Невозрастающие перестановки и максимальные функции, измеряющие средние колебания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Одеський державний університет ім. 1.1. Мечникова

Лернер Андрій Костянтинович

Незростаючі перестановки і максимальні функції, що вимірюють середні коливання

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

УДК 517.5

Одеса -1998

Работа виконана на кафедрі математичного аналізу Одеського державного університету ім. І.І.Мечникова

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Коляда Віктор Іванович (Одеський державний університет).

Офіційни опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Шевчук Ігорь Олександрович (Інститут математики НАН України),

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Крякін Юрій Володимирович (Одеський державний політехнічний університет).

Провідна установа: Дніпропетровський державний університет

Захист відбудеться 44 1998р. о годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при Одеському державному університеті ім. 1.1. Мечникова за адресою: 270026, м.Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд. 73.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського державного університету за адресою:

270026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий * 1998р.

Вчений секретар *

спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Поняття функції з обмеженим середнім коливанням (ВМО) було вперше застосовано Джоном та Ніренбергом в роботі "On functions of bounded mean oscillation// Comm. Pure Appl. Math. - 1961. - V.14.

- P.415-426”. У цій же роботі отримано основну нерівність для функцій із ВМО, із якої, зокрема, витікає, що функція із ВМО локально належить будь-якому І? при р < 00. Разом с цим простір ВМО містить і необмежені функції "логарифмічного” типу. В роботах Спанне (1966), Стейна (1967) було показано, що багато які важливі сингулярні інтегральні оператори відображають L°° в ВМО.

Інтенсивний розвиток ВМО почався в 1971 році, коли Ч.Фефферман довів, що ВМО с двоїстим простором до простору Харді Н1. Цей результат із доведенням викладено в фундаментальній праці Ч.Феффермана та Стейна "Нр spaces of several variables// Acta Math. - 1972. - V.129. - P.137-193”. В цій роботі була введена максимальна функція /^, яка вимірює середні коливання, та доведено ряд важливих властивостей цієї функції. Ефективне застосування функції при дослідженні інтегральних операторів було продемонстровано також в работі Кордоби та Ч.Феффермана (1976).

Одним із важливих методів дослідженая операторів с вивчення оцінок відповідних перестановок. Систематично перестановки функцій почали вивчатись в роботах Харді та Літлвуда (1928,1930). Перестановки мають численні застосування в питаннях наближення функцій, гармонічного аналізу, інтерполяції операторів. В 1S81 р. Беннет, ДеВор і Шарплі отримали оцінку, що пов’язує перестановки функцій / та Цей результат також викладено в монографії "Bennett С., Sharpley R. Interpolation of operators.- New York: Acad.Press, 1988”. Відзначимо, що крім інтерполяційних результатів, із нього легко виводиться теорема Джона-Ніренберга, а також теорема Феф-фермана -Стейна про функцію /^. На ваговий випадок нерівність Беннета, ДеВора і Шарплі була перенесена в роботі Багбі та Курца (1985).

Крім функції /^, в дисертації вивчається інша функція - Mf /, яка тісно

пов’язана із визначеням ВМО. Ця функція була введена в роботах Джона (1965), Стрьомберга (1979) і детально вивчалась Явертом і Торчинским (1985).

В представленій роботі також вивчаються максимальні функції , М£в/,

які асоційовані із довільним диференційним базисом 03. Із диференційними базисами та їх застосуваннями можна познайомитись в монографії ” І^сман М. Дифференцирование интегралов в - М.: Москва, 1978”.

Зв’язок роботи з науковими темами. Дисертаційна робота являє собою частину наукових досліджень, які виконувались на кафедрі математичного анашзу Одеського державного університету Зм. І.І. Мечникова в рамках проектів "Теорія функцій дійсної та комплексної змінної”, "Вкладення, наближення та локальні властивості функціональних просторів”.

Мета роботи. Дисертація присвячена дослідженню максимальних функцій, що вимірюють середні коливання за допомогою незростаючих перестановок. Поруч із кубічними максимальними функціями, особлива увага приділяється максимальним функціям за довільними диференційними базисами.

