Новая модель изопараметрического конечного элемента для геометрически сложных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТРУБАЧЕВ Михаил Иванович

УДК 629.123.539.4

На правах рукописи

НОВАЯ МОДЕЛЬ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ СЛОЖНЫХ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 — механика твердого деформируемого тела

А втореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург >903

Работа выполнена на кафедре строительной механики корабля Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный руководитель заслуженный деятель науки к техники России, доктор техн. наук, профессор ПОСТНОВ В. А.

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки н техники

России, д-р техн. наук, профессор ФИЛИН А. П.;

канд. техн. наук, доцент ПЛЕТНЕВ В. И.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный технический университет.

и — °

Защита состоится « 1Э » ОКТЯБрЯ 1993 г. в ' ' час. на заседании специализированного совета Д 053.23.01 в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете но адресу: 190008, Санкт-Петербург, Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан « 20 » СС-НТЯ^РЯ 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 053.23.01 канд. техн. наук, доцент

С. Г. КАДЫРОВ

С)5щоя пз^кторизтгзкз раЗотгы

ЛктуаяьиЪзть темп. С развитом средств вычислительной техники в корзйростроеним и других областях науки и техники заметно выросла роль расчетных методоз, сценки напрдасенно-даформироазнного состояния мнжоиерных конструкций, ориентированных на использование ЭВМ.

Одним из основных численных методов, используемых в расчетах напря;хснно-дефор?уируе?/ого состояния спорных сболсчечных конструкций, является л'отсд конечных элог/онтсп (М1«3). Эффективность этого метода существенно зависит от того, клх^е соотношения положены п основу получения матриц ггггткезп конечных элементов, применяемых в рзечэте. В настоящее зрямя а расчетах ■ прочности используется подход, когда оболочка моделируется системой конечных элементов, а качества. которых берут части поверхностей, фиксированной формы: цилиндрической, сферической, конической или другой. Форму конечного элэмэнта ограничивают треугольным или четырехугольным контурен.

Для современных обалочечных конструкций, имеющих сложную геометрическую форму и нерегулярнее расположена

подкрепляющпго набора, такой подход приводит к необходимости выбора большого количества конечных элсментсз, нсопрлзданнэ большим затратам ручного труда при подготовке исходных дзкнух, нарушению плавности формы расчетной модели оболочки.

Ияучвгз пазюзяз. 3 работа предлагается общая схема построения изопзра*/этрииеских конечно-эпзментнеетных моделей, свободная от перечисленных недостатков. Суть метода заключается п глобальной параметризации несущей поверхности оболочки системой гауссовых .ксордмнзтных линий, произвольно

расположенных на срединной поверхности оболочки.

Вывод основных зависимостей конечного элемента требует знание функционала энергии 'оболочки в произвольной криволинейной системе координат. В работе функционал энергии получен непосредственно из уравнений трехмерной теории упругости, записанных а тензорной форме.

Для использования полученных теоретических зависимостей в практических вычислениях, необходимо знание первой и второй квадратичной форм поверхности оболочки. В работе предлагается

ноаый алгоритм параметрического описания поверхности корпуса корабля, позволяющий по информации снимаемой о теоретического чертежа построить соответствующие зависимости.

В работа таюте разработан метод учета отдельных ребер пед^ропляощзго набора, без введения дополнительных конечных Е-дементса. Способ состоит в вычислении потенциальной энергии ■ дэформации стержня в матрике срединной поверхности оболочки на основной линии стерхгня. Это позволяет полностью определить деформации стержня по .деформациям оболочки, а таюка автоматически удовлетворить условиям совместности деформаций пересекающихся ребер набора.

Дгстрверсссть результатов. Достоверность обеспечена сргамекис«» полученных а работе решений с решениями Других сатороз, полученных другуми методами, а также тщательным тсстированисги предлагаемой модели на различных классах задач.

Прсгкгчсзкса цезность рейоты. • Предложенный иаспзрйалатричосяий конечно-зламентностный елгтод позволяет с достаточной точность» производить оцэн!су напряженно-до формируемого состояния гесгивтрически сложных оболочек. При сте.л достигается значительное снижение трудоемкости подготсаки исходных данных-. Поучаемая расчетная модель очень хорошо соответствует геометрии реальной оболочки, ©то дает широкие возможности для внедрения предложенного подхода в практику расчета геометрически сложных сболочечных конструкций, в том числа судовых конструкций.

