Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Мансимов, Камил Байрамали оглы
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Баку
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РГ6 од
МИНИСТЕРСТВО ОьРАЗОВлКИН АаЬРъАяДдалНиКОк РЕийгБЛИКИ БАКИНСКИМ ЮО'^АРьТВЕННиИ .жИЗьРъИТьТ ;2ЛЕНИ М.о.РА^ЛЗАдЕ
На правах рукописи МАКСИМОВ КАМИЯ БАЙРАМАЛИ ОЩ
НЕОБХОДИМУ" "УЮВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБЫХ ПРОЦЕССОВ В X ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
I их.09- математическая кибернетика. )
<
. АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
I
I !
БАКУ т! .у^.,'
Работа выполнена а Институте кибернетики АН Азербайджана.
Официальные . оппоненты:
доктор физико-математических наук,профессор
' АВДк-оАде к.Р. : доктор физико-математических наук,профессор
ВАСИЛЬЕВ Ф.П. доктор физико-математических п&уя
2ÜAAMjM0B 9.Н. Ведущач организации -шетятут катеий^гка АН
Респубхкяк Ееаорусь. Заггата состоится " о^^" года,
s tH часов на эаседаяйи сяейааайЗйройзкяого совета Д 054.u3.U2. по зияйте Дйсе^рт&тга?» сопсясн-е учено? степени доктора наук при БакинСкса Государстгенном'университете ки. ика.^асулааде v3V0I4o. г.Баку-146,ул.Академика 3,Халклога ,кс. II учебный корпус, аудитории 307. ).
С диссертацией ыежне ознакомиться в библиотеке ЫУ ии. Ц.а.Р&суязаде.
Автореферат разослан " &U " уМ^Мо^ !У94 года.
Учены« секретарь спецаализнрованного совета, доктор фиэика-матеиатичесхих
наук »профессор С ^^ОВ U.A.
ОВЩЛЛ XAFAKTSF/ICÏiiKA РАБОТЫ
л;т:-гг."оность В настоящее врв!«я теория кообхогаг-кг ус-
ловий опт:;.узлькостл парзого поряшта, ослопам результатом которой яядяотся прянгсш -mkcxotí'í Л.С.Пс::?ряг;тга, ;;сгта?о<;ко полно разработана аля раэлг-дпгс ялзссоз гапап оптимального управления система«! с сссрзсотачзкньгл! я с распресвдрнжлг параг/атрами.
Но «ерезяи хсгга необхопянкэ услзз::я схгггаальнссти
лорзэго йар.-.'дка сгггелялт срггл всех аопп'СГ^З";: управлений постатейно бс.тогса "асло упразлггл.1, гопсзггпельньгл s'a оптимальность. Кусе того, ко ксзлгз-ока зоаг-юннссть зцр-отлгн:::: :i5o6xos*/.:nix уо-Г-Сс п спта.-.алькост:.' первого перягяа. Та:п?а сличая, елепул Л.И. Розснаору, tïsskbs*? cccS^nt caynoot?, а соогвзтстзугсггте унразлэ-ктм, впо.'н .чсторт-эс зкрэзжлгтея нсгб'ссгдгл» услсгтга опгю.'аяьгости первого пор'птяа - сссбг~т! упраглож.гГг!.
Sicks, что з ссобсл случае условия опттаалънос-
та тарного пэрлзка rap'.-ot ссой сп/'йрдатзл'льгтП суксл. Это прлзо-яглг к "?сб-.1ос.:-::'ост/'. гл^'чсйгля 'фптер-дэз сптиосъиостн второго поря-ха : », я "зстксстл, s ксслс^огшгл? особого случал с цэльэ гтолучгтп« зополя.'ггалъг'сЯ тксЗсрка^т« с б аогозратзяъ-
нсм' на ппт'.'лгзльностъ.
~~\-;*ость асслелогпкяя ocoílt упра5лг£й:Г- сбуслоалзнз я TP-.; .^-.тс.тгггчсгзсм, ттс' ск : rvcrvjt пркхзгенч«
загачг.?.оп-.Т'агацгп! с сссрй^ото^сл::::;^ и с раенрзае-
Псрггэ р?оультатк в стол j^hpasrsjnnt бкза получен!: ц работал Г.Кздкя, Р.Копта и Г.Ж'арз лрз йрасго'жамзги отгрытеста об.~"с"Л! упрззВ 1Ç63 геру .алл -пгзхи çejî-^accbKoro упраз-*эняв сСйяиовашагя .епжярясйся ca¡3íc?w,~í со ccoSojnsai празш гге •'ne:.: .трг-еяторяп Р.Пабалсаьа? бкз paapcícca'i líci'jft летоз яесяо-
пования особого случая, который одинаково хорош приивнядая как иля открытых, так и тая замкнутых областей управления.
Дискретный аналог этого метода, подучившего название "метоп матричных импульсов", был предложен Р.Габасовш я й.Н.Кирилловой. В зальне&пем теория необходимы.: условий оптимальности особых управления,в такого типа задачах управления достаточно полно была разработана в работах Р.Габасова и ©.М.Карилловой и их учеников, И.Б.Вапнярсяого, В.И.Гурмана, Б.С.Гоха, Д.Г.Дкеяоб-сона, В.А.Дыхты, И.Т.Скородатского я пр.
Важным направление« в теория необходимых условий оптимальности высокого порядка являотся кратерла оптимальности второго порядка при. различных фунхцйональньк и фазовых огракячгшшх.
Существенный вклаа в теорию каобхопиккх' условий оптимальности высокого поряака з обп^гх экстремальных задачах сделан в работах А.А.Милютина, Е.С.Лезатана н Н.П.Ссиоловского. Условия оптимальности второго порядка в задачах управления, описываемых обыкновенными иифферекцяальньш уравнениями с различными ограничениями, получены в работах А.А.Агречева и Р.В.Гашрежязе, 1.Т. Аг;впхова, А.В.Арутвкова и Н.Т.Тыкднского, Дг.Варги, В.В.Гороховика, С.Я.Гороховик, А.В.Дклтрука, В.А.Дубовицкого, В.А.Дыхты, А.И.Калинина, Г.А.Ксокольниковой, А.А.&шзтина, Н.П.Осмоловского и пр.
Как и в случае с принципом шкекыула Понтрягина, после получения различии* критериев оптимальности особых управлений в завачах управления обыкновенный! дакамическими системами, возник »опрос о получения аналогичных результатов в более обцих систе-лах, в частности, в системах с запаздыванием и в задачах управления, описываашв рвзягармг тепами уравнений математической физики.
Результаты, получекшж в атой области в начале семидесятых
годов С.С.Ахиегам, Л.Т.Ащепховым, 0.В.Васильевым, К.К.Гясановык.
О
Б.Максимовым, Т.К.Ыеллкошм, В.И.Суминым, В.А. Зрочко и др., показали нетривигльность предстояыпс исследований и невозможность непосредственного перенесения методов исследования особых управ-пений в обыкновенных динамических системах на системы с запаздыванием и на системы с распределенными параметрами.Стало ясно .что для зывода необходимых условий оптимальности особых управление в более сложных системах надо иметь новые схемы исследования, носяиие ка-1ественно новый .нетрадиционный характер и не являющиеся, простыми шалогами схем исследования особого случая в обыкновенных дин*.-мческих системах.
В дальнейшем в задачах управления системами с запаздыванием [ в системах с распределенными параметрами разными методами был голучен ряд результатов'в работах В.В.Альсег тча, С.С.Ахиева, [.Т.Ащепкова, А.К.Бзфдуковского,О.В.Васяяьева,К.К.Гасанова,В.0.1^-:нева,Л.'Е.Забелло, С. В. Зубарева, Ы.Д.Марданова, Т.К. Мелихова, Б.Ш.Ыор-ухопича,
'ова, М.А;Ягубона 1 др.
Но еае много разделов теории необходимых условий оптимальности торого порздка и,в частности .те~рии особых управлений для задач птяиального упра-ления скстекаии с запаздыванием и в задачах уп-азлеияя системами с распределеннпмя параметрами остаются нер&з-аботанныин.
Исследованиям в ятях о^тастях и поезетекз настоящая диссертационная работа.
