Неограниченные и волновые решения нелинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ____ имени ШЭ. РАСУЛ ЗАДЕ

,'ГВ Ой На правах рукописи

АБДУЛЛАЕВ . УГУР ПОЛЬГУСЕЙ Н оглу

НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ИВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ

нелинейных параболических

УРАВНЕНИЙ Специальность 01.01.02 - дифференциальные ураянекиг

АВТО РЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктор» физіїко-матемагичсспіх наук

БАКУ- 19Ї4

Рабата выполнена ка факультете прикладай математики . и кибернетики Бакинского Государственного Университета км. М.Э. Расу л заде

Официалыше оппоненты

- дохтср фіїзияо математических на ух,

Ю.А-Алхутов. . .

- дсктср физик о математических наук, профессор Е.МЛандис.

- доктор физнко матсмзтыескмх наух, профессор Ю.А.Мамедов

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им.М.3.Келдыша Российской Академии Наук -

Защита диссертации состоятся «у.*- » 0_ 1994 г в

. /¿/40 ■ - 1 Г •

___» часов на заседании специализированного совета

Д.054.03.02 по присуждению унеыза степени доктора физихо математических'яаук при Бакинска« Государственном Университете им. М.Э.Расудзаде

Адрес: 370148, г.Баку ул. академика 3. Халилова 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бакинского Государственного Университета.

Автореферат разослан [994 г.

Ученый секретарь Совета р. Д,

доктор физ.-мат. наук, профессор . V ?/ М. А. Ягу бое

Л чту а --.С' , тг ‘-а-:." •'^дояапис нелинейных моделей ма-

те:лаг!псся':1 ф:п»гаі яалясгся од и11,,- ил ссі'О.чіімх проблем СОіфЄ'ЧЄП.Л.6 И'ІУКІЧ п. ОСИ-': ’С ! И* 1 рС'л С- О КДаССа '-'ЧТСМ.Л1'Т:'ГЄСК.1,'<

подоле:! пз чсхяелші, фіглікн, хпммя, бпоюіии, экологии, и т.;;. л с; <ат нелш.еГшнс дг.ффереь •р"<!ль:;ь'С > ¿аа^емня п »ист-!!'-<ч п [■.‘/¿•лХ'-'.ї • а ;к;;г'Го.1Ч':ос::сг ,, л.а.’ К- г' - о * зу, ч.-аанли-

!!с:п!оо ур;и;:--:: геі\:плопр'/":с;:::оп -і•;*[>-*. р п;л V '.олпчест-

бє'чч-тх хгрлч :т, ч.ч'і*;::я V '-ч;чєсі ;ч ччо ол:і;і;:;ччч) Оі<:;сьи;.;сг процессы электронной ’>■' ;.сч;ч'т тєплопгч^огчїостіі в плазме, про-'дессі: фильтрация и иі<фнлт>тратпга г<:<ду.остей- :і .га.топ ~ пористой ср-;д;ч спич-:сг;г ••• процессы диффузии я химической реакции, процессы роста и мигрант популяций и т.п. Систематическое псследсясяие нелинейных параболически уравнен я й было начато в 50-х годах, с л острое: «я а исследование частных решений хвазнлп и ейного ураті неї пм теплопроводности. В нг.стоятисо чрем;» теория нелинейных параболических уравнений насчитывает миогочислскнне серьезнее достижения и продолжает бурно раз лизаться. Отметим работы С.Н. Литом цела, В.С.Лгопзоп. г.'У-.Лі’к.іпзоп, Г.И.Бпренблата, М.Вспхсп, М.Вгатзсп, IT.Brsi2.is, М.И.Виягака, .Т,ЬЛ'агф!Є£. В.А.Гпдз.кгноаоза, г? .Н.С Л «л іщг, Д.І.Оіах, Я .Б.Зедьдсвичл,

A.М.Ильина. Д.С.Калашникова, Б.Кллнп, К.Хегхпсг,

B.Р.Кпегг, А. Н. К ол мот с *>о «а, С.П.Курдюм^л, О.АЛздкгкен-

сксй, Е.'Л.Ллм.нгс, В.П.Маслова, А.П.Михайлога. О .Л. Олейник, [-.Л.РеіеМег, Н.Г.Петровского, П. Пригожіша, А.А.Самар-схого, .\.РпесЗтап,чМ.Л.Неггего !! др. *

Фундаментальная задача таких новых .дисциплин как синергетика (теорич сл.чооргзмизпцші) итебрия диссипативных структур состой г з отысхлннп устойчивых вариантов организации :!едипеіЬ?кч. систем. Вл:к;юе значение з дтемнаправлении имеет качественное исследование пространственно зре-

менвои структуры решений нелинейных параболических уравнений. С точки зрения качественных I ля конструкт» вных исследосаний чуть ли 'не каждая нелинейная параболическая задача.облада'ет своей индивидуальностью и, -¿собак1 гонору не может быть решена на основе единого подхода. Поэтому важное знач.еаше имеет исследование свойств решений простейших модельных параболических задач,а затем г.идслить класс нелинейных уравнений, кагорам также присущи выявленные эффекты. В последние годы активно изучаются модельные па-раболгЛескиезадачимодадирующиснроцессы и открытых термодинамических системах, при наличии взаимодействия трех противоборствующих процессов: диффузии, объемного поглощения, и г.ыделекия энергии. В настоящей, диссертационной работе выявлены и подробно исследованы несколько новых эффектов для нелинейных параболических уравнений и полулинейных параболических систем.

Цель работы.!'. Выявление условий пространственной локализация произвольных неограниченных граничных режимов в перкой начально-красной задаче для нелинейных параболических уравнений и полулинейных параболических си с-тем. '

2. Выяьлеяиеусловий глобальнойобобщенной разреши! мос-

ти и свойств решений различных задач для квазилинейных параболических уравнений и.полулинейных параболических систем с произвольно растущими на бесконечности начальными функциями. Исследование эффекта мгновенного сжатия носителя и доказательство точных асимптотических формул для границы носителя решений. .

3. Исследование инвариантных промежуточно асимптоти-

ческих бегущих волн в задаче Коши для уравнения Колмого-рока-Петроьского-Пискунова.'•. ‘

Методы ксследсжаии:;. В-работе применяются метель: математической физик;:, фух'.кцлоиалънога анализа, теории сбыггоасихшх дифференциальных уравнений. ' •

Научная полетала:

- Для яелялеГшо1'0'уравасипя теплопроводности -наличие достаточно сплыкпр иоглюискиг (ила же переноса) приводит к зффехту прсстрзлотешгей локализации неограниченных граничных возмуцденшЯ яри лнзбей скорости; роста граШ!ЧЯОГО режима, а время обострения может-быть-тсах г.оиечпвш/так и бесконечным. .

