Низкоэнергетические эффективные действия и многоразрезные решения матричных моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Государственный научный центр Российской Федерации Институт теоретической и экспериментальной физики

На правах рукописи

Васильев Дмитрий Викторович

Низкоэнергетические эффективные действия и многоразрезные решения матричных моделей

Специальность 01 04 0*2 - т еоретиче' кая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фичико-математических наук

Москва - 2005

УДК 530.145+514.745.82

Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики, г. Москва.

Научный руководитель: д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН А.Ю.Морозов

(ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н. М.А.Олыпанецкий

(ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

д. ф.-м. н. А.В.Разумов (ГНЦ РФ ИФВЭ, г. Протвино)

Ведущая организация: ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка МО

Защита состоится "20" сентября 2005г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 ФГУП ГНЦ РФ Института теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Москва, Б.Черемушкинская, 25, ГНЦ РФ ИТЭФ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ ИТЭФ.

Автореферат разослан: "18" августа 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

З.Васильев

^¿зяТ з

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению многоразрезных решений матричной модели и их приложению к изучению низкоэнергетических эффективных действий для суперсимметричной калибровочной теории

Матричные модели в приложении к изучению физических явлений появились в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона. В этих работах изучалась связь между распределением ядерных уровней и собственных значений случайных матриц. В течение последней четверти двадцатого века матричные модели были применены во многих физических и математических задачах, включая распределение энергетических уровней в сложных системах, квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста, квантовую гравитацию, теорию струн, интегрируемые системы, теорию чисел, комбинаторику графов на поверхностях, инварианты Громова-Виттена и многое другое.

Ключевой задачей квантовой хромодинамики является вопрос получения низкоэнергетического действия из действия калибровочной теории В последние десять лет был достигнут большой прогресс в решении этого вопроса для суперсимметричных теорий. В 1994 Э. Виттен и Н. Зайберг нашли низкоэнергетическое действие для М — 2 суперсимметричной теории, используя тонкий анализ имевшихся результатов о структуре низкоэнергетического действия. Позднее этот результат был подтвержден инстантонными вычислениями в работах Н. Некрасова. Диссертация посвящена изучению различных свойств низкоэнергетического действия N = 1 суперсимметричной теории с материей в присоединенном представлении. Ее затравочное действие выглядит следующим образом:

5 = —1тТг

&7Г

+

'оЙАЛЬНАЯ I

(У (12вс14х\Уа}Ца+ 2 J <12е<12ёМе-2Уф)

/РОС НАЦНОплдмшя I

<?в(Рх\У{Ф) + Н.С. БИБЛИОТЕКА ^

¿Г&ЗЗ!

Здесь введен комплексный параметр т = в/2тг Ь4тгг/д , вонториос су периоде1* V, связанное с ним киральное суперполе. УУа — \Ь2е2У В ае 2У и киральное

суперполе Ф.

В 2001 году в работах Ф. Качазо, К. Вафы, К. Интрилигатора. а затем в работах К. Вафы и Р. Диджкграафа было показано, что для N — 1 суперсимметричной калибровочной теории с материей в присоединенном представлении низкоэнергетическое эффективное действие, записанное в терминах кирального сунерноля глюбола

дается планарным пределом многоразрезных решений эрмитовой матричной модели:

Этот факт является обобщением известного результата Г. Венециано и С. Ян-келовича, получивших в 1982 году ответ для Л/" = 1 суперсимметричной калибровочной теории без материи.

Как в случае N — 2, так и в случае Л/" = 1 теории ответ может быть описан в терминах интегрируемых систем. При эюм фазовое пространство динамической системы совпадает с пространством модулей, возникающим при описании низкоэнергетического действия. В диссертации показана связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уизема, возникающей в теории солитонов.

Диссертация содержит вывод уравнений Виттена-Диджкграафа-Верлин-де-Верлинде (ВДВВ) для первого члена в разложении свободной энергии матричной модели по Уравнения ВДВВ впервые были получены для топологических теорий (то есть теорий, в которых корреляторы не зависят от метрики), и их появление свидетельствует о существовании топологической теории, соответствующей данным решениям матричной модели.

