Неустойчивости в горении тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

Губернов Владимир Владимирович

Автореферат

В данной диссертации мы исследуем свойства и линейную устойчивость однородных заранее перемешанных плоских бегущих волн горения в одномерной геометрии. Здесь мы рассматриваем как адиабатические, так и не адиабатические модели с одноступенчатым механизмом реакции.

Свойства плоских волн горения, такие как скорость, максимальная температура, количество топлива, не сгоревшего в ходе реакции, область существования решения в пространстве параметров и т.д., исследуются численно. В частности, показано, что в адиабатическом случае существует единственное решение в виде бегущей волны для всех физически допустимых значений параметров, в то время как в не адиабатическом случае для заданных значений параметров решения либо не существуют, либо существуют два решения с разными скоростями распространения, которые в дальнейшем будем называть "быстрым" и "медленным". Для проведения численных расчетов мы использовали различные численные методы, включая стрельбу и релаксацию.

В данной диссертации мы используем преимущества формулировки задачи в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ формулировка), которая обычно более удобна, чем формулировка задачи с помощью системы дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП формулировка), ранее использовавшейся для исследования стационарно распространяющихся волн горения. Первый подход обычно используется для исследования специального класса решений - автоволн, в то время как последний метод обычно полезен в случае исследования свойств нестационарных решений. Помимо преимуществ, связанных с технической реализацией, ОДУ формулировка не зависит от устойчивости волны и, следовательно, позволяет продолжить решение на более широкою область параметров (включая исследование поведения медленной ветки решений, что не возможно в ДУПЧ формулировке). Более того, использование ОДУ формулировки позволяет исследование зависимости количества не сгоревшего топлива от параметров задачи, что ранее не было исследовано для значений параметров, рассмотренных в данной работе.

Особое внимание уделяется обсуждению различных способов преодоления сложностей, связанных с реализацией численных расчетов. Описывается использование равномерных и неравномерных сеток для расчета решений с резким изменением характерной длины в зонах прогрева, продуктов и реакции (включая тангенциальное преобразование и генерацию адаптивных сеток). Также мы представляем различные способы работы с бесконечными граничными условиями. Методику проверки точности численных расчетов и алгоритмы продолжения решений по параметрам. Численные решения сравниваются с аналитическими, полученными с помощью метода сшивки асимптотик, который используется в пределе высокой энергии активации. Показано, что результаты, полученные с помощью асимптотических методов, качественно согласуются с численными, как в адиабатическом, так и в не адиабатическом случае. Однако количественно предсказания асимптотических и численных методов удовлетворительно согласуются только в пределе высокой энергии активации. Для случая общих значений параметров автоволны горения могут быть исследованы только численно.

Для анализа устойчивости бегущей волны горения используется метод функции Эванса. Особое внимание уделяется описанию численных и аналитических аспектов, связанных с расчетом функции Эванса. Мы показываем связь между функцией Эванса и проблемой линейной устойчивости стационарно распространяющихся плоских волн и демонстрируем способы обобщения функции Эванса в терминах внешней алгебры. Мы расширяем стандартный алгоритм расчета функции Эванса, используя метод составной матрицы. Этот метод устраняет жесткость, связанную с данным типом уравнений реакции-диффузии, и делает возможной численный анализ линейной устойчивости. Детально описывается использование техники диаграмм Найквиста и метода Ньютона-Рапсона для нахождения нулей функции Эванса. Все эти методы позволяют получить подробную информацию о сценариях потери устойчивости.

В адиабатическом случае мы показываем, что стационарно распространяющийся плоский фронт горения теряет устойчивость в результате бифуркации Хопфа. Граница устойчивости планарного решения и бифуркационные характеристики такие, как частота Хопфа, найдены как функции параметров. Помимо этого, мы отслеживаем положение собственных значений, которые отвечают за потерю устойчивости, на комплексной плоскости и рассчитываем соответствующие им собственные функции. В неадиабатическом случае мы показываем, что медленная ветка решений всегда неустойчива, в то время как быстрая ветка может быть как устойчивой, так и испытывать различные виды неустойчивости (осциллирующие или монотонные в зависимости от значений параметров). Сценарии потери устойчивости исследуются подробно с помощью функции Эванса. Мы показываем, что переход между различными типами неустойчивости происходит в результате бифуркации Богданова-Такенса. Мы сравниваем результаты, полученные с помощью этого подхода, с предсказанием асимптотического анализа и показываем, что они качественно согласуются. Вместе с реализацией численных методов мы также проводим анализ с помощью теории возмущения, что позволяет нам связать свойства стационарно распространяющегося волнового решения, такие как затухание, с устойчивостью бегущей волны. Помимо этого, мы получаем аналитический критерий существования бифуркации Богданова-Такенса.

Публикации

Публикации, непосредственно относящиеся к данной работе

1. V. Gubernov, G. N. Mercer, Н. S. Sidhu, and R. 0. Weber, "On the Evans function calculation of the stability of combustion waves", Australian Math. Soc. Gazette, 29, 155-163 (2002).