Цель работы. Вывг/; и исследование необходимых условий опт-гльности особых управлений и критерия оптимальноста второго грядка для некоторых классов задач управления свстеиаш с сое-;доточенкыми и с распределенными параггетраии с единых позиций.
• - & -
Методы исследования. 3 работе использовав методы математической теории оптимального управления, уравнений математической Физики, теории обыкновенных диЛЛерентшальных (разностных ) уравнений с запаздывающим аргументом.
1.аучная нопиэ.,а. Для задач оптимального управление системами, описчваемтл.?:; обыкновенными -и^еренттиальнши (разностными 1
*
уравнениями с эапэлнваодим аргументом к' гиперболическими уравнениями в частных производных первого' и второго порядка получены-многоточечные' и интегральные необходимые условие оптимальности .ссобнх управлений. •
Последовательно"рассмотрены случаи особы;: в смысле принципа максимума Понтрягина управлений,кваэиособнх управлений и огоб'-л: в класс.гиесксм смысле упоавлени" для всех -пассматоиваегягх классов задач управления.
3 случг э открытости области управления выведены разнообразные необходимые условия оптимальности второго порядка без предположения о вырождении условия "егаг^я.'а-Клебса.
Впервые подучены' необходимые условна оптимальности второго порядка в задачах управления дискретными дву^параметрическими системами,гвл.талимися разностным аналогом систем Гурс?.-Дзрбу.
В задаче управления, описываемо? системе"'' обыкновенных гг/'^е-ренпиальных уравнений с запаздыванием при наличии ^ункмиональнг.тх ограничений типа равенств и неравенств,установлены довольно абпше интегральные и поточечные необходимые условия оптимальности второго порядка, выракенные нейоследственно через параметры задач;;.
Подобны!» результат получен в случае системы Гурса-Дарб". Отдельно рассмотрен случая вкроадениг аналога условия Лечанпра-Клебша.
Гесо..>т;;чгс;?аг и прзк-щчоскчя нвячоть. Используя и раяБИвгг идеи иетсда йрд.песи&йк»,в диссертанта ;;дг зжрокег-э пасс;- со-
дач управления системами с сосредоточекнтл/и и с распределении параметрами ( как: с дискретным, так ц с кепрермЕН?-.»: временем), оазработака единая метогкка зшзодз необходимых услови? оптимальности особы/, (в ток или ином смысле) упразлеии? и критериев оптимальности второго порядка, суть ксторо» заключается в построении конструктивных Формул представление прираления второго порядка (функционалов качества и их исследовании на различных спепиальнчх вариациях управления. .
В результате рс-г.лкзагии преялсгсеннС методики получегг»* нозис ' необходимые условия- оптимальности особу;? управлени* и критерии оптимальности второго порядка, нетривиально усиливавшие и раз-нквхтас.е чэвесткые результата этого направление.
Лолуиеннче критерии оптимальности пред-ьвдяют на управление, яо"сзрителэНое на оптимальность, более гесткие требования. чем трад;гчтсннче ля? таких задач управления условия оптимальности особую управлений,и тем оапозволяет с;пестзекно сузить унсчествс особг.гх удравленил, подозрительных на оптимальность.
Ряд установленных критериев оптимальности позволяют получить такт.е дополнительную ин^оркаттп об управлениях, удовлетворяя' пих условию максимума Пснтрягина бец вировдекия.
Установленные необхолкше условия оптимальности особых управлений носят не только проверочны?' характер, но могут бить и иктслъооогнь- » зичислятальнах процедурах.
Лелучекше, результата .чсгут та'ти пр;::-:г:1ен;;е з различных областях прояснения современно?- теории упразлекия, напргаер, при резении как аналитическими, тан п численными методами задач оптимального управления химическими реакторами, прсйессами суэ-кн,,сорбтаи, десорбтвт газов и т. д.
Апробаяия работа. Осно-вше результаты дипдяртяттипннла рабо-
те докладывались нз сеютарах в Институте кибернетики АН Азербайджана (рук.члек-хорр.АН Азербайджана,проф.Дз.Э.Адлахвердкгву 5 'T960-I99I гг.,в ИК АН Грузии (рук.академик Грузии Г.Л.Харатет-вилп) в 1962,1966 гг.,на семинаре по мктшаксгпм оадачач Санкт-Петербургского ун-та ( рук.проф.В.З.Демьяноз) г 1931 г.,на ссь*янз-ре кафе^рт теоретической кибернетк':и Санкт-Петербургского ун-та (рук.проф.В.А.Ялубович ) в 19о5 г.,на объединенном сеипм^рс пи прсолекам управления ИМ АН Белорггю: т. Белгссукг ерситета (рук. проф.Р.5.Гебасов и проф.М.Кириллова ) в 1900-1962,1965 гг.,на семинаре а ИПМ им.И.Н.Векуа ТГУ (рук.проф. Т.А.Тпдуыаязе) э 1990 г. ка семинаре каф»дры "Прикладная ¡•"гтематггкч" ,-.vih7-a 'рук.проф.А >!. Егоров ) в 1990 г. ,кя сеыгиарс в МГУ Ил. и.&.Лзмгягсоза (руг.прсф. М.С.Пяксльски? и лроф.В.И.Благздатскягс ) в 19Ъо,1-У! гг.,на семинаре в ИЛУ РАН ( рук.проф.В.^.Крстов ) в 1991г.,на семинаре в УдС РАН (рук.проф.А.В.Кр.тютсккй) з 1991г., hs. секянпро я ИК АН Украины (руп.члеп.-ксрр АН Украины,проф.Б.Н.ПаеяичныК ) в 1992г., на Всесоюзной пхоле по теории операторов в функциональных пространствах в 1982г (г.Ыпяск.),на мзздутародном семинаре ИФАК "Применение нелинейного программирования а оптимизации в управлении" г Г966 г.,(г.Тбилиси ),па международной Советско-Польском семинаре "Математические метод--; о::т;г.;.алыюго управлемия и их приложения" в 1959 г. ( г.Мянех),па III Всесоюзной таолэ "Понтригинские чтения" а IS30 г. (г.Ксчерого).
Gf/ьeu и структ^рз рабе-п. Диссертация пзлеедка /.а 275 страггл цза кгпгаоетсморг текста,состоит >;а заделал, трех глаз к списка лз-ературы, г;шпсздзго 254 наименования.
Публикации. Ссногяое содер&иао диссертации опу&ликовано в 21 работах,список которых приведен в конца автореферата.
СОДЕШШ дассЕЛщт
Во введении обосновывается актуальность темы, лается обзор работ, примыкающих к темз диссертации, а делается краткий анализ полученных результатов.
Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена выводу кеобхошсжх усдоетй оптимальности в процессах, огтнсызаемьк системой зт^гркзпагьтагг Ура*нэгпй с запаэяыааЕщка аргументом.
В § I рассматривается задача миншгиэацот ст/нкционала тгта
Камера
Sin) = <p(zcrfh —~та, (i)
на абсолютных непрерывных ретвниях £$) скстенм обыкновенных жфферевдналькых уравнений с запазтгвалем
соотзе'лтчуяцих от^гагпяекккм управлениям U(i) со зна-
;:з заданного ограниченного множества [/cR
(допустимые управления):
' urneUcR ,ыт. (3)
Зпссь /(г, X, i', и) - задатпгая П - мерная вектор-функция, гепрерывнля по совокупности переменных вместе с '•астж.-и произ-зоднкми по X , Ц по srcporo порядка вклгзч-тельно; h {i) < i а данная непрерывно ш:ф^сре;:цирусмзя скалярная функция, причем /i(J-)yO; - непрерывная на Б.^ - начальная вектор-фут:-
(г^>< Tf<.. .< T-^tf*) - заданные точки.
Допустимое управление U{i)^.LcJj,,U>) , явлаиреся репением [оставленной задачи (1)-(3), назовем оптимальным управлением, а оответствупций процесс (z¿(¿), £ (T,U)* АС(7,R") ~
оптимальным ппоцессом.
- ю -
Пусть (и(;с)}ЭС(Ь) _ оптимальное решение задачи (1)-(3). Через -ЬДЧгФ) обозначим произ-
вольный допустимый процесс и введем обозначения:
И{Т,и,у) = у, и) , А^И] хсйу(й0 ~
и({)) , ВД е /м, ийвтлксЬ)),
^ И ^ Нх а ж ф, иф, ^» Ю - Я а1/(х),иЦ)у уШ)).