Полученные результаты внедрзнны в С.-Петербургском государстве н ном морском техническом университете и в Комооглсльсксги-на-Амурз политехническом институте.

АпрсСвдсзо рсЗотьз. Основные результаты были доложены на Всесоюзном научном семинаре "Методы потенциала и конечных элементов • в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций" (С.-Петербург, 19Э1 г.) и на научно-технической конференции "Зксплутацйонная и конструктивная прочность судозых конструкций" (Девятые 'Бубновские чтения', Н.-Новгород, 1991 г.).

Структура работы. Диссертационная робота состоит из вседения, пяти глав и заключения, изложенных на 105 страницах машинописного текста, содержащих 31 рисунок, а также список литературы из 108 наименований.

;

Здосд " р^сс-.чотрпн:■] пр"5яс'/ы "-1 -Г-'*

picaro. rffcvoip'-wsar.i опорных оболоч-л* >:срп'/са :jcp".C . 5,

с.'.Тг.пнгзъ-лаотсл aviScp т:г..'ч; c.j z^yrv. "л г!ъ,

'.члзыллотсл содарканиз mir,.

И";кг-п глгг>;% В rvapnon глй гтр:<подчтсл 'срзткиЯ i.'J'cv тсхнпчестай пиерэтури по тсоп':; п;г:ст,:л м сО'^гоч:.*., "-'.

;.мтс~,а ¡.dhg'jhvíx лл~мсигсл л,;п р-етоп : ■ •.

ссс5с1!НосяоП корэболшыч сбсл:-¡3':. Осгемзтгчеогоэ оо.чоз совргмсччоЯ riszi-: «;:*: ;*

:;::т:р-::нгсл 'л рабзгах Л'/бпрц-^'.пиз CA., Лбсссксго Н.П., *v-t. ." м М.П., Дзруг.1 А.П. , Boicja H.H. , Гольдки-:.зРг?рд А,Л., Луеи, ''..'i., í 'сзогилоп B.B, Черных К.Ф., М'осаЗловстогэ 5.£., , .

;/ч:;г!:х других ученых.

Среди инжнсроа-мсханичоч MIÍ3 стако;г.ттсп ccoSsm-.o fitwiyrv; .. кзчъ'ая с 70-х гаде:?, 0пягсдзрл рлботэм craorc.j'; >'. глг/ ученых З.Г.Керкплл, A.MAIacnamivw.a, В.А.Нсолнс::.", Л.Д.г гг.-•'•„•, .\С.С-зхарог-л, И.П.Хзрхуг.'-г.'л, Н.Н.Шг.пошнитег.з, О.с-зк'"--' «•-. Р.Гзплгйрч, Д'-сОдсиз И РЯД'! рруг.1> ЗиТОрСХ

"Лгоргл г:-—:.-;. Згл г.-лса ':i;co;xy - '■

теорцч пе.охреплэннъ:/, с<5ой^«,с л тенссоняЛ •••.

Нег.сср.'здстг'.с-^'.о ел ур:лн'.'!'i'.C*i тр:г*?*?.рной тоср!'!1 упруго-, зялиезмкмх п текзэрнз;! ф*"ру! ггралгел фуна-'.гем-лл i

сЗслоч1:'! л пиг":2е.*.)пьчс"'1 кр^пог'-.- c/gtí:.v^ ííoo,-;;.'::r,t.

Линз."*»* теория сйэ: л л „ г:-?? ~ о ода'Л грааоюгЬХнзй с-. г.ге'-> коапдинат. Полная энергии дефорг/зцга прзигяаг.ьного ynsyren •■?т; i Э с:с,т!дыаззтсл из потенциальной энергии П и работы внеилг.-.х c-í;¡ А, На основании известных 31емоимоот«?»1 теории улр-'-оэти выражению для потпнциапьной энергии доформанич имоот -уд

где и„ - хсазриаитныо компоненты посторл перемещений, е? "••> -тензор упругих постоянных. По верхним и hu&hmi повторяющими!!

