Неравенства для рациональных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЗВЕДЕШЕ

ЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 1*1. Основные определения.

§ 1.2. Некоторые свойства подобластей Грина

§ 1.3. Теорема о покрытии подобластями Грина

§ 1.4. Интегральные оценки ядер Коши.

7ЛАВА 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ШЗКЦИЙ

§ 2.1» Основные определения.

§ 2*2. Допустимые классы кривых .»

§ 2.3» Оценки производных рациональных составляющих на произвольных континуумах.

§ 2.4. Континуумы типа SE « Оценки производных рациональных составляющих на континуумах типа SE.

§ 2.5* Оценки вариаций рациональных функций на рационально спрямляемых кривых

§ 2»6. Интегральные оценки производных рациональных функций на континуумах положительной площади.

Экстремальные задачи на множестве рациональных функций (р.ф.) и неравенства между различными нормами р.ф. и их производных представляют одно из основных направлений исследований в теории аппроксимаций рациональными дробями.

В 1940 году А.Дж.Макинтайером и В.Г.Дж.Фуксом Г11 была рассмотрена задача об оценке логарифмической производной р.ф. на подмножествах комплексной плоскости. Систематическое изучение дифференциальных свойств р.ф. как аппарата приближения началось в 50-х, 60-х годах в работах

A.А.Гончара [2,3] и Е.П.Долженко . В этих работах }для получения так называемых обратных теорем теории рациональных аппроксимаций был разработан ряд ноеых методов оценок производных р.ф. одной и нескольких вещественных переменных. Примечателен тот факт, что в отличие от производной многочлена производная р.ф. Л не может быть оценена во всех точках заданного (основного) множества EI только через норму И в и степень "R . На подмножествах, сколь угодно близких по мере к основному множеству, точные неравенства для производных рациональных дробей были установлены Е.П.Долженко 16] (рассмотрены и вещественные,и комплексные р.ф.). На всем основном множестве (отрезок или прямая) экстремальные оценки производных дробей через мажорантные функции определенного вида были получены

B.С.Виденским [7] и В.Н.Русаком [23^ .

Существенную часть исследований составляют экстремальные задачи и неравенства для р.ф. и их производных в интегральных метриках. Результаты в этом направлении были опубликованы в работах Е.П.Долженко [5,8,12,18,19,20,24,26,14 1, Е.А.Севастьянова [11,12,22] , В.И.Данченко [19] , В.Н.Русака [23] , А. А.Пекарсюго [251 , В.В.Андриевского[271 В этих работах были получены оценки тейлоровских остатков в метриках , многомерных вариаций и интегральных модулей непрерывности (р.ф. нескольких вещественных переменных) [5,11,12,14,19,24,26] , неравенства для производных в метриках Ly и метриках Харди и Литтлвуда в областях комплексной плоскости [8,18] , оценки производных на спрямляемых кривых в метриках L^ , интегральных модулей непрерывности ■ на кривых, коэффициентов Лорана и Фурье [8,23,20,22,24,25, 26,27] .

Значительный интерес вызывают задачи об оценках норм голоморфных и рациональных составляющих мероморфных функций на континуумах, разделяющих особенности этих функций. При наличии достаточно жестких ограничений на разделяющий континуум (именно, когда континуум - окружность или аналитическая кривая) оценки норм составляющих были получены В.Э.Кацнельсоном [9,10], А.М.Бочтейном [10] , С.И.Поредой, З.Б.Саффом, Г.С.Шапиро [13]. Для случая произвольных разделяющих континуумов оценка нормы была получена

А.Гончаром, Л.Д.Григоряном [16] . Точные по порядку оценки были найдены Л.Д.Григоряном [17] , А.А.Пекарским [25] в rex случаях, когда разделяющие континуумы являются жордано-зыми спрямляемыми кривыми, на которые наложены некоторые *ополнительные ограничения.

Ооновное содержание данной работы группируется вокруг неравенств для производных р.ф» комплексной переменной и оценок норм рациональных составляющих мероморфных функций.

Первая глава посвящена изучению некоторых свойств конформных отображений произвольных односвязных областей на единичный круг. Результаты этой главы являются вспомогательными и используются при доказательстве теорем гл. 2 и 3. Вторая глава посвящена оценкам производных рациональных дробей» Все основные результаты этой главы можно разбить на три группы : 1) оценки на произвольных континуумах и континуумах определенных классов через мажорантные функции, представляющие собой суммы модулей производных простейших дробей, .нормированных на рассматриваемом континууме (теоремы 3,4); Z) интегральные оценки на кривых предельно широкого класса (теорема 5) ; 3) интегральные оценки в областях и на континуумах положительной площади (теоремы 6,7). В третьей главе установлены оценки для максимума модуля рациональной составляющей мероморфной функции £ в случае произвольности континуума, разделяющего особенности £ (теорема 8).

