Новая модель модель изопараметрического конечного элемента для геометрически сложных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТРУБАЧЕВ Михаил Иванович

УДК 629.123.539.4

На правах рукописи

НОВАЯ МОДЕЛЬ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ СЛОЖНЫХ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 — механика твердого деформируемого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре строительной механики корабля Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный руководитель заслуженный деятель науки и техники России, доктор техн. наук, профессор ПОСТНОВ В. А.

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки и техники

России, д-р техн. наук, профессор ФИЛИН А. П.;

канд. техн. наук, доцент ПЛЕТНЕВ В. И.

Ведущая организация — Санкт-Петербургскнй государственный технический университет.

Защита состоится » ОКтЯбрЯ )993 р в ~ 1)ас

на заседании специализированного совета Д 053.23.01 в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, Лоцманская, 3. ( 50к)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан « » 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 053.23.01 канд. техн. наук, доцент

С. Г. КАДЫРОВ

Общая ХОРОКТОРПСТИКО работы

Актуальноать тсглы. С развитием средств вычислительной техники в кораблестроении и других областях науки и техники заметно выросла роль расчетных методов, оценки напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций, ориентированных" на использование ЭВМ.

Одним из основных численных методов, используемых а расчета:; напряженно-деформируемого состояния сложных сболочечных конструкций, • является метод конечных элементов (МКЗ). Эффективность этого метода существенно зависит от того, какие? соотношения положены о основу получения матриц жесткости конечных элементов, применяемых в расчете. В настоящее время в расчетах ■ прочности используется подход, когда оболочка моделируется системой конечных элементов, в качестве которых берут части поверхностей, фиксированной формы: цилиндрической, сферической, конической или другой. Форму конечного элемента ограничивают треугольным или четырехугольным контуром.

Для современных оболочечных конструкций, имеющих сложную геометрическую форму и нерегулярнее расположение

подкрепляющего набора, такой подход приводит к необходимости выбора большого количества конечных элементов, неоправданно большим затратам ручного труда при подготовке исходных данных, нарушению плавности формы расчетной модели оболочки.

Научная tsoaaaüc. В работе предлагается обшая .схема построения изопэраметрических конэчно-элементностньи моделей, свободная от перечисленных недостатков. Суть метода заключается в глобальной параметризации несущей поверхности оболочки системой гауссовых координатных линий, произвольно

расположенных на срединной поверхности оболочки.

Вывод основных зависимостей конечного элемента требует знание функционала энергии 'оболочки в произвольной криволинейной системе координат. В работе функционал энергии получен непосредственно из уравнений трехмерной теории упругости, записанных в тензорной форме.

Для использования полученных теоретических зависимостей в практических вычислениях, необходимо знание первой и второй квадратичной форм поверхности оболочки. В работе предлагается

ноаый алгоритм параметрического описания поверхности корпуса корабля, позволяющий по информации снимаемой о теоретического чертежа построить соответствующие зависимости.

В работе также разработан метод учета отдельных ребер подкрепляющего набора, без введения дополнительных конечных элементов. Способ состоит в вычислении потенциальной энергии деформации стержня в метрике срединной поверхности оболочки на основной линии стержня. Это позволяет полностью определить деформации стержня по деформациям оболочки, а также автоматически удовлетворить условиям совместности деформаций пересекающихся ребер набора.

Достоверность результатов. Достоверность обеспечена сравнением полученных в работе решений с решениями Других авторов, полученных другими методами, а также тщательным тестированием предлагаемой модели на различных классах задач.

Практическая ценность работы. Предложенный изопараметричеокий конечно-элементностный метод позволяет с достаточной точностью производить оценку напряженно-деформируемого состояния геометрически сложных оболочек. При этом достигается значительное снижение трудоемкости подготовки исходных данных. Получаемая расчетная модель очень хорошо соответствует геометрии реальной оболочки. Это дает широкие возможности для внедрения предложенного подхода в практику расчета геометрически сложных оболочечных конструкций, в том числе судовых конструкций.

Полученные результаты внедренны в С.-Петербургском государственном морском техническом университете и в Комсомольском-на-Амуре политехническом институте.

Апробации работы. Основные результаты были доложены на Всесоюзном научном семинаре "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций* (С.-Петербург, 1991 г.) и на научно-технической конференции "Эксплутационная и конструктивная прочность судовых конструкций" (Девятые 'Бубновские чтения', Н.-Новгород, 1991 г.).

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 105 страницах машинописного текста, содержащих 31 рисунок, а также список литературы из 10S наименований.

Содсрпатю §заботь1.