Методика дослідження. Основний метод - оцінки незростаючих перестановок. При цьому застосовується широке коло методів і понять метричної теорії функцій, диференціювання інтегралів, гармонічного аналізу.

Наукова новизна. Найважливіші результати дисертації полягають в слідуючому:

1. Отримана вагова оцінка перестановки довільної вимірної функції в термінах локальної шарп-фуикції Джона-Стрьомберга.

2. Показано, що для широкого класу диференційних базисів відповідні максимальні функції задовольняють нерівностям типу Беннета, ДеВора і Шарплі.

3. Отримана оцінка перестановки сильної максимальної функції Феффер-мана - Стейна для функцій з анізотропного класу Гьольдера, остаточна при достатньо загальних обмеженях.

Всі перераховані результати є новими.

Теоретична та практична цінність роботи. Дисертація має теоретичний

з

характер. її результати та методи можуть застосовуватись в різних областях теорії функцій, при досліджені ряду операторів гармонічного аналізу.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на міжнародних конференціях "Ряди Фур’с: теорія і застосування” (Кам’янець - Подільский, 1997 р.), "Теория приближений и гармонический анализ” (Туга, 1998 р.). Результата також неодноразово доповідались на семінарі із теорії функцій при кафедрі математичного аналізу Одеського університету (керівник - проф. Е.О. Стороженко).

Публикації. За темою дисертації автором опубліковано 6 робот, їх перелік наведено наприкінці автореферату.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу та чотирьох розділів, викладених на 102 сторянок машинописного тексту. Бібліографія містить 51 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі зроблено короткий огляд літератури по темі дисертації, формулюються задачі дослідження та наводиться анотація основних результатів дисертації.

В першому розділі зібрані добре відомі питання. Це незростаючі перестановки, максимальна функція Харді-Літлвуда (кубічна та сильна), лема Кальдерона - Зігмунда, вагові функції, умови Макенхаупта, нерівності Харді, функції із обмеженим середнім коливанням (нерівність Джона-Ніренберга).

Максимальні функції /#, Mf / визначаються, відповідно, рівностями

/*(*) = sup і]' \f(y)-fQ\dy,

QBx ІУІ

Mff(x) = sup inf ((/ - c)x0)*(X\Q\) (0 < A < 1), де /q — |Q|-1 I f(t)dt, а верхню межу беремо по всім кубам Q С R”, що JQ

містять точку х. Беннет, ДеВор і Шарплі в 1981 р. довели наступну нерівність: для довільної функції / Є L}x(Rn) та будь-якого куба Q С R"

(/■x,rw-(f-x,m <<<(/*)*«ло (о < t < iqi/6), (і)

де /*(<) - незростаюча перестановка функції /, = | /о /*(ТМТ-

вагового випадку нерівність (1) була перенесена в роботі Багбі і Курца:

т < <ґт)+/*(2<) (о < і < оо), (2)

де вага ш задовільняє Аоо - умові Макенхаупта.

При вивченні оцінок перестановок деяких максимальних та сингулярних інтегральних операторів з’ясувалось, що оцінка (2), взагалі кажучи, неточна, тобто якщо в якості / в нерівності (2) покласти де А - певний оператор, то ми не отримаємо точних оцінок. Це свідчить про те, що різниця

т-кт .

має бути викладена в більш тонких термінах, ніж /^. Більша частина другого розділу дисертації присвячена питанню про посилення нерівності (2). Тут показано, що важливу роль в подібних оцінках грає максимальна функція М*/(і). Легко побачити, що для всіх х

М*ї(х)<^#{х). .

В роботі Яверта і Торчинського було встановлено, що функція /^(я) це, по суті, максимальна функція Харді-Літлвуда від Mff(x): ^

. /#(і)хММа#/(ї) (0 < А < А0(п)). (3)

Цей результат показує, що в ряді випадків можна ефективно застосовувати функцію Mff замість /#.

Тепер сформулюємо один із основних результатів другої глави.

