, y{t - г)), t > г, < y(t) = 0, t е [0,7-], W у(т + 0) = О, при этом справедлива оценка max K(t) - y{t)| < n > n0, (8) где константа с > 0 зависит от функции g(t,z), величины Т и параметров т,

Теорема 1 дает обоснование очень простого, но эффективного метода численного нахождения концентрации конечного продукта xn(t) при 1с использованием уравнения с запаздывающим аргументом. Именно, для численного нахождения значений xn(t) достаточно приближенно решить начальную задачу (7), при этом, учитывая скорость сходимости (8), можно оценить погрешность аппроксимации xn(t) « y(t) при п 1. Отметим, что решение y{t) начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом нетрудно построить, используя метод шагов (см., например, [35,41,44]). Очевидно, чем большее количество стадий п требуется для получения конечного продукта синтеза, тем точнее можно получить результат, следуя этому методу. Отметим, что при не слишком больших значениях п (до порядка 104 —105) достаточно хорошие результаты можно получить, численно решая задачу Коши (6) с использованием стандартных математических пакетов.

Теорема 1 послужила основой при доказательстве ряда предельных теорем для различных классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [7-9,11-15,17,24-34,45-47,50]). Г.В. Демиденко предложил ряд методов для доказательства таких теорем. В частности, некоторые из этих теорем могут быть установлены с использованием простого способа. Его идея заключается в том, чтобы исследуемую систему дифференциальных уравнений = *"(*. 2) (9) I 1 записывать как возмущение исходной системы (3), а затем сравнивать последние компоненты решений задач Коши для систем (3) и (9). Если при неограниченном увеличении числа уравнений из соответствующих оценок вытекает сходимость

КСО-ЗКОНО, п->оо, ге[о,т], (ю) то в силу сформулированной теоремы 1 нахождение приближенных значений последней компоненты решения системы (9) при = 0, п 1, сводится к решению задачи (7).

Согласно такому методу сравнения для получения эффективного способа численного нахождения значений последней компоненты решений систем (9) высокой размерности достаточно установить сходимость (10). В ряде случаев описанный метод позволяет достаточно просто доказывать предельные теоремы для различных классов систем дифференциальных уравнений большой размерности (см., например, [24,25,30]).

Отметим, что описанный выше метод приближенного нахождения концентрации конечного продукта х™(Ь) обобщается на случай ненулевых начальных данных, но для этого нужно доказать соответствующие предельные теоремы. Однако в отличие от нулевых начальных условий здесь возникает интересная особенность, заключающаяся в том, что, вообще говоря, нет равномерной сходимости последовательности но сходимость можно гарантировать в пространстве Ьр(0,Т), 1 < р < оо. При этом предельная функция у{Ь) будет обобщенным решением некоторой начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом, имеющем на промежутке (0, т] разрывы первого рода.

Продемонстрируем это на простом примере, когда вектор начальных данных в задаче Коши (б) имеет первые I компонент, отличных от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, т. е. хп,° = К •., аи 0,. • •, 0)т, щ ф 0, г = 1(И)

Как и ранее, рассмотрим на отрезке [0,Т], Т > т, последовательность функций {я"(£)}> состоящую из последних компонент решений задач вида (6). Справедливо следующее утверждение [46].

Теорема 2. Последовательность {^(¿)} является сходящейся в пространстве Ьр(0,Т), 1 < р < оо:

К(0 - 0, Г)|| 0, п -> оо, (12) при этом предельная функция y(t) принадлежит соболевскому пространству Wp(r,T) и является обобщенным решением начальной задачи ^ = -Ш + 9(t - Г, y(t - г)), t > г, < y(t) = 0, *е[0,т), (13) у(т + 0) = ai Н-----h at.

Принимая во внимание теорему 2, нахождение приближенных значений последней компоненты решения системы (3) при п 1, имеющего начальные условия (11), мы сводим к решению начальной задачи (13). Ясно, что для получения оценки погрешности такой аппроксимации xn(t) ж y(t) достаточно оценить скорость сходимости (12).

