Нестандартные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

И04603736

На правах рукописи

Боровиков Илья Александрович

НЕСТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Специальность 01.01.02 — "Дифференциальные уравнения1'

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ИЮН 2010

Москва - 2010

004603736

Работа выполнена на кафедре Математического моделирования Московского энергетического института (технического университета).

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Дубинский Юлий Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор Лаптев Геннадий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Ольшанский Максим Александрович

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и кибернетики

Защита состоится 16 июня 2010 г. в 16 ч. 00 м. на заседании Диссертационного совета ДМ 212.157.17 при Московском энергетическом институте (техническом университете) но адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просьба направлять по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан 14 мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Григорьев В. П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В классическом анализе известно, что всякое гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из которых есть соленоидальное поле, а второе - безвихревое. Это утверждение часто называют теоремой Гельмголъца. Такое представление тесно связано с разрешимостью задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области и имеет важное значение для исследования классических операторов векторного анализа первого порядка grad, div, rot. Также эта теорема важна с точки зрения теории функций, поскольку дает представление о произвольном гладком векторном поле.

С современной точки зрения важно иметь аналог представления Гельм-гольца для функций не гладких, а только, скажем, суммируемых с некоторой степенью в области. Первый такой результат для функций суммируемых с квадратом был получен Г. Вейлем. Им было исследовано также пересечение классов соленоидальных и потенциальных полей в случае векторных полей из пространства Лебега L2 и получен полный ответ о представимости пространства L2 в виде ортогональной суммы подпространств.

Некоторые частичные обобщения разложения Вейля-Гельмгсльца, а также его комплексные аналоги и приложения рассматривались такими авторами, как Р. Темам, О. А. Ладыженская, Ю. А. Дубинский. Однако, до сих пор не было получено полное обобщение теоремы Вейля на случай соболевской шкалы. Эта задача в действительности тесно связана, с задачей исследования ядер и коядер классической тройки дифференциальных операторов векторного анализа grad, div, rot в полной шкале пространств Соболева. Важность этих операторов заключается в том, что большое количество изучаемых в математической физике уравнений с частными производными имеет своими операторами те или иные их композиции.

В последнее время активно стали исследоваться краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных для клиффордо-возначных функций и дифференциальных операторов с коэффициентами из клиффордовой алгебры. Наибольшую активность такие исследования получили в Соединенных Штатах Америки и Германии. При рассмотрении такого сорта задач вариационного типа существенную роль играет двойственная теория, т.е. обращение к "сопряженным" функциональным объектам. Недостатком же имеющихся исследований в этом направлении является то. что аналоги пространств Соболева для клиффордовозмачных функций рассматриваются лишь как нормированные пространства над полем вещественных (комплексных) чисел. Это обстоятельство сказывается на двойственной теории, потому как "сопряженные" объекты снова являются лишь нормированными пространствами над тем же полем.

Важно было бы построить двойственную теорию, учитывающую линейность по элементам клиффордовой алгебры, т.е. рассматривать вместо векторных пространств модули, что позволит рассмотреть замкнуто в рамках клиффордова анализа ряд задач вариационного типа.

Цель и задачи работы.

Целью исследования является построение общей теории прямых разложений функциональных пространств (модулей, в случае клиффордова анализа) и решение посредством этой теории ряда краевых задач для уравнений в частных производных. Для достижения данной цели были сформулированы следующие задачи:

Ш ПЛ ТП'ЧТОТТТГО ЛЛА^Т»ТОТ1Т»ГТ ПЛП пл\т/лтгг»гг TJ Olí ТТ IT T*V. -тт i ITIA ттт ТТЛ ТТЛ птгттптг rrnt

- líVV^ij AV/iXílV^ WUU^mV/iíli/l i/uivj./jyíivv'iní/l JJI^liilí/l 1 WlUlta UoiJJl^a i ICil Wlj T-Cl »1 ÜV^l-

ной шкалы соболевских пространств и пространств "с суммиремой дивергенцией";

• исследование краевых задач для градиентно-дивергентного оператора., некоторых "переопределенных" задач, а также вариационных задач, приводящих к системам типа Стокса;

• получение прямых разложений модулей Соболева-Клиффорда, в частности, разложения на подмодули моногенных функций и комоноген-ных потенциалов;

» исследование вариационных задач на модулях Соболева-Клиффорда, и соответствующих систем типа Стокса.

Методы исследования.

Результаты диссертации были получены применением методов теории функций, линейного и нелинейного функционального анализа, абстрактной алгебры, клиффордова анализа.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

» предложен общий подход к изучению дополняемости подпространств-ядер линейных непрерывных операторов, при помощи которого получено обобщение разложения Вейля-Гельмгольца и ряд других представлений функциональных пространств в виде прямой суммы подпространств;

• рассмотрены некоторые как линейные, так и нелинейные задачи, изучение которых основано на геометрии пространств Соболева относительно выделения в них ядер и коядер классической тройки операторов grad, div, rol;

о

• рассмотрены нормированные модули Клиффорда; для них получены некоторые аналоги утверждений классического вещественно-комплеке-ного функционального анализа, а также предложен метод "пронизывающих изоморфизмов";

• получены прямые разложения моду-лей Соболева-Клиффорда и на их основе исследованы вариационные задачи, приводящие к системам типа Стокса.

