Нестационарные режимы твердопламенного горения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 536.46+662.421

ИВЛЕВА Татьяна Павловна

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ТВЕРДОПЛАМЕННОГО

ГОРЕНИЯ

Специальность 01.04.17 - химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Черноголовка 2004 г.

Работа выполнена в Институте структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

академик Александр Григорьевич Мержанов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Иванович Худяев

доктор физико-математических наук Эдуард Наумович Руманов

доктор химических наук Виктор Владимирович Барелко

Ведущая организация: Институт проблем механики, г. Москва

Защита состоится « 22 » апреля 2004 г. в 10 °° час на заседании диссертационного совета ДООЗ.08.01 при Институте структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский район, г. Черноголовка, ИСМАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСМАН.

Автореферат разослан «_» февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. К числу наиболее интенсивно развивающихся проблем современной науки относятся проблемы нелинейной динамики, самоорганизации и синергетики. Нелинейные явления обнаружены в физике, химии, биологии, медицине, экологии и т.д. Среди них довольно значительную роль играют процессы

нестационарного безгазового горения [1] . Исследование нестационарного твердопламенного горения (ТПГ) важно не только для развития теории нелинейной динамики, но и имеет значительный практический интерес. Открытие в 1967 явления твёрдого пламени (процесса горения, при котором исходные реагенты и продукты горения находятся в твёрдом состоянии) и создание на его основе метода самораспространяющегося высокотемпературного синтеза (СВС) стимулировали большое число экспериментальных и теоретических исследований, направленных на получение ценных тугоплавких неорганических соединений и материалов. Однако современные методы экспериментального исследования не позволяют выяснить, что происходит внутри образца при быстропротекающем и чрезвычайно чувствительном ко всякому вмешательству нестационарном твердофазном взаимодействии реагентов. Для приближенного аналитического исследования необходимо ясно представлять картину протекания процесса и понимать закономерности формирования и распространения спиновых волн твердопламенного горения. Наиболее перспективным методом решения проблемы является метод численного исследования. Возрастание потребностей промышленности в неоднородных (градиентных) материалах, особенно керамических, обладающих уникальными свойствами, определило изучение механизма нестационарного протекания синтеза и условий получения неоднородных материалов как одну из актуальнейших практических задач.

Цель_работы. Математическое моделирование и

исследование методами численного эксперимента

нестационарного распространения твёрдого пламени. Получение различных разновидностей установившихся трёхмерных нестационарных волн горения по образцу цилиндрической формы. Описание и объяснение

закономерностей видоизменений структуры фронта в течение

периода, определение областей существования полученных режимов и влияния параметров (свойств исходной смеси реагентов и радиуса цилиндрического образца) на трансформацию каждого режима в области его существования. Изучение влияния теплоотвода от поверхности образца. Представление общей картины распространения

нестационарных волн твердофазного взаимодействия реагентов в зависимости от влияния составляющих теплопереноса.

Научная новизна работы заключается в обнаружении и исследовании многочисленных установившихся нестационарных режимов распространения волн твердого пламени. Дано объяснение сущности как обнаруженных при

экспериментальном исследовании режимов взаимодействия реагентов в конденсированной фазе, так и режимов безгазового горения, ещё не полученных ни теоретически, ни экспериментально. Показано, что при увеличении радиуса образца и углублении- в область неустойчивости плоского фронта возникает тепловая турбулентность. Определен сценарий перехода к турбулентному распространению твёрдого пламеки, заключающийся в усложнении механизма распространения волны и возрастании числа режимов, сосуществующих при одном и том же наборе параметров (неединственность режимов горения). Показано, что наличие теплоотвода от поверхности образца ведет к возникновению большого класса новых режимов, не существующих в адиабатических условиях. Определена роль различных составляющих теплопереноса в реализации тех или иных режимов распространения твёрдого пламени и проведена классификация известных и вновь обнаруженных режимов горения.

Научная значимость работы состоит в том, что развиваемое направление и полученные результаты дают новое, более глубокое представление о процессах, происходящих в области нестационарности распространения плоского фронта. Результаты работы могут быть использованы для анализа получаемых экспериментальных результатов, прмогут определить новые возможности при создании различных структур, а также построить новые теоретические модели обнаруженных явлений.

На основании комплекса численных исследований автор защищает:

1. Обоснование математических моделей экспериментов, классифицированных на основании учета роли различных составляющих теплопереноса.

2. Методы численного исследования моделей и визуализации полученных результатов.

3. Объяснение природы установившихся спиновых волн (стационарных, периодических, квазипериодических и

непериодических) и трактовку' режимов, полученных при экспериментальных исследованиях нестационарных режимов.

4. Закономерности распространения трёхмерных спиновых волн, неединственность режимов, области существования в адиабатических условиях, сценарий перехода к тепловой-турбулентности, а также скорости распространения и специфические особенности различных режимов.

5. Качественное и количественное сопоставление полученных трёхмерных явлений с одномерными и двумерными аналогами.

6. Результаты исследования влияния теплопотерь. Объяснение механизмов распространения волн горения, существующих только в неадиабатических условиях.

7. Режимы сугубо нестационарного горения тонкого диска, зажженного в центральной зоне.

8. . Типы режимов, классифицированных на основании учета роли различных составляющих теплопереноса и* представленных в сводной таблице.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на: V International Symposium on SHS, Москва, 1999г.; XII Симпозиуме по горению и взрыву. Громково, 2000г; 1-st. Sino-Russian Workshop on SHS, Beijing, China, 2000; 18h International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems (ICDERS), Seattle, USA, 2001; VI International Symposium on SHS, Haifa, Israel, 2001; Joint Israeli-Russian Workshop on Combustion, Haifa, 2 0 01; Всероссийской конференции «Процессы горения и взрыва в физикохимии и технологии неорганических материалов». Москва, 2002; Conference "Pattern and Waves": Theory and Applications. St. Petersburg, Russia, 2 002; Конференции по химической физике к 80-летию В. И. Гольданского, Черноголовка, 2003; VII International Symposium on SHS, Cracow, Poland, 2003 ; ISTC SAC Seminar "Science and Computing", Moscow, 2003. Основные результаты „работы опубликованы в 2 4 работах, список которых помещён в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из VIII глав и списка цитируемой литературы. Общий объём 2 92 страницы, включая 139 страниц текста, 138 рисунков, 2 таблицы и 29 6 библиографических наименований.

СОДЕРЖАНИЕ

I ВВЕДЕНИЕ. Обоснована актуальность проблемы, сформулированы цели и задачи исследования, перечислены результаты, составляющие научную новизну и практическую значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

II . ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассматривается упрощенная модель твердопламенного горения, учитывающая теплопередачу в образце, тепловыделение в ходе химического превращения и теплообмен с окружающей образец средой. Предполагается, что рассматриваемая среда однородна и гомогенна в тепловом отношении, а теплофизические и макрокинетические характеристики постоянны.

В данной работе рассматривается горение

цилиндрического образца, спрессованного из смеси твёрдых реагентов и зажженного с верхнего торца. Фронт горения движется сверху вниз. Поэтому математическое описание процесса представляет собой следующую систему уравнений:

дТ ,(дгт 1ЗТ 1 дгТ дгт) пдг]

при 7<1/

'3/

ЁИ-а*

при »7 £ 1,

с начальными-и граничными условиями:

{ = Т=Та, »7 = 0.

\ дг

Я т

Г>0,02р52я,0^г5г0,А = 0: — = 0,

дк

Ы

Т=Тт при

= 0 при 1>1т.

¿7 УУГУ.

■■У^У

ш

■»—продукты.

зона

"реакции

_смесь "реагентов

Рис.1.Схеш образца

Здесь Т- температура; г/ - глубина превращения по лимитирующему компоненту/ t - время; г^И пространственные координаты (рис.1) : г - по радиусу, д> угол; - вдоль оси цилиндра; - общая масса

конденсированной фазы в единице объема (предполагается, что она не изменяется при химическом взаимодействии реагентов); с - удельная теплоемкость; Q - тепловой эффект реакции (на единицу массы смеси); Д универсальная газовая константа; - энергия активации;

коэффициент теплопроводности;

предэкспоненциальный

множитель.

температура

окружающей среды и начальная температура образца; температура зажигания;

<8»

, - коэффициент теплоотдачи от поверхности образца в окружающую среду; - радиус и

время действия зажигающего

высота цилиндра; импульса.

Задача решалась в безразмерных переменных:

Важно обратить внимание, что при таком введении безразмерных параметров безразмерная температура горения в адиабатических условиях равна нулю. Рассматривая узкие зоны реакции, за фронт можно принять множество точек с половинной глубиной превращения по лимитирующему компоненту. Роль малых возмущений играли ошибки округления, неизбежно возникающие при проведении численных экспериментов.

Используемая расчетная пространственная сетка была неравномерной, с нефиксированным числом узлов и адаптировалась к решению: в области больших градиентов обеспечивалось сгущение узлов сетки. Такие свойства расчетной сетки уменьшали время численного прохождения нестационарного этапа и ускоряли проведение расчетов. Основные принципы построения расчётной сетки изложены в [2]. По мере сгорания образца производилось отсечение отдаленной от фронта части продуктов и «наращивание»

образца снизу, т.е. дополнение его смесью реагентов с 7=0 и 0=&„ . Такой прием позволил исследовать горение образцов сколь угодно большой длины и решить проблему обрезания скорости реакции при низких температурах.

