О разрешимости некоторых краевых задач в областях с негладкой границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Красногорский Александр Михайлович

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 2006

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского энергетического института (технического университета)

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Дубинский Юлий Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Лаптев Геннадий Иванович кандидат физ.-мат. наук, доцент Ольшанский Максим Александрович

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов.

Защита состоится " G " ^глса£~ря_ 2006 года в 16

часов на заседании диссертационного совета К212.157.01 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17, в аудитории М-710°.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) на автореферат просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан " 'Ы. " сУря Ученый секретарь диссертационного совета . кандидат физ.-мат. наук, доцент_А/

2006 г.

Григорьев В. П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Наряду с классическими задачами математической физики, корректными в смысле Адамара-Петровского (т. е. имеющих единственное решение, непрерывно зависящее от исходных данных), в настоящее время активно изучаются задачи, имеющие не единственное решение, или же разрешимые не для любой правой части. Помимо классических задач, имеющих конечномерное ядро (например, задача Неймана или задача Стокса), возникает необходимость исследования задач, имеющих бесконечномерное ядро или коядро. Корректность таких задач означает нормальную разрешимость в смысле Хаусдорфа.

Условие корректной разрешимость подобных задач может быть описано в виде факторизационного неравенства. Примером может служить первая краевая задача для дивергентного уравнения. Как известно из работ Ладыженской О. А. и Солонникова А. В., разрешимость указанной задачи эквивалентна т. н. LBB-неравенству.

Наряду с факторизационным неравенством, корректная разрешимость краевой задачи может быть описана в терминах разложения банахова пространства в прямую сумму замкнутых подпространств. Последний подход получил развитие в работах Дубинского Ю. А., Зубкова П. В., Осипенко А. С., Reissig М., где рассматривались разложения банаховых пространств в прямые суммы замкнутых подпространств, эквивалентные разрешимости ряда задач комплексного анализа, а также задачи Стокса. Таким образом, корректная разрешимость краевой задачи оказывается тесно связана с результатами из различных областей анализа. Рассмотрение подобных связей представляет собой комплексный подход к изучению поставленной задачи, способствует взаимному дополнению результатов, полученных по решению различных проблем.

Например, исследование первой краевой задачи для дивергентного уравнения в случае двух переменных приводит к целой группе эквивалентных формулировок условия корректной разрешимости этой задачи. Наряду с упомянутым LBB-неравенством, это неравенство Харди-Литтльвуда для сопряженных гармонических функций, неравенство Корна из теории упругости. Кроме того, корректная разрешимость этой задачи оказывается эквивалентна замкнутости суммы аналитического и антианалитического подпространств в Lp. В случае односвязной области этот факт приводит к разложению подпространства гармонических функций в сумму аналитического и антианалитического подпространств. Упомянутые результаты получены в работах Horgan С. О., Payne L. Е., Дубинского Ю. А., Красногорского А. М.

В последние годы в работах Дубинского Ю. А. начато исследование ряда комплексных краевых задач, в определенном смысле являющихся аналогами хорошо известных задач вещественного анализа. Это т, н. комплексное дивергентное уравнение (дополняемое краевыми условиями Стокса), комплексная задача Неймана и др. Корректная постановка данных задач требует введения специальных функциональных пространств, соответствующих рассматриваемой задачи. В вещественном случае отсутствие разрешимости в пространствах Соболева имеет место лишь в случае областей с негладкой границей.

Корректная разрешимость комплексных краевых задач связана с различными проблемами, известными в анализе, например, это описание дополнения к аналитическому пространству в Ьр. Дальнейшее изучение этих задач представляет несомненный интерес.

Цель работы. Исследование некоторых краевых задач математической физики, не являющихся корректными в смысле Адамара-Петровского, и доказательство их нормальной разрешимости в смысле Хаусдорфа. К таким задачам относятся комплексная дивергентная задача, задача Стокса и др.

Общая методика исследования. Вопрос о разрешимости изучаемых краевых задач сводится к справедливости соответствующего фактори-зационного неравенства, или же к разложению функционального пространства в прямую сумму его замкнутых подпространств. При этом выбор соответствующего разложения функционального пространства (равно как и факторизационного неравенства), эквивалентного разрешимости краевой задачи, не является единственным, что позволяет получить новые сведения о разрешимости хорошо известных задач.

Известные краевые задачи математической гидродинамики рассматриваются в обобщенной постановке, тесной связанной с численными методами исследования данных задач. В работе используются методы комплексного функционального анализа, которые оказываются эффективны при исследовании разрешимости не только задач в специфической комплексной постановке, но и в применении к известным задачам вещественного анализа. Основные результаты получены в рамках банаховых функциональных пространств.

Основные результаты и их научная новизна. В работе представлены следующие основные результаты:

1. Получены критерии разрешимости первой краевой задачи для ди-

о

вергентного уравнения в пространстве Соболева IVЦй) в случае ограниченной области <3 с С.

2. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Стокса для ограниченной области б С С. Исследована связь разрешимости задачи Стокса и дивергентного уравнения.

3. Рассмотрен пример области с кусочно-гладкой границей, в которой задача Стокса не разрешима. Приведены достаточные условия разрешимости задачи Стокса, охватывающие широкий круг областей.

4. Рассматривается применение полученных результатов к задачам теории гармонических функций и теории упругости.

5. Установлена разрешимость комплексного дивергентного уравнения в случае многих комплексных переменных для областей в виде декартового произведения. Решение найдено как элемент специальных функциональных пространств, адекватных данной задаче.

6. Доказано отсутствие разрешимости комплексного дивергентного уравнения в пространствах Соболева для области в виде бикруга.

Теоретическая и практическая значимость. Уравнение дивергентного вида и задача Стокса являются объектом изучения в течении длительного времени. Однако, известные нам результаты о разрешимости данных задач не обладают достаточной общностью. В настоящей диссертации вопрос о разрешимости данных задач рассматривается во взаимосвязи с целой группой фактов, ему эквивалентных. Привлечение исследований из различных областей (комплексный анализ, теория банаховых пространств) позволяет получить новые данные о разрешимости хорошо известных задач.

Разложения функциональных пространств, полученные в рамках исследования разрешимости изучаемых задач, представляют, на наш взгляд, и некоторую самостоятельную ценность, поскольку позволяют уточнить известные результаты теории функций комплексного переменного и теории упругости.

