Неоднородные процессы риска тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Основные понятия

1.1 Слабая сходимость последовательностей случайных величин и функций распределения

1.2 Случайные процессы.

1.3 Обобщенные процессы риска

Глава 2. Предельные теоремы для одномерных распределений обобщенных процессов риска в схеме серий

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Теорема переноса для проекций обобщенных процессов риска.

2.4 Частичные обращения теоремы переноса.

2.5 Слабая относительная компактность одномерных распределений обобщенных процессов риска.

2.5.1 Условные обозначения и вспомогательные утверждения

2.5.2 Необходимые и достаточные условия слабой относительной компактности проекций обобщенных процессов риска.

2.6 Критерий слабой сходимости одномерных распределений некоторых обобщенных процессов риска

Глава 3. Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Вспомогательные утверждения.

3.3 Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска в схеме серий.

3.3.1 Общая теорема.

3.3.2 Функциональная центральная предельная теорема для неслучайно центрированных обобщенных процессов риска.

3.3.3 Функциональный закон больших чисел для неслучайно центрированных обобщенных процессов риска.

3.3.4 Сходимость нецентрированных обобщенных процессов риска в пространстве V.

3.4 Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска на бесконечном интервале

3.4.1 Сходимость последовательности случайных процессов, порожденной обобщенным процессом риска.

3.4.2 Функциональные предельные теоремы для "нарастающих" обобщенных процессов риска

Глава 4. Вероятность разорения в неоднородном процессе риска с фиксированным числом выплат

4.1 Предварительные сведения.

4.2 Общий вид формулы для вероятности разорения

4.3 Рекуррентные соотношения для вычисления вероятности разорения.

4.4 Примеры.

4.5 Распределение момента разорения в неоднородной дискретной модели риска.

Краткая история вопроса.

Как известно, в основе всех актуарных задач лежит неоспоримое присутствие случайности. И хотя принято считать, что история страхования берет свое начало со времен возникновения частной собственности, первые попытки применения статистических исследований к вопросам страхования относятся лишь к середине XVII столетия и связаны с именами таких ученых как Дж. Граунт, В. Петти и Э. Галлей. В те времена теория, изучающая случайность, находилась в зачаточном состоянии. Лишь в первой половине XX века терия вероятностей, теория случайных процессов и математическая статистика сформировали достаточную базу для систематического изучения страхования. Появилась теоретически обоснованная возможность изучать не только вопросы безрискового страхования (страхования жизни), но и вопросы, связанные со страхованием "риска потери" части целого (например, дома или автомобиля).

Основы математической теории рискового страхования были заложены в начале прошлого века и связаны с именами Г. Крамера и Ф. Лундберга (см. работы (Lundberg, 1903), (Lundberg, 1926), (Cramer, 1930)), кроме того, подробное описание математических методов теории риска можно найти в монографиях (Seal, 1969), (Biihlmann, 1970), (Beard, Pentikainen, Pesonen, 1978), (Gerber, 1979), (Teugels, 1985), (Bowers et al., 1986), (Grandell, 1992), (Panjer, Willmot, 1992), (Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994), (Бенинг, Королев, 2000b). В рамках этой теории выделились две основные модели страхования:

• модель индивидуального риска (по терминологии (Cramer, 1955), (Bowers et al., 1986), (Panjer, Willmot, 1992)) или статическая модель страхования (по терминологии (Ротарь, Бенинг, 1994)) описывает ситуацию, в которой рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель), сформированная единовременно, страховые премии собраны в момент формирования портфеля, срок действия всех договоров страхования одинаков, и в течение этого срока происходят страховые события, приводящие к страховым выплатам (подробнее см. (Шоргин, 1997) и (Шоргин, 1998));

• модель коллективного риска (по терминологии (Cramer, 1955), (Bowers et al., 1986), (Panjer, Willmot, 1992)) или динамическая модель страхования (по терминологии (Ротарь, Бенинг, 1994)), в которой предполагается, что договоры страхования заключаются страховщиком в моменты времени, образующие некоторый случайный процесс, каждый из договоров имеет свою собственную длительность, и в течение времени действия этого договора могут происходить страховые события, приводящие к убыткам страховой компании (страховщика). Такая модель может рассматриваться как на конечном, так и на бесконечном интервале времени.