Задача решалась методом конечных разностей по неявной схеме. По направлению z использовалась стандартная прогонка. По угловой координате - циклическая прогонка [3]. По диаметру велась встречная прогонка с условием равенства температур и потоков тепла при х=0.

Безразмерными параметрами задачи были: свойства шихты, определяющие степень углубления в область неустойчивости

cRT? R7?

плоского фронта ая=9.1--2.5——- = 9ATd-2.5Ar} радиус образца

IEQ Е

Д, , который показывает, во сколько раз радиус цилиндра больше характеристической величины зоны реакции; и а>-коэффициент теплообмена с окружающей средой. Параметр а-был определен численно в [ 4 ] , где было показано, что при ая<1 плоский фронт неустойчив в адиабатических условиях.

Представленная постановка задачи предназначена для изучения горения, как трёхмерного процесса. Однако решение задачи в трёхмерной постановке сопряжено с очень большими вычислительными трудностями и колоссальными затратами времени. Поэтому во всех случаях, когда рассматриваемый процесс допускает использование модели меньшей размерности, целесообразно этим воспользоваться.

III. ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ГОРЕНИЕ. В самой простой модели предполагается отсутствие распределения функций по поперечнику образца, т.е. рассматривается плоский фронт и одномерная постановка задачи [4] . Такой подход допустим при исследовании горения образцов очень маленького диаметра.

При фронт распространяется с переменной

скоростью. При этом наблюдается чередование вспышек, когда температура во фронте превышает температуру горения, и депрессий, при которых снижается температура во фронте и скорость его распространения. Причина потери устойчивости плоского фронта заключается в утрате баланса между теплопередачей в образце и тепловыделением в ходе химической реакции. С уменьшением ast средняя скорость распространения фронта быстро убывает, периодические колебания температуры во фронте становятся всё более сложными, а затем распространение фронта приобретает непериодический характер.

Глава IV. ДВУМЕРНОЕ СПИНОВОЕ ГОРЕНИЕ. Исключение из рассмотрения радиальной координаты сводит модель к рассмотрению горения тонкостенной трубы, радиус которой является одним из параметров задачи.

Впервые спиновое горение было обнаружено

экспериментально (при горении образца из порошка гафния в смеси азота и аргона) и описано в [5] . Поскольку интенсивное взаимодействие гафния с азотом происходило в основном в тонком приповерхностном слое, где фильтрация не препятствовала взаимодействию реагентов, была построена модель, в которой рассматривалось горение тонкостенного цилиндра [б].

При исследовании задачи в двумерной постановке, учитывающей только продольный и тангенциальный теплоперенос, получены спиновые режимы, при которых один или несколько очагов движутся по винтовой траектории. Объяснение этого явления состоит в следующем. Если на линии фронта возникает какое-то возмущение, то из-за неустойчивости плоского фронта это возмущение не исчезает, а развивается и оформляется в

высокотемпературный очаг горения, который движется по прогретой шихте, лежащей ниже продуктов. За то время, пока очаг сделает полный оборот вокруг оси, формируется новая прогретая зона, по которой продолжается движение очага..

На образцах небольшого диаметра (но достаточно большого, чтобы фронт не стал плоским) возможно симметричное распространение фронта. При таком горении на поверхности трубы возникает высокотемпературный очаг, от которого волна горения распространяется в виде расширяющейся дуги. Температура во фронте убывает по мере его удаления от возникшего очага. Когда фланги дуги фронта сходятся на противоположной стороне цилиндрический оболочки, там из-за кумулятивного эффекта возникает новый высокотемпературный очаг, и начинается новый период.

Глубоко в области неустойчивости плоского фронта возможно встречное движение очагов. При уменьшении а„ (если и фиксированы) температура в очагах растет. Поэтому, в отличие от описанного выше случая распространения пламени, поток тепла из

высокотемпературной зоны может привести к рождению очагов даже в недостаточно хорошо прогретой шихте, лежащей ниже линии фронта. Возникшие очаги движутся в противоположном направлении. После того, как очаги встретятся на

противоположной стороне цилиндра и сольются, поток тепла из образовавшейся высокотемпературной зоны приводит к рождению двух новых очагов, движущихся в противоположные стороны, и цикл повторяется.

Описанная двумерная модель внесла значительный вклад в развитие теории нестационарного горения [7-9], хотя описывает реальный физический процесс достаточно грубо.

V. ТРЕХМЕРНЫЕ СПИНОВЫЕ РЕЖИМЫ В АДИАБАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ. Одномерная и двумерная постановка задачи предполагают рассмотрение некоторых частных случаев, как правило, не реализуемых при экспериментальном исследовании. Только трёхмерная постановка задачи позволяет провести исследование нестационарных процессов и явлений, возникающих при горении сплошных цилиндрических образцов.

В отличие от одномерных и двумерных явлений, по трёхмерным. процессам имеется довольно много экспериментальных данных [10-16], в которых показано, что при определенных условиях (например, при увеличении количества инертной добавки) возникают различны режимы: многоточечные режимы, при которых на поверхности образца можно видеть множество беспорядочно мигрирующих ярких точек; спиновые режимы с одним или несколькими очагами реакции, движущихся по винтовой траектории; и предельные режимы, при которых на поверхности ниже сгоревшего слоя возникало одно или несколько высокотемпературных пятен, сливающихся в кольцо. Однако вопрос, что происходит в объёме образца, когда на поверхности можно наблюдать движущиеся очаги, оставался открытым, т.к. существующие методы экспериментальной диагностики не позволяли заглянуть внутрь реагирующей системы без искажения картины спинового горения. Непонимание сути и механизма распространения трёхмерных нестационарных волн

безгазового горения не позволяло построить качественную теорию процесса.

В главе V, являющейся самой важной частью представляемой работы, описаны режимыр полученные при численном исследовании модельной системы. Сложившийся в ходе проведения численного эксперимента уровень понимания физического процесса, явления и свойств решений эволюционной задачи трудно достигнуть в процессе чисто теоретического анализа.

На образцах небольшого диаметра и при шихте, теплофизические параметры состава которой соответствуют

незначительному удалению в область неустойчивости плоского фронта, реализуется стационарное распространение спиновой волны. При этом структура фронта не меняется, а только поворачивается и сдвигается вниз по мере сгорания образца. На рис. 2,а показана структура фронта в некоторый момент времени: 1 - начальная смесь, 2 - продукты. Режим соответствует следующему набору параметров:

га=0.13; Аг=0Л1;а„ м0.9;« = 0.0; =20. Для того чтобы понять сущность различных режимов спинового горения, удобно рассмотреть распределение температуры и глубины превращения на сечении,

перпендикулярном оси и проходящем через точку с максимальной температурой. Графики этих функций представлены на рис. 2,Ъ и рис. 2,С в тот же момент времени, в который показана структура фронта на рис. 2, а. На рис. 2,(1 также показано распределение температуры на том же сечении, но в виде изотерм. Здесь и далее самая тёмная область соответствует в<-1. Соседние изотермы отличаются на 0 = 0.5.. Хорошо видно, что перед очагом (областью с высокой вещество хорошо прогрето, но имеет незначительную глубину превращения. Поток тепла из очага в эту зону приводит к возникновению в ней интенсивной реакции, т.е. очаг сдвигается вдоль окружности. В приведенном на рис. 2 случае очаг движется против часовой стрелки. Однако очаги с равной вероятностью могут двигаться и по часовой стрелке, что верно и для других спиновых режимов. Поскольку фронт движется сверху вниз, сложение поступательного движения и движения по окружности приводит к винтовому движению очага. Из высокотемпературного очага тепло передаётся во все стороны. Поток тепла вниз способствует прогреву следующего, лежащего ниже, слоя, подготавливая его к последующему сгоранию. Есть незначительная теплопередача в сторону продуктов. Поток тепла в центральные зоны, где вещество уже в значительной степени прореагировало, способствует его полному превращению. Вдоль оси цилиндрического образца фронт горения движется с постоянной скоростью.

Рис.2

температурой)

Проведено детальное сопоставление спиновых режимов, полученных для одного и того же набора параметров при исследовании двумерных и трёхмерных моделей. Определены общие свойства и принципиальные различия. В частности, показано, что в обоих случаях размеры наблюдаемого на поверхности образца очага приблизительно одинаковы.

Описаны также стационарные спиновые волны, при которых два очага, расположенные на концах одного диаметра, совершают винтовое движение, структура фронта не

меняется, а вдоль оси фронт движется с постоянной скоростью.

Как увеличение радиуса заготовки, так и смещение по параметрам в область неустойчивости плоского фронта (т.е. уменьшение ая<\) приводят к появлению нестационарных периодических спиновых волн. При увеличении появляются и

усиливаются колебания скорости фронта на оси цилиндра. Пульсации

температуры на оси обнаружены экспериментально [13] . Рассмотрим одноочаговую нестационарную спиновую волну с развитыми пульсациями в центральной зоне, Параметры:

7У = 0.13, Аг=0 И, а„ « 0.9; Ц, = 62;<хт - 0 .