- Для нелинейного уравнения теплопроводности наличие достаточно сильного поглотал га я приводит к глобальной обобщенней разрешимости.задачи Коши и первой краевой задачи без калагх-лйбо ограпинетиг яа допустимый рост начальной функции. При‘этом усталоллено, что обгб'.ненное решение для любнх значении пргмеиней переменной; отделенных от на-' чальпого, равномерно ограничено тхлоятюй,. которая не 'зависит от начальных дапннх. и -определяется исключительно

-самим уравнением. ' ,

- Получены точные асимптопт’кккаефсфмглы для граннЦы носителя- решения задачи- Кошн для нелинейного .уравнения

теплопроводностито стоком. . .

- Решение задачи-.Коши'для уравнения КПП с финитной начальной ф^/нлепиейтир-а "локальная вспышка" лри неограни-чеш'юм -возрасташги,вредна-сходится к двум.симметричным, промежуточно асимптотическим -бегущим 'волнам с минимальней по абсолютной величине скростью. Тем самым полностью решена проблема А. Н.Колмогорова "о Судьбе "островка" заполненного -носителями, даюшего преимущество гена".

Tfí;f;í;';M‘¡'’‘'.’K:sKг^ч.^'.'^с-лй!! ucïk;':от;., Р^.лл.^гатн ис-иолкзе-лчн.мс метод'r /viCirp;':'-ползет <u.CoíU i;>.o¡.vr теоретические я;.o прастрая -

ствг.яно-Ч'роеииых крунл^ tcu¡ ^.г.лсГши:; мунболи-псскых задач. Реиуд ¡/тати рг.Сапл могут бичъ t:pu.-icuci;>.г ;í,¡-¿ выявления ycTOÜHir; структур ксагкасящ»:; от гнс:.:чого везлгиегг^а s рдзли'-ших недвлаГ-пих процесс;::. злс«трсч;ао;| и но иной тсплои ркодьустк в 1:л;:\:ме, фил i/rpa t> и и и икфа.ьл рации жидкостей и газоз в подстой срсд£, » ьродсссах роста к . миграция лопулацяй и т.д.

Л п р о б д ц, з ра ботм. Результант диссертащюплпй работы доклад.-'-.ались «а семишрс чл. корр. АЛ России С.П.Курдкэ-мова (НГШ им. М.ВЛСед^ышз ЛИ Россия), на сеж;играх академика О.А.Олейчяк, иа семинарах прсф. В.А.Котдратьева «г проф. Е.МЛаидас (кафедра д-фференцпальних уравн.\ нй мсхаиих.о-:.;атсмагп'!1-ского факультета М ГУ л м. M.R. Ломоносе .¡а) , на семинаре академика О.А. .Лады;кспской Шегербург-скос отделение катематаческого института им. В.А.Стекдовз РАН), на общеу ни всрснтетском математическом семинаре под руко«одсгг>ом чл. корр. АН Азербайджана Длс.Э.Лллзхвердпею <БГУ им. М.Э. Расу л зале), в шкодс-семпнаре "Соиремсинме методы качественной теории красьих задач” (г. Íbparfí.::, 5-3 v.a« 1991 г.), в международных семинарах "Дифференциальные урлькениа к смежные ьопроси" (ссьчестккс заседает! семинара «м. И. Г. Петровского и Московского ма-г**:тгчоск»'»-го общества, 19-22 «¡¡варя 1993г. и 18-21 яньари 1994 г.) .

Ооьеч:í струил ура работ. Диссертдд-!Оннач рабата состоит аз Бвадеаия^трех глаз, библиографам иа 154 ¡¡г/чмеаонаний. Об’.-ем д-.-сссртцин IS2 страниц. Первая глаяа состоит ~лз п»тк, вторая из шести. третья из трех параграфов.

Пуел; ¡капни. Осношюе содержание дкссертоппн отражено н работах [1-12 ].

Во видений дастся краткий r.fv-op ¡х'.?г-7, nn'u.-:.'кающих к теме д^сссртпчи'п, c,;oc'!,.OF,bU’;ifc'rcvi актуальность те.м:л и излагается кр.п кос содержант: работгг. ■

R nepi'.OH ГЛДТ!С !<Ы<ГКЛС!!Н ЛСЛ0ПИ5Г пр02НЛС!ШЯ эффекта локализации при про«дно;’.мпix граип-ших режимах. Япленис локализации эволюционных промессой ла определенных учасп:ах-одно из основных устояпп noaum:.HC"c:i:i;; ело-кный д!гссипапс;1:;сП структуры. '

Рассмотрим квазилинейное параболическое ураниснке

“t=(Kn)B*X _Q(U) » . : . (1>

где u = х GR1 , t SO - время t G [О ,T ] ,0 < Т <

k(y)S0, Q(u)>0 - не1ферывн[дс функции при u&OjQiO)^ u k<u)>0,Q<«)>0,приu>0.

Уравнение (î) oiïj;ci.ii;;iCT процессы нелинейной теплопроводности со стоком» одновременно л-ротекатсищс процессы диффузии и химической реакции и т.д. Ширено распространенном чаетш.ш случаем яплястся уравнение

Щ=(иПих)х(1а)

где а >0 , /? > 0 -произвольные числа. Дляуравксчий (1), (1а)

рассматривается первая начально-краевая задача при условии

и (х, О) = и0 (х ) >0 , к Eiîvi}. = [ 0 ,-F кэ), . <2з)

u(0,t)=4)î(i ) >0, 0 <t <Т . (2Ь)

где и о (х )-непрерывная, ограниченная функция на R'+, Ч*( t ) -нехтрсрызная функция на |0,Т) , ^О) = ио (0) и выполнено условие. ' .

Km-\P(t-) = +•«»

I-»>00

причем -канаках оцшаач^в^й т шорасть роста 4^(t) веаз-жладьшастся. ' ' . ' ' '

. Под рсшсйие*д задачи-(1>,-(25»’((1а), (2)) щипшаегая кеот-р!гдателы1-лсд»бс!014ги»ас.ррш£н11с. Нас шстересует внгялегше условий щдосграиствщвиой локализации тшосрааичснтла *оэ-. wymetniii. 'Ожоти ,ЧТО-ДЛ£ НГОфаПКЧСЮЛЗХ граничных ре-жимои-саеду Ьт.разлв«йг$ь два покянгя* локализации. ' ■

Определение I..Пусть. и-{О,!)-9,гЬ , вр« t-*T —Q. Для

• ренлекя» ii{x.,f) имеет мест слабая локализация, если область

’ &J»— /х:lira.и ( x,*t) = + -® 1

• . ‘ ■ t t -*т - • . J ' .

