Исследование динамического поведения тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии численными методами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ШИГАБУТДИНОВ АЙРАТ ФЕЛИКСОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ И СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина"

Научные руководители:

Доктор физико-математических наук, профессор Ю.П. Жигалко]

Доктор физико-математических наук, профессор А.И. Голованов

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

Зав. каф. общей математики КГУ, д.ф.м.н., профессор Н.Г. Гурьянов

Зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, д.ф.м.н., профессор М.Н. Серазутдинов. Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН

Защита состоится " 24 " июня 2004 г. в 14 ч. 30 мин. в ауд. Физ. 2 на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 по защите диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского КГУ

Автореферат разослан '

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Кандидат физ.-мат. наук, доцент

А.А. Саченков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию динамического поведения тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии. Такие задачи являются сложными начально-краевыми задачами и часто требуют применения численных методов.

Результаты исследований поведения тонкостенных и стержневых конструкций численными методами опубликованы в работах Абросимова Н.Л., Баженова В.Г., Вольмира А.С., Гордиенко Б.А., Боровкова А.И., Трещева А.А., Старовойтова Э.И., Коробейникова С.Н., Григорьева В.Г., Якушева В.Л., Косицына СБ., Кибеца А.И., Корнишина М.С., КрыськоВ.А., Ломунова В.К., Чекмарёва Д.Т., Андреева Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д., Александрова А.В., Лащеникова Б.Я., Шапошникова Н.Н., Бублика Б.Н., Вайнберга Д.Б., Воробьёва Ю.С., Голованова А.И., ЯкуповаН.М, Серазутдинова М.Н., Богдановича А.Е., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мукоеда А.П., Постнова В.А., Мяченкова В.И., Григорьева И.В., Образцова И.Ф., ОнановаР.М, Савельева Л.М., Хазанова Х.С., Победри Б.Е., Рикардса Р.Б., Савулы Я.Г., Флейшмана Н.П., Сахарова А.С., Филиппова А.П., Кохманюка А.П., Янютина Е.Г., Бате К., Вилсона Е., Галлагера F., Моргана К.; Зенкевича О., Норри Д., Ж. Де Фриза, Одена Дж., Сегерлинда Л., Фикса Дж.

Методы решения задач динамического выпучивания тонкостенных конструкций тесно связаны с используемыми моделями теории оболочек, которые можно найти в фундаментальных работах Абовского Н.П., Андреева Н.П., Деруги А.П., Аксельрада Э.Л., Болотина В.В., Новичкова КЩ, Власова В.З., Вольмира А.С, Галимова К.З., Паймушина В.Н., Гольденвейзера А Л., Григолюка Э.И., Горшкова А.Г., Коноплёва Ю.Г., Чулкова П.П., Гуляева В И., Гузя А.Н., Муштари Х.М., Пикуля В.В., Новожилова В.В., РекачаВ.Г., Кривошапко С.Н., Терегулова И.Г., Тимошенко СП., Иванова В. А., Филина А.П., ЧерныхаК. Ф. По расчёту стержней и стержневых систем опубликованы исследования Бычкова Д.В., Воробьёва Ю.С, Розина Л.А., Светлицкого В.А., Филина А.П., Шулькина Ю.Б.

Однако потребности практики, наукоемких технологий, требования к конкурентной способности отечественных 'программных продуктов делают актуальными дальнейшее развитие методов исследования динамических характеристик тонкостенных и стержневых конструкций, совершенствование и углубление теоретической базы расчетных схем с последующим развитием и совершенствованием отечественных пакетов прикладных программ. На актуальность данного направления исследований указывается в решениях всех Всероссийских конференций теоретической и прикладной механике. е того, актуальность подтверждается результатов

БИБЛИОТЕКА I

1 ffSgMH

исследований и Грантом Министерства образования России (Per. в КГУ-СПГА-

17).

Цель диссертационной работы. Разработка эффективной конечно-элементной методики определения динамических характеристик сложных стержневых и тонкостенных конструкций и решение на этой базе новых практически значимых задач. Разработка численно-аналитического метода решения задач о продольно-поперечном движении упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном импульсном воздействии силой.

Научная новизна результатов.

1. Разработаны конечно-элементные модели динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций. Дана реализация этих моделей в виде расчётной методики и пакета прикладных программ. Указанная методика позволяет исследовать динамические характеристики тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии при свободных и вынужденных колебаниях.

2. С использованием разработанной методики решены новые задачи динамики для пространственных тонкостенных и стержневых конструкций.

3. Разработан ' численно-аналитический метод расчёта стержней и цилиндрических оболочек с учётом геометрической нелинейности при продольном импульсном нагружении и решены новые задачи.

Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых методик расчёта, использованием признанных в литературе дифференциальных уравнений продольно-поперечных движений стержней и цилиндрических оболочек, сравнением полученных решений для тестовых примеров с известными из литературы аналитическими и экспериментальными данными, совпадением решений, полученных на разных конечно-элементных и конечно-разностных сетках. На защиту выносятся;

1. Конечно-элементная реализация динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций.

2. Исследование динамических характеристик с определением частот и форм собственных колебаний пространственных стержневых и тонкостенных конструкций МКЭ при свободных колебаниях.

3. Исследование динамических характеристик пространственных тонкостенных конструкций МКЭ при вынужденных колебаниях.

4. Разработка численно-аналитического метода расчёта стержней и цилиндрических оболочек при продольном импульсном нагружении с учётом геометрической нелинейности.

5. Решение новых задач определения динамических характеристик тонкостенных и стержневых конструкций.

Практическая значимость работы состоит в том, что она позволяет, пользуясь отечественным расчетным комплексом, исследовать частоты и формы свободных колебаний тонкостенных и стержневых конструкций, применяемых в строительстве и машиностроении. Разработанный численно -аналитический метод исследования движений стержней и цилиндрических оболочек при продольных воздействиях ударного типа делает расчет более наглядным и привлекательным для проектировщиков. Материалы диссертации нашли отражение в учебном пособии, которое в 2003/2004 учебном году внедрено в учебный процесс на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета для выполнения дипломных работ. Результаты расчёта и методика исследования частот и форм свободных колебаний введены в действие на кафедре металлических конструкций и испытаний сооружений Казанской государственной архитектурно-строительной академии, о чем имеется акт.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались: на итоговых студенческих конференциях (Казань, КГУ, 2000-2002); на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам (Москва, МГУ, 2000); на Международной молодёжной конференции. (Н. Челны, 2000); на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 2000); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь 2001); на Международной конференции "Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике" (Минск 2001); на конференциях "Лобачевские чтения" (Казань 2001-2003); на республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань 2002); на VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань 2002); на XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н.Новгород, 2002); на XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции (Казань, 2003); на конференциях "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2002, 2003); на Международной конференции ВЕМ-FEM (Санкт-Петербург, 2003); на НТК Казанской государственной архитектурно-строительной академии (1997-2004); на итоговых конференциях КГУ (2003, 2004); на городских научных семинарах по теории пластин и оболочек КГУ (2002, 2003); на городском научно-методическом семинаре кафедр теоретической механики (Казань, 2003); на итоговой научной конференции 2003 г. КЫЦ РАН; на Х-ом Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", МАИ, Ярополец, 2004.

В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на расширенном семинаре .кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Н.Г. Чеботарёва Казанского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 научные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 193 страницы, включая 103 рисунка, 20 таблиц и список литературы из 212 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулированы цель исследования, положения, выносимые на защиту.

В первом параграфе первой главы приводится разрешающее уравнение динамики МКЭ, для этого используется принцип виртуальных перемещений в сочетании с принципом Даламбера.

Щ(о*5ец + ■ = ¡¡¡в ■ то. + Др • тл. 0)

где - тензоры напряжений и деформаций соответственно, (2,

Р - распределённые объёмная и поверхностная нагрузки, v - вектор перемещений, р - плотность. Далее обсуждаются особенности и методы решения задачи на собственные и вынужденные колебания конструкций.

Во втором параграфе первой главы описывается трёхузловой изопараметрический конечный элемент бруса (рис. 1). Положение произвольной точки стержня определяется компонентами Л2 её радиус-

вектора в этом сечении, перемещением осевой линии вектором и и вращением

сечения вектором . В результате перемещение каждой точки сечения стержня может быть представлено в виде:

где +Я2У2. (2)

Здесь:

где У|, у2 , - проекции вектора перемещений на оси локальной подвижной системы координат, в\, в2, ву - углы поворотов относительно ортов У\,У2, соответственно. направлен по касательной к осевой линии балки, а орты лежат в плоскости поперечного сечения и совпадают с его главными

центральными осями. Деформации в локальной системе координат запишутся в следующем виде:

с = ^з -ИЧ Л = ^ • ^ у, = ^ • (Я' + К3 X#); в = К3 • , I- = 1, 2, (5)

где ' - означает дифференцирование по безразмерной в пределах элемента координате £ (—1 <£<+1). Возникающие усилия и моменты принимаются в виде: -

Ы= ЕР е\ 2, = вРу,; М, = ЕЗ, х,; / = I 2; Я = О/^. (6)

Здесь Е, й - модули упругости и сдвига, Р, У1( У2» ¿кр ~ площадь

поперечного сечения и моменты инерции (осевые и при свободном кручении). Внутри КЭ используются аппроксимации одного порядка для геометрии и перемещений в виде квадратичных полиномов. Дня избежания явления потери

точности при ф2/р »1 (эффект сдвигового запирания) используется процедура двойной аппроксимации деформаций, где /-длина КЭ. Для построения матрицы масс КЭ распишем с учётом (2) выражение для второго слагаемого ЗТ в уравнении (1). В локальной системе координат оно примет вид:

т=1 -1 т-1 ^

т-1 т=!

где Урт =У]|И +У2>т - полярный момент инерции сечения стержня в ш-ом

узле. Переход от локальной к глобальной системе координат осуществляется через матрицу перехода. Далее приходим к выражению

8Г где (9)

вектор узловых перемещений в /-ом узле в глобальной системе координат, а блоки матрицы масс, записанной в глобальной системе координат примут вид:

к,]=/>!

Л = 1

в

,] 0

здесь

3 "1 0 0" 3 А». 0 0

0 1 0 0

т = 1 0 0 1 т= 1 0 0 ¿р,»,.

(Ю)

.(П)

[5",]-матрица перехода от локальной к глобальной системе координат, соп-весовые множители, суммирование по п замена аналитического интегрирования численным.

