Неравновесные фазовые переходы и стохастический резонанс в квазидвумерном электронном газе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОРШЕШША Татьяна Александровна

НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В КВАЗИДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ

Специальность 01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград — 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный педагогический университет».

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Шмелёв Геннадий Михаилович.

Официальные оппоненты:

доктор химических наук, профессор Литинский Аркадий Овсеевич\

доктор физико-математических наук, доцент Лебедев Николай Геннадиевич.

Ведущая организация —

Самарский государственный университет.

Защита состоится 30 ноября 2006 г. в 15.00 час. на заседании диссертационного совета К.212.026.01 при ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат разослан 27 октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.А. Федорихин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одна из причин, по которым низкоразмерные полупроводниковые структуры (квантовые ямы» проволоки, кольца, точки, сверхрешетки (СР) и др.) в настоящее время привлекают значительное внимание, состоит в том, что такие системы начинают проявлять нелинейные и неравновесные свойства в сравнительно слабых полях, и, что весьма важно, эти свойства можно задавать и контролировать с помощью «зонной инженерии».

Другой быстро развивающейся областью современной физики является теория неравновесных фазовых переходов (НФП) и стохастического резонанса (СтР). Поэтому вполне естественным выглядит объединение этих двух направлений и появление работ, посвященных НФП в низкоразмерных структурах. Содержание данной диссертации находится как раз в русле такого объединения.

Развитие направлений науки, техники и технологий, связанных с созданием, исследованиями и использованием объектов с низкоразмерными элементами, во многом определяет кардинальные изменения в материаловедении, электронике, медицине, связи и др. В развитых странах осознание ключевой роли, которую играют результаты работ по ианотехнологиям, привело к созданию крупномасштабных программ по их развитию на основе государственной поддержки. Такие программы приняты Европейским союзом, США, Японией, Китаем и рядом других стран. В России к настоящему времени разработаны несколько программ данного направления. Настоящая диссертация выполнена в соответствии с Российской государственной программой «Физика твердотельных наноструктур», а также «Перечнем приоритетных направлений фундаментальных исследований РАН».

Сказанное определяет актуальность задач, теоретически решаемых в настоящей диссертации. Основное внимание в ней уделено полупроводникам с двумерной СР (2СР), а также с одномерной СР (1СР), находящимся в постоянном электрическом поле и (при исследовании СтР) слабом переменном электрическом поле. В принципе, предсказываемые эффекты (НФП, СтР и др.) возможны не только в 2СР, но и в «обычных» объемных материалах, однако в СР эти эффекты требуют для своего существования значительно меньших величин напряженно-стей электрических полей.

Цель работы заключалась в теоретическом исследовании НФП первого и второго рода в квазидвумерном электронном газе с «косину-соидальной» и «параболической» минизонами проводимости, а также в изучении возможности стохастического резонанса в таких (бистабиль-ных) системах.

Конкретно решались следующие основные задачи:

• вывод и анализ формул для спонтанной поперечной («квазихол-ловской») ЭДС как функции тянущего поля, температуры и толщины 2СГ;

• решение кинетического уравнения Больцмана (с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука) для функции распределения электронов в 1СР с «параболической» минизоной;

• решение стационарного уравнения Фоккера — Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины;

• расчет интегральных характеристик СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и 2СР.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

1) показано, что неравновесный электронный газ в разомкнутой в поперечном (по отношению к протекающему в образце току) направлении 2СР может вести себя как сегиетоэлектрик;

2) предложен учитывающий особенности продольной вольтампер-ной характеристики 2СР вариант наблюдения поперечной спонтанной ЭДС;

3) найдена функция распределения невырожденных электронов в «параболической» минизоне 1СР для произвольных температур, (квазиклассических) электрических полей и в линейном приближении по градиенту концентрации носителей;

4) получено включающее диффузионную составляющую выражение для плотности тока вдоль оси 1СР с «параболической» минизоной;

5) рассчитаны частота Крамерса, коэффициент усиления и отношение сигнал/шум в полупроводниковых 2СР с учетом толщины образца;

6) обнаружен двойной СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и разомкнутой в поперечном току направлении 2СР.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Учет толщины 2СР приводит к появлению НФП, в которых управляющими параметрами, кроме приложенного тянущего поля, выступают температура образца и его толщина.

2. В «параболических» 1СР температурная зависимость плотности тока и коэффициента диффузии существенно отличается от соответствующей для 1СР с «косинусоидальным» законом дисперсии минизоны. Зависимость положения максимума продольного тока от температуры совпадает с экспериментальными данными [1]: с ростом температуры максимум тока смещается в сторону меньших полей.

3. В полупроводниковых 2СР с «параболической» минизоной возможны НФП второго рода (НФП2), заключающиеся в спонтанном возникновении поперечной ЭДС. При этом положение точки бифуркации зависит от температуры образца.

которого сказывается на времени релаксации импульса (в плоскости пленки). Учет КРЭ приводит к существованию НФП других типов, отличных от впервые предсказанных в [3]. В этих новых НФП управляющими параметрами являются толщина образца и температура.

Для электронов, находящихся на нижнем (первом) уровне размерного квантования, энергетический спектр в приближении сильной связи имеет вид

е(р) = £1 -Дс05(рхс1/й)с05(рус1/й), рх у ¿яЪ/д, (1)

здесь р — квазиимпульс, 2Д — ширина нижайшей минизоны, —

2 2/ * 2 *

период квадратной решетки, е1 = о / 2ш а , ш — эффективная

масса в третьем направлении.

Вдоль ОХ приложено тянущее электрическое поле Еч, а вдоль ОУ образец предполагается гальванически,разомкнутым.

При рассеянии электронов на акустических фононах время релаксации (с учетом КРЭ) убывает с ростом температуры (т~Т~1) [5]. Применительно к параметрам ОаАэ при Т - 10К величина

т = 2.5-10~всек. Формулу для т представляем в виде т-т0Ь, постоянная т0 определяется параметрами материала (для тех же значений

параметров То = 2.5*10~14сек.Х а Ь = иД/кТ, и =а/с!. В квазнкласси-ческих условиях (2Д»/г/т, )еЕ(с!) плотность тока находится стандартным способом с помощью найденного решения кинетического уравнения Больцмана с интегралом столкновений в т -приближении:

]у =ЬС11Еу(1 + Ь2(Е2 -Е2))^1, (2)

здесь >У = (1 + Ь2(Ех+Еу))1-4Ь4ЕхЕу, поле Ё выражено в единицах Е0=й/ес1то (для указанных выше параметров Е0 «800В/см), а ток — в единицах ]о = пес1Д/й (^ « Ю~3 а/см2 ),СП =Сп(Т) = = (соБ^д/^соз^р^/й)^ — среднее по равновесному распределению; для невырожденных носителей Сц(Т) = 11( Д/2кТ)/1о( Д/2кТ), 1п(г) —модифицированная функция Бесселя. Выражение для ^ получается из (2) заменами х у,

Из условия разомкнутости образца в ОУ - направлении ,}у ~ дФ/дЕу = 0, где Ф = |.}ус1Еу —синергетический потенциал, на-

ходится спонтанное поперечное поле, как функция Ех, и и Т. На рис.1 приведены зависимости Еу(Ех) для различных значений и и Т. Условие устойчивости полученных решений, определяемое неравенством Ojy/SEy = Э2ф/ЭЕу > 0, выполняется при Еу = Eys, и, стало быть, эти решения соответствуют минимумам потенциала Ф, который в данном случае равен

Ф = bCu ln(W)/4 + const, (3)

11а рис. 2 приведены типичные зависимости функции Ф = Ф(Еу)

для различных значений тянущего поля Ех . Отметим также, что к рассматриваемой открытой системе (образец подключен к источнику тока) применима теорема Пригожина о минимальности производства энтропии в стационарных состояниях, которая в данном случае выполняется для любых состояний, в том числе и для состояний, далеких от равновесия.

При и,Т = Пх имеет место НФП2, обнаруженный в [3]. Однако в рассматриваемой ситуации положение точки бифуркации зависит от параметров и и Т (см. рис. 1). При Ех, u = fix и при

|Т-ТС|«Тс= u¡Ex|, т.е. вблизи точки НФП2 спонтанное поле ведет

себя по закону Eys = ±^2|Exj/u^Tc -Т, что полностью аналогично

температурной зависимости поляризации сегнетоэлектрика вблизи точки Кюри. То есть в рассматриваемых условиях квазидвумерный электронный газ ведет себя как сегнетоэлектрик, при этом «температура Кюри» зависит от величины приложенного поля и толщины 2СР. Кроме того, при фиксированных Ех , Т и при ju-uc}«uc =iy¡Exj

спонтанное поле Eys = ±^2|Ex|/T^/u - uc . Существование отмеченных НФГО обусловлено поведением ВАХ соответствующей одномерной CP (jx(Ex) при Еу=0), имеющей падающую ветвь. С ростом

температуры положение максимума ВАХ (это и есть точка бифуркации применительно к 2СР) сдвигается в сторону ббльших полей (для Ех >0); то же самое имеет место с уменьшением параметра и (см. рис. 1).

Рис. 1. Спонтанное поперечное поле как функция тянущего поля Ех для различных значений параметров: а - Т = 0.1, и = 0.1; Ь - Т = 0.2, и = 0.5; с - Т = 0.1,

Рис. 2. Синергетический потенциал (3) при и = 0.5, Т = 0.5 для различных значений тянущего поля Ех : а - 0.5; Ь - 1; с - 2

и = 0.5

Здесь же рассмотрен случай, когда в направлении OY образец коротко замкнут (Ну =0, диск Корбино). При этом оказывается, что

функция jy(Ex) при фиксированном угле ориентации тянущего поля относительно одной из главных осей 2СР (ф^0) является немонотонной с отчетливо выраженным минимумом, а функция jy(<p) ( Ех = fix ) также немонотонная и знакопеременная.

