Неустойчивость вязкопластического деформирования литосферной оболочки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.07 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАШИНОВЕДЕНИЯ

Г1 г " я

г Г ь о л

На правах рукописи УДК.539.3:534.1

ЕГОРОВ Анатолий Кузьмич

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗК0ПЛАСТИЧЕСК0Г0 ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЛИТОСФЕРНОЙ ОБОЛОЧКИ

Специальность

01.02.07 - механика сыпучих тел, грунтов и горных пород

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

АЛ>ААТЫ, 1994

Работа выполнена в Институте механики и машиноведения HAH PK.

Научный консультант -

академик HAH и ИА PK, доктор технических наук, профессор Ержанов Ж.С.•

Ведущая организация - Институт физики и механики горных пород

HAH Кыргызской Республики

Официальные оппоненты: доктор физико - математических, наук,

профессор Аннин Б.Д.

член-корр. HAH KP, доктор технических наук, профессор Ормонбеков Т.О.

доктор физико-математических наук,' профессор Алексеева Л. А.-

Защита состоится 1994 г. в час на

заседании специализированного совета Д 53.02.02 при Институте механики и машиноведения НАН РК (480091, г.Алматы, пр.Абая,31).

С диссертацией моюю ознакомиться в Центральной научной библиотеке НАН РК (г.Алматы, ул. Шевченко, 28)

Автореферат разослан Оргл^А 1994 г<

Ученый секретарь специализированного сове-га, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник /__Баймухаметов A.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность пройлеш. Диссертация посвящена изучению посредством аналитических методов механики горных .пород глобальных закономер1'юстей тектонического формирования внешней оболочки Земли. Земная кора, составляющая верхнюю часть этой ооолочки, является объектом разнообразного геологического изучения планеты. Механика, как известно, представляет одни из основных разделов физики. Таким оОрас-ом актуальность темы исследования определяется тем, что она лежат в русле важнейшей естественнонаучной проблемы физического обоснования описательных наук.

Цель работы. Исследование механизма тектонического формирования современной литосферной оболочки как следствия неустойчивости ее вязкооластического деформирования при малом расширении Земли.

Научная новизна. Проблемы тектоники, связываемые с современными геологическими концепциями расширяющейся или неотектоническим этапом пульсирующей Земли, ранее не рассматривались с позиции теории неустойчивость деформируемых систем. В настоящей работе они исследуются впервые.

На защиту выносятся следуадив результата:

выбор модели центрально-симметричной деформации самогравитирувдей Земли с вязкопластической литосферой и вязкой астеносферой,*

- определение скорости основного течения вязкопластического материала расширяющейся литосферной оболочки, сцепленной с вязкой астеносферой, с учетом объемной вязкости подстилающего последнюю основания;

- определение относительного малого увеличения радиуса Земли, непревышающего 2-3% радиуса Земли, необходимого для возникновения и формирования современных параметров литосферы;

- определение на основе выявленного максимума скорости возмущения параметров волнообразования в литосферной оболочке б меридиональном и долготой направлениях, соответствующих шттодальному распределению материков и океанов;

- выявление утонений и утолщений в определенных множествах точек литосферной оболочки при потере устойчивости расширяющейся

системы литосфера-астеносфера;

выявление системы рифтовых зон срединно-океанических

хребтов;

- определение влияния шютностных характеристик литосферы и астеносферы, взятых в соответствии с референтной геофизической моделью Земли (РЕМ), на процесс неустойчивости расширяющейся системы;

- определение влияния параметров литосферы и астеносферы на вертикальные колебательные тектонические движения.

Практическая ценность. Работа является составной частью исследований, проведенных в Лаборатории механики горных пород Института механики и машиноведения КАН РК по теме: " Механика тектонического развития Земли".

Апробация работы. Результаты работы докладывались на V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике ( Алма-Ата, 1981 ), II Всесоюзной конференции " Ползучесть в конструкциях" ( Новосибирск, 1984 ), II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе 1985 ), Международном симпозиуме "Физика и геодинамика деформационных процессов в земной коре и отдельных регионах" (Потсдам, 1985 ), VII Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике ( Караганда, 1981 ), Республиканской межвузовской научной конференции (Алма-Ата, 1988 ), Всесоюзной конференции, посвященной 70-летию академика НАН РК Ж.С.Ержанова (Алма-Ата, 1992 .).

Публикаций. По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе 1 монография.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, содержащих 17 параграфов. В конце диссертации приводится заключение и библиография, включающая 210 наименований. В работе 205 страниц Машинописного текста, из них 34 страницы графиков и иллюстраций, 48 таблиц. В работе содержится также 37 страниц приложения.

Работа выполнена в Институте механики и машиноведения НАН РК. Автор выражает глубокую благодарность академику НАН и ИА РК ^.С.Ержанову за приобщение к данной проблеме и научные консультации.

- в -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 дан краткий обзор предшествующих работ. Развитие теории устойчивости -деформируемых систем восходит к работам Я.Эйлера,.С.П.Тимошенко, Л.С.Лейбензона, А.Н.Динника и Других авторов. В дальнейшем этой проблеме были посвящены работы В.В.Новожилова, А.Ю.Ишлинского. Причем В.В.Новожиловым выведены зоотношения устойчивости упругих тел при малых докритических деформациях на основе построенной им нелинейной теории упругости. Проблеме устойчивости деформируемых тел позднее посБ.чщены монографии В.В.Болотина, Ю.Н.Новичкова, А.С.Вольмира, А.Н.Гузя, И.Ю.Бабича, А.Н.Спорыхина ч других авторов. Из работ зарубежных ученых следует отметить монографию м.А.Био; подробный анализ работ М.А.Био дан Ж.С.Ержановым и А.К.Егоровым.К основополагающим работам как по устойчивости упругих и неупругих тел при малых докритических деформациях, так и по устойчивости нелинейно-упругих тел относится серия . монографий А.Н.Гузя. В них дан обстоятельный анализ различных подходов при решении ~ задач устойчивости как для тонких, так и для массивных тел; решены задачи устойчивости для упругих и неупругих, в том числе, слоистых 'тел, при малых докритических деформациях на основе выведенных автором трехмерных линеаризованных уравнений устойчивости; исследована устойчивость нелинейно упругих тел при конечных докритических деформациях.

Следует отметить, что теория устойчивости деформируемых \

систем, развивавшаяся вначале на основе прикладных теорий, в дальнейшем интенсивно развивается главным образом в связи с использованием для ее построения соотношений механики сплошной среды. Это позволило перейти к исследованию устойчивости трехмерных тел с довольно широким диапазоном физических свойств, нелинейно-упругих и неупругих тел. Все преимущества механики сплошной среды распространились и на теорию устойчивости. Значительно расширился класс решаемых задач, имеющих большое прикладное значение не только к технике и строительной механике, но и в горной механике и математической геотектонике, как локальной, так и глобальной. Стало возможным решать задачи устойчивости неупругих систем и систем из композиционных и резиноподоОных материалов, а также исследовать устойчивость тел с более сложными геометрией и напряженно-деформированным состоянием.

