Операторные и следовые неравенства в алгебрах операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ДИНЬ ЧУНГ ХОА

ОПЕРАТОРНЫЕ И СЛЕДОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА В АЛГЕБРАХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-2 СЕН 201Л

Казань — 2010

004607644

Работа выполнена в научно-исследовательском институте математики и механики им. Г. Н. Чеботарева при Казанском (Приволжском) федеральном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Тихонов Олег Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шерстнев Анатолий Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Веселова Лидия Владимировна Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится 16 сентября 2010 года в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Ну-жина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан 15 июля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.10 при КФУ канд. физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованиям по теории операторио монотонных и операторио выпуклых функций, и связанным с ними неравенствам, а также идейно близкой тематике следовых неравенств и их применению к задачам о характеризации следов на алгебрах операторов.

Различные неравенства, содержащие операторы, следы и веса, являются одним из важнейших аппаратов исследования операторных алгебр и связанных с ними пространств измеримых операторов и билинейных форм. Многочисленные работы посвящены изучению таких неравенств, либо включают подобные исследования как свою существенную часть.

Основы теории операторио монотонных и операторио выпуклых функций были заложены в 1930 годах в работах К. Левнера1 и Ф. Крауса2. Такие функции находят эффективные применения в исследованиях по теории операторных алгебр, в некоторых моделях математической физики, например, в квантовой механике, в квантовой теории связи и информации, а также в экономической теории.

Одной из интересных задач в этой тематике является изучение классов операторио монотонных и операторио выпуклых функций относительно заданной алгебры операторов. В работах3'4 с помощью теории представлений С*-алгебр X. Осака, С. Д. Сильвестров и Ж. Томияма дали описания классов операторио монотонных и операторио выпуклых функций относительно заданной С*-алгебры.

В 2004 г. в работе5 исследуя неравенства для матриц в пространстве с индефинитной метрикой, порожденной симметрией J, Т. Андо доказал, что если функция / : (а, ß) —► R операторио монотонна, то она является операторио монотонной и в смысле естественного порядка на множестве всех J-самосопряженных матриц со спектрами в (а, ß). Этот результат применяется в

'К. Löwner. Über monotone MatrixFunktkmen. Math. Z. 38 (1934), 177-216.

2F. Kraus. Über konvexe Matrixfunktioucn. Math. Z. 41 (1936), 18-42.

3Ií. Osaka, S.D. Sälvestrov, J. Tomiyama. Monotone operator functions on C*-algebras. International J. Math. 16 (2005), 181-196.

4S.D. Silvestrov, H. Osaka, J. Tomiyama. Operator convex functions over C*-algebras. Ртос. Estonian Acad. Sciences. 59, № 1 (2010), 48-52.

5T. Ando. Löwner inequality of indefinite type. Linear Algebra and Appt. 385 (2004), 73-80.

других работах при получении различных матричных неравенств индефинитного типа.

В фундаментальных работах 30-х — 40-х годов, исследуя проблему аксиоматизации квантовой механики, Ф. Мюррей и Дж. фон Нейман заложили основы одного из альтернативных подходов, в котором ограниченные наблюдаемые квантовой системы описываются как самосопряженные элементы некоторого слабо замкнутого кольца операторов в гильбертовом пространстве (такие кольца получили впоследствии название алгебр фон Неймана).

Рассмотрение алгебры фон Неймана как некоммутативного аналога пространства L°° существенно ограниченных измеримых функций является основой развития так называемого некоммутативного интегрирования.

В работах 50-х годов И. Сигала6 и Ж. Диксмье7 была создана теория интегрирования относительно унитарно инвариантной меры на проекторах или, что то же самое, относительно точного нормального полуконечного следа на полуконечной алгебре фон Неймана, получившая дальнейшее развитие в работах многих авторов. Одним из первых достижений в распространении теории И. Сигала на веса, которые являются наиболее общим аналогом интеграла на алгебре фон Неймана, является созданная А. Н. Шерстневым теория пространства Li, ассоциированного с нормальным полуконечным весом (см., например, монографию8). В 1979 г. У.Хаагеруп9 ввел понятие расширенной положительной части алгебры фон Неймана при изучении неограниченных условных ожиданий в некоммутативном коптексте.

В диссертации рассматривается вопрос об описании классов операторно выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана. В отличие от работ3'4 наш подход базируется на некоторых хорошо известных результатах из структурной теории алгебр фон Неймана. Также изучаются неравенства для операторно монотонных функций и элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана и для линейных ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.

6I. Segal. A lion-commutative extension of abstract integration. Ann. Math. 37, № 2 (1953), 401-457.

7J. Dixmier. Formes linéaires sur un anneau d'operateurs. Bull. Soc. Math. France. 81, № 1 (1953), 9-39.

8A.H. Шерстнев. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. - М.: Физматлит, 2008.

9U. Haagerup. Operator valued weights in von Neumann algebras, 1. J. Fund. Anal. 32 (1979), 175-206.

Другое направление исследования предлагаемой работы — следовые неравенства на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах и их применение к задачам о характершации следов в классе всех нормальных весов на алгебрах фон Неймана или линейных положительных функционалов на С*-алгебрах.

Хорошо известны аналоги классических неравенств (треугольника, Шварца, Гельдера, Коши-Буняковского, Минковского, Юнга, Гольдена-Томпсона и др.) для канонического следа на полной матричной алгебре и их обобщения для следов на операторных алгебрах. В работе [2] мы в простейшем нетривиальном случае полных матричных алгебр начали исследование нового класса неравенств, которые назвали взвешенными следовыми неравенствами монотонности. Пусть т — точный нормальный нолуконечный след на алгебре фон Неймана М. В данной диссертации для плотно заданных самосопряженных операторов А, В, присоединенных к алгебре фон Неймана М, вещественных функций / и неотрицательных весовых функций w доказываются неравенства

T{w{A)V2f{A)w{A)V2) < r(w(A)1/2f(B)w(A)1'2) (А < В).

