Неравенства типа Либа-Тирринга и их приложения в спектральной теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ЛИБА-ТИРРИНГА

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 01.01. 01-вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК-517.5

Барсегян Диана Смбатовна

МОСКВА 2010

004610942

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-маггематического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор Кашин Борис Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Асташкин Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, Ильин Алексей Андреевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

имени Н. Г. Чернышевского

Защита диссертации состоится 22 октября 2010 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультет МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 21 сентября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В связи с исследованием вопросов спектрального анализа в 1976 году Либом и Тиррингом 1 была доказана следующая

Теорема А. Для произвольной ортонормированной системы действительнозначных функций Ф = {(/Jj}^! С L2(R2), N — 1,2,... имеет место неравенство

Г N

Jr2 U

в (1) и ниже

N 3=1

С— абсолютная постоянная, и, как обычно, Vy> =

Для функции / € L2(R2) определим преобразование Фурье:

f(x,y) = ±J f&rie-t^dtdTi.

Тогда неравенство (1) может быть преобразовано к виду

[ p^dxdy^CY] [ (x2 + y2)\ipj\2dxdy. (2)

J Д2 J в?

В дальнейшем серия неравенств типа Либа-Тирринга для ортонормиро-ванных систем была установлена многими авторами(см., в частности, Б. С. Кашин 2, А. А. Ильин 3, С.В. Асташкин 4, Р. Темам 5).

Интерес к неравенствам типа Либа-Тирринга связан с их приложениями в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. подробнее работы3,5). Известные методы доказательства этих

1Е. Lieb, W. Thirring, "Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schrodinger hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities", Stud. Math. Phys., Essays in Honor of Valentine Bargmann, Princeton Univ. press, Princeton, 1976, 269-303.

2Б. С. Кашин, "Об одном классе неравенств для ортонормированных систем", Матем. Заметки, 80:2 (2006), 204-208.

3А.А. Ильин, "Интегральные неравенств Либа-Тирринга и их приложения к аттрактором уравнений Навье-Стокса", Матем. сб., 196:1 (2005), 33-66.

4С.В.Асташкин, "Неравенство Либа-Тирринга для Хр-норм", Матем.Заметки, 82:4 (2007), 163-169.

5R. Тешат, Infinite-Dimensional Dinamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New-York, 1997.

неравенств, основанные на нетривиальных результатах из спектральной теории, используют информацию о поведении отрицательных собственных значений операторов типа Шрёдингера (см., например, работу5). Неравенства типа ЛибагТирринга широко применяются в физике. С их помощью исследуются спектральные свойства некоторых линейных операторов типа Шредингера. Они играют значительную роль в оценках для спектра линейных операторов, возникающих в нелинейных эволюционных уравнениях.

Неравенства Либат-Тирринга применяются также для оценки сверху размерности глобальных аттракторов двумерных систем уравнений Навье-Стокса.

Утверждение Теоремы А фактически эквивалентно следующей оценке для отрицательного спектра —А^- = — АДУ) оператора Ь-ф = —Аф—У'ф в Ь2{В?) с неотрицательной функцией V 6 Ь2(Я?)

где С-абсолютная постоянная.

Доказанные в настоящей работе неравенства типа Либа-Тирринга применяются для доказательств оценок снизу собственных значений операторов типа Шрёдингера.

Ильиным (см. работу3) была доказала

Теорема В. Пусть Ф = С Ь2^1), N = 1,2,...- ортонор-

мированная система действительнозначных функций, заданных на единичной окружности 51, с (pj ± 1, j = 1,..., ¿V, N = 1,2,... Тогда имеет место неравенство

где = |А:|2 производная от функции /(г) — ^ /кгк € Ь2(5Х) порядка С-абсолютная постоянная, а /х- нормированная мера Лебега

В работе2 Кашиным был предложен новый подход к неравенствам типа Либа-Тирринга, основанный на аппарате теории ортогональных рядов: неравенствах для случайных рядов и классической теореме Литтлвуда-Пэли.

на 51.

Пусть

Ф - С причём ^ X 1, У = 1,..., N.

Определим оператор

Рф : 11] —► Ь2^1),

действующий по правилу:

1=1

Пусть также при у = 0,1,...

тг„ : ¿2(5х) —♦ Т2„ -ортопроектор на пространство тригонометрических полиномов вида

Т2» = {*(*):*= Е акхк

и пусть

А„(Ф) = ||тг„ • : ^ —(3)

Очевидно, что А„ < 1, если Ф ортонормированная (или субортонорми-рованная) система. Поэтому следующее утверждение (см. работу2) обобщает теорему В.