является ~отранкче1той.‘ Дн'амстр L — 4ытВт ьга?д.жаспхк эффект»мюй-ау11лк}й-сйяастк локашжщйа.

* Определение -2-Докшяазациа-'иазыьагтся сильной, оыпгсу-

мси kvct такое х <«> ,чго ■ - •'

*. ' • _ . - '

; u(x,t) = 0 , х >. х * ., t (Е f 0,Т]

Тeaptwa 1. 'Пусть п 5:0 , fi > п 4-1 -и для некоторого б 5> 0 , шчаяьнаг функция и {^уджвстЕйрает-аераяотству

• ' ' (4)

' . Тогда для решения задачи (1а > , { 2 ) пасет место слабая1

■ Л0КаЛИЗаЦ!Д2СнуДешГгэффсКТП;Ш0Й душной И существуCTJtpc-дсллноерасг1рэделсн»1с-л кэиент't =Т :ё .-И» . ’

. 0 < и (х,Т) < [с 2п^х 2J г/<" т1 -“#) < +.00 . 05)

• ’8 - '

Теорема 2* Пусть выполнено усяоїте

ос

р (е)=/

г (V) - С-

/О (о 1 (и )) Л и

~}Уг

іі7< со , и > 0 , (6)

а для пепоторега б >0, начальная функция и0 (х) удовлетворяет ЇЇСрЛГСИСПЗу '

.0<йс(х)<р‘г'1(р-^(б -Ьх))) ,• . (7)

ГаС со 1 (Р ! ( . )) - обратная от фукхция Р (([>{. )). Тогда для 7,еп:£ь'к я задачи { I ) , (2) ішеет место слабая локализация; с нулевой ^ффеїстипной длиной и сущссгоуст предельное распределение те момент 1=Т5 +05 .

0 <и(х,Т) 1 (р 1(2Г/?-х)) ,хЄ(П , +«»)

(8)

Слс/гстоїтсI. Пустьяыполпеииусловиятсорсмы I (теоремы 2), г; п (х) 2:0 - произвольная непрерывная, ограниченная

функция. Тогда длярешениязадачи (1а>, (2),. (Ш, (2)> имеет. место слабая лакаплзацня с нулевой этЬфектнтгой длиной. '

.Теот-^т о. "пусть выполнены УСЛОВИЯ

ф[и)=1

* о

-Ч . ..

fQ((P~) (,«))^

о ; . .

—'Л

йу< со , и>0 <9)

ао>.

а (х) - фшгктная функция на К н существует такое 6,что'

0<с)<х^~:2 «»•).)• Н

О < и0.( х) < <Р 1 {Ф 1 ( 2^ 1 <5 ~'х ]+ ) ) , * >О (11)

1 4. ~ ЇХ > ес-лк ССйЯ ^ Ь Тогда для рс-

шеиия задачи (1), (2) кмсст ксстсидьтаа дак-алигациасну-лспии зф45иК7Дійпо,'і длиной: и'(х,і)-О, ярл х >х , С £ 1 < Т :ч

снрг*сздиЕа..ац.еяка . . ■ ■

й < и (х,Т) <<р~1(ф _5(2^ - 1-ь)) < « , х>0 <11)

Следствие 2. Пусть выпшшсщг усдсзїі« (5), (10) н'и0(х)

-проязватьиая, яспрериаица файкетг-д- функция. Тогда для решения 'задачи- <3), (2) тлест-место сижлідіі ликалязашш.с нулевой зффскти-киой длмис^і. - .

Замечание І. Результаты теорем-1-3 раа (рост рай ¡«хугея аа много-мерд-ой -случаи, когда функції« іі(х,!).,,х ЄК 11 ,

І Є: І’ ^_з«ляіггся рептсшісм стсдуюи^гй .задачи

и,.= 7-(Ь {и)7и)-^.(и),;< ЄЯ1.*. ХЙ,1-Є(0,Т], ІІ1)

и (х.0) = и-0 (х) >0 , х Є.Гі^.ха вй’Є€ (гг+ХІЗ) , (14) и(0Д,ї)^1(х,і)>0,хЄО, {ЄІ-О.Т ], .(15)

где Т < --Н», £2 СЯ‘Ч -1 оилаезъ с гладкой граі.;:адіі д й {'5! ча^тнеегц 5 ) ,функция (х ,.! )удоглс-/йорзет

^СЛОШЛКГ ‘ ' ■

0:ЭД (Т. {і}* -ЇГ і= О, 0 5 ї < Т, 7ш ${:)< г« -,ї(>і'

*■ ' ’ ■ ,-*г ’ ' ■

птнслілгх ограничен; я из стелен:, г - Хрпс изкладнг-астс«.

5 теоремах I-З усхзшг<лсиа, «по для ислмис&юго уравнение тейлгі>гк»ваз»юстн. с ішглоті;с«и.ам налячяе достаточна г;: ».г; с: г с ггатл^мя пртн'-адпт К'.’Кжлліі’їлціяі нссгра.'п.-чсн-іімх грагго>ппих впзмущсінтїі. Причем в отл^'тііо or днплоі «ч-нмх сред !Їсз ппглліікгн.тг, гдд.:>•.]>}сктлогЛчилацни проязляст-егталыаздл» сясг*«*:плмаіх гранична?: рс*;име,в собострением* ii/rantKisj ступае локая ї-іт.ієсг место при люоой скорости роста rpaiHi'iíícrw р^лиіма, а прем а о5осчро:п:а мп.'іісг Гг’-пь :;ак •попетым. та te к íícck»í!C*ií>w/«. Jiincpacuo,*«*» or последних и;; 2;<ткС2т !ї такие.кал^чесг^сгашс xapaierrpuerv¡:п, как г.ффек-ткпгая л скльгаа глушг: г л локализации. Это етчетлиьо г. юно m ктрхгих сцозюк. (5). (л), (12). ‘Эффекту пна-.j глубг.ііа лока-лкзаіі'кп всегда ранга пул .iva гнлыша слубнпа локализации (х„ — Ф ( (р (ос)}) ;>ан!5С'ггг только дгор*. от имут'Ягі.і.'мк свойств

срс,тд. • - . . .

