Разрешение особенностей алгебраических и дифференциальных уравнений и многогранники Ньютона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ргб о&

, з \\\ОП «95

На правах рукописи

Солеев Ахмаджон

РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН и в Самаркандском государственном университете им. А. Навои

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник А.Д. Брюно

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Д. Мышкис

доктор физико-математических наук, профессор Б. В. Логинов

доктор физико-математических наук B.C. Самовол

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

Защита состоится " " 1995 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 002.40.03 при ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " " ¿¿¿Оли^ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета . -

кандидат физ.-матем. наук - М.П. Галанин

Общая характеристика работы Актуальность темы В настоящее время имеется много нелинейных задач, возникших из астрономии, механики, физики и других естественных наук, которые приводят к необходимости изучения вопросов ветвления решений различных классов уравнений; Для каждого класса таких задач предлагались свои методы их решения. Н.Н.Моисеев1 пишет: "Около трехсот лет назад Ньютон разработал метод, получивший впоследствии название "диаграммы Ньютона", который позволяет найти все малые решения /(я, у) = 0 с /(0,0) = 0. Метод диаграммы Ньютона и в настоящее время является единственным способом, позволяющим построить эффективные численные методы определения всех решений этой задачи. Случай, когда размерность велика (п > 3), приводит к огромным вычислительным трудностям, и способы численной реализации идей Ньютона не известны.... Таким образом, разработка численных методов постбнфуркационно-го анализа - это сейчас одна из важнейших задач вычислительной математики, от решения которой будет зависеть судьба многочисленных прикладных исследований." Поэтому разработка единого метода локального анализа ветвления, эффективного с практической точки зрения, и являющегося непосредственным обобщением "Диаграммы Ньютона" на многомерный случай, представляется актуальной задачей.

Таким обобщением служит метод геометрии показателей степеней, включая многогранник Ньютона и нормальную форму. Многогранник Ньютона был впервые предложен Брюно (1962) для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и интенсивно использовался в работах Арнольда, Вернштейна, Брюно, Варченко, Волевича, Гиндикина, Кушнеренко, Хованского, автора и др. В недавних работах Брюно, Солеев [23,29] и Брюно он был распространен на широкие классы нелинейных уравнений (алгебраических, обыкновенных дифференциалных и в частных производных). Однако все эти работы носила преимущественно теоретический характер. Огсуствовали способы вычисления многогранников Ньютона, что сдерживало применение этого метода в конкретных задачах. Нормальная форма системы ОДУ была~Ъпервые предложена Пуан-. каре (1879) для весьма частного случая. Если система ОДУ имеет

'Иосс Ж., Джозеф Д. Злаиемтлрчля теория устойчивости и бифурхацич. М.: Мир. 1983. Послесловие. С. 291 - 296.

ненулевую линейную часть, то ее можно преобразовать к нормальной форме, которая сводится к системе меньшего порядка с нулевой линейной частью и зачастую сразу интегрируется. Для различных случаев нормализующее преобразование исследовались Пуанкаре, Пикаром, Горном, Дюляком, Биркгофом, Черри, Зигелем, Мозе-ром, Стернбергом и другими. Окончательный вид, способ понижения порядка и общие свойства получены в работах Брюно (1964) и Велицкого (1975).

Цель работы

Разработка нового метода (в том числе его вычислительных аспектов) для локального исследования особенностей системы алгебраических уравнений и системы ОДУ в многомерном случае с широким использованием многогранников Ньютона. Применение этого метода в конкретных задачах механики.

Научная новизна

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Развита геометрия показателей степеней и на ее основе разработан алгоритм вычисления многогранников Ньютона и сопутсвую-щих объектов.

2. На основе этого подхода предложен алгоритм для различения и параметризации всех ветвей алгебраических кривых вблизи особенности. Алгоритм применен в задачах робототехники.

3. Для системы Гамильтона предложен алгоритм нахождения всех таких асимптотических первых приближений системы, которые сами являются системами Гамильтона. Этот алгоритм применен к задачам, связанным с небесной механикой.

4. Развита теория нормальных форм ОДУ, предназначенная для исследования сложных особенностей.

5. Вблизи вырожденной неподвижной точки для обратимой системы ОДУ четвертого порядка, возникшей из гидродинамики, найдены бифуркации периодических, квазипериодических и гомокли-нических решений.

Практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены во всех задачах локального анализа. Предложен единый новый метод исследования особенностей систем алгебраических и дифференциальных уравнений, который основан нг многогранниках Ньютона и применим в различных прикладных за

дачах.

Апробация работы Материалы диссертации докладывались на Международном Конгрессе математиков (Цюрих, Швецария, 1994), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991), по теории особенностей (Лилль, Франция, 1991), по дифференциальным уравнениям (Брно, Чехословакия, 1988; Мешхед, Иран, 1991; Токио, Япония, 1994), по комбинаторике (Киль, Англия, 1993), на Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рига, 1989; Самарканд, 1992), по некорректным задачам (Самарканд, 1989), на Всероссийской конференции по численным методам (Красновидово, 1994), на Чебышевских чтениях (МГУ, 1994), на ряде семинаров в университетах Ташкента, Самарканда, Москвы, Торонто, Монреаля и Института прикладной математики РАН.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации Диссертация изложена на 255 страницах, напечатана на Ш^рС состоит из введения и 4 глав с рисунками н таблицами. Библиография содержит 165 наименований.