Практическая значимость работы.

Полученные результаты носят теоретический характер, являются вкладом в общую теорию дифференциальных уравнений в частных производных и могут бьтть ис.полкдгтант-л при решении прикладных задач.

Апробация работы.

Отдельные результаты диссертационной работы обсуждались на научных семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством Ю. А. Дубинского и А. А. Амосова на кафедре ММ МЭИ(ТУ), семинаре под руководством акад. Е. И. Моисеева на факультете ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики под руководством акад. С. М. Никольского, чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцева в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Также часть результатов докладывалась на Международной конференции, посвящённой памяти И. Г. Петровского (2007), Международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ акад. В. А. Садовничего (2009) и некоторых других конференциях.

Публикации.

Основные результаты исследований опубликованы в 9 печатных работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 25 наименований. Диссертация изложена на 92 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждается история рассматриваемых в диссертации задач, а также краткий обзор современного состояния исследований. В частности, приводится следующая классическая

Теорема Гельмгольца. Любое гладкое в области С евклидова ориентированного пространства К3 поле Г можно разложить в сумму Г = Гх + Г 2 безвихревого поля Г] и солепоидалъного поля Гг-

Далее обсуждаются имеющиеся обобщения этой теоремы на случай пространств Лебега и Соболева, а также аналогичные представления для клиффордова анализа и их приложения.

Первая глава посвящена вещественным и комплексным краевым задачам и прямым разложениям функциональных пространств. В разделе 1.1 вводятся необходимые функциональные пространства.

Пусть <3 с Мп — ограниченная область с границей <9(9 класса С°°. Пусть т € N. 1 < р < сю. Как обычно, пространство Соболева — это

линейное нормированное пространство

= {« € ЬР(С) | Иаи е ЬР{С) V»: |а| ^ г?г}

с нормой ¡1 • ||т,р, определенной следующим образом:

¡а| <'гп

где || • ||р — это норма в пространстве Лебега Ьр(С). Операторы дифференцирования здесь суть операторы обобщенного дифференцирования.

— это пространство вектор-функций, а Ж™ (С?) — замыкание линейного подпространства Р(<?) финитных бесконечно дифференцируемых функций.

В пространстве Соболева, \У™((7) выделяются следующие подпространства-ядра:

= |<Ну/ = 0}

— пространство соленоидальных полей (точнее, полей без источников), и. когда п = 3, пространство безвихревых полей

1?(<?) = {/еЧУ™(С) |г<*/ = о}.

Рассматриваются также пространства "с суммируемой дивергешщей", а именно, линейные нормированные пространства

= {и € | <Ичи е И^"1+/£(С)},

где А: € К, с нормой

Кроме вещественных пространств рассматриваются их комплексные аналоги.

В комплексном анализе появляются специфические для комплексного переменного дифференциальные операторы

дzj • = ЭХ} ■ +%0У1 ■ и д^ ■ = Ц^. ■

где ,7 € {1,..., п}, г = у/—\, Ц = хз + Щ- Первый из них является оператором Коши-Римана, а второй формально сопряжен первому. Используя эти операторы, вводятся аналоги оператора дивергенции

сИу2 и = д21и 1 + д.2и2 +.. - + д~гип и сПу5и = д^щ + д~2щ +.. . + д1пип,

и градиента

ёгас!, V = (д21 V, дг2у...., дгпь) и grad¿ V - (<92] и, д~2ь,..., д1пу),

где 2 € С, и: С — Сп и С.

В разделе 1.2 приводится следующая Теорема (Г. Вейль, 1940) Пусть (3 С К3 - область. Имеют место следующие ортогоншгъные разложения

Ь2(С) = 82(С) ь2(С) = 12(<?)егоГс4(С),

82(6) =Г0[С^(6,)Ф(82(С)ПЬ(С)), 12(С) = ёгас1С<\(С)Ф (82(С) П 12(С)),

г<9е Сд(<3) (Сд((?)) — множество один раз непрерывно дифференцируемых финитных в области С функций (соответственно, вектор-функций). Следствие. Имеет место тройное ортогональное разложение

Ь2(С) ^ шс^е (82(С)п 12(С)) е¡ы^Кёу.

Обсуждается связь этой классической теоремы Г. Вейля и ее обобщений с краевыми задачами для градиентно-дивергентного оператора.

В разделе 1.3 доказывается критерий дополняемости подпространства нормированного пространства, а также ряд утверждений, посредством которых в следующих разделах исследуются конкретные дифференциальные операторы в пространствах Соболева и других функциональных пространствах. Два центральных утверждения этого раздела таковы.

Пусть X — нормированное пространство и Х\ — его замкнутое подпространство.