Третий параграф первой главы посвящен построению конечно-элементной схемы нахождения динамических характеристик тонкостенных конструкций на основе оболочечного КЭ. За основу берётся 9-ти узловой КЭ, схема построения для задач статики которого описана в работах Голованова А.И., Песошина А.В. (рис. 2), каждый элемент представляется в виде искривлённого параллелепипеда в трёхмерном пространстве с линейчатой поверхностью по толщине. Радиус-вектор элемента объёма запишется в виде

(12)

где - радиус-вектор срединной поверхности, И - толщина.

Неизвестных узловых перемещений в каждом узле будет пять: три проекции

вектора й на оси глобальной системы координат й = их1 + и^.] + и2к и два

угла поворота-в2, в-0У\ +62У2- Вводится локальная система координат 7, д. При построении матрицы жёсткости исходим из трёхмерных

уравнений, теории упругости. Стандартным,,для таких элементов образом учитываются кинематическая гипотеза о прямолинейности и нерастяжимости нормали и статическая гипотеза о малости напряжений обжатия, соотношения упругости берутся в виде формул, соответствующих плосконапряжённому состоянию. Аппроксимации неизвестных функций в пределах элемента вводятся в виде биквадратичного полинома. Для вычисления интегралов по /} используются квадратурные формулы Гаусса-Лежандра 3-го порядка. Для борьбы с явлением потери точности при уменьшении толщины (эффект "запирания") используется специальный приём двойной аппроксимации деформаций. Для блоков матрицы масс получим выражения:

[^Н-К]7, [А^ратпа>тсо„

О О

О

Г*, о

у <'•>

¡X

'О 0. о ООО

ы, о о

О")

0 0 0 V,

со.

и Кз/Ч о*

0 0 0

0 0 0 У.У'Ы

Х-

С),

(О

.V;

(13)

(И)

ь <*, У^

У^'К - проекции векторов• V] в /-ом узле на оси х, у, г

глобальной системы координат, N¡ - функции формы, атп -элемент площади, (от, (0„ - весовые множители. Так же, как и при построении матрицы

жёсткости идёт суммирование по квадратурным точкам. Для решения задач нахождения динамических характеристик стержневых и тонкостенных конструкций МКЭ на базе программных комплексов, созданных Головановым А.И., Бережным Д.В., Песошиным А.В. и др., развиты два самостоятельных пакета прикладных программ (ППП). Описание обоих пакетов находится в первой главе.

В первом параграфе второй главы приводятся тестовые расчёты на свободные колебания стержневых конструкций. Найденные результаты сравниваются с достоверными данными, полученными из литературы, расчётами в ППП ЛКБУБ. Решены следующие задачи: 1) колебания стержней постоянного сечения с различными условиями закрепления; 2) задача о свободных колебаниях жёстко защемлённого стержня с сосредоточенной массой на конце, с учётом и без учёта плотности стержня; 3) приводятся решения задач определения частот и форм собственных колебаний для перекрытия, состоящего из трёх пересекающихся под прямым углом стержней, с учётом и без учёта расположенных дискретно сосредоточенных масс.

Во втором параграфе второй главы приводятся тестовые расчёты для задач на свободные колебания тонкостенных конструкций на основе оболочечного КЭ. Полученные результаты сравниваются с достоверными аналитическими, экспериментальными и численными данными. В качестве тестовых решается несколько задач: 1) о свободных колебаниях квадратной пластинки с шарнирным закреплением по всем краям, либо жёсткой заделкой с одного края; 2) о свободных колебаниях цилиндрической панели, консольно-закреплённой по криволинейному контуру (Табл. 1), (рис. 3), защемлённой

Рис. 1

Рис.2

является нижняя часть панели; 3) о свободных колебаниях цилиндрической оболочки, жёстко защемлённой по торцам (Табл. 2).

Табл. 1.

1 № тона Эксперимент, Гц ' Используемый конечный элемент, Гц K.P. Walker, Гц Богомолов С.И. и др, Гц

1 85,60 85,58 88,60 84,90

! 2 134,50 139,58 140,90 138,20

1 3 258,90 266,00 252,60 248,70

4 350,60 350,31 371,50 349,90

5 395,20 397,91 423,20 419,10

, № тона 1 0.1лпсЗЬег& М.Окоп, Гц G.Lindberg, M.01son, Гц Серазутдинов М.Н., Гц М.А. Bossak, О.С. Zienkiewicz, Гц

: 1 93,50 86,60 83,40 88,30

2 147,60 139,20 133,80 142,80

3 255,10 251,30 238,10 257,60

4 393,10 348,60 334,00 369,20

5 423,50 393,40 377,00 441,80

1 1 1 № тона Савула Я Г., Гц S. Ahmad и др, Гц L. Hofmeister, D. Evensen, 12-ми узловой КЭ, Гц L. Hofmeister, D. Evensen, 8-ми узловой КЭ, Гц

1 85,10 113,00 91,00 87,00

2 138,00 147,00 149,00 143,00

1 3 251,70 296,00 310,00 252,00

1 4 344,80 440,00 383,00 367,00

5 404,90 475,00 556,00 412,00

1 ф-ма (85,58 Гц) 5 ф-ма (397,91 Гц) 4 ф-ма (350,31 Гц) 8 ф-ма (759,86Гц)

Рис. 3.

Численные эксперименты с применением метода одновременной итерации подпространств для определения собственных частот и форм колебаний показали эффективность данных элементов, высокую скорость сходимости и устойчивость к накоплению ошибок.

Далее в параграфе решены некоторые новые задачи: Исследуются свободные колебания 1) для жёсткозащемлённой по краю сферической панели; 2) для жёсткозащемлённой по внешнему краю сферической панели с квадратном-в плане симметричным вырезом; 3) для жёсткозащемлённого с двух сторон швеллера. Для швеллера приводятся также данные ППП Л№У8 по стержневой модели. Совпадение решений удовлетворительное.

Табл. 2.

Число волн ло направляющей, п

Метод вычисления 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ш=1

Точное решение, Гц 1140 755 574 533 593 717 881 1075 1295

По лампой работе, Гц 1134,0 746,6 555,8 509.1 572,9 698,1 864,4 1058,9 1277.6

Относительная погрешность к точному 0,52% 1,1% 3,3% 4,4% 3,4% 2,6% 1,9% 1,9% 1,3%

т=2

Точное решение, Гц 2505 1731 1272 1011 898 903 996 1151 1348

По данной работе, Гц - 1269,3 997,5 878,9 882,4 977,2 1132,5 1330.2

Относительная погрешность к точному - - 0.2% 1.3% 2% 2,2% 1.8% 1,6% 1.3%

В третьем параграфе второй главы приводятся тесты для задачи на вынужденные колебания оболочек. 1. Решается задача о вынужденных колебаниях квадратной пластинки жёстко защемлённой с одной стороны под действием равнОмернораспределённой поверхностной нагрузки изменяющейся во времени по гармоническому закону. Получено биение (см. Рис. 4). Алгоритм адекватно описывает физический процесс.

2. Рассматривается задача о мгновенном нагружении равномерным давлением жёстко защемлённой по краям сферической панели, Рис.4. получено удовлетворительное совпадение с

известными численными результатами.

В четвёртом параграфе второй главы приводится расчёт на основе КЭ бруса и на основе КЭ оболочки задачи на собственные колебания для тонкой узкой полосы прямоугольного поперечного сечения. Эта задача является связующей между построенными конечно-элементными моделями. Совпадение п о резул ьтатам удо влётвор ител ь ное.

В пятом параграфе второй главы построенные и протестированные конечно-элементные "модели определения динамических характеристик тонкостенных и стержневых конструкций распространяются на реальные, практически важные задачи для сложных технологических сооружений.

Задача I. Нахождение частот и форм собственных колебаний рекламного щита на основе оболочечного КЭ (Рис. 5) Каркас конструкции собран из профилей корытного сечения, учитывается переменность толщины конструкции. Стойки жестко заделаны. Задача II. Расчет на собственные колебания рекламного щита на основе КЭ бруса (рис. 6) Стойки представляют из себя стальные стержни коробчатого сечения. Одним концом они жестко заделаны в фундамент, а другим крепятся к поперечной хребтовой балке щита. Каркас полезной площади собран из швеллеров. Задача III Расчет на собственные колебания башни Шухова по стержневой модели (рис. 7), состоящей из десяти стержневых конструкций, каждая из которых составлена из 12 образующих одного семейства некоторого однополостного гиперболоида вращения. Полученные конструкции в форме гиперболоидов соединяются между собой посредством стержневых колец.

Рис. 5 (7-я форма (12,87 Гц) Рис. 6. 8-я форма (13,47 Гц)

1-я форма (0,00095 Гц) 3-я форма (0,00882Гц) 4-я форма (0,01742 Гц) 9-я форма (0,0511 Гц)

Рис.7

В третьей главе представлены результаты исследования процесса нестационарного деформирования упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном мгновенном приложении силы Обсуждаются особенности применения к рассматриваемым задачам комбинированного численно-аналитического метода и численною метода конечных разностей. Дается их сравнение. Для численной реализации написаны специальные прикладные программы.

В первом параграфе третьей главы приводится постановка задачи. В-некоторый начальный момент времени к торцу элементов конструкций типа стержней или цилиндрических оболочек прикладывается продольная сила по закону:

Р(т) = Р0, 0<г<г,,/>(г) = 0, г>г„ (15)

где Г| - безразмерное, время действия силы на торце стержня, которая может привести к изгибу указанных элементов, параметр времени - г введён по формуле г = ctfL , где t - физическое время, с - скорость звука в материале, L - длина стержня. Напряжения, возникающие в элементах, не превосходят предел пропорциональности материала.

Дифференциальные уравнения продольно-поперечных движений стержней приняты в записи Гордиенко Б.А. Частные случаи этих уравнений» обсуждались в работах Вольмира A.C., Кильдибекова И.Г., Huffington N.

В„ = и\4 + [0,5((^ f -(w^)2)-k(w'4-a)w4]-, (16)

w„ = A(m£ -a)' + (u'^w'e)' + [0,5((n>£)2 (17)

arr=(a-ör0)^+U2(^-a), (18)

здесь введены следующие обозначения: %=x!L ,.u~ii/L, w = xv/L, u'q =wq/L , с = т[Ё/р, Ä=Lji , i = w, w, w0, if0,

а, a0 - размерные и безразмерные продольные координаты, продольные перемещения, прогибы, начальные прогибы, угловое и начальное угловое перемещения соответственно; Е, р - модуль упругости и плотность материала соответственно; Л - гибкость стержня; F, / - площадь и момент инерции сечения стержня соответственно; к - коэффициент сдвига.