Такие неравенства можно рассматривать как промежуточный случай между операторными неравенствами, j{A) < f{B), и неравенствами монотонности для следа т(/(Л)) < т(/(В)).

След является одним из фундаментальных понятий теории матричных и операторных алгебр. Поэтому интересным представляется вопрос о выделении следов среди весов, возможно удовлетворяющих тем или иным дополнительным условиям. Исследования по задачам о характеризации следов неравенствами начались в 70-х гг. XX в. В 1979 г. в работе10 Л. Т. Гарднер доказал, что если для линейного положительного функционала у на С*-алгсбре А выполняется неравенство треугольника |у(Л)| < для любого оператора Лиз А, то tp —

след. Там же доказан аналогичный результат для нормального "сильно полуконечного" веса на алгебре фон Неймана. В 1988 г. в работе11 Д. Петц и Я. Земанек привели ряд эквивалентных условий, характеризующих след среди линейных положительных функционалов на матричных алгебрах; некоторые результаты они обобщили на случай операторных алгебр. Вопросами о характеризации

10L.T. Gardner. An inequality characterizes the trace. Canai. J. Math. 31 (1979), 1322-1328.

nD. Petz, J. Zemánek. Characterizations of the trace. Linear Algebra and Appl. Ill (1988), 43-52.

следов занимаются и казанские математики. В работах О. Е. Тихонова и соавторов получены характеризации следов неравенством Юнга12, неравенством монотонности13, неравенством субаддитивности14 и неравенствами для модуля15. В работе 2006 года16 Т. Сано и Т. Ятсу получили характеризацию следов среди положительных линейных функционалов на полных матричных алгебрах с помощью неравенств выпуклости. В работе 2009 года17 К. Чо и Т. Сано обобщили результат А. М. Бикчентаева и О. Е. Тихонова о характеризации следа неравенством Юпга для степенных функций, рассматривая произвольные пары функций, сопряженных по Юнгу. В работе18 А. М. Бикчентаев получил характеризацию следов в терминах коммутирования произведений проекторов иод знаком веса.

В настоящей диссертационной работе рассматривается вопрос о характеризации следов на полных матричных и операторных алгебрах с помощью взвешенных неравенств монотонности, неравенства выпуклости и неравенства Араки-Либа-Тирринга19.

Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:

1. Изучение операторно монотонных и операторно выпуклых функций на алгебрах операторов и связанных с ними неравенств.

2. Исследование взвешенных следовых неравенств монотонности на операторных алгебрах.

3. Получение новых характеризаций следов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах с помощью неравенств.

|2А.М. Bikchentaev, О.Е. Tikhonov. Characterization of the trace by Young's inequality. J. Inequal. Pure Appl. Math. 6, № 2 (2005), Article 49.

13 A.M. Bikchentaev, O.E. Tikhonov. Characterization of the trace by monotonicity inequalities. Linear Algebra Appl. 422 (2007), 274-278.

uO.E. Tikhonov. Subadditivity inequalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functional. Positivity. 9 (2005), 259-264.

15А.И. Столяров, O.E. Тихонов, A.H. Шерстнев. Характеризация нормальных следов на алгебрах фон Неймана неравенствами для модуля. Мат. заметки. 72 (2002), 228-254.

16Т. Sano, Т. Yatsu. Characterizations of the tracial property via inequalities. J. Inequal. Pure Appl. Math. 7, Issue 1 (2006), Article 36.

17K. Cho, T. Sano. Young's inequality and trace. Linear Algebra Appl. 431, № 8 (2009), 1218-1222.

18A.M. Бикчентаев. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Кеймана. I. Известия ВУЗов. Математика. № 12 (2009), 80-83.

19Н. Kosaki. An inequality of Araki-Lieb-Thirring (von Neumann algebra case). Proc. Amer. Math. Soc. 114, № 2 (1992), 477-481.

Методы исследований. Используются структурная теория алгебр фон Неймана, методы теории следов и весов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах, теории некоммутативного интегрирования. Применяются также методы спектральной теории самосопряженных операторов и операторов в пространстве с индефинитной метрикой.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций, следовых неравенств, а также их приложений в теории некоммутативного интегрирования.

Основные результаты диссертации:

1. Получено описание классов операторно выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана в зависимости от структуры этой алгебры.

2. Доказаны неравенство монотонности и аналог неравенства Хансена для операторно монотонных функций и элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана.

3. Доказано неравенство монотонности для ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.

4. Доказаны взвешенные следовые неравенства монотонности для самосопряженных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, и операторов из С*-алгебры.

5. Показано, что взвешенные степенные неравенства монотонности характеризуют следы в классе всех линейных положительных функционалов на полных матричных и С*-алгебрах и в классе всех нормальных нолуконечных весов на алгебрах фон Неймана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации прошли апробацию на семинарах "Алгебры операторов и их приложения" при кафедре математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета (руководитель — проф. А.Н.Шерстнев), на молодежных научных конференциях "Лобачевские чтения" (г. Казань, 2006 г., 2008 г.), на Девятой международной Казанской летней школе-конференции (г. Казань, 2009 г.), на Воронежской

зимней математической школе С.Г.Крейна (г. Воронеж, 2009 г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — ХХГ' (г. Воронеж, 2010 г.).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10]. Совместная с руководителем О.Е.Тихоновым статья [1] общим объемом 6 страниц — из списка ВАК. Из совместных работ [1]-[4] О.Е.Тихонову принадлежат результаты первого раздела статьи [1] (которые не входят в диссертацию), теорема 1 из [2], теорема 1 из [3] и теорема 1 из [4], остальные результаты принадлежат диссертанту.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы (75 наименований). Общий объем диссертации — 89 страниц машинописного текста.