имдексам производится суммирование. Встречающиеся в обозначениях тензорных величин греческие индексы принимают значения 1,2, а латмнскме индексы изменяются от 1 до 3.

Для изотропного упругого тела тензор упругих постоянных вычисляется по формулам е'1.™ - ХдЧд'™1 + р. (д'^дШ 4 д'»д1™) , где дта . коэффициенты метрического тензора криволинейной системы координат, жестко связанной с недеформированным телом, X и ц

• коэффициенты Ламе, ^лМ, = дтип - Ешпк ■ пространственнные ковариантные производные, а Г^* - пространственные символы Кристоффела второго рода.

Срединная поверхность оболочки параметризованна системой гауссовых координатных, линий % = 1,2. Третья ось

координатного триадра л8 направлена по нормали к срединной поверхности оболочки (рис. 1).

Обозначим чароз адр , Ьцр - соответственно коэффициенты первой и второй квадратичных форм срединной поверхности. Разложим компоненты вектора перемещений по толщине оболочки а тензорный ряд Тейлора

- Щ ! + л-з&ц | /=0 + | + . . . .

Счмтся оболочку настолько тонкой, что 111 ЬаР I « 1 , и используя

упрощгношио гипотезы КирхгофаЛява: Б|3 = ( + 2зи| )/2 = О,

для аппррксьшацйи перемещений по толщине оболочки получим соэтношйния

м*-3) = иа - лс3даи3 ; и3(лЗ) = и3

где иа, и3 - соответственно касательные м нормальноа перемещения срединной поверхности.

После интегрирования по толщине а метрике срединной поверхности оболочки, для потенциальной энергии деформации получим следующее выражение

/7= Я^.га [ЩУ^У^- гЬори^,,) +

+ ИЬарЬгои3и3 +1/3 Ьз У^ризУ^иэ ]1/аЙХ1с1>гг , (2)

где Ь - полугол ту, на оболочки, а Уаир ; УаЭри3 - соответствующие козариантные производные на срединной поверхности.

Обозначим через

(Рт) = Рт|+| + Рт'*' ; ГРт]^ = [РггГ1 " Рт10]^ .

систему приведенных к срединной поверхности оболочки внешних сил и присоединенных моментов. Здесь рт<-) , рт"1 - компоненты сил нэ различных сторонах оболочки. Тогда работа внешних сил з метрике срединной поверхности вычисляется по формула

А = Я„¡[а«РП({Р«.}ир- (Чр^ЗрИз) + [р^ц^айхЧ* . (3)

Учет подкрепляющего набора. Считаем, что подкрепляющий набор состоит кз стержней с прямолинейной или криволинейной ссъ:о. Ребра набора Жестко связанны своими основаниями с ограничивающими поверхностями оболочки, а поперечные сечения ребер ортогональны поверхности оболочки.

Характер деформации отдельного стерхня зададим кинематичесчой гипотезой. Примем, что составной прямолинейный элемент, образованный примыкающими участками оболочки и стср^нч, первоначально нормальный к срединной поверхности,- остается прямолинейным и нормальным к поверхности оболочки а процессе деформации. Принятая гипотеза полностью определяет деформации

по £ccpcp,v,ациялл оболсчл«. Л таюга лозаоляат азтогиатичссхи Vßc;^fi«TiiO,v,rb усдсглям сосместности деформаций порссскаюиу-яся набора.

Дпл сичиокгнмя потонцмаланоя анергии деформации -.огерхил в потрпкю срэдинной поззрхности обопаччи тасхе сэспаг.ьэус:,«ся oöiciM трэхмерным уравнением теории упругости (1). Примем в качоетао основной линии стержня линию пересечения срзд/WHCii псв-'рхности оболочки с образу ¡ощзй стержня (рис. 2).