Содержание работы Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации, и изложены основные результаты диссертации. Оставшуюся часть работы можно разбить на три части. Первая часть (глава I) посвящена решениям систем линейных неравенств в конечномерном вещественном пространстве. Рассматриваются дискретные множества, их выпуклые многогранные оболочки, грани, нормальные конусы, граничные подмножества и другие объекты. Развита теория этих геометрических объектов. На ее основе разработан алгоритм, позволяющий по заданному дискретному множеству вычислить соответствующий многогранник, т.е. все граничные подмножества, их нормальные конусы и т.д. Этот алгоритм реализован в виде программы, пригодной для любой размерности.

Во второй части, т.е. в главе II, каждому полиному ставится в соответствие его многогранник Ньютона, построенный по множеству векторных показателей степеней мономов этого полинома. С

помощью многогранников Ньютона находятся (1) все первые приближения системы алгебраических уравнений вблизи ее особой точки и (2) соответствующее степенное преобразование, понижающее сложность особенности. На основе этого подхода предложен алгоритм для разделения и параметризации всех ветвей алгебраических кривых вблизи особенности.

В третьей части (гл. III и IV) с помощью геометрии показателей степеней рассмотрены системы ОДУ вблизи особенности. А именио: В главе III рассматривается система ОДУ Гамильтона с т степенями свободы в окрестности нуля или бесконечности. Изучаются укороченные системы такой системы Гамильтона. Предложен алгоритм нахождения всех таких укороченных систем, которые сами являются системами Гамильтона. Предложенный алгоритм применяется в задачах, связанных с небесной механикой. В главе IV вблизи неподвижных точек исследуется четырехмерная обратимая система обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащая малые параметры. Матрица линейной части невозмущенной системы имеет четырехкратное нулевое собственное значение с одной жордановой клеткой. Эта система возникла из гидродинамики после редукции на центральное многообразие задачи о поверхностных волнах на воде. Для этой системы построен многогранник Ньютона и по нему выделены все ее укороченные системы, и указаны области, где каждое из них является первым приближением. Получено пять укороченных систем. Четыре нз них проинтегрированы явно, а пятая (основная) укороченная система не интегрируется. После степенного преобразования координат, основная укороченная система исследуется с помощью метода нормальной формы. В множестве значений параметров выделены и изучены случаи, когда нормализующее преобразование сходится, и случаи, когда оно расходится, но имеется гладкое нормализующее преобразование. Для оставшихся случаев (когда нет ни аналитического ни гладкого нормализующего преобразования) развита теория резонансной нормальной формы и с ее помощью изучены бифуркации периодических квазипериодических и гомоклинических решений.

Переходим к более подробному изложению работы. Глава I. Пусть D - конечное множество целочисленных точек Qj — (дд,..., qjn), j = l,...,s в пространстве ГО." с декартовыми координатами gi,...,<7„. Пусть JR" обозначает сопряженное пространство такое, что для Р = (pi,... ,р„) € B.J и Q = (qi, ...,q„) 6 И" имеется скат

лярное произведение (Р, (}) +... +рг.Яп- Для фиксированно-

го вектора Р обозначим через Бя такое граничное подмножество множества Б, на котором скалярное произведение (Р, ф) принимает наибольшее значение с, т.е.

(Р, <?;) = с для ^еБр и ' т

(Р,^) <с для д;еБ\Бя, В § 1.1 решается задача 1: Для заданного множества О и для каждого Р ф 0 найти все граничные подмножества Юр.

Делается это следующим образом. Рассматривается выпуклая оболочка М точек С} 1,..., составляющих множество О, т.е. многогранник

М = {<?:<?= А1,..., А„ > О, ¿А, = 1}. (2)

}=1 >=1

Поверхность многогранника М состоит из граней различной размерности - вершин, ребер и т.д. Они обозначаются через Г^, где к

- номер грани, й - ее размерность. В пространстве Ш." сопряженном к И" каждой грани Г^ соответствует нормальный конус К^

- множество векторов Р, удовлетворяющих систему линейных соотношений (1). Обозначим Б^ = ПВ и назовем его граничным подмножеством. Ответ на задачу 1 состоит в том, что В/» = Б^ для Р € К^.

Коротко опишем алгоритм, позволяющий по множеству О находить все подмножества и их нормальные конусы К^ (§ 1.1 -1.4). Через К^ обозначим замыкание нормального конуса (см.

(I))-

Теорема 1.2. Пусть Б' - некоторое подмножество множества Б. Тогда а)

К(Б') = К?0,

где Г^ - наименьшая грань, содержащая все точки из Б'.

б) Если Б' не лежит целиком ни в какой грани, шоК(Б') = {0}. Пусть в ГО." заданы векторы VI,..., У„ их коническая оболочка

К = {Р: Р=Е№ А;>0}

является выпуклым конусом. Если никакой из векторов V* н$>мо-жет быть представлен в виде

Ук= Е Ау^, Ау > О,

1=1,3^

то векторы Ti,..., Vr образуют остов конуса К.

Положим 6ij = +1, если вектор К' входит в остов конуса K(Q;) и % = — 1 в противном случае и распишем значения в таблице с г строками (соответствующими Vj) и s столбцами (соответствующими Qj). Таблицу значений % назовем таблицей соответствий (§ 1.2). Совокупность значений для i — »1, •••> 4 и j = ji,...назовем минором и обозначим Такой минор назовем' положитель-

ным, если все его % = +1. Наконец, положительный минор назовем максимальным, если при всяком фиксированном i ф i\,..., it среди чисел 9ijl,..., Oij, есть —1 и при всяком фиксированном j ф ji,... j/ среди чисел ,..., 0itJ- есть —1.