Содержания работы. Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, указываются цели, преследуемые автором при написании работы, перечисляются основные результаты, полученные автором, приводится краткое изложение содержания работы.

Первая глава посвящена теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций.

В параграфе 1.1 собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

В параграфе 1.2 рассматривается вопрос об описании классов операторно выпуклых функций относительно заданной алгебры фон Неймана.

Для произвольного множества X операторов в гильбертовом пространстве или элементов С*-алгебры через Хза,Х+ будем обозначать его самосопряженную и положительную части соответственно.

Определение. Пусть А — унитальная С*-алгебра. Непрерывная функция /:Й -» Е (где О — некоторое подмножество числовой прямой) называется А-монотонной (или операторно монотонной относительно С*-алгебры Л), если для любых А, В € А"а таких, что их спектры о(А),а(В) С (1 и А < В, имеет место неравенство /(Л) < /(В). Непрерывную функцию /: П —> К (где П — выпуклое подмножество числовой прямой) назовем А-выпуклой (или операторно выпуклой относительно С*-алгебры А), если для любых А, В £ Ава таких, что а{А),сг{В) С О, и любого А € [0,1] имеет место неравенство

f(\A + (1 - А)B) < А/(Л) + (1 - A)f(B).

Класс всех Д-монотонных функций обозначим через фд, всех .А-выпуклых функций — Од. Отождествляя, как обычно, алгебру В(И„) всех операторов в n-мерном гильбертовом пространстве Н„ и алгебру матриц М„, получаем в качестве *фв{нп) и Ор(н„) хорошо изученные классы матрично монотонных и матрично выпуклых функций порядка п, которые в дальнейшем будем обозначать просто и Qn. Если / принадлежит (соответственно £2„) для любого п € Н, то / называется операторно монотонной (соответственно операторно выпуклой) функцией. Множества всех операторно монотонных и операторно выпуклых функций обозначим через фоо и £Зоо (их называют классами операторно монотонных и операторно выпуклых функций соответственно). Основным результатом этого параграфа является Теорема 1.2.1. Пусть Л4 — алгебра фон Неймана.

(i) В каждом из следующих случаев класс Им совпадает с классом :

(a) М имеет прямое слагаемое типа И;

(b) М умеет прямое слагаемое типа III;

(c) М имеет прямое слагаемое типа 1Ш где а — бесконечное кардинальное число;

(d) М. имеет бесконечное число слагаемых типа 1Щ, где щ — различные натуральные числа.

(н) Если М есть конечная прямая сумма алгебр типа 1П( (щ 6 N), то класс Им совпадает с классом £lk, где к = max га;.

Таким образом, Им — И„ для некоторого п 6 N U {оо}.

Следствие 1.2.2. Для произвольной унитальной С*-алгебры А найдется п € N U {оо} такое, что И а = Ип-

Отметим, что следствие 1.2.2 представляет из себя основной результат работы4.

В 1980 г. в работе20 Ф.Хансен доказал, что если функция / : К+ —> R операторно монотонна и /(0) > 0, то A*f(X)A < f(A'XA) для любого положительного ограниченного оператора X и любого сжатия А в гильбертовом

20F. Hansen. An operator inequality. Math. Лтт. 246 (1980), 249-250.

пространстве Н. В параграфе 1.3 этот результат обобщается на элементы расширенной положительной части алгебры фон Неймана. В нем доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.3.1. Пусть Л4 — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве Huf: R+ —> R+ — М. -монотонная функция. Тогда f(M) < f(N) для любой пары элементов М, N из расширенной положительной части Л4+ таких, что М < N.

Теорема 1.3.2. Пусть М — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве Huf: R+ —> R+ — операторно монотонная функция. Тогда C*f{M)C < f(C*MC) для любого элемента М € Л4+ и любого сжатия

СеМ.

Параграф 1.4 посвящен неравенствам для линейных ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой. Пусть J (ф ±/) — самосопряженная инволюция в гильбертовом пространстве Н. Запись A <J В означает, что JA < JB. Матричный случай следующей теоремы доказан Т. Андо5.

Теорема 1.4.1. Пусть f : [0, оо) —> К — операторно монотонная функция. Тогда

f(A) <Jf(B) для любых A <J В таких, что сг(А),а(В) С (0, оо).

С использованием теоремы 1.4.1 доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.4.2. Пусть А, С — J-самосопряженные операторы со спектрами в (0,+оо) и А, С <J I. Тогда

(i) {САС')Х <J САХС для любого А 6 [1, 2]; (ii) {САСУ >J САХС для любого A е [0,1].

Неравенства в предыдущей теореме являются индефинитными аналогами операторных неравенств Хансена20 и Иенсена21 для степенной функций.

Во второй главе диссертации рассматриваются взвешенные следовые неравенства монотонности в алгебрах операторов.

2IF. Hansen, G.K. Pedersen. Jensen's inequality for operator and Löwner's theorem. Math. Ann. 258 (1982), 229-241.