Теорема. Подпространство Х\ дополняемо в X тогда и только тогда, когда имеет место коммутативная диаграмма

2-5-.у

X,

где 2 иУ - некоторые нормированные пространства, а линейные непрерывные операторы А, В, С такие, что Х\ — кег А а С: 2 —> У — изоморфизм (линейно-топологический). При этом

X — Хг щшй,

Теорема. Пусть X, У — линейные нормированные пространства иА:Х — У — линейный непрерывный оператор. Тогда, если существует линейное нормированное пространство ^ и линейные непрерывные операторы В, С такие, что С — изоморфизм и коммутативна диаграмма

2'-^-> У

/

А

X,'

то имеет место прямое разложение

X* = кет В*® т А*.

При этом справедливы равенства

кег В* = аппх* ¿т В и ¡т А* — аппх* кег А.

В разделе 1.4 устанавливаются обобщения разложения Вейля на случай полной шкалы пространств Соболева, а также пространств "с суммируемой дивергенцией".

Сначала приводятся и доказываются с помощью общего подхода, изложенного в разделе 1.3, две теоремы Ю. А. Дубинского. Теорема (Ю. А. Дубинский, 2006) Справедливо прямое разложение

Теорема (Ю. А. Дубинский, 2006) Справедливо прямое разложение

Ъ™'к(С) = $ grad»'•r"o+'г+1(G)•

Здесь Т^ 0(С) = П И^С?), I е N. I > 0.

Далее в разделе устанавливается полное обобщение теоремы Г. Вейля. Для произвольной функции из Ьр(С), вообще говоря, не определен след на границе области С, но для функции и из В°,А;(С7), когда к > 0, можно определить след для (и, г/), где и — нормаль к границе области С.1 Он определяется как функционал из пространства Вр1^р(дО) — [В^р(дС))', для которого имеет место равенство (формула Стокса)

! и{х)х>(х)с1х = - Jы(x), grad?;(x)) дх,

а а

\/р + 1/р' = 1, V £ IV},(С). В частности, след нормального значения функции на границе определен дня функций из Зр(С). Вводится следующее обозначение:

в^оСС?) = {/ € : (/, 1/)|ас = 0},

а также обозначение для подпространства гармонических функций

Ярт(С) = {/ € \У™(С) : Д/ - 0}.

Доказывается Теорема. Имеет место прямое разложение

В итоге, получено следующее обобщение тройного разложения Вейля. Следствие. Справедливы прямые разложения

Проектор на компоненту gradИ/™orl(G0 (дгас1И/™0+]+'1"(<3)): необходимо решить задачу Дирихле

Дг = с]1У и в С,

лас = 0,

где и € (0™'к(С)) — исходная функция, тогда gradr будет искомой

проекцией.

1 Здесь, конечно, употребление знака скалярного произведения весьма, условно, как напоминание о том, что должно быть в случае гладких полей.

Далее необходимо найти компоненты разложения функции и -gradr € S™0(G) ©gradff™+1(G), для этого следует найти решение h задачи Неймана

АЛ• = 0 в G,

= («_ gradr, v)\dG.

au\SG

Окончательно, разложение исходной функции будет выглядеть так:

и = (и — gradr — grad h) + grad h + grad r,

причем дли третьей компоненты в разложении исходная норма эквивалентна норме дивергенции, а для второй компоненты — норме следа нормального значения на границе.

Далее, в подразделе раздела 1.4, рассмотрены другие прямые разложения пространств Соболева.

Вводятся следующие пространства (I G N) :

s;lMG) = {« € Wp'(G) i div Alu = 0},

H£i{G) = iu « I = 0}.

Имеет место

Теорема. Пусть l,s,m£ N и l m + s. Тогда справедливы прямые разложения пространств Соболева:

W?{G) = H£,(G) ф AsWpm0^s)(G).

В разделе 1.5 рассматриваются различные краевые задачи и для них доказываются теоремы разрешимости, опирающиеся на полученные ранее разложения функциональных пространств.

Рассматривается, в частности, следующая нелинейная система уравнений

-grad(|A<:r)|P-2At>(>)) - h{x) в G, (1)

с краевым условием

v\да = 0, (2)

и дополнительно одно из следующих краевых условий

Дфо = 0, (3)

Ôv

ди

= 0. (4)

8G

Теорема. Для каждого функционала Л из (Ир'1^))', который аннулируется на подпространстве Эр(С), существует и единственно слабое решение из \VplG) задачи (1), (2), (3).

Теорема. Для каждого функционала ¡г из (^'¿(С))', который аннулируется на подпространстве 8Р|о(<3), существует и единственно слабое решение из задачи (1), (2), (4).

Также в этом разделе рассматривается нелинейная система вариационного типа

- gгadи>(.т)|р~2 ягаЛы{х)) + йт} Аг(х) = /г(.-г) в О, (5) со следующими условиями:

¿пгДгу^О в С, (6)

Час = 0, (7)

г\во = 0, (8)

ог dv ,

-0. (9)

iöG

Теорема. Задача (5), (6), (7), (8), (9) при любой правой части h £ WpX{G) имеет решение (w,г) € Wp(G) х W^(G). причем это решение единственно.

Глава 2 посвящена прямым разложениям модулей Соболева-Клиффорда и краевым задачам для систем типа Стокса.