В настоящее время имеется большой цикл работ (см. обзарную статью [9]), в которых исследуются различные связи между решениями классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности (1) и дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Настоящая диссертация посвящена изучению таких связей. В работе исследованы связи между решениями системы (3) и уравнения

Ш = -0уУ)+д(г-7-Mt-т)), t > т, (14) в частности, получены новые оценки аппроксимации xn(t) ~ y(t). Также рассмотрены два класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности (1), для которых доказан ряд предельных теорем, устанавливающих связи между их решениями и решениями начальных задач для уравнения (14).

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе настоящей диссертации рассмотрена серия задач Ко-ши (6) для системы (3) при ненулевых начальных условиях. Основная цель главы — описание предельных свойств последовательности при различных начальных данных в (6), получение оценок и описание поведения решения при t —> со.

Первая глава состоит из девяти параграфов. В первом параграфе описывается рассматриваемая система. В следующих двух параграфах доказываются вспомогательные утверждения. Во втором параграфе для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6) приведена эквивалентная ей система интегральных уравнений. В третьем параграфе получен ряд оценок, которые используются при доказательстве предельных теорем.

Четвертый параграф первой главы посвящен доказательству предельных теорем для последовательности {x^it)}. Сформулируем основные результаты, доказанные в этом параграфе. Напомним, что на параметры системы (3) выполнены следующие условия 9 > 0, т > 0, функция g{t,z) £ C(R2b) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу.

Вначале рассмотрим последовательность задач Коши вида (6), предполагая, что векторы начальных данных имеют последнюю компоненту, отличную от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, то есть векторы начальных данных в (6) имеют вид xn\t=o = хп,° = (0,., 0, а)т. (15)

Неограниченно увеличивая число уравнений и рассматривая только последние компоненты решений каждой из задач Коши вида (6), получим последовательность функций }.

Теорема 1.4.1. Пусть начальные условия в (6) имеют вид (15). Тогда последовательность {x™{t)} равномерно сходится на любом отрезке [О ,Т},Т>т: xnn(t) ->• y(t), ть —у оо.

Предельная функция y(t) является решением следующей начальной задачи

- = -Oy(t) + g(t-T,y(t-r)), t>T, < y{t) = ae-et, t€[0,r], (16) У(т + 0) = ае~вт, при этом имеет место оценка max \xnn(t) - y(t)| < n> щ(в, r), (17) где константа c> 0 не зависит от п.

Замечание. По аналогии с теоремой 1.4.1 оценка (8) из теоремы 1 может быть улучшена. А именно, вместо неравенства вида (8) может быть доказано неравенство вида (17).

Рассмотрим последовательность задач Коши вида (6) с другими начальными данными. Справедлив следующий результат.

Теорема 1.4.4. Пусть n = ml + l,Q<s<m — целое и начальные условия в (6) имеют вид xn/+i = a, xf = Onpuj^sl + l.

Тогда для любого Т > г для последовательности имеет место сходимость

K(i)-2/(i),Lp(0,T)||->0, 7i у оо, предельная функция y(t) принадлежит пространству Г) и является обобщенным решением начальной задачи = + g(t-т,y{t-г)), t>r, y(t) = о, t е [о, «ит), y(t) = te(«**r,r],

-v-tr У{т + 0) = ае

Из доказательства этой теоремы вытекает оценка скорости сходимости.

Следствие. В условиях теоремы 1-4-4 пРи п > справедлива оценка х"п{1)-уЦ), ЬГ(Ъ,Т)\\ где ч Г 1/р, 1 < V < 2, я(р) = 1 , (19)

I 1/2, Р > 2, константа с > 0 не зависит от п.

Следующая теорема показывает, что при малых начальных данных последовательность как и в случае нулевого начального вектора хп'° = 0, сходится к решению начальной задачи (7).

Теорема 1.4.7. Пусть начальный вектор хп,° в (6) такой, что ст>0з=1

Тогда последовательность равномерно сходится на любом отрезке [О,Т], Т > т, предельная функция у{{) является решением начальной задачи (7).

Следствие. В условиях теоремы 1.4.7 при п > щ{в,т) справедлива оценка

1ф,т] пк ' чл п1'2 па где константы с\, > 0 не зависят от п.