В параграфе 2.1 исследуются взвешенные следовые неравенства на *-алгебре S(M) всех измеримых операторов относительно алгебры фон Неймана Л46. Пусть ip — точный нормальный полуконечный вес на алгебре фон Неймана М. Для каждого плотно заданного (не обязательно ограниченного) положительного самосопряженного оператора А, присоединенного к алгебре фон Неймана М. значение ip{Ä) определяется следующим образом8:

ср(А) = limМАа) (= supp(Aa)),

а-.+0 а>0

где Аа = А(1 + аА)'1, а > 0.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 2.1.2. Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана М, f — непрерывная, неотрицательная, выпуклая, монотонно неубывающая функция на выпуклом подмножестве Q числовой прямой, и) — неотрицательная борелевская функция на Q, ограниченная на компактных подмножествах П. Тогда

T(w{A)V2f{A)w(A)V2) < 7(w(A)l^f(B)w(Af2)

для любых операторов А, В € S(M)sa таких, что <у(А), а (В) С П и А < В.

Пусть г — точный нормальный полуконечный след на полуконечной алгебре фон Неймана Л4. По теореме Радона-Никодима для весов22 каждому самосопряженному оператору К > О, присоединенному к Л4, отвечает нормальный полуконечный вес <рк на М, действующий по формуле <рк = т(К-), причем выражение в правой части понимается в регуляризованном смысле:

т(КХ) s lim т(Х1/2КаХ1/2) = lim т{КЦ2ХК112), X € М+,

а-++0 а—4-0

щеКа = К(1 + аК)-1(а> 0).

Известно, что операции сложения и произведения операторов выводят из класса всех самосопряженных положительных операторов, присоединенных к заданной алгебре фон Неймана. Однако, упомянутая выше теорема Радона-Никодима для весов позволяет нам корректно записать аналогичные взвешенные следовые неравенства. В параграфе 2.2 рассматриваются взвешенные сле-

22G.K. Pedersen, М. Takesaki. The Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras. Atta Math. 130, Л« 1-2 (1973), 53-87.

довые неравенства монотонности для самосопряженных положительных операторов, присоединенных к заданной алгебре фон Неймана. Основной теоремой этого параграфа является следующая

Теорема 2.2.1 Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана М, / — непрерывная, неотрицательная, выпуклая, монотонно неубывающая функция на выпуклом подмножестве О, числовой прямой, и) — неотрицательная борелевская функция на П. Тогда

г(«(Л)1/2/(Л)ш(Л)1/2) < т(Ш{А)^2ЦВ)Ю(А)1^)

для любой пары плотно заданных положительных самосопряженных присоединенных к алгебре фон Неймана М операторов А, В таких, что а(А), а{В) С 9. и А < В.

В параграфе 2.3 рассматриваются взвешенные неравенства монотонности для следов на С*-алгебрах. Доказана следующая

Теорема 2.3.1. Пусть т — полуконечный полунепрерывный снизу след на С*-алгебре А, } — непрерывная, неотрицательная, выпуклая, монотонно неубывающая функция на выпуклом подмножестве П числовой прямой, и> — неотрицательная непрерывная функция на П. Тогда

т{у1{А)Ч2ЛА)и){А)1/2) < т(у)(АУ'2/(В)и>{А)1'2)

для любой пары элементов А, В & Аяа таких, что а(А), а {В) С О и А < В.

В случае конечного следа условие неотрицательности функции / можно отбросить.

Третья глава диссертации посвящена задаче о характеризации следов среди линейных положительных функционалов или нормальных весов на операторных алгебрах с помощью взвешенных неравенств, полученных в предыдущей главе, и ряда других неравенств.

В параграфе 3.1 получены новые характеризации следов на полных матричных алгебрах. Основные результаты этого параграфа (теоремы 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4, 3.1.5, 3.1.6) собраны в следующей теореме.

Теорема 3.1. Пусть — положительный линейный функционал на полной матричной алгебре Мп. Пусть а, Ь — два различных неотрицательных

числа, г > О, р > 1 и в — произвольное натуральное число большее 1. Тогда выполнение каждого из следующих условий влечет, что <р — скалярное кратное канонического следа на Мп:

(¡) для любых А < В из М+

<р(Ар+2г) < <р{АГВ»АГ)-,

(и) для любых А< В из М+

<р{ВТАрВг) < <р(Вр+2гу,

(ш) для любых А, С £ М*

^(Л^С^М1'2)') < ^{А^СА1'2)-,

(¡у) для любых А < В из

\1р(ВАр)\ < ^(Вр+1);

(у) для любых А, С € М+

<р{АаСАь + АьСАа) > 0;

(у!) для любых А < В из М+

<РШ(А)) < ЫА/(В))I,

где функция / : —► такая, что она непрерывна б 0 и ее производная /'(х) непрерывна и строго положительна на (0, +оо).

Заметим, что пункты (¡), (и) являются обобщениями некоторых результатов из работ13,16, которые утверждают, что если при р > 1 для положительного линейного функционала <р на алгебре Мп выполнено неравенство (р{Ар) < (р(Вр) для любых А < В из М+, то ¡р — скалярное кратное следа на Мп.

В параграфе 3.2, пользуясь техникой, разработанной в работах10,14, харак-теризации следов неравенствами обобщаются со случая полных матричных алгебр на случай алгебр фон Неймана. В частности, перенесены некоторые результаты предыдущего параграфа. Основные результаты параграфа 3.2 (теоремы 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3) отражены в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть ip — нормальный полуконечный вес на алгебре фон Неймана М, г > 0, р > 1, m > 2, us— произвольное натуральное число большее 1. Тогда выполнение каждого из следующих условий влечет, что (р — след:

(i) для любых А, В € Л4+ и любого А € [0,1]

?((АА + (1 - А)В)т) < \ip(Am) + (1 - \)<р(Вт)-, (1)

(ii) для любых А, В 6 М+ таких, что А< В

<р(Л2г+р) < <р(АгВ1'АГ):

(iii) для любых А, С € Л4+

^((А^С^А1/2)3) < ip(As/2CAs/2).