Хотя матричная модель является точно решаемой, явные представления для корреляторов найти довольно сложно. В связи с этим важной задачей является вопрос о вычислении резольвент - производящих функций для корреляторов матричной модели, также имеющих разложение по 1 /Дг. В работе показано, что двухточечная резольвента совпадает с ядром бидифференци-ала Бергмана на кривой.

(2)

(3)

Предполагается, что непланарные вклады в свободную энергию матричной модели описывают голоморфные члены, отвечающие за взаимодействие калибровочной теории с гравитацией. В связи с этим представляется важным получить явные представления для данных вкладов. В работе предъявлено новое детерминантное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию. Это представление позволяет связать диаграммную технику, возникающую в уравнениях ВДВВ, с вычислением старших членов в разложении свободной энергии матричной модели.

Цель работы

Целью диссертации является:

1) изучение низкоэнергетического поведения суперсимметричных калибровочных теорий;

2) изучение предела N—>00, д —► 0 в матричных моделях и вычисление старших вкладов в свободную энергию;

3) связь многорйзрезных решений матричной модели с иерархией Уизема;

4) изучение связй матричных моделей с топологическими теориями и вывод уравнения ВДВВ в многоразрезных решениях матричных моделей.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

1) построение системы Уизема, соответствующей многоразрезным решениям эрмитовой матричной модели;

2) представление двухточечной резольвенты через ядро бидифференциала Бергмана;

3) вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели;

4) вывод детерминатного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели.

Практическая и научная ценность

1) Получен новый пример описания низкоэнергетического действия суперсимметричных калибровочных теории в терминах иерархии Уизема.

2) Получены явные представления для производящих функций корреляторов матричной модели.

3) Показано, что планарный предел свободной энергии матричной модели удовлетворяет уравнениям ВДВВ, что подтверждает связь матричной модели с топологическими теориями.

4) Изучен вопрос о вычислении старших вкладов в статсумму матричной модели. Получены новые явные формулы для первого непланарного вклада

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Quantum Groups and Integrable Systems, Прага, Чехия, июнь, 2003; Quantum Fields and Strings, Домбай, Россия, август, 2003; 65th Workshop on General Algebra, Потсдам, Германия, март, 2003; Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems, Монреаль, Канада, июнь-июль, 2005; научном семинаре Центра Нелинейных Исследований Лос-Аламосской Национальной Лаборатории, США, 2003; физико-математическом семинаре математического факультета университета г. Анжер, Франция, март, 2003. По материалам диссертации опубликовано 4 научные работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.

Содержание диссертации

Глава 1 является введением в приложение матричных моделей к изучению низкоэнергетических эффективных действий в суперсимметричных квантовых теориях поля.

Глава 2 содержит описание многоразрезных решений эрмитовой одномат-ричной модели:

/ = Z = (4)

JNxN

(f(X)) = DXfW exp (-jW(X)) , (5)

где V(X) = ES1 tnXn, t0 = hN.

Возникновение таких решений наиболее естественно в представлении матричной модели через собственные значения. При этом матричная модель выглядит как квантовая механика 2-мерного кулоновского газа (в пределе бесконечной массы), живущего на прямой во внешнем потенциале. В пределе N —» оо, д —► 0 естественно ввести плотность собственных значений

в(А) = л£й(А-А,), (6)

г

и ожидать, что она будет ненулевой только на конечных носителях - в минимумах потенциала. Для фиксации чисел заполнения 5t в многоразрезном решении необходимо введение соответствующих им химических потенциалов П,:

Seff[(r,S„t0itk]= - [ V(X)g(X)dX + if g(X)log |A - A'| g{X')dXdX'— Jv J Jt>

-По (^A)dA - t0) - Qf e(X)dX - s^.