Возникает естественный вопрос: что можно сказать о сходимости, если начальные данные в задаче Коши (6) имеют более общий вид? Для того чтобы ответить на этот вопрос введем некоторые обозначения. Рассмотрим две последовательности начальных векторов {хп'°} и Пусть (^п(^)} ~ последовательность, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (6) с начальными векторами из последовательности {¿сп'°}. Будем предполагать, что последовательность является сходящейся в пространстве Ьр(О, Т) при этом, предельная функция ?/(£) принадлежит пространству И^(т, Т) и является обобщенным решением начальной задачи у(*) = £(*), te[0,r), < у(г + 0) = а.

Аналогично, последовательность {£"(£)}, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (6) с начальными данными хп,°, сходится в Ьр(О, Т) к обобщенному решению y(t) £ И^(г,Т) начальной задачи ^ = + - г, y(t - г)), t > т, k г/(т + о) = й.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4.8. Пусть начальные данные в задаче Коши (6) имеют

Тогда для любого Т > г для последовательности {#"(£)} имеет место сходимость

Замечание. Из теорем 1.4.7, 1.4.8 следует, что при "малых" возмущениях начальных данных в задаче (6) сходимость последовательности {хп(1)} к решению уравнения с запаздывающим аргументом сохраняется. Однако при малых значениях параметра а > 0 скорость сходимости может значительно замедлиться.

В пятом параграфе первой главы рассматривается поведение решения задачи (6) при £ —> оо. При этом на параметры задачи накладываются дополнительные ограничения: где L — константа Липшица для функции g{t,z). Кроме того считаем, что вид хщ0 gn,о ~п,

О < L < в,

20) рМ) = о.

21)

При этих условиях имеет место теорема.

Теорема 1.5.1. Нулевое решение задачи Коши (6) асимптотически устойчиво и имеют место следующие оценки п к=1 хпМ<с^\х?\е-6\ ¿>0,

А;=1 где х— компоненты начального вектора, Гв-Ь 1 в+Ь\

В шестом параграфе при выполнении условий (20), (21) доказаны аналоги теорем 1.4.1-1.4.8 на полуоси {£ > 0}. Основной результат этого параграфа заключается в следующем.

Теорема 1.6.3. Пусть последовательность начальных векторов {я"'0} в задаче (6) такая, что последовательность {#"(£)}, составленная из последних компонент решений задач Коши вида (6), сходится на отрезке [0,Т], Т > т, к решению начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом ^йГ = + ~ т' ~ т))' 1 > г' у(ь) = ф), *е[о,г], (23) к у (г + 0) = а, для некоторой кусочно-непрерывной начальной функции ц>{Ь). Пусть выполнены условия (20), (21). Тогда прип > по(в,т) справедлива оценка

Е1 п,0| I где константа с > 0 не зависит от п и начального вектора хп'° = • • • функция д(р) имеет вид (19). При этом хпп{1) - у(г), \¥}(т, оо)|| ^ 0, п оо. р

В седьмом параграфе изучена непрерывная зависимость решений уравнения с запаздывающим аргументом (14) от начальных условий.

Теорема 1.7.1. Пусть выполнено условие (20). Пусть также (р\{1), <Р2(£) — кусочно-непрерывные функции на отрезке [0, т] с конечным числом точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Пусть у\{1), у2(¿) — обобщенные решения задач ^ = -0у&) + 9(1 - г, - г)), I > т, < = 0 <*<т, + 0) = а5, где у = 1,2 соответственно. Тогда имеет место оценка

Ыг)-у2{1)^(т^)\\ < с(\а1 -а2\ + \\ipiit) -^(¿),£р(0,т)||), где с > 0 — константа, не зависящая от начальных данных ц>\{Ь), и а\, а2.

В следующем параграфе доказана обратная теорема об аппроксимации любого решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом последней компонентой решения системы (3).

Теорема 1.8.1. Пусть у(Ь) — решение начальной задачи (23) с кусочно-непрерывной начальной функцией которая имеет конечное число точек разрыва первого рода. Тогда функция у(Ь) может быть сколь угодно точно аппроксимирована решениями задачи Коши вида (6) при 71^1.