Размеры очага, скорость его движения по винтовой траектории и температура меняются. На рис.3 представлены распределения

температуры на смещающемся вниз сечении, перпендикулярном оси образца и проходящем через точку с максимальной температурой, в

некоторые моменты одного периода. В первый момент времени (рис. 3,а) очаг движется около поверхности образца. Температура в очаге снижается (Ь) за счёт увеличения оттока тепла на прогрев внутренних (лежащих около оси) областей образца. Наконец, в этой прогретой внутренней области начинается интенсивная реакция.

Расширяясь, очаг охватывает часть центра (около оси) цилиндра. В этот момент температура в центральной зоне возрастает (с) . После сгорания вещества в центральной зоне очаг снова сужается. Вследствие этого температура и мгновенная скорость горения на оси цилиндра, в отличие от стационарного случая, совершают колебания. Когда очаг локализуется в приповерхностных слоях цилиндра, поток тепла от него недостаточен для превращения вещества на оси цилиндра (из-за того, что радиус цилиндра велик) , но при этом создается обширная зона прогретого вещества на сечении, перпендикулярном оси. При подходе очага к этой зоне он инициирует ее фронтальное сгорание ((¡) . В зависимости от определяющих параметров мигрирующий максимум температуры может находиться в любой точке на поверхности фронта, в том числе, и на оси цилиндра. После сгорания внутренней области очаг снова локализуется около поверхности цилиндра (е) . Последняя строка является началом следующего периода. Так периодически меняется структура очага и скорость его движения, причем периодичность по угловой координате не равна 2л . В самом деле, сопоставляя графики изотерм (а) и (е) , можно видеть, что картина та же самая, но повернута на некоторый угол. Хорошо видно, что в течение периода меняется форма очага и интенсивность его свечения. Нельзя

Рис. 4

сказать, что это пульсации, поскольку в данном случае температура очага все время существенно выше температуры горения. Правильнее назвать такое изменение интенсивности свечения мерцанием.

Как и при распространении нестационарной периодической одноочаговой волны, при нестационарных периодических симметричных режимах очаги на поверхности образца мерцают. Причина мерцаний очагов понятна из рис.4 , соответствующего параметрам:

7У=013,Лг=0Ш7, аяя09,Д„=60,а = 0. Диаметр образца достаточно велик. Движущиеся по винтовой траектории очаги сдвигаются вниз, в слабо прогретую зону, вследствие чего отдают всё больше тепла на прогрев внутренних слоев образца. Снижение температуры в очагах приводит к уменьшению скорости их движения и, соответственно, дальнейшему увеличению теплоотвода в центральную зону (а - с) . Эта положительная обратная связь привела бы к срыву горения, если бы в какой-то момент прогрев внутренних слоев не привел к вспышке в зоне вблизи оси (е) . Интенсивная реакция начинается выше уровня расположения приповерхностных очагов и движется вдоль оси с большой скоростью. Однако после того как эта высокотемпературная зона опустится до уровня очагов, находящихся в приповерхностных слоях, она попадает в область, где шихта слабо прогрета. Поэтому скорость распространения фронта вдоль оси резко замедляется, т.е., начинается депрессия.

Рис.5

Распространение тепла от внутренней сгоревшей зоны к периферии приводит к улучшению условий для распространения приповерхностных очагов, увеличения

температуры и скорости их распространения [/ - А) . Затем цикл повторяется. В работе описан также аналогичный режим с тремя одновременно мерцающими на поверхности очагами.

Обнаружены и писаны несимметричные режимы, один из которых (с параметрами 7У = 0.13; Лг= 0.092; атя »0.95; Д, = 50; а = 0 ) показан на рис.5. В рассматриваемом случае одновременно существуют три очага, которые поочередно отрываются от поверхности и уходят в глубь цилиндра. На рис.5,а точка с самой высокой температурой находится в очаге, расположенном слева и вверху. Другой очаг, расположенный в нижней части рис.5, А, на поверхности выглядит менее ярким. Третий очаг находится во внутренней области. Лишь незначительная его периферийная часть выходит на поверхность в виде бледного пятна. На рис.5 , А — й видно, как температура во втором и третьем очаге, снижается, третий очаг распадается на два очага, один из которых выходит на поверхность, а другой сливается со вторым очагом внутри образца рис.5, е. Наконец, на рис. А,/ можно видеть начало следующего цикла.

В работе подробно описаны и другие несимметричные и более сложные режимы, в том числе квазипериодические и непериодические. На рис.6 показаны границы областей существования режимов в адиабатических условиях: 1 одноочагового; 2 - двухочагового; - трехочагового

симметричного; Зп - трехочагового несимметричного; 4 -четырёхочагового. Объяснены причины, обусловившие ограничение областей существование того или иного режима. Например, граница а показывает, что при уменьшении диаметра одноочаговый режим перестраивается в пульсирующий плоский фронт, увеличение и одновременное уменьшение ведет к усложнению режима распространения

««

1.0-

<*ш 1.0-

30 100 л,

Рио.6

волны (граница Ь) . Слабые спиновые волны при увеличении ^ легче меняют свой вид (граница с) . По рис. 6 ясно видно, что возможно сосуществование при одном и том же наборе СС;, и Лд нескольких режимов.

Определены общие свойства полученных трехмерных спиновых волн. Показано, что при их распространении существует перераспределение температуры в зоне фронта, формирующее высокотемпературные очаги. Распределение вдоль образца средней по поперечному сечению цилиндра температуры в первом приближении совпадает с распределением температуры при стационарном

распространении плоского фронта. Очаги тесно

взаимосвязаны друг с другом, поэтому все участки фронта распространяются вдоль образца с одной средней скоростью, которая по своему значению близка к полученной теоретически [17] скорости распространения плоского пламени. Средняя скорость волны слабо убывает при увеличении радиуса образца.

Показано, что при углублении в область неустойчивости плоского фронта и увеличении радиуса образца режимы горения усложняются, затем возникают квазипериодические и непериодические волны горения. При хаотических режимах очаги могут располагаться не только на различном уровне, но и двигаться в направлении, противоположном основному направлению распространения волны.

Рис.7

Проведено сопоставление имеющихся экспериментальных данных с аналогичными режимами, полученными в ходе

численных экспериментов. В частности, объяснен механизм распространения волны горения при «предельном» режиме, описанном в [11]. На рис.7 представлен один из эпизодов (это не период!) горения, соответствующего набору параметров: Очаг движется

поперек образца, увеличиваясь в размерах (а — {1), а затем касается окружности, ограничивающей рассматриваемое сечение. Очевидно, что при спонтанном увеличении высокотемпературной зоны её касание поверхности образца может произойти в нескольких точках или даже на всей окружности сразу. В показанном на рис.7 , е моменте очаг касается поверхности в трёх зонах (очевидно, что выход высокотемпературной зоны на поверхность в этих трёх местах не был одновременным). Появившиеся очаги сливаются, образуя «пояс» (/) . В [11] описано появление ниже сгоревшего слоя одного или нескольких высокотемпературных очагов, которые расширялись вдоль сгоревшего слоя и сливались в «поясок». Легко видеть, что полученная при численном эксперименте картина качественно правильно описывает механизм формирования «пояска». Но оказалось, что ниже сгоревшего слоя появляются не очаги, а части одного большого очага, который позже выходит на поверхность образца.

VI. ГОРЕНИЕ СПЛОШНОГО ОБРАЗЦА В НЕАДИАБАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Предположение об отсутствии распределения исследуемых функций по угловой координате также приводит к двумерной постановке задачи. Такой подход используется обычно в задачах, учитывающий теплоотвод от поверхности образца. В [18] показано, что с ростом теплопотерь поверхность фронта искривляется вплоть до образования «замороженного слоя».

При достаточном удалении от порога потери устойчивости плоским фронтом искривленный фронт может двигаться с постоянной скоростью, не меняя своей формы. Если радиус образца достаточно большой, внутренние зоны образца могут гореть в стационарном режиме даже при бесконечных теплопотерях.

В области неустойчивости или вблизи порога потери устойчивости под влиянием теплопотерь фронт также искривляется, но его распространение становится нестационарным. Если радиус образца мал, искривленный фронт распространяется в пульсирующем режиме. Однако в этом случае искривление не может быть существенным, т.к.

режимы крайне чувствительны

влиянию

пульсирующие теплопотерь.

Увеличение радиуса образца приводит к возникновению трехмерных режимов, исследование которых возможно только при учете всех составляющих теплопереноса. Исследование в присутствии теплопотерь режимов, описанных в главе V, показало, что все эти режимы существуют и в условиях теплоотвода от поверхности образца.

Особый интерес представляют режимы горения, не обнаруженные в адиабатических условиях. На рис.8 представлен один из таких режимов, соответствующий 7У=0 \6;Аг= 0 16, ая »1.1;а = 6 5; Д, = 200 : структура фронта горения (а); распределения на сечении, проходящем через точку с

максимальной температурой,

температуры (Ь} и глубины превращения в виде

аксонометрических проекций и температуры в виде изотерм в

тог же момент времени. По мере сгорания образца вся конфигурация поворачивается против часовой стрелки. В центральной зоне фронт имеет форму параболоида и движется с постоянной скоростью. Но вблизи поверхности образца фронт распространяется в спиновом режиме, что хорошо видно по искривленности фронта в

приповерхностных слоях. В отличие от описанных выше режимов в данном случае очаги движутся только по приповерхностным слоям.