Апаж>гя»шис результаты иолучош длч п?лп:!сГшого парз-&>.!п:чсек»>т ур:.1тгс»гня

п, = V'(\ (u) Vu) + V-b (u) , X GR?fXQ, ! G (0,T 1,(17)

где u = a (”,î) , s■ fE R‘4 ,1 G [ О , T ], T :S -H»; k (a) '> 0 , b(u)>0 нсирг.рыгпие фупілііш при к >Q. Ъ<0)--0, Ъ(и) > 0. fc(ii)>G, Kjns u > 0; Урашипмс О 7).счг-мілпаст проц-сссы-нел u-éetinoñ тсплопрогадносш с переносом* процессы келішейи.-.-й фильїрацкк s ыорлстой ср..де при налички просачшшин) или испарения и т.д. Чзспшм случаем япляегеч уракнекие

, '.tvj Va )т¥"э:^, • . 07з)-

где.п >0 , ß>Q- задашшечкелл. Дляyp:nn;e¡re.f: (0.1), (Па)-) рзссиа'грипастся тіервая начально г.растая задача при условиях -(14), (15). Hptstncuorat-Tca, что выполнено условие (16) .Под релляпгем 'зааачн (17), (07а)), (И),'415). псанмасчгз »кэттрицзтсаьпйе, «¿VsSutüisBee решение. . • •

5-І

Теорема 4. Пусть выполнено условие

со ' ■ -

Р(и) =/ [ к (>7)/Ъ ( ¡у.) Щ< °°, и > 0 , Р (0) --- » <13) и • .

и существует такое О >0 ,что .

0<и0(х)<Р“1(х1 +3) ,х££^Х £2 <19)

где Р—1 - обратная к Р функции. Тогда дли решения задачи

(17), (¡4), (15) имеет место слабая локализация с нулевой эффективной мерой н существует предельное распределение г. момент :=Т: '• ■ - -

0<и(х,Т)<?"1(к1)1хе^хО (20) ■

Следст5И?а 3. Пусть п >0 , 0 —р-— а — I > 0 к существует ‘ такое (3 >0, что , ' . ’

0<ис(х)< [б(х1 +5) (21)

Тогда для решения.задачи (17а), (14)., (15) имеет место слабая локализация с нулевой зффектиьной мерой н справедлива оценка ‘ - ...

0 < и(х , Т ) < (¡9х ( ) ~х/®, х £рЛ Хй (22)

Замечание 2. В случае, если условие Ь{0}~0 не зклолнегю! и Ь(и )>Ь(0)>0 , для и>0, а теоь^ме 4 условие <13) можио заменить условием

со-- . .

? I (ц) “] (?/}“ Ь(О)) Щ< зо, и > 0 , (23)

и - ’ ■ *

Р1_С0) = со

ri соотаетстненно заменять F ! я (Î9), (20) функцией F j '.К примеру, для пялулакепкого- урГгР-пегл/Я ~ Aiï“V exp (и)

усковпе CIS) »е ямтголиягтся, однако пополняется уело?не (23). ‘ '

Заме*а*1гс J. Если «ияолнегю условне.( 18) ,• то слабак дпкл-лязэггсясауаерэйз-^'фе’--тчЕ1!гй мет”? язадаче (17), (14>, (15> {гсотвстетасиао (17л), (14), (15)) !гмссг мелю для произволь-7iO"": неотрицательной, ненрррынпой, oipau^'icsn-rcii начал!.чой фупъц’л-л и0 (х).

Т«*рема5. Пусть выполнено условяс •

' а

ф (и) ~ I [ & ('7У(Ь ( т}} Щ< » , -а > 0 , ф(«Л = со (24) о 4 ' ' ' ' ‘

и cymscrayer такое х*< <» что »о (ж) — 0, х» Sx j* ,IGQ Тсгза s задаче (17), (14), (15) имеет место кокечка« скорость

распроггграиеккя возмущений. Если в (16) мр~Ф~ М <• », то

‘ * 0<1<т

? ■ имеет мсего сильная локализация.

Дляурпвк№ня (17а ), услазис (24) икполиглэ при n ÏÜ, 0 < /5< п -г I.

Теер»1.2 6. Пусть сыгкзлк едо yorcnmc Ф f «} < СО н существует такое û, что о < Ô < xft =н<£ (к) к

0<ц0(х)й^"'1([д-х', î+)-x£^+'XÎ2 <25>

«7T&cV—1 - сбрэтпая г; ф.фуккцая. Тсгдз для решение задачи ;!?), (-}*), (Ъ5>.-1шгет-места:ск5ьняя'ло1салиа2'Щ1а с нулевой >ффектив-т>й- мерой: . ' ■ ■ ‘

(x.t) =0 , Xj 5:.*,*, k"€LQ, t G (0,Т ] и справедлива оценка

О £ в (х.Т) <ф ( [ х,* -х., î-t-), xER-lfX'Q (25)

Ü теоремах 4-6 установлено, что для нелинейного уравне-

кия теплоирород1юети с ¡переносов, наличие достаточно шго переноса приводит-!; локализация иссгрэдтчешшг циничных возмущений. Эффект локалпзад«и имеет место яри любой скорости, роста граничнок» режима, a врекз обострения может быть как конечным, тдк >. беекэкеадтим.

Ео второй главе выч плен и у слог-ни глобальной обобщенной разреишмости задачи Коши к первой цач<гш>ко-красЕСЙ.зо1дачм для кзазгиккгйвик «арабояичеекях урз ыиягМ и палуладаей-ных парасалнчсскдгх систем с произвольна дастугаэди îia бес-косс'шост.'г начадакышт '.функциями. Устс«озлен эффект, слабей мгновенной локализации (C.MJÎ) неозравякеикмх ма-чалышх возмущений. Эффект заключается в том ,что обе-б-. щешшс решите для любых сначснай временной переменкой, отделенных от начального, равномерно ограничено постоянной, котераи не зависит от згачальных дал икх_ '

Рассмотрим первую начально-красную задачу {!>, <2) и задачу Коши для уравнения (Г> г;р;; условия '

и(х,0) = ип(х)>0 , xER1 J (27)

Пусть выполнено условие

TmF и0 (х) = +œ ^28)

| * | ~*°° .

причем никаких ограничений ка скорость роста иц(х) не накладывается. ■ . .