В третьем параграфе исследуются НФП2 при рассеянии электронов на примесях, когда время релаксации не зависит от температуры [5]. И в данном случае разомкнутая в поперечном направлении 2СР может вести себя подобно сегнетоэлектрику. Причиной того является учет межподзонного гуннелирования в электрическом поле, вклад которого в ток зависит от температуры (см. [1] и приведенные там ссылки). Именно эта зависимость и приводит к «сегнетоэлектриче-скому» поведению спонтанного поперечного поля при рассеянии электронов на примесях. Бифуркационные кривые в данном случае аналогичны приведенным на рис. 1.

Четвертый параграф посвящен анализу влияния толщины на вид волътамперной характеристики 2СР, замкнутой в OY-направлении на некоторое конечное сопротивление. В этом случае поведение спонтанного поперечного поля проиллюстрировано на рис. 3. Участок АС соответствует неустойчивым состояниям, и, следовательно, зависимость Еу от Ех носит гистерезисный характер: при увеличении Ех

изменение Еу идет по пути ООВСО, при уменьшении — по пути ОАВОО. Такие «переключения» функции Еу(Ех) отражают НФП

первого рода или близкие к ним.

Вообще говоря, в случае, когда время релаксации электрона по энергии те » т, поперечная ЭДС может быть трудно наблюдаема из-за продольной токовой неустойчивости. Однако ее наблюдение вполне возможно, если в качестве нагрузки использовать полупроводниковую 1СР (ОУ — ось этой СР). Условие разомкнутости в этом случае записывается в виде

где параметр go = (ст/а0)(Ьо/Ь)(5/М), ст0 —электропроводность образца (2СР) в слабых полях; Ьд, 1 — длина образца в направлениях ОУ и ОХ соответственно; с1, а, 8, Ь — соответственно период, электропроводность, площадь поперечного сечения и длина 1СР (в направлении ОУ). Решение этого уравнения — Еу5 = Еуз(Ех^0,Т,и) определяет продольную ВАХ ^ = ]х(Ех^0,Т,и)(см. рис. 4). В отсутствие спонтанного поперечного поля ВАХ имеет одну ветвь с положительной дифференциальной проводимостью (I), а при Еу ф 0 появляется и

вторая (II). Последнее принципиально для наблюдения поперечной ЭДС, т. к. в области II, где Еу ф 0, ток ^ устойчив.

(4)

-Л

о

3 4

6 Е. -

2

Рис. 3. Спонтанное поперечное поле Еу(Ех)при Т = 0.5, и =0.94 для

Рис. 4. Продольная ВАХ для случая (4) при Т = 0.5, и = 0.94 и я„ - 0.05

различных значений g0: а- 0.1: Ь — 0.05 ; с - 0

В пятом параграфе анализируется влияние второго уровня размерного квантования (si) с помощью предложенной модели интеграла столкновений:

St{f (р); р} = (f - fo)(Ti' + б(£(Р) ~ ео)т2')» (5)

где f и f0 — равновесная и неравновесная функции распределения, 6(х) —ступенчатая функция Хевисайда, Е0=е2т81> = т, Т2 —

время релаксации, соответствующее появлению дополнительного (быстрого (при Т < 2А )) канала релаксации. Таким образом, задавая интеграл столкновений в виде (5), мы выходим за рамки простейшего приближения (т = const).

Анализ рассчитанного с помощью (5) выражения для плотности тока приводит к выводу о том, что учет второго уровня размерного квантования не дает принципиальных изменений в характере НФП в 2СР, хотя и может значительно менять величину продольного тока.

Во второй главе рассматриваются НФП в 2СР с «параболической» минизоной проводимости.

В первом параграфе, являющемся обзорным для данной главы, обсуждены основные направления «зонной инженерии» и методы создания низкоразмерных полупроводниковых структур, в частности сверхрешеток. В настоящее время становится технологически решаемой задача конструирования энергетического спектра электронов в низкоразмерных структурах, поэтому имеет смысл исследовать НФП для иного («некосинусоидального») спектра, что и делается в данной главе для «параболической» минизоны.

Во втором параграфе определяется плотность тока в 2СР в предельном случае Т 0 с помощью решения уравнения Больцмана с интегралом столкновений в т -приближении. Энергетический спектр электронов, находящихся на нижнем уровне размерного квантования в 2СР, имеет вид

е(р) = е0 + (р2 + ру)/2т, - яй/d < рх>у < jtft/d, (6)

где р — квазиимпульс, d— период решетки, е0 - const. Из (6) следует, что ширина минизоны равна Д = 7i2fi2/2md2. Рассчитанная плотность тока равна:

jy - Еу -(sech(l/(Ey +Ex»+sech(l/(Ey - Ех»)/2, (7)

Здесь единицей измерения напряженности поля является величина л/2яЕо, а плотности тока — Jq/л/Зтт. При Ех = 0 из (7) следует результат работы [б], в которой рассчитана плотность тока в 1СР с «па-

раболической» минизоной при Т = 0, Условие разомкнутости образца в поперечном направлении (для случая (7)) представляет собой уравнение для определения спонтанного поперечного поля ( Еу), которое

решалось численно. Устойчивые решения могут быть представлены в виде аппроксимации:

О, 0<г|Ех|<Ес0,

Еу — Еу^ —

± ^(1 -е_14Е* )(ЕХ - Есо)> Ы * Ес0

(8)

Отметим, что точка бифуркации Есо =0.3737 в точности совпадает с положением максимума функции (7) при Ех =0, При этом зависимость Еу5=Еу5(Ех) схожа с аналогичной для «косинусоидальной» модели.

В третьем параграфе для невырожденного электронного газа с «параболической» минизоной в случае конечных температур найдено удовлетворяющее условию периодичности (1(-1) = 1(1) ) точное решение уравнения Больцмана:

Г -Рх . т

ЕхегГ(2Т~12)

е

еп

49)

(-1<рх <1).

где ег^г) — функция вероятности, г(рх) = рх/л/2Т-7т/Ех\/2 , Т -температура в единицах Л/к > рх — в единицах пТг/Л , поле Ех — в единицах 7гЕо. Функция (9) удовлетворяет тому же условию норми-

1

ровки, что и равновесная: |£(рх)ёрх -2п0. При Т->0 (9) переходит

-1

в соответствующий результат работы [б]. Плотность тока вдоль оси 1СР равна (в единицах )0/п)

ХЕх,Т) - Ех + ет 2Е* [егГ(г(-1))-е1С(г(1))]/2егг(1/у[?т)ьЬ(\/Ек). (10)

В предельном случае Т 0 выражение (10) переходит в функцшо ](ЕХ,0) = Ех-§ес11(1/Ех) [б], максимум которой находится в точке

Есо. В слабых полях (|ЕХ|« Есо) из (10) получается

j(Ex,T) = (l-72e-1'2T/Viferf((2Trl 2))ех = {px/t}oEx . (И)

Здесь угловые скобки означают усреднение по равновесному распределению. Выражение в круглых скобках в (11) есть электропроводность в слабых полях (о^). Положение максимума плотности тока

(Ес) совпадает с пулями функции crd (дифференциальная проводимость), с помощью которых численно определяется функция Ес = ЕС(Т). Она может быть аппроксимирована (с точностью до 1

10" ) следующим выражением:

Ес(Т) = ^Е? +(Е?о-В?)ехр(-рТ) , (Ех = Пх , Ес0 = Е(0)), (12)

Здесь р = 4.2, причем при Т-»оо величина ЕС(Т)-»Е1

(Et =0.2930). С ростом температуры функция ЕС(Т) уменьшается,

при этом эксперимент [1] обнаруживает именно такое смещение Ес .

В четвертом параграфе исследованы НФП2 в 2СР с «параболической» минизоной.

В ситуации, когда оси координат повернуты на угол 45° относительно главных осей простой квадратной 2СР,

jy(Ex,Ey,T) = (KEx+Ey,T)-j(Ex-EyfT))/2, (13)

где напряженность поля и ток выражены в тех же единицах, что и в (7).

Уравнение для определения спонтанного поперечного поля может быть решено только численно, и решение представляется в виде аппроксимации (8) с заменой в выражении под знаком корня Ес0 ЕС(Т) .

При Т*0 поведение поперечного поля Еу имеет тот же характер, что и при Т—>0, с той лишь разницей, что точка бифуркации Ес с увеличением Т смещается влево (для Ех >0), асимптотически приближаясь к значению Е,, в точном соответствии с поведением максимума тока j(EXfT), Вид синергетического потенциала Ф аналогичен виду Ф для «косииусоидальной» модели (см. рис. 2).

Нетривиальная зависимость j(Ex,T)oT температуры приводит к тому, что в рассматриваемой модели возможны не изученные ранее

НФП2 иного типа. Действительно, в интервале полей Е{ < ¡Ех| < Eco поперечное поле Eys(T) имеет вид

Eys(T) = ±J(Е?0 - Ef)(1 - е~14Е* ) Vexp(-[5T0) - ехр(^Т), Ex=ftx,(l4) где критическая температура равна

T0(Ex) = p-4n((E?0-Ef)/(E5-Ef)). (15)

Вблизи точки Т0 поперечное поле ведет себя как Eys(T)~

~±-jT-T0(Ex) . При ё = 10"7см, т = 10"12с, Ех «600В/см величина Т0 «45К.

Третья глава посвящена неравновесным электрическим флуктуа-циям (1СР, 2СР) и стохастическому резонансу (СтР) в 2СР.

В первом параграфе обобщены и систематизированы данные, характеризующие современное состояние теории флуктуационных переходов и связанного с ними СтР. Применительно к «косинусоидальной» модели СтР в 2СР впервые был изучен в работе [7]. Отмечена также работа автора, посвященная СтР в сегнетоэлектриках-полупроводниках, в которой рассчитаны отклик и отношение сигнал/шум для слабого периодического сигнала.