Звесь ^(Ое/ оэСЛ является решением уравнения
+ 'ЫЩ¿г, {>!:,,
где 0L.it) ~ характеристическая функция отрезка ,2(г)
- функция, обратная к ¡1 (т) . ;
Введем в рассмотрение (/2К& } ^тркчнуа сункцио К {'С, 2) посредством формулы
К , ъ
4- I,) "
+ 5*' [ри,п^)!ииИ Р(!гф,$) * (5) + '(/' а Г) % Ш * /- (//(ЭД%Й ^
"Здесь - (ЛХД ) - матричная функция, являющаяся ре-
шением задачи
Г г{Ът)-С, т? г. ( с - единичная матрица)
При аызопе необхопшьсс' условий оптимальности опнкм из важных моментов является получение сормулы прирацекяя.критерия качества. Ввепение в рассмотрение матричной функции /С¡'"Г, Г;) позволило построить пригонную пля исследования сяещтауз форгуяу приращена« второго нзркика критерия качзства
5-я
с
™0,5 IГд,/[г] ф,в) Д~/Иц,
,1,4. и.
гяе ^ - остаток формулы приращения.
Известно, что пля оптимальности допустимого управления &(■») в задаче (1)-(3) необходимо, чтобы выполнялось условия максимума Понтр.-.г;::-:^
Зпесь и э дальнейшем - произвольная правильная
точка управления и{~) .
Определение I. Допустимое управление ц{{) назовем321' особым в «.коло принципа максимума Донтрягина в задаче (1)-(2), если пля всех г-еиг и эе^,^) А^Н 193 = 0.
Ясно, что в особом случае условие MaKcr.jiyi.ia Понтрягина Т8"' теряет свое содержательное значение и становится непригодным яля выявления неопгкмадьности допустимого управления. Поэтому надо иметь новые необходимые условия оптимальности, "работающие" в особом случае, т.е. способные распознавать неоптимальность особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений.
Построенная формула приращения (7) розволяет вывести разнообразные необходимые' условия оптимальности особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений.
Теооема I. Для опт'.смальности особого в смысле принципа максимума Понтрягина управления 11{Ь~) в задаче (1)-{3) необходимо, чтобы пля любого натурального числа К/1 неравенство
ж) Понтрягин Л.С., Болтянский Е}.Г., Гамкрелипзе Р.В., Мищенко Б.З. Математическая теория оптимальных: процессов. - М.: Наука,1969. - 384 с.
хя) Габасов Р., Кириллова 4.М. Особые оптимальные управления. -М.: Наука, 1973. - 256 с.
т т
, , £-1 4 1 V (9)
выполнялось пля всех ^¡У/0, 2у€ ¿/, В^НцЛ^, I— 1,П2
Таким образом, получена последовательность необходимых условий оптимальности, каждое из которых должно выполняться независимо пруг от прута вдоль особого оптимального процесса.
Критерия оптимальности типа (9) в литературе называют многоточечными услогиягд. оптимальности и они содержат значительно больпе требований к исследуемой на оптимальность особой экстремали, чем традиционные условия оптимальности попобного класса. Это позволяет существенно сузить множество особых управлений., подозрительных на оптимальность.
Отметим, что необхошшыэ условия оптимальности типа (9) пля различных запач управления обыкновенными динамическими системам без запаздывания, используя ыатричниэ импульсы Р.Габасова, получена в работах С.Я.Гороховик, В.В,Гороховика и В.А.Срочко.
Если предполагать, что в задаче (1)-(3) множество [/" выпукло, а у, II) непрерывно дифференцируема по X, и, И по второго порядка вкточительно, то вдоль оптимального процесса должен выполняться линеаризованный принцип максимума:
НцШъ-иШЪъо ,Ъе. и, .
Понятно особых управлений тосно связано с видом необходимого условия оптимальности первого порядка, о вырождении которого иды рзчь. Критерий оптимальности (9) соответствует вырождению прпнцяпа макскыуиа Понтрягина.
Прявзпеи понятие особого управления, связанное с вырождени-
- 13 -
ем линеаризованного принципа максимума.
Определение 2. Если -ля все:; 3- Е II и 95 ;
нцвш-ищ^о, к .
то допустимое управление У.Ц) буаем называть*) кв-зиособым управлением.
Как известно, осоСъте в сжсль принципа максимума Понтряги-на утравя?к*я в случае гладкости У(^.Т,./7,;/) по управлению и вкпуклоста области управлений являются так;-е квазлоеобкми. А обратное, вообще говоря, копер?». Друг;«.;:: словам:, кв&зиособкэ управления уогут и не Слъ особой в смысле пршщипа максимума Лэкгргаъна. Поэтому неоохопиуке условия оптамогьнос.и квазиосо-С:~г. управлений позпол.гст так~д го ."ксгих случаях вкязлять кэсп- )
тималькость тзх аопустшдде лразяепп?., которые без всякого иг-ротметя удовлетворяет условии максимума Поигрягина. Справедлива
Теорема 2. Для оггималькссти кзззкособого управления з задаче (1)-(3) необходимо, чтобы норааснг^ЕО
■¿I \
■.^-полнилось зля всех 2-(г) £ (<"»£/)•
Перагокгтво (Ю) яэлястсл шкгзгральнгм кзобхожола услоеи-е>< оптимальности второго порядка г.тя квазксссбюс уцравленкй. Из него, путем конкретизации , получен ряд просто проверяешь
условий оптимальности.
Опте деление 3. Квазиособое управление Ы& наэезеа иевзя-сссбмм второго порядка, если зля всех с-й V и
Гайасов Р., Кириллова О.М, Особнэ оятиналыме управления, -М.: Наука, 1973. - 256 с.
- 14 -
(5- ~ttWHuu№(lr —U(в)) « Q. Теорема 3. Для оптимальности квазиособого второго порядка управления ¿¿(if) в задаче (1)-(3) необходимо, чтобы для любого
натурального Уп неравенство +
выполнялось для всех ¿¿G U, £¡>9, Bfilt^ij), 1 ^ Т™
Далее в § I рассмотрен случай открытой области управлений. В случае открытости U вдоль олтииального процесса (u'J),X(ty выполняется аналог уравнения Зйлет»
нит~о, эеад)- (12)
Условие оптимальности (12), являясь необходимым условием оптимальности первого порядка, выделяет из множества всех допустимых процессов задачи (Т)-(З) подмножество процессов, подозрительных на оптимальность.
В работе цутем исследования второй вариации функционала качества получены критерии оптимал: ности второго порягша, позволяющие значительно сузить выделенное подмножество процессов.
Теорема 4. Если допустимое управление ¿¿(г-) удовлетворяет условию (12), то для его оптимальности в задаче (1)-(3) необходимо, чтобы неравенство
J г
SS S 8u'ii)Hulillba{i)dU.
ieie ig С13)
выполнялось зля любой
Конкретизация вариации управления Sutf) позволяет из те-
оремн 4 г.случн~ь различи ssra критериев опглальнастл s?oporc поряпка. В частности, пэ неранекзтяа (12) лсгкс еле;;/-:-: многоточечное несбхопимое условие спт/п.-зльнэстк озс&а ь хласе;г-:еском смысле управлений.
Огтрееелоше 4. Управление ££(*} назовем особы; в :слаесп-чеекеч смысле управлением, соли зля зезх 5-3 [f и 2
Теорема 5. Для оптимальности особого в классическом счат-ле упрзвл.гшя lí(i) в задаче С1)-(3) необходимо, что Си зля лебего натурального VI неравенство.
риюяивгееь зля еее>; ?г{¿^ • Теоромъ- 2-5 является погь-л: з случае отсутствия зс.каз-
с«'2 г. кил.
¿ала? рг.есотре.чь: -xvip»;, .прсэсп-лто ерлгне-гг.'.о п
голучеь'«?к результатов - р'-кье, •/¿"jwít:. 2 кс-газ пдргграЗа г -s.t¿;vic izirr.^ü'srcro ^лр^^Т'а
"iníSir^^O-üí?-"'; íes r.'^Tatí-! тт.." r-
;:cra скягь .-ричп; К vy-.-íircr.i (5) с ; iiTpira-n;:» кгс^лъго:', tocaos:-ньм в' теорию оптимального упраг:ло;г:я Р.ГЪЛзозкы.