Определение 3. Пусть u<x,t) решение уравнения (1), Ша>) u и (х,0) -*■ +•«> при j X j -*■ +со . Для решения u(x,t) кмест. место аффект С.М.Л., если существует такое с; > 0, что

3up ц (x,.î) < »> для любого t ÇL ( 0,1 ]

лея1 ' ' ; ' 1 -

■.Теорема, 7. Пусть п 5:0 ,/3>п т I. Обобщенное решение

задачи liai, (2) существует. Д~я решенн-л u{x,t> имеет место

аффект C.M.JL я в некотором окресности нули ( 0,ï ) , t > 0

" v ' i J 1

спрасгдтаяз оцен ка

О < Sup u М < [С 2 й I 2 }' /<п+1 , (29)

|*| €^+ • ^ ■

с1/г^-1Ж^^ ■ -

Тевдеаш S. Пусть и >0,/?>п + I. OSaftttctmrc рсшснэте задачи (1э>, (27) cyinccnsycs- и s некоторой с-кресгностм нуля (С, ) справедливо оценка (29).

Следсткке 4. ?1ри я >0 ,/?> п +1 для обобщенного решс-1шя а(зс4> задачи (1а), (27) справедлива оценка

0 <n(xrt)< ]l/0'^,t>O-,xEKI (30)

Такля же оценка скрав-едлтгкз в лля'решения Задачи (1а), (2) еслтг^|’(1}удс»л£твсряегнсрз«с15сгву (30)

Теорема 9. Пусть выполнены условия

сэ Г 7J 1 ~tfi

(»)=/

/Q(p 1 О ))<■’/'

!irs pc(x}Q(x}]’ =®,р (‘»Хг го

di/<»,•-> 0 (31)

(32)

у->еэ

Тогда сиобщсшюе ретвешгс задачи (I), (2) существует. Для решения а(х4> имеет месте эффект С.'МЛ . н в некоторой ок-ргептега кудя ( 0, ^ ),-! > О ггмеетместо ещевка

0< 5зр (Г-1 (2^1.)), (33)

М&4 .

гдс<р~1 (Р-1 ( * )) обратная-к Т-{ф{" )}функция.

Теорема 10. Пустьвинолкеїш услошк <31}, (32) .Оойлцея-пое решение задач к <1), (27) существует її в некоторой скрсит-асіс£к нуля (0,? ), і > 0 сирзведашга сдеш42.<33).

Следствие5. Пустькклалпениусз£ия«з (3-І), <32) и У(и) = /^|у <«,и>0,У(О) = »

Тогда ала решения и(аг,0 ладлчі; <!), ¡27} епрасзглйш

ОП.ЄККЛ

0 <и (х,ґ) < V ~1 (і), і >0 , кЄ:і! (34)

Такая ;кс оденка справедлива а для реіяс:;иа задач« < і}, (2), если V’( *■)удовлетворяет.?!£|»2енггву (24).

Замсчаииг 4. Из теорем 7, 8 следует, что псе результаты о5 асимптотическим поведении решений уравнения (1а), лра п>0 ,/?> п + 1, с огрлничеьчюй начальной фуакдиеиостаат- ‘ ся в оте для произвольной неограниченной начальной функция, В частности утверждение следствия 1 имеет место дли прочоБі'льиой начальной функции с любой схсрсстыб роста на бесконечности.' •

В теоремах 7-10 установлено, что для ккпзнлипейиот уравнения теплопроводности со стоком наличие достаточно сильного поглощений приводит к глобальной обобщеш неразрешимости задачи Коши я первой краевой задачи без хаки* дибі: ограничений іиі допустимый реет начальной функции. При этом устаненлено. чти обобщенное решение для любых значений «ременной переменно:!,отделсляыхогначального, разномерно ограничено постоянной, кочорот не зависит от начальных данных л определяется исключительно самим уравнением. ' :

Далее во второй главе.ясслсдуятся эффект мгновенной ло-

кхтясаини (аффект мгновенного сжатия носителя) а задаче Кеши дія нел;інейнь.х параболнчесхнх уравнения. •

Рассмотрим аадачу Гг), (27) Ша), (27)), с положительной н.тсльной фук.:; дней удовлетворяющей условию

•:тп а« (х) 0 (35^

Iя'

причем и!:^ к;5к’.!х-л"п'.) опх^и^ендй *:а скорссть уоыяднпя. Нпс ;<-;гк:пс'.:\ет „чок.е.льйос гкгеел;*ч;'.е решс-:;::-г1 п(х,е) при малых { >0. О^’Т^зч^м

7?+(0 -5мр {х €3* :«(кД)> О I

■ I У .

Г] (1) [лг | х £ Г;! : и(хД)>0 1

Ол^Ислетге 4. Пуст», ;>.!*;альмая функция « > 0 узсвлзт-

г.ер-и'т усло.иьо <35). Д,чч ■•е,п>;.чнч-¡цзачи 11) ,(27) имеет м«.*го ЛффСКГ ЧГ^'С-’СШ-Ч’Ч ЛОКаЛНСаЦИИ, ссли существует такое

<5 >0, что '! г (0 < +сп 5 '] (0 > ~. Для лжсого 1 €г (0,6).

В ла;п--*сй:*1см будем считать что пыпсл::сно условие (35), &л ка:<;:к-л!«1о еграяиченчй »а сгсорсст:» убывания. -

Теорема И. Пусть 0 < /?< 1 , г» 1 -¡3 ; и (х) > 0 - четчая. гллдкл'; фуччхм.чч, гьтполпг!!о усл^'ше (35), сутдссгвует такса х >0. что а ' (х) < 0, ;:ра х > х" и ф’-чг-л:.;:-;! (ир" , у — 1—3

•пггче^сч огрл^м’^ .п-гхм ||р! \ с- [Т, -К'5). Тоглл для

лл.чичя (!;»>, (27) я мест место эффгктг*«пи>в*й»**«й лс^члЧикщии ч .гл'л л:е.>'.ч;го л:'Ст:1Точ'Л!э м;>логг> С >0, сушесчоупт т;чи’о С >0, «по дли грояшпд лгечтелч рс1чс;и!:1 спраг-едлиг.о лпкал:л’лч уценка

«Г (т~Е ((> ') 0,/{,-Д)) 3 I 7= (!) I <

■ь:Г: (у^((!~Д~-:)О1' . Iё(о,сЧ . <зб)

где но - обратная функция к на (я), при х. > х.

Следствие 6. При услояиях теоремы 11 лла решения задачи (’.л) Д'27) справедлива точная аецмхгтотичеекзя формула

7±(!) _ г-71 , ( -”0: х37>

Теорема 12. Пусть Пусть О<^5 <1,0 £5 к < 1 —р ; (х)

удовлетворяет всем условия Н TeopCMli II, С у — (a rl -р)/2. В случае же если п“0, ¿ополшп слшо выпадаай услав?ке ■

lira / u¿ \ —0

J-3-+OD' / .