Разрешимость комплексного уравнения дивергентного вида (в случае многих комплексных переменных) является необходимым условием для корректной разрешимости т. н. комплексного аналога задачи Неймана. Изучение последней задачи начато в последние годы в работах Ю. А. Дубинского. Отсутствие разрешимости комплексного уравнения дивергентного вида в пространствах Соболева, доказанное в настоящей диссертации, подтверждает необходимость использования функциональных

пространств специального вида для корректной постановки данной задачи.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на международных научно-исследовательских конференциях:

— международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.) — см. [2];

— международной конференции "Математическая гидродинамика" (Москва, 12-17 июня 2006 г.) — см. [3];

— международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 19-25 июня 2006 г.) — см. [4],

а также на научно-исследовательских семинарах:

— научно-исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю. А.;

— научно-исследовательском семинаре факультета Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ под руководством академика РАН Моисеева Е. И.;

— научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительной математики Механико-Математического факультета МГУ под руководством профессора Кобелькова Г. М.;

— научно-исследовательском семинаре МИ РАН под руководством академика РАН Никольского, чл.-корр. РАН Бесова О. В., чл.-корр. РАН Кудрявцева Л. Д.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 36 наименований. Объем работы — 112 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводятся основные результаты работы.

В первой главе диссертации исследуются следующие краевые задачи:

1). Первая краевая задача для уравнения дивергентного вида (область б С К2 = С, Г — ее граница):

сИуи(ж) = /(ж), геС, и|г = 0.

(1) (2).

2). Задача Стокса (С С С)

У/г + Ду = ё, (3)

(Нуу = 0, (4)

у|Г = 0. (5)

Здесь жирным шрифтом выделены обозначения вектор-функций, V« = {^.Ц}, сНуи = ^ + и = {щ,гс2}. Предполагается, что все функции могут принимать комплексные значения.

Основным результатом, полученным в первой главе являются необходимые и достаточные условия разрешимости указанных краевых задач.

В §1.1 вводятся необходимые обозначения и пространства.

Пусть область (3 С Ж™. Определим функциональные пространства:

о

И^(Сг), т = 1,2,... как замыкание пространства финитных бесконечно гладких функций Э(С?) в пространстве Соболева \¥™(С), ™(С?) =

== (и^чсо) , ЛУ--(С) - , ьр(0) ~

(Ьр(0))п. Жирным шрифтом выделяются обозначения вектор-функций и пространств вектор-функций. Предполагается, что все функции могут принимать комплексные значения.

Как обычно, = + + + =

Пусть

Н{в) = {и € 2>'(<3) : Ди = 0} ,

Нр(Сг) = Я(С) р|£р(<3), где 1 < р < оо. Для ограниченных областей О определим также пространства

= € ЬР{в) : I! и{г) = о|

В частном случае С? С К2 = С определим дифференциальные операторы дги = 5 - »§;) . дяи = 5 (|г +«(оператор Коши-Римана и сопряженный с ним), а также операторы Х7си — {<Эги, , с11уси = дгщ + дцщ.

Будем называть гармонические функции и : б —> С и г> : С —С, сопряженными, если они удовлетворяют в области С? системе уравнений

Коши-Римана

ди ду ди ду дх ду' ду дх' Определим также функциональные пространства

0(С) = {/ е Ъ\С) : д,/ = 0} , 0{С5) = {/ е Ъ\С) : а,/ = о>,

Ор(С) = 0(С)Г\ЬР(С>), Ор(С) = О» (С) =

ор(о П - ^ = П 4 (О).

Запись Х/У означает фактор-пространство X по его замкнутому подпространству У.

В §1.2 рассматриваются некоторые факты из функционального анализа, используемые далее в тексте диссертации.

В §1.3 рассматриваются два разложения пространства ЬР{С) в прямую сумму замкнутых подпространств, оказывающиеся полезными при исследовании разрешимости некоторых краевых задач:

£р(<3) = ор(<3) ® с? с с (6)

= Нр(в) © ДИ^С), О С К". (7)

о о

Здесь дц\Ур{0) и ДИ^С) суть образы соответствующих операторов при отображении в . Указанные подпространства называют, со-

ответственно, коаналитическим и когармоническим подпространствами в Ьр{<в).

Разложения (6) и (7) справедливы при условии, что выполняются, соответственно, следующие предположения относительно области С:

о

П1: Обратим оператор Лапласа Д : -» И7р1{С).

П2: Обратим оператор Д2 : И>|(<7) ->•

Отметим следующее достаточное условие для справедливости предположений П1 и П2:

предложение 1.9. Пусть С с Ж" — ограниченная область. Тогда предположения п1 и п2 при р = 2 справедливы.

Разложение (6) впервые получено в работах Дубинского Ю. А., разложение (7) исследовалось (при р = 2) в работах Лежнева В. Г., Боровикова И. А. В третьей главе рассматриваются обобщения разложения (6) на случай многих комплексных переменных.

В §1.4 рассматриваются необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (1), (2).

Определим функциональное пространство

ЕР{С) = дМЦС) П П НР{С).

Имеет место следующий результат:

Теорема 1.5. Пусть <3 с С — ограниченная область, 1 < р < оо и справедливы предположения П1, П2. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

a) Для любой правой части / е существует решение задачи (\), {2) и €

b) Для любой правой части / е -£^(<3) существует решение и е

о

первой краевой задачи для уравнения (Куви(г) = /(*), ж 6 О.

c) Для любой функции и 6 ЬР{С1) справедливо неравенство

(8)

где константа М > 0 не зависит от функции и.

й) Для любой функции и б справедливо неравенство

1!ы'к(е?)/с <

где константа М > 0 не зависит от функции и.

е) Для любой функции и 6 Ьр(0) справедливо неравенство

1М|£Р(С)/С ^ м (\\и\\ьр{а)юг{а) + 1М1мс}/гуо) где константа М > 0 не зависит от функции и. /) Пространство Ор(С) + Ор(С) замкнуто в ЬР(С). £) Для сопряженных гармонических функций и 6 V е

Нр{й) справедлива оценка (неравенство Харди-Литпиьвуда)

!М1мо/с^мИк(е>/с» (9)

где константа М > 0 не зависит от функции и.