5 2 пссЕЯцен изучений задачи о .'япсауиэ йуккцхогпга
- % (Щ), ^«Э) с14)
при ограничениях
(16)
uitíeüc^JeT, (l?)
¿Ф «=хсШ)),и&) , -1ет, «ф 4 }
З'пссь (¿^¿г^,...,^) - дважды непрерывно диффе-
ренцируемые функцяи, Ц - открытое множество, а г (г, Х/и, и) непрерывна по совокупности переменных пмест" с частая цроизвои-нкии по х,у,и ао экфого порядка »{иазчительпо.
Для просторы пздажеййй предположим, что эяоль вояусткмого процесса ( ) «ри "всех к введем слсду-
кхцие обозначения
и, р^«> Ии & ^ ни а ^ ^ г НИ,х,у,и>фл)- ^ и,
гяе - является решением
«¿ш=-
Если допустимое управление иЮ оптимально б задача (14) -
(18), то существует вектор Л такой, чго _ ' ' 7 7"
и Iе ^ !Я,1 « 1 ' ЗЛЯ всех »»м-
няется равенство а)
Ни (19)
Услогке (19) является -¡еобхогага»: услог.'.с» спглмалькос?*.'
первого г.;::гяд::а. Лсуто-.з' снс сгрсяячекчуч х-ч-'.'-р»х- "б
;*ггр.гвлсн:'-'>!, гггэзрягельксм н.т> оптн;.галькост;, п. слелов^илг.-но,
зсзьмклст коой'ко&хлгегь £ пзлуче:кссбхоа^..:^ услакФ СПТ:!-
»гальностк второго порядна. ^
Пусть Н{и) - ьлскество ьекторех. с
свой дугах/к, удовлегворяздггзс услоглгс (19),
Положо» к - ! *
- / Е í ' / ' ----
,--(¿,5) — £ (/). Г) А^] ЯА С^)] ¿Г ,
1еотзгм,
■на 6. Для оптимальности допустимого управления иф в
задаче (14)-(18) необходимо, чтобы для всех ,
удовлетворявших условия?'
¡и^тить^^о^, его)
, и ■
■Ьв ъ
выполнялось неравенство
Ыг, Г и'Зи^'Ш'^&^Л&ВиЮ&а? +■ -г .Ч^М«о.
(21)
Как видно, неравенство (21) является интегральным необход"-мы,! условном опжмздькссти зторого порядка, выраженным через т.з-раметры задачи (14)-(13).
Из него, с помощью специального определения , полу-
чен ряд более простых и удобных для яронерки новых условий оптимальности зторого порядка. 3 частности. изучен случай вырождения анагсгз усгсдпк Ясяаядра-КгеСга.
Последний параграф первой главы посвящен выводу необходимые условий оптимальности второго порядка в системах с запаздывари-ем, управляемых г.осредстзсм выбора начальных функтди!,,
Установлены аналоги теорем 1-5 для рассматриваемой запата. Вторая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, по-свящо!п знзозу '.яо&ювияих условий огггаыалъности второго порядгса и нзсдогмгзккз особого случая для яву:; классов дискретных задач управления. •
В 5 I рзссмятркь-аетс;; аагача о ¿.киимуыз Функционала
- С^е^)) (22)
пел
итиср^^&т.
Здесь /' (г, а) - заданная П -мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными произ-водн"зга по X до второго порядка включительно, 11 - натуральное число, ^,•■■■< - заданы, а иф -
I -мерная вектор-функция Со значениями из заданного непустого ограниченного множества ¿7с (допустимое управление).
Считая ( , ) фиксированным попустили процессом, введем следующие обозначения:
-ь V] [г- \{,г)НХх№Р(^) + Р (¿-¡>,
¿ =П7ат. (г,
Здесь Р({,!:)- ( #хЯ)-матричная функция, являвшаяся решением задачи
Определение 5. Если для всех [/.¿еТ,
то Еопустииоа управление Ц(г) будем называть особым в смысле принципа максимума Понтрягина управлением в задаче (22)-(24).
Исследование особых управлений в обыкновенных дискретных СЕсдаах управления фактически началось сразу же после полугения . сервис результатов в непрерывных задачах управления. Оригинальнее результаты з этом направлении были получены Р.Габасовкм и й.М.&фшиоЕой. Из последующих работ отмети,? статьи Л.Т.Ащепкс-ва, К.Б. ТЬрасеыяп, А.й.Калинина,- Л.И.Ыинчэшсо, С.Я.Гороховик.
Нлсколгао 1.й2*.:;гкг, » узловя;: спти:.;аяьносгг: осоо'юс управлений в дискретных системах с запаздывание;/ по состоянию по сих пер ке били получены.
Теорему ч. £сля адоль особого в смысле принципа максимума
Понтрягина управления и(Ь) множество допустимых скоростей сис-
, темы (23) выпукло, то для оптимальности й(е> в задаче (22)-(24) v
необходимо, чтобы кегярснст^т гг-? г.-?
.выполнялось для всех ¿<t) ~
Следствие Г.-'олп вдоль особого з смысле принципа максимума Понтрягина оптимального пр-^шсса ( цф, X{i)) множество допусти- . -•.яле скоростей систем:: (23) гуцглло, то для всех y-S 17 я ^ выполняется нэсазенстао
Условие оптимальности (26) носит поточечный'характер, оно слабее, чем (25), и, как показано з гяссертзшга» при- отсутствия запаздывания совпадает с извогта«®! условхсм Габгсова-Кжетлоао",
.походя из других соображений. Далоо ;:ссле'допанн нз-оптимальность хвазноепбыэ управлении Сисельао рассмотрен случай открытого мкс-сства . ' ~ .
. Теорема р. ¿йлп яштестье [/ открытое, то tun оптаказаности
допустимого процесса { ¿¿{¿у, ) в. аасг.чз {22} -(24) кесохшвсо,
*
чтобы неравенство ii-iit-i. ' '
в№»яиягсс-р, fjrr зег-г: ^S1?.
- 20 -
Разобраны разные частные случаи, позволяющие конкретизировать условие оптимальности (27).
Зо втором параграфе изучается дискретный аналог задачи, рассмотренной в третьем параграфе первой главы.
В § 3 изучаются задачи управления, описываемые разностные аналогом системы Гурса-Дарбу.
Рассматривается задача о минимуме функционала
S(í¿) - (23)
при следующих ограничениях
£= я, * &2Ux)ЗГ+ í). ü(i a:)), sú'0- . жеXилг, гtf f «=£(£>, fe rutí?,
ato,)=¿(rf0). • (30)
Здесь - заданная й -мерная вектор-пунк-
ция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно,
</>(?) £3(х) и - заданные дискретные функции, s. lltf,x) - 2 -мерная вектор-функция со значениями из заданного непустого ограниченного множества Uc.3? (допустимое управление).
Задачи управления типа (28)- '.30) исследонались рядом авторов, которыми получены различные необходимые условия оптимальности первого порядка, изучена вопросы управляемости и пр. Необходимые же условия оптимальности второго порядка в задачах (28) -(30), насколько известно, до сих пор не были получены.
Пусть множество U является открытым. Считая, что (lt{í;z), JFOfyaD ) - фиксированный допустимый процесс, введем следутецие обозначения:
Здесь Rifa - ( йхп )-иатратаая функция (пискрс-тгеЯ
о
аналог функции Римана), являющаяся рваенаем следующей задачи; £ (?, X; Л-/) - /?£, Л; Т, Х-0 £¿[4, Х-О,
Поскольку множество £/ открытое, то вдоль оптимального в ^ задаче (28)-(30) процесса ) выполняется аналог
условия ЭЯлетза
~л условие неотрицательности второй вариации критерия качества:
Неравенство (32), являясь неявны.: необходимы/ условие:.! оптимальности второго порядка, непригодно зля его использования з качестве проверочного условия.