■ е -

Для постановки задач и изучения глобальных тектонических процессов вакное значение имеет геофизическая ( плотностная ) модель Земли. А.М.Дзевонский, А.Л.Хейлс, Е.Р.Лэпвуд построили современную референтную модель Земли (РЕМ). В ней показано распределение плотности Земли с глуОиной. Разработан усовершенствованный метод использования сейсмологических данных (томография) - обработка на ЭВМ на.многих десятках сейсмических станций совместно по специалыюми алгоритму результатов регистрации большого числа землетрясений. Это возволяет рассчитыьать плоские "срезы" недр Земли по задашм профилям (томограммы). Томбграмма дает трехмерное представление о распределении в мантии областей с разными упругими свойствами.

Сформулируем общую постановку проблемы неустойчивости литосферы.

Самогравитирующая Земля моделируется внешней сферической замкнутой оболочкой-литосферой., сцепленной с прилегающей к литосфере другой замкнутой сферической оболочкой - астеносферой, внутренняя поверхность которой, в свою очередь, находится в условиях жесткого сцепления с поверхностью подстилающего ее сплошного шара. Материал литосферы моделируется вязкопластическим несжимаемым телом, материал астеносферы - вязким несжимаемым телом и, наконец, материал сплошного шара, принимаемый однородным, - вязким телом с учетом его объемной вязкости. В соответствии с референтной моделью (РЕМ) предполагается центрально-симметричная деформация Земли в условиях ее расширения.При решении проблемы предполагается применить подход Лейбензона-Ишлинского при изучении неустойчивости • течения системы, а также вариационный принцип Мосолова-Мясшшова для вязкопластического тела с учетом весомости среды.

Глава 2 посвящена выводу уравнений устойчивости вязкопластического течения полого шара из несжимаемого материала в условиях расширения и нахождению решения этих уравнений. Дана также оценка погрешности решений, допускаемой при замене уравнений с регулярной особой точкой соответствующими уравнениями Эйлера.

Проведено преобразование линеаризованных уравнений устойчивости течения в ортогональных криволинейных координатах

{ г ^

о о + 2 st II f —

9 /я

dq' И " ' Ü° ) ^ '

- 4 J,3 C[ C( 2flt + ) + C( 2f„ ♦ ?„ )]} 0,

\це в сферической системе координат q*=r - радиус, , q2- 9 -соширота, цъ = А. - долгота, для которой коэффициенты Ламе

ti=\,Hz= r,Ha=r atn в; fg = fiiH2H3;a - среднее напряжение в ¡■очке; р. - коэффициент вязкости; tm- предел текучести при ;двиге;Н- интенсивность скоростей деформаций; £ - компоненты жоростей деформаций возмущения; индексом "О" отмечены величины, вносящиеся к основному состоянию; в - символ Кронекера; kt ->рты ортогональной криволинейной системы координат. : учетом деривационных формул

дкл _ öüi кшдИ1

-4 = kt-1 ö grad Ht, grad H = T, (2)

dq1 H^öq " ' 1 fi^öq*

'равнение (1) сводится к трем скалярным уравнениям.

В силу условия несжимаемости для основного состояния =

dv°

), с учетом соотношений — , - = — = f > 0, где

1 сtr г

>°- радиальная скорость перемещения в основном состоянии, следует

С

< - 4 = fr, (3)

г

Здесь Cj - произвольная постоянная интегрирования.

После ряда преобразований с учетом соотношений Коши, равен-

:тва ©'= г!? £ ) и условия несжимаемости для возмущений öv

>'= - г —- первое из трех вышеуказанных скалярных уравнений дг

¡водится к следующему:

аг1>1 dvi до

( v* + 2 )v + S —— + Я —- + Г — --- О. (4)

1 2 ör2 2 <Эг 2 ör

Здесь v2- безразмерный дифференциальный оператор Бельтрами

дорого порядка:

, дг а i <э2

v2 = —7 + ctg е — + ----(5)

59 <39 з(п 9 д\г>

За2г + а(г

12а + 2а г

30 г'

а1гэ + Заг' 2

; я , = г

-а г ¥ За.

Г,=

. I

- а г + За, 1 2

У 3

а. = " "Г". V аг "

Два остальных скалярных уравнения сводятся к двум эквивалентным операторным дифференциальным уравнениям относительно величин а , vl я %', где принято

а = £ Оот(Г) Рп(С03 в) СО3 ЯЛ,

т= О СО

^ Рп(С03 003

(7)

т = О 00

I Г 5иэ

бУ.-ч

— + vctg е---

вв 3 зш е ал

(8

X' ]Г Х^^) р1 (соз 9) з1п ял,

тзО

причем, с другой стороны

здесь Рп(соз в) - присоединенная функция Лонандра первого рода действительного аргумента х = соз 6, п - степень, т - порядок этой функции.

С учетом тождества

ГЛ т

V* Р (соз б) соз тХ = - п(п+1)Р (соз 9) соз т\,

(9)

следующего из определения присоединенной функции Лежандра, выражений (7), выражения для о0(г) ( индекс опускается ), следующего из скалярного уравнения для о и VI, уравнение (4) запишется в виде:

0*и,о(г) 24а2 - 14а,г' с?и10(г)

0г4

+ г*

а. г + За,

Ог'

-а4 С п(п+1) + 481 г" - 6а1(п(гг+1) - 61 с(*1;10(г)

+ г

-а г" + За,

От1

+

- с^г3 * За. = 0, (11)

который имеет наименьший модуль. Этот радиус сходимости будет:

г <. (12)

■ Отсюда, с учетом (3) и (6):

/3

f > -1. (13)

6 ц

Для п = 1 искомые величины скоростей возмущений легко находятся. Однако наиболее интересным в нашем случае представляется п = 2,3,... Для определения возмущений скоростей перемещений иг и следует воспользоваться двумя вышеуказанными скалярными кравнениями, приняв в них

се

Г—1 т

V ) и!0,„(г' (-003 003

I

Р (соз 9)

п

(г)---— з1п тХ.

э1п 6

Здесь "штрих" означает дифференцирование по е.

Функции игот(г) - и изогпС") зависят от 6 произвольных постоянных интегрирования. Последние следуют из частного решения соответствующих уравнений, содержащего 4 произвольные

постоянные, а также из общего решения указанных уравнений без правой части, содержащего две произвольные постоянные интегрирования.

Решение с помощью обобщенных степенных рядов для достаточно тонкого сферического слоя, с которым приходится иметь дело в настоящей работе, - литосфера, относительная толщина которой порядка 0.01, не представляется целесообразным в силу значительной громоздкости этого решения.

