Нильпотентные подполугруппы полугрупп преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

ШАФРАНОВА Ганна Миколаївна

V, »ч І

УДК 512.535

НІЛЬПОТЕНТНІ ПІДНАПІВГРУПИ НАПІВГРУП ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.01.06 — алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ -2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

ГАНЮШКІН Олександр Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри та математичної логіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник

НОВІКОВ Борис Володимирович, Харківський національний університ ім. В. Каразіна;

кандидат фізико-математичних наук, доцент ЗЕЛЕНЮК Євген Григорович. Інститут прикладних проблем математики і механіки ім. Я.С. Підстригача НАН України, м, Львів.

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка,

кафедра алгебри і топології, м. Львів.

Захист відбудеться «27» листопада 2000 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 0212?, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, б, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вуя. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий «____»____________2000 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

ПЕТРАВЧУК А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

На відміну від теорії груп, теорія напівгруп є досить молодим розділом сучасної алгебри. Однак саме поняття напівгрупи є настільки простим і природнім, що важко точно вказати, коли воно вперше з’явилось. Як зазначає Клейн у ч.І, гл.8 свого підручника1, ще в той час, коли теорія груп формувалась як окрема математична дисціпліна, були сумніви, чи не варто за основне вихідне поняття взяти те, що зараз називається напівгрупою.

Теорія напівгруп має тісні зв’язки з різноманітними галузями математики — геометріею, функціональним аналізом, теоріею графів, теорією алгоритмів, абстрактною теорією автоматів та ін. Однією з найважливіших причин тієї великої ролі, яку грає теорія напівгруп у різних розділах математики, є асоціативність множення перетворень (звідки випливає, що довільна замкнена відносно множення множина перетворень утворює напівгрупу). .

Перша монографія з теорії напівгруп належить харківському математику А.К. Сушкевичу2. В окрему науку алгебраїчна теорія напівгруп оформилася, мабуть, у період 40-х — 60-х років XX сторіччя, коли її почали плідно розробляти такі математики, як Мальцев, Ріс, Кліффорд, Тьєррен, Шютценберже, Грін, Круазо та ін. Як наслідок, кількість робіт з напівгруп почала стрімко зростати. 50-ті роки XX сторіччя можна вважати початком систематичного дослідження окремих класів напівгруп: в цей період з'являються та починають систематично досліджуватися такі фундаментальні та важливі класи напівгруп, як регулярні та інверсні напівгрупи, нільпотентні напівгрупи в сенсі Мальцева, нільнапівгрупи та нільпотентні напівгрупи в сенсі означення, яке йде з теорії кілець та ін.

Вивчення нільпотентних напівгруп (в сенсі означення, яке йде з теорії кілець), а також нільнапівгруп було започатковано, мабуть, в Свердловській школі Л.Н. Шевріна у 60-ті роки XX сторіччя. Однією з перших робіт цього напрямку є стаття3, де наведено ряд умов, за яких нільнапівгрупа буде нільпотентною напівгрупою. У 1952 році Вагнером4 і незалежно у 1954 році Престоном3 було введено

1 Ф. Клейн Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Гостехиздат, 1937. - 235с.

2 Сушкевт А.К Теория обобщенных групп. - Харьков, Киев: гос. науч.-тех. изд.-во Укр„ 193Т.-140С.

3 ШевринЛ.Н. О нильполугруппах// Успехи матем. наук.- I959.-T. 14, N5. — C.2I6-2I7.

4 Вагнер В. В. Обобщенные группы //Доклады АН СССР.-1952. — Т. 84. — С. 119-II22.

поняття інверсної напівгрупи. З того часу потік досліджень, присвячених інверсним напівгрупам, неперервно зростає. Однією з причин підвищеного інтересу до інверсних напівгруп є їх близькість до груп: ще в період зародження теорії інверсних напівгруп Вагнером і незалежно Престоном було встановлено, що кожна інверсна напівгрупа ізоморфна підналівгрупі деякої інверсної симетричної напівгрупи на множині .V/ (тобто напівгрупи всіх часткових бієктивних перетворень множини М). Це — відома теорема Престона-Вагнера. яка є аналогом класичної теореми Келі для груп. Вона стверджує, шо роль, аналогічну тій, яку в теорії груп відіграє симетрична група 8(Л/). у теорії інверсних напівгруп відіграє інверсна симетрична напівгрупа І5(А/). На сьогоднішній день теорія інверсних напівгруп є самостійним розділом теорії напівгруп із власними методами і власною проблематикою. Кількість робіт з інверсних напівгруп продовжує швидко збільшуватися, і зараз вона вже перевищує 1000. .

Актуальність теми. Останнім часом помітно зріс інтерес до напівгруп перетворень. Постійно зростає кількість робіт, присвячених конкретним напівгрупам перетворень. Відзначимо серію робіт, присвячену напівгрупам, породженим нільпотентними перетвореннями6 7 8, а також бібліографію до цих робіт, де вказано багато джерел з напівгруп перетворень, породжених ідемпотентами. У роботах

О.Г. Ганюшкиіна і Т.В. Кормишевої9 10 11 вивчаються нільпотентні піднапівгрупи скінченної інверсної симетричної напівгрупи, яка у випадку «-елементної множини XI позначається через 1Э,,. Таким чином, вивчення класичних напівгруп перетворень і їх піднапівгруп спеціальних класів, зокрема, нільпотентних піднапівгруп. останнім часом стало одним із центральних напрямків досліджень із теорії напівгруп. Тому тема дисертаційної роботи є актуальною.