Основным объектом изучения в рамках динамической модели риска является так называемый процесс риска — случайный процесс, описывающий поведение во времени денежного резерва страховой компании. Обычно для каждого фиксированного момента времени предполагается, что проекция такого процесса представляет из себя сумму начального капитала страховой компании, суммарной страховой премии, поступившей на счет страховой компании, и суммарных страховых выплат, взятых со знаком "минус". Более полное описание динамической модели риска можно найти в работах (Cramer, 1955), (Andersen, 1957).

Существует широкий круг задач, связанных с изучением процессов риска и так или иначе дающих ответ на вопрос о безопасности бизнеса. Среди них особо стоит отметить такие направления как вычисление или аналитическое оценивание вероятности разорения, являющиеся основными задачами так называемой "теории разорения" (ruin theory); построение аппроксимаций для распределения суммарных страховых выплат; оптимизация параметров страховой деятельности (начального капитала, страховых тарифов и тому подобное). Эти задачи всесторонне описаны в книгах (Beard, Pentika-inen, Pesonen, 1978), (Gerber, 1979), (Bowers et al., 1986), (Grandell, 1992), (Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994), (Asmussen, 1997), (Em-brechts, Kliippelberg, Micosch, 1998), (Rolski et al., 1999), (Bening, Korolev, 2002).

В рамках построения аппроксимаций для распределений суммарных страховых выплат и резерва страховой компании большое количество работ посвящено проблеме диффузионной аппроксимации, при которой процесс риска приближается гауссовским, в частности, винеровским процессом. Удобство таких аппроксимаций объясняется всесторонней развитостью теории гауссовских процессов (см., например, (Ибрагимов, Розанов, 1970), (Adler, 1990), (Lifshits, 1995), (Piterbarg, 1996)).

Уже в 1940-м году Г. Хадвигер (Hadwiger, 1940) сравнивал процесс риска (с дискретным временем) с диффузионным процессом, но методы слабой сходимости случайных процессов впервые были применены к теории риска лишь в статье (Iglehart, 1969). В настоящее время в теории страхования существует большое количество работ, посвященных диффузионным аппроксимациям. Упомянем лишь некоторые из них: (Grandell, 1977), (Schmidli, 1994а), (Schmidli, 1994b), (Hpjgaard, Taksar, 1998), (Bulinski, Vashevnik, 2002).

Особый интерес представляет исследование моделей риска, допускающих "очень большие" выплаты (large claims, extremal events). В подобных моделях предполагается, что распределения страховых требований имеют тяжелые хвосты. Среди работ, посвященных данной проблематике, имеет смысл отметить следующие публикации, в которых, в частности, изучается предельное поведение процессов "экстремального" риска: (Embrechts, Schmidli, 1994), (Furrer, Michna, Weron, 1997), (Embrechts, Kliippelberg, Mikosch, 1998).

Многие работы теории случайных процессов посвящены так называемым автомодельным (self-similar) процессам, распределения которых инвариантны по времени при подходящем масштабировании, в частности, все одномерные распределения таких процессов определяются распределением проекции процесса в заданной точке. Автомодельными являются любые процессы Леви, в том числе и вине-ровский процесс. Автомодельным процессам (в том числе и асимптотической проблематике для них) посвящены, например, работы (Kesten, Spitzer, 1979), (Sato, 1991), (Barndorff-Nielsen, Perez-Abreu, 1998), (Burnecki, 1998), (Michna, 1998), (Burnecki, 1999), (Burnecki, 2000), (Embrechts, Maejima, 2000).