Причина возникновения таких режимов в следующем. Как известно из решения одномерной задачи [4] , теплопотери являются

дестабилизирующим фактором,

способным привести к

нестационарности горения. При если теплоотвод слабый, фронт искривляется, но остается стационарным. При значительном теплоотводе температура во фронте на оси может снизиться настолько, что даже вдоль

оси фронт будет распространяться в нестационарном режиме. Между этими двумя крайними случаями возможны промежуточные режимы, а именно, режимы, при которых температура во фронте на оси достаточно высока, чтобы обеспечить стационарное горение ядра. В приповерхностных зонах из-за теплопотерь фронт распространяется в спиновом режиме. Очевидно, что параметрическая область существования таких режимов довольно узка. Ядро фронта горения, как и в случае стационарных режимов, описанных выше, представляет собой поверхность,по форме близкую к параболоиду, поэтому такие режимы названы

квазипараболоидными режимами со спиновым возмущением поверхности теплоотвода.

Очевидно, что средняя скорость движения фронта на поверхности вдоль образца должна совпадать со скоростью движения фронта вдоль оси. В самом деле, скорость фронта вдоль оси определяется температурой горения, близкой к температуре горения в адиабатических условиях. Если приповерхностные слои, находящиеся под влиянием сильного теплоотвода в окружающую среду, не могут гореть с той же скоростью, то скорость превращения вещества в этих слоях будет определяться потоком тепла от внутренних слоев, что и обеспечит соответствующую постоянную скорость распространения фронта в приповерхностных слоях. Увеличение диаметра образца, при том же теплоотводе от поверхности приводящее к подъёму температуры в центральных областях, может способствовать изменению режима горения, а именно, стабилизации фронта в приповерхностных слоях. Уменьшение диаметра, напротив, может привести к распространению нестационарности на внутренние слои, что приведёт к возникновению режимов, аналогичных полученным в адиабатических условиях и описанных в главе V. При фиксированном радиусе образца и данном значении ал увеличение теплопотерь проявляет себя как уменьшение радиуса, и наоборот. В приведенном случае в приповерхностных слоях образца против часовой стрелки движутся семь очагов. Однако получены и описаны и другие режимы такого типа. Принципиальной особенностью квазипараболоидных режимов со спиновым возмущением поверхности теплоотвода является то, что очаги локализованы в приповерхностных слоях цилиндра и не пересекают центральные (расположенные вдоль оси) зоны образца.

Показано, что под влиянием теплопотерь при распространении спиновых волн горения на поверхности образца возможно неполное превращение реагентов. На рис. 9 показано состояние поверхности образца в некоторый момент времени при распространении двухочаговой нестационарной спиновойволны в неадиабатических условиях: 7У=016;Лг=0.14;а„ «1.1;^, =68;а = 1.5; распределение температуры (а) и глубины превращения (6) на развёрнутой поверхности цилиндрического образца. Несмотря на значительный теплоотвод, температура в очагах на поверхности выше адиабатической температуры горения. След очагов на поверхности виден по зонам полного превращения шихты, в то время как между трассами очагов глубина превращения не полная.

При увеличении теплоотвода от поверхности образца возможно изменение механизма распространения волны горения. То есть, если увеличить теплоотвод от образца, по которому распространяется волна, то режим горения может перестроиться в режим с меньшим числом очагов. В связи с этим в главе VI есть раздел, посвященный

самоорганизации и перестройке режимов. Показано, как осуществляется выход на установившийся режим горения и как происходит срыв горения. Перестройка механизма горения при увеличении теплоотвода от поверхности образца позволила установить иерархию обнаруженных режимов.

Таким образом, присутствие теплопотерь значительно расширяет множество нестационарных режимов

распространения спиновых волн и разнообразие присущих им свойств.

VII. РЕЖИМЫ ГОРЕНИЯ ДИСКА. Наконец, в общей постановке задачи о распространении твёрдого пламени можно пренебречь продольной координатой. Такая постановка задачи тем более не отражает реального горения, распространяющегося вдоль цилиндрического образца. Однако существуют экспериментальные работы. [19,20], в которых рассматривается горение тонкого (2 мм) диска, спрессованного из смеси твёрдых реагентов. В центральной зоне диска высверливалось отверстие, в которое помещалась таблетка из высококалорийного горючего. После поджигания таблетки фронт горения распространялся от центральной области образца к периферии (рис.10), в результате чего образовывались твёрдые продукты. Так что переход от цилиндрических координат к полярным меняет рассматриваемый физический процесс. В [19] авторы

обнаружили, что при определенных условиях при распространении фронта на поверхности диска можно видеть один или несколько движущихся высокотемпературных

очагов реакции. В некоторых случаях можно было видеть один очаг, движущийся некоторое время по спиральной траектории. Попытки описать такую волну приближенными аналитическими методами были предприняты в теоретических работах [21,22]. Однако упрощения, неизбежные при использовании приближенных аналитических методов, привели к получению противоречивых результатов.

При численных экспериментах безразмерными параметрами задачи были: радиусы диска Д, и поджигаемой таблетки , - температура и время действия теплового импульса; аг и ая - коэффициенты теплоотвода от поверхности диска в

вертикальном направлении и от внешней границы в окружающую среду, а так же степень углубления в область неустойчивости плоского фронта.

Принципиальное отличие данной проблемы от описанных выше задач состоит в том, что при такой постановке задачи получение установившихся режимов невозможно. Помимо нестационарности, определяемой свойствами исходной шихты и описанной выше, и нестационарности, связанной с меняющейся кривизной фронта горения [23],

нестационарность распространения волны зависит также от краевых эффектов. Поскольку рассматриваются образцы с радиусом ограниченного размера, влияние условий зажигания может проявляться вплоть до полного сгорания диска. Условия на границе диска также сказываются на виде волны горения на завершающем этапе процесса.

В идеальных условиях фронт распространяется в виде расширяющегося кольца. В реальности идеальные условия обеспечить практически невозможно. Поэтому всякая неоднородность ведет к возникновению режимов горения в виде движущихся высокотемпературных очагов. При численных экспериментах, чтобы получить такие режимы, слегка искривлялась форма таблетки.

Показано, что температура и продолжительность теплового импульса оказывают значительное влияние на возникновение того или иного механизма распространения волны горения по образцу.

Обнаружены и описаны режимы аналогичные пульсирующему и многоточечному, полученными при горении сплошного цилиндра. При многоточечном режиме фронт горения имеет вид расширяющегося кольца, по которому беспорядочно движется большое количество мелких очагов.

Исследован режим распространения спиральной волны и определены закономерности изменения скорости движения очага по мере удаления фронта от центральной зоны.

Обнаружено распространение волн горения при встречном движении очагов. Такие режимы представляют особый интерес, поскольку обнаружены только при распространении твердого пламени [20] . Их можно разделить на два вида. При недостаточном углублении в область неустойчивости происходит прогрев слоя, прилегающего к сгоревшему кругу. Где бы в прогретом кольце ни возник очаг, он распадается на очаги, движущиеся навстречу друг другу. После слияния очагов на противоположной стороне диска наступает депрессия и прогрев следующего кольца.

При большом углублении в область неустойчивости температура в очагах увеличивается. Поэтому после их слияния формируется высокотемпературная зона, потока тепла из которой в сторону свежей шихты достаточно для возникновения новой пары очагов, движущихся в противоположных направлениях.

На рис.11 показан один из таких режимов, соответствующий параметрам: 7У=008; Лг = 0065; ая«0 56; ^,=365; /^,=45; = г^=4000; о, = 0; ак = 101, а - й -встречное движение очагов- е - положения -фронта горения ч е { Ат = 100*,'" / ' выделена область, в которой когда-либо было в>Л. Таким образом, получается, что при большем количестве инертной добавки в системе полное сгорание диска может завершиться раньше, чем при меньшем разбавлении.

Интересной особенностью встречного движения очагов является то, что они движутся по траекториям, по форме очень близким к окружности (рис.11,е) с практически постоянной скоростью на каждой орбите.

Еще одним важным свойством распространения волны горения по диску является значительное снижение температуры в центральной зоне диска. Известно, что чем больше кривизна фронта, тем большая, чем в плоском

случае, часть тепла передаётся в сторону исходной шихты. При горении в виде очагов этот феномен проявляется ещё ярче. Обнаружить это явление можно при любом распространении волны горения, если температура и время зажигания не быти слишком большими. Покажем, как меняется

Рис. 12

температура на диске в адиабатическом случае при движении очага по спирали, которое затем сменяется на многоочаговое распространение фронта. Из

высокотемпературного очага незначительная часть тепла передаётся в сторону продуктов (во внутреннюю область диска), а большая - в сторону исходных реагентов (в сторону кольца, прилегающего к границе диска). Кроме того, значительная часть тепла «вытекает» из зоны продуктов в сторону свежей шихты по всей линии фронта, исключая участок около высокотемпературного очага. На рис.12, соответствующем 7У=0.12;Лг=0.1;а„ «0.84; а,=а„ = 0;

показано распределение температуры на диске в некоторые моменты времени а) -г = 4100; Ь) - г = 7900; с) - г =42000. Снижение температуры в центральной зоне хорошо видно на рис. 12,а: температура

более чем на один характеристический интервал ниже, чем температура горения в адиабатических условиях, хотя в рассматриваемом случае теплопотери отсутствуют.