Начальные и граничные условия принимаются в виде:

u'(0,t) = -P(t)/FE-, и(1,г) = 0; и(£0) = 0; ti(£0) = 0; (19) «<60) = w0(#); ч<£0) = 0; и(0,г) = ».'0(0) = 0; »v(l,r) = »r0(l) = 0; (20) а(£0) = а0(#); ä(^0) = 0;(a-a0)' = 0, £ = 0;(а-а0)' = 0, ¿ = 1. (21)

Во втором параграфе третьей главы приводится аналитическое решение дифференциального уравнения продольных движений в предположении, что при продольном приложении импульса силы в начальный период неустановившегося движения прогибы стержня сравнительно невелики, изгибные и сдвиговые деформации незначительно влияют на напряженно-деформированное состояние по длине стержня. Это позволяет в.уравнении (16) пренебречь в правой части изгибными и сдвиговыми слагаемыми и уравнение

движения (16) проинтегрировать независимо от двух других с использованием преобразования Лапласа. «Упрощенное» уравнение (16) использовалось в работах Вольмира А.С., Гордиенко Б.А., Кильдибекова И.Г., Малого В.И. и др. Последовательное применение теорем комплексного анализа позволяет найти для продольных перемещений решение уравнения (16) в сходящихся рядах. С помощью этого решения для импульсов разной продолжительности исследован процесс изменения продольных усилий в стержне в зависимости от продольной координаты и времени.

В третьем параграфе третьей главы на основе системы дифференциальных уравнений движения (16), (17), (18) (без «упрощения» уравнения (16)) методом конечных разностей проводится исследование-поведения упругих стержней под действием прямоугольного импульса силы. Производные представляются через центральные разности, что обеспечивает

высокую степень аппроксимации порядка сетки по

пространственной координате. Значения искомых функций в законтурных точках на каждом временном слое определяются методом простых итераций решения нелинейных уравнений. Устойчивость метода обеспечивается надлежащим выбором шагов сетки. Для того чтобы начать счёт вводился начальный прогиб по одной, трём, пяти полуволнам синусоиды. Амплитуда начального прогиба изменялась в широких пределах, при этом максимальная амплитуда начального прогиба Атгх ¿0,1/;, где к -толщина стержня. Гибкость менялась от Полученный характер движения как

качественно, так и количественно (по количеству полуволн выпучивания) совпадает с результатами работы Гордиенко Б.А., в которой была решена задача о поведении стержней при продольном ударе абсолютно твердым телом. Отмечается, что поперечное волнообразование отстаёт от быстро меняющегося напряженного состояния по длине стержня.

В четвёртом параграфе третьей главы рассмотрена возможность применения численно-аналитического метода при исследовании продольно -поперечных движений стержней. Если выражением, стоящим в квадратных скобках в правой части уравнения (16) можно пренебречь, то становится возможным произвести раздельное интегрирование исходной системы уравнений численно-аналитическим методом, который заключается в аналитическом интегрировании уравнения продольных движений и численном интегрировании других уравнений системы. Система дифференциальных уравнений (17), (18) без кубических членов интегрируется методом конечных разностей. Значения функций в законтурных точках удаётся найти аналитически. Интересно провести сравнение результатов расчетов, проделанных численным и численно-аналитическим методами. Вычисления проводились для различных значений приложенной нагрузки, гибкостей

стержней, величин максимальной амплитуды и количества полуволн начального прогиба. Например, стержень круглого сечения диаметром d - 0,1 м

с характеристика\ги Е =2,101' Н/м!, // = 0,3, А = 500, с начальной погибью вида м'0(£) = АБт В начальный момент времени на торце стержня

мгновенно прикладывалась сила, соответствующая напряжению ст = 200 МПа. На рис. 8 стержень первоначально был изогнут по одной полуволне, А = 0,01 м, Г| =10. На рис. 9 стержень первоначально был изогнут по трем полуволнам, В каждой паре кривых одна кривая получена методом конечных разностей, другая кривая численно-аналитическим методом. По графикам видно, что решения полученные двумя методами практически совпадают.

Рис. 8 Рис. 9

В пятом параграфе третьей главы приводится постановка задачи и уравнения- осесимметричных продольно - поперечных движений упругих цилиндрических оболочек под действием продольно приложенной Силы Р(т) вида (15). Безразмерные уравнения движения, начальные и граничные условия принимаются в виде: ...

йгг • (22)

И„ =и"4((0,5к2(\-м) + "'^ + -0,5/////?(Тгс)2 +

+ /////? -/3/Л2 п +и-^м^; (23)

1/х - 6к2 (I - ц)1г /А2 (у'. + И - = о. (24)

и(1,г) = 0; и(|,0) = 0; й(£0) = 0; а = - ус/Л + 0,5«, )2],а =Р(\-м2 )/(2л£ДЛ) (25)

и(£0) = 0; *(£,0) = 0; н-(0,г) = 0; и>(1,г) = 0; (26) у/0) = 0; = К»,0 = 0; ^0.0 = 0. (27)

Здесь введены следующие обозначения: и — й/1; =!?//, где П

физические продольное, поперечное, угловое перемещения; Я, к - радиус и толщина оболочки; Е, ц - модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно; к - коэффициент сдвига теории Тимошенко, ! - длина оболочки.

Принимая использованное ранее для стержней предположение о малом влиянии прогибов на распространение продольных волн, уравнение (22) может быть «упрощено» - оно записывается без слагаемого в квадратных скобках. Тогда между «упрощенными» уравнениями (16) и (22) усматривается полная математическая аналогия и, следовательно, уравнение (22) допускает аналитическое решение в рядах, система уравнений движения (22)-(24) может быть решена численно-аналитическим методом. При этом два других уравнения системы (23),(24), как и ранее, решаются методом конечных разностей. Проведённые расчёты показывают, что в общем, случае картина волнообразования носит достаточно сложный характер и зависит как от величины, характера сжимающей нагрузки, так и от времени ее действия. Картина прогибов носит явно волновой характер. При малых временах (два-три пробега волны) тонкие оболочки оказываются более чувствительными по сравнению со стержнями к изменениям напряженного состояния по их длине.

В шестом параграфе третьей главы для исследования осесимметричного выпучивания цилиндрической оболочки используется полная система уравнений (22)-(24) без «упрощения» уравнения (22). Интегрирование ведется методом конечных разностей. Проводится сравнение с результатами,

полученным по численно-аналитическому методу. Для этого в широких пределах варьируется время приложения нагрузки и её величина для цилиндрических оболочек с разными механическими и геометрическими характеристиками. Было найдено, что заметной качественной и количественной разницы между двумя подходами не наблюдается. На рис. 10, 11 приведены, полученные двумя подходами, графики прогибов для оболочки с

характеристи кам и:

к2 =8/9, Г) =10, <Гд = 4 •107Па - напряжение на торце оболочки в течении времени действия импульса.

Основные результаты и выводы:

Работа посвящена исследованию с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей динамических характеристик тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии. При этом были получены следующие основные результаты.

1. На основе 9-ти узлового изопараметрического конечного элемента оболочек и трёхузлового изопараметрического конечного элемента бруса построена конечно-элементная схема динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций. Построенная схема позволяет решать задачи определения частот и форм собственных колебаний указанных конструкций, а также находить динамические характеристики при вынужденных колебаниях, для чего используется неявная схема метода Ньюмарка.

2. Приведены многочисленные результаты тестирования задач о динамическом поведении тонкостенных и стержневых конструкций с использованием аналитических решений, численных результатов других авторов, проведено согласование с результатами экспериментальных работ.

3. Проведено исследование динамических характеристик пространственных стержневых и тонкостенных конструкций, имеющих практическое назначение МКЭ, с определением частот и форм собственных колебаний. Результаты расчета и методика исследования введены в действие на кафедре металлических конструкций и испытаний сооружений Казанской государственной архитектурно-строительной академии.

4. Разработан численно-аналитический метод расчёта изотропных стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе с учётом геометрической нелинейности, заключающийся в раздельном интегрировании уравнений

движения с применением аналитического решения для продольных перемещений.

5. С использованием явной конечно-разностной схемы исследуется поведение изотропных цилиндрических оболочек и стержней при импульсном нагружении. При этом рассматривались мгновенно приложенные нагрузки разной амплитуды и продолжительности. Получены численные решения на длительных интервалах времени. Проведено сравнение с результатами, полученными численно-аналитическим методом.

В ходе работы над диссертацией был получен диплом II степени на

Республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на

соискание премии им. Н.И. Лобачевского (2002 г.) Работа была поддержана

фантом Министерства Образования (2003 г.)

Публикации по теме диссертации

1. Шигабутдинов А.Ф. Устойчивость стержня при продольном динамическом сжатии/Шигабутдинов А.Ф.//Тез. докл. Всеросс. научн. студ. конф, -Казань, 1998. - С. 67-68.

2. Шигабутдинов А.Ф. Устойчивость упругих стержней при импульсном нагружении / Шигабутдинов А.Ф.// Тр. межд. конф. Актуальные проблемы механики оболочек. - Казань, 2000. - С. 428-432.

3. Шигабутдинов А.Ф. Продольные волны в стержне конечной длины / Шигабутдинов А.Ф. // Тез. докл. Межд. молод, конф. - Н. Челны, 2000. -С. 5-6.

4. Шигабутдинов А.Ф. Динамика стержней /Шигабутдинов А.Ф.// Материалы межд. конф. студентов и аспирантов по фундам. наукам. -Москва, МГУ 2000.-С. 341-342.

5. Шигабутдинов А.Ф. К вопросу об устойчивости упругих элементов типа стержней и цилиндрических оболочек под действием продольного импульса силы /Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф.// Аннот. докл. VIII Всеросс. съезда по теор. и прикл. механике. - Пермь, 2001. - С.259.

6. Шигабутдинов А.Ф. Реакция стержней и цилиндрических оболочек на продольно-пр.иложенный импульс силы / Шигабутдинов А.Ф. // Ак1уальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике: Сб. ст. - Минск, 2001. - С. 476-480.

7. Шигабутдиной А.Ф. Реакция упругих элементов типа стержней и цилиндрических оболочек под действием продольного импульса силы /Шигабутдинов А.Ф.// Тр. матем. центра им. Н.И.Лобачевского, Т. 12. Казань, 2001.-С. 125.

8. Шигабутдинов А.Ф. Анализ влияния прогибов на распространение продольной волны в цилиндрической оболочке /Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. // Тез. докл. VIII Четаевской межд. конф. - Казань, 2002.-С. 317.