Во втором параграфе рассчитан коэффициент диффузии (D) в 1СР с «параболической» минизоной для невырожденных носителей и тем самым — токовая корреляционная функция (ТКФ), которая (без учета электрон-электронных столкновений) определяется соотношением [8]

(jx(t)jx(O) = 2n0e2V-1DÔ(t-tf), (16)

где V — объем системы, по — равновесная концентрация носителей,

ось ОХ направлена вдоль оси СР.

Поставленная задача решена в рамках квазиклассического приближения с использованием кинетического уравнения с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука St f = [fg n n q - f]/t , n = n(x) —

концентрация носителей, fo(px,x) — нормированная на концентрацию носителей (по(х)) равновесная (локальная) функция распределения, F(px,x) — искомая функция распределения, причем

X F(px,x) = п(х). Решение кинетического уравнения с указанным ин-Рх

тегралом столкновений в линейном приближении по градиенту кон-

цептрации и для стационарного случая при Т(х) = const (рх = р, Ех = Е) имеет вид

F(pJx) = n(x)f(p)/n0+n01Sn(()0(p)/ax, (17)

где ф0 —удовлетворяющее условию периодичности (ф0(-1) = <р0(1) ) решение уравнения

Е dq>0 (P)/dP + Фо (Р) = f (P)D " Pi • О «)

Уравнение (18) записано в безразмерном виде с помощью замен: х/и0т->х, яйр/d-^p, E/jtEq-^E, Т/ДТ , а плотность тока j (см.(10)) выражается в единицах eu0n0, и0 = Ad/ith = лй/dm .

В результате для плотности тока имеем: jtot (Е,Т,х) = = n(x)j(E,T)/n0 + jd(E,T,x), где плотность диффузионного тока вдоль OX jd (Е, Т, х) = -D(E, Т)Эп(х)/дх, здесь

D = E(?0(l)-j2+c0T + 2Ej — (19)

выраженный в единицах UqT коэффициент диффузии. Рис.5, б иллюстрируют поведение функции D = d(E,T) в некоторых частных случаях. При Т О

D = Е2 -sech2(l/E)[l-ch(l/E) + cth(l Е)/Е + sh(l/E)/2E]. (20)

Рис. 5. Коэффициент диффузии (19) Рис. 6. Коэффициент диффузии (19)

для различных значений температу- для различных значений поля Е :

ры Т: а- 0.05; Ь - 0.1; с - 0.4; а- 0.5; Ь - 0.7; с - 1; <1 - 3;

^ ~~ 0 точечная кривая — 0.100(Т)

В слабых полях (Е-»0) формула для коэффициента диффузии ( Э = - а0Т ) фактически есть не что иное, как соотношение Эйнштейна, записанное в безразмерных единицах. Численный анализ показывает, что при температурах Т > 0.3 соотношение Эйнштейна

(0Е/]Т = 1) выполняется (с точностью до 0.001) для любых значений

Е. Отметим, что для «косинусоидалъной» модели минизоны соотношение Эйнштейна также выполняется, но при температурах Т > 1 [9]. Таким образом, ТКФ в СР дается выражением (16), в котором О

определяется формулой (19). Численные оценки: для с! = 10~7см, т = 10~12с, А = 10~2эВ имеем 1>о «5- 105см/с , единица измерения электрического поля тсЛ/еск« 2.4-10 В/см, а коэффициента диффузии

«от и 0.25 см / с .

В третьем параграфе найдена функция распределения поперечного поля как случайной величины, вычислен средний квадрат поперечного поля, и тем самым построена флуктуациониая теория НФП. Показано, что роль тепловых флуктуаций при приближении к критической точке (точке бифуркации) усиливается. С учетом токовых флуктуаций (5|у(0) условие разомкнутости по полному току имеет вид

аЕу/Ж = -4т:|дФ/ЗЕу +5)у(0|/Е , (21)

(е — диэлектрическая проницаемость среды). Условие (20 представляет собой не что иное, как уравнение Ланжевена, в котором второй член справа является ланжевеновским источником — случайной функцией времени. Для теплового (аддитивного и некоррелированного) шума в качестве токовой корреляционной функции берем выражение (16) (для «косинусоидальной» модели минизоны) при Ех -» 0 . Из эквивалентного уравнению (21) уравнения Фоккера — Планка находится стационарная функция распределения (Г(Ех,Еу,Т)) случайной величины Еу:

Г(Ех,Еу,Т) = А\У~а(Ех,ЕуД), (22)

где а =еУ/16тсТАи2, V — объем системы, А — нормировочный множитель. С помощью (22) рассчитан средний квадрат флуктуа-

ций поперечного поля Еу . В отсутствие тянущего поля,

7 1 ! 1

Еу=Т /и (а-1). Данный результат несколько отличается от стандартной формулы НаЙквиста (Е^ =

Т2/4и2а

). Это означает, что данная теория справедлива при а »1, что и предполагается в данной главе. (Аналогичным образом вычисляется средний квадрат флуктуаций для 2СР с «параболической» минизоной проводимости.) Типичные

кривые функции ^Еу(Ех,а) (для «косинусоидалыюй» минизоны)

приведены на рис. 1,

Спонтанное поперечное поле влияет на вид продольной вольтам-перной характеристики = ]Х(ЕХ) (рис. 8, «косинусоидальная» модель). При этом имеет место следующее существенное обстоятельство. При детерминистическом описании поперечного поля ВАХ имеет излом в точке, соответствующей максимуму ВАХ, в то время как в рамках флуктуационной теории этот излом исчезает, в этом, в частности, проявляется роль электрических флуктуации в формировании ВАХ. Кроме того, с возрастанием уровня шумов (т.е. с увеличением температуры) максимум ВАХ понижается.

Рис. 7. Поперечное поле ^¡Щ : а -детерминистическое решение (3);

Ь, с-функция -^Е^ при а -20 и а = 10 соответственно

Рис. 8. Вольтамперная характеристика 2СР при различных значениях поперечного поля: а - 0;

(а=35); а- Е2у (а = 45)

Четвертый параграф посвящен непосредственно СтР в указанных моделях 2СР. С помощью функции (22) определяется средняя частота перехода бистабильной системы из одного устойчивого состояния в другое — частота Крамерса (гк ) [10]. Само определение времени перехода предполагает, что высота барьера между ямами синергетического потенциала достаточно велика: ^(Е^Е^Д)» Г(Ех,0,Т). В рассматриваемом случае

+Е,

г|Г|(Ех,Т) = 4иаСГ{ 1 ГЧЕх,Еу,Т)аЕу |Г(Ех,Е'у,Т)(1Е'у. (23)

'У5

Для исследования СтР в правую часть уравнения (21) включается слагаемое 4т11оС05(П1)/б, где 10 — амплитуда подаваемого на образец переменного сигнала с частотой П. Сигнал предполагается сла-

бым: -уЕу30 «кТс/У. С помощью частоты Крамерса находится коэффициент усиления слабого периодического сигнала по формуле [10], которая применительно к данной ситуации имеет вид

Л(ЕХ ,а, О) = 16а2 Еу (Ех ,а)2 /С?,(1 + (Огк 1 /2)2 ) . (24)

Полученные результаты содержат в себе характерное свойство СтР: максимум коэффициента усиления имеет место, когда частота сигнала порядка удвоенной частоты переходов Крамерса.

Пятый параграф посвящен исследованию двойного СтР. Конечность ширины зоны проводимости в проводниках с ОЦК-решеткой обусловливает возникновение максимума частоты Крамерса как функции температуры, что, в свою очередь, влечет появление второго максимума функции (22) (двойной СтР). В этом случае в формуле (22) (и

(23)) Сп заменяется на С(Т) = ЬОгзСцСГ).

Рис. 9. Частота Крамерса гк = гк(Т)

для различных значений Ех; V : а-ЗООВ/см; 5*10""см31Ь-Шт/ш; Ю-'2 см\с~350В/см; 5-10~13см3

Рис. 10. Коэффициент усиления "П - Л(Т) при Ех = 350 В/см для различных значений

а - 5-10~|3см3; Ю^с-'.Ь-3 ■ 10"13 см3; 101г с"1, с-3 • 10"13 см3; 2 ■ 10а с-1

На рис. 9 показаны зависимости функции гк = гк (Т) (в единицах 0О = е2пДс]2-г/Ь2 ) для рассматриваемого случая. Рис. 10 иллюстрирует

манов, Е. В. Демидов // Физика и техника полупроводников. — 1997. — Т. 31, № 3. —С. 308—311.

5. Тавгер, Б. А. Квантовые размерные эффекты в полупроводниковых и полуметалличееких пленках / Б. А. Тавгер, В. Я. Демиховский // Успехи физ. наук. — 1968. — Т. 96. — С. 61—76.

6. Романов, Ю. А. О дифференциальной проводимости полупроводниковых сверхрешеток / Ю. А. Романов // Физика твердого тела. — 2003. — Т. 45. — С. 529—536.

7. Shmelev, G. М. Electric fluctuations and stochastic resonance in a quasi-two-dimensional superlattice / G. M. Shmelev [et al.J // Phys. Low-Dim. Struct. — 2002. — V.7/8. — P. 113—121.

8. Дыкман, И. M. Явления переноса и флуктуации в полупроводниках / И. М. Дыкман, П. М. Томчук. — Киев : Наукова думка, 1981.

9. Игнатов, А. А. Об эффекте отрицательной дифференциальной проводимости в квазидвумерных полупроводниковых сверхрешетках / А. А. Игнатов // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 273, № 6. — С. 1351— 1358.

10. Анищенко, В. С. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / В. С. Анищенко [и др.) // Успехи физ. наук. — 1999. — Т. 169, № 1. — С. 7—38.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Горшенина, Т. А. Стохастический резонанс в сегнетоэлектриках с полупроводниковыми свойствами / Т. А. Горшенина Н VI межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области: тез. докл. конф. 9—12 нояб. 2004 г. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2004. — С. 10—11.

2. Горшенина, Т. А, Двойной стохастический резонанс в проводниках с узкой зоной проводимости / Т. А. Горшенина // XI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : тез. докл. конф. ВНКСФ-П. — Екатеринбург, 2005. — С. 245—246.