5 Preston G.B. Inverse semigroups// J. London Math. Soc. -1954. — V.29. — P.396-403.

'‘Sullivan, P.P. Semigroups generated by nilpotent transformations// i. Algebra. - 1987. - V.l 10, P.324-343. J.M Howie and M. Paula O. Marques-Smith A nilpotem-generated semigroup associated with a semigroup of full transformations// Proc. Roy, Soc. Edinburgh - 1988. - V. 108, sect.A. - P. 181-188.

* M. Paula O. Marques-Smilh and R.P. Sullivan Nilpotents and congruences on semigroup of transformations

with fixed rank1/ Proc. Roy. Soc. Edinburgh - 1995. - V. 125, sect.A, P.399-412.

9 Ганюшкін О.Г., Кормишеча Т.В. Ізольовані та нільпотентні піднапівгрупи скінченної інверсної симетричної напівгрупи//Доповіді АН України. - 1993.-N8.- С.5-9.

ш Ганюшкт А.Г., Кормишева Т.В. О нильпотентньїх подполугруппах конечной симметрической инверсмой полугруппьі//Матем. заметкн.-1994.-Т,566, вьщ.2. - С.29-35.

" Ганюшкін О.Г.. Кормишева Т.В. Буаова нільпотентних піднапівгруп скінченної інверсної симетричної напівгрупи//Доповіді НАН України. I995.-N 1-С.8-10.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з дослідженнями кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також з темою «Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування» (номер державної реєстрації 0197и003160).

Мета роботи. Метою дисертаційної роботи є:

• Встановити зв'язок між частковими порядками на множині М (або її підмножинах) та нільпотентними піднапівгрупами напівтрупи перетворень (5, М)\ описати максимальних нільпотентних піднапівгруп інверсної симетричної напівтрупи І5(А/) та встановити критерій ізоморфізму двох таких піднапівгруп для випадку, коли множина М має нескінченну потужність.

• Модифікувати методи часткових порядків для дослідження будови нільпотентних піднапівгруп напівтрупи РАшч(\^ всіх часткових автоморфізмів скінченного векторного простору. Отримати опис максимальних нільпотентних піднапівгруп з

РАШЧ(У„).

• Ввести поняття лінійної еквівалентності та однаковості лінійних типів лінійних порядків на множині прямих скінченного векторного простору. Використовуючи ЦІ поняття, одержати критерій ізоморфізму максимальних нільпотентних піднапівгруп з РАШ<1(У„).

• Описати групи автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи ЩМ) для не більш ніж зліченної множини М

• Дослідити будову решіток ідеалів максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи І5(М), де множина М—скінченна, знайти комбінаторні характеристики вказаних решіток.

Об'єкт дослідження — нільпотентні піднапівгрупи напівгруп перетворень. Суб 'єкт дослідження — нільпотентні піднапівгрупи конкрентих класичних напівгруп перетворень: напівгруп ЩМ) та РАШЧ(У„ ),

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії напівгруп. При дослідженні нільпотентних піднапівгруп напівгрупи РАиц(У„) часткових автоморфізмів скінченного векторного простору у підрозділах 2.4. та 3.2. використовуються також методи лінійної алгебри. У розділі 5 при знаходженні комбінаторних характеристик решіток ідеалів нільпотентних напівгруп. у пункті 3.2.2.

при підрахунку кількості лінійно еквівалентних лінійних порядків і при доведенні асимптотичної теореми 3.2.4. використовуються також комбінаторні методи.

Наукова новизна. У дисертаційній роботі автором вперше одержано нові теоретичні результати. Основними серед них є наступні:

• Дано опис максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи І5(Л/) і у випадку, коли множина М має зліченну потужність, встановлено критерій ізоморфізму двох таких піднапівгруп.

• Дано опис максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи РАиЦ(У„) і встановлено критерій ізоморфізму двох таких піднапівгруп за допомогою введених понять лінійної еквівалентності та однаковості лінійних типів лінійних порядків на множині прямих скінченного векторного простору.

• Доведено, що група автоморфізмів довільної максимальної нільпотентної

піднасіівгрупи з І5(А/) (де множина М має не більш ніж зліченну потужність) розкладається в напівпрямий добуток двох множників, кожен з яких є декартовою сумою симетричних груп. ;

• Знайдено деякі комбінаторні характеристики, пов'язані з решітками ідеалів максимальних нільпотентних піднапівгруп напіврупи І5(А/). де множина М — скінченна. Доведено, що максимальні нільпотентні піднапівгрупи з 18 (А-/) однозначно визначаються своїми решітками ідеалів.

. Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації є певним внеском в теорію напівгруп. Побудовані конструкції та методи можуть бути використані при подальшому дослідженні нільпотентних піднапівгруп різних напівгруп перетворень.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались

• на засіданнях семінару з теорії груп та напівгруп при кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (неодноразово);

• на Другій Всеукраїнській конференції молодих вчених, м. Київ (травень 1995 р.);

• на Всеукраїнській конференції "Розробка і застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях", присвяченій 70-річчю від дня народження професора П.С. Казимірського, м. Львів (жовтень 1995р.);

• на П’ятій міжнародній конференції пам'яті академіка М. Кравчука, м. Київ (травень 1996р.);

• на Конференції молодих алгебраїстів, присвяченій 40-річчю кафедри алгебри та математичної логіки, м. Київ (вересень 1999р.);

• на засіданні Київського алгебраїчного семінару (квітень 2000р.)

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 5 наукових статтях- (4 з яких — у фахових виданнях), а також в 3 тезах доповідей наукових конференцій — це публікації [1]-[5] і відповідно [6]-[8] у списку, поданому в кінці автореферату.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримано автором особисто. У спільній статті [4] автору належить доведення основного результату — теореми про будову груп автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп напівтрупи ЩМ),

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів основної частини, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації — 119 сторінок машинописного тексту. Список використаних джерел обсягом 5 сторінок машинописного тексту містить 52 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі коротко оглянуто історію досліджень, пов’язаних з тематикою дисертації, викладено основні результати роботи.

Перший розділ носить допоміжний характер. Він містить огляд літератури з пов’язаної з данною дисертаційною роботою тематики; також оглянуто різні підходи до визначення поняття нільпотентної напівгрупи.

Другий розділ присвячено встановленню взаємозв’язку між нільпотентними піднапівгрупами напівгруп перетворень та частково впорядкованими множинами.

Підрозділ 2.1. має допоміжний характер. Він містить означенння нільпотентної напівгрупи, нільнапівгрупи та інші споріднені означення. Досліджується зв'язок між цими поняттями.

Нагадаємо, шо елемент а напівгрупи 5 називається нулем, якшо для довільного елемента b є S виконуються рівності ab = Ьа = а. Для напівгруп з нулем часто використовується наступне поняття нільпотентності, яке йде з теорії кілець.

Напівгрупа S з нулем 0 називається нільпотентнаю, якшо .S" = 0 для деякого числа п > І. Найменше п із такою властивістю будемо називати ступенем (або класом) нільпотентності напівгрупи S. Нільпотентні напівгрупи ступеня нільпотентності 2 інколи ще називають напівгрупами з нульовим множенням.

Нехай S — напівгрупа з нулем 0. Елемент а є S називається нільелементом. якшо а" = 0 для деякого п > 1. Найменше п із такою властивістю називається ступенем (або класам) нільпотентності елемента а. Якщо всі елементи напівгупи S є нільелементами, то S називається ні'іьнапівгрупою.

У підрозділі 2.2. узагальнюючу методи, запропоновані в роботах О.Г. Ганюшкіна і Т.В. Кормишевої10 ", встановлюється зв’язок між нільпотентними піднапівгрупами довільної напівгрупи перетворень (S, М) та частковими порядками на множині М.

Напівгрупа S називається напічгрупою перетчорепь (або відображень) множини М. якщо задане деяке занурення ф: S -» РТ(А/) (де через РТ(А/) позначена напівгрупа. елементами якої с усі можливі часткові перетворення множини М, а множення збігається зі звичайною композицією перетворень). Напівгрупу S і її образ при зануренні ф будемо ототожнювати і позначати (S, ¡Vi).

Нехай (S, М) — довільна напігрупа перетворень. Через dom л і ran п будемо позначати відповідно область визначення та множину значень елемента тг є (S. М). Рангом rank я елемента я є (5, М) називатимемо потужність множини dom те. Символом 0 позначатимемо ніде не визначене перетворення.

Напочатку підрозділу, виходячи з будови ідемпотентів. довільної напівгрупи перетворень і того, що, очевидно, нулем може бути лише ідемпотент, показано, що без обмеження загальності можна розглядати лише напівгрупи перетворень з нулем 0. Нехай (S, М) — така напівгрупа перетворень. Розглянемо довільний строгий частковий порядок < скінченної висоти на множині Мі зіставимо йому множину

Моп(<)= {я e(S, M): а є dom я =>п(а)>а}.

Встановлено, що Моп(<) є нільпотентною піднапівгрупою напівгрупи (S. М) і нулем 0, причому її ступінь нільпотентності к не перевищує /(<) + 1, де /(<) — висота часткового порядку <.

Нехай tenep Т с {S, М) — нільпотентна піднапівгрупа з нулем 0. Зіставимо їй відношення <г на множині М, поклавши

а <тЬ оЗ іг є Т: п(а) -Ь.

Доведено, що <т буде частковим порядком на М, причому 1(<т) = к - І. де к — ступінь нільпотентності напівгрупи Т.