Перейдем к подробному обэору содержания диссертации по главам и параграфам.

Как уже говорилось, первая глава является вспомогательной. В первом параграфе даются необходимые определения.

Пусть От - произвольная односвязная область замкнутой комплексной плоскости С о границей , содержащей более одной точки, - какое-либо конформное однолистное отображение области Сг на единичный крур U = < Л } с условием = 0 .

Подобластями Грина области Gr будем называть области вида 1-й? ? где i , 0<-k< d > при этом будем писать ТСС©) = & .Во втором параграфе устанавливается ряд свойств подобластей Грина. Результаты этого параграфа применяются при доказательстве следующей основной в гл. 1 теоремы из § 3 о покрытии подобластями Грина И - точечного подмножества области &

Теорема 1. Пусть У1 - точечное множество Й " fQ± п. \ содержится в односвязной области G и > d , точки <Xj не обязательно геометрически различны) , £> 0 . Тогда Н можно покрыть конечной совокупностью подобластей Грина (М 4 ЛСогч области G- со свойствами :

М . кг—• 4- £+£

1) 2х —« Л(п yiUt (en-) ; ж= 1 ) п

I i TVl

2) гз 1 при всех UGn U Sw

Здесь и всюду ниже через АС-) , AjC") обозначаются положительные конечные величины, зависящие только от указанных в скобках аргументов, через А

- положительные константы.

-h

B последнем четвертом параграфе гл.1 установлено неравенство

Г coff«,9&» Iе®' со (Pi) Pi

Э® ; j-1 где 3) - подобласть Грина произвольной односвязной области Gr ( с границей DG- , содержащей более одной точки) , со(х-) ( х > 0 ) - положительная невозрастающая функция, £3 - некоторые точки из G- , количество }(£>) которых зависит лишь от G и Ф и не превосходит А/КС20 , fj = (f - евклидово расстояние), уч. =1,2,.

Вторая глава посвящена оценкам производных р.ф. В первом параграфе даются необходимые определения.

Пусть Г - локально спрямляемая кривая на С . Для р.ф. Л , полюсы которой не лежат на I1 , через VcytCR?r)= обозначим полное изменение 32. вдоль Г . При П = 1,2,. положим , где супремум берется по всем р.ф. R с и ШИссг) ^ ^ •

Пусть YCr) = Mf> [Vaл(1,Г) : г(50»а/С56-0,ягцССг)^1 } . Определим некоторые классы кривых Г • 1) Г £ V » е°ли n £ .clef Гя1едА(Гл2>)

YCD < «о в 2) Г е S , если Шг) = шр —-— оо где 3 - произвольный открытый круг на плоскости, dicmi Ь его диаметр, а тпей1(Гп^>) - длина той части кривой Г которая лежит в <Ь (с учетом кратности точек Р в случае самопересечений Г ). 3) Г е , если

4) Класс Ф определим следующим образом. Обозначим через ^^ % то значение Ач^ % , для которого -%<evt(j(£%, ^ <31 . Пусть - параметрическое уравнение кривой Г от натурального параметра л. и

ФСгО ^ SUP [ Ц cutj^ I ^ где СуПр8МуМ берется j i ^ по всем конечным разбиениям = C^-j ^ кривой V в порядке возрастания значений натурального параметра л,

А А

Считаем, что Г £ Ф , если ^(Г) < 00 . (Класс ^ иногда называют классом Радона - см.напр. книгу Й.И.Данилюка I

15] .) Отметим, что если Г - гладкая кривая, то Ф(Г) = класс кривых Ляпунова) , С если модуль непрерывности <огС-д} единичного вектора касательной к V как функции натурального параметра удовлетворяет УСЛОВИЮ 5 ООрС-4-) (1-й. < оо

Во втором параграфе в основном рассматриваются задачи о соотношениях между определенными выше классами кривых. Для этого устанавливается ряд неравенств для функций "V , Si , "ST , • Например, доказывается, что всегда

УОЛ^ЯСгО , ACrVttYao/4 • "УСг)«2С<Зс+^,Сг')) ; если Г е L , то ; если р - кусочно гладкая кривая (пишем Ге С ), то ilCD < . Отсюда получаются включения : Z с фс 'S с V , ^ с $ , С с ^