(7)

Многоразрезные решения также естественно получаются решением петлевых уравнений матричной модели:

[V'{x)W{x)}_ = W{xf + h2W{x, х), (8)

где использовано определение одноточечной и многоточечной резольвент-

к=О

Для получения многоразрезных решений необходимо использовать разложение как свободной энергии, так и резольвент но Л,

Т = г0, ¿1, к,...) = £ Й2/1 2Я>, (11)

й=0

оо

ЩА1,...,А5) = ^а2ЛВД1,...,Ля), я>1. (12)

/г=0

Ответы записываются с помощью гиперэллиптической кривой, параметры которой выражаются через потенциал матричной модели и через числа заполнения 5,:

у2 = У'(А)2 + 4Рга_1(А), (13)

у = М(А)у = М(А)^Д1^1(А-дв). (14)

Здесь Рт_1 - произвольный (то есть не фиксируемый петлевыми уравнениями) полином степени ш — 1. Кривая (13) имеет п разрезов и, соответс1венно, может быть представлена в терминах точек ветвления Числа заполнения 5г и химические потенциалы П, выражаются через интегралы по А и В циклам кривой соответственно:

п, = / усгА. (16)

Jвi

Полный набор модулей у нас состоит из т + п переменных. Действихелыю, если зафиксировать старший коэффициент в У(\) равным 1 /т, то остаются т коэффициентов полинома У(А) (свободный член не входит в уравнения) и т коэффициентов полинома Рт_1(А). Так как мы зафиксировали

род кривой д — п — 1, то это дало нам m — п связей. Итого мы имеем 2т — (т — п) = т + п модулей. Из них т + 1 параметров это tu- включая tо, оставшимися мы выбираем числа заполнения ,5'г.

В диссертации показано, что многоразрезные решения описываются системой Зайберга-Виттена-Уизема.

Мы называем системой Зайберга-Виттена следующий набор данных:

1° семейство М. римановых поверхностей С, такое, что размерность пространства модулей совпадает с родом кривой;

2° мероморфный дифференциал dS, чьи вариации по модулям голоморфны.

В случае матричной модели это дифференциал dS = ydX. Эти данные позволяют определить препотенциал Зайберга-Виттена, связанный с интегрируемой системой. Действительно, в диссертации показано, что

** = Ж (17)

- голоморфные дифференциалы, нормированные условием

= V (18)

Препотенциалом Зайберга-Виттена называется функция F такая, что

1 = (19>

Ее существование следует из симметричности матрицы периодов гиперэллиптической кривой

= fBdu3 = Tl}, (20)

которая, в свою очередь, вытекает из билинейных соотношений Римана. В данной работе система Зайберга-Виттена обобщается до обобщенной системы Уизема. Это приходится сделать, чтобы ввести параметры (или, как их

часто называют, времена) Это делается введением в дополнение к голоморфным дифференциалам набора мероморфных дифференциалов:

ПО 19(18 <9Н

^ = 2 ай"' (21)

с1Пк = (А*-1 + 0(1)) (1\, при А -> оо, к > 0, (22)

геЯоо^Оо = -ге8оо_с/П0 = — (23)

Обобщенная система Уизема задается системой уравнений на эти дифференциалы:

частные производные берутся при постоянной А.

При этом мероморфные дифференциалы (21), определены с точностью до голоморфных. Так как в нашем подходе Зг и независимые переменные, этот произвол убирается наложением условий:

1 Г

А <Й1* = 0У»Л (25)

При этом переменные ^ могут быть инвариантно определены аналогично

tjt = -^resoo (A kdS) , fc = l, ...,m, to = res^dS. (26)

К

Препотенциал определяется по отношению ко всем модулям уравнением (19) и

^ = ^resA=00(AkdS) = ^vк, к = 1,..., m, (27)

д¥ f°°+

«ГLiS• (28)

Стоит отметить необходимость регуляризации последнего интеграла, что проделано в диссертации. Существование препотенциала доказывается используя билинейные соотношения Римана. В диссертации показано, что препотенциал построенной системы Зайберга-Виттена-Уизема совпадает с пла-нарным пределом свободной энергии многоразрезного решения матричной модели.