Далі розглядатимемо лише часткові порядки скінченної висоти. Нехай <і і <j— часткові порядки на М. Будемо говорити, що <| є ущільненням <?, і позначати це <і с <2, якщо з а <2 Ь випливає а <і Ь. Легко перевірити, що часткові порядки на А/ утворюють нижню напіврешітку Ord(A/) відносно перетину. Нільпотентні піднапівгрупи з (5, М) з нулем 0 також утворюють нижню напіврешітку відносно перетину. Позначимо цю напіврешітку через Nil(Af). Теорема 2.2.2. стверджує, що для напівгрупи перетворень (£>, М) з нулем 0 відображення <р: < і—» Моп(<) є гомоморфізмом з Ord(.W) в Nil(A/); а відображення у: Т Ь-¥ </■ є гомоморфізмом з Nil(M) в Ord(,W). .

Далі обмеження на нулі піднапівгруп знімаються. Показано, що піднапівгрупи з різними нулями не перетинаються; а вивчення нільпотентних піднапівгруп з довільним (спільним) нулем зводиться до вивчення нільпотентних піднапівгруп з нулем 0.

Теорема 2.2.4. Нижня напіврешітка нільпотентних піднапівгруп напівгрупи (S, М) розпадається в диз'юнктне об'єднання нижніх напіврешіток Nil,(.-W) нільпотентних піднапівгруп з (S, М) з нулем е, де е пробігає множину ідемпотентів напівгрупи (S,, М).

У підрозділі 2.3. загальна техніка, розвинена у підрозділі 2.2., застосовується до вивчення нільпотентних піднапівгруп інверсної симетричної напівгрупи ISf'AÖ.

Через р = (А//, М;..A4) позначимо розбиття М= А// uW>u... kj Мк множини А/

иа k непорожніх блоків. Будемо називати це розбиття впорядкованим, якщо на множині блоків задано лінійний порядок Мі<Мт< ... < А/*.

' Для довільних елементів а. 6 є Ы покладемо а <р 6 <г> Л/,< Mj, де а є iVf„ b є Мг Очевидно, що <р буде частковим порядком. Спираючись на методи, введені у підрозділі 2.2., для довільної множини М доводиться.наступна теорема (для скінченої множини Доодержана раніше О.Г. Ганюшкіним і Т.В. Коримишевою'").

Теорема 2.3.2. Існує взаємно-однозначна відповідність між максимальними нільпотентними підапівгрупами ступеня к> 1 напівгрупи IS(M) з нулем 0 і впорядкованими розбитими множини М на к непорожніх блоків. Розбиттю р = (А-//. Мз....М/,) відповідає напівгрупа Тр = Моп(<р). .

Тут і скрізь у подальшому під "максимальними нільпотентними піднапівгрупами ступеня нільпотентності к" слід розуміти "максимальні піднапівгрупи серед нільпотентних піднапівгруп ступеня нільпотентності к".

Наступна теорема узагальнює на довільну множину М опис максимальних нільпотентних піднапівгруп IS(A/) з довільними нулями данного фіксованого ступеня нільпотентності fc, отриманий для випадку скінченної множини М О.Г. Ганюшкіним і Т.В. Коримишевою".

Теорема 2.3.4. Для кожного цілого числа к> 1 відображення р Гр індукує взаємно-однозначну відповідність між впорядкованими розбиттями підмножин М с М на к непорожніх блоків і максимальними нільпотентними піднапівгрупами з IS{Л/> ступеня нільпотентності к.

У підрозділі 2.4. розвинена у підрозділі 2.2. техніка модифікується для дослідження нільпотентних піднапівгруп напівгрупи PAutv(V„) всіх часткових автоморфізмів «-вимірного векторного простору V„ над ^-елементним полем Fr Одновимірні підпростори будемо називати прямими, а двовимірні — площинами. Через L позначимо множину прямих простору V„. Дія часткового автоморфізму ер є PAut?(K„) символ dom ф позначає область визначення ф, а символ ran (р — множину значень ф. Рангом rank ф часткового автоморфмізму ф є PAut4(V„) природно назвати розмірність dim(dom ф) = dim(ran <р) області визначення і множини значень (р.

Зазначимо, що нулем напівгрупи PAut,(V„) є тотожне перетворення 0-вимірного підпростору, яке в цьому підрозділі будемо позначати через 0.

Нехай < — строгий частковий порядок на L. Через Моп(<) позначимо множину

Mon(<) = {7t є PAut4(V„): / є dom ті => ті(/) > І).

Легко перевірити, що Моп(<) буде нільпотентною піднапівгрупою з РАиіч(\'„) ступеня нільпотентності/(<)+1.

Теорема 2.4.1. Існує взаємно-однозначна відповідність між максимальними нільпотентними підапівгрупами ступеня к > 1 напівгрупи РАш^У,,) з нулем 0 і впорядкованими розбиттями множини і на к непорожніх блоків. Розбиттю р = (¿¡, ¿2. ..., £*) відповідає напівгрупа Тр = Моп(<р).

Оскільки = (д'’-1)/(^-1), то аналогом наслідка 2.3.1. буде наступна теорема. .