3. Gorshenina, Т. A. Double stochastic resonance in conductors with narrow conduction band / E. M. Epshtein, T. A. Gorshenina, G. M. Shmelev // Physics of electronic materials, 2nd international conference: proceedings, Kaluga, Russia, May 24—27 2005. — Kaluga, 2005. — P. 268—270.

4. Gorshenina, T. A. Double stochastic resonance in conductors with narrow conduction band [Electronic resource] / E. M. Epshtein, T. A. Gorshenina, G. M. Shmelev // ArXiv:cond-mat/0503092. — 2005. — V. 1.— P. 1—3.

5. Горшенина, Т.А. Спонтанное возникновение поперечной ЭДС в квазидвумерных сверхрешетках как пример самоорганизации в полупроводниках / Г. М. Шмелев, Т. А. Горшенина И Актуальные проблемы прикладной физики и методики преподавания физики в вузе и школе: материалы Всерос. науч.-практ. конф. — Борисоглебск, 2005. — С. 56—58.

6. Горшенина, Т. А. Неравновесный квазидвумерный электронный газ как сегнетоэлектрик / Т. А. Горшенина, Г. М. Шмелев // BKC-XVII: материалы XVII Всерос. конф. по физике сегнетоэлектриков. — Пенза, 2005. —С. 257—258.

7. Горшенина, Т. А. Стохастический мультирезонанс в неравновесном квазидвумерном электронном газе / Т. А. Горшенина Я Молодые ученые-2005: материалы Междунар, науч.-техн, школы-конф. — М., 2005. — С, 37—39.

8. Горшенина, Т. А. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке с «параболическим» законом дисперсии / Т. А. Горшенина, Г. М. Шмелев // Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах: тез. докл. Междунар. конф. — Махачкала, 2005. — С. 216—219.

9. Горшенина, Т.А. Спонтанная поперечная ЭДС в квазидвумерной сверхрешетке с «параболической» минизоной / Г. М. Шмелев, Т. А. Горшенина // Вестн. ВолгГАСУ. Сер.: Естественные науки. — 2005, — Вып. 5 (18). — С. 83—88.

10. Горшенина, Т.А. Поперечные электрические флуктуации в квазидвумерной сверхрешетке с «параболическим» законом дисперсии / Г. М. Шмелев, Т. А. Горшенина // Изв. ВГПУ. Сер.: Естественные и физико-математические науки. — 2005. — Вып. 4 (13). — С. 3—6.

11. Горшенина, Т. А. Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на вид вольтамперной характеристики / Т. А. Горшенина // XI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: тез. докл. конф. ВНКСФ-12. — Новосибирск, 2005. — С. 207—208.

12. Горшенина, Т. А. Неравновесные электрические флуктуации в полупроводниковой сверхрешетке с «параболической» минизоной / Г. М. Шмелев, Т. А. Горшенина // Вестн. ВГТУ. — Воронеж, 2006. — 4 с.

13. Gorshenina, Т. A. Nonequilibrium phase transitions in a quasi-two-dimensional superlattice with parabolic miniband [Electronic resource] / G. M. Shmelev, T. A. Gorshenina, E. M. Epshtem // ArXivxond-mat/0602292.— 2006. — V. 1. —P. 1—10.

14. Горшенина, Т. А. Неравновесный квазидвумерный электронный газ как сегнетоэлектрик / Т. А. Горшенина, Г. М, Шмелев // Нано-и микросистемная техника. — 2006. — №7. — С. 54—57.

15. Горшенина, Т.А. Влияние размерного квантования на неравновесные фазовые переходы и ВАХ квазидвумерной сверхрсшетки / Г.М. Шмелев, Т.А, Горшенина [и др.] // Опто-, наноэлектроника, нано-технологии и микросистемы: тр. VIII Междунар. конф. — Ульяновск, 2006. —С. 11.

Научное издание ГОРШЕНИНА Татьяна Александровна

НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В КВАЗИДВУ МЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ

Автореферат

Подписано к печати 24.10.2006 г. Формат 60x84/16. Печать офс. Бум. офс. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 120 экз. Заказ у-

ВГПУ. Издательство «Перемена» Типография издательства «Перемена» 400131, Волгоград, пр. им. В. И. Ленина, 27

Содержание

Глава I. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке с "косинусоидальной" минизоной.

§1.1 Введение.

§1.2 Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на неравновесные фазовые переходы (электрон-фононное взаимодействие).

§1.3 Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на неравновесные фазовые переходы (рассеяние на примесях).

§1.4 Продольная вольтамперная характеристика квазидвумерной сверхрешетки.

§1.5 Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерном электронном газе при учете второго уровня размерного квантования.

Глава II. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке с "параболической" минизоной.

§2.1 Введение.

§2.2 Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке в случае предельно низких температур.

§2.3 Функция распределения и плотность тока в одномерной сверхрешетке.

§2.4 Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке в случае конечных температур.

Глава III. Электрические флуктуации и стохастический резонанс в неравновесном электронном газе.

§3.1 Введение.

§3.2 Токовая корреляционная функция сверхрешетки с параболическим" законом дисперсии.

§3.3 Флуктуационная теория неравновесных фазовых переходов в квазидвумерном электронном газе.

§3.4 Стохастический резонанс в квазидвумерной сверхрешетке с учетом ее толщины.

§3.5 Двойной стохастический резонанс.

В настоящей диссертации речь идет о квазидвумерных сверхрешетках (2СР) (латеральные CP, динамически двумерные системы [1]). 2СР - системы электронов (дырок), движение которых в пространстве свободно только в двух направлениях, а в третьем - движению соответствует дискретный энергетический спектр. Следует подчеркнуть, что эти системы не являются двумерными в прямом смысле слова, поскольку и волновые функции зависят от трех координат, и электромагнитные волны распространяются в трех направлениях.

Отметим, что указанные системы относятся к активно изучаемым в настоящее время низкоразмерным структурам. Интерес к этой области связан как с принципиально новыми фундаментальными научными проблемами и физическими явлениями, так и с перспективами создания на основе уже открытых явлений совершенно новых устройств и систем с широкими функциональными возможностями для опто- и наноэлектроники, измерительной техники, информационных технологий нового поколения, средств связи и пр. Результатом исследований низкоразмерных систем стало открытие принципиально новых, а теперь уже широко известных явлений, таких как целочисленный и дробный квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе, вигнеровская кристаллизация квазидвумерных электронов и дырок, новые квазичастицы и электронные возбуждения с дробными зарядами, высокочастотные блоховские осцилляции и др. Не на последнем месте стоят и неравновесные фазовые переходы (НФП) в низкоразмерных структурах.

НФП в полупроводниках вызывают в настоящее время значительный интерес. В монографии [2] рассматриваются НФП в полупроводниках, обусловленные генерационно-рекомбинационнами (ГР) процессами.

Неустойчивости в полупроводниках и диэлектриках сравнительно недавно стали рассматривать как ФП в сильно неравновесной физической системе. Так, в конце 60-х годов А.Ф. Волков и Ш.М. Коган [3] указали на аналогию между перегревной неустойчивостью электронного газа и НФП. Примерно в это же время Е. Питт и X. Томас [4] провели подобную аналогию в случае ганновской неустойчивости скорости дрейфа электронов. Как в экспериментальных наблюдениях, так и в теоретическом осмыслении ФП, вызванных ГР процессами, за последние десятилетия лет был достигнут большой прогресс, установлено существование множества новых явлений и разработаны математические модели. Указанные НФП лежат в основе работы ряда важных полупроводниковых приборов, используемых в современной технике; также полупроводники представляют собой наиболее подходящие модельные системы для изучения нелинейной динамики [2]. (В настоящей работе исследуются НФП, обусловленные внутризонными процессами).

Для количественной характеристики изменения структуры тела при прохождении через точку фазового перехода можно ввести величину, называемую параметром порядка [5, 6], определяемую таким образом, чтобы она пробегала отличные от нуля (положительные или отрицательные) значения в несимметричной фазе и была равна нулю в симметричной фазе.

Параметр порядка определяется неустойчивыми модами, а устойчивые - адиабатически подстраиваются под изменения неустойчивых. Это дает возможность при анализе фазового перехода резко сократить число переменных по сравнению со стандартными методами статистической физики (оставив только те, которые отвечают за фазовый переход), а также обойти трудности, связанные с наличием скачков физических величин в точке фазового перехода.

Типичными примерами параметров порядка являются: плотность (для перехода жидкость - газ); намагниченность (для перехода в ферромагнитное состояние); поляризация (для перехода в сегнетоэлектрическое состояние); волновая функция бозонных пар (для перехода в сверхпроводящее состояние) и т. д. По своему физическому смыслу параметр порядка - это корреляционная функция, определяющая степень дальнего порядка в системе. В [6] также показано, что параметр порядка появляется благодаря флуктуациям, возникающим при критическом переходе. И этот параметр диктует поведение упорядоченного состояния после фазового перехода.

Еще одна особенность НФП состоит в том, что система может обладать несколькими параметрами порядка и они могут взаимодействовать друг с другом, порождая новые структуры. В [7] отмечено, что НФП намного богаче равновесных ФП, так как они включают в себя возникновение предельных циклов, движение на торах, хаос и др. НФП изучались многими авторами, в частности, [8, 9, 10, 11] и др. Обратим также внимание на работу

12], в которой показано, что особенности вольт-амперной характеристики (ВАХ) р-Ge находятся в согласии с теорией ФП Ландау.