Наиболее глубокие результаты получены для модели Крамера-Лундберга, также называемой классическим процессом риска. В рамках такой модели предполагается, что доход страховой компании линеен по времени, страховые требования независимы и имеют одинаковое распределение, а стохастически независимый от размеров выплат процесс поступления требований является однородным пуассоновским. Применение пуассоновского процесса как с практической, так и с теоретической точек зрения обсуждалось в монографиях (Cramer, 1930), (Сох, Lewis, 1966), (Biihlmann, 1970), (Cin-lar, 1975), (Gnedenko, Korolev, 1996), (Bening, Korolev, 2002), кроме того, существует множество работ, посвященных применению пуассоновского процесса в страховой математике (см., например, (Beard, Pentikainen, Pesonen, 1978) и (Seal, 1983)).

Классический процесс риска приводит к очень красивым результатам, связанным с вероятностью разорения, таким, как, например, неравенство Лундберга или теорема Крамера-Лундберга (см., например, (Cramer, 1955), (Lundberg, 1964), (Beard, Pentikainen, Pesonen, 1978), (Grandell, 1992)). Однако красота этих результатов достигается за счет очень сильных модельных предположений, например, однородности пуассоновского потока страховых выплат. В то же время с практической точки зрения эта ситуация представляется не очень реальной, так как всегда надо допускать возможность расширения (или наоборот, сворачивания) бизнеса. Тем самым мы приходим к необходимости рассматривать (вообще говоря, случайные) флуктуации размера портфеля или, что фактически то же самое, флуктуации интенсивности поступления страховых премий. С другой стороны, очевидно, что надо допускать также и колебания интенсивности потока страховых выплат. Например, при страховании автотранспорта или страховании от пожара явно выделяются сезонные колебания интенсивности потока выплат. Таким образом, мы приходим к необходимости учитывать (вообще говоря, случайные) флуктуации риска (см., например, (Seal, 1983)). Некоторые обобщения результатов, полученных для классического процесса риска, были опубликованы в работах (Bjork, Grandell, 1988), (Grandell, 1992), (Schmidli, 1996) и других. В этих работах рассматривается ситуация, при которой поступление страховых требований описывается дважды стохастическим пуассоновским процессом, иначе называемым процессом Кокса (см., например, (Сох, 1955), (Bartlett, 1963), (Grandell, 1971), (Grandell, 1971/72), (Grandell, 1976)).

Существуют и другие обобщения классической модели риска. Так, например, С. Асмуссен и С. Петерсен (Asmussen, Petersen, 1988) расширили классическую модель на случай, когда премии могут зависеть от величины резерва компании, и получили выражение для вероятности разорения в такой модели; Т. Шейке в (Scheike, 1992) рассмотрел процесс риска, у которого моменты и величины страховых требований зависят от предыстории, и установил некоторые свойства распределений таких процессов.

Одной из моделей, учитывающих одновременно флуктуации портфеля и риска, является так называемый обобщенный процесс риска (его строгое определение будет дано в разделе 1.3). В обобщенном процессе риска поступление страховых требований описывается процессом Кокса, а процесс поступления премий определяется управляющим процессом для этого процесса Кокса. Подробное описание обобщенных процессов риска приводится в монографиях (Бенинг, Королев, 2000а), (Bening, Korolev, 2002).

Научная актуальность и новизна диссертации.

Как известно, страхование является одним из важнейших экономических механизмов стабилизации. Слияние методов из различных теорий (и, прежде всего, различных разделов теории вероятностей) привело к созданию полнокровной ветви науки, называемой актуарной (страховой) математикой. К методическому ядру этой науки относится теория риска, рассматривающая вопросы функционирования страховой компании с вероятностной точки зрения. Представленная работа полностью относится к теории риска и связана с моделью коллективного риска.