Н) Пусть и и V — соответственно, вещественная и мнимая части аналитической функции а € Ор(С). Тогда справедливо нера-

венство

.М1мо/н ^ М 11и1к«г)/к'

где константа М > 0 не зависит от функции а.

i) Справедливо равенство

Op(G) + Op(G) = (dzWl(G) f] dSv^G)^ X.

i) Гармоническая функция и € HP(G) имеет сопряженную v е HP(G) тогда и только тогда, когда и е (£у((?))х.

Неравенство (8) известно как LBB (Ладыженской-Бабушки-Бреции) неравенство. Приведенная теорема обобщает известный результат Horgan С. О., Payne L. Е. об эквивалентности неравенств LBB и Харди-Литтльвуда на случай рф 2 и областей с негладкой границей.

Также рассматривается вариант теоремы 1.5 для случая утверждений с усиленными формулировками.

В §1.5 приводятся необходимые и достаточные условия для разрешимости задачи Стокса (3) — (5) в случае области GcC.

Определим пространство соленоидальных функций

¿¿(GO = ju е W*(G) : divu = oJ,

Следующая теорема показывает, что необходимым (а при р = 2 идо-статочным) условием для разрешимости задачи Стокса является справедливость для области G LBB-неравенства.

Теорема 1.8. Пусть G с С — ограниченная область, и 1 < р < со. Сформулируем следующие утверждения:

a) Для любой функции и е LP(G) справедливо неравенство (8).

b) Задача (3) — (5) разрешима в следующем смысле: для любой правой части g е W~1(G) существует единственное решение

{h,v} е LP(G)/C х S 1(G) уравнения (3).

Указанные утверждения связаны следующим образом:

— при 1 < р < оо справедлива импликация Ь) а);

— при р— 2 утверждения а) и Ь) эквивалентны.

Назовем комплексной формой записи задачи Стокса следующую задачу:

Vch + A u = f, (10)

divc u = 0, (11)

u\v = 0. (12)

ю

Наряду с пространством соленоидальных функций , определим

функциональное пространство

&1(С) = 6 : 6Ыеи = о}.

Следующая теорема описывает как связь вещественной и комплексной задачи Стокса, так и свойства комплексной задачи Стокса.

Теорема 1.9. Пусть С? с С — ограниченная область, 1 < р < ос и справедливы предположения П1, П2. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

a) Для любой правой части д е существует и един-

о

ственно решение задачи (3) — (5) V е и И € Ьр{й).

b) Для любой правой части / е ЛУ"1^) существует и един-

о

ственно решение задачи (10) — (12) и е и к£Ьр(С).

c) Справедливо разложение

= де^(С) © жьр(о)/с).

й) Справедливо разложение

УГ¡(С) = @1(С) ф До1'V, (Ьр(0)/С).

е) Оператор (Шура) А = сНуДд-'У осуществляет ограниченный изоморфизм

А : £„(С)/С о Ьр{в)/С. [) Справедливо разложение

хда/с = ор{с)/с е ор(с)/с @ П . (13)

Справедливо разложение £Р(С)/С = сда/с е ОАв)/С Ф £Р(С) Ф

/г) Справедливо разложение

НР{С)/С = <9Р(С?)/С ф 6>Р(С)/С ф Я„(СУ). (14)

п

В §1.6 рассматривается пример области С С С, для которой задача

о

(1), (2) не разрешима в пространстве Соболева \¥\{С), а также достаточные условия на область С7, при которых разрешимость этой задачи имеет место для произвольных 1 < р < оо.

Зададим границу Г области (7 с С в полярной системе (р, р) координат как совокупность 3-х кривых р = —щ^у, р = — 1П(1У) > Р — 1 (область с внешним "клювом").

ТЕОРЕМА 1.11. В указанной области (3 задача (I), (2) с правой

частью / € Ь\{С) вообще говоря, не имеет решения и 6 ТУ^С?)-

Согласно теореме 1.5, данный результат в точности означает, что для области С? ЬВВ-неравенство (8) несправедливо.

Упомянем об одном условии на область <3, охватывающем широкий круг областей, и в то же время достаточном для справедливости ЬВВ-неравенства. Будем говорить, что область £? удовлетворяет сг-Джон условию, 0 < а, если существует точка 2ц е б, которая может быть соединена с любой другой точкой г € О непрерывной кривой 7, удовлетворяющей условию

<г|С-*!<(*(£, Г)

для всех С е 7.

Можно показать, что а-Джон условию удовлетворяют области, не имеющие внешних "клювов". Из работы С. А. ИоИег'а (2005 г.) известно, что выполнения <т-Джон условия достаточно для справедливости неравенства Харди-Литтльвуда (9) при любом 0 < р < оо (более того, справедливо утверждение (3) теоремы 1.7). Тем самым, сг -Джон условие является достаточным и для выполнения ЬВВ-неравенства, по крайней мере, в случае ограниченной области (? и р = 2.

Во второй главе рассматриваются приложения полученных результатов к задачам теории функций комплексного переменного и теории упругости.

В §2.1 рассматривается разложение гармонического пространства (14) в случае, если область С? является конечносвязной.

Сформулируем следующие требования к области в:

ПЗ: Пусть граница Г области С? является многообразием класса С2, и допускает представление Г = Г0 и Гх У Г2... и Г„, где О^ — связные компоненты, Го — внешняя граница области (т. е. число связных компонент границы конечно и равно п + 1).

Имеет место следующий результат:

Теорема 2.1. Пусть область С с С удовлетворяет ПЗ. Тогда пространство ЕР(С) является конечномерным,

сИт£?р(С)) = п,

причем ЕР{С) = Е(С) не зависит от индекса р.

В частности, для односвязной области (7 разложение (14) принимает вид

Нр{в)/С = <?„((?)/С © 0р(С?)/С.

Доказательство теоремы 2.1 основано на установленном изоморфизме ЕР(С) = ДЛр0(С) между пространствами Ер(0) и где /¡^(С)

определяется как пространство бигармонических функций р, удовлетворяющих краевым условиям

0

0.

В §2.2 рассматривается декомпозиция пространства гармонических функций Н{й), Для пространства Я(<3) получен аналог разложения (14):

теорема 2.2. Пусть область в удовлетворяет ПЗ. Тогда справедливо разложение

Я/С = О/С © О/С ф Е(Р).