При подходе волны горения к адиабатической границе диска во фронте, как и в плоском случае, температура поднимается (кумулятивный эффект) . Но при этом в центральной области температура ещё много ниже температуры горения. После полного сгорания диска (рис.12,Ъ) начинается перетекание тепла из внешних, горячих слоев во внутренние, более холодные. В конечном счёте, после полного выравнивания температуры по всему диску устанавливается температура, близкая к температуре горения (рис.12, с) . Незначительное превышение конечной температурой температуры горения в адиабатических условиях возможно, если зажигающая таблетка долгое время «вкачивала», тепло в систему. В приведенном на рис.12 случае температура и продолжительность зажигания не были значительными, поэтому конечная температура почти совпала с поверхностью

Показано, что по мере распространения волны горения режимы могут заменять друг друга. На первом этапе горения режим формируется под влиянием условий, создаваемых потоком тепла от поджигающей таблетки. Так, на рис. 11^ — е видно, что сначала горение протекало при спиральном движении очага- После достаточного удаления фронта от таблетки может сформироваться другой режим

распространения волны. Как было указано выше, при большой кривизне фронта распространение волны более неустойчиво, чем при маленькой. Поэтому дальнейшее удаление фронта от центра диска снова может изменить режим распространения волны.

Таким образом, исключение из рассмотрения продольной составляющей теплопереноса выявило нестандартные решения исходной модельной системы уравнений.

VIII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Дана сводная таблица описанных выше стационарных и нестационарных процессов, одно-, ' двух- и трёхмерные режимов и их связь с продольной, тангенциальной (угловой) и радиальной составляющей теплопереноса. Следует понимать, что в таблице представлена обобщающая картина, не определяющая разновидности режимов внутри каждого класса.

Приведены общие выводы и результаты, полученные при анализе нестационарных режимов твердопламенного горения.

Таблица. Режимы твердопламенного горения

Временной режим

Тип модели. Составляющие. теплообмена Стационарный Нестационарный периодический Нестационарный непериодический

Одномерная Продольная СЛ. Плоская волна адиабатического -горения НС.1 Плоская волна с автоколебаниями -фронта* НП.1 Плоская волна с непериодическими колебаниями фронта

Двумерная ■ Продольная + радиальная С.2. Волна с искривлением фронта вследствие теплопотерь НС.2 Волна с искривлением • фронта и автоколебаниями НП.2 Волна с. искривлением и непериодическими колебаниями фронта

Двумерная. Продольная + тангенциальная ~ СЛ. Классическая спиновая волна^ НСЗ. Спиновая волна с периодическим движением очагов НП.З. Спиновая волна с непериодическим движением очагов

Трёхмерная Продольная + радиальная + тангенциальная С.4. Классическая спиновая волна НС.4. Спиновые волны с винтовой. и поперечной миграцией и взаимодействием мерцающих очагов. НП.4. Недетерминированное распространение очагов во всех направлениях. Хаос (тепловая турбулентность)

Двумерная Радиальная + тангенциальная КС.5. Квазистационарный режим распространения волны в виде окружности из центра плоского диска НС.5. Спиралевидная волна при встречном или последовательном движении очагов. НП.5. Окружная волна в плоском диске с нестационарным движением. очагов,-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Сформулировано и развито новое направление- в теории горения - нестационарное распространение многомерных волн твердофазного экзотермического взаимодействия реагентов с конденсированными продуктами реакции, в рамках которого получены следующие результаты.

1. На примере образцов цилиндрической формы разработаны методы численного эксперимента и визуализации нестационарных двумерных и трёхмерных процессов горения, позволяющие вести исследование на персональном компьютере.

2.Дано объяснение сущности стационарных режимов распространения спиновых волн.

3. Обнаружены и исследованы новые, ранее неизвестные, периодические трёхмерные режимы распространения спиновых волн горения с различным количеством очагов. Объяснены причины периодического изменения максимальной температуры в очагах (мерцание), миграции (отрыв очагов от поверхности образца и перемещение вглубь) и взаимодействия высокотемпературных зон (слияние очагов и расщепление).

4. Определены параметрические области существования различных режимов в адиабатических условиях. Показано, что имеет место неединственность решений. Описан сценарий перехода к тепловой турбулентности: при углублении в область неустойчивости плоского фронта и увеличении радиуса образца происходит усложнение видоизменений структуры волны горения в течение периода, нарастает число режимов, сосуществующих при одном и том же наборе параметров, возникают квазипериодические режимы, а затем и тепловая турбулентность.

5. Изучено изменение распределения вдоль образца средних по поперечному сечению цилиндра температуры и глубины превращения. Показано, что при горении сплошного образца средняя продольная скорость распространения нестационарной волны по величине близка к предсказанной теоретически для стационарного фронта. Дано объяснение причин возможного незначительного изменения средней скорости распространения волны горения вдоль образца.

6.В неадиабатических условиях обнаружены и описаны новые типы волн, которые не могут существовать при распространении пламени в адиабатических условиях (квазипараболоидные волны со спиновым возмущением поверхности теплоотвода). Рассмотрены перестройки различных спиновых режимов при увеличении теплоотвода от поверхности образца в окружающую среду.

7.При горении тонкого диска обнаружены и описаны различные режимы: многоочаговый, спиральный, режимы со встречным движением высокотемпературных зон. Определены закономерности изменения составляющих скорости движения очагов.

8.Полученные при численнык экспериментах результаты сопоставлены с имеющимися данными теоретических и экспериментальный работ. Показано преимущество метода узкой зоны по сравнению с методами слабых возмущений. Дано объяснение сущности наблюдавшихся при экспериментальных исследованиях процессов и предсказаны режимы, которые могут быть обнаружены экспериментально.

9.Впервые определена роль составляющих теплопереноса при распространении волн ТПГ. Сведения о режимах ТПГ, полученные в процессе исследования различных постановок задач, учитывающих роль тех или иных составляющих теплопереноса, собраны в таблице.

Личный в клад диссертанта в работы, вытолненныю в соавторстве, заключается в непосредственном участии в исследованиях на всех стадиях их проведения, включающих постановку проблем, разработку методов их решения и оформление полученный данных.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов, К. Г. Шкадинский. Математическая модель спинового горения. // ДАН. 1978, Т. 239, № 5. С. 1086 -1088.

2. Т. П. Ивлева, К. Г. Шкадинский. Алгоритм построения подвижной, неравномерной, адаптирующейся к решению расчетной сетки. // Информ. бюл. Госфонда алгоритмов и программ СССР. 1979. № 1 (27). С. 18-19.

3. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов, К. Г. Шкадинский. О закономерностях спинового режима распространения фронта горения. // ФГВ. 1980. Т. 16. № 2. С. 3-10.

4. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов, К. Г. Шкадинский. Поверхностное горение пористых конденсированных веществ с конденсированными продуктами. В сб.: Химическая физика процессов горения и взрыва. Горение конденсированных и гетерогенных систем. Черноголовка, 1980. С. 63-67.

5. Т. П. Ивлева, К. Г. Шкадинский. О неустойчивом режиме горения тонкой пластины. // ФГВ. 1981. Т. 17. № 1. С. 138-140.

6. D. V. Strunin, Т. P. Ivleva, On self-organization in SHS-front/ // Intern.Journal of SHS. 1997. V. 6. N. 1.

P. 55-62.

7. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Математическое моделирование трёхмерных спиновых режимов волн безгазового горения. // ДАН. 1999. Т. 369. № 2. С. 186191.

8. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Трёхмерные спиновые волны безгазового горения. // ДАН. 2000. Т. 371. №" 2. С. 753758.

9. Т. P. Ivleva, A. G. Merzhanov. Mathematical 3d-Modeling for Spinning Gasless Combustion Waves. // 1-st Sino-Russian Workshop on SHS. 2000. P. 25-33.

10. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Математическое моделирование твёрдопламенного горения (трехмерный случай) . В кн.: Самораспространяющийся высокотемпературный синтез: теория и практика. Черноголовка. «Территория». 2001. С. 44-69.

11. Т. P. Ivleva and A. G. Merzhanov. Adiabatic waves of Gasless Combustion: 3D Simulation. // 18h International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems (ICDERS) . Seattle. 2001. ISBN# 0-9711740-0-8. 217.pdf.

12. I. P. Ivleva, A. G. Merzhanov. Mathematical Modelling of Three-dimensional Spinning Modes of Gasless Combustion Waves. // SHS Journal, 2001. V. 10. N. 1. P. 1-12.

13. T. P. Ivleva, A. G. Merzhanov. Structure and Variability of Spinning Reaction Waves in Three-Dimensional Exitable Media. // PHYSICAL REVIEW E. 2001. V. 64. N. 3. 036218.

14. Т.П.Ивлева. Симметричные режимы спинового горения полого цилиндра. // ДАН. 2001. Т. 378. № 1. С. 33-37.

15. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Трёхмерное моделирование твёрдопламенного хаоса. // ДАН. 2001. Т. 381. N. 2. С. 210-213.

16. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Математическое моделирование трёхмерных спиновых режимов безгазового горения. // ФГВ. 2002. Т. 38. № 1. С. 47-54.

17. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Моделирование трёхмерных неадиабатических режимов неустойчивого твёрдопламенного горения. // ДАН. 2002. Т. 386. № 2. С. 215-219..

18. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Нестационарные режимы твёрдопламенного горения (трёхмерный случай). В. с б.: Труды всероссийской конференции «Процессы горения и взрыва в физикохимии и технологии неорганических материалов». Москва. 2002. С. 149-153.

19. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов Трёхмерные нестационарные режимы твёрдопламенного горения в неадиабатических условиях. // ФГВ. 2003. Т. 39. № 3. С. 67-76.

го. Т. P. Ivleva, A. G. Merzhanov. Three-dimensional modes of unsteady solid-flame combustion. // Chaos. V. 13. N. 1. 2003. P. 80-85.

21. T. P. Ivleva and A.G. Merzhanov Three-dimensional Non-stationary Modes of Solid-flame Combustion under Nonadiabatic Conditions // Intern. Journal of SHS.

2002. V. 11. N 3. P. 229-244.

22. Т. П. Ивлева. Спиральный режим горения диска // ДАН.

2003. Т. 390. № 4. С. 499-502.

23. Т. П. Ивлева Нестационарные режимы твёрдопламенного горения диска. // ДАН. 2003. Т. 393. № 6. С. в печати.

24. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов. Представления о режимах распространения пламени. // ДАН. 2003. Т. 391. № 1. С. 62-64.

ЛИТЕРАТУРА

1. A. G. Merzhanov. Solid flames: discovery, concepts, and horizons of cognition. // Combust. Sci. and Technol. 1994. V. 98. N 4-6. P. 307-336.

2. Т. П. Ивлева, К. Г. Шкадинский. Алгоритм построения подвижной, неравномерной, адаптирующейся к решению расчётной сетки. // Информ. бюл. Госфонда алгоритмов и программ СССР. 1979. № 1(27). С. 18-19.

3. А. А. Абрамов, В. Б. Андреев. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений. // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. № 2. С. 377-381.

4. К. Г. Шкадинский, В. И. Хайкин, А. Г. Мержанов. Распространение пульсирующего фронта экзотермической реакции в конденсированной фазе. // ФГВ. 1971. Т. 7. № 1. С. 19-28.

5. А. Г. Мержанов, А. К. Филоненко, И. П. Боровинская. Новые явления при горении конденсированных систем; // ДАН. 1973. Т. 208. № 4. С. 892-894.

6. Т. П. Ивлева, А. Г. Мержанов, К. Г. Шкадинский. Математическая модель спинового горения. // ДАН. 1978. Т. 239. № 5. С. 1086 -1088.

7. А.П. Алдушин, Я.Б. Зельдович, Б.А. Маломед. К феноменологической теории спинового горения. // ДАН. 1980. Т. 251. №'5, С. 1102-1106.

8. В. А. Вольперт, А. И. Вольперт, А. Г. Мержанов. Применение теории бифуркаций к исследованию спиновых волн горения. // ДАН. 1982. Т. 262. № 3. С. 642-645.

9. Б. В. Новожилов. К теории поверхностного" спинового горения. // ДАН. 1992. Т. 326. №3 . С. 485-488.

10. Ю. М. Максимов, А. Т. Пак, Г. В. Лавренчук, Ю. С. Найбороденко, А. Г. Мержанов. Спиновое горение безгазовых ситем. // ФГВ. 1979. Т. 15. № 3. С. 156159.

11. Ю. М. Максимов, А. Г. Мержанов, А. Т. Пак, М. Н. Кучкин. Режимы неустойчивого горения безгазовых систем. // ФГВ. 1981. Т. 17. № 4. С. 51-58.

12. А. Г. Струнина, А. В. Дворянкин. Влияние тепловых факторов на закономерности неустойчивого горения безгазовых систем. // ДАН. 1981. Т. 260.№ 5. С. 11851188.

13. А. В. Дворянкин, А. Г. Струнина. К вопросу о нестационарном горении термитных систем. // ФГВ. 1991. Т. 27. № 2. С. 41-46.

14. S. Zhang. Z. A. Munir. Spin combustion in the nickelsilicon system. // J. Mater. Sci. 1992. V. 27. P. 5789-5794.

15. J. A. Pojman, V. M. Ilyashenko, A. M. Khan, Spin mode instabilities in propagating fronts of polymerization. // Physica D. 1995. V. 84. P. 260-268.

16. J. Masere, F. Stewart, T. Meehan, J. A. Pojman, Period-doubling behavior in frontal polymerization of

multifunctional acrylates. // Chaos. 1999. V. 9. N. 2. P. 315-322.

17. Б. В. Новожилов. Скорость распространения фронта экзотермической реакции в конденсированной фазе. // ДАН. 1961. Т.-141. № 1. С. 151-153.

18. В. В Александров., А. А. Давыденко., Ю. А. Коваленко., Н. П. Поддубный. О влиянии двумерности фронта при теплопотерях на пределы стационарного безгазового горения. // ФГВ. 1987. Т. 23. № 2. С. 70-80.

19. А. Г. Мержанов, А. В. Дворянкин, А. Г. Струнина. Новая разновидность спинового горения. // ДАН. 1982. Т. 267. № 4. С. 869-872.

20. А. Т. Пак. Самораспространяющийся высокотемпературный синтез многокомпонентных составов на примере системы титан - бор - железо. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Томск, 1986 г.

21. В. В. Новожилов. Квазистационарная теория спирального режима горения. // ДАН. 1993. Т. 330. № 2. С. 217-219.

22. В. J. Matkowsky, V. A. Volpert. Spiral gasless condensed phase combustion. // SIAM J. Appl. Math. 1994. V. 54. N. 1. P. 132-146.

23. Д. Г. Маркштейн. Нестационарное распространение пламени. М.: «Мир», 1968. [Markshtein George H. Nonsteady flame propagation. Oxford. Pergamon press. 1964.] |

03.02.04 г. Объем 2,125 усл. п. л. Заказ № 1345. Тираж 100 экз. Типография ИСМАН

» - Л5 74

Характеристики работы.

I. ВВЕДЕНИЕ

§1. Нестационарные явления

§2. Твердопламенное горение (ТПГ)

§3 .- Нестационарное ТПГ.

II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

III. ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ГОРЕНИЕ

IV. ДВУМЕРНОЕ СПИНОВОЕ ГОРЕНИЕ

§1. Постановка задачи

§2. Типичные спиновые режимы.

§3. Встречное распространение фронта при малых радиусах цилиндра

§4. Встречное движение очагов в области глубокой неустойчивости плоского фронт'а

V. ТРЁХМЕРНЫЕ СПИНОВЫЕ РЕЖИМЫ В АДИАБАТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ.

§1. Постановка и метод решения задачи

§2. Стационарная спиновая волна

§3. Сопоставление режимов стационарного распространения спиновых волн по полому и сплошному цилиндрическому образцу.

§4. Нестационарные периодические одноочаговые спиновые волны

§5. Нестационарные периодические симметричные спиновые волны

§6. Несимметричные нестационарные периодические режимы

§7. Основные черты периодических спиновых волн в адиабатических условиях

§8. Сопоставление с экспериментом

§9. Непериодические режимы

VI . ГОРЕНИЕ СПЛОШНОГО ОБРАЗЦА В НЕАДИАБАТИЧЕСКИХ

УСЛОВИЯХ

§1. Режимы, описываемые двумерными математическими моделями.

§2. Квазипараболоидные волны со спиновым возмущением поверхности теплоотвода

§3. Изменение характеристик нестационарного фронта при возрастании теплопотерь

§4. Самоорганизация структуры

VII. РЕЖИМЫ ГОРЕНИЯ ДИСКА

§1. Постановка задачи

§2. Виды нестационарности

§3. Роль зажигания

§4. Спиральный режим движения очага

§5. Режимы с встречным движением очагов

§6. Общие закономерности

Актуальность проблемы. К числу наиболее интенсивно развивающихся проблем современной науки относятся проблемы нелинейной динамики, самоорганизации и синергетики. Нелинейные явления широко распространены и исследуются в физике, химии, биологии, медицине, экологии и т.д. Среди них особую роль играют процессы нестационарного безгазового горения [1]. Исследование нестационарного твердопламенного горения важно не только для развития теории нелинейной динамики, но и имеет значительный практический интерес. Открытие в 1967 явления твёрдого пламени (процесса горения, при котором исходные реагенты и продукты горения находятся в твёрдом состоянии) и создание на его основе метода самораспространяющегося высокотемпературного синтеза (СВС) стимулировали большое число экспериментальных и теоретических исследований, направленных на получение ценных тугоплавких неорганических соединений и материалов. Возрастание потребностей промышленности в неоднородных (градиентных) материалах, особенно керамических, обладающих уникальными свойствами, определило изучение механизма нестационарного протекания синтеза и условий получения неоднородных материалов как одну из актуальнейших практических задач.

Практическое назначение работы состоит в том, что развиваемое направление и полученные результаты дают новое, более глубокое представление о процессах, происходящих в области нестационарности распространения плоского фронта. Результаты работы могут быть использованы для анализа получаемых экспериментальных данных, помочь определить новые возможности при создании различных структур, а также построить новые теоретические модели обнаруженных явлений.