Теорема С. Для любой системы действительнозначных функций Ф = заданных на единичной окружности 51, с ^ _1 1,

j = 1,..., И, имеет место следующее неравенство

оо N

у=0 j=l 2"~1<\к\<21'

где при V = 0,1,... 7ДФ) = 2/з=очисла А^(Ф) определены в (3), а С— абсолютная постоянная.

В работе Асташкина с использованием аппарата теории функций получено неравенство типа Либа-Тирринга, в котором в правой части норма пространства Ь2 заменена на норму пространства Ь?, р > 2. Точнее, в работе4 установлена

Теорема Б. Пусть к, I € /V, к >2и к делится на I. Тогда существует константа С = С (к), такая, что для произвольной ортонормированной (или субортонормированной) системы действительнозначных функций Ф = С ЩБ1), N = 1,2,... с 1

N \ —

Р%с1ц < С(к)(Е УТIIи) ' ■

I,

Цель работы. Целью настоящей работы является получение новых неравенств типа Либа-Тирринга и их использование в спектральной теории.

В диссертации исследован вопрос о возможности усиления неравенства (1), точнее вопрос о справедливости неравенства:

с некоторой абсолютной постоянной С.

Из классических теорем вложения вытекает справедливость неравенства (4) при N = 1.

Ясно, что выполнение для системы Ф оценки (4) гарантирует и выполнение неравенства (1).

Оказалось, что (4) имеет место не всегда, но справедлив немного ослабленный вариант этого неравенства, полезный в приложениях.

Методика исследования. В работе используются методы случайных и тригонометрических рядов и методы спектрального анализа неограниченных самосопряженных операторов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:

1. Построен пример последовательности ортонормированных систем функций Фд; = {<£j}!j=l в L2(R2), N —-> оо, для которых (4) не имеет места.

2. Установлено, что неравенство (4) становится справедливым для любой ортонормированной системы, если в нём абсолютную постоянную С заменить величиной C(N) < C'lnN, С'-абсолютная постоянная. Также доказано, что неравенство (4) верно для ортонормированных систем функций специального типа.

3. Найдены новые приложения установленных в диссертации неравенств типа Либа-Тирринга в спектральной теории.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты относятся к теории ортогональных рядов, к теории дифференциальных уравнений с частными производными и к спектральной теории.

Аппробация результатов. Основные результаты работы неоднократно докладывались на следующих семинарах:

• "Научно-исследовательский семинар "кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством член.-корр. РАН. проф. B.C. Кашина, проф. Б.И. Го-лубова, проф. М.И. Дьяченко, проф. C.B. Конягина (2008-2010 г.);

• "Ортогональные ряды "кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством член.-корр.РАН. проф. B.C. Кашина и проф. C.B. Конягина (2008

• " Функциональные пространства"кафедры теории функций и функционального анализа факультета математики и информатики Йенско-го университета под руководством проф. Харовски, проф. Шмайссера и проф. Трибеля (2010 г.).

Результаты диссертации докладывались также на следующих международных конференциях:

• "Спектральные задачи и смежные вопросы"(Москва, 18-21 ноября, 2009 г.);

• "Современные проблемы анализа и преподавания математики" (Москва, 17-19 мая, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация занимает 106 страницы текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов и списка литературы, включающего 14 наименований. Нумерация теорем двойная- номер главы и номер параграфа, нумерация лемм тройная- номер главы, номер параграфа и собственный номер.

Основное содержание работы.

Глава 1. Глава 1 посвящена изучению неравенств типа Либа^Тирринга для конечных ортонормированных систем.

В первом параграфе главы 1 построен пример последовательности конечных ортонормированных систем функций, для которых (4) не имеет место. Точнее, справедлива следующая

Теорема (1.1). Существует абсолютная постоянная С > 0, такая что для любого числа И, представимого в виде N = 2ЗМ(2ЗМ — 1 )(М + 1) + 22М(2МЧ~1 — 1), М- натуральное число, в Ь2(В.2) найдётся ортонормиро-ванная система действительнозначных функций Ф = для кото-

рой выполняется неравенство

Параграфы 2-6 главы 1 посвящены изучению неравенств типа Либаг Тирринга для конечных ортонормированных систем.