С каждой точкой основная линии -стержня свяхсем локальный координатный триедр Ог, П. Ось Ог местного координатного ргпера . кзпрасум по касательной к основной линии. Ось. с2. ро.;шестам а плоскости касательной к срединной поверхности. Тратыо оо-а координатного триедps совестим с нормалью И к поверхности прийодания оболочки, Масштаб по этой оси примам равным единице. Тогда йааариаа уравнение основной линии стержня имеет вид

¡•о.*'= а-Ч*-1'), x*(xv) ) ,

гг.. а*'' • параметр сснознсй линии стержня; -координатные на срединной поверхности несущей оболочки.- Отсюда найдем

;г « а,.Г0Л '= ху«е,

гдз xvCi =

Коордмнаты базисного зоктора Ог. з метрике срединной поверхности нельзя вычислить подобным образом. Для этой цели воспользуемся свойством дмскреммнгнтного тензора переводить координаты вектора п координаты вектора, ему ортогонального. Если формально записать, что

Сг. = - то *2-а = Х\х •

Таким образом матрица Якоби преобразования координат, связанных со срединной поверхностью в координаты, связанные с оснозной линией стержня, имеот вид

I .

Поскольку а явном вида не выделаны геометрические характеристики поперечного сечения ребра жесткости,

интегрирование выражения для потенциальной энергг'и необходимо провести в метрике основной линии стержня. И только посла этого используя матрицу преобразования Якоби перейти к координатам срединной поверхности оболочки. При атом, учитывая что высота подкрепляющего набора значительно превышает толщину сЗолочки, пренебрегать членами, содержащими произведение толщины на кривизну *®ЬаР по сравнению с единицей (как дня оболочки) нельзя.

На основании ранее принятой кинематической гипотезы и найденей матрицы Я ко Си выражение для потенциальной энергии стержня о метрике поверхность) приведения оболочки имоот вид

Лст = 1а|ваР'уо + Ь0рЬ7Оиз^з ) +

+ 2т' Ь0ри3У7Зои3 + п' УаЗри3УуЗ„и:. - (4)

- 2Уйир ( /' Ь,аи, + гп>Уудаи3) ] | | Чабхт '.

IV

-вВ этом выражении /' , т' , п' - приведенные геометрические характеристики поперечного сечения стержня: соответственно приведенные площадь, статический момент и момент инерции

/' = Я„<1 - ^'Ч*8' ,

т' = Я„ - )т/очг-а- с!*4'^' ,' = Я^! (-*®)20 " -Х3^ «^'Л*0, ,

где х,.«- У'р ЬаР - нормальная кривизна поверхности в точках

основной линии стержня.

Третьи 1"йаза. В третьей глзве строятся аналитические выражения для вычислэния коэффициентов матрицы жесткости и вектора угловых усилий для всей конструкции в целом. Раскроем внутренний механизм образования ковариантной производной от компонент вектора посредством введения дифференциального оператора, тождественного ковариантной производной Оор^я - 2р?- даих -Гаряих , где 5рх -символы Кронакера. Для поаторной ковариантной производной от нормального перемещения введем обозначение

ЕЗ этих обозначениях выражение для функционала энергии оболочки с произвольней криволинейной система координат примет вид

Э= //(г)ооФ.Го [ ^Ц^Ч.Оуо^ - 2Ьац<Щ^%) + +• ЬЬСфЬуои3и3 + »/3 Ь3 Дерите и9]л?ай*1с1лг - (5)

- Я|г![а^({ра}ир- И^Эриз) + {р3>и3г/аа>1с*2 ,

где и^ , и3 -касательные и нормальное перемещения оболочки на ерздмнной поверхности.

Ограничеш/я, накладызаемые нч перемещения оболочки а сзмсЛ общей форме формулиоуются та<

(6)

1|1г(*1.>г) на ¿Т,

где 5Г - граница поверхности приведения оболочки или какая то ее часть; а>х, \р0 , - заданные на границе оболочки функции.

В соответствии с принципом минимума потенциальной энергии, неизвестные перемещения средикчой поверхности оболочки можно определить из условия стационарности полной энергии

5Э - 0 (7)

Уравнения (5), (6) и (V) составляют вариационную формулировку задачи огтрг^ллонкд дгСс^иг-р^.^нного состояние сг дейстгид заданных вкц'.шшч сил,

Дл.1 '■»¡•■•сстнил рру.-'ний :'^р*иациоиной задачи построим минимпзируошуо псследгпт^.г^нс.У/Ь метода Ригца. Положим

и,(хи") « ; и .(л',*}--' и2ч ъ? ;

(3)