Научная новизна заключается в обнаружении и исследовании многочисленных установившихся нестационарных режимов распространения волн твердофазного взаимодействия. Дано объяснение сущности как обнаруженных при экспериментальном исследовании режимов взаимодействия реагентов в конденсированной фазе, так и режимов безгазового горения, ещё не полученных ни теоретически, ни экспериментально. Показано, что при увеличении радиуса образца и углублении в область неустойчивости возникает тепловая турбулентность. Определен сценарий перехода к турбулентному распространению твёрдого пламени, заключающийся в усложнении механизма распространения волны и возрастании числа режимов, сосуществующих при одном наборе параметров (неединственность режимов горения). Показано, что наличие теплоотвода от поверхности образца ведет к возникновению большого класса новых режимов, не существующих в адиабатических условиях. Определена роль различных составляющих теплопереноса в реализации тех или иных режимов распространения твёрдого пламени и проведена классификация известных и вновь обнаруженных режимов горения.

Апробация работы и публикации. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на: V International Symposium on SHS, Москва, 1999г.; XII Симпозиуме по горению и взрыву. Громково, 2000г; 1-st. Sino-Russian Workshop on SHS, Beijing, China, 2000; 18h International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems (ICDERS), Seattle, USA, 2001; VI International Symposium on SHS, Haifa, Israel, 2001; Joint Israeli-Russian Workshop on Combustion, Haifa, 2001; Всероссийской конференции «Процессы горения и взрыва в физикохимии и технологии неорганических материалов». Москва, 2002; Conference "Pattern and Waves": Theory and Applications. St. Petersburg, Russia, 2002; Конференции по химической физике к 80-летию В.И. Гольданского, Черноголовка, 2003; VII International Symposium on SHS, Cracow, Poland, 2003;ISTC SAC Seminar "Science and Computing", Moscow, 2003. Основные результаты изложены в работах [185, 187, 193, 260, 273, 277-283, 28$-28'Ъ, 29в, 294] .

Цель работы. Существует большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию нестационарного безгазового горения. Однако современные методы экспериментального исследования не позволяют выяснить, что происходит внутри образца при быстропротекающем и чрезвычайно чувствительном ко всякому вмешательству нестационарном твердофазном взаимодействии реагентов. Аналитическое исследование системы уравнений, описывающих модель процесса, лежит вне возможностей современной науки. Для приближенного аналитического исследования необходимо ясно представлять картину протекающего процесса и понимать закономерности формирования и распространения спиновых волн твердопламенного горения. Исследование модельной системы уравнений численными методами сопряжено с большими вычислительными трудностями, что не позволяло получить необходимые для исследования данные.

Математическое моделирование и исследование методами численного эксперимента нестационарного распространения твёрдого пламени. Получение различных разновидностей установившихся трёхмерных нестационарных волн горения по образцу цилиндрической формы. Описание и объяснение закономерностей видоизменений структуры фронта в течение периода, определение областей существования полученных режимов и влияния параметров (свойств исходной смеси реагентов и радиуса цилиндрического образца) на трансформацию каждого режима в области его существования. Изучение влияния теплоотвода от поверхности образца. Представление общей картины распространения нестационарных волн твердофазного взаимодействия реагентов в зависимости от влияния составляющих теплопереноса.

На защиту представляются следующие проблемы.

1. Обоснование математических моделей экспериментов, классифицированных на основании учета роли различных составляющих теплопереноса.

2 . Методы численного исследования моделей и визуализации полученных результатов.

3. Объяснение природы установившихся спиновых волн: стационарных, периодических, квазипериодических и непериодических. Трактовку режимов, полученных при экспериментальных исследованиях нестационарных режимов.

4. Закономерности распространения трёхмерных спиновых волн, неединственность режимов, области существования в адиабатических условиях, скорости распространения и специфические особенности различных режимов. Сценарий перехода к тепловой турбулентности.

5. Качественное и количественное сопоставление полученных трёхмерных явлений с одномерными и двумерными аналогами.

6. Результаты исследования влияния теплопотерь. Объяснение механизмов распространения волн горения, существующих только в неадиабатических условиях.

7. Режимы сугубо нестационарного горения тонкого диска, зажженного в центральной зоне.

8. Типы режимов, классифицированных на основании учета роли различных составляющих теплопереноса и представленных в сводной таблице.

I. ВВЕДЕНИЕ

§2 . Выводы

Сформулировано и развито новое направление в теории горения - нестационарное распространение многомерных волн твердофазного экзотермического взаимодействия реагентов с конденсированными продуктами реакции, в рамках которого получены следующие результаты.

1. На примере образцов цилиндрической формы разработаны методы численного эксперимента и визуализации нестационарных двумерных и трёхмерных процессов горения, позволяющие вести исследование на персональном компьютере.

2.Дано объяснение сущности стационарных режимов распространения спиновых волн.

3.Обнаружены и исследованы новые, ранее неизвестные, периодические трёхмерные режимы распространения спиновых волн горения с различным количеством очагов. Объяснены причины периодического изменения максимальной температуры в очагах (мерцание), миграции (отрыв очагов от поверхности образца и перемещение вглубь) и взаимодействия высокотемпературных зон (слияние очагов и расщепление).

4.Определены параметрические области существования различных режимов в адиабатических условиях. Показано, что имеет место неединственность решений. Описан сценарий перехода к тепловой турбулентности: при углублении в область неустойчивости плоского фронта и увеличении радиуса образца происходит усложнение видоизменений структуры волны горения в течение периода, нарастает число режимов, сосуществующих при одном и том же наборе параметров, возникают квазипериодические режимы, а затем и тепловая турбулентность.

5.Изучено изменение распределения вдоль образца средних по поперечному сечению цилиндра температуры и глубины превращения. Показано, что при горении сплошного образца средняя продольная скорость распространения нестационарной волны по величине близка к предсказанной теоретически для стационарного фронта. Дано объяснение причин возможного незначительного изменения средней скорости распространения волны горения вдоль образца.

6.В неадиабатических условиях обнаружены и описаны новые типы волн, которые не могут существовать при распространении пламени в адиабатических условиях (квазипараболоидные волны со спиновым возмущением поверхности теплоотвода). Рассмотрены перестройки различных спиновых режимов при увеличении теплоотвода от поверхности образца в окружающую среду.

7. При горении тонкого диска обнаружены и описаны различные режимы: многоочаговый, спиральный, режимы со встречным движением высокотемпературных зон. Определены закономерности изменения составляющих скорости движения очагов.

8.Полученные при численных экспериментах результаты сопоставлены с имеющимися данными теоретических и экспериментальных работ. Показано преимущество метода узкой зоны по сравнению с методами слабых возмущений. Дано объяснение сущности наблюдавшихся при экспериментальных исследованиях процессов и предсказаны режимы, которые могут быть обнаружены экспериментально. 9.Впервые определена роль составляющих теплопереноса при распространении волн ТПГ. Сведения о режимах ТПГ, полученные в процессе исследования различных постановок задач, учитывающих роль тех или иных составляющих теплопереноса, собраны в таблице.

Нестационарные явления играют большую роль в жизни и различных областях науки. Полученные результаты важны не только для развития теории нелинейной динамики, но и при практическом применении процессов СВС. В связи с этим дальнейшая работа может развиваться в следующих направлениях.

1. Моделирование нестационарных процессов ТПГ при других типах макрокинетики взаимодействия реагентов или учете закономерностей изменения теплофизических параметров.

2. Изучение распространения нестационарных волн ТПГ на образцах другой формы или с учётом структурных изменений.

3. Численное исследование нестационарных явлений фильтрационного горения и других процессов, в которых присутствует газовая фаза.

VIII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ m §1. Общее представление о режимах распространения твёрдого пламени и роли составляющих теплопереноса

Распространение волны горения - сложнейший химический процесс, определяемый прямыми и обратными связями между скоростями тепловыделения и теплопереноса. Простейший случай, в котором тепловыделение взаимодействует с продольным теплопереносом в стационарном режиме, рассмотрен в пионерской работе Я.Б.Зельдовича и Д.А.Франк-Каменецкого [295]. Позже были обнаружены нестационарные режимы распространения волн горения. Особенно богатым на разнообразные режимы оказалось твердопламенное горение (ТПГ, [147]), при котором смесь твёрдых реагентов взаимодействует в волне экзотермической реакции, образуя только твёрдые продукты. Суммируя результаты предыдущих глав, можно взглянуть на процессы распространения ТПГ с общих позиций, основываясь на роли различных составляющих (продольной, тангенциальной и радиальной) теплопереноса в волне горения.

В математической модели, описывающей ТПГ, учитывались только тепловыделение в ходе химической реакции, кондуктивный теплоперенос в образце и теплоотвод от образца в окружающую среду. Основными параметрами задачи были:

• ast, который определяет предел потери устойчивости (ал<1) и зависит от свойств реагирующей смеси [179];

• R0 - безразмерный радиус, который показывает, во сколько раз величина размерного радиуса образца больше ширины зоны реакции, и характеризует величину радиального теплопереноса.

• а - коэффициент теплоотвода.

Результаты анализа описанных выше стационарных и нестационарных процессов, одно-, двух- и трёхмерные режимов и их связь с продольной, тангенциальной (угловой) и радиальной составляющей теплопереноса приведены в таблице 2.

Упомянутый выше простейший случай - плоская адиабатическая волна (С.1), как результат взаимодействия тепловыделения с продольным теплопереносом, наиболее распространен и изучен. Большой интерес у исследователей вызывает одномерное распространение пламени в автоколебательном (пульсирующем) режиме, впервые описанном в [17 9] и реализуемом на образцах маленького радиуса (НС.1) . При углублении в область неустойчивости плоского фронта картина колебаний становится всё более сложной, а затем процесс становится непериодическим (НП.1) .