В последнем параграфе с использованием полученных ранее оценок показано, что решение уравнения с запаздывающим аргументом имеет такое же асимптотическое поведение, как функция

Теорема 1.9.1. Пусть выполнены условия (20) и (21). Тогда нулевое решение начальной задачи (23) асимптотически устойчиво и имеет место оценка

Ш\<се-5\ *>т, где показатель 5 > 0 определяется (22).

Вторая глава посвящена изучению связей между решениями системы дифференциальных уравнений г > о,

24) где

Л-п. п- 1

-71 о о п п- 1 п О п

-п

П — 1

Т, п п-1 о о п 1 т.; п п-1 о

-0 и решений уравнения с запаздывающим аргументом (14). Эту систему можно рассматривать как возмущение системы (3) линейными членами. Результаты этой главы существенно опираются на результаты главы 1, обобщают их. Вторая глава состоит из четырех параграфов.

Как и ранее, предполагаем, что в > О, функция д(г, г) € С{Щ) ограничена и удовлетворяет условию Липшица по г. На коэффициенты т" системы выполнены следующие условия

2 — Т < -, П т,т" > 0, j = l,.,n- 1, р> 0.

Рассмотрим задачу Коши для системы (24)

Их л Апх + Р{г,х), ¿>0, и ж|4=0 = Х°.

25)

Будем неограниченно увеличивать размерность системы п. При каждом п задача Коши (25) однозначно разрешима на любом отрезке [0, Т). Рассмотрим последовательность составленную из последних компонент решений задач Коши вида (25). Как и ранее, верхний индекс обозначает размерность системы, а нижний — номер компоненты решения.

Теорема 2.1.1. Пусть при любом п начальные условия в (25) нулевые. Тогда последовательность {£"(£)} равномерно сходится на любом отрезке [О, Т], Т > т: п

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи (7) для уравнения с запаздывающим аргументом.

Следствие. Имеет место оценка скорости сходимости max | xnn(t) - y(t) | < n> щ(в, г). (26)

Теорема 2.1.1 дает обоснование очень простого метода численного нахождения последней компоненты xn(t) решения системы (24) при 1. А именно, для численного нахождения значений xn{t) достаточно приближенно решить начальную задачу (7). Учитывая скорость сходимости (26), можно оценить погрешность аппроксимации xn(t) « y(t) при п >> 1. Очевидно, чем больше число уравнений п в системе, тем точнее можно получить результат, следуя этому методу.

Первый параграф посвящен доказательству теоремы 2.1.1. В этом параграфе также обсуждается вопрос об однозначной разрешимости задачи Коши (25) с нулевыми начальными данными в случае, если функция g(t,z) является функцией Хила

9{t,z) = —^г, а>0, (3> 0, с > 1.

Случай ненулевых начальных данных рассмотрен во втором параграфе. В этом параграфе доказаны аналоги теорем 1.4.1 - 1.4.8. Сформулируем основные результаты.

Теорема 2.2.1. Пусть начальные условия в (25) имеют вид (0,., 0, а)Т.

Тогда последовательность {£"(£)} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > т:

Xn(t) ~> y(t), 71 —У (X).

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи (16). Следствие. Для скорости сходимости справедлива оценка вида (26).

Теорема 2.2.4. Пусть n = ml + l,0<s<m — целое и начальные условия в (25) имеют вид

Тогда для любого Т > т для последовательности {£"(£)} имеет место сходимость

K(i)-y(i),Lp(0,T)||->0, п У оо, предельная функция y(t) принадлежит пространству Wp(r,T) и является обобщенным решением начальной задачи (18).

Следствие. В условиях теоремы 2.2.4 имеет место оценка скорости сходимости xnn(t)-y(t),Lp(0,T)\\ < п > щ(0,т), где константы с > 0 не зависят от п, функция q(p) задается формулой (19).

Справедлив следующий результат.