Достаточно сложное доказательство неравенства ^СГ* Е Г^ + ^СГ)) в случае замкнутой кривой Г1 £ Ф имеется в [15]. В §2 приводится элементарное доказательство этого неравенства для произвольной кривой Г С $

Отметим, что в теореме 5 гл.2 устанавливаются неравенства V^cr) ^ А5 зг £ц3(<гю VCГО ( л= 1,2,.), из которых вытекает, что V является максимальным классом тех кривых Г , на каждой из которых полное изменение произвольной р.ф. Л может быть оценено только через ■ ИИ С его и степень функции "Н

Пусть Е - произвольный континуум на С , разбивающий С (т.е. С ^ Е распадается не менее чем на две связные компоненты), А - какая-либо конечная совокупность попарно различных областей, каждая из которых является компонентой множества С 4 Е . Скажем, что функция £ принадлежит классу АдСеО , если она мероморфна в каждой области совокупности А и определена и непрерывна в некоторой окрестности континуума Е . Пусть £ -^л^®^ • Через £д обозначим сумму главных частей лорановских разложений ■£ относительно всех полюсов dP , лежащих в объединении областей совокупности А , а через

- степень р.ф. :£д . Будем называть fA рациональной составляющей функции f относительно совокупности А .

В третьем параграфе доказано следующее предложение. Теорема 3. Для функции "В. е в объединении областей совокупности А найдутся точки ij в количестве )3 « А3 эгл(30 €nsCe такие, что при всех и всех р. — 1,2,. (а в случае неограниченности дополнения к каждой области & £ А - также и при уч =■ О ) будет

Если Ц является р.ф. , то для некоторой совокупности А имеем И'-Л'^ и, следовательно, из последнего неравенства получается также оценка производной самой функции Л . Эту теорему интересно сравнить со следующим результатом, принадлежащим В.Н.Русаку [23] . Пусть "р it многочлен степени ж > 1 , Л(х) =Тоо/ Я l^-^jl , где

J=i

- комплексные числа с \ж 4s- 0 . Тогда при х((-«о®)

Л \ Згт ■ 1 имеем IR ^ № II nf Л -; при каждом п Iйсуществует функция указанного вида, для которой это неравенство превращается в равенство при некоторых х с С-«о,00} .

В четвертом параграфе рассматривается класс SE всех континуумов ЕI , обладающих следующими свойствами : каждая связная компонента G-.Cej") дополнения к имеет границу ^G-j(E') 9 являющуюся подмножеством некоторой кривой 1\СО класса 5 > причем величина ЦО^СЕ")) (см.выше определение класса S ) зависит лишь от Е , но не от j= . Для континуумов класса SE теорема 3 распространяется на метрики Ly

На основании результата третьего параграфа в пятом параграфе устанавливаются оценки полных изменений рациональных составляющих мероморфных функций вдоль спрямляемых кривых. Доказано, в частности, следующее .

Для любой локально спрямляемой кривой J7 имеют место неравенства ;

Л7 СГ) * А5 л&гЧеЮ VClO ( 7L ~ 1,2,. .).

Ранее Е.П.Долженко Г8,20] были установлены точные по порддку неравенства VuCr) sACDot. в случае достаточной гладкости кривой V ; вместе с тем показано, что спрямляемость и жордановость кривой Г и даже, плюс к тому, существование касательной в каждой её точке еще не гарантирует какой-либо оценки полного изменения вдоль V р.ф. только через ее степень и норму в CCD . В связи с этим им (см. 1201 ) были поставлены следующие задачи: описать максимальный класс кривых, допускающих оценки этого типа; найти зависимость оценок величин V^CD от ж и Г в общем случае. Как видно из приведенных оценок величин У^СЮ через п и VCr") , класс У является максимальным в указанном смысле. Это утверждение в качестве гипотезы было подсказано автору Е.П.Долженко. Справедливость гипотезы была доказана независимо автором и В.В.Андриевским [271 , получившим следующее неравенство: V (Г) УСГ)

В [31] показано, что множитель Ап^ здесь можно при любом £ > 0 заменить на А. На кривых некоторого подкласса класса V точные по порядку Я оценки Уи(Г") были получены также А.А.Пекарским [25] . в случае дуги Г окружности Е.П.Долженко [20] доказано равен

С"" ство УЛ(Г) = . Точные неравенстве для вариаций рациональных составляющих мероморфных функций на окружности, разделяющей особенности этих функций, были найдены Е.А.Севастьяновым [22] . Автором в [29] было показано, что V^Cr) ^