Построенный в Теореме (1.1) пример показывает точность следующего результата:

Следствие (1.2). Для произвольной ортонормированной системы действительнозначных функций Ф = {íPj{x^v)}1j=l С Ь2(й2), N = 1,2,... выполняется неравенство

[ р% ¿х ¿у < С'(1п N + 1) V [ \ху\\ф£(х, у) Лх ¿у, ¿Е? •'И2

где С' — абсолютная постоянная.

Следствие (1.2)- частный случай следующего результата: Теорема (1.2). Для произвольной ортонормированной системы действительнозначных функций Ф = в Ь2(М2) и любого рационального числа р > 1 имеет место неравенство

[ рр1 йX ¿у < Ср(1пр ЛГ + 1) У) / \ху\РШ2(х, у) ¿х ¿у, Jít? -т2

где постоянная Ср зависит только от указанного индекса р. В главе 1 установлены также

Теорема (1.3). Для произвольной ортонормированной системы действительнозначных функций Ф = в Ь2(К2) и любого р> 1, р € имеет место неравенство

[ р^1 йх ¿у < Ср^>(1пМ N + 1) У2 [ \ху\рЩ\х, у) ¿х ¿У,

-/К2

где постоянная Ср зависит только от указанного индекса р, {р} и \р\-дробная часть и целая часть р соответственно.

Теорема (1.4). Для произвольных натуральных чисел р ид существует абсолютная постоянная Ср,?, такая, что для произвольной ортонормированной системы действительнозначных функций Ф =: с Ь2(112), N = 1,2,... имеет место неравенство

Г м Г

/ р^+Хйхйу<Срл{ЫрМ + 1)Т \хуП\х\^ + тф^(х,у)йхйу.

-/К2 ; = 1 JR^2

Теорема (1.5). Для любого натурального числа в, > 2 существует постоянная С^, такая, что для произвольной ортонормированной системы действительнозначных функций Ф = в имеет место неравенство

/ р% ¿хг... ¿Хй < Сл{\п^-1 N+1) У2 \Х1... ..., хл) ... йхл.

JRd .=1

Глава 2 В главе 2 рассматриваются операторы типа Шредингера с неотрицательными потенциалами: Ь\ ~ —Аф + \ху\рф, где р > 1, и Ь2ф = -Аф + \ху\Р{\х\о + \у\")ф, р^еИ.

Дискретность спектров приведённых операторов проверяется с помощью следующего критерия Молчанова 6:

Для того чтобы спектр оператора Ь = —Аф + С^ф в Ь2(Я4), (I > 2 с неотрицательным потенциалом <3 не был дискретен, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {¿Лг}^ непересекающихся квадратов одинакового размера со сторонами, параллельными осям координат, для которых

А(Аг) < С,

где для любого квадрата О

А(£>) := гп/ф / ((дгайф)2 + Цф2 ) <Ьх... с1ха,

Ф := |-!/>: J Ф2 &х 1... йхд = 1, ф\0 = О, Б -граница квадрата £>

а С постоянная.

С использованием результатов главы 1 в главе 2 установлены Теорема (2.2). Для любого рационального числа р оператор Ьф = —Аф+\ху\рф в Ь2{Ш.2) имеет дискретный спектр {А.,}?^ с 0 < А1 < Аг < ..., Xj —* оо при э оо, и существует такая абсолютная положительная постоянная С'р, что выполняется оценка

-N = 1,2,...

6А. М. Молчанов, "Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка", Труды московского математического общества, т. 2 (1953), 169-199.

Теорема (2.3). Оператор Ьф = —Аф + \ху\рф с числом р > 1, р е в Ь2(М2) имеет дискретный спектр {А-,}^ с 0 < Л1 < Л2 < ..., А^ —> сю при ] —> оо, и существует такая абсолютная положительная постоянная Ср, что выполняется оценка

ЛГ 2Г+1-{р)

V—ч , N р+1

Теорема (2.4) Оператор Ьф = —Д^ + |ж1/|р(|х|9 + с натуральными числами р и д в ¿2(К2) имеет дискретный спектр с 0 < Аг < Л2 <

..., А, —» оо при ^ —-> оо, и существует такая абсолютная положительная постоянная С'р д, что выполняется оценка

^ (1 + 1пР ЛГ) 2р+«+2

Теорема (2.5) Оператор Ьф = —Д^ + |хх... х^\ф в Ь2^), ¿>2 имеет дискретный спектр {А^}^ с 0 < А1 < А2 < ..., А^- —> оо при ] —» оо, и существует такая абсолютная положительная постоянная С'й, что выполняется оценка

А , м4^

]С - —ГТГ1Н> N=1,2,.... (1 4- 1п А^)

Вывод теорем (2.1)-(2.5) из неравенств типа Либа-Тирринга использует метод, сообщенный автору проф. Ари Лаптевым.