9. Шигабутдинов А.Ф. Исследование численным методом нестационарных задач динамики упругих стержней и оболочек /Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф.// Проблемы прочности и пластичности: Сб. ст. -Н.Новгород, 2002. - вып. 64, С. 66-71.

10. Шигабутдинов А.Ф. Реакция цилиндрической оболочки на продольно приложенный импульс силы /Шигабутдинов А.Ф.// Сб. тез. итог, конф.: Республиканский конкурс научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н. И. Лобачевского. - Казань, 2002. - С. 202-203.

11. Шигабутдинов А.Ф. Выпучивание упругих стержней и цилиндрических оболочек под действием прямоугольного импульса силы / Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. // Изв. высш. уч. завед. Авиационная техника. - 2003. -№4.-С. 7-10.

12. Шигабутдинов А.Ф. Исследование нестационарного деформирования оболочек МКЭ / Шигабутдинов А.Ф. // Матер, конф. Наука и практика. Диалоги нового века. - Н. Челны, 2003. - С. 118-119.

13. Шигабутдинов А. Ф. Исследование динамического поведения оболочек МКЭ / Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф.// Тез. докл. зимн. школы по механике сплошных сред. - Пермь, 2003. - С. 110.

14. Шигабутдинов А.Ф. Расчёт динамического поведения оболочек произвольной геометрии МКЭ / Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф. // Сб. докл. научно-практич. конф. - Казань, КГУ, 2003. - С. 35-37.

15. Шигабутдинов А.Ф. Расчёт оболочек произвольной геометрии на собственные колебания МКЭ / Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф. // Тр. межд. конф. "Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике", т. 5. Ульяновск, 2003. -С. 48-50.

16. Шигабутдинов А. Ф. К расчёту свободных колебаний тонкостенных конструкций / Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф.// Тр. 13-й межвуз. конф. - Самара, 2003. - Ч. 1. - С. 28-32.

17. Шигабутдинов А.Ф. Расчёт тонкостенных конструкций на свободные колебания методом конечных элементов / Газимов М.М., Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф. // Сб. матер. XV Всеросс. межвуз. научно-технич. конф. - Казань, 2003. - 4.1. - С. 328-329.

18. Шигабутдинов А.Ф. Решение задач динамики стержневых конструкций МКЭ / Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф., Якушин С.А. // Тр. 5-ой Междун. конф. Математическое моделирование физических,

20

04-'9182

экономических, технических, социальных систем и процессов. -Ульяновск, УлГУ, 2003. - С. 58-60.

19. Шигабутдинов А.Ф. Исследование нелинейного статического и динамического деформирования оболочек малой и средней толщины МКЭ / Голованов А.И., Коноплёв Ю.Г., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф., Якушин СЛ. IIТр. XX Межд. конф. BEM-FEM. - С.-Петербург, 2003. - Т. 2.-С. 134-139.

20. Шигабутдинов А.Ф. К определению динамических характеристик обо-лочечных конструкций МКЭ / Шигабутдинов А.Ф. // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань, 2003. - С. 239.

21. Airat F. Chigaboutdinov. The analysis of influence of sags on propagation of a longitudinal wave in a cylindrical shell / Airat F. Chigaboutdinov // Book of Abstracts. XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics". - St. Petersburg, 2002. - p. 35.

22. Airat F. Chigaboutdinov. Finite elements study of dynamic shell announcing /Airat F. Chigaboutdinov // Book of Abstracts. XXXI Summer School ' "Advanced Problems in Mechanics". - St. Petersburg, 2003. - p. 33.

✓Sis

Отпечатано с готового оригинал-макета

в типографии Издательского центра

Казанского государственного университета

Тираж 120 экз. Заказ 3/29

420008, Казань, ул. Университетская, 17

Тел. 38-05-96

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ.

§ 1.1.1. Разрешающее уравнение динамики МКЭ

§ 1.1.2. Расчёт на собственные колебания: особенности задачи и метод её решения

§ 1.1.3. Пошаговое интегрирование уравнений движения

§ 1.1.4. Описание программных комплексов

§ 1.2. Трёхузловой изопараметрический конечный элемент бруса

§ 1.2.1. Построение матрицы жёсткости изопараметрического КЭ бруса

§ 1.2.2. Построение матрицы масс изопараметрического КЭ бруса

§1.3. Девятиузловой изопараметрический конечный элемент оболочек малой и средней толщин

§ 1.3.1. Построение матрицы жёсткости изопараметрического

КЭ оболочек малой и средней толщин

§ 1.3.2. Построение матрицы масс изопараметрического КЭ оболочек малой и средней толщин.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТЕРЖНЕВЫХ И ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

§2.1. Определение динамических характеристик стержневых конструкций

§ 2.2. Определение динамических характеристик при свободных колебаниях оболочек

§ 2.3. Решение задач на вынужденные колебания оболочек

§ 2.4. Сравнение расчётов МКЭ для КЭ бруса и обол очечного

КЭ на примере свободных колебаний тонкой узкой полосы прямоугольного поперечного сечения

Интерес к разработке проблем моделирования нестационарного деформирования и прочности тонкостенных и стержневых конструкций непрерывно возрастает, так как пластины, оболочки и стержневые элементы являясь основными несущими элементами конструкций авиационной и космической техники, трубопроводов, современных конструкций подвергаются при различных аварийных ситуациях действию интенсивных динамических нагрузок. Учёт всех факторов, возникающих в этих ситуациях приводит к сложным начально-краевым задачам, решение которых аналитическими методами невозможно. Поэтому в этой ситуации используются численные методы, обладающие возможностью получать решения практически для любых задач с некоторой заданной точностью.

Исследования по расчёту оболочек опубликованы в работах Саченкова A.B., Андреева J1.B., Дышко А.Л., Павленко И.Д., Александрова A.B., Лащеникова Б.Я., Шапошникова H.H., Бублика Б.Н., Вайнберга Д.Б., Вольмира A.C., Воробьёва Ю.С., Голованова А.И., М.С.Корнишина, ЯкуповаН.М., Серазутдинова М.Н., Богдановича А.Е., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мукоеда А.П., Зенкевича О., Крысько В.А., Постнова В.А., Мяченкова В.И., Григорьева И.В., Образцова И.Ф., Онанова P.M., Савельева Л.М., Хазанова Х.С., Победри Б.Е., Рикардса Р.Б., Савулы Я.Г., Флейшмана Н.П., Сахарова A.C., Филиппова А.П., Кохманюка А.П., ЯнютинаЕ.Г., посвященных вопросам расчёта статики и динамики тонкостенных конструкций.

Весьма эффективными методами являются методы расчётов, основанные на модификациях метода конечных разностей. Имеются многочисленные публикации и фундаментальные издания по этой теме. Это работы Абросимова H.A., Баженова В.Г., Вайнберга Д.П., Вольмира A.C., Гордиенко Б.А., Кибеца А.И., Кибеца Ю.И., Корнишина М.С., Крысько В.А., Ломунова В.К.,

Д.Т.Чекмарёва, и др. [37, 63, 64, 96]. Расчёту динамического поведения композитных оболочек методом конечных разностей посвящена работа [150].

Благодаря физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в конструкциях сложной геометрии, МКЭ получил широкое распространение. По МКЭ опубликовано множество фундаментальных исследований. Среди них можно выделить монографии Бате К., Вилсона Е. [8], Галлагера Р: [45], Голованова А.И., Корнишина М.С. [51], Голованова А.И., Бережного Д.В. [50], Зенкевича О. [81], Зенкевича О., Моргана К. [82], Норри Д., Ж. Де Фриза [116], Образцова И.Ф., Савельева JIM., Хазанова Х.С. [117], Одена Дж. [118], Постнова В.А.[129], Розина JI.A. [133, 134], Рикардса К. [132], Сахарова A.C. [143], Сегерлинда Л. [147], Стренга Г., Фикса Дж. [158]. По расчёту конструкций МКЭ выполнены работы [17, 68, 69, 149, 124, 125].

Популярность МКЭ способствовала созданию коммерческих пакетов программ, среди которых можно отметить следующие часто используемые: в механике: NASTRAN, ASKA в теплотехнике: TITUS в электромгнетизме: FLUX, MAGNET 11, PE2D другие: MICROFLUX, GE2D, ANSYS.

Пакеты NASTRAN, TITUS, MODULEF обладают очень высокой универсальностью и априорно обеспечивают решение любой задачи, не содержащей особых сложностей. Основные созданные в мире комплексы программ метода конечных элементов описаны в справочнике под редакцией Бреббиа В.

Кратко остановимся на связях и сравнении МКЭ с методом конечных разностей, этих наиболее распространенных и эффективных численных методов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем в МКЭ. Однако, достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ

МКЭ является более простым, его методы применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.

Методы решения задач динамического выпучивания тонкостенных конструкций тесно связаны с используемыми моделями теории оболочек. По теории оболочек созданы фундаментальные работы, в том числе монографии Абовского Н.П., Андреева Н.П., Деруги А.П., Аксельрада Э.Л., Болотина В.В., Новичкова Ю.Н., Власова В.З., Вольмира A.C., Галимова К.З., В.Н.Паймушина, Гольденвейзера А.Л., Григолюка Э.И., Чулкова П.П., В.И. Гуляева, БаженоваВ.А, Гузя А.Н., Муштари Х.М., Пикуля В.В., Новожилова В.В., Пелеха П.Л., Рекача В.Г., Кривошапко С.Н., Терегулова И.Г., Тимошенко С.П., Войновского-Кригера С., Филина А.П., Черных К. Ф.

По расчёту стержней и стержневых систем опубликованы исследования Бычкова Д.В., Воробьёва Ю.С., Розина Л.А., Светлицкого В.А., Филина А.П., Шулькина Ю.Б. и других учёных [25, 40, 41, 135, 71, 144, 145, 146, 166, 170, 192].

Несмотря на то, что многие разделы теории тонкостенных и стержневых конструкций достаточно хорошо изучены, появляются новые методы расчёта, имеют место также недостаточно исследованные проблемы теории. Поэтому к задачам о поведении упругих и упругопластических конструкций при динамических и ударных нагрузках обращается всё большее число исследователей. Число публикаций по этой теме с каждым годом всё увеличивается. Замечательные обзоры некоторых из них можно найти в работах [9, 12, 31, 37, 38, 35, 66, 94, 108]. Здесь содержатся результаты, полученные рядом советских и зарубежных авторов.