Получено выражение для лидирующего вклада в свободную энергию:

1 II"-1

^о = + -П040 + - ПД. (29)

г=1

Также в диссертации проведен анализ вычисления старших резольвент, в частности, показано, что двухточечная резольвента в роде нуль совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой:

Жо(А, йдцЛХ = £ ^^гевоо^^Кх) = В(Р, <Л, (30) ¿,¡>0 ^

где В(/х, - канонический бидифференциал, при этом введены гипер-

эллиптические координаты: А = £(Р) и ц — £(£?). Канонический бидифференциал нормирован условиями отсутствия сингулярностей, кроме двойного полюса в совпадающих точках Р и ф:

т д) = {(т-ит2 + ¿5в(р)+о(1)) (31)

и имеет нулевые Л-периоды.

Глава 3 содержит вывод уравнений ВДВВ

= V /, 3, К (32)

на матрицы третьих производных

ШЬк = д. д. д. = ^ик (33)

ОТ/ ОТ] (Лк

первого члена (^Г0) в разложении свободной энергии матричной модели по 1/Ы.

Вывод уравнений ВДВВ основан на полученной в диссертации формуле вычетов

дйдШк = ?Г68" ¿Ыу = 5ФЛ,Фк' {34)

где

Я/Ы

Ф^ТШ—^-^ (35)

Показано, что уравнения ВДВВ являются условиями ассоциативности алгебры 1-форм на гиперэллиптической кривой многоразрезного решения матричной модели. Показано, что для наличия уравнений ВДВВ необходимо выполнение следующих двух условий-

1° условия равенства числа модулей числу точек ветвления алгебраиче- »

ской кривой

т = #(«); (36)

2° невырожденности матрицы ф"

й^т^о. (з?)

1,а

В диссертации показано, что этот детерминант равен, с точностью до коэффициента, первому непланарному вкладу в свободную энергию матричной модели.

Исследован вопрос о том, как проявляются уравнения ВДВВ в пертурба-тивном разложении Т^.

Глава 4 посвящена вычислению старших членов в разложении Т Поправки старших родов можно найти с помощью итераций, если обратить разложение по родам в петлевом уравнении

Л-1 ~

[К - 2ИЪ(А)) ИЪ(А) - ^ШХ)Ш^(Х) + ^-^(А), где использован линейный интегральный оператор К

и так называемый петлевой оператор

Э А 1 Э

(38)

(39)

связывающий резольвенты и свободную энергию

д д ЭТ

дУ(Хв)дУ(Х^) дУ(Х1) 9 9 9 Ш(Х1). (41)

Ж/ЧА^дПА.,-!) дУ(х2)

Наша стратегия состоит в таком построении интегрального оператора ¿0, который является обратным к интегральному оператору К — 2И/0(А). При этом есть некоторая неопределенность- оператор К — 2И/о(А) имеет нулевые моды и сам по себе необратим. Тем самым, решение петлевого уравнения оказывается определенным с точностью до произвольной комбинации этих нулевых мод. Ядро оператора К — 2И/о(А), таким образом, в точности совпадает с множеством голоморфных 1-дифференциалов на римановой поверхности.

Эта свобода фиксируется тем, что резольвента У/и(А) выражается исключительно в терминах производных и что, как показывается в диссертации, позволяет однозначно определить решение петлевого уравнения. Полученное условие может быть записано в следующем виде:

Основное наблюдение состоит в том, что интегральный оператор

(42)

обратен оператору К—2ЭДо(А) при действии на такие функции /(/¿), которые представляют собой рациональные функции от переменной ц с полюсами конечного порядка только лишь в точках ветвления. Именно такую структуру имеет правая часть петлевого уравнения (38). Здесь 1-дифференциал ¿¿С?(А, ¡л) представляет собой первообразную ядра Бергмана В(Х, /х) относительно второго аргумента //. Полученная техника позволяет получать старшие вклады по степеням Н в резольвенты.

В диссертации получено явное выражение для \У] (А) и показано, что его можно проинтегрировать (41) с целью получения первого непланарного

вклада в свободную энергию

log ПмЫ-Д4-( det *„)

V , lj = l,. .,П-1

12

(44)

Получено новое представление для Т\ через производные от точек ветвления гиперэллиптической кривой:

Основные результаты диссертации

1) Низкоэнергетическое эффективное действие для И — 1 суперсимметричной калибровочной теории описано в терминах системы Зайберга-ВиттенагУизема.