Существуют два основных типа НФП [13] - первого и второго рода. В противоположность фазовым переходам первого рода, при которых состояние системы испытывает скачок, фазовые переходы второго рода являются непрерывными в том смысле, что состояние тела меняется непрерывным образом. Однако следует подчеркнуть, что симметрия в точке перехода меняется скачком, и в каждый момент можно указать к которой из двух фаз относится тело. В то время как в точке фазового перехода первого рода находятся в равновесии тела в двух различных состояниях, в точке перехода второго рода состояния обеих фаз совпадают. Отметим также, что существуют НФП, относящиеся к промежуточной области [13]. Введенное в

13] понятие НФП аналогично понятию "катастрофа" в теории катастроф, которую предложил Том [14]. Но более близким к содержанию данной диссертации является то применение теории, которое изложено , например , в работах Хакена, Эбелинга [15,16].

Помимо указанных выше причин важности изучения ФП, необходимо отметить также, что в окрестности ФП поведение системы оказывается чувствительным к небольшим внешним воздействиям, например, слабым полям, что существенно с точки зрения технических приложений.

В настоящей работе речь идет об открытых системах [13], причем в качестве внешнего источника энергии выступает протекающий в образце электрический ток. Фундаментальное изучение открытых систем связано с именем И.Р. Пригожина и его сотрудников [8, 10, 16], отметим также [17, 9, 11, 18] и др. Ряд примеров и результатов, касающихся открытых систем, приведен в сборнике статей [19]. При этом важно отметить, что в теории открытых систем в неравновесных стационарных состояниях свободная энергия не обязательно имеет минимум, а энтропия - максимум. В теории открытых систем найдена функция, которая помогает отличить устойчивые неравновесные состояния от других состояний. Для нахождения этой функции был сформулирован принцип минимального производства энтропии или минимального убывания свободной энергии. В данной работе мы будем называть эту функцию синергетическим потенциалом.

Нелинейные эффекты, возникающие в проводниках с непараболическим законом дисперсии носителей (в том числе в CP) под действием сильных полей, изучались многими авторами [22 - 27]. Учет конечности ширины зоны проводимости 2СР приводит и к возникновению спонтанной поперечной (по отношению к протекающему в образце току) ЭДС. Данное явление влияет на разного рода кинетические эффекты в 2СР: вид ВАХ, поведение квазидвумерного газа в магнитном поле, релаксационно-диффузионные межфазные процессы [28] и др. В данной диссертации показано, в том числе, что спонтанное возникновение поперечного поля возможно и в модели 2СР с "параболическим" законом дисперсии [29, 30].

В диссертации также идет речь и о стохастическом резонансе (СтР) в 2СР. Явление СтР заключается в том, что при одновременном воздействии на бистабильную систему слабого периодического сигнала и шума обнаруживается, что с ростом шума некоторые интегральные характеристики системы (например, коэффициент усиления по мощности, отношение сигнал/шум) ведут себя аномально (увеличиваются, достигают максимума и затем спадают).

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию НФП первого и второго рода в квазидвумерном электронном газе с "косинусоидальной" и "параболической" минизонами проводимости, а также изучению возможности стохастического резонанса в таких (бистабильных) системах.

Актуальность темы. Одна из причин, по которым низкоразмерные полупроводниковые структуры (квантовые ямы, проволоки, кольца, точки, CP и др.) в настоящее время привлекают значительное внимание, состоит в том, что такие системы начинают проявлять нелинейные и неравновесные свойства в сравнительно слабых полях, и, что весьма важно, эти свойства можно задавать и контролировать с помощью "зонной инженерии".

Развитие направлений науки, техники и технологий, связанных с созданием, исследованиями и использованием объектов с низкоразмерными элементами, во многом определяет кардинальные изменения в материаловедении, электронике, медицине, связи и др. В развитых странах осознание ключевой роли, которую играют результаты работ по нанотехнологиям, привело к созданию крупномасштабных программ по их развитию на основе государственной поддержки. Такие программы приняты Европейским союзом, США, Японией, Китаем и рядом других стран. В

России к настоящему времени разработаны несколько программ данного направления. Настоящая диссертация выполнена в соответствии с Российской государственной программой "Физика твердотельных наноструктур", а также - "Перечня приоритетных направлений фундаментальных исследований РАН".

Сказанное определяет актуальность задач, теоретически решаемых в настоящей диссертации. Основное внимание в ней уделено полупроводникам с 2СР, а также - с одномерной CP (1СР), находящихся в постоянном электрическом поле и (при исследовании СтР) слабом переменном электрическом поле. В принципе, предсказываемые эффекты (НФП, СтР и др.) возможны не только в 2СР, но и в "обычных" объемных материалах, однако в CP эти эффекты требуют для своего существования значительно меньших величин напряженностей электрических полей. Конкретно решались следующие основные задачи:

• вывод и анализ формул для спонтанной поперечной ("квазихолловской") ЭДС как функции тянущего поля, температуры и толщины 2СР;

• решение кинетического уравнения Больцмана (с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука) для функции распределения электронов в 1СР с "параболической" минизоной;

• решение стационарного уравнения Фоккера - Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины;

• расчет интегральных характеристик СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и 2СР.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые: 1. Показано, что неравновесный электронный газ в разомкнутой в поперечном (по отношению к протекающему в образце току) направлении 2СР может вести себя как сегнетоэлектрик.

2. Предложен учитывающий особенности продольной вольтамперной характеристики 2СР вариант наблюдения поперечной спонтанной ЭДС.

3. Найдена функция распределения невырожденных электронов в "параболической" минизоне 1СР для произвольных температур, (квазиклассических) электрических полей и в линейном приближении по градиенту концентрации носителей.

4. Получено включающее диффузионную составляющую выражение для плотности тока вдоль оси 1СР с "параболической" минизоной.

5. Рассчитаны частота Крамерса, коэффициент усиления и отношение сигнал/шум в полупроводниковых 2СР с учетом толщины образца.

6. Обнаружен двойной СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и разомкнутой в поперечном току направлении 2СР.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Учет толщины 2СР приводит к появлению НФП, в которых управляющими параметрами, кроме приложенного тянущего поля, выступают температура образца и его толщина.

2. В "параболических" 1СР температурная зависимость плотности тока и коэффициента диффузии существенно отличается от соответствующей для 1СР с "косинусоидальным" законом дисперсии минизоны. Зависимость положения максимума продольного тока от температуры совпадает с экспериментальными данными [31]: с ростом температуры максимум тока смещается в сторону меньших полей.

3. В полупроводниковых 2СР с "параболической" минизоной возможны НФП второго рода (НФП2), заключающиеся в спонтанном возникновении поперечной ЭДС. При этом положение точки бифуркации зависит от температуры образца.

4. В неравновесном квазидвумерном электронном газе с "параболическим" законом дисперсии возможны НФП нового типа: с ростом температуры возникает спонтанное поперечное электрическое поле (при фиксированном значении тянущего поля).

5. При учете конечности ширины зоны проводимости частота Крамерса как функция температуры имеет максимум. Это приводит к существованию двойного СтР.

Научная и практическая ценность работы. Представленные новые результаты могут быть полезными и для изучения других бистабильных систем, в частности, сегнетоэлектриков и ферромагнетиков. Обнаруженные эффекты, в принципе, должны учитываться и при исследованиях иных кинетических явлений, например, эффекта Холла в низкоразмерных структурах. Кроме этого, результаты работы могут быть использованы при конструировании различного рода устройств: переключатели, усилители слабых периодических сигналов, а также фильтрующие элементы.

Личный вклад автора. Постановка задач, обобщение полученных данных, интерпретация и обсуждение результатов осуществлены диссертантом совместно с научным руководителем и соавторами публикаций. Проведение ряда аналитических и всех численных расчетов, графическое представление результатов было выполнено, диссертантом самостоятельно.

Структура и объем. Диссертационная работа состоит из предисловия, трех глав, включающих обзорные параграфы, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, включая 72 рисунка. Список литературы содержит 135 наименований.

В предисловии обоснована актуальность решаемых в работе задач, сформулированы цель и задачи исследования, представлено краткое содержание диссертации.

В первой главе изучается спонтанная поперечная ЭДС в 2СР с "косинусоидальной" моделью минизоны проводимости. Рассматривается квадратная 2СР, оси ОХ и OY направлены под углом 45° по отношению к ее главным осям. В отличие от предшествующих работ здесь мы учитываем

6 7 толщину 2СР (а), предполагая ее порядка 10" -40" см (именно такие значения имеют изготавливаемые 2СР). Соответственно в третьем направлении имеет место квантовый размерный эффект (КРЭ), влияние которого на НФП здесь исследуется. В данной главе также представлены результаты исследования указанной системы при учете замкнутости образца на некоторое сопротивление. Проанализировано влияние второго уровня размерного квантования. Выясняется, что такое влияние не приводит к принципиальным изменениям в характере НФП в 2СР, но существенно меняет величину продольного тока. Отмечено, что применительно к рассматриваемым системам теорема Пригожина о минимальности производства энтропии выполняется для любых состояний, в том числе для состояний, далеких от равновесия.

Во второй главе рассматриваются CP с "параболической" минизоной проводимости. В настоящее время становится технологически решаемой задача конструирования энергетического спектра электронов в низкоразмерных структурах, поэтому имеет смысл исследовать НФП для иного ("некосинусоидального") спектра, что и делается в данной главе для "параболической" минизоны. Рассчитываются функция распределения электронов и плотность тока в 1СР с "параболической" минизоной в случае конечных температур.

Третья глава посвящена электрическим флуктуациям и СтР в 2СР. Рассчитана токовая корреляционная функция (ТКФ) в 1СР с "параболической" минизоной для невырожденных носителей. Найдено решение стационарного уравнения Фоккера - Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины. С помощью этого решения вычислен средний квадрат поперечного поля, и, тем самым, построена флуктуационная теория НФП. Показано, что роль тепловых флуктуаций при приближении к критической точке (точке бифуркации) усиливается. Спонтанное поперечное поле влияет на вид вольтамперной характеристики сверхрешетки. При этом имеет место следующее существенное обстоятельство. При детерминистическом описании поперечного поля ВАХ имеет излом в точке, соответствующей максимуму ВАХ, в то время как в рамках флуктуационной теории этот излом исчезает, в этом, в частности, проявляется роль электрических флуктуаций в формировании ВАХ. Кроме того, с возрастанием уровня шумов (т.е. с увеличением температуры) максимум ВАХ понижается. С помощы-о функции распределения поперечного поля как случайной величины определяется средняя частота перехода бистабильной системы из одного устойчивого состояния в другое - частота Крамерса, зная которую можно рассчитать коэффициент усиления по мощности и отношение сигнал/шум.