Теорема 2.4.2. Відображення < Моп(<) встановлює взаємно-однозначну відповідність між лінійними порядками на множині £ і максимальними нільпотентними піянапівгрупами напівгрупи РАШ,(УП) з нулем 0. РАи^(У„) містить ((9Л-1У(?-1))! максимальних нільпотентних піднапівгруп, кожна з яких має ступінь нільпотентності (цп-1 )/(д-1).

У третьому розділі дано критерії ізоморфізму максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгруп І8(>1) і РА’Д^У,,). .

У підрозділі 3.1. множина М має зліченну потужність. Для зручності будемо вважати, що М збігається з множиною натуральних чисел N. Розглядаються лише нільпотентні піднапівгрупи з І8(И) з нулем 0.

Типом впорядкованого розбиття р = (М\, Мі, .... А/к) будемо називати впорядкований набір кардинальних чисел (п\, пг, .... я*), яе п, = |А/,|, 1 < і < к. Внаслідок теореми 2.3.2. вказаний набір природно назвати, також типом максимальної нільпотентної піднапівгрупи Тр, що відповідає розбиттю р.

Теорема 3.1.1. Дві максимальні нільпотентні піднапівгрупи з [Б(М) з нульовим множенням ізоморфні тоді й лише тоді, коли їх типи містять однакову кількість елементів ш.

Теорема 3.1.2. Дві максимальні нільпотентні піднапівгрупи з І5(К) ступеня нільпотентності к > 3 ізоморфні тоді й лише тоді, коли вони однакового типу.

Слід відзначити, що для скінченної множини М аналогічний критерій ізоморфізму двох ’ максимальних нільпотентних піднапівгруп з ІБ(А/) одержано

О.Г. Ганюшкіним і Т.В. Кормишевою10.

Основними результатами підрозділу 3.2. є критерій ізоморфізму максимальних нільпотентних піднапівгруп із РАШЧ(У„). (теорема З.2.З.), а також асимптотична теорема 3.2.4. .

Наведемо означення, потрібні для формулювання основних результатів. Для прямих /ь h & L їх суму lt+ih в L природно визначити як множину прямих підпростору, породженого цими прямими: покладемо l\+Jz ~ Ц<Л, h>)-

Нехай V,,1 — л-вимірний векторний простір над (/-елементним полем F„ з множиною прямих L1. Відображення t:£-*£' назвемо L-ізоморфізмом, якщо т

6ІЄКТИВНЄ І ДЛЯ ДОВІЛЬНИХ ПрЯМИХ !(, ¡2 Є L t(/|+i/2) = i(li+uh). ’

Встановлено, що відображення т: L -» Ü буде ¿-ізоморфізмом тоді й лише тоді, коли деяке його підняття х": У„ —► У„‘ буде напівлінійним бієктивним відображенням з V„ »a V„\

¿-ізоморфізми т: І -> £ будемо називати L-автоморфізмами. Відзначимо, що всі І-автоморфізми множини L утворюють групу відносно суперпозиції, одиницею якої є тотожне перетворення множини £.

Нехай т = |£| = {qn-\)/(q-!) — кількість прямих простору У„. Розглянемо V„ і У„' —, л-вимірні векторні простори з множинами прямих £ і £' відповідно, а також довільні ЛІНІЙНІ порядки /,І <2 1,2 <2 ... <2 І,т На L І Iji <2 Ij7 <2 ... <2 l/m На L1. НєХЗЙ МоП(<)) і Моп(<г) — максимальні нільпотентні піднапівгрупи з PAut/K,,), які відповідають <і і <2 (в сенсі теореми 2.4.2.)

Лінійні порядки <і і <2 будемо називати лінійно еквівалентними, якщо відображення х : L -* L, де ЦІ,,) = /,„ 1 ¿г <т,е ¿-автоморфізмом.

Визначимо дію ір групи LAut(£) ¿-автоморфізмів множини £ на множині Orà(L) лінійних порядків на £ в наступний спосіб. Для довільного т є LAut(L) через ф(т) позначимо таку підстановку з Soriiu>> яка довільний лінійний порядок l\ <\ h <і ... <і 1„ переводить В ЛІНІЙНИЙ порядок т(/і) <2 т(/з) <2 ... <2 т(/„).

Зазначимо, що класи лінійно еквівалентних лінійних порядків збігаються з 1*Аиї(£)-орбітами.

Теорема 3.2.2. Кількість класів лінійно еквівалентних лінійних порядків на

множині L дорівнює .

Будемо говорити, що лінійні порядки <| і <2 мають однакові лінійні типи, якщо для довільного перетворення ф рангу більше 1 з Моп(<і) обмеження відображення т на множини dom(p і rancp є ¿-ізоморфізмами.

Теорема 3.2.3. Нехай Моп(<і) і Моп(<г) — максимальні нільпотентні піднапівгрупи напівтрупи PAut4(V„).

1. Якщо Моп(<0 і Моп(<г) ізоморфні, то лінійні порядки <і і <2 мають однакові лінійні типи.

2. Якщо ЛІНІЙНІ порядки <1 І <2 ЛІНІЙНО еквівалентні, то Моп(<|) І Моп(<2) ізоморфні.