2. V. Gubernov, G. N. Mercer, H. S. Sidhu, and R. 0. Weber, "Numerical methods for the analysis of travelling waves in reaction-diffusion equations", ANZIAM J., 44(E), C271-C289 (2003).

3. V. Gubernov, G. N. Mercer, H. S. Sidhu, and R. O. Weber, "Evans function stability of combustion waves", SIAM J. Appl. Math., 63, 1259-1275 (2003).

4. V. Gubernov, G. N. Mercer, H. S. Sidhu, and R. O. Weber, "Evans function stability of nonadiabatic combustion waves", Proc. R. Soc. Lond. A 460,24152436 (2004).

5. V. Gubernov, G. N. Mercer, and H. S. Sidhu, "Determining the Bogdanov-Takens bifurcation condition in nonadiabatic combustion waves", в печати Int. J. Bif. and Chaos 2005.

Другие публикации

1. P. V. Elyutin, A. V. Buryak, V. V. Gubernov, R. A. Sammut, I. N. Towers, "Interaction of two-dimensional Bose-Einstein solitons: chaos and energy exchange", Phys. Rev. E, 64, 016607 (2001).

2. V. Gubernov, "Chaotic dynamics of a single two-level atom in the field of plane standing electromagnetic wave", Phys. Rev. A, 66, 013408 (2002).

3. J. S. Kim and V. V. Gubernov, "On the Fast-Time Cellular Instabilities in the Linan's Diffusion Flame Regime", Comb. Sci. & Tech., 177, 991-1022 (2005).

4. V. V. Gubernov, H. S. Sidhu and G. N. Mercer, "The effect of ambient temperature on the propagation of nonadiabatic combustion waves", J. Chem. Math., 37, 149-162 (2005).

5. V. V. Gubernov, H. S. Sidhu, G. N. Mercer, "Combustion waves in a model with chain branching reaction", в печати J. Chem. Math. 2005.

6. V. V. Gubernov, H. S. Sidhu and G. N. Mercer, "Generalized Compound Matrix Method", в печати Appl. Math. Lett. 2005.

7. V. V. Gubernov and J. S. Kim, On the Fast-Time Oscillatory Instabilities of Linan's Diffusion-Flame Regime, в печати Combustion Theory and Modelling 2005.

Оглавление

Декларация i

Автореферат iii

Публикации vii

Глава 1 Введение

1.1 Классификация волн горения.

1.1.1 Стационарные плоские волны.

1.1.2 Нестационарная периодическая волна.

1.1.3 Другие нестационарные волны

1.1.4 Ячеистое пламя.

1.2 Обзор диссертации.

Глава 2 Функция Эванса

2.1 Введение.

2.2 Решение в виде бегущей волны

2.3 Задача линейной устойчивости и ее непрерывный спектр

2.4 Дискретный спектр и функция Эванса.

2.5 Свойства функции Эванса.

2.6 Численный метод расчета функции Эванса.

2.7 Метод составной матрицы.

2.8 Функция Эванса, метод составной матрицы и внешняя алгебра

2.8.1 Внешняя степень векторного пространства.

2.8.2 Вторая внешняя степень С4. Индуцированная система. Разложимость

2.8.3 Функция Эванса и оператор звездочка Ходжа.

3.2 Постановка задачи.36

3.3 Решение в виде бегущей волны .38

3.4 Анализ устойчивости.42

3.5 Заключение.45

Глава 4 Адиабатическое горение 47

4.1 Введение.47

4.2 Модель.51

4.3 Решение в виде бегущей волны .52

4.4 Устойчивость бегущего фронта .57

4.5 Асимптотические результаты.59

4.5.1 Условия скачка.59

4.5.2 Усеченная модель.61

4.5.3 Почти эквидиффузионная модель.63

4.5.4 Обобщенная усеченная модель.64

4.6 Численные результаты.65

4.7 Заключение.71

Глава 5 Неадиабатическое пламя. Стационарное решение 73

5.1 Введение.73

5.2 Модельные уравнения и решение в виде бегущей волны . 75

5.3 Метод сшивки асимптотического разложения для решения в виде бегущей волны.76

5.3.1 Зона прогрева.77

5.3.2 Зона продуктов .78

5.3.3 Внутренняя зона.79

5.3.4 Свойства бегущего фронта.82

5.4 Численное исследование решения в виде бегущего фронта . 83

5.4.1 Численная схема.86

5.4.2 Скорость бегущего фронта.90

5.4.3 Максимальная температура реакции.92

5.4.4 Остаточное количество не сгоревшего топлива.94

5.4.5 Затухание.97

5.5 Заключение.98

Глава 6 Не адиабатическое пламя. Устойчивость бегущего фронта 101

6.1 Введение.101

6.2 Задача линейной устойчивости.102

6.3 Метод сшивки асимптотических разложений для анализа линейной устойчивости .103