При помощи определенных вариаций управления удалссь из неравенства (32) получить конструктивно проверяемое необходимые ус,-?дня оптимальности зторого порядка. Предполагая, что в системе (30)
=А (¿.Х^р + ^&ЗС.З.и), (23)
(.-¡Г, а-, ?, р,у,и.)*=3 0> + Л иЛр, (34)
полсгнм
- га чч ч
, '¡д.ч1 > • • • .«/ ~ I • / - у
~ 1-.5)//- Л»,а] Я (35)
' л?-с
[ 3 (.Й (г, Л,-^ Д 3) 4-
/v» га
* '¿¡¿(Н-х; 9,ъ)Н & XI к {и I, ь; |' °0)
Ч ' I - в .
522Е212-2- пспу.;г:::.;~го уг.^^с.:.....¿¿..С, цдолле*-
ся условие (31), то плл его олтакальиос'п; к йапкчи (33) ((28)-(30), (34)) нсоОхсг52.5о, чмба кс^ам.«*»
--г, _ ■
2 (^ьЬн^т^-чШт^о (27)
г. = / <»
- - « '
а-,-» . ч |
: (28)
^ зг-х^-м г ■ -
У ( л ■ ** ^ ■«
выполнялось зля всех &(г)€ 7,
Далее, рас гнет? с;г« случаи, :ч>са.;:.як.с?а>
В коиць параграфа г
Иоа-григина уауьодезйй к к-илс • .
глава акссер'.'агка хксьл г. -сг: саг::-
Уййьиого упраггсг;«: скстг.ма,.:п г г.--;;
В § I га?с«аср;!ваа?оя оазача' с
- сгэ)
ггрл ограниченккг
Ц&зОеЕйгД* '¿Лъи^ЫхЩА,}, .(*})
5(V- аф, А еГ«,, «Л ! . . ;
Хр) - 1 € 14. , = (41)
• о
Заесь (0(~и ,..., 7?„j - заяаннзя цпгппь; нспрпретко зглдферен-:;и?уемая скалярная куницал. 7-, - .'1 -мерная
зектор-фукк^ия, кепрерипная по совокупности пэремзннмс. вместе с таетÎ-РЛ-'Ч '/ппчччлт.«,»;.. -, -r^. второго Гя^.ч.::-
V«™, fox,)*. ^ф^у;
г.алят;. СС(-Х) \>. *)('/}•- мзаигате ,7 -мерные- лп.пл^евы ryîn:q:i:. а
iL - 5 -керязя изкеркмая к orjau-лчекпая з 3" зекгор-
ч-унсцчя со ".:¿ ■„•з-;- :'г'ого :;огг/стогг, ограниченного нг.о-
:'зс?ва UczP2 , т.о. ^lY^-')^-,w,?/) (лопуеткгаз упраалште)* Рэсспагрпраттсл :'л1)„
Для PHFoaa HsoC::o~v--r::z условий оятимзльг.ссти пргаэарйтельно построена 5ср;"ула пропстизлекил критерия качества.
Ч- + - грочзваяьккЯ доиус-
Ззеаеа слездсг^ке рбслизчсггля: Я - t>,//(i« [Ш, 'IJ'ixl - ИМ,.-, rV.rVr r'.-r,"1
~ .ViXjry,
•Ь' , ...
, Г П'а- .1 /. , -r T ¡/V, _______-
л - K'W-JV j • ............
.tífÍAS)-» i .
та* ir,« ' '
ггя - п?ггтср-^ун»пг:п сэт?яг.енннк г.ср2гш!нкх, ,
ярл-т-тлпсг резенкем уравнения: к
( - - Xf),..., fo, д -h
+ и y Ь, s)/, [Г,s]aWr. + Г(ïfxjf It,xjc'r4 ] t//{4s)4 '
¿я . ' ► x . ж **
a Ä(¿.Ж.^«s^x^cr.) - ()-иатрячная
являющаяся пешекием интегрального уравнения Вольте^ра ¿х
+ 5)4 Го:,+ Гг, я) 4.
•у * 5 ь
Здесь I « 13Г-характеристические ^нкг'ии обльсте'*
[х Х£']= соответственно
Ьт,
Л = - Г/^) - - II -
-0,5 Ш
-I У " I . .
гге ^ - остаток Формулы приращение
Отметим,«то Формула прирвгсеки* (42) с:'««утв'»то -.тлдааетс« от известных подобь-и: <*>срмул прираяени" лля оадаг.- ^кня (ЗС')~(41) ¡г позволяет получить различные необходимою ; слотам оптимально "тк, избавляя от необходимости построение спепиальк ¡г. Формул прнпалк-ни? критерия кдоес ва в каадом конкретном слу-'ас.
С ег' помощьч.б частности, доказываете? известно;" прилип максимума Поктрягика для рассматриваемо!» в том, что вдоль оптимального в задаче О0)-(41) прзпооса (€'»(¿>2), НС^.-е)) выполняетоя иеоэ-^сти«-
"^десь к з дальнейаем (0.§)бГге.::Лх -прд-,«--.сль»ая
правильная точка упраьлеямд .
-лредедгняе 6. ¿опгсткмае управление назовем ■•.'.оС.ы .. смысле пришила максимума Понтрчгхк» "правлением, если для всех V н =
Исследованием разложения <42.) на пакете специальных игольчатых вариаций управления доказана
Тгоремд 1рг Пусть 1>.[-1,х) - особс в смысле
ппинципа макси-
мума Понтрягин?- оптимальное управление в задаче (39)-( *1). Тогда для любого натурального числа ",п выполняются слепуякцие соотношения
5+
11 •<• *■ 7=!,- о (I О
всех £ Vе«)»
те ш ,
232 Ш^ша +
£ =? Л ^ " * У 0
*
-г
(44)
-ля всех ^
* «... 45 .
Неравенства '43), (41) представляют собой независящие друг тт друга последовательности необходимых усл. вий оптимальности собых в смысле принципа максимума Пснтр.чгина управлений и поэтому позволяют существенно сузить множество сссбкх управления, подозрительных на оптимальность. Из них, в частности, следуют более просто проверяемые необходимее условия оптимальности особью управлений. Например, при Г<1 = 1 из тзорекы Ю слеяуст
Следствие 2. Вдоль оптимального в задаче (39)-(41) особого в смысле принципа максимума Понтрягина процесса неравенства
-й^ът^Ш^,. (46)
выполняется цлк псех « (&,£) X [,£..,
Необходимые условия оптимальности (45), (45) к условие оптимальности, кзлявкцзеск суммой неравенств (45), (4о), о эквивалентных формах разными способами в случае критерия качества вида
« У&НиХгЯ *
получены в работах Л.Т.Ащепкова и 0.3.Васильева, В.П.Сукина.Т.К. Келикова, о.л.Срс«п:о . Но условия оптимальности (43), (44) язл>;-чтся более информативными, чем (45), (46) и, что вйжно, остаются в силе такяе яря их вироятения. Приведен сг-'отзетствудций пример.
Далее изучены частные случа;:, позвояяяцао получита интервальные необходимые условия опздк&Яоиэстщ учатакадие специф;а:у -задачи и поэтому не вытекающие из'общего результата..
Затек рассмотрен случай открытой оолаети управлен;..: к ипор- -вые показаны интегральные необходимые условия оптимальное?;: второго порядка без предположения о вцроздовм» аналога условия -Лс-* жанара-Клебиа.
Из них б частностиполучены многоточечные необходимые условия оптимальности особчх в классическом лшеа» управяеки'..
В конца параграфа выведен;»' ккгегралък^с. н&обхо&додо условия «пккальксста квазкоссбьсс утгоавлон:;:'. при препполотленчк, что ы;;^-взство и выпуклое а - непрерывна по совокупности
пврекожж вквеге. с частныж! произбоанььи по (р,%) .со ьл'оргс порядка включительно
В этоы как следствие из условия кгосг&ука Яонтряги-
»га, следуем яикеарнаовааний яракцик каксимуас.: Б^оль оп**й-:.«<.ко-го процесса ?(1?,а:)) для всех к [бД)^!^}^!-: .2-7)
(.42)
Определение Если для,всех и (0,£)С 1 £.Д.)