Теорема 2.2.7. Пусть {rcn'°} — такая последовательность начальных данных в (6), что последовательность сходится к решению y{t) € Wp(r,T) начальной задачи (23). Тогда последовательность (^п(^)}; составленная из последних компонент решений задач Коши вида (25) с начальными данными xn'Q, также сходится к y(t).

Рассмотрим теперь начальную задачу для уравнения с запаздывающим аргументом (23): = -ey(t) + g(t-T,y(t-T)), t>r, < y(t) = <p{t), i€[0,r), k у(т + 0) = а, где функция <p (t) имеет специальный вид:

М 2т p(t) = e~et cm,Wm,k{tM + с0еЛ (27) m—0 k=1

An,fc(s) — функции Хаара:

Г 2m/2, se[(fe- l)2~m, {k - l/2)2"m), <Pm,k{s) = < —2m/2, s G p - l/2)2~m, k2~m), [ 0, s [{k — l)2-m, k2~m), m G N U {0}, к — 1,2,., 2т, см., например, [2]). Из теорем 1.4.4, 1.4.7 и 2.2.7 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.2.8. Пусть функция y{t) является обобщенным решением начальной задачи (23) с начальной функцией (27). Пусть п = 2M+ll-\-1. Тогда существует последовательность начальных данных в серии задач Коши вида (25) такая, что при I —У со последовательность {x™{t)} сходится xZ(t)-y(t),Lp(0,T)\\^0.

При этом xnn(t)-y{t),Wl(r,T) ||->0.

Третий параграф посвящен изучению непрерывной зависимости решения начальной задачи (23) от начальных данных в случае, если начальная функция (p(t) кусочно-непрерывна на [0,т] и имеет конечное число точек разрыва первого рода. Получены оценки близости решений.

Теорема 2.3.1. Пусть <£>i(i), <£>2СО — кусочно-непрерывные функции на отрезке [0, г] с конечным числом точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Пусть yi(t), y2{t) — обобщенные решения задач ^ = -0yj(t) + g(t - г, yj(t - г)), t > г, < Vj(t) = Cfjit), t€[0,r], , Уз(т + 0) = aj, где j = 1,2 соответственно. Тогда имеет место оценка

I\yi(t) - y2(t),W^r,T)\\ < c(\ai - а2\ + \\^{t) - <p2(t), Lp(0, r)||), где c> 0 — константа, не зависящая от начальных данных tpiit), (p2(t) и а\, а2.

В последнем параграфе этой главы доказано, что любое решение задачи (23) на произвольном отрезке [0, Т] может быть аппроксимировано последней компонентой решения системы (24) при достаточно больших п » 1.

Теорема 2.4.1. Пусть y(t) — решение начальной задачи (23) с кусочно-непрерывной начальной функцией ip(t), которая имеет конечное число точек разрыва первого рода. Тогда функция y(t) может быть сколь угодно точно аппроксимирована на любом отрезке [г, Т] решениями задачи Коши вида (25) при п 1.

Замечание. В четвертом параграфе так же описан алгоритм построения начального вектора для задачи (25) по начальным данным a, (p(t) задачи (23).

В третьей главе рассмотрена задача Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений dx 1 п — 1 Х\ t

77 =--Г";-+ * >0, at т 1 + р\х{

Щ п~ 1 ( % \ • 9 „ Л dt~ т + 1 + р,хуу А» (28) dxn 72 1 Хп—\ ~dt " г 1 + Рп-гх^ " п' ®|t=o = я0.

Эту систему можно рассматривать, как возмущение исходной системы (3) нелинейными членами. Как и ранее, предполагаем, что в > 0, г > 0, кроме того

0 <pj<p, 7j > 7 > 0, j = 1,., 72 - 1.

Функция g(t, 2) Е С(М^~) неотрицательна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица по Будем считать, что начальные данные для задачи (28) неотрицательны Xj > 0, j = 1,., п.

В первом параграфе доказывается однозначная разрешимость задачи Коши (28) с нулевыми данными. Вопрос о существовании решения возникает в случае, если хотя бы один из показателей 7^ не является целым.

Второй параграф посвящен доказательству предельной теоремы для последовательности задач (28) с нулевыми начальными данными.