Основные результаты этой работы представляют собой предельные теоремы, в том числе и функциональные, и распространяют известные утверждения из теории случайного суммирования (подробное изложение которых дано, например, в монографиях (Круглов, Королев, 1990), (Gnedenko, Korolev, 1996), (Bening, Korolev, 2002)) на обобщенные процессы риска. В частности, в диссертации доказана теорема переноса для проекций обобщенных процессов риска, приведены ее частичные обращения. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости проекций обобщенных процессов риска. Особенностью представленных в диссертации результатов, отличающей их от предшествующих, является то обстоятельство, что предложенные в диссертации теоремы для обобщенных процессов риска доказаны в схеме серий. Это позволяет расширить и сделать существенно более гибкой возможность применения полученных результатов как для дальнейших теоретических изысканий, так и для практического использования. В частности, впервые доказана функциональная теорема переноса для обобщенных процессов риска и сформулированы функциональные аналоги центральной предельной теоремы и закона больших чисел для обобщенных процессов риска в схеме серий. Также приведены удобные для практической реализации формулы для вероятности разорения в неоднородном процессе риска с фиксированным числом выплат.

Достоверность результатов и методика исследования.

Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства.

В работе используются методы и результаты теории вероятностей, теории случайных процессов и функционального анализа. В основе большинства доказательств слабой сходимости лежат метод характеристических функций и метод доказательства функциональных предельных теорем, основанный на теореме Ю. В. Прохорова (см. (Прохоров, 1956)). Ключевую роль в диссертации играет теорема переноса 2.3.1, доказанная в главе 2.

Апробация работы.

Основные результаты представленной диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам в Самаре, Россия (1999 г.), на Первом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (летняя сессия) в Петрозаводске, Россия (2000 г.), на Первом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) в Сочи, Россия (2000 г.), на XXI Международном семинаре по проблемам устойчивости для стохастических моделей в Эгере, Венгрия (2001 г.), на XXXI Всепольской конференции по приложениям математики в Закопане, Польша (2002 г.), на XXII Международном семинаре по проблемам устойчивости для стохастических моделей в Варне, Болгария (2002 г.), на Международной конференции, посвященной памяти Б. В. Гнеденко в Киеве, Украина (2002 г.), на XXIII Международном семинаре по проблемам устойчивости для стохастических моделей в Памплоне, Испания (2003 г.), а также на семинарах кафедры математической статистики факультета ВМиК, МГУ им. М. В. Ломоносова.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях (Виноградов, Кудрявцев, 2000а), (Королев, Кудрявцев, 2000), (Бенинг,

Королев, Кудрявцев, 2001), (Королев, Кудрявцев, 2003а), (Королев, Кудрявцев, 2003b), (Korolev, Kudryavtsev, 2003с) и тезисах докладов (Виноградов, Кудрявцев, 1999), (Бенинг, Королев, Кудрявцев, 2000), (Виноградов, Кудрявцев, 2000b), (Кудрявцев, 2000), (Korolev, Kudryavtsev, 2002а), (Korolev, Kudryavtsev, 2002b), (Korolev, Kudryavtsev, 2002c), (Korolev, Kudryavtsev, 2003a), (Korolev, Kudryavtsev, 2003b).

Построение и краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Е., Королев В. Ю. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска. — Обозрение прикл. и промышл. математики. Сер. "Финансовая и страховая математика", 1998, т. 5, вып. 1, с. 116-133.

2. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Обобщенные процессы риска. — М.: МАКС-Пресс, 2000, 194 с.

3. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Введение в математическую теорию риска. М.: МАКС-Пресс, 2000, 184 с.

4. Бенинг В. Е., Королев В. Ю., Кудрявцев А. А. О вычислении доверительных интервалов для вероятности разорения в обобщенном процессе риска. — Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, Вычисл. матем. и киберн., 2001, №3, с. 32-39.

5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: "Наука", 1977, 351с.

6. Виноградов О. П. Вероятность разорения страховой компании в случае, когда интервалы между моментами выплат имеют неодинаковые показательные распределения. — Теория вероятн. и ее примен., 1998, т. 43, в. 2, с. 352-357.

7. Виноградов О. П., Кудрявцев А. А. Неоднородный процесс риска с фиксированным числом выплат. — в сб. "Статистическое оценивание и проверка гипотез", изд-во Пермского гос. ун-та, Пермь, 2000, с. 148-152.

8. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: "Наука", 1977, 568 с.

9. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — Москва Ленинград: Гостехиздат, 1949, 264 с.

10. Гнеденко Б. В., Фахим X. Об одной теореме переноса. — ДАН СССР, 1969, т. 187, в. 1, с. 15-17.

11. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. — М.: "Наука", 1986, 416 с.

12. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. М.: "Наука", 1970, 384 с.

13. Картан. А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971, 392 с.

14. Кащеев Д. Е. Моделирование динамики финансовых временных рядов и оценивание производных финансовых инструментов. — Дисс. на соиск. уч. ст. к. ф.-м. н., Тверь, 2001.

15. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936, 80 с.

16. Королев В. Ю. О сходимости распределений обобщенных процессов Кокса к устойчивым законам. — Теория вероятн. и ее применен., 1998, т. 43, в. 4, с. 786-792.

17. Королев В. Ю., Кудрявцев А, А. Теорема переноса для обобщенных процессов риска. — в сб.: "Статистические методы оценивания и проверки гипотез", изд-во Пермского гос. ун-та, Пермь, 2000, с. 19-25.

18. Королев В. Ю., Кудрявцев А. А. Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов риска. — Вестн. Моск. унта, сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика, 2003. В печати.

19. Королев В. Ю., Кудрявцев А. А. Асимптотическое поведение резерва страховой компании, описываемого обобщенным процессом риска. — Обозрение прикл. и промышл. матем., серия вероятн. и статист., 2003. В печати.

20. Круглое В. М. Дополнительные главы теории вероятностей. — М.: "Высшая школа", 1984, 264 с.

21. Круглое В. М, Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин. — Теория вероятн. и ее применен., 1998, т. 43, в. 2, с. 248-271.

22. Круглое В. М, Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. — М.: изд-во МГУ, 1990, 269 с.

23. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: ИЛ, 1962, 720 с.

24. Лукач Е. Характеристические функции. — М.: "Наука", 1979, 423 с.

25. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: "Наука", 1987.

26. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. — Теория вероят. и ее примен.1, вып. 2, 1956, с. 177-238.

27. Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятностей. — М.: "Наука", 1986, 328 с.

28. Ротарь В. И., Бенинг В. Е. Введение в математическую теорию страхования. — Обозрение прикладной и промышленной математики, сер. "Финансовая и страховая математика", 1994, т. 1, вып. 5, с. 698-779.

29. Хинчин А. Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин. — ОНТИ НКТП СССР, Москва Ленинград, 1938, 116с.

30. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: "Мир", 1967, 752 с.

31. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: "Наука", 1980, 576 с.

32. Шоргин С. Я. Асимптотические оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм. — Обозрение прикладной и промышленной математики, сер. "Финансовая и страховая математика", 1997, т. 4, вып. 1, с. 124-156.

33. Шоргин С. Я. Верхние оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм. — Обозрение прикладной и промышленной математики, сер. "Финансовая и страховая математика", 1998, т. 5, вып. 1, с. 147-172.

34. Эмбрехтс П., Клюппелъберг К. Некоторые аспекты страховой математики. — Теория вероятн. и ее примен., 1993, вып. 38, №2, с. 374-416.

35. Adler R. J. An Introduction to continuity, extrema, and related topics for general Gaussian processes. — Inst. Math. Statist. Lecture Notes: Monograph Series, vol. 12, Inst. Math. Statist., Hayward, CA, 1990.

36. Andersen E. S. On the collective theory of risk in the case of contagion between claims. — in: Trans. 15th Int. Congress of Actuaries, New York, vol. 2, 1957, p. 219-229.

37. Asmussen S., Petersen S. Ruin probabilities expressed in terms of storage processes. — Laboratory of Actuarial Mathematics, University of Copenhagen, 1988.

38. Asmussen S. Ruin probabilities. — World Scientific, Singapore, 1997.

39. Barndorff-Nielsen O., Perez-Abreu V. Stationary and selfsimilar processes driven by Levy processes. — Research Rep. No. 1, Ma-PhySto, University of Aarhus, 1998.