Глава 3. Первый параграф главы 3 посвящен обобщению на многомерный случай теоремы С с использованием метода работы 2 .

Второй параграф главы 3 посвящен доказательству неравенства (4) для ортонормированных систем функций специального вида. Установлено, что для ортонормированных систем Ф, состоящих из функций вида !Р]{х,у) = неравенство (4) имеет место. Более того, справед-

лива

Теорема (3.2). Существует такая абсолютная постоянная С, что для произвольной системы действительнозначных функций Ф = {^¡(ОщМУ^и где С Ь2(К) - ортонормированная система, а С Ь2(К)~

нормированная система, имеет место неравенство

•/л2 -/я2

В третьем параграфе с использованием метода доказательства теоремы (3.2) доказано следующее утверждение:

Существует абсолютная постоянная С, такая, что для самосопряженного интегрального оператора К/ :== /я К(х, у)/(у) ¿у в Ь{В) с симметричным ядром К С Ь2{Е?) выполняется неравенство

■ Е (Т£|Ч\\!

где {Л^}^! -собственные значения оператора К и {^}^11-ортонормированная система собственных функций, соответствующих собственным значениям {А,}^; для ифО:

Д„ = {£ : г'"1-1 < ^ш/ < 2"}

и

Д11» - {4 : 2-Й-1 < £здпи < 2-"},

Аи-Ар— декартово произведение прямоугольников Аи и Ар. (17)

Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность своему наг учному руководителю член-корреспонденту РАН, профессору Кашину Борису Сергеевичу за постановку задач, их обсуждение и внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации:

1. Д. С. Барсегян. О неравенствах типа Либа-Тирринга. //Матем. Заметки, 2007. Т.82, №4. С. 504-514.

2. Д. С. Барсегян. О возможности усиления неравенства Либа-Тирринга. //Матем. Заметки, 2009. Т.86, №6. С. 803-818.

3. Д. С. Барсегян. О некоторых приложениях неравенств типа Либа-Тирринга в спектральной теории. //Матем. Заметки. 2010. Т.88, №2. С. 173-177.

4. Д. С. Барсегян. О некоторых приложениях неравенств типа Либа-Тирринга в спектральной теории. //Тезисы докладов секции "Теория функций и теория приближений"Международной научной конференции "Современные проблемы анализаи преподавания математики".-М.:Механик математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2010. С. 10-11.

Подписано в печать 0 9, Ш Формат 60x90 1/16. Усл. печ. я.О')5 Тираж /00 экз. Зака

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение. 1

Глава 1. О возможности уточнения неравенства Либа-Тирринга. 11

§1. Контрпример.11

§2. Об одном неравенстве типа Либа-Тирринга с рациональным показателем.16

§3. Об одном неравенстве типа Либа-Тирринга с действительным показателем. 40

§4. Об одном неравенстве Либа-Тирринга смешанного типа . 50

§5. О неравенстве типа Либа-Тирринга в Rd, d > 2. 58

Глава 2. О некоторых приложениях неравенств типа Либа-Тирринга в спектральной теории. 70

§1. О существовании дискретного спектра для некоторых дифференциальных операторов. 70

§2. О спектре оператора типа Шредингера L = —Аф + \ху\рф с рациональным числом р. 73

§3. О спектре оператора типа Шредингера L = —Аф + \ху\рф с действительным числом р. 75

§4. О спектре оператора типа Шредингера L = —Аф+\ху\р(\х\д+ \у\я)ф с натуральными числами pviq. 78

§5. О спектре оператора типа Шредингера L = — Аф+\хх. xd| ф в L2(Rd) с натуральным числом d > 2. 80

Глава 3. О неравенстве типа Либа-Тирринга для систем функций специального вида. 83

§1. О неравенствах типа Либа-Тирринга. 83

§2. О неравенстве типа Либа-Тирринга для ортонормированных систем функций специального вида. 87

§3. Об одном неравенстве для ядра интегрального оператора . 95

Актуальность темы. В связи с исследованием вопросов спектрального анализа в 1976 году Либом и Тиррингом ([1]) была доказана следующая

Теорема А. Для произвольной ортонормированной системы Ф = С L2(R2), N = 1,2,. имеет место неравенство

Г N (1) Jr2 3=1 в (1) и ниже N

С— абсолютная постоянная, и, как обычно, V<p =

Для функции / б L2(fi2) определим преобразование Фурье:

27Г Jr2

Тогда неравенство (1) может быть преобразовано к виду

В дальнейшем серия неравенств типа Либа-Тирринга для ортонормнро-ванных систем была установлена многими авторами(см., в частности [2], И, [4], [5],[9]).