Вместе с тем использование прикладных теорий, в частности, теории безмоментных оболочек не позволяет определить изменения возмущений по толщине оболочки, и при этом теряются все преимущества механики сплошной среды над прикладными теориями, в частности, при решении контактных задач. Поэтому представляется целесообразным воспользоваться соответствующей асимптотикой и

и

вместо уравнений с регулярной особой точкой г => 0 рассматривать соответствующие однородные и неоднородные уравнения Эйлера. Показано, что при малых отклонениях значений коэффициентов уравнений при переходе к уравнениям Эйлера погрешности, допускаете при нахождении решений уравнений, будут того же порядка, что и порядок отклонения от вышеуказанных значений коэффициентов.

Соответствующее характеристическое уравнение для уравнения (10), преобразуемого к уравнению Эйлера при г3/г® « 1, где г = г нижняя граница лиюсферпого слоя, будет

аэ'+ Ъэ1+ сз + а = 0. (15)

Здесь

6а2- 8а1 (6пг + 6п + 3)аЧ(пг + тг + 171а,

а = —:- ; Ь ---г—---—-;

За2- а4 Заг- а1

6аг+ 4а

с = -( п2 + п + 1 )

За - а.

Заг(гИ+ 2п'-пг-2п) +а4(- п4- 2п3- Ъпг- 4п + 12) а = --- ; (16)

• а2 /з а, /зи,

аг = — = а4 - - — т , {? = - — = •

* 2 а2 2ц/>

Решение соответствующего дифференциального уравнения Эйлера

будет

где-.? (I =»1,2,3,4) - произвольные постоянные интегрирования.

Общее решение соответствующих неоднородных уравнений Эйлера имеет вид:

•гД » Р. Р,

V (г) = > Т.Сг ' + 0 г + С г ,

го VI ' о

V э Р, Р, у (г) = - т ) ТСг'+Сг +Сг ,

ЗО / II 5 а

I - 1

где , 0а - произвольные постоянные интегрирования;

Ь', (5,-1) (5,-2) + С 5, (Э, - I) + Е,

у =---------; (19)

п( п+1)(й - I) + А Б + В ]

V V 1 V X

-5а4+ 6а2 За4 3(6а2 -За() 3(6аг -4а,)

А = -:-; В - -; 0 =--—-0 = -:-—; <20)

За2- а1 3а2- а4 За2- а1 За2- а4

6а1 (1 - А^ 1 / А\ - 2(.41+ + 7

е = —г——; р., =------• (21)

1 За2- а4 *'2 2

Представляет интерес случай, когда в *> О. При этом выражения

(16) приобретают вид:

а « 2;Ь «- -(2пЧ 2п +-1);с « -2(п2 + п +();<3 ~ 2пэ- п2- 2гг. (22) Решение характеристического уравнения (15) р этом случае будет:

й « п + 1; 5'2« -{п + 2); 5з « п - 1; « - гг. (23)

Амплитуды скоростей возмущений перемещений на ограниченном отрезке времени тлеют вид:

и (г) « С г"1"1 + С г""*21 + С г<п-" + 0 г'"п>;

ч Ю 1 2 Э 4 '

П + 3 С2 I

V (г) «С - г1""- -—-- г""*2' + - С г'"" +

1 п(п + I) (п + I) . гг 3

' 2 - п - С» <24>

о -- Г-'"> + с + — = и (г) + с, + —;

4 п(п + I) 5 г 20 я г

Св

Ч,0(г) « -т о (г) + С5 + —.

г

В главе 3 выведены и решены уравнения устойчивости течения полого шара и основания в условиях расширения с учетом их объемной вязкости.

Уравнения для возмущений устойчивости течения в напряжениях тлеют вид:

в /в - ~

— К- 0. ' Л = МА- (25)

Физические соотношения для возмущений:

. К - 2ц

о., = 2Ц5И + 0ИК епп, К = —--, (26)

где К - коэффициент объемной вязкости. С учетом (26) уравнения (25) преобразуются в систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно инвариантных величин возмущений vl, & = г(£22 +

4ц + ¡С а2 и аи, р. + к ае' уц + к + 2)и + -г— +2г — + - г---©= 0;

3(1 аг аг зц аг зц

4ц. + к а®'

(27)

аг2 avx + 2Г — аг 2 в*' ц + к <>Ч

sin 8 ал Зц вгдв

.в1". — + вг2 ov3 2 г —9 = дг . ае ц + К I

' Зц з1п 0 вгдХ

зц ае

4ц + я i ае' зц sin в о\

Из двух последних уравнений (27) следуют эквивалентные им уравнения в операторной форме:

■дх в i . ц + К д 2 4р. 4- К

г1— + 2г — (е - 2tM =--Г —(v*i> )--v2© ; (28)

бг2 аг J Зц вг Зц

, . 2<эгх' 0%

+ г2— + 2г — = <29>

аг аг

Рассмотрен случай п =2,3,... , когда %'= 0. Положено

00

Lm

у10м(г) Рп(соз е) соз тХ,

В*'" m (30)

©= )е' (г) Р (соэ 6) coa тЛ., ¿_ (m п

т = 0

После ряда преобразований получены решения уравнений (27) -выражения для амплитуд возмущений скоростей перемещений в виде:

7 у10<г) = 0/"*"'+ Схг'—г' + С/-" + О/-"';

= Г.С г^''-.fc г— + г'С.г""" +

*0 11 Z Z э э

- са

+ 1% г"п> -) Сз + -- = и2о(г) + С= + —(31 )

иэо(г) = - т и20(г) + Св + —, где Т. = У ( цД.п ), 4 = 1,2,3,4.

Для основания исключением особенности в центре шара из (31) получено:

V (г) = С г,т1> + С г"1"1';

1С» 1 Э

»„(Г) = ^С ТС/"-" + СЭ; (32)

vэo(r) = - трА г'^Ч +

Глава 4 посвящена исследованию основного состояния течения полых и сплошного шаров в условиях их расширения, а именно, полого шара из вязкопласгического несжимаемого материала, полого шара из вязкого несжимаемого материала и полого и сплошного шаров с учетом их объемной вязкости, а также решению соответствующих контактных задач основного состояния.

Вначале изучено основное состояние вязкопластического течения расширяющегося полого шара из несжимаемого материала.

Физические соотношения для такого шара %

в

о" + 2

и + — Ь И°

С учетом условия несжимаемости О, ( = 1,2,3 для

центрально-симметричной деформации расширения в окрестности точки

линеаризации: АС = - 2/°, й° = 2/°/з или

с!и° и° О О

С = — • С = С = -.«£ = -. Н° = 2т/~3 4- (34) От 33 г 1 г г

где С\ - произвольная постоянная интегрирования.

Решением уравнения равновесия, записанного для основного

состояния

г — + 2(о°- 0° ) = 0, (35)

От

с учетом равенства

) = /з ( цн°

+ -С),

(36)

следующего из (33), получены выражения для компонентов напряжений основного состояния течения расширяющегося полого шара из вязкоплаетического несжимаемого материала:

о° = - 4цС г~э + 2-/з ч 1п г + С ,

II " 1 к 2 '

= = 2№,Г'3 + /з Тв(1 + 21п г) + с2, (37)

где Сг - произвольная постоянная интегрирования.