Теорема 2.1. а) Пусть

D^ = D П Г-^ = {Qjt,Qj,} (3)

и у нормального конуса К^ грани Г-^ остов состоит из векторов Vj,,..., Vjt. Тогда минор - максимальный положительный.

6) Обратно, если Mj^'jf - максимальный положительный минор, то подмножество {Q^,..., Qj,} является граничным, т.е. имеет вид (3), где Г-"^ - некоторая грань, и векторы К,, • • ■, Vit образуют остов ее нормального конуса К,-"^.

Пусть размерность многогранника М равна п, и у него имеется точно г гиперграней Г^"-1^ размерности п — 1. На основе теоремы 2.1 составляется таблица соответствия из г строк и s столбцов. На пересечении г-ой строки и j-того столбца стоит "+", если нормаль Ц гиперграни Г-™-1' входит в остов конуса K(<?j), и ставится "-" в противном случае. По таблице соответствий можно выделить все грани rj^, их нормальные конусы К^ и граничные подмножества а также можно составить структурную диаграмму граней [1, 2, 24].

В § 1.5 предложен алгоритм решения задачи 1': Пусть в Ш." задан открытый выпуклый конус К (конус задачи), а в Ж" - конечное множество D. Из множества D нужно выделить только те граничные подмножества для которых нормальные конусы К^ пересекаются с конусом задачи /С.

Эти алгоритмы реализованы в виде программы для IBM - PC совместимых компютеров, которая работает в среде MS - DOS в отдельном файле. Поэтому эти процедуры для решения систем однородных линейных неравенств с целочисленными коэффициентами

могут использоваться другими программами. Описание этой программы приведено в § 1.6.

Пусть в И" задан конус задачи К с остовом Уи..., V*, а в Ш" бесконечное множество О целочисленных точек Q £ Zn такое, что скалярные произведения (Ц,()) ограничены сверху для всех ! = 1,...,* и всех <3 е О.

Задача 1". Для каждого Р € 1С найти граничное подмножество Пр = Ьр П О, где Ьр - опорная к В гиперплоскость с нормалью Р. В § 1.7 показало, как задача 1" сводится к задаче 1'.

Пусть в И" задано несколько конечных множеств Ю,-, г = 1,...,т. Для заданного вектора Р ф 0 и каждого I = 1,...,т имеется свое граничное подмножество 0,/>. Задача 2: Для каждого Р ф 0 найти все граничные подмножества г = 1,..., т. В § 1.8 решается задача 2 и ее варианты 2' и 2". Основные результаты гл. I опубликованы в [1, 2, 6, 7,15, 16, 18, 19, 20, 24, 25].

В главе II рассмотривается система уравнений

/,(Х) ^ £ ацХ<Ъ = 0, , = 1,..., т, (4)

где X® = х'1...х??, XI,...,х„ - вещественные или комплексные переменные и /¡(X) соответственно вещественные или комплексные функции, аналитические в окрестности некоторой точки Х° = (х®,..., х®), являющейся корнем системы (4), т.е. все /,-(Х°) = 0.

Если Xй - особая точка (т.е. в ней ранг матрицы А = (д/./дХ;) меньше чем т), то через эту точку могут проходить несколько ветвей, образованных решениями системы (4). Для каждой из них имеется своя локальная униформизация.

Для кривых (т.е. т = п — 1) в главе II предлагается метод, позволяющий различать все ветви системы (4) вблизи особой точки Х° и вычислять их униформизацию

- — ^¡(п, • • •. 7-„_т), » = 1, • •.. п с любой степенью точности. Эта же процедура пригодна для нахождения тех ветвей алгебраической кривой, у которой некоторые (или все) координаты стремятся к бесконечности. История этой задачи изложена в § 2.0.

Метод многогранников Ньютона который здесь предложен заключается в следующем. Полиному

ЯХ) = ±<ЧХ°1 (5)

у=1

ставится в соответствие множество

. »(/) = {<?: «¿¿О} = {£,.}

называемое его носителем. Выпуклая оболочка множества Б для суммы (5) является многогранником М (см.(2)). Каждой грани Г^ многогранника соответствует ее нормальный конус К^ в пространстве К," сопряженного к И".

В полином (5) сделаем подстановку х; = тр', 1 = 1 , ...,п, где вектор Р = (рь...,р„) - фиксирован. Тогда

/ = £а;.г<^> но

При г —+ оо выделим в этой сумме те слагаемые, которые имеют наибольшую с степень по т. Они выделяются соотношениями (1). Пусть = Бр. Сумма

Ц\Х)=£а}Х«' по 6 = Б<?> (6)

называется укорочением функции /(X) по порядку Р. Пусть Р -произвольный вектор, тогда получаем задачу 1. Множество К(/, /) всех тех и только тех порядков Р, по которым является укорочением функции / назовем конусом укорочения Очевидно,

В дальнейшем показано, что, полагая Р = (1п |ц|,... ,1п|а;п|), по -нормальным конусам К^ можно разбивать пространство <С" переменных X на множества и\л\е) так, что в асимптотическое первое приближение многочлена ¡(X) есть укорочение ^(Х).