2) Изучен планарный предел многоразрезных решений матричной модели, проведено вычисление планарного предела свободной энергии и резольвент.

3) Получено представление двухточечной резольвенты через ядро бидиф-ференциала Бергмана.

4) Выведены уравнения ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели.

5) Детерминатное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели выведено из петлевых уравнений.

6) Получено новое представление для первого непланарного вклада через точки ветвления гиперэллиитической кривой.

Основные публикации по теме диссертации

1. D.Vasiliev

Determinant Formulas for Matrix Model Free Energy, JETP Letters, 82 (2005) 115-118

(45)

2. L Chekhov, A.Marshakov, A Mironov, and D.Vasiliev DV and WDVV, Phys Lett. 562B (2003) 323-338

3. D.Vasiliev

WDVV Equations and Associative Algebras, Abstracts of 65th Workshop on General Algebra, Potsdam, (2003) 34-35

4. Д.Васильев

Глюинный конденсат и минимум суперпотенциала, Тезисы XLIV научной конференции МФТИ, Москва-Долгопрудный, (2001) 64

»13427.

РНБ Русский фонд

2006-4 8825

Подписано к печати 29 07 05 Формат 60 х % 1/16 Уел печ л 0 9 Уч.-изд л. 0.6 Тираж 100 Закал 513

Отпечатано в ИТЭФ, 117218 Москва, Б Черемушкинская 25

0.1 Общая характеристика работы.

0.2 Содержание диссертации.

0.3 Основные результаты диссертации.

0.4 Благодарности.

1 Эффективное действие

1.1 Суперсимметричные теории.

1.2 N = суперсимметричные теории и теория Зайберга Виттена.

1.3 Нарушенная JV" = теория.

1.4 "Пертурбативное" вычисление суперпотенциала для Af = теории.

2 Многоразрезные решения матричной модели

2.1 Матричные интегралы и резольвенты.

2.2 Решение в роде ноль.

2.3 Матричная модель в представлении собственных значений.

2.4 Система Зайберга-Виттена-Уизема.

2.5 Свободная энергия как препотенциал системы ЗВУ.

2.6 Вторые производные свободной энергии.

3 Уравнение ВДВВ

3.1 Формула вычетов.

3.2 Доказательство условий ВДВВ.

3.3 Уравнения ВДВВ и пертурбативное разложение J-'q.

4 Вычисление непланарных вкладов

4.1 Решение петлевых уравнений в старших родах.

4.2 Вычисления в роде один.

4.3 Свободная энергия в роде один и детерминантное представление.

4.4 Связь с топологической В-моделью.

Глава О

0.1 Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению многоразрезных решений матричной модели и их приложению к изучению низкоэнергетических эффективных действий для суперсимметричной калибровочной теории.

Матричные модели [1] в приложении к изучению физических явлений появились в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона. В этих работах изучалась связь между распределением ядерных уровней и собственных значений случайных матриц. В течение последней четверти двадцатого века матричные модели были применены во многих физических и математических задачах, включая распределение энергетических уровней в сложных системах, квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста, квантовую гравитацию, теорию струн, интегрируемые системы, теорию чисел, комбинаторику графов на поверхностях, инварианты Громова-Виттена и многое другое.

Как в случае Л/" = 2, так и в случае Л/" = 1 теории ответ может быть описан в терминах интегрируемых систем. При этом фазовое пространство динамической системы совпадает с пространством модулей, возникающим при описании низкоэнергетического действия. В диссертации показана связь многоразрезных решений матричной модели с иерархиейУизема [19] (см. также [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]), возникающей в теории солитонов. Можно ожидать, что существует соотношение между статистической суммой в планарном пределе и квазиклассической или уиземовской иерархией хотя бы уже по той причине, что матричные интегралы сами по себе являются тау-функциями иерархий интегрируемых уравнений типа КП/Тоды [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].