Так как для следового функционала т на алгебре фон Неймана М и любых операторов А € М+, С € М выполняется равенство \т{АС + С А) — т(А}!2С А^!2), то следующее утверждение можно интерпретировать как описание условий, при которых выполнено взвешенное неравенство монотонности с весовой функцией w(x) = х.

Предложение 3.2.1. Пусть нормальный положительный функционал цз на алгебре фон Неймана Л4 и борелевская функция /: —> К, ограниченная на ограниченных подмножествах Ж+, таковы, что

V{Af{A))<^p{Af{B) + f{B)A)

для любых А, В € .М+, удовлетворяющих А < В. Тогда либо / постоянна на (О, +оо), либо функционал <р следовый.

В этом параграфе также получено полное описание класса нормальных (необязательно полуконечных) весов на алгебре фон Неймана, удовлетворяющих неравенству выпуклости (1) (теорема 3.2.4).

В параграфе 3.3 на примере взвешенных степенных неравенств монотонности показано, как характеризации следов неравенствами переносятся на случай С*-алгебр.

Теорема 3.3.1. Пусть ip — положительный функционал на С*-алгебре А, г > 0 tip > 1 - некоторые фиксированные числа. Тогда если для любых А, В € А+ таких, что А < В выполнено неравенство

<p{A2r+p) < <р(АгВрАг),

то функционал ip следовый.

Следствие 3.3.1. Пусть А — С"-алгебра, г > 0 up > 1 — некоторые фиксированные числа. Тогда если для любых А, В € А+ таких, что А < В выполнено неравенство А2г+Р < ЛТВРАТ, то А коммутативна.

Отметим, что при г = 0 и р = 2 это следствие дает хорошо известный критерий Огасавары коммутативности С*-алгебры23.

Автор выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность своему научному руководителю, старшему научному сотруднику, кандидату физико-математических наук, Олегу Евгеньевичу Тихонову за предложенную тематику исследований и всестороннюю поддержку в написании данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Динь Чунг Хоа. К теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций / Динь Чунг Хоа, Тихонов O.E. // Известия ВУЗов. Математика. - 2010. - № 3. - С. 9-14.

[2] Dính Trung Hoa. Weighted trace inequalities of monotonicity / Dinh Thing Hoa, Tikhonov O.E. // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2007. - V. 25. -P. 63-67.

[3] Динь Чупг Хоа. Взвешенные неравенства монотонности для следов на операторных алгебрах / Динь Чунг Хоа, Тихонов O.E. // Препринт НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанск. гос. ун-та. - 0001-2009. - 8 с. (http://www.niimm.ksu.ru/data/preprints/thepreprints/0001-0009.pdf)

[4] Динь Чунг Хоа. Взвешенные неравенства монотонности для следов на операторных алгебрах / Динь Чунг Хоа, Тихонов O.E. // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Тез. докл. - Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 2009. - Т. 38. - С. 111-112.

23Т. Ogasawara. A theorem on operator algebras. J. Hiroshima Univ. 18 (1955), 307-309.

[5] Динь Чунг Хоа. Характеризация следов на алгебрах фон Неймана неравенствами выпуклости/ Динь Чунг Хоа // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Лобачевские чтения - 2006. Тез. докл. - Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 2006. - Т. 34. - С. 76-79.

[6] Динь Чунг Хоа. Характеризация следов взвешенными неравенствами/ Динь Чунг Хоа // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Лобачевские чтения - 2008. Тез. докл. - Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 2008. - Т. 37. -С. 43-45.

[7] Динь Чунг Хоа. Операторные неравенства в пространстве с индефинитной метрикой / Динь Чунг Хоа // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2009. Тез. докл. - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та.

- 2009. - С. 60-61.

[8] Динь Чунг Хоа. Взвешенные неравенства для следов на *-алгебрах измеримых операторов относительно алгебры фон Неймана / Динь Чунг Хоа // Казанский университет. Казань, 2010. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ. - 12.03.10. -№ 149-В2010.

[9] Динь Чунг Хоа. Неравенства для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана / Динь Чунг Хоа // Понтрягинские чтения

- 2010. Тез. докл. - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та. - 2010. - С. 80-81.

[10] Динь Чунг Хоа. Неравенства монотонности и Хансена для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана / Динь Чунг Хоа // Казанский университет. Казань, 2010. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ. - 18.01.2010. -№ 8-В2010.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Казанского (Приволжского) федерального университета Тираж 100 экз. Заказ 133/6

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

Введение

1 К теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций

1.1 Основные обозначения и предварительные сведения.

1.2 Операторно выпуклые функции относительно операторных алгебр

1.3 Неравенства для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана.

1.4 Неравенства для ограниченных операторов в пространстве с индефинитной метрикой.

2 Взвешенные следовые неравенства

2.1 Взвешенные следовые неравенства для измеримых операторов

2.2 Взвешенные следовые неравенства для положительных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана.

2.3 Взвешенные неравенства для следов на С*-алгебрах.

3 Характеризация следов неравенствами

3.1 Характеризации следов на полных матричных алгебрах.

3.2 Характеризации следов среди нормальных весов на алгебрах фон Неймана.

3.3 Характеризации следовых функционалов на С*-алгебрах

Актуальность темы. Различные неравенства, содержащие операторы, следы и веса, являются одним из важнейших аппаратов исследования операторных алгебр и связанных с ними пространств измеримых операторов и билинейных форм. Многочисленные работы посвящены изучению таких неравенств, либо включают подобные исследования как свою существенную часть.

Операторно монотонные и операторно выпуклые функции впервые исследовались в 1930 годах-в работах К. Левнера [27] и Ф. Крауса [26]. Такие функции часто встречаются в исследованиях по теории операторных алгебр и при получении различных операторных неравенств (см., например, [4], [16], [18], [19], [21], [55] и др.). Они также применяются в различных областях физики, например, в квантовой механике, в теории связей и квантовой информации, в специальной теории относительности (см., например, [8]), и в экономической теории [17].