а3(*и') ~ • V,"! -г «2« Ц/.Л ^ У ' Ц.у3 ,

гд-з по низину м сгрч:;-..м г:г)зтср1»Х'и?.:с1 инлокссм през-эяУигел суммирован;»;?, - О, 1, . . , т; ) - 0, 1, ... п -нумср^диа у-кенечно-элег^чткосу!го.Ч сспсн, н днссоиноЛ «1 средикчу.э позорхнелтч оболочки; фу^л'.л-'), к ~ 1,2 и , о - 0,1,2 сизтеш

пяти координатных функций. Ко< !л»«тао координатных фуккула п каждом у зло и их вид шбр-ч»! узлозил минимального нсбэр г, обеспечивающего условия полгхпм. Другиуи олссзуи совокупность координатных функций по г,с.м углам сбеспечигазт сходимость решения. Графическое предсташ'п1»'э -г-ги" функций показано на рис. 3,

Фи >

X

у

рис. 3

Подстсноака (8) в функционал гнергии (5) превращает последний в квадратичную функцию переменных и¡V и п'еЧ . Из условия минимума кЕадратичного функционала пелучаом систему линейных алгебрсич&ских уравнений для определения неизвестных параметров аппроксимации иц™ и щ™ . Элементы матрицы хсссткости этой

системы вычисляются по формулам

= 2 Я(чО«Р.Т« ь ПсфЧи1 ;

Щ,™ = -2 Я(„е«Р.Т* И ;

Л*8«,™ = "2 П ЬарЧ-'^ОуаЧ^ ;

/^Чггл = 2 Л1г1есР-'а [ИЬсфЪ),в^г™к +

А элементы сектора узловых нагрузок по формулам Рггп^ = Я,„ а^{ра}фт/л'айг^хг ;

Чстзертгд гяазз. Посвящена параметрическому методу

построения формы оболочки корпуса исхода из теоретического чертежа, доступного расчетчику,

Нзиболзе общим методом списания поверхности является параметрический метод. Обозначим через Xх, п ~ I, 2, 2 систему пространственных декартовых координат, • а через , «. - 1, 2

параметры поверхности. Тогда параметрические уравнения таеют вид

Ал - ¿л

Таким образом задача аппроксимации- корпуса заключается в построении поверхности, преходящей через заданны© тсч:ги и удовлетворяющей некоторому дополнительному ограничению, позволяющему выделить из воего многообразия решений наиболее "оптимальную" позерхность пригодную для моделирования корпуса корабля. Кривые теоретического чертова строятся на плаза с помощью Гибкой рейки: Гибкая рейка обладает свойством из всех кривых, прозаденных через заданные точки иметь минимальную "суммарную" кривизну. Следовательно, дополнительным

ограничением на решение поставленной задачи является требование минимальности функционала кривизны • позерхкоста . ("суммарной" кривизны):

Г я "Аи^г , (9)

где К - гауссоза кривизна; а -дискриминант метрического тензора поверхности; Г • область изменения гауссовых координат.

В теории пс-ерхнсстей фундаментальную роль играют урззнения Гаусса, которые в тензорной форме имеют еид

Яор,7а= Г0|ру - ЗуГа>р<, + Гр,'- Г\а7 - Гр^Гх.аа = >'< °<ф Суст ■ (1°) .

где с,..-, - кссссимметричный дискриминантный тензор поверхности;

■ ^р/'" " символы Кристсффеля соответственно первого и атсрого рода; - тензор кривизны Римана-Кристоффеля.

Пси параметрическом списании пезерхнооти тензорные выражения коэффициентов метрического тэнзера и символов Кскотоффеля определяются равенствами

«ар = б™ д«*" ОрУГ' , Гя,ар - 6,„; ,

где б^-д - трехмерный символы Кронекера.

Разрешая уравнение (10) относительно гауссовой кривизны посла ьсу: промох<уточных выкладок, получим

' р = - У г й т са{)сус 6™ дрд^дад^^с^ . (11)

Фунционгл. (11) сложным образом зависит от декзртоаых координат точг.< поверхности. Это связанно с присутствием е функционала крмЕиэны множителей, содержащих детерминант метрического тензора. Поэтому минимизация выражения (11) приводит к нелинейным алгебромчоским уравнениям. Выделим гласную часть метрического тензора поверхности и тем егмым сведем нелинейную задачу аппроксимации к решение системы линейны* уразноний.