При изучении литературы по теории прямых разложений в клкффор-довом анализе (таких авторов, как Н. Begehr, М. Reissig, ГО. Л. Дубин-ский, А. С. Осипенко) бросается в глаза то, что авторы рассматривают не вполне, на наш взгляд, соответствующую изучаемым объектам структуру. Объектами, прямое разложение которых они устанавливают, служат множества функций со значениями в клиффордовой алгебре и суммируемых со степенью р вместе со всеми производными до некоторого порядка т (Wpn(G; Ап), G С Rn+1 — область определения функций), на которых вводится естественная — как в обычных пространствах Соболева — норма. При этом не учитывается то, что эти множества являются в действительности у1„.-модулями, а не только векторными пространствами над полом К. Таким образом, строится теория нормированных К-линейных пространств, вместо более естественной теории А„-модулей со структурой нормированного пространства, т.е. учитывающей Ап-линейность изучаемых объектов. Это существенно меняет двойственную теорию: рассматривая W™{G,An) только как нормированные пространства, мы, фактически, работаем с 2" степенью пространства Wp(G) и Ап-линейная структура теряется.

В диссертации рассмотрена полная ап структура изучаемых множеств функций и построена соответствующая теория прямых разложений именно для Ап-модулей \¥™(С\Ап) Соболева-Клиффорда. Попутно получены аналоги хорошо известных утверждений вещественно-комплексного функционального анализа для случая нормированных Лп-модулей: например, теорема Хана-Банаха, теорема Браудера-Минти и некоторые другие утверждения. Опираясь на прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда изучены некоторые вариационные задачи, приводящие к системам, являющимися аналогами систем типа Стокса для случая клиффордова анализа.

В разделе 2.1 даются основные определения и доказываются некоторые утверждения о свойствах нормированных модулей Клиффорда.

Пусть а — это нормированная Л-алгебра. Введем обозначение ЬМ(А) дан следующей категории:

1. А' € ОЬ(ЬМ(А)) — это левый унитальный Л-модуль, который также является нормированным пространством над полем М.

2. / е Аг(ЬМ(Л)) — это непрерывный А-гомоморфизм.

Соответствующим образом вводится категория 11М(А) правых А-моду-лей.

Пусть ап — 2п-мерная алгебра Клиффорда над полем М с образующими е\,.... е„ и соотношениями

где ói,j — символ Кронекера, ео — единица алгебры Ап. Efe базисные элементы суть еа = е^е^ • • • eir, где а> = {i\,..., ir} С {1,..., п}, ¿j < го < ... < гг и 1 ^ г ^ п, а также = ео- В алгебре ап введено сопряжение (антиизоморфизм): каждому элементу и = ]>2awaea ^ ставится в соответствие элемент й - J2a ua¿a € Ап, где

ёо = е0, éi - -e-i, 1 < г < ra; eae¡) = ё0ёа, а, в С {1,..., п}. На А„ вводится норма (сумма берется по всем подмножествам)

Мультипликативная операция алгебры непрерывна в этой норме (как и в любой другой), причем да я всех х,у е А„ выполняется неравенство

tiCj + e3e¿ — —2Si,je(j для 1 ^ i,j ^ п,

1/2

аС{1,...,п}

\ху\лп < \х\ап\у\а,

Поэтому алгебра ап — это нормированная К-алгебра.

Естественным образом вводится обычный контравариантный функтор * : ЬМ(А„) -» ЬМ(Л„),

Л'* = тог(А, Ап), ¡р € тог(Х, V) ^ <р* € тог(V*, X*).

Доказывается аналог теоремы Хана-Банаха. Теорема. Пусть X € ОЬ(ЬМ(Л„)) и М С X — подмодуль. Если / £ М*, то существует Р 6 X* такой, что

1. Р{х) — /(ж) Лгл всех х & М (Р — продолжение });

\Р\х> С\Лм*, где С ^ 1 не зависит от /. Важное свойство Лп-модулей состоит в том, что отображение Р0:Х*-*Х\ Ро(/) = Рг0о/,

где / € А'*, является изоморфизмом в категории нормированных пространств. Доказательство приведенной выше теоремы таким образом сводится к постороеншо такого продолжения, что диаграмма

М*-----

м,-ъХ',

коммутативна.

Используя упомянутое свойство Ап-модулей, сформулирован аналог теоремы Браудера-Минти для случая категории ЬМ(ЛП). Теорема. Пусть X 6 ОЬ(ЬМ(Л„)) — рефлексивное сепарабельное банахово пространство и отображение С : X —> А'* такое, что оператор

В = Р0 о С : X X'

радиалъно непрерывен, монотонен и коэрцит-ивен. Тогда отображение С является сюръективным.

Далее в разделе рассматривается обобщение общей схемы, которая была получена в первой главе для нормированных пространств, на случай нормированных модулей Клиффорда.

Определение. Пусть X, У, 2 € ОЬ(ЪМ(А)). Будем называть некоторый изоморфизм х £ тог (У, 2) пронизывающим модуль X посредство {(р, ф), если имеет место коммутативная диаграмма

у---

Теорема. Пусть X € ОЬ(ЬМ(А)) и х £ Аг(ЬМ(Л)) — изоморфизм, пронизывающий X. Тогда имеют место прямые разложения

X - кег ф Ф Ш1 А* = кег уу ф ¡т ф~

и следующие ]Х1венства

кег уз* = аппх* ¡ту?, [тф* — апп^* кег'^.