При наличии теплопотерь фронт горения может искривляться [154]. Наиболее простой случай -стационарное распространение искривленного фронта. Исследование такого процесса следует проводить в

1. B. К. Баев, В. И. Головичёв, В. А. Ясаков. Двумерные турбулентные течения реагирующих газов. Новосибирск. Наука. 1976.

2. P. Manneville, J. Pomeau. Different ways to the turbulence in dissipative dynamical systems. // Physica D. 1980. V. 1. P. 219-226.

3. П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991. P.Berge, Y.Pomeau, С. Vidal. Vers une approche deterministe de la turbulence. Hermann.Paris. 1988.

4. C. С. Минаев, E. А. Пирогов, О. В. Щарыпов. Скорость распространения пламени при развитии гидродинамической неустойчивости. // ФГВ. 1993. Т. 29. № б. С. 19-2 5.

5. О. М. Белоцерковский, А. М. Опарин. Численный эксперимент в турбулентности от порядка к хаосу. М.: Наука. 2000.

6. С. Campbell, D. W. Woodhead. The ignition of gases by an explosion wave. Part I. Carbon monoxide and hydrogen mixture. // J. Chem. Soc. (London) 1926. V. 129.P. 3010-3021.

7. C. Campbell, D.W. Woodhead. Striated photographic records of explosion waves. // J. Chem.Soc. (London) 1927. V. 130. P. 1572-1578.

8. К. И. Щёлкин. К теории детонационного спина. // ДАН СССР. 1945. Т. 157. № 7. С. 501-503.

9. Я. Б. Зельдович. К теории детонационного спина. // ДАН СССР. 1946. Т. 52. № 1. С. 147-150.

10. X. А. Ракипова, Я. К. Трошин, К. И. Щёлкин. Спин у пределов детонации. // ЖТФ. 1947. Т. XVII. вып. 12. С. 1409-1410.

11. Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец. Теория детонации. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы. 1955.

12. Б. В. Войцеховский. О спиновой детонации. // ДАН СССР. 1957. Т. 114. № 4. С. 717-720.

13. К. И. Щелкин, Я. К. Трошин. Газодинамика горения. М.: Изд-во АН СССР. 1963.

14. Г. А. Салтанов. Неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике однофазных и двухфазных сред. М.: Наука. 1979.

15. Ю. Н. Денисов. Газодинамика детонационных структур. М. .-Машиностроение. 1989.

16. N. Tsuboi, А.К. Hayashi, Y, Matsumoto. Structure of cornstarch-oxygen two-phase detonation in a circular tube. // Химическая физика. 2001. Т. 20. № 6. С. 5966.

17. А. N. Zaikin, А. М. Zhabotinsky. Concentration wave propagation in two-dimensional liquid phase self-oscillating system. // Nature. 1970. V. 225. P. 535537 .

18. A. T. Winfree. Spiral waves of chemical activity. // Science. 1972. V. 175. P. 634-636.

19. А. Т. Winfree. Scroll shaped waves of chemical activity in three dimensions. // Science. 1973. V. 181. P.937-339.

20. A. M. Жаботинский. Концентрационные автоколебания. M.: Наука. 1974.

21. J. Tilden. Velocity of spatial wave propagation in the Belousov reaction. // J. Chem. Phys. 1974. V. 60. P. 3349-4450.

22. R. J. Field, W. C. Troy. The existence of solitary traveling wave solutions of a model of the Belousov-Zabotinsky reaction. // SIAM J. Appl. Math. 1979. V. 37. N.3. P. 561-587.

23. M. L. Smoes, J. Dreitlen. Dissipative structures in chemical oscillations with concentration dependent frequency. // J. Chem. Phys. 1979. V.59. P.6277-6285.

24. M. R. Duffy, N. F. Britton, J. D. Murray. Spiral wave solutions of practical reaction-diffusion systems. // SIAM J. Appl. Math. 1980. V.39. N.l. P.8-13.

25. К. I. Adgaladze, V. I. Krinsky. Multi-armed vortices in an active chemical medium. // Nature. 1982. V. 296. P. 424-426.

26. P. S. Hagan. Spiral waves in reaction-diffusion equations. // SIAM J. Appl. Math. 1982. V. 42, N. 4. P. 762-786.

27. А. В. Панфилов, A. H. Руденко. А. Т. Винфри. Скрученные вихревые кольца в трёхмерных активных средах. // Биофизика. 1985. Т. 30. Вып. 3. С. 464466.

28. Колебания и бегущие волны в химических системах. Под ред. Р. Филд, М. Бургер. М.: Мир. 1988. Oscillations and traveling waves in chemical systems (eds.Field. R. J., M. Burger, New York. 1985).

29. A. M. Zhabotinsky. A history of chemical oscillations and waves. // Chaos. 1991. V. 1, N. 4. P. 379-386.

30. V. Gaspar, J. Maselko, K. Showalter. Transverse coupling of chemical waves. // Chaos. 1991. V. 1. N. 4. P. 435-444.

31. Z. Nagy-Ungvarai, J. Ungvarai, S. C. Miiller. Complexity in spiral wave dynamics. // Chaos. 1993. V. 3. N. 1. P. 15-19.

32. M. Eiswirth, M. Bar, H. H. Rotermund. Spatiotamporal selforganization on izothermal catalysis. // Physica D. 1995. V. 84. P. 40-57.

33. P. Kastanek, J. Kosek, D. Snita, I. Schreiber, M. Marek. Reduction waves in the BZ reaction: circles, spirals and effects of electric field. // Physica D. 1995. V. 84. P. 79-94.

34. A. T. Winfree. Persistent tangles of vortex rings in excitable media. // Physica D. 1995. V. 84. P. 126147 .

35. S. Кода. A variety of stable persistent waves in intrinsically bistable reaction-diffusion systems. From one-dimensional periodic waves to one-armed and two-armed rotating spiral waves. // Physica D. 1995. V. 84. P. 148-161.

36. Т. Amemiya, S. Kadar, P. Kettunen, K. Showalter. Spiral wave formation in tree-dimensional excitable media. // Physical Review Letters. 1996. V. 77. N. 15. P .3244-3247.

37. I. R. Epstein, J. A. Pojman. An introduction to nonlinear chemical dynamics. Oscillations, waves, patterns, and chaos. New York. Oxford. Oxford University Press. 1998.

38. A. J. Lotka. Elements of mathematical biology. New York. 1956.

39. A. Hodgkin. The conduction of nervous impulse. Liverpool. 1964.

40. И. С. Балаховский. Некоторые режимы; движения возбуждения в идеальной возбудимой ткани. // Биофизика. 1965. Т. 10. Вып. б. С. 1063-1067.

41. Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978.

42. А. М. Перцов, А. В. Панфилов, Ф. У. ; Медведева. Неустойчивости автоволн в возбудимых1 средах, связанные с явлением критической кривизны. // Биофизика. 1983. Т. 28. Вып. 1. С. 100-102.

43. Е. А. Ермакова, В. И. Кринский, А. В. Панфилов, А. М. Перцов. Взаимодействие спиральных; и плоских периодических автоволн в активной среде. // Биофизика. 1986. Т. 31. Вып. 2. С. 318-323.

44. A. G. Wenfree. The geometry of biological time. Springer-Verlag. New York. 1990. |

45. J. M. Davidenko, A. V. Pertsov, R. Salomonsz, W. Baxter, J. Jalife. Stationary and drifting spiralwaves of excitation in isolated cardiac muscle. // Nature. 1992. V. 355. P. 349-351.

46. R. C. Lewontin. A general method for investigating the equilibrium of a gene frequency in a population. // Genetics. 1958. V. 43. P. 419-439.

47. Ю. И. Любич. Основные понятия и теоремы эволюционной генетики свободных популяций. // УМН. 1971. Т. 26. Вып. 5. С.51-116.

48. В. Charlesworth. Selection in populations with overlapping generations. Natural selection and life histories. // Amer. Natur., 1973. V. 1076. N. 854. P. 303-311.

49. R. M. May. Biological populations obeying difference equations: stable points, stable cycles and chaos. // Theor. Biol. 1975. V. 51. N. 2. P. 511-524.

50. Ю. M. Свирежев, В. П. Пасеков. Основы математической генетики. М.: Наука. 1982.

51. L. F. Segel, J. L. Jackson. Dissipative structure: an explanation and an ecological example. //J. Theor.Biol. 1972. V. 37. N. 3. P. 545-559.

52. R. M. May, G. F. Oster. Bifurcation and dynamical complexity in simple ecological models. // American Naturalist. 1976,. V. 110. N. 874. P. 573-599.

53. А. Ю. Колесов, Ю. С. Колесов. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. CXCIX. М.: Наука. 1993.

54. П. Гленсдорф, И. Пригожин. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир. 1973.

55. P.Glansdorff and I.Progogone. Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations. London. Willey-Interscience.1971.

56. D. Ruelle, F. Takens. On the nature of turbulence. // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167-192.

57. J. Guchenheimer. Catastrophes and partial differential equations //Ann. Inst. Fourier. 1973. V. 23. N. 2. P. 31-59.

58. V. J. Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. // J. Stat. Phys. 1978. V. 19. P. 25-52.

59. V. J. Feigenbaum. The universal metric properties of nonlinear transformations. // J. Stat. Phys. 1979.1. V. 21. P. 669-706.

60. Д. Марсден, M. Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла