Нормализация системы уравнений Гамильтона, близкой к интегрируемой, в резонансной зоне тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

ОД

На правах рукописи " УДК 517.933

Росеков Юрий Владимирович

НОРМАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА, БЛИЗКОЙ К ИНТЕГРИРУЕМОЙ, В РЕЗОНАНСНОЙ ЗОНЕ

(01.01.02 — дифферешгаальные уравнения)

•АВТОРЕФЕРАТ • •

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель — кандидат физико-матеметических наук, доцент Н.Н.Нехорошев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук С.Б.Куксин,

кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Сванидзе Ведущая организация — Институт ядерной физики СО РАН

Защита диссертации состоится 18 ноября 1994 г. в 16 часов 05 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899 ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан !$ 1994 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П.Лукашенко.

Общая характеристика работы Актуальность темы

В природе часто встречаются процессы, описываемые системами сравнений Гамильтона, отличающимися от интегрируемых малым возмущением. В качестве примера можно привести движение планет вокруг Солнца. Задачу о влиянии малых гаиильтоновых возмущений на интегрируемую гамильтовову систему А.Пуанкаре назвал основной задачей динамики. Для изучения подобных задач развиты методы теории возмущений. Фазовое пространство интегрируемой системы состоит из анвариантных торов Г = const, где 1,<р — переменные "действие-угол". Георема KAM (см. [1], [2]) утверждает что в случае общего положения при малом возмущении системы большинство этих торов сохраняется, лишь слегка деформировавшись. В [2] показано, что в случае двух степеней свободы, при условии изоэнергетической невырожденности, отсюда следует вечная устойчивость всех решений. В случае большего числа степеней свободы, вообще говоря, переменные действия могут сколь угодно далеко уходить ог своих начальных значений. Однако в [3] была доказана теорема-, утверждающая, что при выполнении "условий крутизны" для невозмущенного гамильтониана, которые имеют место в случае общего положения, "время удержания" точки lit) вблизи

[1] Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН. 1954. Т. 98 N. 4. с. 527-530.

[2] Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18 N. 5. с. 13-40.

[3] Нехорошее Н.Е. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // УМН. 1977. Т. 32. N. 6. с. 5-66. . ........

1(0) экспоненциально велико по сравнению с величиной, обратной порядку возмущения. В дальнейшем эта оценка была значительно усилена в частном случае, когда невозмущенный гамильтониан является квазивьшуклым, см. [4], [5], [6], [7].

Особую роль в теории возмущений играют нормализующие замены переменных, в результате которых на некотором множестве удается задать такую систему координат, в которой функция Гамильтона приобретает вид, более удобный для исследования поведения решений. В частности, на участке фазового пространства, расположенном в пересечении окрестностей некоторых резонансных поверхностей, с помощью процедуры Цейпеля можно построить координаты, близкие к исходным, в которых разложение Фурье возмущенного гамильтониана не имеет не-резонансяых гармоник с точностью до экспоненциально малого остатка. Такое утверждение было получено в [8] и являлось важнейшим элементом доказательства экспоненциальной оценки в [3].

Цель работы.

В диссертации решается задача получения более сильных, чем у

[4] Лошак П. Кононическая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // УМН. 1992. Т. 47 N. 6 С. 59-140.

[5] Lochak P. Stabilité en temps exponentielles des systèmes Hamiltoniens proches de systèmes intégrables: résonanses et orbites fermés' // Preprint Laboratoire de i'Ecole Normale Supériore. 1990.

[6] Pöschel J. On Nekhoroshev's Estimate for Quasi-Coavex Hamiltonian; // Preprint, Forschungsinstitut für Mathematik ETH. Zürich. 1991.

[7] Pöschel J. Nekhoroshev estimates for quasi-convex hamiltonian system U Math.' Z. 1S93. Bd. 213. Nr. 2. S. 187-216.

[8] Нехорошее H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. II // Труды семинг раим. Петровского. 1979. N. 5. С. 5-50.

предшественников, опенок при нормализации возмущенной гамильто-новой системы вблизи резонансных поверхностей. Рассматривается вопрос о близости нормализованного гамильтониана к усреднению по быстрым фазам исходного. Решается задача об уточнении экспоиенпиаль-ной оценки устойчивости переменных действия в случае крутого невоз-мущенвого гамильтониана.

Научичя новизна.

В диссертации доказан новый вариант теоремы о нормализации гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой, в резонансной зоне. При этом получены более сильные, чем у предшественников, опенки отличия нормализующей замены переменных от тождественного преобразования, экспоненциально малого остаточного члена. Доказана также малость разности нормализованного и усредненного гамильтонианов. На основе полученной теоремы доказана экспоненциальная опенка времени устойчивости переменных действия в случае крутого невозмушен-ного гамильтониана, значительно более сильная, чем п [3].