6.3.1 Зона прогрева.105

6.3.2 Зона продуктов .106

6.3.3 Условия скачка.107

6.3.4 Дисперсионное соотношение.110

6.3.5 Затухание и устойчивость .112

6.4 Метод функции Эванса для анализа задачи на линейную устойчивость .116

6.5 Численные результаты.118

6.5.1 Диаграмма Найквиста .120

6.5.2 Локализация нулей функции Эванса.123

6.5.3 Метод Ньютона-Рапсона для D(A) = 0.126

6.6 Заключение.131

Глава 7 Заключительные замечания и перспективы дальнейшей работы 133

7.1 Заключительные замечания.133

7.2 Дальнейшая работа.135

Приложение А Расчет собственных мод 139

Приложение В Алгоритм Невилла 141

Приложение С Затухание и бифуркация через ноль 143

Приложение D Бифуркация Богданова-Такенса 147

D.1 Теория возмущений. 148

4D.2 Численные результаты. 150

Список литературы 153

6.6 Заключение

В этой главе мы исследовали устойчивость стационарно распространяющегося фронта горения. Задача на линейную устойчивость решалась численно с помощью метода функции Эванса, расширенного методом составной матрицы. Детальное описание алгоритмов было дано в главе 3. В данной главе мы обобщили эти методы для их использования на неравномерной координатной сетке.

Мы даем детальное описание сценариев потери устойчивости при изменении параметров задачи. Было показано, что существует два основных способа возникновения неустойчивости в системе. Во-первых, если параметр тепловой потери меньше критического значения £а, то для фиксированного г (обратного числа Льюиса), стационарно распространяющийся фронт испытывает осцилля-торную неустойчивость через бифуркацию Хопфа при движении по "быстрой" ветке в сторону "медленной" ветки семейства автомодельных решений с((3, г, £). С другой стороны, если £ > £0, то для фиксированного г "быстрая" ветка устойчива, а "медленная " ветка неустойчива, возникновение неустойчивости происходит в точке затухания монотонным образом. В приложении С мы показали,

4tcl затухание всегда сопровождается бифуркацией через начало координат, когда точка дискретного спектра сдвигается из левой в правую полуплоскость (или наоборот). В приложении D мы даем более детальное описание бифуркации Богданова-Такенса и выводим аналитический критерий существования этого типа бифуркации. Мы так же сравниваем этот критерий с численными данными и показываем, что они отлично согласуются.

Критические значения параметров для бифуркации Хопфа и затухания были найдены в пространстве параметров для малых и умеренных значений т. Результаты сравниваются с предсказанием метода САР. Было показано, что для области параметров, рассмотренных в этой главе, асимптотический анализ дает качественно правильную картину возникновения неустойчивости.

Глава 7

Заключительные замечания и перспективы дальнейшей работы

7.1 Заключительные замечания

В данной диссертации с использованием метода функции Эванса мы успешно провели математическое и численное исследование пульсирующих неустойчи-востей, возникающих в процессе распространения фронта плоского пламени. Свойства стационарно распространяющихся волн горения изучались численно с помощью методов стрельбы и релаксации. Исследование было проведено для адиабатической и не адиабатической модели горения, описывающих распространение пламени в однородной топливной смеси в одномерном случае.

В главе 2 мы разрабатываем основные методы, используемые в данной диссертации, для исследования устойчивости систем типа реакция-диффузия. Мы рассматриваем задачу на линейную устойчивость для общего класса уравнений типа реакция-диффузия с двумя компонентами, которая формулируется спектральная задача для дифференциального оператора, полученного с помощью линеаризации основных ДУЧП около плоского автомодельного решения. Мы продемонстрировали, что устойчивость системы полностью определяется дискретным спектром этого оператора. Для исследования расположения точек дискретного спектра на комплексной плоскости, вводится функция Эванса как аналитическая функция, нули которой совпадают с точками дискретного спектра. Здесь мы также представляем различные способы определения функции Эванса и показываем, как эти определения связаны друг с другом. Мы демонстрируем основные свойства функции Эванса. Особое внимание уделяется численным алгоритмам расчета функции Эванса.

Главные численные методы, используемые в данной работе, представлены в главе 3. Методы стрельбы и релаксации используются для нахождения решения в виде бегущей волны уравнений типа реакция-диффузия в этой диссертации. Анализ устойчивости плоской волны горения проводится численно с помощью расчета функции Эванса. Задача на линейную устойчивость для бегущей волны горения - это пример жесткой задачи. Мы дополняем стандартный алгоритм для расчета функции Эванса методом составной матрицы, который убирает жесткость и делает задачу линейной устойчивости поддающейся численному изучению. Затем мы вводим простой численный критерий потери устойчивости стационарно распространяющегося решения, основанный на технике диаграммы Найквиста. Этот критерий позволяет нам найти критические значения параметров для возникновения неустойчивости и тип происходящих бифуркаций. Мы успешно откалибровали эти численные алгоритмы на примере автокаталитической реакции, включающей два химических реагента в одномерном случае.