В §2.3 в качестве примера рассматривается область в виде кольца на комплексной плоскости, т. е. С = {г : г < \г\ < Я}, где 0 < г < Я < оо. Получено описание пространств Е(0), Яр0(О), критерий наличия у функции и Е Яр((?) сопряженной функции и £ Яр(<3) (см. утверждение 0) теоремы 1.5, а также утверждение (с!) теоремы 1.7).

В §2.4 рассматриваются некоторые свойства оператора А =

АоХУ. Основным результатом этого параграфа является следующая спектральная теорема:

Теорема 2.3. Пусть С? с С — ограниченная область, и оператор А определяет ограниченный изоморфизм из Ь^р{С1) в Тогда:

I). Пространство С является ядром оператора А.

II). Оператор А осуществляет ограниченный изоморфизм

А : <Э;(С) © 0*р(С) ОЦО) © 01(С).

III). Пространство dzWp(G) d^lVp(G) является собственным подпространством оператора А, соответствующим собственному значению, равному 1.

Наряду с этой теоремой, рассматриваются свойства отношения двойственности между пространствами I}p(G) и L^G), определяемого по формуле

(u'v)ip/Cxlp,/c = (А«,») = JJ A u(z)v(z)dG(z). (15)

G

Установлено, что разложение (13) "ортогонально" относительно отношения двойственности (15). Болееточно (A u,v) — 0 для любых функций

и е 0«(G) © ol(G), v g dzW^G) П d,W$(G) и для любых функций и б 0ji(G) и v 6 Op,(G). Последнее свойство, вообще говоря, отсутствует для обычного отношения двойственности между пространствами LP(G) и Lp>(G). По-видимому, исключение составляет лишь область в виде круга К = {z € С : \z\ < R}.

В §2.5 рассматривается связь полученных результатов с исследованиями спектра пучка операторов теории упругости.

Известные результаты Михлина С. Г. о спектре пучка операторов теории упругости позволяют уточнить спектральную теорему для оператора А следующим образом:

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть G с С — ограниченная область с границей класса С2. Тогда оператор А обладает полной в ¿г(С) счетной ортонормированной системой собственных векторов. Спектр расположен на отрезке [0,1], причем разделяется на 3 группы:

I). А = 0 — изолированное собственное значение кратности 1, соответствующий собственный вектор и = 1.

II). Не более чем счетное множество собственных значений, расположенное на отрезке А б [с, §], где с е (0>|] с единственной точкой сгущения А = Все собственные значения из этой группы конечной кратности, за исключением, возможно, А = Соответствующие собственные векторы полны в пространстве 0\{G)®0\{G).

III). А = 1 — изолированное собственное значение бесконечной кратности. Ему соответствует собственное подпространство

d*W\{G) П дМ{0).

В третьей главе рассматривается разрешимость некоторых краевых задач комплексного анализа.

Рассматривается область С с С", Г — ее граница. Символом uz обозначена т. н. комплексная нормаль к границе Г, определяемая следующим образом: если и = (cosai, cos/?i.....cos ап, cos j3n) —внешняя

нормаль к границе Г,то их = (cos ai-И cos pi,,.. ,cosan-Ncos /Зп). Символ divz обозначает дифференциальный оператор, применяемый к ком-плекснозначной вектор-функции u = {ui, щ,..., ип} переменного z —

{z\, Z2,..., zn} по следующей формуле: div2 u = dZiui+dZ2U2-\-----VdZnun.

Соответственно, V2u = {d2iu, d~2u,..., dlnu).

Основной объектом изучения в данной главе является следующая краевая задача для комплексного дивергентного уравнения:

divzu — f, (16)

и • иг\г = 0, (17)

Для области G с Сп в виде декартового произведения установлена разрешимость этой задачи для любой правой части / е LP(G), ортогональной аналитическому подпространству в LP*(G). На примере области в виде бикруга показано, что, вообще говоря, не возможно найти решение задачи (16), (17), принадлежащее пространству Соболева Wp(G).

В §3.1 рассматривается аналог разложения (6) на случай функций трех и более вещественных переменных, причем добавленные неизвестные рассматриваются как параметр.

Пусть область G с ж", п > 2 имеет вид декартового произведения G = Г2 х Т, где Q — ограниченная область с границей 8Q на плоскости К2, отождествляемой с полем комплексных чисел С1, Т — ограниченная область в пространстве К"-2. Таким образом, переменную z € G можно рассматривать как пару независимых переменных z = {z, t], где z е Q, t ет, z — х + kj, х eR, у eR.

Определим функциональное пространство (анизотропное соболев-ское пространство)

Vp^(G) = {не LP(G) : е Lp{G) & |Н 6 lp(G) }

с нормой

IMIW) = MU> +

CU дх

р

+

LP(G)

ди ду

МО

а также пространство

ОрЛО) = {/ е ЬР{С) : д„/ = 0 в Ю'(СУ)}.

Основным результатом, полученным в этом параграфе, является следующая теорема:

Теорема 3.2. Пусть для области О с С выполняется предположение П1. Тогда справедливо разложение

ЬР{С) = Ор,г{С) © д^(С).

Более точно, для произвольной функции / е £Р(С0 существует и единственно представление

/ = а + дгг,

В §3.2 рассматривается разложение функций многих комплексных переменных на аналитическую и коаналитическую составляющие.

Пусть область С с С£, г = гг,... ,гп}, представима в виде

п _

в — П где С], з = 1,п — области с границей Г^- на плоскости 7=1

К2, отождествляемой с полем комплексных чисел С1. Определим функциональное пространство

1

аналитическое подпространство в £р((?)

0Р{0) = {« 6 Ьр(в) : = 0 в 2У(С)},

а также пространство

С&рА Ко(°) ■ " = 0в ©'(<?)}•

п

Теорема 3.3. Пусть С = " для каждой из областей

__7=1

С С, з = 1,п выполнено предположение П1. Тогда справедливо разложение

ЬР{С) = ор(в) е яу, (У£0(С)/Сэ^о)).