. Тогда для цешеъия з^длчи (1а),(27) имеет место о<|?с|»с:^т мгнот-ешзой -пшаушзацлги к для любого достаточно малого £ >0. сущестеуегтакое ó >0* что для границы роскгсля решения справедлива локальная оценка .

ч1 (0 ~^) t}í/(l ~^}) ^ ‘ г~(0» ^

, u^-1 (kt2/(K+1"^ ,f e^ó] ■ C3S>

где k > О - произвольное число.

Аналогичные результат,« доказан« зг для уравнения (1). Пусть

■ ” ‘ 1. . '

/ árj/Q (t¡)< t í'- (59)

Обозначим

u

В (u)—f ór/Q(¡f), в > 0

0

Теорема Í3. Пусть выполнены усдашгя <35> и

d = lim } < -И», 1 (0) = 0 (40)

х~*о v\x7 .

lio Сх)> ® гладкая функция удоалсткоряющая усло-

вию (35), существует такое Т >0, что од' (х)< 0, при х > л и

( й2 В (ц0 (х)) ¡ . ..

• Sup г--------=—- < t«j

- 1 ■ Вх2 I

Тогда для j?euicm«i задачи (1а) ,(27) имеет место эффект мгновенной л с :а-тн<ялнш! и дал лкнюш досгаточяо малого £ > 0, существует Т,1 &ОС ö>Q; что для границы носителя решс-пч5/справедлива легальная оценка . ,

>*Г■ (j-zi s"l(0 -ьс) о) < I ^ 0) г<

"Г1 (f^3“!({i-«)0 )> (41).

где В 1 - обратная к В фуикиля. ■

Спедста-и-г 7. При у сяозняхтсорг»«к 13 для penremta задачи (П,(27> спразедямелто’шач асимптотическая формула

Г]~ (t) „ ± щх (З-1 (t)) , t ~>Ö (42)

Нетрудно проверять, что в случае уравнения (!а) условия теорем:,; ]3 выполнены при п > ! , ö <ß< l. -

Теорема 14. ГТусгь выполнены услович (9), (39) и lim Ik(x)Q(x)] — 4-со

х->0 •

(\)удсч*лет;;ор‘.гет ус №?»:№-.* теоремы 13 я .

s„p |£1±М!2«»1<+»=

Х>зг 1 1

В случае же, еслч к(0) > 0, дополнительно выполнено уело-n; I е ' . •

ЭгВ(и0(х)) •

Знп------------~0

3 л - -

Тогда для решения задачи (1а),(27) имеет место эффект мгновенной локаллздшт и для любого достаточно .малого £ 0, существует такое О > О, ".то для грашпш ксаггел'л реше-

ния спраиедлиаа локальная оценка

«Г (у~рБ ЧО+Ф)) -' if)' — .

'«чР (гЬ^~1(ф-' (2l/2t)>) ’ 1 е ^

Нетрудно JG •u-J? sixii. что й случль урааиеыь; (1г) услелшя

теоремы й^июяйеяы tips 0<f3< I , D S s < : —Д

Замечание 5. Пред»ало;:сеяке теорем 11-14 о ч?гкогга ка-Ч2льт>« функции и (з:) здлжстся иг*-х«дссгвех!псй и сдслаиа

лама ради ущхвдешгя записи. Так, если только крэдположкть, что в (к) < 0, при х >хдии liiSKoropa-X! Г>0?тооцеягн (36)-

(3S), (41>-(43) остаются в еяледля (t) (прячем маь;ио писать tf*" (t) вместо Если нредпсдоа.ить, что

ц,Дх)<0, яра X Sx, ддк не^ггарага *Г< G, то дд& i?7 (t) I

полкостыоанзлотчнодоклзьгг:аюггск эти одеики, где функций ll^ 1 является обратной- функцией к функции в (V}, прн

х г£ х (при этом можно писать — Т] (t) вместо I7} (t) f >

Замтспше 6. Оценки (36)-(3S), (41)-W3} атрракедливы к . для ргшеккй первой качалыю-крзееяй задач»« nanyiieacase»-UQM слое'ДЛЯ саотЕ.етствующкх уравнений.

Б третьей гласе исследуются гтвзршшпше, ироиеясутсчпо ДС1Н.1ПТОТКЧеСКИе решения типа бегущей вол ни полулинейного уравнения Ксьтмогорова-Пстровскаго-Писку нова (КПП).

' Рассмотрим задачу Кокги , "

«I '*= + Q fa) > X ЕЕ! , t > о (44а)

u (х,0) = uq(x) &&, х Git1 , . (4-46)

. где ii*ni <x,i), k > О^-фувкщш Q.(u> удовлетворяет условиям ..Q (0) —Q (1) =Q , Q {и) > 0 . при 0 < u < 1

(0) -~а> 0 , (и) < с. при и > 0

со

Зад?.”а (14), с начальной функцией Хевисайда, впервые была 1 гссл сю&шл в рабаго Кил ии города, П стрсиского и Писку-('.•л?лл. МГУ, 1937, т. 1, сып.6, сЛ-26)•«свазибиологической прсблсггй рлсарссграиснля доминантного гена.

Вглло доказано суш.ссг;ч'г.пу.:с пол I газета решения и сходимость реглет и и(х,0 пп ^орт.-.г и по скорости к бегущей золие с мпшшальиой с:'.оу,г.,;ть’гО. В период появления этой работы Кодмогегозии била намерена программа далы*-':йшпх жхле-дояапий. Б частности была поставлена проблема, связанная-исследованием судь'бч "островка" заполненного поситсзями» дагощего преимущество гела. . .' ' .

Рассмотрим задачу (44); с напалы5сй функцией типа "ло-хадытявспышка” . * : ;. ‘

где <5(‘) -дельта функция Дирака. Пусть V ~ V Гх), —•«>< >: < 0 гладкое, положительное, строго монотонно растущее решение задачи ' ' , - • -

где а > 0, С2:1 , нлм хсе ’’точечная попытка”

(х) — М (5 (х), х •£!</

(46)

Ху1 —у" +Р(и);-:

{47}

•и(.—<я)=0- , гч'О) —1

Очевидно, что ыдоюетричная ф;^дик V (*)--1)(—х),

О < х < -t*CC; ЯИЛЛСТС5? рСШ^ШЬСЛГ VpLVl.'íí.wJ^iií Í47), upa л — ~¿Aí-при условия . *

v J (0) = 3 , г'-j (-Н*) ■= 0 ; 0 < г) J < I

Теорема 19. Пусть д(х,,1) ясшгггся решением задачл (44), <47; ииуспьфункция'<р. (1), t>0.os;рсдгдсна из услав«« и (—г; -f <p (t),t) =-I , f>(t) <;0 , í > 0

Решение u(x,t) сходится кдгук екмкст ричш:’w фуипшитк u(x) yV (x) л о форме г. во скорости, r.e.

lira n.'(x-f-$o(t)vl) =?’ (>:-ha) , ривкойгрно no xE{_— cc,-~s ],

t~*CO ' ' ' ' '

Rffiü (x — ^(t),í) “V j'(x- -а),рйв;!ГЛ1срноno xGía,+<»)

¡—>GT; ’ ■ ' - '

iim ^(t) = -2(kfí,)V2 .