то управление U(i,x) назовем .квазиособкм в задача (39) —(41) „
Через обозначим множество
кусочно-непрерывных на - 2 -мерных вектор-функций
со значениями из U . Теорема II. Для оптимальности квазиособого управления з задаче (39)-(41) необходимо выполнение слелу::щих соотношений', ¿fíf
■icig 1 ¿ (50)
■í, i,
i"" j. *
-o -
для ^cex SS Г*,,*,) , ?t{i)EKC2№a,Ífl,U). •
П [щ-и(в,s))afecfc + ■
■2 и ¿ (?г(!1г)-и(&,т})Н„л lettRÍB&d&c/z^Je,*] X
a:e x —í
- n(e,x)) dx. <a,
для всех Эе Ид^д, ?г(х)е /СС2(Г*г и). ■
Заметим, что неравенства (50), (51) сами язляатся источниками получения новых, более просто проЕеряэмкх условий оптимальности квазиособых управлений. Из них, в частности, следует многоточечные необходимые условия оптимальности квазиособых второго порядка управлений.
*
Во втором параграф» главн рассматривается случай .наличия функциональных ограничений типа равенств и неравенств:
SjCüH о, » -о,е * о, v » е+1,ср, (53)
-2b-
где по определена»
• S,(ti) = >Xi),—> ■
Здесь , -заднные скалярные фу-кшк:,
непрерывные по совокупности переменных вместе с частными пропз-ьодиьгл; г.о второго порядка включительно, U -непустое,ограниченное и откритое множество, -непрерывна по совокупности переменных вместе с частными производим;; uo дс втер:го порядка включительно,а остал. ные данные задачи 152)-(оо) удовлетворяют тем условиям гладкости,коториё приведены в 51.
Управление называется допустимая.'., если
еоответстэугаее этому управлению реаение 2систем (ЬЗ) удовлетворяет ограничениям (53).
Считая, что вдоль фиксированного допустимого процесса
при всех S-¡(и) ~ О введем обозначения :
, WfIt,ее] е
а , Я = (Я,, A,,...,
Здесь ^ЙаЗё^хЗ.Я") является решением интегрального уравнения
^v it,л) lit, sio'scr + sVfe-;/
Если -оптимальное управление ь задача (52)-(55>»
то ^тздегиует ЬЁ»ор Я «(Я П9'4 токоГ, -,то
. У »4? . (5 5)
и дал всех (б, S^efr^iM3*»^)
Через o6o3Jíot:s.í мпонество тех векторов Я S Q' ' , которые узозлетБорда условий (5С), (57), и зэ'езем обозначения t
(ii) "t ¡ ¡^ ( m a\ (с,s)
(Ю 9 W (Д) 9 (v.,
^ f-» У11 i' ГгттЛ. /Vf ¿«•»ip.^ a ifY-i«^
у-я "
Тсг.уеуз 12. Zc:r.î оетгаслгпоз jípase?3 зааачз
:52}-(55), со гзл-з процесса ъззгоотдтся неравен-
ÄeAitrt1 ' "
Ш
~f , |7П , -, , ,,
. -, Г 1 t УМА/ Т.т--«!)*-»--* тд ^ihih'V- -Г
С 'Л .
4- ? ù 'rJ) ! ' • п У <, - л _ , r N ,, P — t'A / * «* "ï D'' \ IM—
y V '''Vf. фР fJ V-f ч л. -y -, : '¿/ f/.'Vr - 0. .
/"-'.'Г.' I ¿ i ✓ ,(7'"*, "i,'-' j ¡U ",'. '■ •.'.>? j , - ••* T
¿U ■ J
sc« и L^SKC^IX^W) rvœz, тго
X; , ,1 _ Zj
«í? ^ " ¿o 0
- 30 -
Непосредственным следствием теоремы 12 является олепуещлй критерий оптимальности, препставляиций собо" аналог услоьи.-; Ле-жандра-Клебша для рассматриваемой задач г.
Слелствие 3. Вдоль оптимального в задаче (52)-(55) процесса неравенство
тп ъ?Н™ '
ЯеШ) ut , . . ч .
выполняется для всех ff и
Далее рассмотрен случай вырождения аналога услоЕня Ле;::г.:-;д-
ра-Плебса для рассматриваемой задачи.
Оц^елеше^В. Если для всех Z-Sß*' w (ftS)«^,«/).*!**»*/)
■ ' 7йг» = ' i6T)
> ■ -ЯбЙ(и) . ' V" то кизовеы особа? в классическою смысле уггаглг;д:ем.
Теорема 13. Для того, чтобы особое в классическом смысле
ухрсхяепае злгадачз (52)-ч55) спглмалысс.), кеоо'хсди-
мо выполнение неравенств
min к+/Адэ&г&э](62'
rnhz ь'фт+Йт&М<®>
2лг. все- ¿-С-/? 'и ,0,5) £ ('¿.-wy х Tf4>'Kz,_2ZL
to'rt\ Р'З?-><?, «XF: Ц?У1В,§2 Л. If - At . В § л рассматривается зац<»ча о минимуме ^••-л.'ционала
!f 3c,s(t,x;,,а?««? -f.
+ f fc ^ ..., . +J
X} ■ -h-
тгои ограничениях
{ir^J X f^.ÄVl (65)
i/Ci^Wtf), Г*,>*<3. (66)
Здесь ~ заданная '«,(мерная
вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с
частными производная "по (р, у) по второго порядка включительно, С2($) и Вф - заданные измеримые и ограниченные наГзг^ф] к ,1
1^0 Л Л соответственно вектор-йунетдм, ,
- заданные скалярные Функции, непрерывные по совокупности •лерекенняс вместе с частными производными по вектору состояния до второго порядка включительно, Т^ £ , гу] у
- заданы.
В качестве допустим!« управлений бзре-ся класс изм-римшс и ограгиченных га $ -ё -лерчых взктор-функцкй со зкачени-
4 ь
яуи из заданного непустого и ограниченного множества ¿/с Я . ; .
Пусть _ фиксированный, а (ЗДсе)« с
- произвольный допустимые процессы. Положи!/:
И.г,у,и) -ьр'М3?,+
Здесь рвА) . ^ является
решениями следующей системы интегральнкх уравнения типа Вольтерра. :Т
11 рГ?;+аа Гт,гз -Г3ц'г- 4
' «с г
' —г
где "%? ~ характеристические функция соответст-
венно отрезков Г^д»?}3. Г^»X£3»г *" 1,К.
Для вывода необходимых условий оптимальности препваршеяьяо построена формула, представления приращения критерия качества, отличная от известиях подобных форцул шея запет типа (б4)-(66) к
позволяющая получить ряд многоточечных необходимых условий оптимальности особых в смысле принципа максимума Понтрягика управлений.
Полоким , К 2
Ц-1 ^ "
Здесь , ¿^«»«Я,), /,5 -
являются решениями слепувцей задачи
^(^г^М ЧУ^г^ЗД, - - -Уц&хяI,
{с1, : =1,2- е-лыг-тае матринч ).
Гудение матрицах фунвдЛ -ф,?,«?) , пролило
получить слепшее представление прпроцения критерия качества
'X» о» . _
-4,5 3 5 I А---¡гоХоХо^ ■¿/Л/ ■ , ,
[Г £Г- »0 +
где ^ - остаток формулы приращения.
При помощи формулы (67) показаны иве серии необходимых условий оптимальности.
Теорема 14. Для оптимальности особого в смысле принципа максимума Понтрягкна управления в задаче (64)-(66) необхо-
димо, чтобы зля любого натурального числа т выполнялись следующие соотношения 1П н
4.
Л = ; с ' <7 е
; м
для всех
тп т "
^^-V (Ь9)
■т * , г-/
+2 Т 2 23
для "всех
При гл=1 из теоремы 14 следует
Следствие 4. Если х) особое в смысле принципа максимума Понтрягина управление в задаче (64)-(66), то для его оптимальности необходимо, чтобы для всех и выполнялись неравенства
Л +^/¿[0,5] д^гедкя, '70>
Критерии оптимальности (70), (71) в случае функционала качества
совпгдают с соответствующими результатами О.В.Васильева.
*
Результате ке вытекшкзке ев (6а) ,(65) прк 1<1= 2,3,... ^ лвлкатся более сплънал-: и,что ваано , остается в осле такке при вырожденки условий оптимальности (70),(71) .Приведены пркиеры , потдверздекзяе сказанное . * Затеи , при некоторых дополнительных предпохохеииях на па-
' рамгтры задачи (64) - (65), в рамках предлагаемого подхода по-
лучен ряд новых условий оптимальности для особых в смысле принципа максимума Лонтркгина управлений.