Разобыгм область изменения независим,:; параметров и

точками ссстветстсенно на М и' N отраз<оз, где М, N - цяяио чысга. Г;:уссоаы координаты точек разбионкп обозначим через

Для декартовых координат омх то е< ооешьзуемел

рис. 4.

С помощи» билинейного продставлакия Эрмит.* по каждой ¿«.сгртозоЯ координате, заменим реаль^с лееорхнееть

с<лздчэтоЯ. Тогда коэффициенты метричьекрго ?«.<>;,. ера с;с"здчзтой поЕархностм йыделяюг главную часть М;лр/,чес;-.ого тензора реальной поверхности. При этом коэффициенты матросского тьнзора определяется очевидным образом и могут быть шчислзнны заранее.

Полученные таким сбрзасм в функционала кр-иаиоиы коэффициенты будем помечать черточкой внизу.

Аппроксимируем декартовы координаты срединной поверхности оболочки следующим образом

= *•(■т-оФо"™1 «1(т;п)Ч^1(г-п! + . (12)

где <рг(пч1) 1 г я о, 1, 2 известные аппроксимирующие функции; ®'<тп) 11 Х'(тп) , ! ~ 1,2,3 подлежащие определению неизвестные коэффициенты. Набор те ордината ух функций ^(п™) выбирается исходя из условия полноты, то есть условия сходимости. Здесь функции, фг<™> не. равны нулю лишь а малой области, ограниченной соседними координатными линиями к линиям и Г,2 .

Использование трех координатных функций позволяет построить гладкую поверхность, ' аппроксимирующую поверхность корпуса корабля, с непрерывной перзсй квадратичной формой. Для сбоспочония непрерывности' кризисны г/одэлирующей поверхности количество координатных функций следует увеличить.

Аппроксимация (12) приводит к выражению функционала кривизны как однородной квадратичной функции переменных с.%г?п) и х\ггл) • Из условия »/инимума этой кзздптичной функции, получим систему линейных уравнений

к^^пярк^рк, + кГ51<тпИ^к)х'(рк> - Рз«™» ;

(13)

для которой коэффициенты "матрицу хестости" вычисляются по формулам

к^шчт = -1] ,г) ^^"»»даЭоч»^ ;

к^таИРУ = ^(тшхрк) Я - 1/а I] ^^Ф^^ХУ^дадаЩ^Н-

купоне» - ■ ]I (1) дрдуЩ^д^ц!^ '/ос^йд-г ,

а элгыенты вектора "узловых усилий" по формулам

р0(™>1 = Я,„с<%уз дрд^^Ч >1,ри)0аЭафа<рк) ;

Pï<raii = 3pÔ7y2(™>*!(pwaa3aiy0<M VadxW,

гдэ i= t, 2,3; m, p = 0, 1, .. , M; n, k = 0, 1, .. , N.

Пли гласа. В этой главе анализируются полученные теоретические зависимости. С целью аппробации аналитических выражений приводятся результаты расчетоз различных классов задач с использованием полной изопараметрической конечно-злементностной модели. Первая группа примеров относится к плоской задача теории упругости. Другая группа относится к изгибу стержня. Здзсь приводятся также тестовые примеры расчета пластин, имеющих различные условия закрепления. И наконец расматриеается пример расчета достаточно сложной нзполого.! оболочки, имеющей отрицательную гауссову кривизну.

Плоская задача теорт упругости Здесь приводятся примеры числзнного расчета сжатия и изгиба балки-стенки в своей плоскости. Обе садачи относятся к плоской задача теории упругости. Но считаются с использованием полного изопараметрического конечного элементе, полученного выше. В качестЕз базовой конструкции выбрана бапка-отенка .жестко заделанная на лзбом торцо. Балка-стенда рассматривается как . пример оболочки, нагруженной касательными усилиями. В первом примере расчета стенка сжимается равномерно распределенной продольной нагрузкой. В другом примере считается изгиб балки-стенки в своей плоскости.

Некоторое расхождение численных решений от "эталонного", полученного по стержневой модели, связанно с учгто;и коэффициента Пуассона з численном решении, которого на учитывает стержневая модель.