1~5>Ю . ■ ■

Mí.:-:,5y слг.щс’гри^ными Гкггу цны: етиаки р"ь;сц;;с i; (>;.Ь paenoMup-10'CTjpCMJ.iTCs к '1 и-ецраваглива сменка

1 <и(хл)<г~! (i),-V>:C0-—« =Sx<a-So(l)

где Г 1 (t), í > 0-(х%>атыая фу!:кциа í; c’ryííKJi.iii; Tía).

. Замечание Г.-’-Рсзультагы тсоргмы.'Í? остт.ются г. и:лс, если качалиные.зиаче1шя.и <к*1> нета»скс, как и (45), а г.меаио ■1;и(х,0)=0; прхг'х S-a-j < 0 '

2. ц(х,.0> не -убывает при а •< к < 0 , п£кшшает пакигугод-,ио значения, за^гючешшс ,?;;сжду О -«.I, npi; г. <х< а0 < О н и (х.О)> 1 , прц ао< х < 0 • .

3.1з(х;0}=и (-х,0>, х Gil1

Сущесткоканкб и £Д1511СТнашость}Хшс;1Йязадачи (’44), (-46)

булздо^аллна л раА>¡ o 1 ‘пеЛкииЛ!?rcz¡5 (J.AÎiitli. Pures ctAppI. 62 (1933) 73-97). ' .

Teopt'na 28. rive-,» ü<a,Û - явлистса peisw.tCM задачи (44) v (•1Í) « ivycr*--ïy<CMi,>rï'-p (t) , î>Q Й1.рсделс:и нзусловия

•j 0р(0>0 “5 ’ íp(0<o. t>0 . - .

Ретлс:>:т:: y«x,0 cx.^/vic* к дг.ум евмнетричаым функциям V (х) , V (;;) псн^рме и ко скорости , т.е. • ■

lim а (х + r/> (t),t) ~v(&), ршврсмернэ-по x €E( —<»,0 i

r—>CQ ‘

lira II (x --(p (í),i) ~V ; (x), paPfíOMep.'íO ПО X £E [0,4-00] t-*-ca . ' 1 ■ .

lîiïi síi ft) ==■ — 2 ( krx) ^ -

¡—»<o‘ ' ‘ ’ . '

Между СММ1МСТр«Ч!ШМП беГушИМП ХОЛНЛТ.Ш решение ix(.ï,t>

раяномгрностремихся к 1 и енранедлияа.оценка .• ■ •.

! < и (х,{) < Г-1 (t) , ¡p(t) <% á —tp (i) •

Таким образом докапана, что решсапс задачи К1Щ-*; на-«гзльпей футнщг.о:» тппл Гесгртг.ка"’. npii -нссграпнчешюм. аоз-р:зег:5!;'ш греглск'л сх'.'лигсп >.сдяум сИммсгрячн'ли, промежуточно je; t м rnron; « С'. î *.»м бегуганч волнам, скорости которых атлмчпкисл r¡o знаку, а по абсолютной величине рааиы минимально »юзмоашой скорости А = 2:{ Ьа )У2, . -

Рпсспотрим дд^ачу Кзшп (4-1), с кабальной <{т,-нкод1сй типа

%'еограя'лчс«нсш палочкл" ' ‘ . ‘

■ -i,j (х) — 10 , х- < 0 ; ^.i-j (х), х 2 0 1 . . ■ vVS)

Í ' ’ .1

где u¡ €Е€ (R4-)» ш (х) S 1 , !im к, (х)'-~ +» :г.яика<их сг-

‘ ' v->QS " . ■ .

рги'-г!'.:’;;' ! ::а скорость р^стт. i;j (•■;} не пгислплыклетсп. Зал;з»а (.54), сгпето-гг дбл air ;но рпзрл-'тгнллем^х a occ.ícaibut го;л-ч -K'inpn!’.:е:гs-.¡ re-.pim ¡нхт.митс.^прьнх утмг-^ений с «ист-

ккми производными: йсслці.оаогзіс гло^алл-ноГ; разрешимости к изучение асимптотики решения' при болычих ииачскиях ире-мени. Из результаток гла;;г.ї 2 следует, пто решеико задачи (44), (48) сушествуетіййіасьстсйограіи-ї'іиіііікїі ¡¿а ц;>: ком ?«но-жесгвеК1 X [т, + <?*), где £>0 .

Теорема '21. ЇІургь и <х,1) - решение задачи (44), <43)

- ^.і.(х>~|у(х)>ї: 50 ; і-,-х>о|,

функция ¡р (і) определена, из условия ,

.' ••• . ^Ср(г),0 = 1 , 1 >е '

_ ; Тогда решение и<й,-1> сходктсз» к функщш V (х) ко форме

II по скорости, т.е. - .

Хіхап (х + 0 г“г1 (х)> равномерно во х ЄИ1

. ■ 1-4-СЗ ' ". . . ■

Вт.(рг (і)' — —2 (I; а ) ^

<-з>м •, : ,

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдуллаев.УJ\ Режижн с. c£fecxjf<c.-iwcM и-заддчггс для

кяазиликг&цхга уравкккяя тггшв-шсозлсрспоса с »-.оявскци-ей. - Журнал кычнсл; мятси. и млт. физики, 1991, т.31, №3, с. 462-466 . . ' ■

2. Абдул л пса У. Г. О неограниченных решениях пелиней-

иоюурав«С1Н1«-тсш!Опрокаг|поспг.со стоком.-Журила вычмсл. »t.itcm. и мат. физики, 1C92, тЗ2, N?S, с. 1244-1257 .