Теорема 2.1. Нехай и Є Аж. Для довільної вимірної функції / і будь-якого куба (} справедлива нерівеність

(/Х0Ш < 2{{м!/)х,т + (ГхЛт (о < * < <Ц0)), (4)

де 0 < А < Ао(ш). (В теоремі 2.1 доведено більш загальне твердження. Тут ми наводимо найважливіший окремий випадок.)

^Тут і » подальшому запхс Ті/(і) ж Тз/(х) озяодк* що справедлива верівеність сіТІ/(е) < Тз/(г) < сі7і/(ї) Ь постискхия сі, які ке залежать від / та г.

При доведені цієї теореми, в основному, застосовувались властивості перестановок та лема про покриття типу леми Кальдерона-Зігмунда.

На основі нерівеності (4) вдалось отримати в більш систематизованій та доступній формі (і в ваговому випадку) деякі результати роботи Яверта та Торчинського. Ці результати містяться в теоремах 2.2 н 2.3. В теоремі 2.3, наприклад, доводиться ваговий аналог нерівності (3). Окрім того, із теореми 2.1 легко витікають вагові аналоги нерівності Беннета, ДеВора і Шарплі (1), а також нерівності Джона-Ніренберга. Означені нерівності складають зміст теорем 2.4 та 2.5. Далі, якщо в (4) перейти до границі при Я -+ К4, то отримаємо оцінку

т < 2(М*Ш2і) + 02і) (0 < і < 00, А < АоМ). (5)

Ця оцінка, на відміну від (2), дозволяє встановити нерівності, що пов’язують перестановки деяких максимальних та сингулярних інтегральних операторів.

В теоремі 2.6 ми доводимо оцінку (цей результат без доведення і в окремому випадку приводиться в роботі Яверта і Торчинського):

М*(М/){х) < с„,л/#(х).

В теоремі 2.7 наводиться основна ідея доведення відомої нерівності

МА#(Г/)(І)<с„,лМ/(х).

ТУт Tf - класичний сингулярний інтегральний оператор Кальдерона-Зигмунда з ядром к(х), що задовільшге умовам:

|%)| < Л-, / к(х)йх = 0 (0<Л1<Л2< оо),

І1' Л,ф|<Лг

(М<МДо,>0).

Із теорем 2.6, 2.7 і нерівності (5) одразу випливають результати, доведені іншим методом в роботах Багбі та Курца (1985, 1986):

(м/ш < с(/#);(20 + (м/да) (о < * < со), (6)

(Г/Ш < с(МІ)'и(2і) + (ТШ(21) (0 < I < оо).

Потрібно відзначити, що із теорем 2.1-2.6 принципово новою є лише теорема 2.1, а теорема 2.5 була відома. Але всі твердження, що ми доводили, відіграють важливу роль і вони доведені на основі единого підходу (використовувалась нерівність (4)). Раніше, звичайно, ці теореми були доведеш іншими методами (а теореми 2.2-2.4 були відомі лише для невагового випадку).

Продовжимо огляд результатів другого розділу. Нерівність (5) в неваго-вому випадку дозволяє отримати оцінки перестановок деяких операторів, що діють в ВМО. Із (5) та оцінки К - функціонала для пари (і1,1/°°) легко довести наступну теорему.

Теорема 2.8. Нехай субадитивний оператор Т мас слабкий тип (1,1) і діє обмежено із Ь°° в ВМО. Тоді для всіх / Є Ь1+Ьсо(Ші) з (Т/)*(+оо) = О справедлива нерівність

(Т/)*(і)<с^Г(*) + /£^т) (0 < і < оо).

Ця нерівність для класичних операторів Кальдерона-Зигмунда була доведена в роботі Багбі та Курца (1986) (раніше вона була відома для перетворення Гільберта (Беннет, Рудник,1980)).

Наступна теорема доводиться аналогічно як і теорема 2.8, але тут застосовується оцінка К - функціонала для (і1, ВМО) (Беннет, Шарплі 1979).

Теорема 2.9. Нехай субадитивний оператор Т має слабкий тип (1,1) і обмежений із ВМО в ВМО. Тоді для всіх / Є Ь1+ВМО з (Т/)*(+оо) = 0 справедлива нерівність

(Г/)*(<) < с| (0 < * < оо).