Затем исследовано основное состояние течения расширяющегося полого гаара с учетом его объемной вязкости. Физические соотношения имеют вид:

I *

(38)

О.. - е. .о = 2ц(£ - б..£ ), о =

^ 3

3

где К - коэффициент объемной вязкости. Для основного состояния в случав центрально-симметричной деформации расширения полого шара соотношения (38) примут вид:

(39)

Из (39) следует:

<£- £ = 2ИС- О-

Тогда выражения (39) и (40) будут:

¿V* 1>°

о°1 = (2ц+ Я' + 2К о° - о°2 = 2ц|

I

<3г г

(40)

(41 )

С учетом (41) уравнение (35) преобразуется к уравнению Эйлера вида:

' dгv0 сл.?

—т +2 Г--= 0.

<*г2 с2г

(42)

Корни соответствующего характеристического уравнения будут:

¡>4= 1, б -г.

Общее решение уравнения (42):

г

v = О г + С г ,

ii г

где С и С2 - произвольные постоянные интегрирования. Напряжения имеют вид:

o°t= ЯС - 4ц02г"3,о"2= о°э= КОг+ 2\исяг

(44)

Для сплошного шара с целью исключения особенности в его центре положено С2 = 0. Тогда

= С4г (45)

На границе сплошного шара г = — = с, = (Га) = /°>0.

Напряжения основного состояния,с учетом формул (44) и С2 = О будут:

о° = о° = о° = КО (46)

1 1 2 2 3 3 1 • * '

Исследовано основное состояние вязкопластического течения расширяющегося полого шара, сцепленного с основанием, с. ^учетом его объемной вязкости.

Граничные условия при этом записываются в виде:

при г * г,: о°114> (г1) = 0;

при г = г : 0° (г )= о" (г ); и° (г )= и° (г ),

г ' О 1 1 I А > О 11 1С) 1 о" 1 ( 1 > о 1 С С > 4 О ' '

где го - радиус основания, г1 - радиус внешней границы полого шара, сцепленного с основанием. Индексом "с" отмечено основание. С учетом выражений (34), (37), (45), (46) получено:

47)

4ц С г " 11 > 1(1»

3 + 2-/з X 1п Г

+ с.

О г ; о"

1 f 1 > 11 ( с )

Я С ; Vo = С г,

(с> (с) 1 < С > Í С > 1

(48)

С

Г > 0.

I с > * О '

С помощью (47) и (48) получены выражения для скорости деформации расширения рассматриваемой системы, а также для напряжений о'

и о

22(1) 22 Í с >

f = 2/з

т 1п

*,с - 4Ц(1

Го

~7а

= + V 3 т.;

(49)

(50)

= + /з т5 - К1с>А 0°2<с>(го) = - К(с)Л

Наконец, исследовано основное состояние течения двухслойного замкнутого полого шара, жестко сцепленного с основанием сплошным шаром. Двухслойный полый шар представлен жестко сцепленным между собой внешним и внутренним полыми шарами. Материалы внешнего полого шара и основания, как и выше, моделированы, соответственно, вязкопластическим несжимаемым телом и вязким телом с учетом его объемной вязкости. Материал внутреннего полого шара моделирован вязким несжимаемым телом с коэффициентом вязкости ц . Для внутреннего сферического слоя:

о.

11 < г >

Граничные условия имеют вид:

при г - гу. о°1(1,(г.) = 0;

при г ■ г,: °?1(1>(г2)= ^(1)(гг)=

(52)

пр« г ■ г0: ^.о^); ^,е,<го>-

С учетом (48) и (51) из (52) получено:

- + 2/з 1тШ г1+ С2(1>= О,

2 ( 2 >

с Г = С г ; (53)

1(1)21(2)2'

- + сг(г>= - к1с1с<с>

С г = С г

1(2) О ( с > О.

Отсюда найдена скорость основного течения:

г/з

Г =с,е) =

1т1п(г1/г2)

К,.,- +

(54)

В главе 5 получены основные соотношения вязкоплаотического течения ьесомиго сферического т-нла, следующие из вариационного принципа Лагранжа. Выведены соотношения устойчивости точения весомого сферического тела. Получены граничные условия устойчивости течения на свободной поверхности, в также на жестко сцепленной контактной поверхности весомых замкнутых тел.

Вначале выБедчш уравнения стационарного вязкопластичеокого течения, граничные' условия и физические соотношения для среды, пребывающей в условиях гидростатического распределения напряжений и подверженной действию боковых усилий сверх бокового отпора среда, в произвольных, ортогональных, в частности, сферических координатах. Рассматриваемая среда предположена голономной диссипативной, для которой справедлив вариационный принцип: Этот вариационный принцип применен к вязкопластичесдой среде, пребывающей в состоянии стационарного течения:

6.4 = 6Я4+ 5Я2, ' (55)

ел = щсф (17, ая1= - ея2- д^еисе, (ЕВ)

где, соответственно, приращение работы деформации, объемных сил веса и поверхностных сил; 7* - удельный вес сжимаемого материала; величина Ф есть диссипативный потенциал; V = и - компоненты вектора скоростей перемещений; с2У - элементарный объем; сБ -площадь элементарной площадки; би - вариация кинематически допустимого поля скоростей; проеции на направления ортов е = ёг , ё2= ёе, ёз= ек сферической системы координат силы, действующей на единицу площади недеформированного тела.

Предполагается, что напряженное состояние тела предстаачено напряжениями,обусловленными вязкопластическими свойствами материала среды, а также силами собственного веса и отпором окружающей среды. Напряженное состояние, представленное этими последними

напряжениями предположено гидростатическим, зависящим лишь от

удельного веса среды и глубины расположения объемного элемента.

В соответствии с принятым выше разделением напряженного

состояния на два диссипативный потенциал имеет гид: 1 1

Ф = Ф^Ф,, Ф,= - %ан - - кС!фа= = 1.2,3; (57)

2 2

7 - удельный вес снимаемого мяториапа среды ; величина Ф2 представляет диссипацию энергии, отнесенной к единице объема тела и обусловленную гидростатическими напряжениями; г1 - радиус Земли; г - текущий радиус; Н - интенсивность скоростей деформаций; ц - коэффициент вязкости; - предел текучести при сдвиге; Я - коэффициент объемной вязкости.

Основные дифференциальные соотношения теории вязкопластичес-кого течения получены на основе применения вариационного принципа при соблюдении условий

о > 1 , а = \Х 3. .5. .; (58)

и « и С1,)^

аи- интенсивность касательных напряжений; 5' - компонента девиатора напряжений.