Одной из интересных задач в этой тематике является изучение классов операторно монотонных и операторно выпуклых функций относительно заданной алгебры операторов. В работах [29] и [42] с помощью теории представлений С*-алгебр X. Осака, С. Д. Сильвестров и Ж. Томияма дали описания классов операторно монотонных и операторно выпуклых функций относительно заданной С*-алгебры. Имеются другие работы, посвящены изучению классов операторно монотонных функций и связанных с ними проблем (см., например, [1], [20], [30]).

Рассмотрение алгебры фон Неймана как некоммутативного аналога пространства L°° существенно ограниченных измеримых функций является основой развития так называемого некоммутативного интегрирования.

В работах 50-х годов И. Сигала [41] и Ж. Диксмье [9] была создана теория интегрирования относительно унитарно инвариантной меры на проекторах или то же самое, относительно точного нормального полуконечного следа на полуконечной алгебре фон Неймана. Распространяя сигаловскую теорию на веса, А. Н. Шерстнев создал и со своими учениками развил теорию интегрирования относительно нормального полуконечного веса (см., например, [66]). В работе [15] У. Хаагеруп впервые ввел понятие расширенной положительной части алгебры фон Неймана при изучении неограниченных условных ожиданий в некоммутативном контексте.

В нашей работе рассматривается вопрос об описании классов оператор-но выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана. В отличие от [29], наш подход базируется на некоторых хорошо известных результатах из структурной теории алгебр фон Неймана. Также исследуются неравенства для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана и неравенства для линейных ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.

Другое направление предлагаемой работы — исследование следовых неравенств на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах, и их применение к задачам о характеризации следов в классе всех нормальных весов или линейных функционалов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах.

Хорошо известны аналоги классических неравенств (треугольника, Щвар-ца, Гельдера, Коши-Буняковского, Минковского, Юнга, Гольдена-Томпсона и др.) для канонического следа Тг на полных матричных алгебрах и для следов на операторных алгебрах (см., например, [8], [25], [19], [35], [48], [52], [64] и др.). Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана Л4 (см., например, [45, глава V, §2]). В данной работе для плотно заданных самосопряженных операторов А, В, присоединенных к алгебре фон Неймана М., вещественных функций / и неотрицательных весовых функций w рассматриваются неравенства r{w{Af'2f{A)w{A)ll2) < t{w{A)l'2f{B)w{A)ll2) (.А < В).

Такие неравенства можно рассматривать как промежуточный случай между хорошо изученными операторными неравенствами, /(А) < f(B), и неравенствами монотонности для следа r(f(A)) < r(f(B)).

След является одним из основных объектов в упомянутой выше теории некоммутативного интегрирования Сигала. Поэтому актуальным является вопрос о выделении следов среди весов, удовлетворяющих некоторым условиям. Исследования по задачам о характеризации. следов в классе нормальных весов или функционалов на операторных алгебрах начались в 70-х гг. XX в. В 1979г. в работе [12] Л.Т.Гарднер доказал, что если для линейного функционала на С*-алгебре А выполняется неравенство треугольника < <£>(|.А|) для любого оператора А из А, то <р — след. Там же доказан аналогичный результат для нормального сильно полуконечного веса на алгебре фон Неймана. В 1988 г. в работе [36] Д. Петз и Я. Земанек привели ряд эквивалентных условий, характеризующих след среди линейных функционалов на матричных алгебрах; некоторые свои результаты они обобщили на случай операторных алгебр. В работах О. Е. Тихонова с соавторами получены харак-теризации следов неравенством Юнга, неравенством монотонности, неравенством субаддитивности и неравенствами для модули ([5], [6], [47], [63]). В работе 2006 года [40] Т. Сано и Т. Ятсу получили характеризацию следов среди положительных линейных функционалов на полных матричных алгебрах с помощью неравенств выпуклости. В работе [56] А. М. Бикчентаев получил характеризацию следов в терминах коммутирования произведений проекторов под знаком веса. Аналогичная задача о характеризации следов на йордано-вых алгебрах исследовалась Ш. А. Аюповым [54, глава I, §4], Г. К. Педерсеном и Е. Штермером [33]. Недавние продвижения в теории сингулярных следов на идеалах компактных операторов и важные приложения этой теории в некоммутативной геометрии привели к задачам характеризации следов в более широких классах весов на алгебрах фон Неймана (см., например, [60], [62]).

В настоящей диссертационной работе рассматривается вопрос о характеризации следов на полных матричных и операторных алгебрах с помощью взвешенных неравенств, неравенства выпуклости и неравенства Араки-Либа-Тирринга [25].

Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:

1. Изучение операторно монотонных и операторно выпуклых функций и связанных с ними неравенств.

2. Исследование взвешенных следовых неравенств на операторных алгебрах.

3. Получение новых характеризаций следов среди линейных функционалов или нормальных весов на операторных алгебрах с помощью различных неравенств.

Методы исследований. Используются методы теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций, теории ограниченных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Применяются также методы спектральной теории для самосопряженных операторов и теории некоммутативного интегрирования.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций, изучении неравенств для операторов и следовых неравенств в теории некоммутативного интегрирования.

Основные результаты диссертации:

1. Дано описание классов операторно выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана.

2. Доказаны аналоги неравенства монотонности и неравенства Хансена для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана.

3. Доказано неравенство монотонности для ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.

4. Доказаны взвешенные следовые неравенства на алгебрах операторов.