Если, кроме, того, А = Ап или X рефлексивен, то

кег ф = аппд' ¡т ф*, та ¡р — аппх кег <р*.

В разделе 2.2 рассматриваются модули Соболева-Клиффорда, их свойства и устанавливаются прямые разложения.

Пусть С С Еп+1 (п > 1) — ограниченная область с гладкой границей, т € М, 1 < р < ос.

Определение. Ап-бимодулъ Соболева-Клиффорда - это множество

Ап) = {и : С - Ап : о и € ТУрт((?) для всех (3 С {1,...,«}} с естественным левым и правым действием алгебры Ап и нормой

Установлены следующие свойства модулей Соболева-Клиффорда:

» Ьр{С,Ап) ~ Ап))* в категории 1Ш(ЛП) (ЬМ(Л„));

• Правые (левые) модули Соболева-Клиффорда \\г™{С,Ап) рефлексивны.

Вводятся дифференциальные операторы клиффордова анализа

п

= Аго + В и д- БХг) - В, где

г=0

п

О = '^2eiDXi — оператор Дирака. ¿=1

Доказывается теорема о представимости в виде прямой суммы подмодулей.

Теорема. Пусть т £ Ъ, 1 < р < со. Имеют место следующие прямые разложения, модулей IV™ (О, Ап):

т х.'ТП. / у** \ ^ а-\лп. / у^у л > ~ лгг г?» Д-1 <■ » \

>ур = <-/р "(Ст., Лп],

\у;п(с,ап) = 6™(с,ап) фаи^0+1(с,

где

(С, Л„) = кегв, &рп(с, ап) = кег

ИЛП+1ГГ 4 А если гп ^ О,

ИР.0 = |ИГ+1(С)Л1)1 есди т < о.

В этой теореме установлено разложение в прямую сумму правых модулей Соболева-Клиффорда и получено оно применением коммутативной диаграммы

1¥™+\С,Ап)-^-- (И'¿Г'п(С,Ап)У

1¥™(с,ап).

В разделе 2.3 рассмотрены применения полученных разложений модулей Соболева-Клиффорда при решении краевых задач для систем типа Стокса.

Рассмотрен следующий модельный функционал

3{и) = г-\щ{Ь.,и), р р'

где и С Шр(С,АГ1) и п € Т¥^(С,Ап). Задача минимизации данного функционала на подмодуле 0^(0, Ап) сводится к следующему уравнению в частных производных

71

]Гвак{\рХки\^вХки) + ¡«¡р;2« + дт = К к=о

где г £ Ьр'(С, Ап), и дополнительному граничному условию типа Неймана, которое можно включить в определение внешнего оператора дифференцирования.

Доказана следующая Теорема. Для всякого Ь, £ И^^С?, Ап) существует и единственно решение данной задачи (и,г), и £ £>¿(<5, Ап), г € Ап).

Приведенная краевая задача типа Стокса представляет собой один из возможных вариантов задач, которые могут быть решены посредством прямых разложений модулей Соболева-Клиффорда. В частности, вместо условий типа Неймана на искомую функцию и могут быть наложены условия Дирихле, так как это было в соответствующей вариационной задаче в первой главе. Также могут быть рассмотрены уравнения более выско-го порядка, поскольку разложения справедливы в полной шкале модулей Соболева-Клиффорда.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

На основе предложенного общего подхода были получены различные прямые разложения функциональных пространств и исследованы краевые задачи для различных уравнений: нелинейных, переопределенных, а также систем вариационного типа.

Подводя итоги проведенного исследования, кратко сформулируем полученные в работе результаты.

• Развит общий подход к изучению дополняемости подпространств-ядер линейных непрерывных операторов в функциональных пространствах, который основывается на доказанных в работе теоремах о дополняемости подпространств как исходного нормированного пространства, так и сопряженного к нему пространства.

в Установлено полное обобщение теоремы Г. Вейля на случай шкалы соболевских пространств и пространств "с суммируемой дивергенцией".

• Получен ряд других прямых разложений пространств Соболева, в частности, прямые разложения с Д-соленоидальнымн полями.

• Исследованы две краевые задачи для нелинейного градиектио-дивергентного оператора. Установлена их "нормальная" разрешимость, а также "нормальная" разрешимость двух задач для уравнения третьего порядка, как следствие полученных ранее прямых разложений.

в Рассмотрена вариационная задача, приводящая к системе типа Сток-са. Доказана ее разрешимость.

• Введены нормированные модули Клиффорда. Для них получены аналоги теорем Хана-Банаха, Враудера-Микти, а также обобщение ранее предложенного подхода для изучения дополняемости подпространств нормированного пространства на случай нормированных клиффор-довых модулей.

• Получены некоторые свойства модулей Соболева-Клиффорда, аналогичные свойствам классических пространств Соболева, а также прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда.

• Исследованы краевые задачи для систем типа Стокса. Установлена, их однозначная разрешимость.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ.