Иначе говоря, произвольная функция / е ЬР{С) представима в виде

/ = а + свуг г, 16

где а € 0р((2) определяется однозначно по функции /, функция г 6 У£„(0) определяется неоднозначно — с точностью до произвольной функции Б е 8р 0(С) .

При доказательстве теоремы 3.3 используется метод разделения комплексных переменных и теорема 3.2, Для дальнейшего изложения полезно также заметить, что пространство МР(С) ^ сИуи (У^0(О)/С!5^0(С)) является аннулятором аналитического подпространства СР1г(С).

В §3.3 рассматривается разрешимость задачи (16), (17) в следующей обобщенной постановке:

Функция и € Ьр(<7) является обобщенным решением краевой задачи 3) справой частью f е Ьр(С),если справедливо интегральное тождество

(и, V,«) = -(/,«)

для любой функции V е ^(С).

Определим функциональное пространство

^(С) = {и 6 Ър{в) : divj.ii е Ьр(С)}.

с нормой

1М1о£(С) = Ци|1ь,(0) + •

Пусть С — ограниченная липшицева область. Тогда для функций и е Ор(С?) определен след 7Уи = и ■ ^¡г- Определим также функциональное пространство

= {"6 ■■ 7,и = 0}.

В предложении 3.19 утверждается, что функция и е £р(<?) является обобщенным решением задачи (16), (17) тогда и только тогда, когда и £ О^о(С).

Указанный результат не означает существования решения (более того, для любой правой части / € Ьр{0) решения заведомо не существует). Кроме того, решение, если оно и есть, очевидно не единственно — ядром задачи является подпространство

- {и е : div.ii = 0} .

Как следствие теоремы 3.3 и вложения \^0(<3) с , для обла-

сти в виде декартового произведения имеет место следующая теорема о разрешимости задачи (16), (17):

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть в = П в], где <2,- С С, з = 1,п — ограни-

3=1

ценные липшицевы области, для которых выполняется предположение П1.

Тогда задача (16), (17) разрешима для любой правой части / 6 Более точно, образ оператора сИуг при отображении

-» ЬР(С) совпадаете Мр{0). Теорема 3.4 обобщает известный результат Дубинского Ю. А. (2003 г.), полученный для области в виде полидиска ир = 2.

Пространство и б Т>10(С) является наиболее широким пространством, в котором можно искать решение задачи (16), (17). Учитывая, что решение задачи (16), (17) определяется неоднозначно, можно ставить вопрос об улучшении нормировки решения, т. е. о поиске решения, для которого конечна более сильная норма. Например, как следует из теоремы 3.3, можно найти решение, являющаяся элементом пространства

Вполне естественно попытаться найти решение задачи (16), (17), яв-

о

ляющееся элементом пространства \Ур(<3) (в этом случае ситуация была бы совершенно аналогичной задаче (1), (2)) или хотя бы элементом пространства

ЩюЮ = {и € : (и, иг)т = 0} .

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (16), (17) в указанном смысле является оценка (комплексный аналог ЬВВ-неравенства)

!М[М<?)/еу(с) < м Н^И^с))- • (18>

(где константа М > 0 не зависит от функции и € 1у (<?)).

В §3.3 показано, что для области С?, имеющей вид бикруга, и р — 2 (т. е. в наиболее "хорошем" случае) оценка (18) несправедлива. Это озна-

о

чает, что образ оператора при отображении из пространства \У2(С?) (равно как и из \У2.0(С)) в ¿г(С) не является замкнутым.

В тоже время, задача (16), (17) разрешима з пространстве В*0((7). Последнее утверждение эквивалентно оценке

1М1 ыо/о^о ^ м .

где константа М > 0 не зависит от функции и 6 Ьр(С!).

Полученная оценка имеет прикладное значение. Например, в соответствии с известным результатом Дубинского Ю. А. из этой оценки (при

р = 2) следует разрешимость т. н. комплексного аналога задачи Неймана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Красногорский А. М. Разложение функций многих комплексных переменных на аналитическую и коаналитическую составляющие // Вестник МЭИ — 2005,— № 6 — С. 42—58.

2. Красногорский А. М. Разложение функции на аналитическую и коаналитическую составляющие с параметром // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.): Тез. докл.— М„ 2005,— С. 137.

3. Красногорский А. М. Разложение гармонического подпространства в 1*Р(С?) в сумму аналитического и коаналитического подпространств // Международная конференция "Математическая гидродинамика" (Москва, 12-17 июня 2006 г.): Тез. докл.— М„ 2006.— С. 94—95.

4. Красногорский А. М. Разложение гармонического подпространства в ЬР{С) в сумму аналитического и коаналитического подпространств // Международная конференция "Тихонов и современная математика" (Москва, 19-25 июня 2006 г.): Тез. докл. секции №1.— М„ 2006,— С. 153.

5. Красногорский А. М. О разложении пространства гармонических функций и некоторых приложениях//Доклады Академии Наук.— 2006 — Т. 411— №4 — С. 451—453.

Подписано в печать Ю-ОС Зак.33$ Тир. ¥СЮ П.л. Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13

Введение

Глава 1. О разрешимости задачи Стокса в случае области с негладкой границей

1.1. Основные обозначения и определения

1.2. Некоторые факты из функционального анализа

1.3. О двух разложениях пространства LP(G) в прямую сумму замкнутых подпространств

1.4. Разрешимость первой краевой задачи для уравнения дивергентного вида в двумерном случае

1.5. Разрешимость задачи Стокса в двумерном случае

1.6. Пример области, в которой LBB-неравенство не справедливо

Основной задачей настоящей диссертации является исследование разрешимости некоторых краевых задач математической физики, не являющихся корректными в смысле Адамара-Петровского, т. е. имеющих не единственное решение, и (или) разрешимых не для любой правой части. Более того, рассматриваемые задачи имеют, как правило, бесконечномерные ядро и коядро и являются нормально разрешимыми в смысле Хаусдорфа.

В работе показано, что разрешимость изучаемых краевых задач для дифференциальных уравнений оказывается эквивалентна справедливости соответствующего факторизационного неравенства, а также наличию разложения функционального пространства в прямую сумму его замкнутых подпространств. При этом выбор соответствующего разложения функционального пространства (равно как и функционального неравенства), эквивалентного разрешимости краевой задачи, не является единственным, что позволяет получить новые сведения о разрешимости хорошо известных задач.