5. Получены новые характеризации следов среди линейных функционалов или нормальных весов на операторных алгебрах с помощью взвешенных неравенств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации прошли апробацию на семинарах "Алгебры операторов и их приложения" при кафедре математического анализа Казанского государственного университета (руководитель — проф. А. Н. Шерстнев), на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения" (г. Казань, 2006 г., 2008 г.), на Девятой международной Казанской летней школе-конференции (г. Казань, 2009 г.), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (г. Воронеж, 2009 г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XXI" (г. Воронеж, 2010 г.).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [67]—[76] и являются новыми. Совместная статья [67] с руководителем О.Е.Тихоновым из списка ВАК общим объемом 6 страниц. Из совместных работ [67], [68], [73], [76] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы (76 наименований). Общий объем диссертации — 87 страниц машинописного текста.

1. Ameur Y., Kaijser S., Silvestrov S. 1.terpolation classes and matrix monotone functions // J. Opererator Theory. - 2007. - V. 57. - No. 2. - P. 409-427.

2. Ando T. Lowner inequality of indefinite type // Linear Algebra' and Appl. -2004. V. 385. - P. 73-80.

3. Bebiano N., Nakazato H., Da Providencia J., Lemos R., Soares G. Inequalities for J-Hermitian matrices // Linear Algebra Appl. 2005. - V. 407. - P. 125139.

4. Bendat J., Sherman S. Monotone and convex operator functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 79. - No. 1. - P. 58-71.

5. Bikchentaev A.M., Tikhonov O.E. Characterization of the trace by monotonicity inequalities // Linear Algebra Appl. 2007. - V. 422. - P. 274278.

6. Bikchentaev A. M., Tikhonov O.E. Characterization of the trace by Young's inequality //J. Inequal. Pure Appl. Math. 2005. -V. 6. - No. 2. - Article 49.

7. Blackadar B. Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and Von Neumann Algebras. New York: Springer-Verlag, 2006. - 517 p.

8. Brown L. G., Kosaki H. Jensen's inequality in semi-finite von Neumann algebras //J. Operator Theory. 1990. - V. 23. - P. 3-19.

9. Dixmier J. Formes lineaires sur un anneau d'operateurs // Bull. Soc. Math. France. 1953. - T. 81. - No. 1. - P. 9-39.

10. Furuichi S., Kuriyama K., Yanagi K. Trace inequalities for products of matrices // Linear Algebra Appl. 2009. - V. 430. - P. 2271-2276.

11. Furuta Т. A > В > 0 assures {ВгАрВг)г/ч > for r > 0, p > 0, q>l with (1 + 2 r)q >p + 2r // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. - V. 101. - No. 1. - P. 85-88.

12. Gardner L. T. An inequatily characterizes the trace // Canad. J. Math. -1979. V. 31. - P. 1322-1328.

13. Ji G., Tomiyama J. On characterizations of commutativity of C*-algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. - V. 131. - P. 3845-3849.

14. Haagerup U. Normal weights on W*-algebras // J. Funct. Anal. 1975. -V. 19. - No. 3. - P. 302-317.

15. Haagerup U. Operator valued weights in von Neumann algebras, I // J. Funct. Anal. 1979. - V. 32. - P. 175-206.

16. Hansen F. An operator inequality // Math. Ann. 1980. - V. 246. - P. 249250.

17. Hansen F. Application of operator monotone functions in economics // Proc. Estonian Acad. Sciences. 2010. - V. 59. - No. 1. - P. 42-47.

18. Hansen F. Operator inequalities associated with Jensen's inequality. -Copenhagen: Univ. Copenhagen, Institute of Economics, 2000. 43 p.

19. Hansen F. Convex and monotone matrix functions and their applications in operator theory. Ph.D. dissertation, Copenhagen University, Institute of Mathematics. Report No. 3. - 1983. - 28 p.

20. Hansen F., Ji G., Tomiyama J. Gaps between classes of matrix monotone functions // Bull. London Math. Soc. 2004. - V. 36. - P. 53-58.

21. Hansen F., Pedersen G.K. Jensen's operator inequality // Bull. London Math. Soc. 2003. - V. 35. - P. 553-564.

22. Hansen F., Pedersen G.K. Jensen's inequality for operator and Lowner's theorem 11 Math. Ann. 1982. - 258. - P. 229-241.

23. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I. London: Academic Press, 1983. - 398 p.

24. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol II. London: Academic Press, 1986. - P. 399-1074.

25. Kosaki H. An inequality of Araki-Lieb-Thirring (von Neumann algebra case) // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. - V. 114. - No. 2. - P. 477-481.

26. Kraus F. Uber konvexe Matrixfunktionen // Math. Z. -1936. 41. - P. 18-42.

27. Lowner K. Uber monotone MatrixFunktionen // Math. Z. 1934. - 38. -P. 177-216.

28. Nakazato H., Bebiano N., Da Providencia J .The J-numerical range of a J-Hermitian matrix and related inequalities // Linear Algebra Appl. 2008. -V. 428. - No. 11-12. - P. 2995-3014.

29. Osaka H., Silvestrov S.D., Tomiyama J. Monotone operator functions on C*-algebras // International J. Math. 2005. - V. 16. - P. 181-196.

30. Osaka H., Silvestrov S.D., Tomiyama J. Monotone operator functions, gaps and power moment problem // Math. Scand. 2007. - V. 100. - No. 1. -P. 161-183.

31. Ogasawara T. A theorem on operator algebras //J. Hiroshima Univ. 1955. - V. 18. - P. 307-309.

32. Pedersen G.K. The trace in semi-finite von Neumann algebras // Math. Scand. 1975. - V. 37. - No. 1. - P. 142-144.

33. Pedersen G.K., Stormer E. Trace on Jordan algebras // Canad. J. Math. -1982. V. 34. - No. 2. - P. 370-373.

34. Pedersen G. К., Takesaki M. The Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras // Acta Math. 1973. - V. 130. - No. 1-2. - P. 53-87.