Вариация от обеих частей первого из равенств (57) приводит к следующему соотношению:

6Ф = 6Ф, + 6Ф2 (59)

С учетом формул (55)-(57),(59), а также вариации

5Фг = (3£и[ ] - 7*6и,. (60)

где V'2' = { 7*(г-г1)б>и 7*(г-г1)0а1г, 7* (г-г, )0як } ' (61)

и с применением формулы Гаусса-Остреградского преобразования объемного интеграла в поверхностный получены с переходом в пределе к несжимаемому материалу основные соотношения вязкопластического течения для сферического тела с учетом его веса. Это уже известные уравнения течения, физические соотношения, а также граничные условия:

= Г

(62)

где лг - косинусы орта внешней нормали к поверхности тела 5'.

Все соотношения, за исключением граничных условий теории вязкопластического течения для невесомой и рассматриваемой весомой сред совпадают. В граничных же условиях появляется слагаемое, обусловленное учетом весомости среды. Соотношения устойчивости течения весомого сферического тела отличаются от соотношений устойчивости для неве'сомого тела лишь граничными условиями. Выведены граничные условия устойчивости течения в сферических координатах. Вследствие потери устойчивости течения вязкопластического сферического тела произвольная точка поверхности 5 перейдет в бесконечно близкую к ней точку

поверхности 5'. Нормаль N к поверхности 3 в произвольной ее точке

перейдет в нормаль N к поверхности 5 'в соответствующей -точке.

Если - 1,2,3) - векторы единичных нормалей к площадкам возмущенной поверхности тела, перпендикулярным до деформации

соответственно ортам N ,то для бесконечно близкой

поверхности тела компоненты векторов Я' являются матрицы

* = I

ди

| в. (б - I) (е

к. к

Ои

><1

и, дН

+

дН

деформации элементами

(63) и, дН.

н' н.ад"

ИяН1 дц- ИЯН1 дЧ1

+ 20

"«А

2и =

2 Н.Н

-—Ни---Ни

дц1 ' 6 дц' 1 1

(64)

С помощью соотношений (62)-(64), а также равенства

и = и° + и (65)

получены граничные условия устойчивости вязкопластического течения как на свободной поверхности, так и на контактной сферической поверхности слоя с основанием.

На свободной поверхности имеют место следующие граничные условия устойчивости течения:

е

¿1

а

+ °»,1,(Ри-.,.и,(1 - + т(1дда>= о, (66)

при г = Г, + и^Г,)^ ц).

На контактных поверхностях между ] - м и (/+!)- м жестко сцепленными слоями

[о . - о ] + (о -о ) «

(1-6 )ф. +(7-7 )б и = О,

= = 1.2.3 ( Ц) при

Е + и . ^ к 1(;> к= 1

(67)

Здесь 1г- толщина J - го сферического слоя; величины определяются в соответствии с формулами (63),(64), при I = 2,3, ; = I:

л» I ^

I г ,

ш = - и ---,ф =

^(1>.(1> г ^ 2<1> дд 1'^<2>,<1!

I ¿4,,,

а1п6 ЗА,

,(68)

где и1ги2,из - перемещения, соответственно, в направлениях, определяемых ортам;! Ът, ёе, ёл.

Глава 6 посвящена выводу соотношений устойчивости вязкопластического течения расширяющегося полого шара, сцепленного с основанием с учетом его объемной вязкости. Получены элементы характеристического определителя.

Линеаризованные физические соотношения для вязкопластического течения материала сферического слоя, выраженные через скорости перемещений, необходимые для записи граничных условий устойчивости, имеют вид:

о =0 +■ 2и 11<1> (»> "1

Ог

)

гаи т ви

г с 1 ) I 1 < 1 >

1

Ог

39

(69)

2/з/°

во.

в и.

г эШ в\

Ог

Нижним индексом (I) отмечены величины, относящиеся к полому шару. Подстановкой в выражения (69) выражений (7),(14) получено:

и

= I

rr> = t

- 21 -dv (r)

о (r) + 2u -

От 4 ' "( I)

dr

P (соз 0) соз иЛ,

du (г) и (r)- v (r)

2ОтI 1 > 4 ' lOmt1 ! ' lOmlll 1 '

Г T 1 00

dr r

* Рп"соз в) соз mX, (70)

du (r) m v (r)+ ü (r)1

ЭОшс 1 > ' lomi1 ) BOmlt> v '

dr

P™ (cos 6)

С учетом соотношения

3tn 9

3in mX.

3«;- а, Л1в11,(г)

°„„.<r> = -

n(n+I) За,

dr

ц(1)г -БаЧза, d4o,,><r) +------- +

n(n+1) а,

dr'

(71)

+

I 6а2- 4а, duio(1,(r)

I-

n(n+I) а.

. L

2

n(n+I)

är

(D»

следующего из уравнений устойчивости вязкопластического • течения, где индекс "и" опущен, а также соотношений (15), (17) - (21), для выражений амплитудных множителей (70) получено: , ■

о° -О (r)W - ---) о.г А.., .(72)

11.» о,„> -Ч*,,, (jr ЗП(ЯИ) fr-, 1 11

!где (3 + e)S. (Sv- IHS^ 2) + (15 + Эе^^- I) +

+ t18 + I2e - 9n(n + I)]St + e(3n(n + I) - 6], (7Я)

+

К -4ц

1С) "( 1 )

а2 2ц.(1>/° Ц1,„тг±/г0)

S(i = 1,2,3,4) - корни уравнения (15);

dv (г) и (г)- v (г)

JOnil) 1 ' Ю»11) ' ' JOmU I 1 ' ----- +-----. _

dr

г

| р -1 >

С В_ г + С ß г 1 + С В г

i а; 3 23 d 2й

(75)

dv (г) т v (г)+ v (г)

30»И) ' iOmli) " ' э о ( 1 > '

cir

^—» ( S -

Zw 1

Г

<р - 1 >

+ .- В г

5 23

+ С В г

CS 20

(76)

3ai = г (S, - I) + I; В„ = р, - I; ß2d = Р2 - I. (77)

Линеаризованные . физические соотношения для течения

расширяющегося основания, с учетом его объемной вязкости, для записи граничных условий устойчивости имеют вид:

дг

ÖV I д V

2 С О 1 ( с )

дг Где I

(78)

а = ц

iSfci г (с>

ilc) 3(с) Э ( с > --- -

г stnQ ÖK дг г

где индексом "с" отмечены величины, относящиеся к основанию. > С учетом (30), а также соотношения:

ö', Лг) = L. г'

dr3

-i S г

Ис>

dr'

dr

- + ^сЛо««^). W к, сАЛ.Л.с,

р -1)

2 i с)

Г

+

зависят от ц(с>1. К<с>, п, из (78) подучены выражения . для возмущений напряжений расширящегося основания с учетом его объемной вязкости.