Изгибныв деформации стержней и пластин. Следующая группа примеров относится к оценке изгибных деформаций оболочки. В качестве одного численного примера расчета взят изгиб тонкой полосы. Полоса жестко задэланна левым краем и находится под действием разномерно распределенной нормальной нагрузки.

г о "(ультзты чиогтнного спшекия српзн'/з :>зтсч о рс.соякс: лолуонним из соног.с балочной rcc.pi',и, Нгчоторсз »г'вчьиг.^г.'з нср?.«а/:'л!».:х перемещений г.олсзк', псл)«!?!:ц>.к • пз

орзвноки» о пгргмзщзк'лк.мм подсчитсн::ч>ми пз шзгс'.са

сгор?П13й, сС? ясняотся тем, что при верхних пр-здо.оьнк'х

волокон полпоперечное сояскна с:г'.*/а:сгся. Л его пр'.хедот к ПСЯЗЛЗНМЮ ЦЙП.«.НДР«ЧЗСХ0Я ДЭ^орШГУИ попзрачпих СОЧОГ.И-Л ПСЛЭО*. I тем самым кугг-глчяни'о гхестксетм полосы на иггкб.

Здзсь гсс считалась прямоугольная ллзотка о несколькими езриантэдп ксгругания и ус"Сс;-Н1 сакреппзммя, а такг-.а различным ссстиошзнком сторон. Розулнпты '-«'.сяэмнсго рзшгтал сратг,гагг,ись со справочными данными. Совпадение результатов практически 100 "Л. Нокоторно примеры уолосий гзкрзяяэнмя и дэйетгукмцзй снешней нагрусси, подвергавшейся численному рзшени» показано на

Вез чисяэкныв расчеты проводились с использованием полного иоопзрамэтрячоского конечного элемента, полученного выше. Никаких упрощений на делалось.

Штлндрулскив оболочки. Цилиндрическая оболочка как нельзя Гу'чщо подходит для оценки влияния ¡сзсателкых и нормальных дзфсрмэциЯ крмаой с2слсчйи друг друга. Цилиндрическая оболочка под действием внутреннего дазления деформируется только о плоскости непорочного сечения. При зтем изгибными лефогмацряуи есз ксекно пренебречь, по сравнению о дефсрмациц?/-и а оргд'лчноЯ псззрхнссти ' Рассматриваемая ' г-онструкц'ия показана из гиад. 6.

-1g-

На рисунке через R, L и h - обозначены соответственно радиус, длина и ширина оболочки, а внутреннее давление через - д.

Нормальное перемещение оболочки определяем как изменение радиуса поперечного сечения, вследствие удлинения периметра сечения за счет деформации. Обозначив через R' новое значение радиуса, а через др = е2яП изменение периметра, найдем

цЗ = п>. R= (2t:R + др)/(2тс) - R= gRV(Eh) .

Примем физические и геометрические характеристики равными

Е = 2.0- 105 мПа ; R = 10 м g = 0.01 мПа ; h = 0.1 м

тогда и3 = 5.0- 10"s м . (14)

При значении коэффициента Пуассона разным нулю результаты численного решения полностью совпали с решением (14). При значении V = 0,3 результаты численного решения приведены на рис.7. Из рисунка видно, что перемещения и соответственно деформации оказываются немного больше на краях цилиндра.

Расчет усеченного коноида. Усеченный коноид - непслогая оболочка, имеющая отрицательную гауссову кривизну. В работе С.А.БгеЬЫа на основе теории пологих оболочек прспедгн численный расчет этой задачи методом конечных элементов. Здесь использовался конечный элемент с 20-ю степенями свободы. Результаты расчета МКЭ этого коноида как непологсй оболочки приведены в работе А.П.Николаева. Здесь коноид разбивался на 32 ¡'Э, с числом степеней свободы каждого КЭ равным 36.

Срединная поверхность усеченного коноида в трехмерном декартовом пространстве ХУ2 определяется уравнением

2 = - 4уг/аг) (х-+1- 1)Д

Внешний вид и размеры рассматриваемой оболочки, принятые при численных расчетах приведены на рис. 8. При расчетах коноид рассматривался как свободно опертый и загруженный разномерно распределенной по внешней поверхности нормальной нагрузкой д.