Далее , выведены различные необходимые условия оптимальности второго порядка. Отдельно рассмотрен случа?» гкрождениг кй-лсга условия легсандра - Клейка для рассматриваемо1? задачи.
получены многоточечные необходимые условие ссгсиальностп для особых в классическом смысле управлени?-. В частности .установлен аналог услови^ Габасова - Кирилловой дня задачк ^ (64)-(65).
В конце параграфа исследован ранее не изученный , но важный случай выронденяя яшеарязовакного принципа максвуума Понтр^гн-ка в раесматрзваекой задаче.
йгаедены интегральные необходимые условия опткиальности !
• квазнособих управхедав?.
В закдотали«,пользуясь случаем, выряжаю сбои признательность «58 -корр. АН Азербайджана ,процесс эру да; Э. Ажхсхвердлеву постоянное вяяшаве и поддержка которого всегда псдогелп мне в работе.
Основные результате ДЕсеертацзш опубликованы в следуаднх работах:
..ВансЕгав К.В. Об одной последователностт: необхрдаых условий
оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием // Докл. АН Азерб.ССР. - 1973. - Т. 32, .'."• 10. - С. 8-11.
2. Максимов К.Б. Об одном многоточечном необходимом условии оптимальности в особой случае // Изв. АН Азерб.ССР. Сер.физ.-техн. и матем.наук. - 1978. - 1? 3. - С. 17-20.
3. !"анскмов К.Б. Об озкоЯ схеме исследования особого случая в системах 1^рса-Дарбу // Кзз, АН Азерб.ССР. Сер.физ.-техн. и
- 1581. - Г 2. - С. 100-104.
4. .Максимов К.Б., Ягубов ILA. Об оаноЯ схеме исследования особа: управлений в задаче термякзльного управления // Докл. АН Лззрб.ССР. - 1981. - 10. - С.. 7-Ю:
5. Максимов К.Б. Многоточечные необходимые условия оптимальности явазиособпх упразлекгл // Аатоыгтика и телемеханика. - 1932.
- I? 10. - С. 53-58.
5. "анекмов К.Б, Новые многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием и под-з;ж!алд г.^иг.< когзд« грзекторки // Изв. All Азерб.ССР. Сер. физ.-техн.и катзк.каук. - I9S2. - г? 6. - С. II0-II5. 7. "знсймоб К.Б. Исследование особого случая в нзлик-зЕккх.системах Гурса-Дарбу // Ш копр.молоднх ученых закавказских рэецуС-лик по автоматическому управлению: Тез. докл.. - Тбилиси, Цец-киеребз. - 1932. С. 56-53. j. Максимов К.Б. 05 оптимальности особо: управлений в системах с дифференциальным оператором высокого порядка У УП Всесовз-ная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез.зокл. - Минск, :S82. С. 115.
Максимов К.Б., Ягубов М.А. Об одном способе получения многоточечных условий оптимальности особы:: управлений в задаче тср-' минального управления // Дифферекц. уравнения. - 1933. - J? Ю.
- С. I681-1687.
Ю. Максимов К.Б. Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в квазилинейных системах Гурса-Дарбу // ;!зь. /Л Азерб.ССР. Сер.физ.-техн. и матем.наук. - 1982, -№ 5. - С. Юб-Ш.
11. Мансимов К.Б. Исследование особых процессов в системах с запаздыванием $1№еггпг1а£-7ипс1'юп гудеть апс! ге!аШ ^¿рл.Г933.-Н27~38.
12. Мансимов К.Б. Многоточечные необходимые условия спткг^адьнос-ти особых в классическом смысле управлений в сиез-ема.: с запаздыванием // Дифференц.уравнения. - 1935. - № 3. - С.527
- 530.
А
13. Мансимов К.Б. Об оптимальности управлений, имеющих особые точки в задаче терминального управления // Изв. АН Азерб.ССР Сер.физ.-техн. и матем.наук.- 1935. - 4. - С. 115-119.
14. Мансимов К.Б. Об одной задаче управления химическим реактором// Проблемы автоматического управлений» - Тбидаск; Мецнк-ереба, 1986. С. 63-65.
15. Мансимов К.Б. Особые управления в дискрегнас елстаких с.запаздыванием // Дискретная математика и матекаттезско-е обеспечение ЭВМ. - Баку, 1986. С. '2-51.
16. Максимов К.Б. Об оптимальности квазиосьбых управлангП ь сиг-темах ГУрса-Дарбу // Дифференц.уравнения. - 1986. - )Г» II. -С. 1950-1960.
17. Мансимов К.Б. К оптимальности особых в классическом -.смысле управлений в системах ГУрса-Дарбу // Докл. АН СССР. - 1985.
- Т. 286, № 4. -С. 808-812.
18. Максимов К.Б. Кзазиособш управления в системах с запаздыва-
" нием // Укр.катем.иурн. - 1937. - Р 3. - С. 383-386.
19. Мансимов К.Е. К оптимальности граничных управлений в одноГ.
"" системе с распределенными параметрами // Сообдел. АН ГССР.
- 1987. - T. 128, .'? 3. - G. 469-492.
20. У.аксимсз К.Б. Некоторые необходимые условия оптимальности зля одного класса систем с расгределент'.гл параметрами // Д;;фференц. уравнения. - 1987. - 12.- С. 2IÔ4 -,2167,
21. Мансимоз К.Б. К теории необходимых уелоз;.3 оптимальности з • одной залачэ управления системами с распределенными параметрами // Докл, All СССР. IS3S. - Т. 301, Ï3, - С. 54Ô-550.
22. Максимов К,Б..Ой интегральных необходимых условиях оптимальности второго порядка а системах Гурса-Дарбу при функциональных ограничениях // Всесоюзная гкола "Оптимальнее управление, Геометрия и анализ": Тез.докл. - КемзроЕс, I960. С. £5.
25. №zn$.i<r.ov '¿-S- On the ¿nie^vaS пгсе$г-м'</ second ■jvdev apzLnaàiy amdîiions.U?-ik IFAC YJoi'Kzhoop on sordvo? appta* nonànezy progvamninq cxa' cpùmga- r iiQn.?3i?is,L, USSR,aSstvach - mazcow, "¡968.- p.92. ;
24. Мансжов К.Б. Аналог условия Габасова-Кириллсзсй 'и его усиление лля одного класса систем с распределенными параметрам.: // 7.33. АН Азерб.СС?. Сер.физ.-техн. и матем.наук. - 19Б8.
- .'? 2. - С. 30-36.
25. ;,'анс:;моз К.Б. Условия оптимальности особых управлений для ол-нпго класса дискретных дпухпараметричэских систем // Р.'ежду-гароаный Созэтско-Польский семинар ""атем.методы оптимального управления и их пр/слспс-шя": ¿¿з.дскл. - &ikcx,IS69.
С. 80-6 j..
26. Манеммоэ К.Б. 05 оптимальности осо'ьгх управлений в системах с запазяьшанием, управляемые при помехи начальных функций // Дифф^ренц.уравнения. - Î9S9.- '.'» 6. - С^ XC8I-IC84.
27. Йансимов К.Б. Условия оптимальности второго порядка в системах Гурса-Дарбу при наличии огракичзнай // Дйфференц.уравке-кия. - 1990. - I? 6. - С. 954-965.
28. Максимов К.В. Условия оптимальности квазиособых управлений в одной задаче управления системами с распределенными параметрами // Ш Всесоюзная школа "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия к анализ": Тез.до:сл. - Кемерово, 1990. С. 166.
29. Максимов К.В. Оптимизация очного класса дискретных явухпара-метрических систем // Дифференц. уравнения. - 199^. - №
- С. 359-362.
30. Максимов К.Б. Необходимые усЬо^зия оптимальности второго порядка в системах с запаздыванием при наличии функциопальных ограничений // ХУ1 Всесоюзная ^кола по теор-'к операторов в функциональна пространствах: Т^з. докл. - Ки~ни£; Ноегогоп, 1991. С. 140..