Теорема 3.2.1. Пусть при любом п начальные условия в (28) нулевые. Тогда последовательность равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > г: x„(t) y(t), 72 -)• 00.

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи (7) для уравнения с запаздывающим аргументом.

Следствие. Имеет место оценка скорости сходимости max \xn(t) - y(t) I < cin1/2 4- c2n~7, n > щ(в, r, 7, p). ig[0,t]

Теорема 3.2.1 является аналогом теоремы 1 для системы с нелинейными возмущениями. Таким образом, для приближенного нахождения значения последней компоненты xn(t) решения задачи (28) при п 1 нужно решить начальную задачу (7) для уравнения с запаздывающим аргументом. Наличие оценки близости решений дает возможность оценить погрешность аппроксимации xn(t) « y(t) при п 1. Очевидно, чем больше число уравнений п в системе, тем точнее можно получить результат.

Замечание. Отметим, интересный факт, касающийся скорости сходимости Xn(t) —> y(t) при п —у оо, вытекающий из теоремы 3.2.1. А именно, для того, чтобы для заданного е > 0 обеспечить выполнение оценки xnn(t)-y(t)\<e, te[Q,T\, n>iV0(e,7), при малых 7 « 0 нужно выбирать значительно большие номера Nq(s, 7), чем те, которые вытекают из теоремы 1 в случае невозмущенной системы (3). Впервые этот факт был обнаружен в совместных исследованиях Г. В. Демиденко и Т. В. Котовой в 2004-2005 гг. для систем с линейными возмущениями (см. [47]).

В следующем параграфе доказаны предельные теоремы для некоторых наборов ненулевых начальных данных. Сформулируем полученные результаты.

Теорема 3.3.1. Пусть начальные данные в задаче (28) имеют вид хп$ = (0,.,0,а)т, а > 0.

Тогда последовательность равномерно сходится на любом отрезке [О ,Т], Т > т: xnn(t) y(t), п ->• оо.

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи (16).

Из теорем 1.4.1 и 3.3.1 получаем очевидное следствие.

Следствие. Справедливо неравенство шах |xl(t) - y{t) I < cin"1/2 + c2n~7, n > n0(6, r, 7, p), tc[U,i J где константы c\, c2 > 0 не зависят от п.

Замечание. Как в случае нулевых данных здесь также значительно замедляется скорость сходимости при малых 7 « 0.

Теорема 3.3.3. Пусть i — фиксировано, начальные данные в (28) имеют вид хп>° = (0, . .,0,аь.,аг-)т, % > 0, .7 = 1,., г.

Тогда последовательность {x™(t)} сходится в пространстве Lp(0,T) для любого Т > г: xnn(t) - y(t), Lp(0,T)|| 0, ть У оо.

Предельная функция y(t) является решением начальной задачи = -9y(t)+g{t-T,y(t-T)), t>r, < V(t) = (ai 4- • • • + ai)e~et, i€[0,r], ^y(r + 0) = (ai + • • • + аг)е~вт. Следствие. В условиях теоремы 3.3.3 справедлива оценка K(t)-y(t),Lp(0,T)|| < + с2п-^, п>щ(в,т,Ър), где функция q(p) имеет вид (19).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14,15,2426,28-33].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Г. В. Демиденко за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

2. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004.

3. Валеев К. Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1974.

4. Ващенко Г. В., Новиков Б. А. Параллельная реализация явного метода Эйлера с контролем точности вычислений // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2011. Т. 4, № 1. С. 70-76.

5. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

7. Демиденко Г. В. Об одном классе систем дифференциальных уравнений и уравнениях с запаздывающим аргументом // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 72-73.

8. Демиденко Г. В. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений больших размеров и уравнения с запаздывающим аргументом //В кн.: Нелинейный анализ и экстремальные задачи. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2008. С. 1-34.

9. Демиденко Г. В. О классах систем дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнениях с запаздывающим аргументом // Итоги науки. Юг России. Сер.: Математический форум. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. Т. 5. С. 45-56.