В §2.3 введены , понятия укороченной системы и конуса задачи. Система

/¡РО = £ ауХ** = 0 ,« = 1,...,т (7)

называется укорочением системы (4) по порядку Р — (р1,... ,р„), если для каждого г = 1,... ,т многочлен /¿-является укорочением многочлена /,• по порядку Р = (рь... ,рп)-

Множество П векторов Р называется конусом укорочения системы (7), если для любого Р 6 П укорочения по порядку Р системы (4) есть система (7) и обратно, если (7) укорочение системы (4) по порядку Р, то Р € П. Пусть <1/ - размерность укорочения Для

вычисления П возникает задача 2 гл.1. Алгоритм решения задачи 2 дает возможность выделить укороченную систему (7). Размерность укороченной системы (7) - это коразмерность конуса укорочения этой системы, т.е.

<1—п — <ИтП < + ¿2 Н-----Н дт.

Теорема 3.1. Пусть решение полной системы (4) хилеет вид

Х{ = Ь^(1+о(1)), ¿ = 1,...,п (8)

и Р лежит в конусе П укороченной системы (7), тогда

Х,=6,ТР', 1 = 1,...П,

есть решение укороченной системы (7).

Предположим, что в И" задан открытый выпуклый конус К и из множеств Ю(/>) нужно, выделить только те подмножества для ' которых нормальные конусы К^ - пересекаются с конусом /С (ср. задача 2', гл.1). Тогда К - называется конусом задачи. Для исследования окрестности какой-либо точки можно заранее задавать конус задачи К. Например, при исследовании окрестности точки = 0 конус задачи:£ = {Р : р\ < 0,... ,р„ < 0}. Теорема 3.2. Пусть:

а) разложения

ъ = 9г{г) = ^д^г* по. д' е б; с ж', »= 1,...,« (9)

дают ¡-параметрическое решение системы (4);

б) укорочение этого решения по порядку Р есть

х,-=&(£)> г=1,...,п (10)

« Л = (!*, (Я), где С}\ е

в) (7) - укорочение системы уравнений (4) по порядку Р = (ръ ...,р„).

Тогда укорочение (10) решения (9) является решением укороченной системы уравнений (7).

Другими словами: первое приближение решения является решением соответствующего первого приближения системы уравнений. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно, т.е. не всякое решение первого приближения (укорочения) системы уравнений является первым приближением некоторого решения этой системы.

11 I

В § 2.4 развит аппарат степенных преобразований и доказываются теоремы о понижении числа переменных в системе (7), о приведении системы (7) к квазитреугольному виду. Пусть а - квадратная матрица с вещественными элементами ау, и <1е1а ф 0. Преобразование

Ы = г?" ...

Уп = Х?х

(И)

называется степенным преобразованием с матрицей а. Обратное преобразование также является степенным преобразованием с матрицей ¡3 = а'1. В пространстве Н" показателей С} оцо индуцирует линейное преобразование О1 = Приводится ряд свойств сте-

пенного преобразования (11). В частности, показано, что при этом преобразовании укорочение переходит в укорочение; в пространстве Ш." порядков Р оно индуцирует линейное преообразование Р1 = аР; скалярное произведение (Р, ($) сохраняется при степенном преобразовании (11); преобразование (11) взаимно однозначно отображает множество {X : 0 < |х,| < оо, г = 1,...,тг} на множество {У : 0 < ¡у,-| < оо, г = 1,..., п} тогда и только тогда, когда матрица а унимодулярна, множество степенных преобразований образует группу. Отыскание решений системы (4), у которых одна из координат тождественно равна нулю, приводит к аналогичной задаче с меньшей размерностью, которую будем считать решенной. Поэтому в каждом из уравнений системы (7) можно производить сокращения на любое произведение степеней координат.

Теорема 4.1. Если размерность системы (7) равна <1, то существует унимодулярная матрица а такая, что степенным преобразованием (11) с матрицей а и подходящими сокращениями эта система приводится к системе т уравнений относительно <1 переменных.

Обозначим через ¿(г) размерность подсистемы из первых i уравнений системы (7). Очевидно, й{г) < (¡(г + 1). Обозначим с!(т) = <1. Выделим те значения г, для которых сЛ(») < (1(1+1). Пусть это будут

Теорема 4.2. Существует степенное преобразование (11) с унимодулярной матрицей а и сокращения такие, что система (7) размерности д. с подсистемами »1,..., и уравнений приводится к системе т уравнений относительно d переменных, имеющей квазитреугольный вид: подсистема из первых уравнений зависит

от й(г¡) переменных () = 1,...,/).

Эти теоремы конструктивные, т.е. в доказательстве показано как найти унимодулярные матрицы а соответствующего преобразования.

В § 2.5 предложен алгоритм вычисления и определения ветвей алгебраической кривой, т.е. решается основная задача: Дана система уравнений (4), где /,(Х) - многочлены Лорана, и выпуклый конус К в И"; требуется найти все те решения системы (4), у которых в разложении (8) вектор Р = (рц,... ,р„ 1) £ К, Р / 0. Конус К называется конусом задачи.

Для решения этой задачи по каждому /,• образуем многогранник Ньютона М,- и выделим те грани Г^Р с нормальными конусами К^', для которых пересечение К^П/С отлично от нуля. Обозначим ,= 1С П к|? и рассмотрим всевозможные непустые пересечения

/С^П-.-Л^ = Пд, Х=1.....1.

Пусть Пд одно из таких пересечений и ему соответствует укороченная система (7) с то < п — 1. Для укороченной системы (7) сделаем степенное преобразование и сокращения указанные в теореме 4.1. Тогда система (4) перейдет в систему

5,(2/1, -..,»») = ••.,*») = О, « = 1, • • •, т, (12)

а укороченная система (7) перейдет в систему

ЫУ1,.... И) = Х-*1{хь..., *„) = о, .• = 1,..., ш, (13)

где (1 - размерность укороченной системы (7). При этом система (13) имеет конус укорочения Пд = «Пд. Найдем все такие решения У г — У? > г — 1,... ,с1 укороченной системы (13), у которых все ?/; ф О или оо, Если таких решений нет, то задача не имеет решений (8) с Р й Пд. Если они есть , то будем различать два случая:

1) точка у®,...,у5 является изолированным решением системы (13);

2) эта точка лежит на некотором непрерывном множестве решений системы (13), которое является алгебраическим множеством положительной размерности.

В случае 1 решаем систему (13). Пусть ...,у$,0...,0) - корень системы (13), Предположим, что У0 - простой корень системы

(12), и ш = п — 1, то этому корню У° соответствует одна ветвь, которую можно найти но теореме о неявной функции. Вернувшись к исходным переменным с помощью степенного преобразования, получим искомое разложение (8). Если же У = У° - особая точка системы (12) или если в уравнении (12) координаты 1, ...,у„ входят в отрицательных степенях, то сделаем подстановку

| у. = v? + *;> ¿ = 1,

в системе (12) и получим систему

ы{ги---,гп) = £&(у»»---,уп) = 9, « = 1,...,т (14)

с соответствующим конусом задачи Щ. Так для системы (14) получаем основную задачу, но для более узкого множества решений.

Случай 2 является вырожденным. В этом случае решение системы (14) не исчерпываются дискретным множеством точек, а содержат непрерывное множество. Поэтому к разделению ветвей надо привлечь не только первое приближение системы (т.е. укороченную систему), но и следующие приближения. Для произвольной укороченной системы (7) множество решений распадается на конечное число неприводимых алгебраических .многообразий и дальнейшую редукцию можно производить отдельно для каждого из них. Пусть 0 - такое многообразие размерности /. Если оно линейно , то обратимой линейной заменой координат

приведем Я в координатное пространство

= • • • = г* = 0 '

и будем искать решения системы (14) вблизи этого подпространства, т.е. приходим к основной задаче с конусом задачи

К = {Р: р(+1 <0,...,рй<0, рм = = = 0} + П'х.

• Если многообразие Я не переводится в координатное подпространство, то по системе (13) можно составить дополнительное уравнение, первое приближение которого не обращается на Я в тождественный ноль, а в "вырожденном случае" - ввести дополнительные координаты, которые позволяют получить другую укороченную систему.

Здесь описан один шаг процедуры решения поставленной задачи. В результате этого шага первичная Основная задача распадается на конечное число вторичных основных задач, каждая из которых в некотором смысле проще, чем исходная. Некоторые из них имеют единственное решение - ветвь либо не имеют ни одного такого решения; для них процедуру выделения ветвей можно считать законченной.

Для остальных вторичных основных задач процедуру надо продолжить. Через конечное число таких шагов можно отделить все одномерные ветви.

В §2.6 рассматривается классификация особенностей функции положения робототехнических механизмов. Особенности функции положения разделены на два типа. К первому отнесены ее особенности как функции от управляющих координат. Ко второму типу отнесены те особенности, вблизи которых координаты положения и управления не образуют га-мерного многообразия, где п - число степеней свободы. Подробно разобраны особенности функции положения двух механизмов. Результаты главы II опубликованы в [3,4, 5, 11,14, 15,16, 17,18, 22, 23, 30].

В главе III предложен способ нахождения всех таких укорочений системы Гамильтона, которые сами являются системами Гамильтона. Рассмотрим произвольную систему ОДУ

dzifdt Ш i, = <pt(Z), i = 1,..., n, (15)

где ipi многочлены или степенные ряды. Положим = zifi(Z) и запишем систему (15) в виде

(InZ) = F(Z) М £FaZR по Re D2. (16)

Здесь (laZ) = (ln^i,. ..,1п2„), F = (Л,. . .,/„), Fr = (fiR,... ,/„д) € <C" Также, как раньше, по носителю D2 системы (16) находятся множества Гг, D^, К2j и определяется укороченная система

(bZ) = Fjd)(Z)^ Y.FrZr по Re (17)

Пусть теперь п = 2т, Z = (Л", F), где X, Y € С™, и R = (Р, Q), где Р, Q € JRm. Рассмотрим систему Гамильтона

• дН • 9,1 ■ 1 мл

Xi = Wi' = «-1.-.П» (18)

с функцией Гамильтона

по Я=(Р^)£В1сТВ?т. (19)

Если записать систему (18), (19) в виде (16), то для этой системы получаем носитель Юг С П12т. По этому носителю Вг можно для системы (18),.(19) найти все.укорочениные системы (17). При этом укороченная система может не быть системой Гамильтона.

Возникает задача: Для системы (18), (19) выделить все такие укороченные системы (17), которые являются системами Гамильтона, т.е. могут быть записаны в виде

• д'к • д'к ■ 1 /от

с некоторой функцией К(Х, У). В § 3.1 эта задача решается следующим образом.

Пусть Ei - 1-тый единичный вектор. Определим проекцию П из Ш2"1 в Вт+1. вдоль векторов

Е{ + Ец.т - Ет - ¿ = 1,...,т-1 следующим образом: (Р,^) = П(Р, С}), где Р = {р^,... ,}/т) и

г= 1,.. ,,т — 1,

, т—1 , т-1 (21)

Р + т =рт + Е 9,-, 4т = Ят + Е 1=1 1=1

Рассмотрим в Нт+1 проекции Б1! и множеств и Бг, которые являются носителями функции Гамильтона (19) и системы Гамильтона (18) соответственно.