Подальші результати розділу 2 пов’язані з дослідженням максимальної функції

гтгд/(х) = 8ир(/ • Хо)*М<?|).

В теоремі 2.10 отримана характеризація простору функцій з обмеженим нижнім коливанням (BLO) в термінах m\f. Інші характеристики BLO були доведені раніше в роботах Койфмана і Рохберга (1980), Беннета (1982).

Добре відома така властивість максимальної функції М/: вага ш{х) — (Mf(x))s при 0 < 6 < 1 задовольняє Лі-умові Макенхаупта. При <5=1 де твердження втрачає силу. За допомогою функції гпд/(х) ми встановлюємо, що справедлива

Теорема 2.11. Припустимо, що Mf(x) < оо для всіх х. Якщо Mf(x) задовольняє умові А^, то М/(х) Є Лі.

Функцію тлд/ зручно використовувати при уточнені деяких результатів. Наприклад, в нерівності (3) Ао(п) суттєво менше, аніж 1/2 вже при n = І. Застосування функції m\f і одного результата Стрьомберга дозволяє показати, що нерівність (3) справедлива при всіх А < 1/2, тобто

/#(х) ж MMfj2f{x).

Це твердження доводиться в теоремі 2.12.

В заключній частині другого розділу (§2.8) вивчається нерівність виду

JKn\f{x)\pu{x)dx < сjk\Mff{x)\pm{x)dx (0 <p< oo). (7)

У випадку, коли ш{х) = 1 нерівність (7) доведена Явертом і Торчинським. Із (5) одразу випливає, що (7) справедлива при ш Є A^. Значно важче показати, що (7) справедлива і при більш слабкій умові на ш, власне коли w задовольняє умові Ь)АЖ (weak Лоо). Ця умова була введена Соєром (1982). В §2.8 доводиться

Теорема 2.13. Нехай и Є wAqo. Якщо /*(+оо) = 0 і Aff / Є I£(R"), то / Є L£(R"), причому

II/IU < 4*4 fWw (0<р<оо,0<А< До),

де С залежить ВІД р, п І ВІД ПОСТІЙНИХ, що ВХОДЯТЬ у визначення (wAoo).

Тут суттєво використовується функція 77l\f та її властивості.

В третьому розділі вивчаються максимальні функції за довільними дифе-ренційними базисами. Дифереяційним базисом В називається сім’я відкри-

тих обмежених множин, така, що для будь-якої точки г € Е" знайдеться послідовність множин й* Є ©, що задовольняє двом умовам: х Є Я* та сІіатДь —У 0. В попередньому розділі розглядались базиси, що складаються із кубів. Якщо в стандартних максимальних функціях брати верхню межу не по кубам, а по всім множинам Д € 3, що містять точку х, то отримані функції позначимо ^ М%ї(х),$(х), М^хІ{х)-

Основну задачу, яку ми тут нами вивчаємо, можна сформулювати слідуючим чином: при яких умовах ва базис 23 для відповідних максимальних функцій виконуються невагові нерівності виду (2), (6)?

Проблема полягає в тім, що при дослідженні кубічних максимальних функцій суттєво використовуються геометричні твердження (теореми про покриття), незастосовні навіть для довільних паралелепіпедів. Наприклад, в основі більшості теорем про покриття лежить проста властивість куба: якщо куби фі,(?2 перетинаються і |фі) < |(?2І, то С Зфг- Очевидно, що при п > 2 подібна властивість неправильна для п-вимірних інтервалів. В багатьох питаннях важливі базиси із паралелепіпедів, сторони яких паралельні координатним осям і пов’язані певним співвідношеним; інтегральні середні по таким паралелепіпедам природним чином виникають при вивченні локальних властивостей анізотропних просторів Соболева. Одним із прикладів таких базисів є базис Кордоби в Е3, що складається із усіх паралелепіпедів, ребра яких паралельні координатним осям і мають розмірі 5 X і X Ф(з, і), де в, £ > 0, а функція Ф(в,£) додатня, неперервна і монотонно зростає по кожній зміній.