40. Bartlett M. S. The spectral analysis of point processes. — J. R. Stat. Soc., 1963, 25, p. 264-296.

41. Beard R. E., Pentikainen Т., Pesonen E. Risk Theory. — Chapman and Hall, London, 1978.

42. Bening V. E., Korolev V. Yu. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance. — VSP, Utrecht, 2002, 453 P

43. Bjork Т., Grandell J. Exponential inequalities for ruin probabilities in the Cox case. — Scand. Actuar. J., 1988, p. 77-111.

44. Bowers N. L., Gerber H. U., Hickman J. C., Jones D. A., Nesbitt C. J. Actuarial Mathematics. — The Society of Actuaries, Itasca, IL., 1986.

45. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. — Springer, Berlin, 1970.

46. Buhlmann H. Tendencies of development in risk theory. — in: Centennial Celebration of the Actuarial Profession in North America, Vol. 2, The Society of Actuaries, Shaumburg, Illinois, 1989, p. 499-521.

47. Burnecki К. Self-similar models in risk theory. — Ph.D. thesis, supervisor: A. Weron, 1998.

48. Burnecki K. Weak convergence of the risk process to H-ss si processes. — Institute of Mathematics, Technical University of Wroclaw, 1999, Preprintyl7.

49. Burnecki K. Self-similar processes as weak limits of a risk reserve process. Probab. Math. Stat., 2000, vol. 20 (2), p. 261-272.

50. Cinlar E. Introduction to Stochastic Processes. — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1975.

51. Cox D, R. Some statistical methods connected with series of events.J. R. Stat. Soc. B, 1955, 17, p. 129-164.

52. CoxD. R., Lewis P. A.W. The Statistical Analysis of Series of Events.Metheun & Co. Ltd., London, 1966.

53. Cramer H. On the Mathematical Theory of Risk. — Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1930.

54. Cramer H. Collective Risk Theory. — Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1955.

55. Croux K., Veraverbeke N. Nonparametric estimators for the probability of ruin. — Insurance: Mathematics and Economics, Vol. 9, 1990, p. 127-130.

56. Daykin C. D., Pentikainen Т., Pesonen E. Practical Risk Theory for Actuaries. — Chapman and Hall, London, 1994.

57. Embrechts P., Schmidli H. Modelling of extremal events in insurance and finance. — Zeitschrift fur Operations Research, 1994, 39, p. 134.

58. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. Modeling Extremal Events.Springer, Berlin-New York, 1998.

59. Embrechts P., Maejima M. An introduction to the theory of self-similar stochastic processes. — International Journal of Modern Physics, В 14, 2000, p. 1399-1420.

60. Furrer H., Michna Z., Weron A. Stable Levy motion approximation in collective risk theory. — Insurance: Mathematics and Economics, 1997, 20, p. 97-114.

61. Gerber H. U. An Introduction to Mathematical Risk Theory. — Wharton School University, Philadelphia, 1979.

62. Gnedenko В. V, Korolev V. Yu. Random Summation: Limit Theorems and Applications. — CRC Press, Boca Raton, FL, 1996, 275 pp.

63. Grandell J. On stochastic processes generated by a stochastic intensity function. — Skand. Aktuarietidskr., 1971, p. 204-240.

64. Grandell J. On risk processes with stochastic intensity function. — Astin Bull., 1971/72, 6, p. 116-128.

65. Grandell J. Doubly Stochastic Poisson Process. — Springer-Verlag, Berlin, 1976.

66. Grandell J. A class of approximations of ruin probabilities. — Scand. Actuar. J., 1977, supple., p. 37-52.

67. Grandell J. Aspects of Risk Theory. — Springer-Verlag, New York, USA, 1992, 175 pp (1st ed. 1991).

68. Hadwiger H. Uber ausgezeichnete Vektorsterne und regulare Poly-tope. Comment. Math. Helv., 1940, 13, p. 90-107.

69. H(f)jgaard В., Taksar M. Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models. — Scand. Actuarial J., 1998, p. 166-180.