В [202] Huffington N. решал задачу о продольном ударе по свободному упругому стержню. Время приложения нагрузки принималось значительно меньшим чем время, за которое продольная волна пробегает длину стержня. Основное внимание уделено сравнению двух возможных подходов к решению задачи: применение нелинейной системы трех уравнений типа С.П. Тимошенко и системы двух уравнений, не учитывающих сдвиг и инерцию вращения.

В [108] Мовсисян Л.А. рассмотрел потерю устойчивости конечного шарнирно опертого стержня при продольном ударном сжатии. Система уравнений движения состояла из волнового уравнения продольных движений и параболического уравнения поперечных колебаний. Функции разлагались в ряды Фурье. Критическая сила определяется из условия равенства нулю частоты свободных колебаний стержня.

Цикл работ по устойчивости стержней, пластин и цилиндрических оболочек был выполнен Малым В.И. В [105] определялись критические длины полуволн потери устойчивости, обладающие наибольшим темпом возрастания амплитуды. Критерий вытекает из выводов известной работы академиков Лаврентьева М.А., Ишлинского А.Ю. [99], которая дала мощный толчок развитию исследований по устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.

Гордиенко Б.А., используя МКР, в ряде работ рассмотрел выпучивание стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе абсолютно твердым телом. В работах [63, 64] обсуждаются особенности применения метода в указанных задачах.

В работах [162, 185] И.Г. Терегуловым, Ф.Г. Шигабутдиновым предложен критерий для определения критической длины потери устойчивости при продольном приложении импульса силы и определены критические длины для упругопластических стержней с учетом неоднородности напряженного состояния по длине. Под критической длиной понималась наименьшая длина, на которую должна распространиться продольная волна нагружения для того, чтобы появились полуволны с наибольшим темпом роста амплитуды. t

Выпучивание упругих изотропных и ортотропных стержней и цилиндрических оболочек переменной толщины рассмотрены Шигабутдиновым Ф.Г., Муртазиным Р.З., Петуховым Н.П. в работах [187-190]. В частности, в [188] с использованием МКР для ортотропных цилиндрических оболочек переменной толщины, подвергнутых продольному удару абсолютно твердым телом, получена полная картина поперечного волнообразования для больших промежутков времени.

Многие исследователи обращались к экспериментальным методам определения статических и динамических характеристик конструкций. К работам этого направления относятся исследования Волошановского Ю.П., Коноплёва Ю.Г., Кухто В.А., Смирнова В.А., Шалабанова А.К., Шишкина А.Г., Lashari М., Weingarten V.J.[92, 93, 98, 152, 173, 191, 204].

В статье [173] развивается экспериментальный метод определения частот и форм свободных колебаний цилиндрических панелей. С помощью эксперимента удаётся построить простые формулы для расчёта оболочек, * имеющих произвольные граничные условия на краях и различного очертания в плане.

В работе [191] рассматриваются свободные колебания замкнутых цилиндрических оболочек, оболочек с отверстиями и цилиндрических панелей с круглым центральным вырезом при различных условиях. С помощью эксперимента получены приближённые, удобные для практического использования, формулы частот колебаний гладких цилиндрических оболочек. Установлено, что влияние на частоты колебаний отверстий, площади которых не превосходят 15 % всей поверхности цилиндрической оболочки, является незначительным.

Методом, сочетающим теоретическое исследование и эксперимент, является теоретико-экспериментальный метод, предложенный СаченковымА.В. [141]. Его использовали Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К., Шишкин А.Г. и многие другие. По результатам исследований опубликованы многочисленные работы, в том числе: [140], [142].

В работе Акуленко Л.Д., Нестерова C.B., Попова A.JI. [2] получены высокоточные аналитические оценки частот и форм низших мод колебаний для эллиптической пластины, защемлённой по краю, на основе модифицированного метода Релея-Ритца. Установлена связь спектров эллиптической и круговой пластин. Проведено сравнение полученных оценок с численными результатами других авторов и экспериментальными данными. В работе, для высокоточного вычисления частот и форм низших мод колебаний эллиптической пластины предлагается модифицированный метод типа метода Релея-Ритца. Он основан на, введении обобщённых полярных координат и задании осцилирующей зависимости функции поперечного перемещения (прогиба) пластины от полярного угла с фиксированным числом радиальных узловых линий (не для круговой пластины).

В работах Жигалко Ю.П. [72, 73] на основе единого и достаточно общего подхода исследован широкий класс новых актуальных задач динамики оболочек при локальных воздействиях. На основе общей операторной модели динамики упругих систем с применением метода разложения по собственным формам колебаний построены фундаментальные решения стационарных и нестационарных задач , проанализирована их структура. В общей постановке рассмотрена задача о колебаниях тонкой оболочки произвольной формы с присоединённым твёрдым телом. Рассмотрены вопросы внешнего и внутреннего демпфирования колебаний оболочек и пластин при локальных воздействиях.

Задачи по определению собственных частот и форм колебаний пологой оболочки с частично повреждённым защитным слоем и цилиндрической оболочки, дискретно подкреплённой системой стрингеров, были рассмотрены в работах Антуфьева Б.А., Сергеева В.Н. [4, 5].

В работе Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н., Недорезова O.A. [6] методика расчёта напряжённо-деформированного состояния упруго и жёстко закреплённых пластин сложной формы [7, 148] применяется для определения частот и форм свободных колебаний. Основная особенность этой методики заключается в том, что формы собственных колебаний упруго закреплённых пластин находятся в виде ряда по координатным функциям, каждая из которых может не удовлетворять граничным условиям. Для решения обобщённой проблемы собственных значений был выбран метод Релея-Ритца. Результаты сравнения полученных результатов с данными других авторов иллюстрируют возможности применяемой методики решения.

Большой вклад в развитие численных методов изучения напряжённо-деформированного состояния статики и динамики конструкций внесли представители нижегородской школы механики. Нелинейные динамические процессы в ортотропных оболочках рассматривались Баженовым В.Г., Игоничевой Е.В. в [11]. В этой же работе можно найти обширную библиографию по указанной теме. В работе Баженова В.Г., Кибеца А.И., Кибеца Ю.И., Самыгина А.И. [10] дано численное решение трёхмерных нелинейных задач нестационарного деформирования тонкостенных конструкций, включающих стержневые элементы. В качестве уравнений состояния используются соотношения теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением. Уравнения движения конструкции выводятся из вариационного принципа Журдена. Гипотезы, принятые в теории тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин и оболочек), выводятся на этапе дискретизации определяющей системы уравнений. Решение задачи основано на МКЭ и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа "крест". Для расчёта напряжённо-деформированного состояния массивных тел и оболочек реализован 8-узловой изопараметрический элемент с полилинейными функциями формы. Для дискретизации криволинейных стержней применяются двухузловые конечные элементы с линейными функциями формы. В статье [89] Кибец А.И., Кибец Ю.И. рассматривают трёхмерные задачи упругопластического деформирования конструкций при ударных и импульсных воздействиях. Приводится схема, в которой геометрия оболочек моделируется 4-х узловыми плоскими конечными элементами. и

Точность предложенной методики иллюстрируется результатами тестовых расчётов.

В работе Бахтиевой Л.У., Жигалко Ю.П., Коноплёва Ю.Г., Митряйкина В.И., Саченкова A.B., Филиппова Е.Б. [13] на основе подхода, предложенного в [139], получены решения задач динамической устойчивости цилиндрических и конических оболочек при внешнем давлении, линейно меняющемся во времени. Константы, входящие в расчётные формулы для критического давления, уточняются экспериментальным путём. Дано краткое описание экспериментальной установки. Рассмотрены прямые и обратные линейные задачи о вынужденных колебаниях оболочек при импульсивном нагружении.

Цикл исследований по конечноэлементному анализу пьезоэлектрическх устройств проводится представителями Ростовской-на-Дону школы механики [15, 112]. В работе Белоконя A.B., Наседкина A.B., Соловьёва А.Н. [15] предлагаются новые конечно-элементные схемы исследования гармонических и нестационарных задач для составных упругих и пьезоэлектрических сред. Для прямого интегрирования по времени КЭ уравнений нестационарных задач применена схема Ньюмарка в удобной формулировке, не использующей явно скоростей и ускорений узловых степеней свободы. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность предлагаемой методики и их реализаций в КЭ-пакете ACELAN.

В работе Белого М.В. [16] рассматривается вариант метода суперэлементов для численного решения нестационарных динамических задач. В работе [157] для расчёта колебаний пластин сложной формы используется МКЭ.

В работе Богомолова С.И., Лущенко С.С., Назаренко С.А. [20] изложен алгоритм расчёта собственных колебаний лопаток турбомашин методом конечных элементов. Применён суперпараметрический оболочечный элемент с 40 степенями свободы, полученный из полной трёхмерной изопараметрической формы введением гипотез, характерных для математической модели оболочек

Тимошенко. Приведены результаты расчёта цилиндрической консоли и реальной лопатки.

В статье Борискина О.Ф., Барышниковой О.О. [22] предложена методика конечноэлементного анализа геометрически нелинейных колебаний оболочек переменной толщины и достаточно сложной геометрической формы в поле центробежных сил. Методика позволяет на базе смешанной аппроксимации перемещений в трёхмерных конечных элементах получить с достаточной точностью и высокой достоверностью низшие собственные частоты и соответствующие им формы колебаний.

В работе Бочарова Н.В. [23] исследовано влияние дефектов геометрической формы упругого стержня на его динамическое напряжённо-деформированное состояние при импульсном нагружении через присоединённую сосредоточенную массу. Задача решена численно методом начальных параметров при использовании метода численного интегрирования Рунге-Кутта. Дискретизация стержневого элемента проводилась методом конечных элементов. Для определения полного динамического решения параметров НДС использовано разложение по формам собственных колебаний. Решение задачи динамики упругого стержня осуществляется в линейной постановке, при этом вводятся допущения: гипотеза прямых недеформированных нормалей, учитывается сдвиг в поперечном сечении стержня, учитываются силы инерции, связанные как со смещением, так и с вращением элемента нормали.

В работе Булычёва Г.Г., Пшеничнова С.Г. [28] исследуется реакция цилиндрических и конических оболочек на резкое торцевое воздействие.

В работе [30] Бурман Я.З., Зархин Б.Я. рассмотрели задачу определения динамической реакции упругих конструкций (конечно-элементных моделей) при гармоническом нагружении на основе разложения по ортогональному базису, состоящему из собственных форм и векторов Ланцоша. Приведены некоторые числовые результаты.