Интерес к неравенствам типа Либа-Тирринга связан с их приложениями в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. подробнее [3], а также [9]). Известные методы доказательства этих неравенств, основанные на нетривиальных результатах из спектральной теории, используют информацию о поведении отрицательных собственных значений операторов типа Шрёдингера (см. например [9]). Неравенства типа Либа-Тирринга широко применяются в физике. С их помощью исследуются спектральные свойства некоторых линейных операторов типа Шредингера. Они играют значительную роль в оценках для спектра линейных операторов, возникающих в нелинейных эволюционных уравнениях.

Неравенства Либа-Тирринга применяются для оценки сверху размерности глобальных аттракторов двумерных систем уравнений Навье-Стокса. О

Утверждение Теоремы А фактически равносильно следующей оценке для отрицательного спектра = —Xj(V) оператора Ьф — —Аф — Уф в L2(R2) с неотрицательной функцией V Е L2(R2)

С [ V2dxdy, А,>0 • Jr2 где С-абсолютная постоянная.

Доказанные в настоящей работе неравенства типа Либа-Тирринга применяются для доказательств оценок снизу для спектров некоторых операторов типа Шрёдингера.

Ильиным (см. [3]) была доказана

Теорема В. Пусть Ф = {<Pj}$Li С L'^S1), N = 1,2,.- ортонор-мированная система действительнозначных функций, заданных на единичной окружности S1, с (pj А. 1, j = 1,., N, N = 1,2,. Тогда имеет место неравенство

Г N j=i где /(1/2) = J2 \k\*fkZk-производная от функции f(z) = ^ fkzk е L2(Sl) порядка |, С-абсолютная постоянная, а ^-нормированная мера Лебега на S1.

В работе [2] Кашиным был предложен новый подход к доказательству неравенств типа Либа-Тирринга, основанный на аппарате теории ортогональных рядов: неравенствах для случайных рядов и классической теореме Литтлвуда-Пэли:

1) Пусть 1 < р < оо, Ф = {ф3}$= 1 и ф3 е LP(R2), 1 ^ j < N. Тогда

И)

СгШрТГыт < г II Е ri№\\bmdt < C\(p)\\p^)\lP{R2), (3)

Jo j=1 где {rj(t)}f=i - система Радемахера, а 6\(р) > 0.

2) Пусть 1<р<оои/е Lp(R2).

Для и и /3, отличных от нуля, введём обозначение

МЯ := [ fe^+^dtdv, (4)

AVt0 = {2>l/l-1 < £sgnv < 2^} x {2M"1 < щдп(1 < 2Щ. (5)

Если и равно нулю, но /3 ф 0, будем считать, что fei(^+m) ^ dr]

VU) = [ +1/

1<r1sgnP<2W}

Также, если /3 = 0, но и ф 0 считаем г}8дп(1<2Щ fe^+^d^drj

6)

МЯI = I /

I |7{21И-1 /

Г2101-1 fe^+w) d£drj

7)

Когда ^ = /3 = 0 | / fe^+^dtdr)

2^\~1<ijsgnp<2W}-[0,l]

МЯ= / /V^'-^d//.

•/[-1Д12

8)

Тогда имеют место следующие неравенства Литтлвуда-Пэли ([10]) c3(p)||/|up(*, < ||( е 1^(/)1)1/2|1ьР(я2)<^4(р)||/1иР(л2), (9) с некоторой постоянной С3(р) > 0, не зависящей от /.