В работе используются методы комплексного функционального анализа, которые оказываются эффективны при исследовании разрешимости не только задач в специфической комплексной постановке, но и в применении к известным задачам вещественного анализа. Отметим также, что основные результаты получены в рамках банаховых функциональных пространств, что развивает результаты и методы исследования, предложенные в работах [6]—[ 10].

Известные краевые задачи математической гидродинамики рассматриваются в обобщенной постановке, тесной связанной с численными методами исследования данных задач (см. [28]). Разложения функциональных пространств, полученные в рамках исследования разрешимости данных краевых задач, представляют, на наш взгляд, и некоторую самостоятельную ценность, поскольку позволяют уточнить известные результаты теории функций комплексного переменного и теории упругости.

Рассмотрим содержание работы более подробно.

В диссертации исследуются следующие краевые задачи:

1). Первая краевая задача для уравнения дивергентного вида (рассматривается случай двух вещественных переменных, область G с С, Г — ее граница): divu(ж) =/(ж), х £ G, и|г - 0.

2). Задача Стокса (рассматривается случай двух вещественных переменных)

V h + Av = g, divv = 0, v|p = 0.

3). Краевая задача для комплексного уравнения дивергентного вида divz и = /, и ■ щ |г = 0.

В последнем случае рассматривается область G С С", Г — ее граница. Символом г/2 обозначена т. н. комплексная нормаль к границе Г, определяемая следующим образом: если и = (cosai,cos/3i,. ,cosan,cos(Зп) — внешняя нормаль к границе Г, то vz — (cos «1+г cos Д,., cos cos/3„). Символ divz обозначает дифференциальный оператор, применяемый к комплекснозначной вектор-функции u = {iti,иг, • • •,ип] переменного z = {zi, ., zn} по следующей формуле: divz и - дг1щ + dZ2u2 + • • • + dzun, dz = \ (Д - г .

Задачи 1), 2) являются хорошо известными, исследование задачи 3) начато в [10].

Разрешимость задачи 1) исследуется в главе 1 в следующей обобщенной постановке:

Для любой правой части f е LP(G), ортогональной константе, о найти решение и б Wlp(G).

Здесь и далее предполагается, что 1 < р < оо и G — ограниченная область на комплексной плоскости.

Заметим, что решение задачи 1) не является единственным, а определяется с точностью до пространства

S 1(G) = ju G Wp(G) : divu = 0 j .

В работе установлено (см. теорему 1.5), что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи 1), наряду с известным LBB-неравенством

HLp(G)/C<MWVu\\W;\G)I (1) является т. н. неравенство Харди-Литтльвуда для аналитических функций

MlLP(G)/C ^ М IMILP(G)/C > где и 6 HP(G), v G HP(G) — сопряженные гармонические функции, константа М > 0 не зависит от функций и и v.

Весьма существенно, что в доказательстве этого факта не используется никаких предположений относительно гладкости границы области G, кроме следующего: определен ограниченный обратный оператор к опео ратору Лапласа Д : Wlp(G) ->• (обозначим его символом Aq1)

При р = 2 указанное утверждение справедливо для любой ограниченной области G (см., например, [30]).

Следует отметить, что неравенство Харди-Литтльвуда является одной из классических задач теории функции комплексного переменного. Впервые оно доказано в статье [34] для области в виде круга; поиск достаточных условий на область, в которой неравенство справедливо, продолжается вплоть до настоящего времени (см., например, [36]). Эквивалентность неравенства Харди-Литтльвуда и LBB-неравенства при р — 2 и некоторых дополнительных ограничениях на область известна из работы [35].

Разрешимость задачи Стокса 2) изучается в главе 1 в следующей обобщенной постановке:

Для любой правой части f е W~1(G) существует единственное о решение {h,v} е LP(G)/C х Sj(G).

Данная постановка обобщает постановку задачи Стокса, используемую в [25], [28], [33] на случай рф1. Подчеркнем, что рассматриваемая постановка задачи Стокса (при р — 2) отличается от классической вариационной постановки, используемой в [20], в следующих деталях: о a) пространство Sj(G) определяется не как замыкание гладких финитных соленоидальных функций в области G по норме Wp(G), но как о подпространство функций и в Wp(G), для которых divu = 0; b) давление h ищется как функция из LP(G), но не как функция из Ll°c(G).

Отличия различных постановок задачи Стокса анализируются, например, в [28]).

В настоящей работе установлено (см. теорему 1.8), что необходимым (а при р = 2 и достаточным) условием разрешимости задачи Стокса в рассматриваемой постановке является LBB-неравенство (1).

Заметим далее, что при исследовании задачи Стокса важную роль играет оператор Шура. Дополнением по Шуру, или оператором Шура системы Стокса 2) называется оператор

А = div AnXV.

В работе показано, что разрешимость задачи Стокса в указанной обобщенной постановке эквивалентна обратимости дополнения Шура как оператора, действующего из lp(g)/c в lp(g)/c (см. теорему 1.9).

Отметим также, что функция давления h может быть найдена по формуле h = A^divAg1/

Этот подход к решению задачи Стокса отличается от традиционного вариационного метода, основанного на определении поля скоростей v. Существует мнение, что численные методы решения задачи Стокса, основанные на обращении оператора Шура, являются в определенном смысле наилучшими (см. [25]). Эффективность подобных методов существенно зависит от нормы обратного оператора А-1, или, что тоже, от величины константы М в LBB-неравенстве (1) (см. там же). Естественно, сам факт обратимости оператора Шура при этом имеет принципиальное значение.

В ряде работ по численному анализу высказывалось мнение, что задача Стокса разрешима для области g с кусочно-липшицевой границей, или, что тоже, при указанных ограничениях на область справедливо LBB-неравенство при р = 2 (см, например, [12], [25]). Результаты настоящей работы показывают, что это мнение не является верным. В заключительном разделе первой главы рассматривается пример области с кусочно-гладкой границей, для которой LBB-неравенство при р = 2 несправедливо.

В главе 1 также установлено, что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Стокса является справедливость любого из следующих разложений банаховых пространств в прямую сумму замкнутых подпространств: lp(g)/c = op(g)/c 0 op(g)/c 0 (dxwl(g) П dzwlig^j (2) hp(g)/c = op{g)/с e op(g)/c © ep(g). (3)

Здесь HP(G), 0P(G), 0P(G) — соответственно, подпространства гармонических, аналитических и антианалитических функций в LP(G),

EP(G) = dzWl(G) f| d,Wl(G) П HP(G).