70. Iglehart D. L. Diffusion approximations in collective risk theory. — J. Appl. Prob., 1969, 6, p. 285-292.

71. Kesten H., Spitzer F. A limit theorem related to a new class of self similar processes. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 50, 1979, p. 5-25.

72. Korolev V. Yu., Kudryavtsev A. A. Limit Behavior of Generalized Risk Processes. — in: XXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Varna, Bulgaria, 25-31 May, 2002. Abstracts of Communications, p. 50-52.

73. Korolev V. Yu., Kudryavtsev A. A. The Asymptotic Behavior of Generalized Risk Processes. — in: International Gnedenko conference. 3-7 June, 2002, Kiev, Ukraine. Abstracts of Communications, p. 69-70.

74. Korolev V. Yu., Kudryavtsev A. A. Functional Limit Theorems for Generalized Risk Processes. — To appear in: XXIII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Pamplona, Spain, 12-17 May, 2003.

75. Korolev V. Yu., Kudryavtsev A. A. Limit Theorems for Generalized Risk Processes in Skorokhod Space. — To appear in: International Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics", Moscow, Russia, 16-21 June, 2003.

76. Korolev V. Yu., Kudryavtsev A. A. The Asymptotic Behavior of the Surplus of an Insurance Company under a Generalized Risk Process.To appear in: Journal of Mathematical Sciences, 2003.

77. Lifshits M. A. Gaussian Random Functions. — Kluwer, Dordrecht, 1995.

78. Lundberg F. I. Approximerad Framstallning av Sannolikhetsfimktio-nen. II. Aterforsakring av Kollektivrisker. — Almqvist & Wiksell, Uppsala, 1903.

79. Lundberg F. Forsakringsteknisk Riskutj amning. — F. Englunds bok-tryckeri А. В., Stockholm, 1926.

80. Lundberg F. On Random Processes and their Application to Sickness and Accident Statistics. — Almqvist & Wiksell, Uppsala, 1964 (1st ed. 1940).

81. Michna Z. Self-similar processes in collective risk theory. — J. Appl. Math, and Stoch. Analysis, 1998, 11, p. 429-448.

82. Panjer H. H., Willmot G. E. Insurance Risk Models. — The Society of Actuaries, Schaumburg, IL, 1992.

83. Piterbarg V. I. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields. — Translations of Mathematical Monographs 148, AMS, Providence, 1996.

84. Rolski Т., Schmidli H., Schmidt V, Teugels J. Stochastic Processes for Insurance and Finance. — John Wiley & Sons, Chichester, 1999.

85. Sato K.-I. Self-similar processes with independent increments. — Probab. Th. Rel. Fields, 89, 1991, p. 285-300.

86. Sato K.-I. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions. — University Press, Cambridge, UK, 1999, 486 pp.

87. Scheike Т. H. A General Risk Process and Its Properties. — J. Appl. Prob., 1992, 29, p. 73-81.

88. Schmidli H. Diffusion approximations for a risk process with the possibility of borrowing and investment. — Comm. Statist. Stochastic Models, 1994, 10, p. 365-388.

89. Schmidli H. Corrected diffusion approximations for a risk process with the possibility of borrowing and investment. — Schweiz: Verein. Versicherungsmath. Mitt., 1994, p. 71-82.

90. Schmidli H. Lundberg inequalities for a Cox model with a piecewise constant intensity. J. Appl. Probab., 1996, 33, p. 196-210.

91. Seal H. Stochastic Theory of a Risk Business. — Wiley, New York, 1969.

92. Seal H. The Poisson process: Its failure in risk theory. — Insurance: Mathematics and Economics, 1983, 2, p. 287-288.

93. Teugels J. L. Selected Topics in Insurance Mathematics. — University of Leuven, Belgium, 1985.

94. Tucker H. G. Convolutions of distributions attracted to stable laws. Ann. Math. Statist., 1968, vol. 39, p. 1381-1390.