1. Боровиков И.А. Безвихревые и соленоидальные поля в пространствах W™ // Доклады АН, 2008, т. 422, №1, с. 7-10.

2. Боровиков И.А., Дубинский Ю.А. Некоторые разложения модулей Соболева-Клиффорда и нелинейные вариационные задачи // Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2008, т. 260, с. 57-74,

3. Боровиков И.А. Некоторые разложения пространств С. JI. Соболева и их приложения // Вестник МЭИ, 2005, №6, с. 25-41.

4. Боровиков И.А. Теорема Хана-Банаха в модулях над алгебрами Клиффорда // Вестник МЭИ, 2007, №6, с. 5-10.

5. Боровикоп И.А. Об одном нелинейном градиентно-дивергентном операторе // Вестник МЭИ, 2009, № 6, с. 49-55.

6. Боровиков И.А. Некоторые разложения пространств С. Л. Соболева // Двенадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. Радиоэлектроника, Электротехника, Энергетика. Тезисы докладов. М.: МЭИ, 2006, т. 1, с. 347-348.

7. Боровиков И. А. Модули Соболева-Клиффорда и левомоногенные функции // Междунар. конф., посвящённая памяти И. Г. Петровского. Тезисы докладов. М.: МГУ, 2007, с. 47-48.

8. Боровиков И.А. Об одном пронизывающем изоморфизме и безвихревых полях // Труды Международной науч.-техн. конф. "Информационные средства и технологии". М.: МЭИ, 2008, т. 2, с. 169-171.

9. Боровиков И. А. Некоторые разложения модулей Соболева-Клиффорда // Современные проблемы математики, механики и их приложений. - М.: Изд-во "Университетская книга", 2009. - 416 с.

Подписано в печать }С , Зак. Тир. {ÜC Пл. j,^ Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13

ВВЕДЕНИЕ

1 Вещественные и комплексные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств

1.1 Необходимые функциональные пространства.

1.2 Градиентно-дивергентный оператор.

Теорема Г. Вейля и ее частичное обобщение.

1.3 Критерий дополняемости подпространства нормированного пространства

1.4 Прямые разложения функциональных пространств.

1.4.1 Пространства Соболева "отрицательной гладкости "и дифференциальные операторы

1.4.2 Обобщение разложения Г. Вейля.

1.4.3 Другие разложения функциональных пространств

1.5 Краевые задачи.

1.5.1 Градиентно-дивергентный оператор.

1.5.2 Вариационные задачи.

2 Некоторые краевые задачи клиффордова анализа и прямые разложения модулей Клиффорда

2.1 Модули над алгебрами Клиффорда.

2.1.1 Определения и некоторые утверждения.

2.1.2 Пронизывающие изоморфизмы.

2.2 Модули Соболева-Клиффорда

2.2.1 Определения и некоторые свойства.

2.2.2 Операторы дифференцирования.

2.2.3 Прямые разложения. "Одномерный" случай

2.2.4 Прямые разложения. "Многомерный" случай.

2.3 Краевые задачи для систем типа Стокса в модулях Соболева-Клиффорда ./.

Известно, что всякое гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы соленоидального поля (поля без источников) и некоторого потенциального поля. Это утверждение часто называют теоремой Гельмголъца, в частности, в учебнике по математическому анализу [1]. Приведем формулировку этой теоремы из данного учебника.

Теорема. Любое гладкое в области D евклидова ориентированного пространства К3 поле F можно разложить в сумму F = Fi + F2 безвихревого поля Fi и соленоидального поля F2.

Доказательство этого факта сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области D. В самом деле, если применить оператор div к полю F и решить задачу Дирихле то для поля F можно будет написать представление

F = gradp + (F — gradp), в котором, как очевидно, поля Fi = gradp и F2 = (F —gradp) являются, соответственно, безвихревым и соленоидальным. Граничное условие (2) в задаче Дирихле мы специально не конретизировали, поскольку при любом условии

Ар = divF p\dD = • • •,

1) (2) будет получаться некоторое представление Гельмгольца, важно только, что р является решением уравнения Пуассона (1).

Видно, что представление Гельмгольца неоднозначно. Произвол появляется ввиду того, что классы безвихревых и соленоидальных векторных полей имеют непустое пересечение. Однозначное представление можно получить, если потребовать, скажем, вместо произвольного потенциального поля такое, у которого потенциал имеет нулевое значение на границе области D, и для получения этого представления решать задачу Дирихле (1), (2) с нулевым краевым условием.

Приведенная выше классическая теорема имеет важное значение для теории уравнений с частными производными не только ввиду ее тесной связи с задачей Дирихле для уравнения Пуассона, но и по той причине, что в этой теореме дается некоторое представление о ядрах дифференциальных операторов первого порядка rot и div, точнее об их в некотором роде взаимной дополнительности в пространстве всех гладких векторных полей. Чтобы говорить об алгебраической прямой сумме подпространств, нужно позаботиться о пересечении этих подпространств, т.е. либо факторизовать по нему, либо рассматривать потенциальные поля с потенциалом, обращающимся в нуль на границе области. Также эта теорема важна с точки зрения теории функций, поскольку дает представление о произвольном гладком векторном поле.