Ж®3 Кл<551 -БАоР^ЗЛИ оглу '
ОИГЯДАЯ ВДАРЭЕКЗ '„с'ХЛаЛЗРИЗДЭ ¡'.!С,,0У':И ПР'Г^СЛЗРИН ОПЖ^Т-ЫГЫ Г4ГН ЗЗРУРИ :!ЭГ1"ЗР '
0l.0I.C9 - ?',^азк кибернетика
$ из их а-ри 1 аз из ] ат елмлэри доктору алимлкк дчрэчзеи алмаг'УЧ7н тэгдим олунмуп" дксссртаси^акын
АВТОРЕФЕРАТЫ.
- ХШСЭ
Эсас квтачзеи Л.С.ПонтрЗадинхн максимум принекпи план епти-ыаялыг *ч*к биринчя тгр-иб зэрурн зэртлгр нээара^эси ¿пгх?эгл$ сягаф отэшл ццарзетмэ мзеэлэлэри тг-ггн артыг ки.*-а^зт год-эр тал. сги эдэ кмэймяэдф. Лвхкн максиму;.! принекпл во онун кзтичэлэри биркнчи тэрткб ээрури щэртлз;р еддугувдан тмуда^этлэ тчдгиг с.-у-
нa!i мкшегн идарэ барздэ крлдуд информаегда верирлэр. из "ни оьла-
• ( 1
ркн мумггн кдарэлэр .синфкядля сечдаос.—|ри. оптималлыга этбпэли и.-а-
. • ': I ' 1
I 1!'( ' .
.-¿¿к 'ртг-т че?: сь бклзр. ¿'-ундэк бааг® 5з"гзк
ти>;а":те га пгЗЬрлк просеслгр бедунча Скркнчи тзргиб -зрурк г-ртл-р чьрлапьф в» Сслаликл^ е:> мзк^нлу маг.и^этини иткрмкг слур. £елз агллар мэхеуси доллар, ./¿гу; вдарол-р яс? ыздссусв ¡«дарзлзр адла-ньр. ГсуД ?Дэк :■"•!, бкр чох тзтбиги кэсзлзлачдг мзЬз м-хсуси ида-р?л;.р ептимал олурлар. Буту к бу де,]илэнгзр опти':-- ндарэетмэ мз-сэлэлэриндэ икни--':: тяртиб ззрури ззртлэр вз г.'ахсуск ицарзлэр учун зэрурк иэртлзр тапил;/асккк чох акту ал едир.
Максимум принскли ила .¡лл'ту Ьаллчкы кими ади ¿.иферёнсиал (сгзрглзр) тэнлиялзр систем;; ило тзевир олуман мухт-злиф оятимнл пдарэетиа ыэсэлэл >рияда мзхсуси идарздэркн оптималлъ.ты учун зэрурк шэртлзр нэззрадэсинин эсаслары ¿аряцклдыгдан сонра у„.-ун нэ-тичэлэрин дала мурэккэб системлзрдэ (кечикмэ^э малик вэ naj л аники параметрли вэ с.) алыныаеы мэсэлэси ме„дана «кеды.
Бу саг.эдэ 70-чи иллордэ атшмьш кэткчзлзр костзрди кя, ади динамик систеклэрэ нолзрзн даг.а vrp. к ¡гг. б ■ олан екгтемлзгдз мохсуск ударэлзри тэдгиг етмэк учун KSj¿¡:¿¡j¿r\¡3 jen:!, гемрк-зк"знгви ха-.р.ук.ер дзгк^ан тздгиг усуллары ¿арадылкалвдыр.
Сонралар кечкнмэ,]? малик скстемлэрдэ вз падканмьа пераметр--;л скстемлэрдэ мухтэл>'5 усулларыя кемз,;:: гл бу вэ ja дикэр мз"-ада мзхсусп цдарзлэрин ептималлыгн учун мухтзлп? зэрурл аэртлгр тлпь'лжядыр. Лахкя vaxcyea гларэлэр нэзэря^гггеяя Ьэлг чох саЬз-лэря кечккзк зугументли вэ лгйлажялт нараметряа системлэр íwi
ЛЛрУЦ'Л'.^.'ЛЩТО.
Тзгдим олун&ь дпссертйсща да бу саяэязрда тэдгпгата he со
дчссертзси^а яекздэ иэгезд бз"зн с,5дглф оатакал tsscpseti» мзеэлэлэри у чти е.]ин mí. . "сдйгг чкяа едергд мзхсусп паллары тодгяг'
t
- 4J -
ctwsk ça cnthmajuilfp yvyh kkhhw. tsprhc 3apypn csprjisp Tanxarzug.
/ÎKCcepTacMja mit jthpramsh, yu îscjuwsh bs s^sCkjjaT cn;ah'j-cLiyiaH n6ap»Tflnp.
JÎHccepTacHjaHvm v« naparpaigaH KfiapsT o-aH Ckphhwk î.scjiiî Ke-vhk3h apryreHT.in .mil-'epehchar. tshjikkjisp cuctewh mis tscehj ojq'hhh npocecjispfls onTKMajunrr ytyh 3spypn ~3pTJisp Tantmiactwa hacp e^yui-MuniflKp.
JlHccepTacHjaHUH yij naparpaifwaH «CapsT onaH kkkhuh $scxh hkh cwmep AMCKpeT onTKMSJi ivtapseTio m3C3ji9Chhr3 usxcycn hsumapnH tsa-inriow hacp cwiyHMyawyp.
EaxiwiaH macaasjisp ywh mtxtsjjkÇ kskhvh .tsptntf 33pypn mspt-jwp AS TanMJnfflm^wp.
Hhmh axhpijhhiî $3cjih najjraH%î«" napaweTpjm fi3"3H CHCTe-urajwa
MsxcycH KHapsjispHH onTHMasjnirsi yviyh 33pypn nspTSsp TamwiwacKHa
hscp o^yHMjUTOT-
Mansimov Kami! Bajramaf i cgiu
Necessary conditions of the singular processes optimally in the problems of the optimal control.
( 01.01.09. - Mathematical Cybernetics )
Abstract cf Dissertation for receiving Ph. D. in Scionca
Currently the theory of the Necessary Conditions Optimality of tho first order, the main resuit of which is the maximum principle of L. S. Pontryagin, is developed completely enough for different kinds of the Optimal Control problems. However, the cases, when the Necessary Conditions of the firs: order optimality degenerate or highlight, among the all admissible controls, a quite large number of controls suspected for optimality. are not rarely occurred.
Admissible controls, along which tha Necessary Conditions of the first order optimality degenerate, are called singular.
Like in cases of the maximum principle of Pontryagin, after obtaining the
different criteria of the singular control optimally in the problems of ordinary dynamic system controls, the question is raised of obtaining the analogical results in more general systems.
The results obtained in tnis field in the early 70-s showed the non triviality of the future research work. Many parts of the theory of the necessary conditions optimality of the second order and, particularly the theories of the Singular Controls for the Optimal Controls problems of systems with lime lags and Optimal Controls Problems of systems with distributive |;arameters. are not developed yet.
The Dissertation work is dedicated to the research in this field. The Dissertation consists of introduction and three parts
Using and developing ideas of the increment methods, the unified methodology to entaii the necessary conditions cf the optimality oi the singular controls and criteria cf the second orcer optimality is develocea in the Dissertation for the wide range prop,ems of the system controls with the concentrated and distributed parameters ( with discrete as -veil as with continues time).
As the result of the proposed mothedoicsy realization for Optimal Control systems problems, described by the ordinary differential i differenced ) equations with the atgutnent with time delays and hyperbolic equations in particular derivative of the first and the .second order, the muiu pointed ana integral necessary conditions cf the singular control optimality, non trivially reinforcing and developing the known results in this ctrecton, are obtained. The necessary conditions of the second crcsr optimally in the problems of controls of discrete two-parametered systems are obtained for :he first time. The integral and pointed necessary conditions cf the second order optimality are established in the control problem of witn time delays and Gcursat-Darboux systems with functional, equality and inequality type, constraints Several established optimality criteria also allow us to obtain the additional information of the controls, which satisfy the requirement of the maximum of Pontryagin without degeneration The established necessary conditions of singular controls optimality do not have only checking function but also can be used in calculation procedures. The obtained results can be applicable to various fields of application of the modern theory of the controls.