Таким чином, нам необхідно виділити ті геометричні властивості базиса, які відіграють головну роль в оцінках виду (2), (6). Ці властивості формулюються в термінах двох слідучих функцій. Для и > 1 покладемо

- функція облямування для базису (8,

(верхня та нижня межі беруться по всім вимірюваним множинам Е скінченої позитивної міри ). Очевидно, що функції (^(и),^(и) не спадні і

■ф(и) < <р(и).

Будемо говорити, що базис 58 задовольняє умові (А), якщо

Ір(и) < ОО Я Гр(и) -4 00.

В §3.2 показано, що досить широкий клас базисів задовольняє умові (А); наприклад, будь-який щільністий і інваріантний віносно гомотетії базис задовольняє цій умові. Грубо хажучн, умова схінченності <f(u) говорить про те, що базис не повинен бути дуже "насиченим”, а необмеженість tp(u) означає, що базис не повинен бути дуже "розрідженим”.

Зазначимо, що перевірка умови (А) для кожного конкретного базису є досить непростою справою. Для базису із кубів виконання умови (А) гарантує лема Кальдерона - Зигмунда, для базису із паралелепіпедів - теорема Ісссена

- Марцинкевича - Зигмунда. В §3.2 ми також показуємо, що умові (А) задовольняє базис Кордобн В$.

Далі, в §3.3 ми встановлюємо, що коли базис © задовольняє умові (А), то справедливі аналоги нерівностей (2), (6). Наведемо ці результати.

Теорема 3.2. Нехай базис 2J задовольняє умові (А). Тоді існує таке число А, яке залежить лише від 95, що для всіх вимірюваних функцій /

j\t) < 2(Mij)*(2t) + f'(2t) (0 < t < оо).

Теорема 3.3. Нехай базис Ъ задовольняє умові (А). Існує число А, яке залежить лише від *В, що для всіх / € £}ж(R")

(Mvf)’(i) < jifirm + /’(20 (о < t < оо). (8)

теоремі 3.3 доведено більш сіиьяе т»ердж«квя.

При доведені цих теорем істотну роль відіграє техніка, розроблена в другому розділі дисертації.

В четвертому розділі досліджуються сильні максимальні функції M,f і ff (тобто базис складається із паралелепіпедів, сторони яких паралельні координатним осям). Тут вивчається наступил задача: отримати оцінку перестановки (ff)*[t) в термінах модулів неперервності Wi,..., шп для функцій / із анізотропного класу Гьольдера

Раніше, в роботі В.І. Коляди (1987) була встановлена оцінка: для будь-якої функції / Є (1 < р < оо)

(/»#Г(<) й csup<T1/?w(J), (0 < t < оо), s>t

де й(6) - функція, яка однозначно побудована за системою {a/ь за допомогою певного усередення (для ізотропного випадку аналогічний результат отримав ДеВор (1981)). Ця функція, що введена В.І. Колядою в 1973 p., називається середнім модулем неперервності.

Питання про оцінку {ff)*(t) у випадку р = 1 залишалося відкритим. Головна проблема полягає в тому, що оператор ff не має слабкого типу (1,1) (це очевидно випливає із (8) та того факту, що оператор Мл/ не має слабкого типу (1,1)).

Тут ми використовуємо теорему Ієссена-Марцинкевича-Зигмунда в термінах перестановок:

Цей результат та оцінка перестановки через середній модуль приводять до нерівності:

тт < 4 /0‘ Щ^чп-2ит (9)

(<*>(/; 5) є середній модуль для системи окремих модулів неперервності).

Оскільки/^(і) < 2 то аналогічна оцінка справедлива і для [ff )*(t).

Основний результат четвертого розділу дисертації - це наступна теорема, яка показує, що при досить загальних обмеженях на модулі неперервності, нерівність (9) остаточна для M,f і ff.