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методы исследования.

В диссертации используются методы теории возмущений (процедура Цейпеля последовательного исключения быстрых фаз), а также методы теории функций комплексного переменного.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации являются продвижением в теории возмущений гамильтоновых систем. Они могут найти применение в задачах гамильтоновой механики.

" Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара имени Петровского и ММО в 1993 г., а также научно- ■ исследовательских семинарах кафедр дифференциальных уравнений (под рук. доц. НЛ.Нехорошева) и теоретической механики (под рук. проф В.В.Козлова).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, вторая из которых разбита на 4 параграфа, и списка литературы, содержащего 24 наименования. Общий объем диссертации 100 стр.

. Содержание диссертации .

Исследуются гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым. В главе 1 доказана теорема о существовании замены переменных, близкой к тождественной, приводящей возмущение к резонансному виду с точностью до экспоненциально малого остатка. Теорема усиливает утверждение пормализационной леммы, доказанный в [8]. Кроме того доказано, что нормализованный гамильтониан мало отличается от усреднения по быстрым фазам исходного гамильтониана.

Порядком целочисленного вектора к £2' называется величина

1*1=Е м-

¿=1 1

Определение 1. Будем говорить, что вектор к € Ъ' является ¡/-резонансным для множества {7, где V > 0, если найдется такое I £ что

1М7))|<«/.

Символом ||_ || обозначается норма линейного оператора в эрмитовом пространстве С'.

Замкнутой областью будем называть объединение области с ее границей.

Пусть X — подмножество некоторого метрического пространства. Под X + е мы будем понимать ^-окрестность множества X, а под X — е — множество точек, содержащихся в X вместе со своей ¿"-окрестностью.

Пусть множество Г есть декартово произведение множеств Р] и 7*2: Е = ¿"5 х Введем обозначение

? - = (Ъ ~ £1) X (Ъ - £2)-

Аналогично определяются множества.Р 4- (£], £2), £2, £"з)т

Теорема1 (об уничтожении нерезонансных гармоник). Пусть

Н=Н0(1)+Н1(1,р,<р,д),

-де I = (/!,:..,!,), р = (р1,...,рв_4), ч> = (¥>ъ---.¥>*). 9 = (чь---, !п-л), — аналитическая, 2тг-периодическая по переменным <р функция, шределенная на множестве

А/'х X {|1ту>| </>},

причем А/ С С', Avq С С2<п_1' — замкнутые области, р > 0. Зададим произвольное число к g (0,1).

Пусть ■ ....

Bi(I,p,v, q)='£;hh(I,p,q)eih>

— разложение функции Н\ в ряд Фурье. Введем обозначение

iteAnz*

где Л — линейная оболочка всех ^-резонансных для множества А/ целочисленных векторов к порядка не больше N, < N. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) supi6A) I - эр < т (функции, зависящие только от тг, s, р, к, тп, будем называть константами);

2) dimA <s;

3) на множестве F

[grad#,|<M;

4) имеют место неравенства

N>N0,

б;- < 1,

I/

-: < 1,

V

где Ло, 02 —: константы, конкретный вид которых, а также фигурирующих ниже констант L\,Li> бз, имеется в доказательстве.

Тогда можно построить аналитический канонический диффеоморфизм В : (J,P, ф, Q) (/, р, уз, д) со следующими свойствами.

f

А. Диффеоморфизм В отображает некоторое множество Го С Р на

множество Г — (Ь], &2, Ь3), гле

. —--,

/Ш'+ЧС-")

Ь2 = Ь2\

ь 3/>

а ¿1, ¿2 — константы.

B. На Го выполнены следующие оценки смещений координат:

|/-/|<Ьь

• - <р\ < ь3.

C. Гамильтониан Н в новых переметаых •/, Р, ф, <? будет иметь вид

=Я0(7)(?)+

причем функция Нг содержит только те гармоники, номера А: которых принадлежат А, и верны следующие оценки:

М ■

где ^з — константа. '

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В §2.1 дается определение крутой функции и формулируется уточненная оценка времени устойчивости.

Обозначим через Е* евклидово пространство векторов I — (/],...,

I,) с нормой |1| =

Ij, а через Аг[1) — множество всех г-мерных

\Ji=i

аффинных подпространств (плоскостей) Л, проходящих через точку 7 £ £ Es, то есть I £ А.

Пусть Я0 — гладкая функция, определенная в области G С Е' (область — здесь и далее везде — открытое множество). Пусть I £ G и А £ Ат{1) — произвольные точка и плоскость. Обозначим нижнюю грань значений длины вектора grad(iioU) на пересечении области G с лежащей на плоскости Л сферой радиуса т] с центром в точке 1 через ттг/,д(?7):

т/-л(7г)={/'елпЛ--л=ч}|БГаа(Яо|А)1Н'

где Нв |Л — сужение функции Но на Л.