Отметим, что с учетом указанных выше соотношений между величинами У , SL , М7 , «Ф из оценок величин через Т1 и VCD получаются следующие неравенства

AntnW)-1 Vn(D ^ IHD < ЯЧ700Д

В шестом параграфе для производных р.ф. найдены оценки в метриках Харди и Литтлвуда в областях с границами класса S и некоторые интегральные оценки на континуумах положительной площади. Пусть G- произвольная односвязная область, граница "5G которой является кривой класса 5 • Фиксируем произвольно точку а е От , и при 0< ч. < через G^- обозначим связную компоненту открытого множества >4 j , содержащую точку OL . Нетрудно показать, что G^ является жор-дановой областью, граница которой принадлежит классу 5 • Пусть функция 1 определена и непрерывна в области G- э , ^ > 1 , yf<rt<f(a^G:)J при

Т г и

A^C^f ) = О при .

Пусть также 0 < oL < °° , 0 < .X « . Положим

Функционал И^ ^ , называют нормой Харди и Литтлвуда.

Основной результат шестого параграфа - теорема б об об оценке величины WTl'll^ ^ через норму Iffil/^c^ > 1 ) р.ф. 12 в зависимости от соотношений между параметрами oi. , f д. f G . Здесь мы приведем один такой результат при критическом соотношении между этими параметрами : <1 - d+

Предложение. Пусть G- - область, ограниченная кривой ^^ класса S , И - р«ф» степени , аналитическая на G- » 4 00 ,i<f<oo , я>о , «I = 1 + d/f~ .

Тогда т

1*де Л^^ид))'4,

Ранее Е.П.Долженко [18"] в случае области G- с достаточно гладкой границей и j> - °° было, в частности, показано, что

Г f ' 8СЛИ ^^

AU,<p-ilLh^ < j ht(eon , если л = ±, ц1-^ ? если 1-1/г<о1<1. и что при eZ. < i- никакой оценки для \\~R'Й^ ^ ^ & /hr через не существует .Было также показано [8],что при эта оценка остается в силе и в критическом случае оС = ±- . в связи с этим Е.П.Долженко поставил вопрос о существовании такой оценки в критическом случае oi=4- > ф £ . Как мне сообщила С.Н.Николаева, его получены в случае единичного круга ИЧ'й!4! неравенства для q х \j С аналогичные неравенствам теоремы б , соответствующим случаю J. > 1+, но без логарифмического множителя в правой части) и показано, что при и < 4 + -величина III?' )| «1,^,0.,и не может быть оценена только через <п. и № II л^сэи) • Этот результат С.Н.Николаевой приведен в обзорном докладе Е.П.Долженко [26] нэ международной конференции по теории приближений (Киев,1983). Критический случай же d = d/j> - V^ оставался полностью неизученным (исключая лишь упомянутый выше случай =

Ранее автором [28] было показано, что при л = имеем: * f > 1 , » 1 ).

В заключительном седьмом параграфе гл.2 без доказа1 тельств приводятся приложения некоторых результатов гл.2 к обратным теоремам теории рациональных аппроксимаций. Доказательства не приводятся ввиду их стандартности.

Третья глава посвящена оценкам норм в метрике ССЕ} ( Е произвольный континуум, разбирающий плоскость) рациональных составляющих ( Л=ЛСе") ) функций класса ЛЛ(ЕП (определения см. Еыше). Основным результатом главы является следующая теорема из первого параграфа.

Теорема 8. Пусть С - континуум на С , разбивающий С , А произвольная конечная совокупность связных компонент множества С^ С , каждая из которых имеет неограниченное дополнение, -?еЛ1А(0 } ог = . Тогда г

ССЕП nln(en) И^сСЮ '

Ранее задача об оценке нормы рациональной составляющей мероморфной функции в случае, когда совокупность А состоит из одной области , рассматривалась

В.Э.Кацнельсоном [9,10] А.М.Бочтейном [10] (в случае, когда Е - окружность, a GCE) - ее внутренность) : "f^CCE)* f С.И.Поредой, Е.Б.Саффом и Г.С.Шапиро [13] ( Е - аналитическая кривая, GCG) - ее внутренность) : порядок роста АСЕ,01) не указывается) ; без наложения каких-либо дополнительных ограничений на область GCE) А.А.Гончаром и Л.Д.Григоряном [1б1 было установлено неравенство

Л«ССЕ) 4А51 К!