В работе [33] Вестяк A.B., Зайцев В.Н. определяют собственные частоты колебаний композитной оболочки с помощью метода конечных элементов. Для определения основных, низших тонов колебаний конструкций используется метод одновременных итераций в подпространстве. При использовании этого метода получается "усечённая" система алгебраических уравнений, для которой необходимо решать полную проблему собственных значений. В качестве примера были определены три низшие формы колебаний и соответствующие им частоты для композитной оболочки двоякой кривизны.

Цикл работ по исследованию свободных колебаний оболочек методом конечных элементов был проведён Головановым А.И., Кузнецовым Ю.М. [49, 52-55]. В работе [49] на основе конечного элемента непологой оболочки произвольной геометрии, построенного с помощью теории оболочек с учётом гипотез Кирхгофа-Лява приводятся результаты исследования задачи о свободных колебаниях искривлённых оболочек. Работа [55] посвящена численному исследованию частот и форм свободных колебаний тонких цилиндрических оболочек кругового и некругового профиля; с системой прямоугольных отверстий. Методика расчёта основана на методе конечных элементов с использованием специальных прямоугольных элементов тонких цилиндрических оболочек с 20 степенями свободы [53]. Для решения обобщённой задачи на собственные значения применяется один из методов итераций подпространств [52, 208, 209]. Был решён ряд задач как тестовых, так и практических.

В работе Гузя А.Н., Лугового П.З., Мукоида В.П. [67] в рамках модели теории пластин типа Тимошенко исследуется задача о колебаниях упругих пластин сложной формы. Определяющие соотношения записаны в виде системы интегральных уравнений в косоугольной системе координат. Система интегральных уравнений служит исходной для построения разностных соотношений. Приведён численный расчёт. Проведён анализ закономерностей и особенностей волновых движений пластины в зависимости от амплитуды прилагаемого усилия и учёта геометрической нелинейности.

Джонсон и Гриф в своей работе [70] исследуют движение цилиндрической оболочки под действием произвольного нестационарного распределения нагрузки. Исследование проводится в рамках линейной теории тонких упругих оболочек. Используется два метода численного интегрирования: явная и неявная (метод Хуболта) разностные схемы. При использовании обоих методов искомые переменные раскладываются в ряды Фурье по окружной координате, а получающиеся дифференциальные уравнения представляются в конечно-разностной форме. Обсуждается эффективность каждого из двух численных методов применительно к решению практических задач.

В работе Зайцева В.Н., Рабиновского Л.Н. [79] была рассмотрена задача нестационарной динамики для изотропной оболочки вращения, близкой к усечённому конусу. Оболочка имеет переменную толщину, защемлена по малому основанию при свободном большом основании. Была построена конечно-элементная модель оболочки с 4-х угольным тонким конечным элементом, работающим на растяжение-сжатие и на изгиб, с шестью степенями свободы в узле.

Цель статьи Заргами М., Робинзона А. [80] - разработка эффективного и точного численного метода определения собственных частот и форм свободных колебаний упругих сферических оболочек. Метод Хольцера, разработанный для определения частот крутильных колебаний валов, обобщён на случай линейных свободных колебаний сферических оболочек.

Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин был осуществлён Ивановой Е.А. [84]. Исследуются свободные колебания: прямоугольных пластин с частотами, принадлежащими высокочастотным спектрам. Приводится сравнение результатов, полученных по точной теории Рейсснера и по приближённой теории высокочастотных свободных колебаний, содержащей только медленно меняющиеся по пространственным координатам функции. Известно, что при решении некоторых задач динамики пластин, в частности при решении задач о вынужденных колебаниях под действием ударных нагрузок, игнорировать высокочастотные колебания, обусловленные учётом инерции вращения и деформации поперечного сдвига нельзя. Указывается на то, что высокочастотные колебания в настоящее время изучены сравнительно мало и их дальнейшее исследование представляет интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения.

В работе [85] Ившин И.В., Кочергин A.B., Кондратьев А.Е., Хабибуллин М.Г. предлагают для обсуждения результаты расчётов характеристик упругих колебаний исправных и дефектных лопаток турбины газотурбинного двигателя (ГТД) с использованием метода конечных элементов. Для решения задачи выбран метод конечных элементов (КЭ) в варианте метода перемещений, а в качестве объекта исследований - исправные и дефектные лопатки турбины ГТД. Результаты расчётов собственных колебаний лопаток турбины с использованием метода конечных элементов показали возможность определения частотного диапазона колебаний, наиболее чувствительного к дефектам.

В книге Богдановича А.Е. [19] рассмотрены задачи динамики ортотропных цилиндрических оболочек: собственные и параметрические колебания, осесимметричное и неосесимметричное деформирование при продольном ударе и при нестационарном внешнем давлении в геометрически нелинейной постановке. Исследуется применимость модели Кирхгофа-Лява в задачах динамики.

В монографии Бублика Б.Н. [27] исследуются собственные колебания, статическая и динамическая устойчивость пластин и пологих оболочек с областью в плане в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, прямоугольника и с областью, составленной из прямоугольников. Для решения задачи автор проводит специальные аналитические преобразования конечно-разностных систем, соответствующих краевым задачам или задачам о собственных значениях.

Применению метода граничных элементов к определению частот и форм свободных колебаний посвящена работа Буравлёва И.М., Игумнова Л.А., Конышевой В.М. [29]. Рассматривается задача об определении частот и форм колебаний трёхмерных (массивных) тел. Решение задачи осуществляется на основе прямого варианта метода граничных элементов (МГЭ). В работе [212] Wen Р.Н., Aliabadi М.Н., Young А. рассматривается задача о динамическом изгибе тонкой пластины с набором прямолинейных коллинеарных трещин. Используется теория Кирхгофа. Решение строится МГЭ. Фундаментальные решения находятся с использованием преобразования Лапласа по времени. Численные решения получены для бесконечных пластин с трещинами при ударном воздействии.

Йонг и Ким [86] предлагают конечный элемент, применяемый для расчёта неосесимметричного изгиба и колебаний конической оболочки. Составлены матрицы жёсткостей и масс для трапецеидального конечного элемента конической оболочки. При составлении использовано интегрирование в сочетании с методом синтетического деления. Эффективность метода продемонстрирована на примерах решения задач о неосесимметричном изгибе и колебаниях конической оболочки.

В работе [88] Кварацхелия И.Н. и Попов Б.Г. на основе четырёхугольного девятиузлового суперэлемента (СЭ), составленного из четырёх треугольных конечных элементов смешанного типа проводят расчёт собственных частот изотропной квадратной пластины и сравнение с результатами расчётов других авторов.

Кук в работе [97] на основе плоского элемента, основанного на вариационном принципе Рейсснера, методами конечно-элементного анализа решает задачи на собственные колебания прямоугольных и квадратных пластинок.

В монографии Коноплёва Ю. Г., Тазюкова Ф. X. [91] рассмотрены вопросы динамической устойчивости оболочек и пластин. Использование критерия устойчивости, предложенного А.В. Саченковым, вариационных и численных методов позволило решить широкий круг задач, многие расчётные формулы получены в замкнутом виде.

В монографии Леонтьева В.Л. [102] рассматривается применение ортогональных финитивных функций в смешанном вариационно-сеточном методе механики упругих деформируемых твёрдых тел, который обладает всеми достоинствами смешанных методов, но отличается от них уменьшенным за счёт ортогональности базисных функций числом узловых неизвестных. Сравнение с методом Ритца, в котором используются функции Куранта, показывает его более высокие вычислительные характеристики: расщепление глобальной системы сеточных уравнений на подсиситемы и улучшение её обусловленности. Метод позволяет находить приближённые собственные частоты с недостатком и в сочетании с методом Ритца даёт двусторонние оценки собственных частот.

В работе Мокеева В .В. [109] решалась задача динамического взаимодействия упругих конструкций с жидкостью и газом в линейной постановке: жидкость — идеальная, конструкция — упругая. Использовался метод конечных элементов. Для определения собственных чисел и векторов использовался метод частотной конденсации.

Навартна [111] методом конечных элементов решает задачу о свободных колебаниях. Найдены все частоты и формы собственных колебаний, учитываемые принятой расчётной моделью.

Нетребко A.B., Новотный C.B., Созоненко Ю.А. [ИЗ] применяют метод интегральных преобразований к решению уравнений динамики цилиндрических оболочек. В качестве уравнений, описывающих распространение волн в оболочке, в данной работе выбраны уравнения теории типа Тимошенко. В работе с помощью преобразования Лапласа по времени находится точное аналитическое решение в изображениях, а оригинал вычисляется путём численного интегрирования интеграла обращения комплексной плоскости.

В работе [120] Павловской Е.Е. и Петровым Ю.В. получены и анализируются результаты аналитического решения трёх задач линейной теории упругости, иллюстрирующие важность принципиальных особенностей динамики: специфического поведения энергии, наличия инерции и фактора времени. В; задаче о динамическом двустороннем растяжении одномерного упругого стержня постоянными напряжениями приведено точное аналитическое решение и найдена зависимость полной внутренней энергии стержня от времени. Показано, что в динамическом случае внутренняя энергия стержня существенно зависит от времени и периодически обращается в нуль.

Рукин Ю.Б., Радченко И.Г., Чернышова Е.Ю. [136] исследуют динамические состояния оболочек со срединными поверхностями вращения на основе трапецевидных конечных элементов. Рассматривается алгоритм построения согласованной матрицы инертности трапецевидного конечного элемента для исследования динамических состояний оболочек со срединными поверхностями вращения. Предлагается элемент в виде тонкой изотропной пластины трапецевидной формы и постоянной, в пределах данного элемента, толщины с узлами, имеющими линейные и угловые перемещения, необходимые для аппроксимации изгибного и мембранного состояний. Приводятся результаты тестирования элемента. Определение частот и форм собственных колебаний выполнено в рамках неполной проблемы собственных значений [168]. Для её решения выбран метод обратной итерации.

В работе Санкина Ю.Н., Югановой H.A. [138] исследуются продольные колебания упругих стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жёстким препятствием. Предлагается частотный метод решения задачи о продольных колебаниях упругих стержней ступенчато переменного сечения при учёте или без учёта рассеяния энергии при соударении с жёстким препятствием. Уравнение продольных колебаний стержня преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Для полученного неоднородного дифференциального уравнения решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил как функций краевых перемещений.

Смит, Хафт [153] точное решение Смита используют для нахождения собственных частот и форм колебаний круговой цилиндрической оболочки, закрытой с одного конца круглой упругой пластинкой, проводится сравнение с экспериментом.

В работе [154] Снисаренко Т.В. изложена методика расчёта форм и частот собственных колебаний конструкций, упругомассовые характеристики которых идеализируются с помощью конечных элементов. Рассмотрена неполная проблема собственных значений, для решения которой используется метод итераций подпространств. В качестве примера приводится расчёт собственных колебаний цилиндрической оболочки.