Граничные условия устойчивости вязкопластического течения для расширящегося весомого полого шара, сцепленного с весомым основанием, с учетом его объемной вязкости, имеют вид (66) - на свободной поверхности и вид (67) - на контактной поверхности

полого шара с- основанием, где J = I. Здесь о°г11), Го°2 -

o°2ir)J определяются с помощью (50), где г = rt + и } {гt), либо

г = rt - ht + ul(i>(r0) * го + uJ(1,(ro). Возмущения перемещений

■ представлены в виде:

^(г.бДД) = exp Hot Uj^r.e,X), (fc = 1,2,3), (8С)

где выделен мнокитель exp twt, а амплитудные множители обозначены так же, как и возмущения; { - мнимая единица. В качестве критерия потери устойчивости принимается неограниченный рост возмущений с течением времени. Тогда имеет место равенство

duk(r,e,\,t)

Vk(r,e,\,t) = - = lWLL(r,e,\,t). (81)

et

С принятием во внимание соотношений (32),(69) - (01), а' также упомянутых граничных условий устойчивости (66),(67) для J = I вязкопластического течения несжимаемого материала расширящегося весомого полого шара, жестко сцепленного с весомым основанием, с учетом его объемной вязкости,' получен"' . характеристический определитель девятого порядка, равный нулю.

Величина £ в этом определителе имеет вид:

6/°

t = -. (82)

iu

Для четных значений целых волновых чисел п и т (т ^ п, т >' 0) при определении характеристической зависимости мезду -ними и величинами ц(е), Ц(1>, Я(с), е = \/га следует обратиться К вариационному пршгципу для диссипативной среды и применить его к возмущениям, вызывающим потерю устойчивости системы:

i i

■ о о

V (Г )- V (Г )

»Oll»1 l' ЮН) 1 i' -m

- F (cos 0) cos mk 6u +

+---sin пЛ Öf_

ain e

ds +

г 1С

+ iiffo öE +o ߣ +o öf +

111 um 22Ш ^гги» ээ<1> ssau>

г о о о

+ о ö£ + о ö£ + о Öf 1 cJt +

12(1) *12<1> 1>Ш М1Ш 23(1> ^iscuj

1С 21С

+ i I

' о о

I) (Г )- V (Г )

2011> о' 10 I 1 > О '»

Р (соз 6) соз mA, öi> +

+---atn т\ 6t)

Го

Г 1С alt

aln е

cEL + (83)

+ Г f f Г о öf + er 5Е + о ö£ +

J J I »l(c> *»1<C> 221« »221c> ЭЭСС) *33ic>

ООО

+ о ö£ + о ÖE + о б£ Idi: = О,

12ic> 12(с) lacc) S19(c> 2ЭСс> 23<C)J

di = r*aln9 <3r d9 dS. = rf3in6 d9 d\, i = При этом следует выразить произвольные постоянные

интегрирования o'.(t = 1,2.....8) из восьми уравнений, следующих

из граничных условий устойчивости течения, через и подставить их в уравнение (83). Из полученного уравнения определяется 'величина % . .

min

' ; Для нечетных значений т к уравнению (83), в котором вместо пределов интегрирования по 9: 0 и тс взяты ео и ic - eD, следует добавить условие равенства нулю равнодействующей поверхностных Моментов, сводящееся для п - 8, т = Г к соотношению:

f ([("20,1. <Г.>" + (»,оИ,<Го>" ] "

« ?а\ооэ ö)3in в - [(uiou,(ri)+ uMe,(rt))ri + (84)

+ !;,„„,<Го>К ] Р. ^03 В)С03 0 | ав = 0. ■

Из уравнения (84) и из вышеупомянутого уравнения, следующего из (83) могут быть определены значения ео и

Дело здесь заключается в тем, что для целых нечетных значений волновых чисел т имеют место особенности в полюсах. • С помощью соотношения, следующего из (83) , а также соотношения (84) можно с достаточной степенью точности решать задачу устойчивости течения, сохраняя целые значений нечетных волновых чисел т.

В главе 7 приведены результаты численного анализа . предшествующих теоретических результатов.

Прежде проведены расчеты по определению значений корней £ соответствующего характеристического определителя девятого порядка для достаточно малых значений величины е, определяемой формулой (74). Положительные значения корня С, отвечающие случаю расширения рассматриваемой системы, для различных значений величин

^е, ^ " Го

СЛ ' '"<« сл

е = -. Рн,= 3*/ р(с>= 3.5%,, п = 7. п 8,-

Цш Г

Пик

п = 9, т = О, Я = 66 ц , 1Ш = Ю7 —, е = 0.01 приведены в с сл

таблице I.

Из таблицы I следует,что величина С имеет минимумы при п = 8: г 1

. I; = 4.597938 для е = 0.09, - =0.1;

I ""О1 ц,,,

И.о.

. 1 = 4.181971 ДЛЯ е = 0.06, - = 0.01;

• Г5 , ] = 4.115917 для в = 0.05, - = 0.001.

ОН9 Ц11,

В случае - = 0.1 величина £ с ростом п убывает при е ^

ц

"(с»

О.СИ и возрастает при е - 0.10. В случае - = 0.01 величина £

>

,с ростом п убывает при е = 0.05 и возрастает при £ = О.ОТ.

Наконец, в случае - = 0.001 величина £ с ростом п убывает при

е = 0.04 и возрастает при е = 0.06. Иными словами, ь

рассмотренных случаях имеет место, пользуясь терминологией М.А.Био, доминантное волнообразование при п = 8, т = 0. Примем Его.п = £т1Т>,г> = 4.1819Т1 для входных данных, наиболее адекватно отражающих поведение реальной Земли.

Для анализа подобного волнообразования в случае асимметричных форм.потери устойчивости при целых т > 0 следует привлечь соотношения (83),(84).

Определены восемь постоянных интегрирования из восьми первых уравнений - граничных условий устойчивости течения через девятую Ср, которые подставлены в соотношения (83) и(84):

ее 6 а ос е о

1 » 2 Р ЭР 4Р

I/ •• «Ь " » Ь — > и

1 2 р-Гп*2>* Э п- 1 ' 4

О О

°Л еА <85>

С = 6 С ; С = -С = -: С =

з = о' а -1 ■ 7 пч • иа .. .

и» О О

где б = б. ({, т), М = 1,2,...,8); п = 8; -- = 0.01; е = . 0.06,

8 1 г 7 вт

Ри,= 3%Л9' Р<с.= 3-5/СДЭ. *,« = 66 Кс,. \ = 10

е = 0.01.

Расчетами по формулам (83) и (84) выявлено, что при этом для п = 8, гл = I с учетом (85) имеют место значения величин: ео = 0.094 г, С = 4.172311, а из уравнения- (83) для п = . 8, т = 2 найдено % = 4.180862.

Таким образом, для асимметричной формы' потери устойчивости при п = 8, т - I, получено £т.п = 4.172311, т.е. здесь имеет место доминантное волнообразование в случае пространственной задачи при асимметричной форме потери устойчивости.