В главах 4-6 мы исследовали свойства и устойчивость плоских фронтов горения в системах с потерей тепла и без нее. Мы показали, что в адиабатическом приближении решение существует для всех значений параметров. Скорость фронта была определена численно и сравнивалась с аналитическими результатами, полученными методом сшивки асимптотических разложений. Согласие между численными и аналитическими результатами оказалось хорошим для больших значений /3 (отношения энергии активации к тепловыделению) и т ~ 1 (обратное число Льюиса), в то время, как для умеренных значений (3 или для т порядка (3различие существенно.

В не адиабатическом приближении решения или не существуют или существуют два решения с различными значениями скорости фронта, называемые "быстрым" и "медленным". Из-за сильного изменения характерных масштабов длины решения в областях прогрева, продуктов и реакции численные алгоритмы были модифицированы с использованием неравномерной координатной сетки. После этого мы смогли исследовать свойства автомодельных решений, такие как скорость фронта, максимальная температура реакции, остаточное количество топлива, не сгоревшего в ходе реакции (последнее не может быть найдено ни численно с помощью интегрирования ДУЧП, ни аналитически с помощью метода САР), и предел затухания для широкой области параметров. Численные результаты сравнивались с предсказанием метода сшивки асимптотических разложений. Как и в не адиабатическом случае различие между численными и асимптотическими данными оказалось существенным для малых и умеренных значений (3 и становилось менее существенным для больших значений /3, в особенности когда т = 1. Как в адиабатическом, так и в не адиабатическом случаях методы, развитые в данной диссертации, позволяют продолжить автомодельные решения на области параметров, где плоская волна становится неустойчивой. Это важно для исследования поведения собственных значений в правой полуплоскости и не может быть сделано в ДУЧП формулировке.

Метод функции Эванса, дополненный методом составной матрицы, использовался для изучения задачи линейной устойчивости. Результаты, полученные с помощью этого подхода, сравнивались с предсказаниями асимптотических моделей. Оказалось, что в адиабатическом приближении классические асимптотические модели, полученные с помощью усечения асимптотического разложения, позволяют получить только качественную картину устойчивости фронта, в то время как обобщенная усеченная модель Schult (1999) дает лучшее согласие с численными данными.

В не адиабатическом случае метод функции Эванса позволяет нам получить детальное описание сценариев возникновения неустойчивости при изменении параметров. Мы показали, что существуют два сценария возникновения неустойчивости в системе. Во-первых, если параметр потери тепла меньше критического значения £а (соответствующего бифуркации Богданова-Такенса), то для фиксированного т стационарно распространяющийся фронт испытывает осцилляторную неустойчивость через бифуркацию Хопфа при движении из "быстрой" в "медленную" ветку решений по семейству с(/3, т, С). С другой стороны, если £ > £0, то для фиксированного т "быстрая" ветка устойчива, а "медленная" ветка неустойчива и потеря устойчивости происходит в точке затухания монотонным образом. Этот сценарий потери устойчивости был также исследован методом теории возмущения, который позволяет нам связать свойства решения в виде бегущей волны, такие как затухание, с его устойчивостью. Критические значения параметров для бифуркации Хопфа, Богданова-Такенса и затухания были найдены в пространстве параметров для малых и умеренных значений т. Результаты сравнивались с предсказанием асимптотического анализа справедливого в пределе /3 1. Было показано, что в области параметров, рассмотренных в данной диссертации, асимптотический анализ дает правильное качественное описание потери устойчивости. Мы также вывели аналитический критерий для существования бифуркации Богданова-Такенса с помощью теории возмущения. Этот критерий связывает некоторые свойства симметрии автомодельного решения с его линейной устойчивостью.

7.2 Дальнейшая работа

Метод функции Эванса является новым для исследования устойчивости волн горения и открывает прекрасные возможности для дальнейших исследований в этой области теории горения. Мы посвятим остаток этой главы обсуждению нескольких перспективных направлений дальнейшей работы, которые вытекают из результатов представленных в данной диссертации.

Текущие исследования могут быть продолжены для моделей с цилиндрической геометрией. Как указано во введении к данной диссертации, помимо пульсирующих неустойчивостей, рассмотренных в данной работе, существуют другой тип неустойчивостей, а именно: поперечные неустойчивости. Последние в комбинации с пульсирующими неустойчивостями могут приводить к образованию периодических волн. Другой сценарий потери устойчивости стационарно распространяющихся плоских волн происходит, когда волна становится неустойчивой по отношению только к поперечным возмущениям. Это приводит к формированию ячеистого пламени. В обоих случаях задача линейной устойчивости может быть сформулирована аналогичным образом, с тем как это было сделано в данной диссертации, а именно: в форме системы линейных ОДУ, включающих две неизвестные функции единственной координаты в системе отсчета, бегущей с плоской волной вдоль оси цилиндра. Различие между одномерным случаем, рассмотренным в этой работе, и двух или трехмерным пламенем состоит в том, что задача линейной устойчивости теперь зависит от поперечной структуры возмущения через волновой вектор, который входит в ОДУ как дополнительный параметр. Однако, структура задачи на линейную устойчивость как система линейных ОДУ в одном измерении говорит о том, что метод функции Эванса может быть использован для исследования этих систем.