С современной точки зрения важно получить аналоги теоремы Гельмгольца для функций не гладких, а например, только суммируемых в области. Обобщение этой теоремы на случай негладких полей было получено в 1940 году Г. Вейлем [2]. Он показал, что всякое поле из L2 обладает тем же свойством.

1 В то время теория пространств Соболева и обобщенных функций только зарождалась, поэтому Вейль формулировал свой результат без использования пространств с суммируемыми обобщенными производными, но неявно именно в рамках этой теории.

Выше мы отмечали, что класс солеиоидальных полей имеет непустое пересечение с классом потенциальных полей. Вейль исследовал это пересечение в случае векторных полей из пространства Лебега L2 и дал полный ответ о представимости пространства L2 в виде ортогональной суммы подпространств. А именно, им было получено следующее ортогональное разложение

L2 - rot Cq е (S2 ПI2) ® gradCg, где S2 — подпространство солеиоидальных полей, I2 — подпространство безвихревых полей, черта над множеством означает замыкание в метрике пространства L2. Вейль показал, что пересечение S2ni2 составляют потенциальные поля с гармоническим потенциалом. Приведенные обозначения не совпадают с теми, которые были использованы Вейлем, но нам они удобны ввиду обобщений, которые будут установлены в диссертации.

Важно отметить, что полученное Вейлем обобщение уже носит топологический характер, поскольку указано не просто алгебраическое представление в сумму, но и топологическое, т.е. с оценками компонент разложения через исходную функцию. Таким образом, теорема Гельмгольца и ее обобщение Вейля охватывает интересы минимум трех разделов математики: теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории функций и функционального анализа.

Некоторые частичные обобщения разложения Вейля-Гельмгольца, а также его комплексные аналоги и приложения рассматривались такими авторами, как Р. Темам, Ю. А. Дубинский, О. А. Ладыженская, см. [3-7].

Одной из целей настоящей работы является получение обобщения разложения Вейля-Гельмгольца на случай полной шкалы соболевских пространств. Эта задача тесно связана с изучением ядер и коядер классической тройки операторов векторного анализа grad, div и rot в полной шкале соболевских пространств. Важность этих операторов заключается в том, что большое количество изучаемых в математической физике уравнений с частными производными имеет своими операторами те или иные их композиции. В работе, в частности, будут рассмотрены некоторые как линейные, так и нелинейные задачи, изучение которых будет основано на знании геометрии пространств Соболева относительно ядер и коядер этой классической тройки операторов.

Стоит отметить, что нами будет предложен общий подход, с помощью которого будет получено обобщение разложения Вейля-Гельмгольца и ряд других представлений функциональных пространств в виде прямой суммы подпространств. В частности, посредством этого подхода может быть получено более простое, как нам кажется, и короткое доказательство самого разложения Вейля, не использующее никаких громоздких конструкций, которые имеют место в работе Г. Вейля. Стоит отметить также, что по сравнению со случаем гильбертова пространства L2 в общем случае пространств Соболева вопрос даже о дополняемости того или иного замкнутого подпространства отнюдь не очевиден, не говоря уже об описании дополнения.

Прямые разложения функциональных пространств позволяют исследовать некоторые краевые задачи для уравнений с частными производными. В работе будут рассмотрены некоторые задачи для градиентно-дивергентного оператора, некоторые "переопределенные" задачи, а также вариационные задачи, приводящие к системам типа Стокса.

Диссертация условно разделена на две содержательные части (главы).

Первая глава посвящена вещественным и комплексным краевым задачам и соответствующим разложениям функциональных пространств. Основное содержание главы представляют обобщения разложения Вейля-Гельмгольца и их приложения, о которых мы говорили выше.

Вторая глава посвящена уравнениям и пространствам, в которых функции принимают значения в клиффордовой алгебре Ап.

При изучении литературы по теории прямых разложений в клиффордо-вом анализе (см., например, [8-10], а также имеющиеся там ссылки) бросается в глаза то, что авторы рассматривают не вполне, на наш взгляд, соответствующую изучаемым объектам структуру. Объектами, прямое разложение которых они устанавливают, служат множества функций со значениями в клиффордовой алгебре и суммируемых со степенью р вместе со всеми производными до некоторого порядка' т (W™{G\ Ап), G С Mn+1 — область определения функций), на которых вводится естественная — как в обычных пространствах Соболева — норма. При этом не учитывается то, что эти множества являются в действительности Ап-модулями, а не только векторными пространствами над полем Ж. Таким образом, строится теория нормированных R-линейных пространств, вместо более естественной теории Дг-модулей со структурой нормированного пространства, т.е. учитывающей Лп-линейность изучаемых объектов. Это существенно меняет двойственную теорию: рассматривая W™(G: Ап) только как нормированные пространства, мы, фактически, работаем с 2П степенью пространства- W™(G) и Лп-линейная структура теряется.