Спирочкин Ю.К. в работе [155] рассматривает задачу определения собственных частот и форм колебаний динамической системы из одной или нескольких вложенных друг в друга оболочек, находящихся в невязкой несжимаемой жидкости. Описывается методика решения этой задачи на основе конечноэлементного моделирования оболочечной конструкции и жидкости. Для решения обобщённой задача собственных значений используется метод итерации подпространств.

В монографии Танеевой М.С. [46] разработаны эффективные алгоритмы численного решения нелинейных задач изгиба и устойчивости оболочек вращения.

Каюмов P.A. [87] применяет МКЭ для идентификации физических характеристик слоя по результатам испытаний многослойной конструкции.

В статье Сьюэлл, Пьюси [159] описаны результаты экспериментального и теоретического исследования колебаний эллиптических цилиндрических оболочек для широкого диапазона эксцентриситетов поперечного сечения. Вибрационные испытания были проведены на четырёх тонкостенных, изотропных, цилиндрических оболочках одинаковой длины, периметра и толщины, защемлённых на одном конце и свободных на другом. Для определения форм колебаний был использован неконтактный индуктивный датчик расстояний, который мог автоматически перемещаться над поверхностью оболочки. Измеренные частоты и формы колебаний сравнивались с теоретическими результатами расчётов по методу Релея-Ритца.

В монографии Якупова Н.М., Серазутдинова М.Н. [193] представлены результаты исследований по статическому и динамическому расчёту деформируемых элементов в виде пластин, оболочек, криволинейных стержней сложной геометрии. Изложено два достаточно универсальных метода, применяемых для расчёта указанных объектов. Первый: из них основан на общих соотношениях теории оболочек, записанных в криволинейной системе координат с использованием тензорных соотношений. Второй метод основан на записи требуемых выражений для деформаций в локальной, декартовой системе координат, что позволяет использовать соотношения теории пластин,, при расчёте оболочек и соотношения теории, прямолинейных стержней для расчёта криволинейных стержней. Объединяет указанные подходы то, что они основаны на вариационном методе и ориентированы для расчёта тонкостенных элементов сложной геометрии.

Анализ краткого обзора приведённых работ позволяет сформулировать^ следующие выводы:;

1. Решаемые задачи нахождения динамических характеристик накладывают ограничения на используемые методы исследования. Некоторые из них оказываются в конкретных случаях, практически, неприменимы. Поэтому для более полного учёта всех явлений применяются аналитические, экспериментальные, численные методы расчёта и их комбинации.

2. Остаётся актуальной проблема получения обозримых аналитических формул, позволяющих упрощать численные схемы исследования.

3. Нет единых конечных элементов, позволяющих эффективно рассчитывать стержневые и тонкостенные конструкции сложной геометрии. Каждый вновь создаваемый конечный элемент применяется с некоторыми ограничениями, вытекающими из геометрии и физических свойств материала конструкции. 4. Несмотря на большое число публикаций, посвященных разработке средств конечно-элементного расчёта и моделирования, количество решённых практически важных задач определения динамических характеристик: стержневых и тонкостенных конструкций произвольной геометрии на отечественных пакетах программ невелико.

Целью настоящей работы является: разработка эффективной конечно-элементной методики определения динамических характеристик сложных стержневых и тонкостенных конструкций и решение на этой базе новых практически значимых задач. Разработка численно-аналитического метода решения задач о продольно-поперечном движении упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном импульсном воздействии силой.

Настоящая работа посвящена разработке и реализации методики численного исследования, моделирования динамических процессов, возникающих в сложных тонкостенных и стержневых конструкциях при произвольных закреплениях и силовых нагрузках. Решение ведётся методом конечных элементов в перемещениях и методом конечных разностей по явной > схеме "крест", применяется аппарат интегрального преобразования Лапласа.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы. Изложена на 192 стр. машинописного текста, содержит 20 таблиц, иллюстрированна 103 рисунками. Список литературы насчитывает 214 наименований. Распределение материала по главам следующее.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена применению метода конечных элементов и метода конечных разностей к исследованию динамических характеристик тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии. При этом были получены следующие основные результаты.

1. На основе 9-ти узлового изопараметрического конечного элемента оболочек и трёхузлового изопараметрического конечного элемента бруса построена конечно-элементная схема динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций. Построенная схема позволяет решать задачи определения частот и форм собственных колебаний указанных конструкций, а также находить динамические характеристики при вынужденных колебаниях, для чего используется неявная схема метода Ньюмарка.

2. Приведены многочисленные результаты тестирования задач о динамическом поведении тонкостенных и стержневых конструкций с использованием аналитических решений, численных результатов других авторов, проведено согласование с результатами экспериментальных работ.

3. Проведено исследование динамических характеристик пространственных стержневых и тонкостенных конструкций, имеющих практическое назначение МКЭ, с определением частот и форм собственных колебаний. Результаты расчёта и методика исследования введены в действие на кафедре металлических конструкций и испытаний сооружений Казанской государственной архитектурно-строительной академии.

4. Разработан численно-аналитический метод расчёта изотропных стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе с учётом геометрической нелинейности, заключающийся в раздельном интегрировании уравнений движения с применением аналитического решения для продольных перемещений.

5. С использованием явной конечно-разностной схемы исследуется поведение изотропных цилиндрических оболочек и стержней при импульсном нагружении. При этом рассматривались мгновенно приложенные нагрузки разной амплитуды и продолжительности. Получены численные решения на длительных интервалах времени. Проведено сравнение с результатами, полученными численно-аналитическим методом.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. -288 с.

2. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B., Попов А.Л. Собственные колебания защемлённой по краю эллиптической пластины. // Изв. АН. МТТ. 2001. № 1.С.

3. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. — М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

4. Антуфьев Б.А. Динамика пологой оболочки с частично повреждённым защитным слоем. // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2002. № 4. С. 7-9.

5. Антуфьев Б.А., Сергеев В.Н. Свободные колебания цилиндрической оболочки, дискретно подкреплённой системой стрингеров. // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2000. № 1. С. 54-56.

6. Артюхин Ю.П., Серазутдинов М.Н., Недорезов O.A. Исследование свободных колебаний упруго закреплённых пластин различной формы // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд-во Казанск. Унта. 1989. Вып. 21.-е. 142-151.

7. Артюхин Ю.П., Серазутдинов М.Н. О расчёте упруго закреплённых пластин различной формы. // Строительная механика и расчёт сооружений, 1986, №3, с. 33-36.

8. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982,1982. -448 с.

9. Баженов В.Г. Численное моделирование нестандартных задач динамики упругопластических конструкций. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численной моделирование физико-механических процессов. 1995, Вып. 53, с. 17-30.

10. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Самыгин А.И. Численное решение трёхмерных нелинейных задач нестционарного деформированиятонкостенных конструкций, включающих стержневые элемены. // Изв. АН. МТТ. 2002. № 4. С.

11. Баженов В. Г., Игоничева Е. В. Нелинейные процессы ударного выпучивания упругих элеменов конструкций в виде оротропных оболочек вращения. Из-во Нижегородского университета, Н. Новгород, 1991 г.

12. Баженов В. Г., Чекмарёв Д. Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек. Из-во Нижегородского университета, Нижний Новгород, 1992 г.

13. Бахтиева Л.У., Жигалко Ю.П., Коноплёв Ю.Г., Митряйкин В.И., Саченков A.B., Филиппов Е.Б. Устойчивость, и колебания оболочек при импульсивных распределённых и локальных нагрузках. // Иссл. по теории пластин и оболочек, Вып. 21,1989, с. 112-130.

14. Г. Бейтмен, А. Эрдейн. Таблицы интегральных преобразований. М., Наука, 1969- 1970 гг.

15. Белоконь A.B., Наседкин A.B., Соловьёв А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств. // Прикладная математика и механика. 2002, Т. 6, вып. 3, с. 491-501.

16. Белый М.В. Суперэлементный подход к решению нестационарных динамических задач теории упругости. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численной моделирование физико-механических процессов. 1995, Вып. 52, с. 92-100.

17. Бережной Д.В. Статический расчёт трёхмерных конструкций методом конечных элементов. //Дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань, 1992.

18. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

19. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. // Рига: Зинатне, 1987, -256 с.

20. Богомолов С.И., Луценко С .С., Назаренко C.A. О применении суперпараметрического оболочечного конечного элемента к расчёту колебаний лопаток турбомашин. // Проблемы прочности. -1982. №6, - с. 71-74.

21. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1956.-600 с.

22. Борискин О.Ф., Барышникова О.О. Нелинейные трёхмерные модели в расчётах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений. // Изв. вузов Машиностроение. 2000, № 4, с. 23-31.

23. Бочаров Н.В. О влиянии формы элемента трубопровода на его напряжённо-деформированное состояние при произвольном импульсном нагружении. // Изв. вузов Машиностроение. 2002, № 2, 3, стр. 40-44.

24. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Наука, М., 1967.

25. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. Гос. издат. лит-ры по стр-ву, арх-ре и строит, мат-м. М. 1962. 476 с.

26. Бублик Б.И. Численное решение задач динамики пластин и оболочек,- К. Наук. Думка, 1969. 147 с.

27. Бублик Б.И. Численное решение динамических задач теории пластин и оболочек.- К. Наук. Думка, 1976. 222 с.

28. Булычёв Г.Г., Пшеничное С.Г. Исследование нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при ударных нагрузках. // Изв. РАН, МТТ. -1995.-№3 с. 188-196.

29. Бурман Я.З., Зархин Б .Я. Определение динамической реакции упругих конструкций на основе разложения по собственным формам и векторам Ланцоша. // Изв. АН СССР, МТТ, 1991,№6, с. 122-131.

30. Вайнберг Д.В., Городецкий A.C., Киричевский В.В. Сахаров A.C. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел. // Прикладная механика, 1972, т. VIII, в. 8, с. 3-28.

31. Васидзу В. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987.-542 с.

32. Вейнгартен. Свободные колебания тонких цилиндрических оболочек. Ракетная техника и космонавтика, 1964, т.2, № 4, с. 167-173.

33. Вестяк A.B., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. // Итоги науки и техники. Серия Механика деформируемого твёрдого тела. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 15, с. 69-148.

34. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., Наука, 1972г.

35. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем, "Наука". М., 1967.

36. Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаевский А.Т. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989, - 248 с.