Теорема 3.1. Каждой грани Т^Р многогранника Г^ соответствуют укороченная функция Гамильтона и укороченная система Гамильтона (20) сН —

Обратно: каждой укороченной системе Гамильтона (20) соответствует некоторая грань Т±р многогранника Г^.

Получается следующий алгоритм нахождения всех гамильтоно-вых укорочений (20) системы Гамильтона (18). По носителю Бх функции Гамильтона (19) с помощью формулы (21) находим множество По нему находим грани Т}р, их граничные подмножества ТУ'хр и нормальные конусы К^Р .

Затем находим соответствующие максимальные граничные подмножества Dj^ такие, что ITDj^ = DjjP , и соответствующие укорочения Up функции Гамильтона Л. Оии дают все гамильтоновы укорочения (20) системы (18).

В § 3.2 с помощью предложенного метода выделены все гамильтоновы укорочения известной обобщенной системы Хеннопа - Хей-леса.

В § 3.3 изучены три случая гамильтоповых укорочений автономной гамильтонозой системы с двумя степенями свободы и с нулевыми частотами, которые были рассмотрены в работе Сокольского2. Основные результаты гл. III опублккованы в [29].

В главе ГУ вблизи неподвижной точки рассматривается четырехмерная система ОДУ

X = (L + М)Х + Ф(Х), (22)

где матрица L является жордановым блоком 4x4 с нулевым собственным значением, М - матрица из малых параметров, Ф(Х) -нелинейная функция не ниже второго порядка. Предполагается, что система (22) обратима, а именно, инвариантна относительно преобразования X —*SX, t —» — t с матрицей

/1 о о о л 0-100

0 0 10

Vo о о ~ij

т.е.

S(L + М) = -(L + M)S, 5Ф(Х) = -Ф(5Х).

Система (22) возникает в гидродинамике. Например, задача о поверхностных волнах на воде для числа Бонда близкого к 1/3 и числа Фруда близкого к 1, в результате редукции на центральное многообразие, переходит в подобную систему обыкновенных дифференциальных уравнений5. История этой задачи изложена в §§ 4.0, 4.16, 4.17.

В § 4.1 согласно Арнольду4 линейная часть системы (22), т.е. матрица параметров М, приведена к нормальной форме. Нели-

'Сокольсхий А.Г. 05 устойчивости автономной гамплътоновой системы с двум* степе* нями свободы в случае нулевых частот. ПММ. 1981. Т. 45. N 3. С. 441—449.

3Iooss G., Kirshgassner К. Water waves Jot email etrface lention: en approach via normal form. Proceedings of the Royal Society of Edmbnrg. 1992. V. 122A. P. 267-299.

1 Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров. УМН. 26, вып. 2 (1971).

С. 101-114.

S-

нейиую часть системы (22) можно привести к нормальной форме Белицкого5

У = ГУ + Е(У). (23)

В § 4.2 система (22) записана в виде (16), выписал ее носитель D, т.е. множество показателей степеней системы (16), и по нему па PC вычислен многогранник Ньютона М. Приведена таблица соответствий, которая дала возможность выделить набор укороченных систем. Содержательных укороченных систем найдено пять. Основной укороченной системой оказывается система

¿1 = Х2,

¿2 = tix 1 + ^24)

¿3 = №2 + ¡С4, '

¿4 = /Î2x 1 + ¡1Х3 + ах 1,

где (i\, /¿2 - малые параметры, параметр а 6 Е. Остальные укороченные системы оказываются интегрируемыми и для них найдены явные решения.

В § 4.3 многогранник Ньютона вычислен для нормальной формы Белицкого (23). Основной вывод этого вычисления: инвариантность основной укороченной системы (24) до и после нормализации системы (22) по Белицкому.

§ 4.4 посвящен предварительному исследованию основной укороченной системы (24). Сначала для системы (24) применено степенное преобразование. Так как согласно таблице соответствий, U = (2,5/2,3,7/2,1,2), то степенное преобразование есть

zi = У1Ц2,Х2 = = уз|/х|3,

= У*\ц\7/2,Ц = р, = vu2. В результате этого преобразования и замены времени dt\ — \p[idt система (24) принимает вид

dyi/dii = у2,

dy2/dh = oyi + уз, ,25<

dyi/dti = оуг + J/4, dyi/dti = vyi + ау3 + ayj,

'Белинский Г.Р. О нормальных формах мшмш отображений. УМН. 30, вьш.1. (1975). С. 223.

где а — .^п/л, V — т.е. число параметров понижено до одного.

Найден первый интеграл системы (25):

/1 = + 2<ту1уз + у! - оу\ - 2у2уА + = С.

Теорема 4.2. Система (25) является системой Гамильтона с функцией Гамильтона Н = (1/2)^.

Система (25) имеет две неподвижные точки: первая это начало координат У = 0, а вторая - точка У = У° с координатами у® = (1 -и)/а, = 2/4 = 0, у1 = -<г(1-и)1а.

В § 4.5 приведен анализ системы (25) в линейном приближении, т.е. при а = 0. Найдены собственные значения линейной части системы (25):

■ Заг Л1'3 = ±\Т + \

5

Зст

5

Перечислены все возможные случая расположения собственных значений в зависимости от значений параметров V € И1 и а — ±1:

I.(7=1, —5/4 < и < 1. Здесь все А; веществепны.

II. о = ±1, и < -5/4. Здесь все А,- комплексные.

III. ст = —1, —5/4 < V < 1. Здесь все А,- чисто мнимые.

IV. (7 = ±1, V > 1. Здесь А1 и Аз вещественны, а Аг и Л4 чисто мнимы.

7о- (7=1, и = 1. Здесь А1 и А3 вещественны и Аг = А4 = 0.