Метод функции Эванса также может быть использован для исследования устойчивости автомодельных решений в моделях с другими типами геометрии. Ключевым моментом применимости метода является возможность сформулировать задачу на линейную устойчивость в виде системы ОДУ в одном пространственном измерении (например, как в модели со сферической геометрией, описывающей огненные шары (Dold et al. 2003)).

Другое возможное продолжение нашей работы состоит в изучении влияния конечной температуры внешней среды на распространение фронта горения. Внешняя температура, пожалуй, является наиболее простым и естественным контрольным параметром в экспериментальном исследовании волн горения. Мы ожидаем, что это приведет только к количественной (не качественной) разнице в результатах.

Наконец, модель, рассмотренная в этой диссертации, основана на одно ступенчатом механизме реакции. Предполагалось, что топливо напрямую превращается в продукты и тепло в ходе единственного шага реакции. Однако, во многих реакциях множество шагов каждый со своими промежуточными химическими соединениями должны быть учтены, если мы хотим получить реалистическое описание кинетики пламени. Для того чтобы смоделировать эти процессы более сложные кинетические схемы, такие как двух ступенчатые схемы, были рассмотрены (Dold et al. 2003). Мы считаем, что подход, развитый в данной диссертации, может быть применен для анализа устойчивости моделей со сложной химией горения, включая многоступенчатые реакции. Рассмотрение многоступенчатых реакций увеличит число основных ДУЧП в модели. Это приведет к увеличению размерности векторного пространства, в котором производится анализ устойчивости, как это описано уравнением (2.56). Например модель с двухступенчатым механизмом реакции в общем описывается системой трех ДУЧП. В этом случае мы можем ожидать, что число ОДУ в задаче на линейную устойчивость будет равно двенадцати. Это по прежнему разумное число, если речь идет о численном интегрировании. Поэтому мы убеждены, что методы, описанные в этой диссертации, могут быть использованы для анализа устойчивости решений в моделях с много ступенчатыми механизмами реакции.

1. Alexander J, Gardner R and Jones С К RT (1990). A topological invariant arising in the stability analysis of the travelling waves, J. Reine Angew. Math. 410,167212.

2. Alexander J, Grillakis M G, Jones С К R T and Sandstede В (1997). Stability of pulses on optical fibers with phase-sensitive amplifiers, Z. Angew. Math. Phys. 48, 175-192.

3. Alexander J and Jones С К R T (1993). Existence and stability of asymptotic oscillatory triple pulses, Z. Angew. Math. Phys. 44, 189-200.

4. Alexander J and Jones С К R T (1994). Existence and stability of asymptotic oscillatory double pulses, J. Reine Angew. Math. 446, 49-79.

5. Alexander J and Sachs R (1995). Linear stability of solitary waves of a Boussinesq-type equation: a computer assisted computation, Nonlinear World 2, 471-507.

6. Allen L A and Bridges T J (2002). Numerical exterior algebra and the compound matrix method, Numerische Mathematik 92, 197-232.

7. Aronson D G and Weinberger H F (1978). Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics, Adv. Math. 30, 33-76.

8. Balmforth N J, Craster R V and Malham S J A (1999). Unsteady fronts in an autocatalytic systems, Proc. R. Soc. bond. A 455, 1401-1433.

9. Bayliss A and Matkowsky В J (1990). Two routes to chaos in condensed phase combustion, SI AM J. Appl. Math. 50, 437-459.

10. Bayliss A and Matkowsky В J (1999). Interaction of counterpropagating hot spots in solid fuel combustion, Physica D 128, 18-40.

11. Bayliss A, Matkowsky В J and Aldushin A P (2002). Dynamics of hot spots in solid fuel combustion, Physica D 166, 104-130.

12. Bazant M Z and Stone H A (2000). Asymptotics of reaction-diffusion fronts with one static and one diffusing reactant, Physica D 147, 95-121.

13. Benguria R D, Cisternas J and Despassier M С (1995). Variational calculations for thermal combustion waves, Phys. Rev. E 52, 4410-4413.

14. Beijguria R D and Despassier M С (1995). A variational principle for the asymptotic speed of fronts of the density-dependent diffusion-reaction equation, Phys. Rev. E 52, 3285-3287.

15. Benguria R D and Despassier M С (1996a). The speed of fronts of the reaction-diffusion equation, Phys. Rev. Lett. 77, 1171-1173.

16. Benguria R D and Despassier M С (19966). A variational principle for eigenvalue problems of Hamiltonian systems, Phys. Rev. Lett. 77, 2847-2850.

17. Benguria R D and Despassier M С (1998). The speed of fronts of generalized reaction-diffusion equations, Phys. Rev. E 57, 6493-6496.