35. Petz D. Jensen's inequality for positive contractions on operator algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. - V. 99. - Issue 2. - P. 273-277.

36. Petz D., Zemanek J. Characterizations of the trace j j Linear Algebra and Appl. 1988. - V. 111. - P. 43-52.

37. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras. New York: Springer-Verlag, 1971. -258 p.

38. Sano T. Furuta inequality of indefinite type // Math. Inequal. Appl. 2007.- V. 10. P. 381-387.

39. Sano T. On chaotic order of indefinite type // J. Inequal. Pure and Appl. Math. 2007. - V. 8. - Issue 3. - Article 62.

40. Sano Т., Yatsu T. Characterizations of the tracial property via inequalities //' J. Inequal. Pure Appl. Math. 2006. - V. 7. - Issue 1. - Article 36.

41. Segal I. A поп-commutative extension of abstract integration // Ann. Math.- 1953. V. 37. - No. 2. - P. 401-457.

42. Silvestrov S.D., Osaka H., Tomiyama J. Operator convex functions over C*-algebras // Proc. Estonian Acad. Sciences. 2010. -V. 59. - No. 1. - P. 48-52.

43. Stinespring W. F. Positive functions on C*-algebras j I Proc. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 6. - P. 211-216.

44. Stratila S., Zsido L. Lectures on von Neumann algebras. Tunbridge wells (Kent): Abacus Press, 1979. - 478 p.

45. Takesaki M. Theory of operator algebras I. New York: Springer-Verlag, 1979. - 415 p.

46. Takesaki M. Theory of operator algebras II. New York: Springer-Verlag, 2001. - 518 p.

47. Tikhonov O.E. Subadditivity ineqalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functional // Positivity. 2005. - V. 9. - P. 259264.

48. Tikhonov О. E. Trace inequalities for spaces in spectral duality // Studia Mathematica. 1993. - V. 104. - P. 99-110.

49. Tikhonov O.E. On matrix-subadditive functions and a relevant trace inequality // Linear Multilinear Algebra. 1998. - V. 44. - P. 25-28.

50. Wegge-Olsen N.E. K-theory and C*-algebra. A Friendly Approach. New York: Oxford University Press, 1993. - 370 p.

51. Wu W. An order characterization of commutativity for C*-algebras I j Proc. Amer. Math. Soc. 2001. - V. 129. - P. 983-987.

52. Zhan X. Matrix inequalities. Berlin: Springer, 2002. - 116 p.

53. Азизов Т.Я., Иохвидов И.О. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. - 352 с.

54. Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордано-вых алгебр. Ташкент: Фан, 1986. - 124 с.

55. Березин Ф.А. Выпуклые функции от операторов // Матем. сб. 1972. - Т. 88 (130). № 2(6). - С. 268-276.

56. Бикчентаев А. М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. I / / Известия ВУЗов. Математика. -2009. № 12. - С. 80-83.

57. Далецкий Ю. JI. Интегрирование и дифференцирование функций эрмитовых операторов, зависящих от параметра // Успехи мат. наук. -1957. Т. 73. - Выпуск 1(73). - С. 182-186.

58. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая часть. М.: Изд-во иностр. литературы, 1962. - 895 с.

59. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. - 400 с.

60. Кери A.JL, Сукочев Ф.А. Следы Диксмье и некоторые прилооюения в некоммутативной геометрии // Успехи мат. наук. 2006. - Т. 61. -Выпуск 6(372). - С. 45-110.

61. Комб Ф. Веса и условные ожидания на алгебрах фон Неймана // Матем. (Сб. переводов). 1974. - Т. 18. - Выпуск 6. - С. 80-113.

62. Кордюков Ю.А. Теория индекса и некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением // Успехи мат. наук. 2009. - Т. 64. - Выпуск 2(386). - С. 73-202.

63. Столяров А. И., Тихонов О. Е., Шерстнев А. Н. Характеризация нормальных следов на алгебрах фон Неймана неравенствами для модуля // Мат. заметки. 2002. - Т. 72. - С. 228-254.

64. Тихонов О. Е. Выпуклые функции и неравенства следов // В. сб. Конструктивная теория функций и приложений. выпуск 5. - Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 1987. - С. 77-82.

65. Тихонов О. Е. Непрерывность операторных фунций в топологиях, связанных со следом на алгебре фон Неймана // Известия ВУЗов. Математика. 1987. - № 1. - С. 77-79.

66. Шерстнев А. Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. М.: Физматлит, 2008. - 264 с.Работы автора по теме диссертации

67. Динь Чунг Хоа, Тихонов О. Е. К теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций // Известия ВУЗов. Математика. 2010. -№ 3. - С. 9-14.

68. Dinh Trung Hoa, Tikhonov O.E. Weighted trace inequalities of monotonicity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2007. - V. 25. -P. 63-67.

69. Динь Чунг Хоа. Неравенства монотонности и Хансена для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана // Казанский университет. Казань, 2010. 9 с. - Деп. в ВИНИТИ. - 18.01.2010. -№ 8-В2010.

70. Динь Чунг Хоа. Взвешенные неравенства для следов на *-алгебрах измеримых операторов относительно алгебры фон Неймана // Казанский университет. Казань, 2010. 10 с. - Деп. в ВИНИТИ. - 12.03.10. - № 149-В2010.

71. Динь Чунг Хоа, Тихонов О.Е. Взвешенные неравенства монотонности для следов на операторных алгебрах // Препринт НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанск. гос. ун-та. 0001-2009. -8с.-(http://www.niimm.ksu.ru/data/preprints/thepreprints/0001-0009.pdf)