71. а = 1, г/ = —5/4. Здесь А1 = Аг ф А3 = А4 вещественны.

72. а = —1, I/ = —5/4. Здесь А1 = А2 Ф А3 = А4 чисто мнимы.

73. (7 — —1, V = 1. Здесь Аг и А4 чисто мнимы и А1 = А3 = 0.

Даны линейные замены координат У = Т2, приводящие линейную часть системы (25) к нормальной форме. После линейного преобразования У = TZ система (25) принимает вид

¿ = вУ + Ф(2), (26)

где С? - жорданова матрица, функция Ф(2) не ниже второй степени по Z. Пусть формальная замена координат

г=и+В(и), (27)

переводит систему (26) в систему

и = ви + Ф(1/) = ЩЦ). (28)

Запишем ее.в виде

Щ = 49i(U) Ы Uj Е^г/О, у = 1,... ,4. (29)

Поскольку G • жорданова матрица, то ее диагональ Л = {Ль..., A4} состоит из собственных чисел матрицы линейной части системы (25).

.Система (28), (29) называется (резонансной) нормальной формой (Брюно®), если: а) G - жорданова матрица, б) в записи (29) имеются только резонансные члены, для которых скалярное произведение (Q, А) = 0. Для всякой системы (26) существует замена (27), приводящая ее к нормальной форме (28).

В дальнейшем (§ 4.7—§ 4.10) с помощью нормальной формы изучены решения системы (25) в случаях I, II, IV и в случае III для иррационального Aj/Лг-

Теорема 8.1 В случаях II и IV нормализующее преобразование сходится.

В случае III все собственные значения Л,- чисто мнимы и различны, при этом

Ai = -A3, Л2 = :-Л4, 0<|AI|<|A,|. (30)

В случае III не применимы теоремы о сходимости нормализующего преобразования, ибо нормальная форма не удовлетворяет условию А (Брюно6).

Теорема 9.2. В случае III при фиксированном щ, для иррационального А1/А2 имеются два аналитических семейства Т\ и Тъ периодических решений. Если выполнено условие и> (БрюнсР) на малые знаменатели Aigi + то имеется аналитическое семейство В условно-периодических решений с отношением частот

АхЫ/АгМ-

В § 4.10 разработана теория строения нормальной формы в резонансных случаях, когда Ai и Аг чисто мнимы и А1/А2 = г/я.

Леммы 10.3 - 10.4. В нормальной форме (88), (89)

00 t 00 t 9i = 9i(p, w, w) - gm{p) + J2 fit{p)w* + J2 hit(p)ü> , » = 1,2,3,4,

"А.Д. Брюно. Локальный метод нелинейного пшш дифференциальных уравнений. М.:

Наука, 1979, гл.5.

где <7¡o, f¡t, Qxhk с ¿ = 1,3 tt gjo,. eifjt, hjk с j => 2,4 суть чисто мнимые степеные ряды по р= (¿ц, ф). Здесь

01 = «1«3, . 02 = «2«4, ш = UÍ«4, "> = «2U3-

У системы (31) семейства периодических решений, включающие точку U, = 0, либо лежат на координатных подпространствах = 0, либо удовлетворяют уравнениям

W — W — <5рз, 5 = ±1,

Ыр,6&з,6ез) =0»

где ßj = |u)| и b¡(p,w,w) = w(a3i + г94). Дана явная формула для определения устойчивости (в линейном приближении) этих периодических решений.

Вещественные решения,системы (25) изучаются в окрестности точки У = 0 для случаев:

III, с рациональными At/Лг — в §§ 4.11 - 4.13;

72, когда а — -1 и v = -5/4, - в § 4.14;

7о и 7з, когда а = ±1 и v = 1, - в§ 4.15;

7i, когда а = +1 и v = -5/4, - в § 4.16.

При этом основное внимание уделено отысканию периодических, условно периодических и гомоклинических решений. Это делается с помощью укороченной нормальной формы системы (25). Например, доказана

Теорема 14.1. Для v близких к vq = —5/4 имеется два семей-ства устойчивых периодических решений, включающих неподвижную точку U = 0 при и > vq и заканчивающихся слиянием при

V < щ.

В §§ 4.16 и 4.17 поясняетя значение найденных решений в терминах поверхностных волн исходной задачи. В § 4.18 сравнивается нормальная форма произвольной обратимой системы, которая использована в настоящей работе, с гамильтоновой нормальной формой, которую можно было бы использовать для системы (25) согласно теореме 4.2. В § 4.19 рассмотрена укороченная система (25) при ц = 0.

Основными новыми результамы главы IV являются: а) существование периодических и квазипериодических, волн в случаях II, 72, III; б) новая теория резонансной нормальной формы ОДУ;

в) использование негамильтоповой нормальной формы, что сильно упростило вычисление; г) инвариантность основной укороченной системы (24) относительно нормализации по Белицкому. Основные результаты гл. IV опубликованы [8,12, 21,25 - 28].

Работа частична поддержана Российским фондом фундаменталь- . ных исследований, грант 93-01-16045.

Основные результаты диссертации опублнкойаны в следующих работах

[1] Солеев А. Алгоритм вычисления многогранников Ньютона, ДАН УзССР, N 5, 1982, с. 14-16.

[2] Солеев А. Алгоритм вычисления многогранника Ньютона в трехмерном случае, Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, N 3,1983, с. 24-31.