В заключение диссертации сформулированы основные результаты исследования.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-11 (Екатеринбург, 2005), Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков BKC-XVII (Пенза, 2005), Международной научно-технической школы-конференции "Молодые ученые 2005" (Москва, 2005), IX межвузовской конференции студентов и молодых ученых Волгограда и Волгоградской области (Волгоград, 2004), II Международной конференции по физике электронных материалов (Калуга, 2005), Всероссийской научно -практической конференции "Актуальные проблемы прикладной физики и методики преподавания физики в ВУЗе и школе" (Борисоглебск, 2005), Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 2005),

Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-12 (Новосибирск, 2006), Международном семинаре "Физико-математическое моделирование систем" (Воронеж, 2006), VIII Международной конференции "Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы" (Ульяновск, 2006).

Результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, в том числе в 7 статьях, 4 из которых опубликованы в журналах, включенных в список ВАК, и в 8 тезисах докладов [60-62], [70-71], [89-90], [93-94], [113], [120], [132-135].

Заключение

Приведем основные результаты исследования:

1. Получено аналитическое выражение для спонтанного поперечного электрического поля (Еу) в разомкнутой в OY-направлении 2СР с косинусоидальным" законом дисперсии электронов. Принципиальным здесь является учет толщины образца (а). При этом поле еу оказывается зависящим не только от тянущего поля (Ех), но и температуры (Т), и а. Эти зависимости, а также соответствующее поведение синергетического потенциала, характерны для НФП2. В случае, когда управляющим параметром является Т (Ex,a = fix), Еу~±Л[ТС -Т - это есть точная аналогия температурной зависимости поляризации сегнетоэлектрика с той лишь разницей, что в нашем случае "температура Кюри" Тс определяется значениями Ех и а. "Сегнетоэлектрическое" поведение неравновесного электронного газа связано с зависимостью времени релаксации от температуры при взаимодействии электронов с акустическими фононами.

При Ex,T = fix спонтанное поле Еу~±д/а-ас , где точка бифуркации ас =ас(Ех,Т).

2. Установлено, что в случае, когда время релаксации не зависит от Т (рассеяние на примесях), межподзонное туннелирование электронов в электрическом поле также может приводить к "сегнетоэлектрическому" поведению 2СР.

3. Показано, что при подключении к образцу в поперечном направлении в качестве нагрузки полупроводниковой 1СР (OY - ось этой CP), продольная ВАХ 2СР может содержать ветвь с положительной дифференциальной проводимостью в области существования спонтанного поперечного поля. Данный результат определяет дополнительную возможность экспериментального наблюдения спонтанной поперечной ЭДС.

4. Найдено точное решение кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов в 1СР с "параболической" минизоной в случае произвольных температур. При этом определена плотность тока, максимум которой смещается в сторону меньших полей при увеличении температуры.

5. Установлена возможность НФП2 в 2СР с "параболической" минизоной: Еу - параметр порядка, Ех и Т - управляющие параметры. Положение точки бифуркации зависит от температуры, когда управляющим параметром является Ех.

6. Решено кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений Батнагара - Гросса - Крука и получено аналитическое выражение для коэффициента диффузии в 1СР с "параболической" минизоной.

7. Найдено решение стационарного уравнения Фоккера - Планка для функции распределения поперечного поля (еу) как случайной величины и рассчитан средний квадрат флуктуаций е* . Тем самым построена флуктуационная теория НФП2 в квазидвумерном электронном газе с учетом а.

8. Рассчитаны интегральные характеристики (коэффициент усиления сигнала и отношение сигнал/шум) стохастического резонанса в 2СР с учетом ее толщины, а также в сегнетоэлектриках-полупроводниках.

9. Выявлены условия существования двойного стохастического резонанса в проводниках с ОЦК решеткой и конечной шириной зоны проводимости, а также в 2СР.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному деятелю науки Российской Федерации Шмелеву Геннадию Михайловичу за постановку задач, постоянное внимание к работе и плодотворные научные консультации. Кроме того, автор хотел бы выразить свою признательность соавторам публикаций Э.М. Эпштейну, И.И. Маглеванному за полезное обсуждение содержания диссертации. Также автор выражает благодарность сотрудникам кафедры теоретической физики и всему физическому факультету Волгоградского государственного педагогического университета за внимание к работе.

1. Андо, Т. Электронные свойства двумерных систем : пер. с англ. / Т. Андо, А. Фаулер, Ф. Стерн. -М. : Мир, 1985.

2. Шёлль, Э. Самоорганизация в полупроводниках. Неравновесные фазовые переходы в полупроводниках, обусловленные генерационно-рекомбинационными процессами : пер. с англ. / Э. Шёлль. М. : Мир, 1991.

3. Волков, А. Ф. Физические явления в полупроводниках с отрицательной дифференциальной проводимостью / А. Ф. Волков, Ш. М. Коган // Успехи физ. наук 1968. - Т.96. - С. 633-638

4. Pytte, Е. Soft Modes, Critical Fluctuations, and Optical Properties for a Two-Valley Model of Gunn-Instability Semiconductors. / E. Pytte, H. Thomas // Phys. Rev. 1969. - V.179. - P. 431-436

5. Ландау, JI. Д. Статистическая физика. 4.1 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. -.Наука, 1976.

6. Шелепин, Л. А. Вдали от равновесия / Л. А. Шелепин // Новое в жизни, науке и технике. Сер. Физика. №8 - М.: Знание, 1987. - 16с.

7. Синергетика : сб. статей; пер. с англ. / сост. А. И. Рязанов, А. Д. Суханов; под ред. Б. Б. Кадомцева. М. : Мир, 1984.

8. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / П. Гленсдорф, И. Пригожин. М. : Мир, 1973.

9. Landauer, R. Entropy changes for steady-state fluctuations / R. Landauer // J. Stat. Phys. 1973. - V.9. - P. 351-371

10. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. М. : Мир, 1979.

11. Стратонович, Р. Л. Фазовые переходы в неравновесных радиофизических системах / Р. Л. Стратонович. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1980. - Т.23. - С. 942-955.

12. Rohricht, В. •Nonequilibrium Critical and Multicritical Phase Transitions in Low-Temperature Electronic Transport ofp-Germanium / B. Rohricht, R. P. Huebener, J. Parisi, M. Weise // Phys. Rev. Lett. 1988. - V.61. - P. 26002603

13. Стратонович, P. JI. Нелинейная неравновесная термодинамика / P. Л. Стратонович. M. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

14. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф. Кн.1 / Р. Гилмор М. : Мир, 1984.

15. Хакен, Г. Синергетика / Г. Хакен М.: Мир, 1980.

16. Пригожин, И. Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Пригожин. М.: ИИЛ, 1960.

17. Бочков, Г. Н. Нелинейные стохастические модели осцилляторных систем. / Г. Н. Бочков, Ю. Е. Кузовлев // Изв. ВУЗов. Радиофизика. -1978. -Т.21. -С. 1467-1484.

18. Стратонович, Р. Л. К марковской флуктуационно-диссипативной теореме открытых радиофизических систем / Р. Л. Стратонович // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1982. -Т.25. - С. 779-789.

19. Термодинамика и кинетика биологических процессов; сб. статей / под ред. А. И. Зотина. -М. : Наука, 1980.

20. Дёхлер, Г. Ф. Твердотельные сверхструктуры / Г. Ф. Дёхлер // В мире науки. 1984. - №1. - С. 50-57

21. Силин, А. П. Полупроводниковые сверхрешетки / А. П. Силин // Успехи физ. наук 1985. - Т. 147. - С. 485-498

22. Friedman, L. Thermoelectric power of superlattices / L. Friedman // Surface Science- 1983.-V.142.-P. 241-245

23. Friedman, L. Thermopower of superlattices as a probe of the density of states distribution / L. Friedman // J. Phys. С : Solid State Phys. 1984. - V. 17. - P. 3999-4008

24. Tao, Z. Thermoelectric power of superlattices: II. / Z. Tao, L. Friedman // J. Phys. С : Solid State Phys. 1985. - V.18. -L455-L461

25. Nieminen, R. M. Electronic Properties of Two Dimensional Systems / R. M. Nieminen // Physica Scripta. - 1988. - V.23. - P. 54-58

26. Додин, E. П. Латеральные сверхрешетки в сильном электромагнитном поле: самоиндуцированная прозрачность, мультистабильность, умножение частоты / Е. П. Додин, А. А. Жаров, А. А. Игнатов. // Журнал экспер. и теор. физики. 1998. - Т. 114. - С. 2246-2251.

27. Мелких, А. В. Неравновесные фазовые переходы и S-образные вольтамперные характеристики в системе полупроводник-металл / А. В. Мелких и др. // Письма в журнал технич. физики 2001. - Т.27. -вып.6.-С. 19-25

28. Эпштейн, Э. М. Релаксационно диффузионные межфазные процессы в неравновесном электронном газе / Э. М. Эпштейн, Г. М. Шмелев, О. Г. Ковалев // Полиматериалы - 2001 : мат. Межд. научно-технической конф. -М. : МИРЭА, 2001.-С. 9-12

29. Романов, Ю. А. О дифференциальной проводимости полупроводниковых сверхрешеток / Ю. А. Романов. // Физика тв. тела -2003. Т.45. - вып.З. - С. 529-534.

30. Romanov, Y. A. Negative high-frequency differential conductivity in semiconductor superlattices / Y. A. Romanov // ArXiv:cond-mat/0209365. -V.l.-2002-6p.