18. Billingham J and Mercer G N (2001). The effect of heat loss on the propagation of strongly exothermic combustion waves, Combust. Theory Modelling 5, 319342.

19. Billingham J and Needham D J (1991). The development of travelling waves in quadratic and cubic autocatalysis with unequal diffusion rates. I. Permanent form of travelling waves., Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 334, 1-24.

20. Booty M R, Margolis S В and Matkowsky В J (1987). Interaction of pulsating and spinning waves in nonadiabatic flame propagation, SIAM J. Appl. Math. 47, 1241-1286.

21. Brailovsky I and Sivashinsky G (1993). Chaotic dynamics in solid fuel combustion, Physica D 65, 191-198.

22. Bridges T J (1999). The Orr-Sommerfeld equation on a manifold, Proc. R. Soc. Lond. A 455, 3019-3040.

23. Bridges T J and Derks G (1999a). Hodge duality and the Evans function, Phys. Lett. A 251, 363-372.

24. Bridges T J and Derks G (19996). Unstable eigenvalues and the linearization about solitary waves and fronts with symmetry, Proc. R. Soc. Lond. A 455, 24272469.

25. Bridges T J and Derks G (2001). The symplectic Evans matrix, and the instability of solitary waves and fronts with symmetry, Arch. Rat. Mech. Anal. 156,1-87.

26. Bush W В and Fendell F E (1970). Asymptotic analysis of laminar flame propagation for general Lewis numbers, Combust. Sci. Technol. 1, 421-428.

27. Cash J R and Singhal A (1982). High order methods for the numerical solution of two-point boundary value problems, BIT 22, 184-199.

28. Darling R W R (1994). Differential forms and connections, Cambridge University Press, Cambridge.

29. Davey A (1979). On the removal of the singularities from the Riccati method, J. Сотр. Phys. 30, 137-144.

30. Davey A (1983). An automatic orthonormalization method for solving stiff boundary-value problems, J. Сотр. Phys. 51, 343-356.

31. Derks G, Doelman A, van Gils S A and Visser T (2003). Travelling waves in a singularly perturbed sine-Gordon equation, Physica D 180, 40-70.

32. Dieci L, Russell R D and Van Vleck E S (1994). Unitary integrators and applications to continuous orthonormalization techniques, SIAM J. Numer. Analysis 31, 261-281.

33. Dold J W, Weber R 0, Thatcher R W and Shah A A (2003). Flame balls with thermally sensitive intermediate kinetics, Combust. Theory Modelling 7, 175203.

34. Drazin P G and Reid W H (1981). Hydrodynamic stability, Cambridge University Press, Cambridge.

35. Eckhaus W (1973). Matched asymptotic expansions and singular perturbations, North-Holland Pub. Co., Amsterdam.

36. Evans J D and King J R (2000). On the derivation of heterogeneous reaction kinetics from a homogeneous reaction model, SIAM J. Appl. Math. 60, 1977-1996.

37. Evans J W (1972). Nerve axon equations: III Stability of the nerve impulses, Indiana Univ. Math. J. 22, 577-594.

38. Evans J W (1975). Nerve axon equations: IV The stable and unstable impulse, Indiana Univ. Math. J. 24,1169-1190.

39. Frankel M, Roytburd V and Sivashinsky G (1994). A sequence of period doublings and chaotic pulsations in a free boundary problem modelling thermal instabilities, SIAM J. Appl. Math. 54, 1101-1112.

40. Fuks В A and Levin V I (1961). Functions of a complex variable and some of their applications, Pergamon Press, Oxford.

41. Gardner R (1991). Stability of travelling wave solutions of diffusive predator-prey systems, Tran. Amer. Math. Soc. 327, 465-524.

42. Gorshkov К A and Ostrovsky L A (1981). Interactions of solitons in nonintegrable systems: direct perturbation method and applications, Physica D 3, 428-438.

43. Gort G and Brouwers J J H (2001). Theoretical analysis of the propagation of a reaction front in a packed bed, Combust. Flame 124, 1-13.

44. Gray P and Scott S К (1984). Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: oscillations and instabilities in the system A + 2В —> 3В, B-+C, Chem. Eng. Sci. 39, 1087-1097.

45. Grindrod P D (1991). Patterns and waves. The theory and applications of reaction-diffusion equations, Claredon Press, Oxford.

46. Gubernov V V, Mercer G N, Sidhu H S and Weber R О (2002). On the Evans function calculation of the stability of combustion waves, Australia Math. Soc. Gazette 29, 155-163.

47. Gubernov V V, Mercer G N, Sidhu H S and Weber R О (2003a). Evans function stability of combustion waves, SIAM J. Appl. Math. 63, 1259-1275.

48. Gubernov V V, Mercer G N, Sidhu H S and Weber R О (20036). Numerical methods for the analysis of travelling waves in reaction-diffusion equations, ANZIAM J: 44(E), C271-C289.

49. Gubernov V V, Mercer G N, Sidhu H S and Weber R О (2004). Evans function stability of nonadiabatic combustion waves, Proc. R. Soc. Lond. A 460, 24152436.