Диссертация содержит вывод уравнений Виттена-Диджкграафа-Вер-линде-Верлинде (ВДВВ) для первого члена в разложении свободной энергии матричной модели по 1 /N [34]. Уравнения ВДВВ [35, 36, 37] впервые были получены для топологических теорий (то есть теорий, в которых корреляторы не зависят от метрики), и их появление свидетельствует о существовании топологической теории, соответствующей данным решениям матричной модели.

Хотя матричная модель является точно решаемой, явные представления для корреляторов найти довольно сложно. В связи с этим важной задачей является вопрос о вычислении резольвент - производящих функций для корреляторов матричной модели, также имеющих разложение по 1/iV. В диссертации показано, что двухточечная резольвента совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой [38].

Предполагается [39, 40, 41], что непланарные вклады в свободную энергию матричной модели описывают голоморфные члены, отвечающие за взаимодействие калибровочной теории с гравитацией. В связи с этим представляется важным получить явные представления для данных вкладов. В работе предъявлено новое детерминантное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию. Это представление позволяет связать диаграммную технику, возникающую в уравнениях ВДВВ, с вычислением старших членов в разложении свободной энергии матричной модели [38, 42].

Цель работыЦелью диссертации является:• изучение низкоэнергетического поведения суперсимметричных калибровочных теорий;• изучение предела N —► оо, д —> 0 в матричных моделях и вычисление старших вкладов в свободную энергию;• связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уи-зема;• изучение связи матричных моделей с топологическими теориями и вывод уравнения ВДВВ в многоразрезных решениях матричных моделей.

Научная новизнаОсновные результаты работы являются новыми. Среди них:• построение системы Уизема, соответствующей многоразрезным решениям эрмитовой матричной модели;• представление двухточечной резольвенты через ядро бидифферен-циала Бергмана;• вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели;• вывод детерминатного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели.

Практическая и научная ценность• Получен новый пример описания низкоэнергетического действия суперсимметричных калибровочных теории в терминах иерархии Уизема.• Получены явные представления для производящих функций корреляторов матричной модели.• Показано, что планарный предел свободной энергии матричной модели удовлетворяет уравнениям ВДВВ, что подтверждает связь матричной модели с топологическими теориями.• Изучен вопрос о вычислении старших вкладов в статсумму матричной модели. Получены новые явные формулы для первого непла-нарного вклада.

Апробация диссертации и публикацииРезультаты диссертации докладывались на международных конференциях: Quantum Groups and Integrable Systems, Прага, Чехия, июнь, 2003; Quantum Fields and Strings, Домбай, Россия, август, 2003; 65th Workshop on General Algebra, Потсдам, Германия, март, 2003; Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems, Монреаль, Канада, июнь-июль, 2005; научном семинаре Центра Нелинейных Исследований Лос-Аламосской Национальной Лаборатории, США, 2003; физико-математическом семинаре математического факультета университета г. Анжер, Франция, март, 2003. По материалам диссертации опубликовано 4 научные работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.

1. Madan Lai Mehta. Random matrices. 3rd ed. Pure and Applied Mathematics 142. Amsterdam: Elsevier, xviii, 688 p., 2004.

2. N. Seiberg and Edward Witten. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in n=2 supersymmetric qcd. Nucl. Phys., B431:484-550, 1994. hep-th/9408099.

3. N. Seiberg and Edward Witten. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in n=2 supersymmetric yang-mills theory. Nucl. Phys., B426:19-52, 1994. hep-th/9407087.

4. Nikita A. Nekrasov. Seiberg-witten prepotential from instanton counting. Adv. Theor. Math. Phys., 7:831-864, 2004.

5. Nikita A. Nekrasov. Seiberg-witten prepotential from instanton counting. 2003. hep-th/0306211.

6. N. A. Nekrasov. Solution of n=2 gauge theory. Prog. Theor. Phys. Suppl., 152:73-79, 2004.

7. F. Cachazo, Kenneth A. Intriligator, and Cumrun Vafa. A large n duality via a geometric transition. Nucl. Phys., B603:3-41, 2001. hep-th/0103067.