В диссертации мы рассмотрели полную Ап структуру изучаемых множеств функций и построили соответствующую теорию прямых разложений именно для А „-модулей W™(G;An) Соболева-Клиффорда. Попутно получены аналоги хорошо известных утверждений вещественно-комплексного функционального анализа для случая нормированных Ап-модулей: например, теорема Хана-Банаха, теорема Браудера-Минти и некоторые другие утверждения. Опираясь на прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда нами изучены некоторые вариационные задачи, приводящие к системам, являющимися аналогами систем типа Стокса для случая клиффордова анализа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-16].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проведенного исследования, кратко сформулируем полученные в работе результаты.

• Развит общий подход к изучению дополняемости подпространств-ядер линейных непрерывных операторов в функциональных пространствах, который основывается на доказанных в работе теоремах о дополняемости подпространств как исходного нормированного пространства, так и сопряженного к нему пространства.

• Установлено полное обобщение теоремы Г. Вейля на случай шкалы соболевских пространств и пространств "с суммируемой дивергенцией".

• Получен ряд других прямых разложений пространств Соболева, в частности, прямые разложения с Д-соленоидальными полями.

• Изучены две краевые задачи для нелинейного градиентно-дивергентного оператора. Установлена их "нормальная" разрешимость, а также "нормальная" разрешимость двух задач для уравнения третьего порядка, как следствие полученных ранее прямых разложений.

• Рассмотрена вариационная задача, приводящая к системе типа Стокса. Доказана ее разрешимость.

• Введены нормированные модули Клиффорда. Для них получены аналоги теорем Хана-Банаха, Браудера-Минти, а также обобщение ранее предложенного подхода для изучения дополняемости подпространств нормированного пространства на случай нормированных модулей Клиффорда.

• Получены некоторые свойства модулей Соболева-Клиффорда, аналогичные свойствам классических пространств Соболева, а также прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда.

• Исследованы краевые задачи для систем типа Стокса. Установлена их однозначная разрешимость.

1. Зорин В. А. Математический анализ: Учебник. Ч. 2. — М.: Наука, 1984. - 640 с.

2. Weyl Н. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J., 1940, 7, p. 414-444.

3. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. — М.: Мир, 1981. 409 с.

4. Дубинский Ю. А. Об аналитических «краевых» задачах на плоскости // УМН, 1997, т. 52, вып. 3, с. 53-104.

5. Ладыженская О. А. О связи задачи Стокса и разложений пространстви W2(1) // Алгебра и анализ, 2001, т. 13, вып. 4, с. 119-133.

6. Дубинский Ю. А. Разложения пространств W™ и D™-k в сумму солеиоидальных и потенциальных подпространств и факторизационные неравенства // Доклады АН, 2006, т. 408, № 2, с. 1-5.

7. Дубинский Ю. А. Разложения соболевской шкалы и градиентно-дивер-гентной шкалы в сумму солеиоидальных и потенциальных подпространств // Труды матем. инст. им. В. А. Стеклова РАН, 2006, т. 255, с. 136-145.

8. Дубинский Ю. А., Осипенко А. С. Нелинейные аналитические и коана-литические задачи (Lp-теория, клиффордов анализ, примеры) // Матем. сборник, 2000, т. 191, №1, с. 65-102.

9. Begehr Н., Dubinskii Ju. Orthogonal decompositions of Sobolev spaces in Clifford analysis // Ann. Mat. Рига ed Appl. Ser. 4, 2002, v. 181, №1, p. 55-71.

10. Dubinskii Ju., Reissig M. Variational problems in Clifford analysis // Math. Meth. Appl. Sci., 2002, v. 25, p. 1161-1176.

11. Боровиков И. А. Некоторые разложения пространств С. JT. Соболева и их приложения // Вестник МЭИ, 2005, №6, с. 25-41.

12. Боровиков И. А. Теорема Хана-Банаха в модулях над алгебрами Клиффорда // Вестник МЭИ, 2007, №6, с. 5-10.

13. Боровиков И. А., Дубинский Ю. А. Некоторые разложения модулей Соболева-Клиффорда и нелинейные вариациоииые задачи // Труды матем. инст. им. В. А. Стеклова РАН, 2008, т. 260, с. 57-74.

14. Боровиков И. А. Безвихревые и соленоидальные поля в пространствах W™ // Доклады АН, 2008, т. 422, №1, с. 7-10.

15. Боровиков И. А. Об одном пронизывающем изоморфизме и безвихревых полях // Труды междунар. науч.-техн. конф. "Информационные средства и технологии". М.: МЭИ, 2008, т. 2, с. 169-171.

16. Боровиков И. А. Об одном нелинейном градиентно-дивергентном операторе // Вестник МЭИ, 2009, №6, с. 49-55.

17. Lindenstrauss J., Tzafriri L. On the complemented subspaces problem // Isr. J. Math., 1971, 9, p. 263-269.

18. Кадец M. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // УМН, 1973, т. 28, вып. 6 (174), с. 77-94.

19. Одинец В. П., Якубсон М. Я. Проекторы и базисы в нормированных пространствах. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 152 с.

20. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М: Мир, 1978. — 336 с.

21. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. — М.: Научный Мир, 2008. — 400 с.

22. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.

23. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. 552 с.

24. Clifford Algebras in Analysis and Related Topics. Ed. by J. Ryan. — Boca Raton (FL): CRC Press, 1996.