3. Абдуллаев У .Г, Q отоссгаов&аг»} гежгравкчеиннх решс-в-вй. нелинейною уравнения тсплопроподзгостя .со стоком. -Журп. выч«сл. г^стгел. и :тат. фн.тгпгн, 1993,т.33, №2, с. 232-245

4. Абдуллаев 7.Г. О локализации пгогрлип’чсшшх решений нсл«Й!сГшогоз'рап1;ец1Гй гЬшоороввлмосгк с переносом. - ДАН России, 1993, т„329, №5, с. 535-537

. 5. Абзудлясо У.Г. HcfflrpsrsiiMeiiKus равеняя ь'алппеш:ых' параболически* у paw »си кй.-Мзтсриа чы *к\ждународного секши ра им. If.Г.- Петровского (шмирь,' 1951). - Успехи мзтемл-т!1’гс.а:кх и.п'!с, 1993, Nn4, c.l72 ■ -

6. Абдуллаев У.Г. .0 ясскрятчеяпмх решениях уравнения' Кояя«ж^кжэ-Пстро^скош-П«скунова.' Журц.\ вычиел. ма- -

тем. и мат. физики, 1993, Т“33,'№ 5:, с, 671-6^5- . ■ . . ■

- 7. Abdattsev:-U.G;targe Time- БсТйтюаг- of Sdinlidns 'of flic

‘Nonlinear Infiltration. Equal?оп,-Яоя1н$е*г Analysis, .Theory, Methods &. Applications, 1993, N? 12 ' ' .. . • . .- •• •

5. AWnftaev. U.’O:. On tiie Sprier, Localisation '.oF- Uflftouridcd

•Boundary Pcrtarbaiions in' Nonlinear Heal Conduction- with . Transfer.'-Applied Mathematics tellers, 19.94,.N® 1-. \ '

і'. АЬгІиІіае-,- и.С. О г; 1-;еЕхк;1еж:ссГ ':пці1:0!и. ст

іНеКаяІіясаг ОНІдешв -ЛЬсофіЬа Е«іиаІкпі.-АррІісаЬІс Ах.аіі-зї5. 1933, № 11 ■ . ’

10. Абдуллаев У.Г. Об устойчивости снммегричших бегущих волн б задаче Коши длк уравнения ]'о^чогс?ро»:а-Пст]к?в-ского-Пискунова. - Дііфф^-рснц. уравиекмк, 1994, тоді ЗО, № 1, с 209-218

11. Абдуллаев У .Г. О неограниченных роажкнхх. неятей-ного ураанегшя теплопроводіюспГс переносом. - Дифферснц. ураг.кеккя, 1994, те.,-.: 2і), № 12. ’

12. Абдуллаев У.Г. О ю- :.-шх локзльіікх оценках іюснтсла решений в задачах для пйлшісйних параболических ураьнс-шш . - Математический сборник., і 994, №1.

'Абдулл а]еи Угур КулЬуееік огду -

Геірк-хстти параболик ті»до:&лор»іі пг]р«-*»аї»дуд «о далга типли Ьаллорн. ,

Хуласэ

Днссертаси]л ге]ри-хатти параболик тик хусуси терамшіи диффсреясиал танляклорми поллоршшк &е]фкцг>тча о]рзаил-мосинэ Ьаср олунмушдур. Гсури-хотти диффузіф-абсорбоуа (диффузи}а-ксшвексіуз) таїїяіфг учуй ш}уЗшуш бкршічи пвь баїклаїігн ч-еорпод масалесикіїн ііхтіі]ар;і артма сур’атинэ малик олав соріїад.-функсіуаларкна. уігуи Ьодларкнил фаза узра локаллашмзеы'.небзт олунмуш бо їіошін Ьэллэр учун сэр-Ііед функс1|]аларыкык артма сур'отші;юп ас:>:ль: олма]>'ш пи МЭТЛЭКДИрМОЛвр гурулмушдз'-р. ГеІрн-ХЙТТЇІ Иароболик. тенликлар учун пуудмуш Коши на серпод мосол олариніш их-•пфри артма сур’отино малш: рлан башланшч функауалара уігук- умуміїлашмиш Ьаллинин варлглгы исбаг олунмуш ва зэйф а ни локаллашмз єффектй - Ьалл ті ихтіуари мусбэтзамак

i e;p.;-:;o: /a;^ . ,.'z.-.r .

c.i.■ T.-r.j,,::;; ; j.i

,.;iy! yiy; l;sjy;::.jy :i N'.r.ij.; v:’C;V!0-

'¡¡cia.:;: s;«:«.icn c.d-’"i■ '¡om ¡¡C-

r-; rcviya a ,:ytaYHyH,'o.';',raea.-?uTa7a;: Aycryi’ Mi'i tp. 'Co.r'o:iTvr.’po'.ics'.it,flvar.i-.03tou-

ara'-nr: 'vrv; o y. ? '?;i;iti:c’,’?’«"-

a;i nt'tan ¿atroj.-i ji: :ra;.;acn :xcijt 0”yij..!yiH,ayp

Ligur G. Abdullaev •

Uiibr>t:i^‘cu ~ ;d Trn*jj Wave Se-isiV.as of t!:o Nonlinear Parabolic Ei^jaiions.

Dissertation deals with the nonlinear partial differeiilia! equatioroi cf !he pcnibofic type. It is proved that solutions of the fiist bounJary-vatae problem for nonlinear d:fvusioit-abswb':on '.diffusion-con voct?on> conation s.’init the phcnc.cenon of space 'ocab’zatior: v.-uhout any rci-lnciicn oa the grcrvfh of tojadary fanct'ons. Tbo upper estimation ’vr.ich docs net depend cn the boundary fractions is established. It is proved the c•■;!•;u^ cf

¿-•ncrn!;::''"’ vo;aiio’e; of !ha Cauchy and fir ; boaaaarv--.rav,; pioLlcias :\-r aoa!; ’’ear di¡Tu ;icn-e.b';;ori'i:oa equation vehniU ;::>v restrict!;'.-! on the ¿rov.ih of initial function at infiait/. The phci omcr.on <T inslniitanci«* shrinking of support in Cauchy problem ?or;in,dlri,:;*rp:'r;d-,-;:c equaiiaf> :i proved. It is proved :he exact asymptotic fcr;nu!a'fr:.- bound of support of the solution. The Cauchy probie:n for Kolmogorov, Petrovsky and Fbjcouncv equation v.ador fir.itary or >,;.:ign!ar initial function, atnvcll as under r.uniunlwavjcd initial function is investigated. I*, is proved thai such soluti.'iis eonverre to iraveilin;; vaves wi’J] niioimai speed

d ¡"nr r.o ri ca’.y.C.ip >by>r.iroja..iapa yjrya

Summary