31. Grahn, H. T. Electrical transport in narrow-miniband semiconductor superlattices / H. T. Grahn et al. // Phys. Rew. B. 1991. - V.43. - №14. -P. 12094-12097

32. Шмелев, Г. M. Спонтанное возникновение поперечной ЭДС в проводнике с неаддитивным законом дисперсии / Г. М. Шмелев, Э. М. Эпштейн // Физика тв. тела 1992. - Т.38. - С. 2565-2571

33. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц-М. : Гостехиздат, 1957.

34. Шмелев, Г. М. Дифференциальная термо ЭДС сверхрешетки в сильном электрическом поле / Г. М. Шмелев, И. И. Маглеванный, А. С. Булыгин // Физика тв. тела - 1999. - Т.41. - вып.7. - С. 1314-1316

35. Маглеванный, И. И. Спонтанная поперечная ЭДС при неупругом рассеянии квазидвумерных электронов / И. И. Маглеванный, Г. М. Шмелев // Изв. ВУЗов. Сер. Физика 1997. - №7. - С. 99-102

36. Эпштейн, Э. М. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерном электронном газе в электрическом поле / Э. М. Эпштейн, Г. М. Шмелев, И.И. Маглеванный // Физика тв. тела 1996. - Т.38. - С. 3478-3487

37. Dorn, A. Electronic transport through a quantum dot network / A. Dorn et al. // ArXiv:cond-mat/0411300. V.l. -2004. - 5p.

38. Reich, R. K. Transport in lateral surface superlattices / R. K. Reich, R. O. Grondin, D. K. Ferry // Phys. Rev. B. 1983. - У.27. - №6. - P. 3483-3493

39. Быков, А. А. Микроволновая фотопроводимость в двумерной системе с периодическим потенциалом антиточек / А. А. Быков и др. // Письма в журнал экспер. и теор. физики. 1991. - Т.53. - №8. - С. 407-410

40. Farid, A. High-quality two-dimensional electron gas in AlGaAs/GaAs heterostructures by LP OMVPE / A. Farid et al. // IEEE Trans. Electron Devices - 1993.-У.40.-ЖЗ.-P. 502-506

41. Xie, Y. H. Fabrication of high mobility two-dimensional electron and hole gases in GeSi/Si / Y. H. Xie et aJL. // J. Appl. Phys. 1993. - V.73. - №12. -P. 8364-8370

42. Epshtein, E. M. Ferromagnetic and ferroelectric properties of nonequilibrium electron gas / E. M. Epshtein, G. M. Shmelev, I. I. Maglevanny // Phys. Lett. A 1999. - V.254. - P. 107-111

43. Epshtein, Е. М. Electric-field-induced magnetoresistance of lateral superlattices / E. M. Epshtein, I. I. Maglevanny, G. M. Shmelev // J. Phys. : Condens. Matter. 1996. - V.8. - P. 4509-4514

44. Шмелев, Г. M. Эффект Холла в квазидвумерных сверхрешетках в неквантующих магнитном и сильном электрическом полях / Г. М. Шмелев, Э. М. Эпштейн, И. И. Маглеванный // Физика и техника полупроводников 1997. -Т.31. -№8. - С. 916-919

45. Маглеванный, И. И. Квазидвумерный электронный газ в неквантующих магнитном и сильном электрическом полях / И. И. Маглеванный, Г. М. Шмелев, Э. М. Эпштейн // Изв. ВУЗов. Физика. 1996. - №7. - С. 46-51

46. Maglevanny, I. I. The non-equilibrium electron gas as a ferroelectric / I. I. Maglevanny, G. M. Shmelev // Phys. Stat. Sol. (b) 1998. - V.206. - P. 691699

47. Shmelev, G. M. Electric-field-induced ferroelectricity of electron gas / G. M. Shmelev, 1.1. Maglevanny // J. Phys. : Condens Matter. 1998. - V.10. - P. 6995-7002

48. Романов, Ю. А. Нелинейная проводимость и вольтамперные характеристики двумерных полупроводниковых сверхрешеток / Ю. А. Романов, Е. В. Демидов // Физика и техника полупроводников 1997. -Т.31.-№3.-С. 308-310

49. Prigogine, I. Etude termodynamique des processus irreversible /1. Prigogine.- Liege : Desoer. 1947.

50. Schlosser, T. Corrugation-induced transverse voltage in a lateral superlattice /

51. T. Schlosser et al. // Phys. Rev. B. 1995. - V.51. - № 16. - P.10737-10742

52. Аше, M. Горячие электроны в многодолинных полупроводниках / М. Аше и др. Киев : Наукова думка, 1982.

53. Грибников, 3. С. Доменная структура многодолинного полупроводника при многозначном эффекте Сасаки / 3. С. Грибников, В. В. Митин // Труды симпозиума по физике плазмы и электрическим неустойчиво стям в твердых телах. Вильнюс : Минтис, 1972. - С. 130-133

54. Грибников, 3. С. Устойчивые многодоменные структуры и аномальной эффект Холла при многозначном эффекте Сасаки в многодолинном полупроводнике с неоднородностями / 3. С. Грибников // Журнал экспер. и теор. физики 1983. - Т.84. - вып.7. - С. 388-399

55. Грибников, 3. С. Многозначный эффект Сасаки в многодолинных полупроводниках / 3. С. Грибников, В. А. Кочелап, В. В. Митин // Журнал экспер. и теор. физики 1970.-Т.59. - вып.5(11).-С. 1828-1845

56. Asche, М. Experimental proof of the multivalued Sasaki effecting n-Si / M. Asche, H. Kostial, O. G. Sarbey // J. Phys. С : Sol. Stat. Phys. 1980. - V.13.- L645-L649

57. Бонч-Бруевич, В. Л. Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках / В. Л. Бонч-Бруевич, И. П. Звягин, А. Г. Миронов. -М. : Наука, 1972.

58. Горшенина, Т. А. Неравновесный квазидвумерный электронный газ как сегнетоэлектрик / Т. А. Горшенина, Г. М. Шмелев // BKC-XVII : материалы XVII Всеросс. конф. по физике сегнетоэлектриков. Пенза, 2005.-С. 257-258.

59. Горшенина, Т. А. Неравновесный квазидвумерный электронный газ как сегнетоэлектрик / Т. А. Горшенина, Г. М. Шмелев // Нано- и микросистемная техника. 2006. - №7 - С. 54-57

60. Тавгер, Б. А. Квантовые размерные эффекты в полупроводниковых и полуметаллических пленках / Б. А. Тавгер, В. Я. Демиховский // Успехи физ. наук 1968. - Т.96. - С. 61-76

61. Arora, V. К. Quantum size effect in semiconductor transport / V. K. Arora, F. G. Awad // Phys. Rew. B. 1981. - V.23. - №4. - P. 5570-5575

62. Arora, V. K. Quantum size effect in thin-wire transport / V. K. Arora // Phys. Rew. B. 1981.-V.23. - №4. - P. 5611-5612

63. Иогансен, Л. В. О рассеянии электронов проводимости в очень тонких пленках / Л. В. Иогансен // Журнал экспер. и теор. физики 1966. - Т.50. - вып.З. - С. 709-716

64. Басс, Ф. Г. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками / Ф. Г. Басс, А. А. Булгаков, А. П. Тетервов. М. : Наука, 1989.

65. Казаринов, Р. Ф. К теории электрических и электромагнитных свойств полупроводников со сверхрешеткой / Р. Ф. Казаринов, Р. А. Сурис // Физика и техника полупроводников 1972. - Т.6. - С. 148-155

66. Dohler, G. Н. A new mechanism for negative differential conductivity in superlattices / G. H. Dohler, R. Tsu, L. Esaki // Solid. Stat. Com. 1975. -V.17.-P. 317-320

67. Горшенина, Т. А. Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на вид вольтамперной характеристики / Т. А. Горшенина // XI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : тез. докл. конф. ВНКСФ-12. Новосибирск, 2005. - С. 207-208

68. Шмелев, Г. М. Влияние размерного квантования на неравновесные фазовые переходы и ВАХ квазидвумерной сверхрешетки / Г. М. Шмелев и др. // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы : труды VIII Межд. конф. Ульяновск, 2006. - С. 11-12

69. Шмелев, Г. М. Проводимость сверхрешетки при рассеянии электронов на оптических фононах / Г. М. Шмелев, Н. А. Енаки // Изв. ВУЗов. Физика. 1982. - вып. 1. - С. 81 -84

70. Маргулис, В. А. Электропроводность тонких полупроводниковых пленок в сильном электрическом поле / В. А. Маргулис // Физика и техника полупроводников 1969. - Т.8. - вып. 12. - С. 1869-1871

71. Келдыш, JI. В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла / Л. В. Келдыш // Физика тв. тела 1962. - Т.4. - №8. - С. 2265-2269

72. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры : пер. с англ. / под ред. Л. Ченга, К. Плога. М. : Мир, 1989.

73. Esalci, L. Superlattice and negative differential conductivity in semiconductors / L. Esaki, R. Tsu // IBM J. Res. Develop. 1970. - V. 1. - P. 61 -65

74. Esaki, L. Transport properties of GaAs/GaAlAs superlattice / L. Esaki et al. In: Proc. of 11th Intern. Conference on the Physics of Semiconductors. -Warsaw, 1972.-V.l.-P. 431-437

75. Esaki, L. New transport phenomenon in a semiconductor 'superlattice' / L. Esaki, L. L. Chang // Phys. Rev. Lett. 1974. - V.33. - P. 495-498

76. Шик, А. Я. Периодические полупроводниковые структуры / А. Я. Шик // Физика и техника полупроводников 1974. - Т.8. - вып. 10. - С. 18411864

77. Маслюк, В. Т. Полупроводниковые сверхрешетки / В. Т. Маслюк, П. А. Феннич // Зарубежная электронная техника 1981. - вып.8(241). - С. 160

78. Херман, М. Полупроводниковые сверхрешетки / М. Херман. М. : Мир, 1989.