Теорема 4.3. Нехай модулі неперервності и>и —ішп задовольняють умові

6Г ^г-іт = °М*)) (* = 1.-.*»)•

Тоді існує функція / Є Я"1'-’"'*, така, що для всіх і > 0

Ідея побудови подібних прикладів бере початок з робіт В.І. Коляди (1973, 1975). При доведенні останньої теореми також суттєво використовується конструкція Бора (див. Гусман, с. 89).

Васшвки-

1. Справедлива вагова оцінка перестановки довільної вимірної функції в термінах локальної шарп-функції Джона-Стрьомберга.

2. Для широкого класу диференційннх базисів відповідні максимальні функції задовольняють нерівностям типу Беннета, ДеВора і Шаршгі.

3. Справедлива оцінка перестановки сильної максимальної функції Феф-фермана - Стейна для функцій з анізотропного класу Гілльдера, остаточна при достатньо загальних обмежених.

Публікації за темою дисертації

1) Лернер А.К. О сильных максимальных функциях Харди-Лкттлвуда и Феф-фермана - Стейна// Мат. заметки. - 1996. - Т. 60. - №3. - С. 458-460.

2) Лернер А.К. Максимальные функции со дифференциальным базисам, измеряющие средние колебания//Тези доповідей міжнародної конференції”Ряди Фур’є : теорія і застосування”. - Київ. - 1997. - С.73-74.

3) Лернер А.К. Об оценках сильных максимальных функций// Изв. вузов. Математика. - 1997. - №7. - С. 36-48.

4) Lerner А.К. Maximal functions with respect to differential bases measuring mean oscillation // Anal. Math. - 1998. - v.24, №1. - p. 41-58.

5) Лернер А.К. Весовые оценки невозрастающих перестановок// Тезисы докладов международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ*. - Тула. - 1998. - С. 154-155.

6) Lerner А.К. On weighted estimates of non-increasing rearrangements // Bast J. Approx. - 1998. - v.4, №2. - p. 277-290

Лернер A.K. Незростаючі перестановки і максимальні функції, що вимірюють середні коливання. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Одеський державний університет. Одеса, 1998.

Отримана вагова оцінка перестановки довільної вимірної функції в термінах локальної шарп-функції. Вивчені співвідношення поміж перестановками максимальних функцій типу Харді-Літлвуда і Феффермана-Стейна для широкого класу диференцікних базисів. Встановлена оцінка перестановки сильної максимальної функції ФефферманагСтейна для функцій з анізотропного класу Гьольдера.

Ключові слова: незростаючі перестановки, умови Макенхау-пта, диференційні базиси, максимальні функції, ВМО.

Лернер А.К. Невозрастающие перестановки и максимальные функции, измеряющие средние колебания. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Одесский государственный университет, Одесса, 1998.

Получена весовая оценка перестановки произвольной измеримой функции в терминах локальной шарп-функции. Изучены соотношения между перестановками максимальных функций типа Харди-Литтлвуда и Феффермана-Стейна для широкого класса дифференциальных базисов. Установлена оценка перестановки сильной максимальной функции Феффермана-Стейна для функций из анизотропного класса Гельдера.

Ключевые слова: невозрастающие перестановки, условия Ма-кенхаупта, дифференциальные базисы, максимальные функции, ВМО.

Lerner А.К. Non-increasing rearrangements and maximal functions measuring mean oscillation. - Manuscript.

The Candidate’s Degree (Physics and Mathematics) thesis in speciality 01.01.01

- mathematical analysis, Odessa State University, Odessa, 1998.

A weight estimate of rearrangement of any measurable function in terms of local sharp-function is obtained. The relations between the rearrangements of the Hardy-Littlewood and Fefferman-Stein types maximal functions with respect to differential bases is studied. The estimate of rearrangement of strong Fefferman-Stein maximal function for functions from Holder anisotropic class is established.

Key words: non-increasing rearrangements, Muckenhoupt conditions, differential bases, maximal functions, BMO.

Підписано до друку 24.07.98. Обсяг 1 ум. друк. арк.

Папір офсетний. Формат 60x90/16. Наклад Ю0 прим. Зам. 469.

Надруковано в видавництві “Астропринт".

Одеса, Французький б-р, 24/26. к. 54. Тел, 26-98-82, 68-77-33.