Аналогично, пусть 1<р<ООи/ = Emi,.tmd=-oo ДтЬ ■ ■ • . ^К"1 • ■ • ^d* G Lp(Sd), d> 2. Для Ui,. ,i/d, отличных от нуля, введём обозначение

J"b—

10) где, если |г/| > 3 :

Д„ ;= {2И-2 < тздпи < г'1'1-1}, (11)

Ло := {0}, Дх := {1}, Л-1 := {-1}, Л2 := {2}, Д2 := {-2} и Д„! • • • Ai/d — декартово произведение множеств

AVl,.,AUd. (12)

Тогда имеют место следующие неравенства Литтлвуда-Пэли ([10]) оо

C5(p,d)\\f\\LP(sd] < ||( £ №lt.,vd(f)\)1/2\\Lv(s«) < Ce(p,d)\\f\\c4Sd),

Vl,.,Vd=-00

13) с некоторой постоянной С$(р, d) > 0, не зависящей от /. Рассмотрим одномерный случай. Пусть

Ф = ши С ^(S1), причём щ JL 1, j = 1,., N. Определим оператор

Рф ■ 1% —► L2(,S1), действующий по правилу: N р*({сз}%= i) = Е w

3=1

Пусть также при и — 0,1,. тг„ : L2(5x) —> Т2, -ортопроектор на пространство тригонометрических полиномов вида

•>У-1<Ш<т-г>У *

2"~1<\к\<2" и пусть

А„(Ф) = ||тг„ • Рф : ^ —*Т2,||. (14)

Очевидно, что \v < 1, если Ф ортонормированная (или субортопормиро-ванная) система. Поэтому следующая теорема (см. [2]) обобщает теорему В.

Теорема С. Для любой системы действительнозначных функций Ф = {<fj}f=i, заданных на единичной окружности S1, с ipj L 1, j = 1,., TV, имеет место следующее неравенство оо N

JS1 f=0 j=1 2"-1<|fc|<2" где при и = 0,1,. 7„(Ф) = 52/з=о числа А/3(Ф) определены в

14), а С— абсолютная постоянная.

В работе Асташкина с использованием аппарата теории функций получено неравенство типа Либа-Тирринга, в котором в правой части норма пространства L2 заменена на норму пространства Lp, р > 2. Точнее, в [4] установлена

Теорема D. Пусть к, I £ N, k >2и к делится на I. Тогда существует константа С — С (к), такая, что для произвольной ортонормированной (или субортонормированной) системы Ф — {<Pj}^Lt С L2(,S1), ipj ± 1,

Цель работы. Целью настоящей работы было получение новых неравенств типа Либа-Тирринга и их приложений в спектральной теории.

В диссертации исследован вопрос о возможности усиления неравенства (1). Точнее, вопрос о справедливости неравенства с некоторой абсолютной постоянной С.

Из классических теорем вложения вытекает справедливость неравенства (15) при N = 1.

Ясно, что выполнение для системы Ф оценки (15) гарантирует и выполнение неравенства (1).

Оказалось что (15) имеет место не всегда, но справедлив немного ослабленный вариант этого неравенства, полезный в приложениях.

Структура и объем диссертации. Диссертация занимает 106 страницы текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов и списка литературы, включающего 14 наименований. Нумерация теорем двойная- номер главы и номер параграфа, нумерация лемм тройная- номер главы, номер параграфа и собственный номер.

1. Е. Lieb, W. Thirring, "1.equalities for the moments of the eigenvalues of the Schrodinger hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities", Stud. Math. Phys., Essays in Honor of Valentine Bargmann, Princeton Univ. press, Princeton, 1976, 269-303.

2. Б. С. Кашин, "Об одном классе неравенств для ортонормированных систем", Матем. Заметки, 80:2 (2006), 204-208.

3. А.А. Ильин, "Интегральные неравенств Либа-Тирринга и их приложения к аттрактором уравнений Навье-Стокса", Матем. сб., 196:1 (2005), 33-66.

4. С.В.Асташкип, "Неравенство Либа-Тирринга для £р-норм", Ма-тем.Заметки, 82:4 (2007), 163-169.

5. Д. С. Барсегян, "О неравенствах типа Либа-Тирринга", Матем. Заметки, 82:4 (2007), 504-514.

6. Д. С. Барсегян, "О возможности усиления неравенства Либа-Тирринга", Матем. Заметки,86:6 (2009), 803-818.

7. Д. С. Барсегян, "О некоторых приложениях неравенств типа Либа-Тирринга в спектральной теории", Матем. Заметки, 88:2 (2010), 173177.

8. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, АФЦ. М., 1999. ,

9. R. Temam, Infinite-Dimensional Dinamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New-York, 1997.

10. С. M. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, наука, Мм 1977.

11. A.M. Молчанов, "Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка", Труды московского математического общества, т. 2 (1953), 169-199.

12. Математическая энциклопедия, Наука, М., т.З, 1997.

13. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Наука, М., 1974.М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, JL, Изд-во JTe-нингр. ун-та, 1980.