50. Guckenheimer J and Holmes P (1983). Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York.

51. Hairer E (1987). Solving ordinary differential equations, Springer-Verlag, New York.

52. Henry D (1981). Geometric theory of semilinear parabolic equations, Springer-Verlag, Berlin; New York.

53. Hermann R (1968). Differential geometry and the calculus of variations, Academic Press, New York.

54. Joulin G and Clavin P (1979). Linear stability analysis of nonadiabatic flames: diffusional thermal model, Combust. Flame 35, 139-153.

55. Kadowaki S (1999). The lateral movement of the three-dimensional cellular flame at low Lewis numbers, Int. J. Heat Fluid Flow 20, 649-656.

56. Kadowaki S (2001). The body-force effect on the cell formation of premixed flames, Combust. Flame 124, 409-421.

57. Kagan L and Sivashinsky G (1997). Self-fragmentation of nonadiabatic cellular flames, Combust. Flame 108, 220-226.

58. Kapitula T (1996). Existence and stability of singular heteroclinic orbits for the Ginzburg-Landau equation, Nonlinearity 9, 669-685.

59. Kapitula T (1998). Stability criterion for bright solitary waves of the perturbed cubic-quintic Schrodinger equations, Physica D 116, 95-120.

60. Kapitula T (1999). The Evans function and generalized Melnikov integrals, SI AM J. Math. Anal. 30, 273-297.

61. Kapitula T and Sandstede В (1998). Stability of bright solitary wave solutions to perturbed nonlinear Schrodinger equations, Physica D 124, 58-103.

62. Kolmogorov A N, Petrovskii I G and Piskunov N S (1988). Study of the diffusion equation with growth of the quantity of matter and its application to a biology problem. In Dynamics of curved fronts (ed. P. Ре1сё), pp. 105-130, Academic Press, London.

63. Korn G A and Korn T M (1968). Mathematical handbook for scientists and engineers, McGraw-Hill, New York.

64. Y A and Promislow К (2000). The mechanism of the polarizational mode instability in birefringent fiber optics, SIAM J. Math. Anal. 31, 1351-1373.1.chtenberg A J and Lieberman M A (1983). Regular and stochastic motion, Springer-Verlag, New York.

65. Makino A (2001). Fundamental aspects of the heterogeneous flame in the self-propagating high-temperature synthesis (SHS) process, Prog. Energy Combust. Sci. 27, 1-74.

66. Margolis S В (1980). Bifurcation phenomena in burner-stabilized premixed flames, Combust. Sci. Technol. 22, 143-169.

67. Margolis S В (1983). An asymptotic theory of two-phase flame propagation, SIAM J. Appl. Math. 43, 351-369.

68. Margolis S В (1991a). The transition to nonsteady deflagration in gasless combustion, Prog. Energy Combust Sci. 17, 135-162.

69. Margolis S В (19916). Two routes to chaos in condensed phase combustion, Proc. R. Soc. Lond. A 433, 131-150.

70. Margolis S В and Matkowsky В J (1983). Stability and bifurcation in the transition from laminar to turbulent flame propagation, Combust. Sci. Technol. 34, 4577.

71. Margolis S В and Sivashinsky G I (1984). Flame propagation in vertical channels: bifurcation to bimodal cellular flames, SIAM J. Appl. Math. 44, 344-368.

72. Margolis S В and Williams F A (1989). Diffusional/thermal instability of a solid propellant flame, SIAM J. Appl. Math. 49, 1390-1420.

73. Matkowsky В J and Olagunju D О (1980). Propagation of a pulsating flame front in a gaseous combustible mixture, SIAM J. Appl. Math. 39, 290-300.

74. Matkowsky В J and Olagunju D О (1981). Pulsations in a burner-stabilized premixed plane flame, SIAM J. Appl. Math. 40, 551-562.

75. Matkowsky В J and Sivashinsky G I (1978). Propagation of a pulsating reaction front in solid fuel combustion, SIAM J. Appl. Math. 35, 465-478.

76. Matkowsky В J and Sivashinsky GI (1979). An asymptotic derivation of two models in flame theory associated with the constant density approximation, SIAM J. Appl. Math. 37, 686-699.

77. Matkowsky В J and Volpert V (1994). Spiral gasless condensed phase combustion, SIAM J. Appl. Math. 54, 132-146.

78. Mcintosh A C, Weber R О and Mercer G N (2002). Non-adiabatic combustion waves for general Lewis numbers: wave speed and extinction conditions, submitted ANZIAM J. .

79. Mercer G N, Weber R 0 and Sidhu H S (1998). An oscillatory route to extinction for solid fuel combustion waves due to heat losses, Proc. R. Soc. bond. A 454, 2015-2022.

80. Merzhanov A G (2002). SHS processes in microgravity activities: first experimentsin space, Adv. Space Res. 29, 487-495. Merzhanov A G and Rumanov E N (1999). Physics of reaction waves, Rev. Mod.