- 27 -ТАБЛИЦА 1

Положительные значения величины для т = О, следующие из характеристического' уравнения

К с > — = 0.1 1 >

е п = 7 п = 8 п = 9

0.08 4.612810 4.587281 4.583522

0.09 4.608631 4.597938 4.6'9263

0.10 4.615349 4.619630 4.646631

Ко « Ц< 1 > = 0.01

е п = 7 п'= 8 я = 9

0.05 4.1Т68Т6 4.165577 4.163239

0.06 4.186411 4.181971 4.186990

0.07 I • 4.201647 к 4.204750 4.218049

! - Ц< 1 > = 0.001 •

е П = 7 П = 8 п = 9

0.04 4.107497 4 097581 • 4.094534

0.О5 4.121046 4.115917 . 4.11822?

0.06 \ 4.138170 4.138773 4.147539

Следует заметить, что из условия минимума £т1п- отношения скорости основного течения к скорости возмущения следует, что при фиксированном значении скорости основного течения f можно определить максимум скорости возмущения. При определении относительной деформации основного течения или относительного увеличения радиуса Земли следует исходить из выражения для скорости основного течения (49). Тогда упомянутое относительное увеличение радиуса Земли будет:

е, = ft, (86)

где X - время.

Для входных геофизических данных,отвечающих реальной Земле'*': Оин ■

= 107 —• = 1021 ^е. = 1СГ "Ь"23' Г, = 6371 КД>

сл

получены значения относительного увеличения радиуса расширяющейся Земли со временем. Результаты расчетов представлены в таблице 2.

ТАБЛИЦА 2

Относительное увеличение радиуса Земли со временем

* (года) 0.7.10* Ю4 10= 10" 107

е1 0.02 0.03 0.30 3.00 30.0

В геологической литературе приводится значение е4 0.02 или 2%. Это значение наиболее вероятно, так как данные таблицы 2 показывают, что при непрерывном, процессе расширения Земли ее радиус должен был бы многократно возрасти за сравнительно короткий в геологическом масштабе времени срок.

Итак, вышеприведенные расчеты величины £т1п проведены при значениях входных параметров, отвечающих реальной Земле, для различных значений параметров волнообразования в меридиональном направлении п ив долготном направлении т. В соответствии с референтной моделью (РЕМ), построеной А.М.Дзевонским, А.Л.Хейлсом и Е.Р.Лэпвудом, для РЕМ - А или средней параметрической модели Земли плотность литосферы принята равной Зг/ з и астеносферы

**" В.Н.Карков, В.П.Трубицин.Физика планетных не др. М, "Наука ",1980. "*■' В.В.Белоусов. Основы-геотектоники. М."Недра", 1989.

Значения п = 8 и т --= I отвечают геологическим дашшм о ' деформировании литосферы, а именно,, факту антиподалыюго распределения материков и океанов на поверхности Земли. Иначе говоря, (физико-геометрическими свойствами расширяющейся Земли предопределено волнообразование в процессе потериею устойчивости с соответствующими параметрами гг = 8 и т = I.

Потеря устойчивости при расширении литосферы сопровождается локальным изменением ее толщины, а именно, происходят ее утонения и утолщения в определенных множествах точек. Об этом можно судить по знакам разностей радиальных компонентов возмущений

ТАБЛИЦА 3

Значения относительных разностей радиальных возмущений перемещений

и ' — и

tut 1 (Ol

А = -- р* (COS в)соз К

ехр ш (ulfl,(rf) - ulfe>(r0)) • .

точек на сферических поверхностях г = г = 1.061 г и г = г

1 О О

30 60 90 120 150

0.00 -1.87 2.40 0.00 . -2.40 1.87

30.0 -1.63 2.09 0.00 -2.09 1.63

60.0 -0.93 1.20 0.00 -1.20 0.93

90.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

120 0.93 -1.20 0.00 1.20 -0.93

150 1.63 .-2.09 0.00 2.09 -1.63

180 1.87 -2.40 0.00 2.40 -1.87

210 1.63 -2.09 0.00 2.09 -1.63

240 0.93 -1 .20 0.00 1.20 -0.93 • .

270 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

300 -0.93 1 .20 0.00 -1.20 0.93

330 -1 .63 • 2.09 0.00 -2.09 1.63 •

360 -1 .87 2.40 0.00 -2.40 1.87

перемещений, следующих из расчетных данных, сведенных в таблицу 3. Причем знак "минус" этой разности отвечает утонению литосферы, знак "плюс" - ее утолщению, нулевое значение указанной разности отвечает неизменяющейся толщине литосферы. Анализ числовых результатов для четных значений параметра волнообразования в меридиональном направлении п и для значения параметра волнообразования в долготном направлении т = I показывает, что утонения и утолщения литосферы оказываются одинаковыми в диаметрально противоположных точках литосферы, т.е. отвечают антиподальному распределению утонений и утолщений литосферы.

Вертикальные колебательные движения в глобальных тектонических процессах обусловлены значениями параметров, характеризующих расширяющуюся систему. Когда величина (74) е ^ 0.04, т.е. коэффициент Я превысит соответствующее значение, имеют место комплексные значения, значения для величин корней уравнения (15), а следовательно, для величины £ и скорости возмущения ы, и, согласно (80), появляются гармонические функции времени в выражениях для возмущений перемещений.

Наконец, просчитаны компоненты перемещений и напряжении по глубине и в направлении меридианов и параллелей литосферы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результата выполненных исследований по неустойчивости вязкопластического деформирования литосферной оболочки и ее тектонических последствий заключаются в следующем:

1. Обоснована расчетная модель неустойчивости деформирования литосферы при неотектонических процессах, связанных 'с относительно малым расширением Земли, не превышающем 2-3% ее радиуса.

2. Определена скорость основного течения вязкопластичоского материала расширяющейся литосферной оболочки, сцепленной с вязкой астеносферой, с учетом ее объемной вязкости подстилающего их сплошного шара.

3. При исследовании проблемы асимметриной неустойчивости вязкопластической литосферы на вязкой астеносфере в процьссе расширения выявлено, что она отвечает доминантному волнообразованию при физико-геометрических свойствах реальной Земли для значений его параметров в меридиональном п = 8 и в долготном т - I направлениях. При этом величина отношения скорости основного течения к скорости возмущения носит экстремальный характер, а именно, является минимумом. При постоянной скорости основного течения ско-' рость возмущения имеет максимум. Выявлена толщина литосферы, отвечающая доминантному волнообразованию.

4. Потеря устойчивости при расширении литосферы сопровожда-' ется локальным изменением ее толщины, а именно, происходят ее утонения и утолщения в определенных множествах точек, носящие антиподальний характер.Выявленное волнообразование с локальным изменением толщины литосферы находится в соответствии с геолога-5 ческкм фактом антиподального распределения суши и океанов на поверхности Земли.Определены линии максимальных утонений и утолщений литосферы,системы рифтовых зон срединно-океанических- хребтов.