3. Якщо жодна з піднапівгруп Моп(<і) і Моп(<г) не містить перетворень рангу

> 2, то Моп(<і) і Моп(<г) ізоморфні. ■

Теорема 3.2.4. Нехай А„,ч — кількість максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи PAutq(V„), які містять принаймі один частковий автоморфізм рангу > 2. В„ч

— загальна кількість максимальних нільпотентних піднапівгруп у напівгрупі PAutq(V„). ' •

Тоді: .

1. Для кожного натурального п> 2

lim 4 =0. я—В

n.q

2. Для кожного q > 2

А

/ї—*00 ß

lim ",ч = 1.

У четвертому розділі описано фупи автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи І5(А4) у випадку, коли множина М має не більш ніж зліченну потужність.

Нехай Т—фіксована довільно вибрана максимальна нільпотентна піднапівгрупа ступеня кз 15(АУ), р = (Мі, Мг, ..., М) — відповідне їй впорядковане розбиття, АиЦТ) — група автоморфізмів напівгрупи Т. .

к

Зауважимо, що пряма сума © S w симетричних груп на блоках розбиття р є

підгрупою напівгрупи 1S(/W).

* к Нехай ф є ® 5W . Розглянемо дію (|):аН (/''групи ® Su на напівтрупі Т.

• к

Встановлено, що відображення ф Нф с зануренням групи (© S ы , Т) в групу

і=і •

к ■ .

Aut(D. У подальшому нам зручно ототожнювати групу © SKt і її образ при зануренні

/=і '

в Aut(T).

Для елемента азТЇЇ^ покладемо

dom (а) = dom(ö) \ f.r є dom(fl) : х є М\ і а(х) е Мк}.

Для довільної ненульової часткової підстановки а з Т через а, позначимо її обмеження на dom(a), якщо а е Т1, і покладемо а. = а. якщо а еТ2. На множині Т\ ¡0| визначимо відношення еквівалентності ~ правилом а ~ b еь а. = h. і поширимо це відношення на всю напівгрупу Г, вважаючи, що ¡0} є окремим класом еквівалентності. В такий спосіб визначене відношення ~ буде конгруенцією на напівгрупі Т. Центральною у розділі є наступна теорема.

Теорема 4.1.1. Нехай Т с IS(Af) - максимальна нільпотентна піднапівгрупа ступеня к > 3 і Т - U/s/ N і — а розклад в об'єднання класів еквівалентності за

відношенням -. Через © D SN позначимо декартову суму симетричних груп, що діють

/є/ ’ ■

на класах еквівалентності. Тоді Аш(Г) розкладається в напівпрямий добуток

*

Aut(T) = ( Ф SM ) >4 © Sv .

І» і ’ ' І є/ ' 1

З цієї теореми випливає наступна '

Теорема 4.1.2. Нехай п є N, М = {1, 2, ..., п}, Т—максимальна нільпотентна піднапівгрупа з IS(M) ступеня нільпотентності п. Тоді

Aut(T) = Сг ® ... © С2

■— ----------- -

Ґ * для деякого натурального г.

П’ятий розділ присвячено вивченню будови решіток ідеалів (правих, лівих та двосторонніх) скінченних нільпотентних напівтруп, і, зокрема, нільпотентних піднапівгруп скінченної інверсної симетричної напівтрупи. ■ ■

У підрозділі 5.1. досліджуються частково впорядковані множини (ЧВМ) головних ідеалів та решітки ідеалів скінченних нільпотентніх напівгруп.

Нехай Т — скінченна нільпотентна напівтрупа. Введемо на ній відношення часткового порядку <¿, <? та </, поклавши для a, b е Т

a<ib<¿> L(a) с L(b), -

а </? b o R(a) с R{b), а <і b ó 1(a) с 1(b),

де через L(a), R(a) і 1(a) позначено відповідно головний лівий, головний правий та головний двосторонній ідеали, породжені елементом а. ■

З відомого факту12 про те, що у нільпотентній напівгрупі усі відношення Гріна збігаються з відношеннями рівності, випливає, шо частково впорядковані множини (Т, <¿), (Т, <я), (Т, </) ізоморфні відповідно частково впорядкованим множинам головних лівих (правих, двосторонніх) ідеалів напівтрупи Т. Спираючись на це. будується епіморфізм з решітки ідеалів (правих, лівих, або двосторонніх) скінченної нільпотентної напівтрупи Г на булеан множини нерозкладних елементів цієї напівтрупи (теорема 5.1.2.). Крім цього, доводиться, що висота, зазначеної решітки дорівнює І ГІ - 1. .

Нагадаємо, що у довільній решітці, що має максимальний і мінімальний елементи (одиницю і нуль), елементи, які покривають нуль, називаються атомами, а елементи, які покриваються одиницею, — коатомалш.

Через Ll, Lr та Li позначимо решітки відповідно правих, лівих та двосторонніх ідеалів напівтрупи Т, через А — множину нерозкладних елементів напівгрупи Т.

Теорема 5.1.4. Нехай S'—лівий (правий, двосторонній) ідеал напівгрупи Т.