81. Phys. 71, 1173-1211. Miller J R (2001). Stability of solitary waves in a complex modified KdV system,

82. Reaction parameters, Prog. Mater. Sci. 39, 243-273.

83. Murray J D (1977). Lectures on nonlinear-differential-equation models in biology,

84. Pearlman H G (1997). Excitability in high-Lewis number premixed gas combustion,

85. Combust. Flame 109, 382-398. Pearlman H G and Ronney P D (1994). Near-limit behavior of high-Lewis number premixed flames in tubes at normal and low gravity, Phys. Fluids 6,4009-4018.

86. Pego R L, Semerka P and Weinstein M I (1992). Eigenvalues, and instabilities of solitary waves, Phil. Trans. R. Soc. London A 340, 47-94.

87. Pego R L, Semerka P and Weinstein M I (1993a). Oscillatory instability of traveling waves for a KdV-Burgers equation, Physica D 67, 45-65.

88. Pego R L and Weinstein M I (1997). Convective linear stability of solitary waves for Boussinesq equations, Stud. Appl. Math. 99, 311-375.

89. Pelinovsky D E, Kivshar Y S and Afanasjev V V (1998). Internal modes of envelope solitons, Physica D 116, 121-142.

90. Pelinovsky D E and Sheel A (2003). Stability analysis of stationary light transmission in nonlinear photonic structures, J. Nonlin. Sci., to appear 2003

91. Press W H, Teukolsky S A, Vetterling W T and Flannery W T (1992). Numerical recipes in C: The art of scientific computing, Cambridge University Press, Cambridge.

92. Rubin J E and Jones С К R T (1997). Bifurcations and edge oscillations in the semiconductor Fabry-P6rot interferometer, Opt. Comm. 140, 93-98.

93. Sandstede В (2002). Stability of travelling waves, In: Handbook of Dynamical Systems II, Elsevier.

94. Schult D A (1999). Matched asymptotic expansions and the closure problem for combustion waves, SIAM J. Appl. Math. 60, 136-155.

95. Shkadinskii К G, Khaikin В I and Merzhanov A G (1971). Propagation of the pulsating exothermic reaction front in the condensed phase, Combust. Expl. Shock Waves 7, 15-22.

96. Sivashinsky G I (1975). Structure of busen flames, J. Chem. Phys. 62, 638-643.

97. Sivashinsky GI (1977). Diffusional-thermal theory of cellular flames, Combust. Sci. Technol. 15, 137-146.

98. Sivashinsky G I (1980). On flame propagation under conditions of stoichiometry, SIAM J. Appl. Math. 39, 67-82.

99. Sivashinsky G I (1981). On spinning propagation of combustion waves, SIAM J. Appl. Math. 40, 432-438.

100. Sivashinsky G I and Matkowsky В J (1981). On the stability of nonadiabatic flames, SIAM J. Appl. Math. 40, 255-260.

101. Skelton E R (1988). Dynamic systems control, Wiley, New York.

102. Straughn В and Walker D W (1996). Two very accurate and efficient methods for computing eigenvalues and eigenfunctions in porous convection problems, J. Comput. Phys. 127, 128-141.

103. Swinton J and Elgin J (1990). Stability of the travelling pulse solutions to a laser equation, Phys. Lett. A 145, 428-433.

104. Terman D (1990). Stability of planar wave solutions to a combustion model, SIAM J. Math. Anal. 21, 1139-1171.

105. Vakhitov N G and Kolokolov A A (1973). Stationary solutions of the wave equation in a medium with nonlinear saturation, Radiophys. Quant. Electron. 16, 783789.

106. Van Loon P M and Mattheij R M M (1988). Stable continuous orthonormalization techniques for linear boundary value problems, J. Austral. Math. Soc. B29, 282-295.

107. Volpert A I, Volpert V A and Volpert V A (1991). Traveling wave solutions of parabolic systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island.

108. Volpert V A and Volpert V A (1991). Propagation velocity estimation for condensed phase combustion, SIAM J. Appl. Math. 51, 1074-1089.

109. Weber R 0, Balakrishnan E and Wake G С (1998). Critical initial conditions for spontaneous thermal ignition, J. Chem. Soc., Faraday Trans. 94, 3613-3617.

110. Weber R O, Mercer G N, Sidhu H S and Gray В F (1997). Combustion waves for gases (Le = 1) and solids (Le oo), Proc. R. Soc. Lond. A 453, 1105-1118.

111. Witelski T P, Ono К and Kaper T J (2001). Critical wave speeds for a family of scalar reaction-diffusion equations, Appl. Math. Lett. 14, 65-73.

112. Wolf A, Swift J B, Swinney H L and Vastano J A (1985). Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica D 16, 285-317.

113. Xin J (2000). Front propagation in heterogeneous media, SIAM Rev. 42, 161-230.

114. Zeldovich Y B, Barenblatt G I, Librovich V В and Makhviladze G M (1985). The mathematical theory of combustion and explosions, Consultants Bureau, New York.