8. Freddy Cachazo and Cumrun Vafa. N = 1 and n = 2 geometry from fluxes. 2002. hep-th/0206017.

9. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa. Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories. Nucl. Phys., B644:3-20, 2002. hep-th/0206255.

10. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa. On geometry and matrix models. Nucl Phys., B644:21-39, 2002. hep-th/0207106.

11. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa. A perturbative window into non-perturbative physics. 2002. hep-th/0208048.

12. Kresimir Demeterfi, Nivedita Deo, Sanjay Jain, and Chung-I Tan. Multiband structure and critical behavior of matrix models. Phys. Rev., D42:4105-4122, 1990.

13. J. Jurkiewicz. Regularization of the one matrix models. Phys. Lett., B245:178-184, 1990.

14. Cedomir Crnkovic and Gregory W. Moore. Multicritical multicut matrix models. Phys. Lett., B257:322-328, 1991.

15. Jan Ambjorn and G. Akemann. New universal spectral correlators. J. Phys., A29:L555-L560, 1996. cond-mat/9606129.

16. Gabrielle Bonnet, Francois David, and Bertrand Eynard. Breakdown of universality in multi-cut matrix models. J. Phys., A33:6739-6768, 2000. cond-mat /0003324.

17. A. Alexandrov, A. Mironov, and A. Morozov. Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory, i: Finite size hermitean 1- matrix model. Int. J. Mod. Phys., A19:4127-4165, 2004. hep-th/0310113.

18. G. Veneziano and S. Yankielowicz. An effective lagrangian for the pure n=l supersymmetric yang-mills theory. Phys. Lett., B113:231, 1982.

19. I. M. Krichever. The r-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories. Commun. Pure Appl. Math., 47(4):437-475, 1992. hep-th/9205110.

20. A. Gorsky, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov. Rg equations from whitham hierarchy. Nucl. Phys., B527:690-716, 1998. hep-th/9802007.

21. A. Marshakov and A. Mironov. Seiberg-witten systems and whitham hierarchies: A short review. 1998. hep-th/9809196.

22. A. Marshakov. Seiberg-Witten theory and integrable systems. Singapore, Singapore: World Scientific, 1999. 253 p.

23. H.W.(ed.) Braden and I.M.(ed.) Krichever. Integrability: The Seiberg-Witten and Whitham equations. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, ix, 276 p., 2000.

24. L. Chekhov and A. Mironov. Matrix models vs. seiberg-witten/whitham theories. Phys. Lett., B552:293-302, 2003. hep-th/0209085.

25. Vladimir A. Kazakov and Andrei Marshakov. Complex curve of the two matrix model and its tau- function. J. Phys., A36:3107-3136, 2003. hep-th/0211236.

26. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov. Matrix models of 2-d gravity and toda theory. Nucl. Phys., B357:565-618, 1991.

27. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Orlov, and A. Zabrodin. Matrix models among integrable theories: Forced hierarchies and operator formalism. Nucl. Phys., B366:569-601, 1991.

28. A. Marshakov. Integrable structures in matrix models and physics of 2-d gravity. Int. J. Mod. Phys., A8:3831-3882, 1993. hep-th/9303101.

29. A. Mironov. 2-d gravity and matrix models. 1. 2-d gravity. Int. J. Mod. Phys., A9:4355-4406, 1994. hep-th/9312212.

30. A. Mironov. Matrix models of two-dimensional gravity. Phys. Part. Nucl., 33:537-582, 2002.

31. A. Morozov. Integrability and matrix models. Phys. Usp., 37:1-55, 1994. hep-th/9303139.

32. A. Morozov. Matrix models as integrable systems. 1995. hep-th/9502091.

33. L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov, and D. Vasiliev. Dv and wdw. Phys. Lett., B562:323-338, 2003. hep-th/0301071.

34. Edward Witten. On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity. Nucl. Phys., B340:281-332, 1990.

35. Robbert Dijkgraaf, Herman L. Verlinde, and Erik P. Verlinde. Topological strings in d < 1. Nucl. Phys., B352:59-86, 1991.