[3] Солеев А. Нахождение ветвей трехмерной алгебраической кривой, Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, N 6, 1983, с. 21-27.

[4] Солеев А. Выделение ветвей аналитической кривой и многогранники Ньютона, ДАН СССР, том 268, N 6,1983, с. 1305-1307.

[5] Солеев А. Метод выделения ветвей аналитической кривой и опорные многогранники Ньютона, Исследования по КТДУ и ее приложения. Сб. науч. трудов СамГУ, Самарканд, 1983, с. 41-62.

[6] Солеев А. О применении многогранника Ньютона, Всесоюзная школа-семинар ш некорректвлм задачаы.Тезисы докладов, Новосибирск, 1983, с. 520.

[7] Солеев А., Муясаров А. Вычислительная схема для определения граней опорного многогранника Ньютона, Вопросы геометрии. Сб. научных трудов СамГУ. Самарканд, 1984, с. 51-54.

[8] Солеев А. Бифуркация периодических решений системы Гамильтона, Международная Чехословацкая конференция по диф. уравнениям. Брно. Тезисы докладов, 1985, с. 219-220.

[9] Солеев А., Муясаров А. О приведении систем нелинейных алгебраических уравнений к блочно-треуголъному виду, Вопросы алгебры и теории чисел. Сб. науч. трудов СамГУ, Самарканд, 1986, с. 27-30.

[10] Солеев А. Алгебраические аспекты бифуркации периодических решений системы Гамильтона, Качественные и аналитические методы в динамике систем. Самарканд: изд. СамГУ, 1987, с. 5560.

[11] Солеев А. О конусах задачи и выделении -укороченных систем, Исследования по геометрической теории дифференциальных уравнений. Самарканд: изд. СамГУ, 1988, с. 50-63.

[12] Солеев А. Бифуркация периодических решений в некоторых задачах с симметрие й, VII Всесоюзная конференция по КТДУ, Рига, 1989, с. 54.

[13] Солеев А. Применимость многогранника Ньютона в задачах с симметрией бифуркации периодических решений, Вопросы КТДУ и их приложений, Самарканд: изд. СамГУ, 1989, с. 58-64.

[14] Брюно А.Д., Солеев А. Локальная униформизация ветвей пространственной кривой, Международная конференция по алгебре, Тезисы докладов: т. 3, Новосибирск, 1989, с. 14.

[15] Bruno A.D., Soleev A. The local uniformization of branches of an algebraic curve, Preprint I.H.E.S./M/90/34 (1990), Paris. 21p.

[16] Bruno A.D., Soleev A. The local uniformization of branches of an algebraic curve, Contemporary Mathematics, Vol. 131, part. 3,1992, AMS, p. 361-378.

[17] Soleev A. Local rezolutions of singularities and Newton polyhedra, Congress of Singularities, Lille, FYance, June, 1991, Abstracts, p. 116.

[18] Брюно А.Д., Солеев А. Локальная униформизация ветвей пространственной кривой и многогранники Ньютона, Алгебра и анализ, том 3, вып. 1, (1991), с. 67-102.

[19] Bruno A.D., Soleev A. Ordering in comlicated problems and Newton polyhedra, 14-th British Combinatorical Conference Kelle, 3ule, 1993, Abstracts, p. 96.

[20] Bruno A.D.,SoleevA. Ordering in comlicated problems and Newton polyhedra, Preprint 301/93 (1993) University of Toronto, Dep-t of Computer Science. 8p.

[21] Soleev A. Bifurcation of ten families of periodic solutions in an ODE system, ICDC, Inter. Conference of Dynamical System and Chaos, Tokyo, Japan, 1994, Abstracts, p. 63.

[22] Бркшо А.Д., Солеев А. Классификация особенностей функции положения механизмов, Проблемы машиностроения и надежности машин, N 1, 1994, с. 102-109.

[23] Брюно А.Д., Солеев А. Первые приближения алгебраических уравнений, ДАН, т. 335, вып. 3. 1994, с. 277-278.

[24] Солеев А., Арансон А. Вычисление многогранника и нормальных конусов его граней, Препринт N 36, М.: Ин-т прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН, 1994, 25 с.

[25] Солеев А., Арансон А. Первые приближения одной обратимой системы ОДУ, Препринт N 28, М.: Ин-т прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН, 1995, 20 с.

[26] Брюно А.Д., Солеев А. Локальный анализ особенностей одной обратимой системы ОДУ. Простые случаи, Препринт N 40, М.: Ин-т прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН, 1995, 29 с.

[27] Брюно А.Д., Солеев А. Локальный анализ особенностей одной обратимой системы ОДУ. Сложные случаи, Препринт N 47, М.: Ин-т прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН, 1995, 30 с.

[28] Брюно А.Д., Солеев А. Гомоклииические решения одной обратимой системы ОДУ, Препринт N 54, М.: Ин-т прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН, 1995, 23 с.

[29] Брюно А.Д., Солеев А. Гамилътоновы укорочения системы гамильтона, Препринт N 55, М.: Ин-т прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН, 1995, 26 с.

[30] Брюно А.Д., Солеев А. Об особых положениях некоторых механизмов, Узбекский математический журнал, N 2,1995, с. 42-51.

Солаъа Ахмаджся 'Разрешаем особопосте« шгабраачеспх ■ днффердоаальиых уравнений и многогранники Ныотева." 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Пошаошо в печать ,8.06.93г.'j Заказ № 101. Тираж 1ЯО экз.

Отнимало на роталршггах в Институте прикладной математика АН