1. Атомами решітки Ls є ліві (праві, двостороні), ідеали S(a), для яких S(a) = {а, 0}, і лише вони.

12 Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп // Под рел. Арбиба М.А.- М.Статистика, 1975 -355с; с.182.

2. Коатомами решітки І5 є ліві (праві, двосторонні) ідели Т\ {а}, де а є А, і лише вони.

У підрозділі 5.2. більш детально вивчаються ідеали максимальних нільпотентних піднапівгруп напівтрупи І8„. Зокрема, доводиться, що ширина частково впорядкованої множини головних ідеалів (правих, лівих, або двосторонніх) заданої максимальної нільпотентної піднапівгрупи ступеня к скінченної інверсної симетричної напівгрупи дорівнює кількості нерозкладних елементів цієї напівгрупи (теорема 5.2.1.), а у випадку ІЛ/| = к встановлено формулу для обчислення цієї кількості:

Теорема 5.2.2. Нехай \м\~ к, Т ~ максимальна нільпотентна піднапівгрупа з ІБ(ЛіГ) ступеня к. Нехай Мі, Мя, Мі — відповідно ЧВМ лівих, правих та двосторонніх головних ідеалів напівгрупи Т. Справедливі рівності

нмі)=мш = м.щ = Е М) і+і[к Jl) в к-і-

■

де Вь — к-те число Белла, а через, и-(Л) позначається ширина ЧВМ А.

Крім того, встановлено (теорема 5.2.4.), що максимальні нільпотентні піднапівгрупи з Кп однозначно визначаються своїми решітками ідеалів.

ВИСНОВКИ

Дисертаційну роботу присвячено вивченню будови нільпотентних піднапівгруп напівгруп перетворень: інверсної симетричної напівгрупи ЩА4) та напівгрупи РАШ,(Уц) часткових автоморфізмів скінченного векторного простору.

Для напівгруп ЩА/) та РАи1,(Уп) описано будову піднапівгруп, максимальних серед нільпотентних піднапівгруп фіксованого (довільного з можливих) ступеня нільпотентності. Дано критерії ізоморфізму:

- максимальних (у своєму класі нільпотентності) нільпотентних піднапівгруп інверсної симетричної напівгрупи на зліченній множині;

- максимальних (глобально) нільпотентних піднапівгруп напівгрупи часткових автоморфізмів скінченного векторного простору за допопогою введених понять лінійної еквівалентності та однаковості лінійних типів лінійних порядків на множині прямих скінченного векторного простору.

Доведено, що група автоморфізмів максимальної нільпотентної піднапівгрупи з LS(iW), де множина М має не більш ніж зліченну потужність, розпадається в напівпрямий добуток двох множників, кожен з яких є декартовою сумою симетричних груп.

Для максимальних нільпотентних піднапівгруп скінченної інверсної симетричної напівгрупи досліджено будову решіток ідеалів (лівих, правих та двосторонніх) та знайдено деякі комбінаторні характеристики, пов’язані з цими решітками.

Розвинені в дисертаційній роботі методи, а також результати роботи, можуть бути використані для подальшого вивчення нільпотентних піднапівгруп різних напівтруп перетворень. .

Автор широ вдячна своєму науковому керівникові доценту Олександру Григоровичу Ганюшкіну за постійну увагу і підтримку в роботі.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Шафранова Г.М. Максимальні нільпотентні піднапівгрупи напівгрупи IS(N)// Вісник Київського Університету, серія: фізико-математичні науки.-1997.-Вип.4,-С.98-103.

[2] Шафранова А.Н. Максимальные нильпотентные подполугруппы полугруппы PAutq(V„)// Вопросы алгебры.-Вып. 13.- Гомель: изд-во Гомельского Ун-та, 1998.-С.69-83.

[3] Н. Shafranova Lattices of ideals of finite nilpotent semigroups/ZBicnnK Київського Університету, серія: фізико-математичні науки.-2000.-Вип.1.-С.47-55.

[4] О.Г. Ганюшкін, С.Г. Темніков, Г.М. Шафранова Групи автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи IS(M)/ / Математичні студії. -2000.-Т, 13,N1 ,-С. 11 -22.

[5] Кудрявцева Г.М. Лінійні типи лінійних порядків на множині прямих скінченного векторного простору.// Праці Другої Всеукраїнської конференції молодих вчених. Київ, 16-18 травня 1995 року. Деп. у ДНТБ України, Математика. -1995.-Ч.І.-С.17-24.

[6] Кудрявцева Г.М. Максимальні нільпотентні піднапівгрупи напівгрупи PAutq(VJ// Всеукраїнська наукова конференція "Розробка і застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях", присвяченій 70-річчу від для народження професора П.С.Казимірського (5-7 жовтня 1995р.) Тези доповідей. - Ч.1.-С.32.

[7] Кудрявцева Г.М. Ідеали максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгруп перетворень// П'ята Міжнародна конференція пам'яті академіка Кравчука (травень 1995р.) Тези доповідей. Київ: Ін-т, матем. АН України.-І997.-С.214.