37. Воробьёв Ю.С., Шорр Б.Ф. Теория закрученных стержней. К.: Наук. Думка, 1983.-186 с.

38. Воробьёв Ю.С. Колебания лопаточного аппарата турбомашин. -К.: Наук. Думка, 1988-244 с.

39. Газимов М.М., Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф. Расчёт тонкостенных конструкций на свободные колебания методом конечных элементов. //

40. Сборник материалов XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции, Часть I, 20 — 22 мая 2003 г. с. 328-329.

41. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: изд-во Казанского ун-та, 1975. -325 с.

42. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии, — Казань: изд-во Казанского ун-та, 1985. -164 с.

43. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984; -428 с.

44. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. — М.: Наука, 1992. -162 с.

45. Голованов А.И. Расчёт однородных и многослойных оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов. // Дисс. . докт. физ. мат. наук. Казань, 1992.

46. Голованов А.И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки. .// Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XXV. - Казань, 1990.-с. 66-83.

47. Голованов А.И. Исследование свободных колебаний оболочек методом конечных элементов // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 23, Казань, КГУ, 1991. -с. 81-85.

48. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твёрдых тел. Казань: ДАС, 2001.

49. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань, 1989. -270 с.

50. Голованов А.И., Кузнецов Ю.М. Метод Рутисхаузера в конечно-элементном анализе динамических характеристик тонких оболочек // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань, КАИ, 1985. с. 6-10.

51. Голованов А.И., Кузнецов Ю.М. Элементы с явными выражениями жёстких смещений в расчёте тонких цилиндрических оболочек. // В кн. Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань: Кфти КФ АН СССР, 1986, вып. 18, ч. 2, с. 83-93.

52. Голованов А.И., Кузнецов Ю.М., Свободные колебания цилиндрических оболочек с системой симметрично расположенных отверстий. // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 21. Казань, КГУ, 1989. -с. 151-159.

53. Голованов А.И., Шигабутдинов А. Ф. Исследование динамического поведения оболочек МКЭ. // Тезисы докладов. Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая), Пермь, 2003.

54. Голованов А.И., Шигабутдинов А.Ф. Расчёт динамического поведения оболочек произвольной геометрии МКЭ. // Сборник докладов научно-практической конференции "Студенты Зеленодольску". КГУ, 2003 г.

55. Голованов А.И., Шигабутдинов А. Ф. К расчёту свободных колебаний тонкостенных конструкций. // Самара 2003. Труды тринадцатой межвузовской конференции, 4.1, с. 28-32.

56. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. - 384.С.

57. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластин и оболочек: Справочник -К.: Наук. Думка, 1964. 288 с.

58. Гордиенко Б. А. О машинном решении задач ударного выпучивания упругих систем методом конечных разностей. // Изв. АН СССР, МТТ, 1970,3.

59. Гордиенко Б. А. Выпучивание стержней при ударном нагружении. // Изв. АН СССР, МТТ, 1969, 1, с. 185 - 188.

60. Горшков А.Г., Колесников И.Ю. Об одной методике приближённого решения задач колебаний пластин // Прикл. механика. 1985 -21. № 2. -с. 86-91.

61. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэроупругости оболочек. Киев: Наук. Думка, 1982. 399 с.

62. Гузь А.Н., Луговой П.З., Мукоид В.П. К расчёту пространственных колебаний пластин сложной формы. // Прикладная механика. 1999, Т. 35, № 8, с. 44-53.

63. Гуриелидзе М. Расчёт оболочек средней толщины с учётом геометрической нелинейности методом конечных элементов. Дисс. . канд. физ. мат. наук. -Казань, 1998.

64. Гурьянова О.Н. Рассчёт слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ. Дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань, 2000.

65. Джонсон, Гриф. Динамика цилиндрической оболочки: два численных: метода. // Ракетная техн. и косм. 1966, № 3, с. 132-142.

66. Дубовик A.B., Копытко М.Ф., Савула Я.Г. Свободные колебания пространственного криволинейного стержня. // Математические методы и физико-механические поля. Киев. Наук. Думка. 1989. Вып. 29. С. 34-40.

67. Жигалко Ю.П. Вынужденные колебания пластин и оболочек. Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. - 102 с.

68. Жигалко Ю.П. Обратные задачи изгиба упругих пластин и оболочек при локальном динамическом нагружении. // Изв. вузов. Математика. 1986. -№5.-с. 29-37.

69. Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. К вопросу об устойчивости элементов типа стержней и оболочек при продольном динамическом нагружении. //

70. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь2001, с.259.

71. Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. Исследование численным методом нестационарных задач динамики упругих стержней и оболочек. // межвуз. сб. «Проблемы прочности и пластичности», Н.Новгород: Изд-во ННГУ,2002, вып. 64, с. 66-71.

72. Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. Выпучивание упругих стержней и цилиндрических оболочек под действием прямоугольного импульса силы. // Известия высших учебных заведений, Авиационная техника, №4 за 2003 год. (в печати)

73. Заволина А.Г. Применение метода множителей Лагранжа к расчёту частот и форм колебаний пластин сложной конфигурации. // Изв. вузов. Машиностроение 1987. - № 7. - с. 13-17.

74. Заргами М., Робинзон А. Численный метод расчёта свободных колебаний сферических оболочек // Ракетная техника и космонавтика. 1967. -Т.5. -№7.-С. 51-58.

75. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. -511 с.

76. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.-318 с.

77. Иванов В.А., Самерханов Р.З. Собственные колебания оболочек сложной формы содержащей газ. // Проблемы механики оболочек. Калинин. 1988. -с. 79-83.

78. Иванова Е.А. Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин. // Изв. АН. МТТ. 1998. № 2. С. 163-174.

79. Ившин И.В., Кочергин А.В., Кондратьев А.Е., Хабибуллин М.Г. Контроль технического состояния рабочих лопаток турбины ГТД методом акустических характеристик. // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1998. № 1.С. 99-103.

80. Йонг, Ким. Конечный элемент, применяемый для расчёта неосесимметричного изгиба и колебаний конической оболочки. // AIAA Journal, 1974, v. 12, № 3, pp. 257-258.

81. Каюмов Р.А. Идентификация характеристик слоя по результатам испытаний многослойных оболочек. // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань. -Унипресс. -1988. с. 115-119.

82. Кислоокий В.Н., Легостаев А.Д. Реализация метода конечных элементов в задачах исследования свободных колебаний оболочек и пластин. // Сопрот материалов и теория сооружений. 1974, № 24, с. 25-32.

83. Коноплёв Ю. Г., Тазюков Ф. X. Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. Казань: Изд-во КГУ, 1994. - 122 с.

84. Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К. Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины иоболочки. // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 12. Казань. Изд-во Казанск. ун-та, 1976. с. 27-37.

85. Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К. Голографическая интерферометрия и фототехника. -Казань. 1990. -100 с.

86. Коноплёв Ю.Г., Шишкин А.Г. Свободные колебания пластин и оболочек, ослабленных вырезами или опёртых в точках. Обзор. // Иссл. По теории пластин и оболочек, Вып. 14, 1979, с. 82-99.

87. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирёв В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

88. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. -Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1976. 214 с.

89. Кук. Решение задач на собственные значения с помощью "смешанных" плоских элементов. // Ракетная техника и космонавтика. 1969. т. 7, № 5, с. 226-227.

90. Кухто В.А. Экспериментальное исследование колебаний прямоугольных пластин с вырезами. // В кн. Динамика и прочность конструкций, Новосибирск, 1976, с. 152-158.

91. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем.// Докл. АН СССР. 1949. Т64. №6. С. 779782.

92. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Наука. 1987 г.

93. Лахе А.Я., Нигул У.К. Алгоритм метода характеристик для анализа нелинейных одномерных волновых процессов деформации конических и цилиндрических оболочек. // ПММ, 1971, т. 35,4. 690-700 с.

94. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов теории упругости. // Ульяновск. 1998, 167 с.

95. ЮЗ.Ливсли Р. Матричные методы строительной механики. // М.: Стройиздат, 1980. -223 с.

96. Луговой П. 3. Динамика оболочечных конструкций при импульсных нагрузках (обзор). // Прикладная механика. 1990. - 26, - № В. с. 3 - 20

97. Малый В.И., Ефимов А.Б. Потеря устойчивости стержня при продольном ударе // ДАН СССР, 1972. 202 № 4. С. 797-799.

98. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.7/ М.:Наука, 1977.-456 с.

99. Методы динамических расчётов и испытаний тонкостенных конструкций / A.B. Кармишин, А.И. Жуков, В.Г. Колосков и др. // М.: Машиностроение, 1990.-288 с.

100. Мовсисян Л.А. Об устойчивости упругой балки при продольном ударе // ДАНАрм. ССР, 1969. 19. № 3. С. 124-130.

101. Ю9.Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов. // Изв. РАН. 1998, № 6, с. 166-174.

102. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. // Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

103. Навартна. Собственные колебания непологих сферических оболочек. // Р.т. и космонавтика. 1966. №2. 4, 11.

104. Наседкин A.B. Конечно-элементный анализ спектральных задач для упругих и электроупругих волноводов с гармоническими подвижными источниками.// Изв. АН. МТТ. 2001. № 3. С.

105. ПЗ.Нетребко A.B., Новотный C.B., Созоненко Ю.А. О решении уравнений динамики цилиндрических оболочек методом интегральных преобразований. Изв. АН. МТТ. 1998. № 1. С. 147-157.

106. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. // Л.: Судпромгиз, 196. — 431 с.

107. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958.

108. Пб.Норри Д., Ж. Де Фриз. Введение в метод конечных элементов. // М.: Мир, 1981.-304 с.

109. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985, 392 с.118.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. // М.: Мир, 1976.-464 с.

110. Справочник по строительной механике корабля, т.З. под ред. О.М. Палия, B.C. Чувиковского. Ленинград. Изд-во Судостроение, 1982 г.

111. Павловская Е.Е., Петров Ю.В. О некоторых особенностях решения динамических задач теории упругости. // Изв. АН. MIT. 2002. № 4. С.

112. Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчёта // Прикладная математика и механика. -1978. 42, № 4. - с. 762 - 772.

113. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочки сложной геометрии // Прочность и надёжность сложных систем. К.: Наук. Думка, 1979. - с. 26-33.

114. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. // М.: Мир., 1983,382 с.

115. ПесошинА.В. Численное и численно-экспериментальное исследование тонкостенных конструкций на основе метода конечных элементов. Дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань, 1993.

116. Пискунов A.A. Метод конечно-элементного анализа напряжённо-деформированного предельного состояний пространственных тел с