ССЕП •

Автором в [31] показано, что множитель Л^ здесь

А. +■ £ можно заменить при любом £ > 0 на Л(£) эт Точные по порядку П оценки вида получены Л.Д.Григоряном [17] (для произвольных жордановых гладких кривых E=3G(e)) и А.А.Лекарским \25] (для класса кривых Е , определяемого через свойства конформного отображения области G-СнО на единичный круг и содержащего, в частности, радоновы кривые без точек заострения).

Во втором параграфе рассматриваются некоторые приложения теоремы 8 к теории рациональных аппроксимаций.

В заключение отметим, что во всех приведенных выше оценках, содержащих множитель Зц (е?П , этот множитель можно заменить на Сеог") при любом £>0 .

Результаты диссертации получены и опубликованы в статьях [28-311 без соавторства. Кроме того, некоторые результаты отмечены со ссылкой на автора в докладах Е.П.Должен-ко на всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимаций функций в комплексной области (Уфа, 1980) и на международной конференции по теории приближений (Киев, 1983). Результаты диссертации докладывались автором на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством проф. Е.П.Долженко , на научно-технической конференции во Владимирском политехническом институте (1983) и на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль, 1984). S

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянову за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Machityxe A J., Fucks W.H.J. 1.i^ualities for ike logariikvnic derivatives of polmomialJ.London ^ji.Soc.,i940?i5,tf%l&2-l£8.

2. Гончар А. А. О наилучших приближениях рациональными функциями. ДАН СССР, 1955, т.100, № 2, с.205-208.

3. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях на замкнутых множествах.- ДАН СССР, 1959, т.128, № 1, с.25-28.

4. Долженко Е.П. О свойствах функций нескольких переменных, достаточно хорошо приближаемых рациональными дробями.Известия АН СССР. Серия матем., 1962, т.26, с.641-652.

5. Долженко Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций.- Матем. сб., 1962,т.56, №4,с. 403-432.

6. Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций.-Известия АН СССР. Серия матем., 1963, т. 27, о. 9-28.

7. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей. Известия АН СССР. Серия матем., 1962, т.26, с. 610-617.

8. Долженко Е.П. Рациональные аппроксимации и граничные свойства аналитических функций. Матем. сб., 1966, т. 69(111), с. 497-524.

9. Кацнельсон В.Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями Теория функций, функциональный анализ и их применения. ^Харьков, 1967, Ш 4, с. 58-66.

10. Бочтейн A.M., Кацнельсон В.Э. Оценки нормы проекторав одном пространстве аналитических функций. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1970, № 42, с. 81-85.

11. Севастьянов Е.А. Некоторые оценки производных рациональных функций в интегральных метриках. Матем. заметки, 1973, т. 13, № 4, с. 499-510.

12. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Приближения рациональными функциями в интегральных метриках и дифференцируе-мость в среднем. Матем. заметки, 1974, т. 16, № 5,с. 801-811.

13. Poreda S.\.fSaU ЕВ.and SU|iro Gr.S. Fundamental Constants lor rational functions. Trans. Amer. Math,. See. 9 1924, v. 489 , у 351-358,

14. Долженко Е.П. О связи между свойствами функций и скоростью их приближения рациональными функциями со свободными полюсами и полиномами. В кн.: JY республиканская конференция математиков Белоруссии. (Минск, 1975). Тез. докл. Ч .II , 1975, с. 119-120.

15. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1965.

16. Гончар А.А., Григорян Л.Д. Об оценках нормы голоморфной составляющей мероморфной функции. Матем. сб., 1976, т. 99(141), с. 634-638.

17. Григорян Л.Д. Оценки нормы голоморфных составляющих мероморфных функций в областях с гладкой границей. -Матем. сб., 1976, т. 100(142), с. 156-164.

18. Данченко В.И. Об одной интегральной оценке производной рациональной функции. Известия АН СССР. Сер. матем., 1979, т. 43, №2, с. 277-293.

19. Данченко В.И. Оценки вариаций рациональных функций на спрямляемых кривых; Владим. политехи, ин-т, Владимир, 21 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 08.08.80, Jf? 3515-80 Деп.

20. Данченко В,И. Некоторые интегральные и локальные оценки модулей производных рациональных функций; Владим. политехи, ин-т, Владимир, 26 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 06.10.82, Ш 5098-82 Деп.

21. Данченко В.И. Оценки производных рациональных функций на континуумах; Владим. политехи, ин-т, Владимир, 13 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 26.11.82, № 5886-82 Деп.