Разложение (2) тесно связано с действием оператора А. Именно, в главе 2 доказано, что пространство Op(G)/С © Op(G)/C является инвариантным подпространством оператора Шура, а пространство о о dzWl(G) р| dsWp(G) является собственным подпространством, соответствующим собственному значению, равному 1 (см. теорему 2.3). Этот факт дает возможность провести детально анализа спектра оператора Шура для многосвязной области, исследование которого, в свою очередь, тесно связано с задачами теории упругости (см. предложение 2.15). Ключевые результаты по спектру оператора Шура сформулированы в теореме 2.4.

О свойствах, связанных с "ортогональностью" разложения (2), см. теорему 1.1, пункт i), а также предложение 2.13.

Не менее содержательно, на наш взгляд, и разложение (3). Имеет место следующий факт (см. предложение 1.16):

Линейное пространство функций и Е HP[G), имеющих сопряженную функцию v Е HP(G), совпадает с пространством Op(G) + Op(G),

Как следствие "ортогональности" разложения (3), получаем следующий критерий наличия сопряженной для гармонической функции:

Гармоническая функция и Е HP(G) имеет сопряженную функцию v е HP(G) тогда и только тогда, когда она ортогональна пространству EP*(G).

Основным (а при р = 2 и единственным) ограничением на область G (помимо ограниченности), при котором справедлив этот критерий, является справедливость LBB-неравенства (1) (см. утверждение j) теоремы 1.1). Практический пример использования данного критерия рассматривается на стр. 72.

Другие свойства разложения (3) рассматриваются в главе 2, при более ограничительных предположениях относительно области G: предполагается, что область G конечносвязная с границей класса С2. В этом случае пространство EP(G) конечномерно (размерность на 1 меньше числа компонент связности границы) и не зависит от индекса р (см. теорему 2.1), т. е. Ep(G) = E(G). В соответствии с теоремой 2.2, также справедливо разложение н/с^о/с е о/с © e{g). (4)

Заметим, что в классической теории функции комплексного переменного известно другое разложение,

Я/С = О/с © О/С © F(G), (5) где к f(z) = otj In\z — Zj |2, ctj EC > . j=i см. предложение 2.8, а также [32]).

Полезным наблюдением является то, что для функции / е HP(G), при указанных требованиях на область, в разложениях (4) и (5) получаем составляющие также из LP(G). В случае разложения (4), это немедленно следует из разложения (3). В случае разложения (5), этот факт требует доказательства, см. предложение 2.9. Разложение (4) имеет преимущество перед (5), состоящее в ортогональности дополнения при р = 2.

В случае односвязной области G, разложение (3) принимает вид

HP(G)/c = Op(G)/c © Op{G)/c.

Данное разложение (при р — 2) отмечалось в статье [6].

В главе 3 исследуется разрешимость задачи 3) в следующей обобщенной постановке:

Функция u G LP(G) является обобщенным решением краевой задачи 3) справой частью f е Lp(G),ecAU справедливо интегральное

F(G) = тождество u, V-Zv) = - (/, v) для любой функции v е W^(G).

Определим функциональное пространство

Dp (С?) = {ие Lp(G) : divz u 6 L p(G)}. с нормой

HUllDi(G) = llUllLp(G) + lldivZUllLp(G)-Пусть G — ограниченная липшицева область. Тогда для функций u е Dj(G) определен след = и ■ vz\T (см. предложение 3.18). Определим также функциональное пространство {и Е D 1(G) : 7i/U = 0}.

В соответствии с предложением 3.19, функция и £ является обобщенным решением задачи (3.12), (3.13) тогда и только тогда, когда neDi0(G).

Указанный результат не означает существования решения (более того, для любой правой части / е решения заведомо не существует).

Кроме того, решение, если оно и есть, очевидно не единственно — ядром задачи является подпространство lpfi(G) = {u € Di>0(GO : divz и = 0} .

В статье [ 10] доказан следующий результат:

Пусть область G С Сп имеет вид полидиска, т. е. G = Щ=1 Вг, Br = {z£ С : |jar| < г}. Справедливо ортогональное разложение

L2(G) = 02(G) 0 divz (Dj>0(C?)/CS5>0(G)).

Указанное разложение означает, в частности, что задача 3) разрешима для любой правой части / Е L2(G), ортогональной аналитическому подпространству 02(G), причем решение является элементом пространства Dio(G).

В настоящей работе указанный результат обобщается на случай произвольного показателя р, 1 < р < оо, и области в виде декартового произведения, т. е. G = Щ=1 Gj, где Gj С С — произвольные ограничено ные области. Более точно, предполагается, что оператор А : Wj(Gy обратим для каждой из областей Gj (при р = 2 это безусловно верно). В указанных условиях получен следующий результат (см. теорему 3.3):

Справедливо разложение

LP(G) = О,(С?) е div2 (V^/CS^G))

6)

Здесь пространство Vp 0((?) определяется как пространство векторix, понимаются в смысле £>'(G)), с нормой ди д функций u е LP(G), таких, что ^ е LP(G) и е LP(G) (производные

Mvj(G) = Н1ьр(0 + X)

3=1 ди^ дха

LP(G) j=l duj дУ]

LP(G) причем для функций и е У^0((2) полагается, что след и • vz\T = 0.

В тех случаях, когда области Gj обладают достаточной гладкостью для определения следа (как следа функции из пространства ), этого определения достаточно. Однако в случае, если Gj — произвольные ограниченные области, определение следа на границе требует большой осторожности. Более точное определение пространства V^G) дается в терминах пространств функций со значениями в банаховых пространствах (такие пространства широко используются в работах по уравненип ям в частных производных, см., например, [22], [23]). Пусть 7) = JJ Gk.

Определим пространство к=1 кф]

K]oJ(G) = Ш)

Тогда пространство определяется как п i=i

Соответственно,

CSj>0(G) = {u е Vj>0(G) : divz и = 0 в D'(G)}.

Доказательство справедливости разложения (6) основано на методе разделения комплексных переменных.