36. A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov. Wdvv-like equations in n = 2 susy yang-mills theory. Phys. Lett., B389:43-52,1996. hep-th/9607109.

37. L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov, and D. Vasiliev. Complex geometry of matrix models, hep-th/0506075, 2005. hep-th/0506075.

38. Albrecht Klemm, Marcos Marino, and Stefan Theisen. Gravitational corrections in supersymmetric gauge theory and matrix models. JEEP, 03:051, 2003. hep-th/0211216.

39. Robbert Dijkgraaf, Annamaria Sinkovics, and Mine Temurhan. Matrix models and gravitational corrections. Adv. Theor. Math. Phys., 7:11551176, 2004. hep-th/0211241.

40. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, H. Ooguri, C. Vafa, and D. Zanon. Planar gravitational corrections for supersymmetric gauge theories. JEEP, 04:028, 2004. hep-th/0310061.

41. D. Vasiliev. Determinant formulas for matrix model free energy. To appear in JETP Letters, 2005. hep-th/0506155.

42. Robbert Dijkgraaf, Sergei Gukov, Vladimir A. Kazakov, and Cumrun Vafa. Perturbative analysis of gauged matrix models. Phys. Rev., D68:045007, 2003. hep-th/0210238.

43. Chekhov and Yu. Makeenko. The multicritical kontsevich-penner model. Mod. Phys. Lett., A7:1223-1236, 1992. hep-th/9201033.

44. John D. Fay. Theta functions on Riemann surfaces. Lecture Notes in Mathematics. 352. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 137 p. DM 16.00; $ 6.60 , 1973.

45. A. A. Belavin, Alexander M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory. Nucl. Phys., B241:333-380, 1984.

46. V. G. Knizhnik. Analytic fields on riemannian surfaces. Phys. Lett., B180:247, 1986.

47. V. G. Knizhnik. Analytic fields on riemann surfaces. 2. Commun. Math. Phys., 112:567-590, 1987.

48. V. G. Knizhnik. Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry. Sov. Phys. Usp., 32:945-971, 1989.

49. D. Lebedev and A. Morozov. String partition functions and hyperelliptic surfaces. Nucl. Phys., B302:163, 1988.

50. A. Morozov. Two loop statsum of superstring. Nucl. Phys., B303:343, 1988.

51. V. A. Kazakov, A. Marshakov, J. A. Minahan, and K. Zarembo. Classical / quantum integrability in ads/cft. JHEP, 05:024,2004. hep-th/0402207.

52. A. Marshakov. Quasiclassical geometry and integrability of ads/cft correspondence. Theor. Math. Phys., 142:222-236, 2005. hep-th/0406056.

53. A. Mironov. Wdvv equations and seiberg-witten theory. 1998. hep-th/9903088, in 23].

54. К. Hoevenaars, P. H. M. Kersten, and R. Martini. Generalized wdw equations for f(4) pure n = 2 super-yang- mills theory. Phys. Lett., B503:189-196, 2001. hep-th/0012133.

55. Francois David. Nonperturbative effects in matrix models and vacua of two- dimensional gravity. Phys. Lett., B302:403-410, 1993. hep-th/9212106.

56. Olaf Lechtenfeld. On eigenvalue tunneling in matrix models. Int. J. Mod. Phys., A7:2335-2354, 1992.

57. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov. Generalized kontsevich model versus toda hierarchy and discrete matrix models. Nucl. Phys., B397:339-378, 1993. hep-th/9203043.

58. E. W. Barnes. The theory of the double gamma function. Phil. Trans.Roy.Sос., A196:265-387, 1901.

59. Michio Jimbo and Tetsuji Miwa. Qkz equation with |q|=l and correlation functions of the xxz model in the gapless regime. J. Phys., A29:2923-2958, 1996. hep-th./9601135.

60. Erdelyi A. Bateman H. Higher transcendental functions. Vol. III. New York: McGraw-Hill Book Co., 1955. Bateman Manuscript Project, California Institute of Technology.