10. Демиденко Г. В., Колчанов Н. А., Лихошвай В. А., Матушкин Ю. Г., Фадеев С. И. Математическое моделирование регуляторных контуров генных сетей // Журн. выч. матем. матем. физ. 2004. Т. 44, № 12. С. 2276-2295.

11. Демиденко Г. В., Лихошвай В. А. О дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, Я2 3. С. 538-552.

12. Демиденко Г. В., Лихошвай В. А., Котова Т. В., Хропова Ю. Е. Об одном классе систем дифференциальных уравнений и об уравнениях с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 58-68.

13. Демиденко Г. В., Лихошвай В. А., Мудров А. В. О связи между решениями дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и бесконечномерных систем дифференциальных уравнений // Дифф. уравн. 2009. Т. 45, № 1. С. 34-46.

14. Демиденко Г. В., Мельник (Уварова) И. А. Об одном способе аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 528-546.

15. Иванов В. В. Разрешимость задачи Коши с начальными условиями на границе // Сиб. электрон, матем. изв. 2010. Т. 7. С. 487-490.

16. Котова Т. В. О свойствах решения одной системы, моделирующей процесс многостадийного синтеза // Материалы ХЫИ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. С. 97-98.

17. Красносельский М. А., Крейн С. Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Труды семинара по функциональному анализу Воронежского гос. ун-та, вып. 2, 1956, с. 3-23.

18. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. мат. и мех. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716-724.

19. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

20. Лихошвай В. А., Фадеев С. И., Демиденко Г. В., Матушкин Ю. Г. Моделирование уравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвления // Сиб. журн. индустр. мат. 2004. Т. 7, № 1. С. 73-94.

21. Лихошвай В. А., Фадеев С. И., Штокало Д. Н. Об исследовании нелинейных моделей многостадийного синтеза вещества / / Новосибирск, 2010. 37 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 246).

22. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

23. Матвеева И. И., Мельник (Уварова) И. А. О свойствах решений одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений большой размерности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 2, С. 312-324.

24. Матвеева И. И., Мельник (Уварова) И. А. О свойствах решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений большой размерности // Новосибирск, 2011. 17 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 261).

25. Матвеева И. И., Попов А. М. О свойствах решений одной системы, возникающей при моделировании многостадийного синтеза вещества // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 3. С. 86-94.

26. Мельник (Уварова) И. А. Об одной нелинейной системе дифференциальных уравнений, моделирующей многостадийный синтез вещества // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16, № 5. С. 1254-1259.

27. Мудров А. В. О связи систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, вып. 2. С. 57-69.

28. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

29. Персидский К. П. Счетные системы дифференциальных уравнений и устойчивость их решений // Известия АН КазССР. Серия: Математика и механика. 1959. Вып. 7. С. 52-71.

30. Репин Ю. М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. мат. и мех. 1965. Т. 29, вып. 2. С. 226-235.

31. Салуквадзе М.Б. К задаче синтеза оптимального регулятора в линейных системах с запаздыванием, подверженных постоянно действующим возмущениям // Автоматика и телемеханика. 1962. Т. 23, № 12. С. 1595-1601.

32. Тихонов А. Н. Uber unendliche Systeme von Differentialgleichungen // Мат. сб. 1934. Т. 41, вып. 4. С. 551-560.

33. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

34. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

35. Хидиров Б. Н. Об одном подходе к моделированию регуляторных механизмов живых систем // Матем. моделирование. 2004. Т. 16, № 7. С. 77-91.

36. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.

37. Эльсгольц JL Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом., М.: Наука, 1971.

38. Demidenko G. V., Kotova T. V. Limit properties of solutions to one class of systems of differential equations with parameters //J. Anal. Appl. 2010. Vol. 8, no. 2. P. 63-74.

39. Gyori I. Two approximation techniques for functional differential equations // Comput. Math. Appl. 1988. Vol. 16, №. 3. P. 195-214.

40. Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Introduction to the theory and applications of functional-differential equations. Mathematics and its Applications, 463. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

41. Matveeva I. I. On properties of solutions to a system of differential equations with a parameter //J. Anal. Appl. 2009. V. 7, No. 2. P. 7584.