79. Сурис, Р. А. Сверхрешетки в решении проблемы создания материалов функциональной микроэлектроники / Р. А. Сурис // Электронная промышленность 1977. - вып.6(60). - С. 52-58

80. Басс, Ф. Г. Полупроводники со сверхрешетками / Ф. Г. Басс // Природа -1984,-№7.-С. 80-87

81. Романов, Ю. А. Блоховские колебания в сверхрешетках. Проблема терагерцового генератора / Ю. А. Романов, Ю. Ю. Романова // Физика и техника полупроводников 2005. - Т.39. - вып.1. - С. 162-170

82. Крючков, С. В. Стабилизация формы солитона в сверхрешетке со спектром, выходящим за рамки учета "ближайших соседей", в поле нелинейной волны / С. В. Крючков, Э. Г. Федоров // Физика и техника полупроводников 2002. - Т.36. - вып.З. - С. 326-329

83. Cooperman, G. Corrections to enhanced optical nonlinearity of superlattices / G. Cooperman, L. Fridman, L. Bloss // Appl. Phys. Lett. 1984. - Y.44. -№10.-P. 977-979

84. Tamura, S. Acoustic-phonon transmission in quasiperiodic superlattices / S. Tamura, J. P. Wolfe//Phys. Rev. B. 1987. - V.36. -№6. - P. 3491-3494

85. Wurtz, B. D. Quasiperiodic Kronig-Penney model on a Fibonacci superlattice / B. D. Wurtz, M. P. Soerensen, T. Schneider// Helvetica Phys. Acta. 1988. -V.61.-P. 345-362

86. Шмелев, Г. M. Поперечные электрические флуктуации в квазидвумерной сверхрешетке с "параболическим" законом дисперсии / Г. М. Шмелев, Т. А. Горшенина // Известия ВГПУ. Сер. Естеств. и физ.-мат. науки. 2005. - №4 (13). - С. 3-6

87. Shmelev, G. М. Differential thermo-EMF of quasi-two-dimensional superlattice in high electric field / G. M. Shmelev, I. I. Maglevanny, A. S. Bulygin // J. Phys. Low-Dim. Struct. 1999. - V.l 1/12. - P. 7-14

88. Шмелев, Г. M. Сегнетоэлектрические свойства неравновесного электронного газа / Г. М. Шмелев, И. И. Маглеванный, Э. М. Эпштейн // Изв. ВУЗов. Сер. Физика 1998. - №4. - С. 72-79

89. Shmelev, G. М. Nonequilibrium phase transitions in a quasi-two-dimensional superlattice with parabolic miniband / G. M. Shmelev, T. A. Gorshenina, E. M. Epshtein // ArXiv:cond-mat/0602292. 2006. - v. 1. - 9p.

90. Шмелев, Г. M. Спонтанная поперечная ЭДС в квазидвумерной сверхрешетке с "параболической" минизоной / Г. М. Шмелев, Т. А.

91. Горшенина // Вестник ВолгГАСУ. Сер. Естеств. науки. 2005. - вып.5 (18).-С. 83-88

92. Хаджи, П. И. Функция вероятности / П. И. Хаджи. Кишинев : РИО АН МССР, 1971.

93. Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их применения / Н. Н. Лебедев -М. : Физматгиз. 1968.

94. Абрамович, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган-М.: Наука, 1979.

95. Хаджи, П. И. Вычисление некоторых интегралов, содержащих функцию вероятности / П. И. Хаджи // Изв. АН Молдавской ССР. Сер. физ.-тех. и мат. наук.- 1968.-№2.-С. 81-104

96. Понтрягин, Л. С. О статистическом рассмотрении динамических систем / Л. С. Понтрягин, А. А. Андронов, А. А. Витт // Журнал экспер. и теор. физики 1933.-Т.З.-вып.З.-С. 165-180

97. Kramers Н. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H. A. Kramers // Physica. 1940. - V.7. - P. 284-291

98. Ланда, П. С. Теория флуктуационных переходов и ее приложения / П. С. Ланда // Радиотехника и электроника 2001. - Т.46. - № 10. - С. 11571197

99. Стратонович, Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике / Р. Л. Стратонович М. : Сов. радио, 1961.

100. McNamara, В. Theory of stochastic resonance / В. McNamara, К. Wiesenfild // Phys. Rev. A. 1989. - V.39. - №9. - P. 4854-4869

101. Анищенко, В. С. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / В. С. Анищенко и др. // Успехи физ. наук 1999. -Т.169. ~№1. - С. 7-38

102. Benzi, R. The mechanism of stochastic resonance / R. Benzi, A. Sutera, A. Vulpiani // J. Phys. A. 1981. - V. 14. - L453-L457

103. Benzi, R. A theory of stochastice resonance in climatic change / R. Benzi et al. // Siam J. Appl. Math. 1983. - V.43. -№3 - P. 565-578

104. Benzi, R. Stochastic resonance in the Landau-Ginzburg equation / R. Benzi, A. Sutera, A. Vulpiani // J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - V.18. - P. 22392245

105. Gammaitoni, L. Stochastic resonance / L. Gammaitoni et al. // Rev. Mod. Phys. 1998. - V.70. - P. 223-287

106. Drozhdin, K. Stochastic Resonance in Ferroelectric TGS Crystal / K. Drozhdin // Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.). Halle, 2001.

107. Diestelhorst, M. Stochastic Resonance and Domian Switching / M. Diestelhorst, K. Drozhdin // Ferroelectrics 2003. - V.291. - P. 217-224

108. Ш.Шмелев, Г. M. Неравновесные фазовые переходы и стохастический резонанс в квазидвумерной сверхрешетке / Г. М. Шмелев и др. // Изв. АН. Сер. Физическая. 2003. - Т.67. - №8. - С. 1110-1112

109. Дубинов, А. Е. О возможности стохастического резонанса в сегнетоэлектриках / А. Е. Дубинов и др. // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. - Т.60 (10). - С. 76-77

110. Климонтович, Ю. JI. Введение в физику открытых систем / Ю. JI. Климонтович // Соросовский образовательный журнал. 1996. - №8. -С. 109-113

111. Решетняк, С. А. О стохастическом резонансе с точки зрения фильтрующих свойств бистабильной системы / С. А. Решетняк, А. А. Щеглов // Квантовая электроника. 2003. - Т.ЗЗ. - №2. - С. 142-148

112. Домбровский, А. Н. К теории фильтрации сигналов в бистабильной колебательной системе с умеренной диссипацией / А. Н. Домбровский, С. А. Решетняк, В. А. Щеглов // Квантовая электроника. 2005. - Т.35. -№11.-С. 1033-1038

113. Vilar, J. М. G. Stochastic multiresonance / J. M. G. Vilar, J. M. Rubi // Phys. Rev. Lett 1997. - V.78. - №15. - P. 2882-2885

114. Berdichevsky, V. Stochastic resonance in a bistabile piecewice potential : analytical solution / V. Berdichevsky, M. Gitterman // J. Phys. A: Math. Gen. 1996. - V.29. - L447-L452

115. Шмелев, Г. М. Неравновесные электрические флуктуации в полупроводниковой сверхрешетке с "параболической" минизоной / Г. М. Шмелев, Т. А. Горшенина // Вестник ВГТУ. Воронеж, 2006. - 4с.

116. Дыкман, И. М. Явления переноса и флуктуации в полупроводниках / И. М. Дыкман, П. М. Томчук Киев : Наукова Думка, 1981.

117. Игнатов, А. А. Об эффекте отрицательной дифференциальной проводимости в квазидвумерных полупроводниковых сверхрешетках / А. А. Игнатов // Доклады АН СССР. 1983. - Т.273. - №6. - С. 13511358

118. Bonilla, L. L. Generalized drift-diffusion model for miniband superlattices / L. L. Bonilla, R. Escobedo, A. Perales // Phys. Rev. B. 2003. - V.68. -241304(R) - 4p.

119. Shmelev, G. M. Electron diffusion and harmonic generation in superlattice / G. M. Shmelev, E. M. Epshtein, E. N. Valgutskova // Изв. В ГПУ. Сер. Естеств. и физ.-мат. науки. 2004. -№4 (09). - С. 3-9

120. Климонтович, Ю. Л. Статистическая физика : учебное пособие / Ю. Л. Климонтович М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.

121. Shmelev G. М., Epshtein Е. М., Valgutskova Е. N. On the second harmonic generation in superlattices // ArXiv:cond-mat / 0410246. 2004. - 1 Op.

122. Паташинский, A. 3. Флуктуационная теория фазовых переходов / А. 3. Паташинский, В. Л. Покровский М. : Наука, 1975.

123. Лифшиц, Е. М. Физическая кинетика; сер. Теоретическая физика, том X. / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский М.: Наука, 1979.

124. Ван Кампен, Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван Кампен -М.: Высшая школа, 1990.

125. Букингем, М. Шумы в электронных приборах и системах / М. Букингем -М. : Мир, 1986.

126. Горшенина, Т. А. Двойной стохастический резонанс в проводниках с узкой зоной проводимости / Т. А. Горшенина // XI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : тез. докл. конф. ВНКСФ-11. Екатеринбург. - 2005. - С. 245-246

127. Epshtein, Е. М. Double stochastic resonance in conductors with narrow conduction band / E. M. Epshtein, T. A. Gorshenina, G. M. Shmelev //

128. Physics of electronic materials : proceedings of 2nd international conference Kaluga, Russia, May 24-27 2005. Kaluga 2005. - P. 268-270

129. Epshtein, E. M. Double stochastic resonance in conductors with narrow conduction band / E. M. Epshtein, T. A. Gorshenina, G. M. Shmelev // ArXiv:cond-mat/0503092. 2005. - v.l. - 2p.

130. Горшенина, Т. А. Стохастический мультирезонанс в неравновесном квазидвумерном электронном газе / Т. А. Горшенина // Молодые ученые 2005 : материалы Межд. научно-технической школы-конф. Москва. -2005.-С. 37-39