5. Плотностные характеристики литосферы и прилегающей к ней астеносферы взяты в соответствии со стандартной референтно^ моделью Земли (РЕМ) для РЕМ-А или средней параметрической модели Земли. Показано, что гравитационная неустойчивость невозможна, однако разность плотностей литосф^ы и астеносферы оказывает определенное влияние на процесс неустойчивости расширяющейся системы.

6. Вертикальные медленные колебательные движения в процессе потери устойчивости расширяющейся системы обусловлены ее физико -

геометрическими свойствами. При определенных значения параметров, характеризующих эту систему возможно появление комплексных значений для скоростей возмущений перемещений и, соответственно, появление гармонических гармонических функций времени в выражениях для возмущений перемещений.

7. Процесс после потери устойчивости системой литосфера -астеносфера определяется экспоненциальным ростом компонентов возмущений перемещений во времени, сопровождаемым колебательными изменениями указанных компонентов. При этом компоненты возмущений выражены через одну произвольную постоянную интегрирования уравнений для возмущений неустойсивости течения. Это позволило получить в рамках расчетной схемы картину возмущений, подобную реальной с точностью до постоянного множителя - указанной постоянной интегрирования.

8. Определены закономерности напряженного и деформированного состояний литосферы по ее глубине вдоль меридианов и параллелей.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Ержанов Ж.С., Егоров А.К. Устойчивость неоднородного деформирования нелинейных тел. Алма-Ата 1987. 280 с.

2. Ержанов Ж.С.,Егоров А.К. Об устойчивости сферической оболочки при внутреннем давлении // Изв.АН Каз ССР, сер. физ.-мат., 1976. N 1. с.43-49.

3. Ержанов Ж.С..Егоров А.К. Теория складкообразования в толще горных пород Алма-Ата. 1968. 135 с.

4. Егоров А.К.Дантаев Ж.Ш. Устойчивость весомой слоистой среды при конечных докритических деформациях.// Изв.АН Каз ССР, сер. физ.-мат., 1977. N 5, с.25-31.

5. Егоров А.К. Об устойчивости полого шара при внутреннем и внешнем давлениях.//Изв.АИ Каз ССР,сер.физ.-мат., 1980. N 5, с.29-34.

6. Егоров А.К.Дантаев Ж.Ш. К устойчивости вязкопластического те-чиния весомой слоистой среда // V - Всесоюзный сгезд по теоретической и прикладной механике. Аннот.докл. Алма-Ата, 1981. с. 145.

7. Ержанов Ж.е.,Егоров А.К.Дантаев Ж.Ш. Устойчивость вязкопластического течения Еесомой слоистой среда.//Изв.АН Каз ССР, сер. физ.-мат.', 1981. N I, с. 17-23.

8. Егоров А.К. Основные соотношения нелинейной теории упругости для весомой среды в ортогональных криволинейных координатах. //Вестник АН Каз ССР, 1981. N 2 с.72-75.

9. Егоров А.К.Дантаев Ж.Ш. К устойчивости вязкопластического

течения весомой слоистой среда.// Механика тектонических процес сов. Алма-Ата, 1983. с.51-60.

10. Ерканов Ж.С..Егоров А.Н. Устойчивость вязкопластического течения полого толстостенного шара.// Изв.'АН Каз ССР, сер. физ.-мат., 1984. N I, с.34-38.

11. Ержанов Ж.С..Егоров А.К Упругая устойчивость конечнодеформи-руемого полого шара при внутреннем давлении.//Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. Фрунзе, . 1985. С.214-215.

12. Ержанов Ж.С..Егоров А.К Неустойчивость толстостенной сферической оболочки при внутреннем давлении. //Изв.АН Каз ССР, сер. .физ.-мат., 1985. N3. с.27-31.

13. Erzhano? Zh.S.,Egorov А.К. A vlscoplastlc lithosphere end its Instability forma., ISSN 0016 - 8696 Gerlands Beitr. GeoplvslR. . Leipzig 97 (1988) ?.S. 14-20.

14. Ержанов Ж.С..Егоров А.К.. Осипова Е.Б., Баймухаметов М.А. Неустойчивость деформируемых тел в задачах тектоники Земли. // Тезисы доклада Республиканской межвузовской научной конференции. Алма-Ата. 1988.

15. Егоров А.К., Аринов Е. Исследование устойчивости сжимаемого ' наследственно-упругого полого шара при центрально-симметричной деформации. // Вестник АН Каз ССР, деп. в ВИНИТИ 20.07.89, N 4820 - В89. 15 с. •

16. Ержанов Ж.С.,Егоров А.К., Аринов Е. Устойчивость неоднородного деформирования линейно-упругих и неупругих сферических тел. // Проблемы вычислителной математики и автоматизации научных иссле-дрваний. Алма-Ата. 1989. 3 li. Егоров А.К.,Есбаев Н.К..Калыбаев А.А. Напряженно - деформированное состояние упругого полого шара в нестационарном силовом поле. //Изв.АН Каз ССР, сэр. физ.-мат., 1990. N 6. с.85-89.

18. Егоров А.К. Исследование неустойчивости вязкопластического течения расширяющегося полого шара из несжимаемого материала.

// Деп. в КазгосИНТИ, 1994. 5с.

19.Егоров А.К. Неустойчивость течения шара в условиях расширения с. учетом его объемной вязкости. // Деп. в КдзгосИНТИ, 1994 . 6с.

20.Егоров А.К.Исследование основого состояния течения шара с учетом объемной вязкости.// Деп.в КазгосИНТИ,1994.4с.

21.Егоров А.К. Исследование неустойчивости вязкопластического течения расширяющегося полого шара, сцепленного с основанием с учетом его объемной вязкости.// Деп. в КазгосИНТИ, 1994. 5с.

Анатолий Кузьмич Егоров

Литосфералык кабыршактын туткыр- пластикалык деформацияланунын турак'сь!здыгы

Жердп-t кенейу! аркасыидагы туткыр астеносфарамен байланысты литосфералык кабыршыгьшын туткыр- пластикалык деформациягануы зерттелген.

Доминантты толкыннын пайда болуы аныкталган тане литосферанын зсукарунын жэне калыадауьшын жерг1л1кт1 антиполальл!г1 керсет1лген.

Меридиандар мен параллельдер бойында теренд!кпен байланысты литосферанын кернеулж гэне деформациялык жагдайынын зандылыктары аныкталган.

Egorov Anatoly Kuzralch (Anatoly K.Egorov)

Instability of vlscoplastlc deformablllty of the lltosphere's shell.

Instability of the vlecoplastlc deformablllty of the lltosphere 's shell connected with the viscous astenosphere la Investigated.

Dominant wave formation and antipodal local thinning f\rid thlcklng of lltosphere la shown.

i The laws of stress-strain states of the lltosphere due to her depth along meridians and parallels Is defined.