[8] Н. Shafranova Nilpotent subsemigroups of the inverse symmetric semigroup IS(N)// Міжнародна алгебр, конф., присв. пам'яті проф. Л.М. Глускіна (Слов'янськ, серпень 1997р.) - Київ: Ін-т. матем. НАН України.-1997.-С.38. .

Шафранова Г.М. Нільпотентні піднапівгрупи напівгруп перетворень. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06. — алгебра і теорія чисел. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2000. •

Дисертацію присвячено вивченню будови нільпотентних піднапівгруп інверсної симетричної напівгрупи IS(M) та напівгрупи PAut^fVJ всіх часткових автоморфізмів скінченного векторного простору. Описано будову і встановлено критерії ізоморфізму максимальних нільпотентних піднапівгруп з IS(/W), (де множина М має зліченну потужність) і максимальних нільпотентних піднапігруп з PAut,(VJ.

Дано простий опис груп автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп з IS(<W) для випадку, коли множина М має не більш ніж зліченну потужність.

Вивчено будову решіток ідеалів максимальних нільпотентних піднапівгруп скінченної інверсної симетричної напівгрупи, знайдено деякі комбінаторні характеристики цих решіток.

Ключові слова: напівтрупа перетворень, нільпотентна піднапівгрупа, інверсна симетрична напівгрупа, частковий автоморфізм, скінчений векторний простір, ізоморфізм, група автоморфізмів, решітка ідеалів.

Шафранова А.Н. Нильпотентные подполугруппы полугрупп преобразований. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06. —алгебра и теория чисел. —Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 2000.

Диссертация посвящена изучению строения нильпотентных подполугрупп инверсной симметрической полугруппы IS(M) И полугруппы PAut^CVn) всех частичных автоморфизмов конечного векторного пространства. Описано строение и установлены критерии изоморфизма максимальных нильпотентных подполугрупп из IS(iW)> (где множество М имеет счетную мощность) и максимальных нильпотентных подполугрупп из PAut,(V„).

Приведено простое описание групп автоморфизмов максимальных нильпотентных подполугрупп из IS(A/) для случая, когда множество М имеет не более чем счетную мощность.

Изучено строение решеток идеалов максимальных нильпотентных подполугрупп конечной инверсной симметрической полугруппы, найдены некоторые комбинаторные характеристики указаных решеток.

Ключевые слова: полугруппа преобразований, нильпотентная подполугруппа, инверсная симметрическая полугруппа, частичный автоморфизм, конечное векторное пространство, изоморфизм, группа автоморфизмов, решетка идеалов.

Shafranova Н.М. Nilpotent subsemigroups of semigroups of transformations. — Manuskript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in phisics and mathematics, speciality 01.01.06. — algebra and number theory.— Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

Nilpotent subsemigroups of the inverse symmetric semigroup IS(A/) and the semigroup PAut,(V„) of all partial automorphisms of an и-dimensional vector space V„ over a (/-element field are considered in the dissertation. A method of a correspondence between nilpotent subsemigroups of IS(A/) and partial orders on M introduced for the case of a finite set M by O.G. Ganiushkin and T.V. Kormisheva is generalised and developed for any set M. An analogous method of correspondence between nilpotent subsemigroups of PAut4(V„) and

partial orders on the set of lines of V„ is introduced. Applying these methods the structure of subsemigroups which are maximal among nilpotent subsemigroups of a fixed nilpotence degree for the semigroups IS(Ai) and PAut^V,,) is described. '

The notions of linear equivalency and equal linear types of linear orders on the set of lines of a finite vector space are introduced and studied. The formula for calculating the number of classes of linearly equivalent linear types is obtained.

Criteria of isomorphism of maximal (within a given class of nilpotency) nilpotent subsemigroups of the inverse symmetric.semigroup over a countable set and of maximal nilpotent subsemigroups of PAut,,(V„) are given.

Let M denote at most countable set. It is proved that the group of automorphisms of a subsemigroup 7c IS(jW), which is maximal among all subsemigroups of a given nilpotence degree, can be presented as a semidirect product of two factors, each of which is the Cartesian sum of symmetric groups. In the case when the cardinality of M and the nilpotence degree of T are the same it is established that the group of automorphisms of T is an elementary Abelian 2-group.

The structure of lattices of ideals of finite nilpotent semigroups and the structure of lattices of ideals of maximal nilpotent subsemigroups of the finite inverse symmetric semigroup lS(iW) are investigated. It is proved that the height of the lattices of ideals (left, right and two-sided) of arbitrary finite nilpotent semigroup T is equal to I | -1. An epimorphism from this lattice onto the Boolean of the subset of nonfactorable elements of T is constructed. It is also proved that the width of the poset of principal ideals of a maxima! nilpotent subsemigroup T from ¡S(A/) is equal to the quantity of nonfactorable elements from T, and in the case when the nilpotence degree of T is n a formula for calculating this quantity is obtained. It is shown that maximal nilpotent subsemigroups from IS(A/) are determined by their lattices of ideals.

Key words: semigroup of transformations, nilpotent subsemigroup, inverse symmetric semigroup, partial automorphism, finite vector space, isomorphism, group of automorphisms, lattice of ideals.