Разложение (6) в частности означает, что решение задачи 3) существует как элемент пространства Vj)0(G) для любой правой части / £ LP(G), ортогональной аналитическому пространству Op(G). Отметим, что результат является новым (по сравнению со статьей [10]) даже для случая полидиска и р = 2, поскольку утверждается, что можно найти решение задачи 3), для которого конечна более сильная норма, чем норма пространства D^((?) — норма пространства Vj((7).

Вполне естественным является вопрос — нельзя ли найти решение о задачи 3), являющееся элементом пространства W*(G) (в этом случае ситуация была бы совершенно аналогичной задаче 1) или хотя бы элементом пространства

Wji0(G) = {u G Wp(G) : (и, их)г = 0} .

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи 3) в указанном смысле является оценка (комплексный аналог LBB-неравенства) где константа М > 0 не зависит от функции и е LP<(G)).

В заключительном параграфе Ш-ей главы показано, что для области G, имеющей вид бикруга, и р = 2 (т. е. в наиболее "хорошем" случае) оценка (7) несправедлива. Это означает, что образ оператора divz при о отображении из пространства W^G) (равно как и из W^G)) в L2(G) не является замкнутым (см. предложение 3.24).

В то же время, если G — область в виде декартового произведения областей с липшицевой границей, имеет место вложение Vp0(G) С Dp)0(Cr) (см. предложение 3.21). Это означает, что задача 3) разрешима в пространстве D^0(G). Последнее утверждение эквивалентно оценке

H\Lp,(G)/Op,(G) < mhv^ii(d1,0(g))*' где константа М > 0 не зависит от функции и Е LP>(G).

Полученная оценка имеет прикладное значение. Например, в соответствии с известным результатом Дубинского Ю. А. (см. [10]) из этой оценки (при р = 2) следует разрешимость т. н. комплексного аналога задачи Неймана.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научно-исследовательских конференциях: международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.) — см. [14]; международной конференции "Математическая гидродинамика" (Москва, 12-17 июня 2006 г.) — см. [15]; международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 19-25 июня 2006 г.) — см. [16], научно-исследовательских семинарах: научно-исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю. А.; научно-исследовательском семинаре факультета Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ под руководством академика РАН Моисеева Е. И.; научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительной математики Механико-Математического факультета МГУ под руководством профессора Кобелькова Г. М.;

- научно-исследовательском семинаре МИ РАН под руководством академика РАН Никольского, чл.-корр. РАН Бесова О. В., чл.-корр. РАН Кудрявцева Л. Д.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]—[18].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Бесов О. В., Ильин В. ПНикольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука-Физматлит, 1996.

2. Боровиков И. А. Некоторые разложения пространств С. Л. Соболева и их приложения// Вестник МЭИ, №6, 2005, с. 25-41.

3. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Ха-ара. Свертка и представления. М.: Наука, 1970.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах. М.: Наука, 1977.

5. Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой // Вестник ЛГУ, 1973, №19, с. 5-12.

6. Дубинский Ю. А. О некоторых ортогональных разложениях и нелинейных аналитических задачах // Дифференциальные уравнения, 1995, Т. 31, №2, с. 262-276.

7. Дубинский Ю. А. О задаче продолжения с наименьшим коаналити-ческим уклонением // Математические заметки, Т. 64, вып. 1,1998, с. 45-57.

8. Дубинский Ю. А., Осипенко А. С. Нелинейные аналитические и ко-аналитические задачи (Lp-теория, клиффордов анализ, примеры)// Математический сборник, Т. 91, №1, 2000, с. 65—102.

9. Дубинский Ю. А. Об одном ортогональном разложении пространствоW\ и W2l и его приложении к задаче Стокса. //Доклады Академии Наук, 2000, Т. 374, №1, с. 13-16.

10. Дубинский Ю. А. Комплексный аналог задачи Неймана и ортогональное разложение Ь2 в сумму аналитического и коаналитическо-го подпространств //Доклады Академии Наук, 2003, Т. 393, №2, с. 155-158.

11. Канторович JI. В., Акилов В. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

12. Кобельков Г. М. Об эквивалентных нормировках подпространств L2 //Analysis Mathematica, V. 3, N. 3,1977, С. 177-186.

13. Красногорский А. М. Разложение функций многих комплексных переменных на аналитическую и коаналитическую составляющие // Вестник МЭИ, №6,2005, с. 42-58.

14. Красногорский А. М. О разложении пространства гармонических функций и некоторых приложениях // Доклады Академии Наук, Т. 411, №4,2006,3 С.

15. Красногорский А. М. Об отсутствии решения комплексного дивергентного уравнения в пространстве Соболева // Вестник МЭИ, №6, 2006, 7 С.

16. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. M.-JL, 1951.

17. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

18. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

19. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

20. Михлин С. Г. Спектр пучка операторов теории упругости // Успехи математических наук, Т. 28, вып. 3,1973, С. 43-82.

21. Ольшанский М. А., Чижонков Е. В. О наилучшей константе в inf-sup-условии для вытянутых прямоугольных областей // Математические заметки, Т. 67, вып. 3, 2000, С. 387—396.

22. Ройтберг Я. А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функциях. Препринт I-IV. Чернигов: Изд-во педагогического института, 1990.

23. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

24. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса (теория и численный анализ). М.: Мир, 1981.

25. Функциональный анализ / Под общей редакцией С. Г. Крейна. М., Наука, 1972.

26. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2003.

27. Adams R. A. Sobolev spaces. N.-Y.: Academic Press, 1975.

28. Axler S„ Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. N.-Y.: Springer-Verlag, 2001.

29. Chizhonkov E. V., Olshanskii M. A. On the domain geometry dependence of the LBB condition // Math. Modelling and Numerical Analysis, 34, №1,2000, P. 935-951.

30. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of conjugate functions //J. Reine Angew. Math., Vol. 167, 1932, P. 405—432.

31. Horgan С. O., Payne L. E. On inequalities of Korn, Friedrichs and Babuska-Aziz// Arch. Ration. Mech. Anal. Vol. 82, 1983, P. 165-179.

32. Nolder C. A. Conjugate harmonic functions and Clifford algebras // J. Math. Anal. Appl., Vol. 302, №1,2005, P. 137-142.