Определение 2. Функцию Но назовем крутой в точке I £ G на плоскости А £ Лг(1), если найдутся числа С > 0,6 > 0,а > 1, такие что функция mi,\(j]) определена на полуинтервале [0,(5) и при этом

sup т>,л(г]) > С{"

о <i<f

при всех f £ (0,8). Величины С и 5 назовем коэффициентами, а а — показателем крутизны.

Определение 3. Функюто Но назовем крутой в точке I, если выполнены следующие два условия. Во-первых, grad/fol; > д, где д > 0. Во-вторых, если число переменных 4 больше одной, то для каждого г = 1,..., s — 1 существуют числа'Сг >-0. 6Г > 0 и аг > 1,

такие что функция На будет крутой в точке I на каждой плоскости А £ Лг(/), перпендикулярной вектору ¡*гас].йо|/, с коэффициентами Сг м 6г и показателем аг.

Числа д,С\,-... 1 и 5],..., ¿,_1 назовем коэффициентами, а с^, ... — показатпелгжи крутизны функции Но в точке I.

Определение 4. Функцию Но назовем -крутой в области (7 с коэффициентами д,С\,... и показателями огг,

...,если эта функция крутая в каждой точке / £ С с этими же коэффициентами и показателями.

Теорема 2. Пусть ,

Я ■= Яо(/) + Н\(1,р,<р,д),

где 1 = р.= рь..'.,рп_з, д ="91,-- <р = Рь• • V», «>

> 2, 2зг-периодическая по переменным <р функция, аналитическая на множестве F:

^ = Ие/еС, Яе(р,9)е Д |1т/,р,^!?|<р},

где <3 и £> — произвольные области в К.'5 и И.2'"-'5) соответственно, р > 0. Пусть при действительных значениях аргумента фушшия . Н принимает действительные значения. Предположим, что функция Но — крутая в области С с коэффициентами д, Сг, <5Г и показателями аг, (г = 1,... — 1), а норма гессиана На ограничена на б величиной т:

д2Н0(Т)

мр в

дР

— ТП < 00.

Зафиксируем произвольное число к £ (0,1), и будем называть константами величины, зависящие только от n,s,p,m,iс, а также от коэффициентов и показателей крутизны функции Я0- Тогда "существует положительная константа Мо = М0(Яо,/>), обладающая следующим свойством. Введем обозначениеМ = sup Igrad Hi I, F

и пусть 0 < М < М0. Пусть (I(t),p(t),!p(t),q(t)} — произвольное действительное решение системы канонических уравнений с гамильтонианом такое что

7(0) 6 G - d, (p(i), q{t)) 6 D - 26 при всех t £ [0, С], где С > 0 — произвольное число. Тогда

\I(t) - 7(0)1 < \ при всех t 6 [0,тш[С,Т]]-Через d,b и Т обозначены следующие величины:

c+i

Ь= i5ilf2(2f+l+(«+l)(3-«))i

С+2(д-И)(1-к) / 1-к \

^ Л / 1 N 2С+Ж«+1К1-«) /„ / 1 \2С+1+(*+1)(1-«>

г=Чм; ехр^?Ы

где б;, i = 4,5,6,7 — константы, а С определяется формулой

С = (aiM- - - (а,_3(ва,_2 + s - 2) + s - 3) + ...) + 2) + 1) - 1 при 5 > 2 и ( = 1 при s'= 2. "

В §§2.2-2.4 изложено доказательство этой теоремы, построенное по той же схеме, что и доказательство аналогичной теоремы в [3]. При этом воспроизводятся- определения вводившихся в [3] понятий, часть из которых изменена с тем, чтобы было возможно применить новую нормализационную теорему (теорема 1).

В главе 3 сформулированы технические леммы, использовавшиеся при доказательстве основных результатов. Часть из них доказана автором; на доказательства других приведены необходимые ссылки.

Выражаю искреннюю признательность кандидату физ.-мат. наук 4 доценту Н.Н.Нехорошеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Ростов Ю.В. Нормализация возмущенной системы уравнений Гамильтона в резонансном случае // Препринт. ИКИ РАН. Пр-1892. 1994. (Статья депонировала в ВИНИТИ 12.07.94 № 1776 В 94)

2. Росиков Ю.В. Уточнение экспоненциальной оценки времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. // Препринт. ИКИ РАН. Пр-1893. 1994. (Статья депонирована в ВИНИТИ 12.07.94 № 1777 В 94)

3. Росиков Ю.В. Нормализация гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, в окрестности резонансов // УМН. 1993. Т. 48. N. 4. С. 204.