В качестве координатных линий примем линиии пересечения срединной, поверхности оболочки с системой продольных и поперечных плоскостей, как показано на рис. 9.

р;-.о, 2.

В прлаягзИ коииыг/нейной сиошла юэрдокп п: *з шатр/чос-дс; урас-меки:: поиор:;нооти коноида имеет бид

х - л'; у ~ л2 ; 2 - <'(1 - 4(\~)2/'-г) (х1 4-1. - 1)Л.

Рио-;зг усеченного коноида с помощыэ кзощраыетрглсасой ¡имечно-отыонтксотной модалу проаодалоя пр:.; д,1с.срати"ац>1;: оЗок-зчи-и га 20, АО я £0 конечных эламит. Сраз,5сн;,г^ получ-:.,иы;: результатов с разгуг,-.тата?л1 С.А.ВгаЬЬ!а и А. П. Николаева приг.оданнэ из рис.. 10.

Штриховая линия соответствует реи'ани.о, полученному ВгеЬЫа. Штрю.-пунстирная лыниа решакие. полученное Николаевым. Сплошная линия соответствует решению полученному при ^опользозани.ил; разработанной изопараметрической конечно-элементностнаЗ модели, при резбиенкя оболочки на 20 конечных эломентоа. Резул=.тсты расчета 'при дискретизации болзе малкой сеткой (40 и 80 К£) пргасплчасш совпадают с решением при 20 КЗ.

Оеиогшкэ пмаоды .

1. Непосредстпзнно из уравнений трехмерной теории упругости, записанных а тензорной ферме, построгнны уравнения теории тонких оболочек в произвольной криволинейной системе координат. На основе полуденных теоретических зависимостей отроится функционал снергии оболочки з премззольной системе координат.

Разработан г'стод учзтз отдзльных рзбор педкрзплзкицзго набора, бэз ЕПеДОННЯ дополнительных КОНОЧНЫХ элементов. Метод CC3TC.1T □ построении выражения для потенциальной знзрп'и деформации стержня непосредственно в метрика срединной- поверхности оболочки. Это поззолзет полностью определить дзферглащли стержня по деформациям оболочки и затоматачески удезлетзерить услог.иг.м совместности двфорг-лзций пересекающихся ребер набора.

0. Разработан г.ютод построениа мзопзр'жотрнчоских конечно-алсмантностных моделей. Мзтод оснопан на глобальной параметризации несущей поверхности оболочки системой гпусссаых координатных линий, произвольно рзс положенных на срединной поверхности оболочки. Получены необходимые выражения для вычисления- козффицпентез матрицы "еоткостн и пзетора узловых усилий для всай конструкции а целом.

1. Псетоозн нозый алгоритм параметрического описания корпуса корабля, по заданному набору точек. Получающаяся при этом нзлинвйнея задача аппроксимации поверхности, с помощь» предложенного в работа способа, еяедека к ли I-; ой ней задаче аппроксимации.

5. Проведены тостоаыо расчеты различных классов задач с использованием полной мзопараметрической конечно-элементной г/одели. Получонно хорошее совпадение результатов численного расчета с данными, полученными другими методами или ранее другими асторами. Показано, что использование

изопараметрического КЗ особенно эффективно а случаях расчета геометрически сложных неполоплх сбо почек.

Ооиовнээ содерхазниз диссертации опублихованно в рзботгх:

1. Постноа В.Л., Трубачзв М.И. Игопарамгтрн ческиЯ конэчный элемент для оболочек произвольной фермы. /Исследования по механика строительных конструкций ■ и материалов. Мохсузоаский сборник трудов. -Л.: ЛИСИ, 1031, с. 130-135.

2. Постсоз В. А., Трубачзе М.И. Функционал эиоргии тонких подкроплэнных обэлочэк в произвольной криволинейной системе координат. / Прочность судоаых конструкций. Труди ЛГМТУ.-Л., 1991, 0.93-1СЭ.

С. Псотнсг В.Д., Трубачоа М.И. Аппроксимация поверхности корпуса корсблл./ труды ЛГМТУ, 19ЭЗ в печати.

Типография СПб ШТУ Зап.4.Тир. 100.