□ягденг.:а. Здесь ' рассмотрены проблемы возникающие при расчета геометрически сложных сболочак корпуса ксрзбля, сСосновыззется выбор темы исследования, са актуальность, указывается содержание глав,

Псрзгя глава. В первой главе .приводится краткий обсор технической литературы по теории пластан и оболочек, пр/мекск'/л

МЗТСД! КОНОЧНЫХ ЭЛеМСНТОО ДЛЯ рпечэта Сб0Л0Ч2ЧНЬ!Х KOHCTpyüLV/il, 3

также особенностей корабельных оболочек.

Систематическое изложение основ современной теории сбслочо* содержится а работах /-мбарцумлна С.Л., Абоасксго Н.П., Андрос;:! Н.П., Деруги А.П. , Бекуа H.H. , ГольденЕзйзэра А.Л., Яурьз Л.'.1., Новожилова В.В, Черных К.Ф., Михайловского Е.Е., Филина А.П. к многих других ученых'.

Среда инженеров-механиков МКЭ становится особенно полупрч; начиная о 70-х годов, благодаря работам созатсжх и саруС-э: ученых З.Г.Корнсаз, А.М.Маслэнн'/ковз, В.А.Постновз, Л.А.Ро?::!;:1, A.C.Сахарова, И.Я.Хархуримэ, Н.Н.Шапошникоза, О.Зенхо::-.',—, Р.Галзгерэ, Д-'С.Одена и ряда других авторов.

Отерся гаазз. Эта глава посвящена выгоду уравнений

теории подкрепленных оболочек з тензорной фопг/г. Непосредственно из уравнений трзумерной теории упругости, записанных в тензорной ферме строится функционал энерг/и оболочки в произвольной криволинейной системе координат.

Линейная теория оболочек в произвольной криволинейной сиоте^о координат. Полная энергия деформации произвольного упругого тела Э складывается из потенциальной энергии П и работы внешних сил А. . На основании известных зависимостей теории упругости выражение для потенциальной энергии деформации имеет вид

где ип - ковариантные компоненты вектора перемещений, е'^™ -тензор упругих постоянных. По верхним и нижним повторяющемся

' 1 ^ \1 /

индексам производится суммирование. Встречающиеся в обозначениях тензорных величин греческие индексы принимают значения 1,2, а латинские индексы изменяются от 1 до 3.

Для изотропного упругого тела тензор упругих постоянных вычисляется по формулам е|1.гпп = А.д!!дтп + ц (д,тд1" + д|пд1'1п) , где дта . коэффициенты метрического тензора криволинейной системы координат, хсестко связанной с недеформированным телом, . X и ц

- коэффициенты Ламе, ^и,, = 5ти„ - Г™* и« • пространственнные ксаариантные производные, а Г^,,* - пространственные символы Кристоффеля второго рода.

Срединная поверхность оболочки параметризованна системой гауссовых координатных линий X — 1,2. Третья ось

координатного триедра х8 направлзна по нормали к срединной поверхности оболочки (рис. 1).

рис. 1.

Обозначим чэрэз а^ , Ьцр - соответственно коэффициенты первой и второй квадратичных форм срединной поверхности. Разложим компоненты ваетора перемощений по толщине оболочки в тензорный ряд Тейлора

= и, | ^ + х8^ | у-=0 + (*®)22з2зи1 Ь=о + • ■ • •

Считая оболочку настолько тонкой, что I (1 ЬаР | « 1 , и используя

упрзщзющиэ гипотезы Кирхгофа-Лява: е|3 = ( Зи3 + У^ )/2 = О,

для аппрйкеммацяи перемещений по толщине оболочки получим соотношения

иа(лг3) = иа - л3Эаи3 ; и3(*з) = и3 ,

где иа, и3 - соответственно касательные и нормальное перемещения срединной поверхности.

После интегрирования по толщине в метрике срединной поверхности оболочки, для потенциальной энергии деформации получим следующее выражение

П= Я„,е«Р.1в [Н(УацрУги0- 2Ьсфи3^иа) +

+ ЬЬарЬгои3а3 +1/3 Ь3 Уа5ри3УтЗаи3 ]л/айх1йдгг , (2)

где Ь - полутолщина оболочки, а Укир ; УаЭри3 - соответствующие ковариантные производные на срединной поверхности. Обозначим через

(Рт> = Рт|+) + Рт(-> I = [Рт"1 " РтИ]К .

систему приведенных к срединной поверхности оболочки внешних сил и присоединенных моментов. Здесь ртн , р^-н - компоненты сил на различных сторонах оболочки. Тогда р'бота внешних сил л метрике срединной поверхности вычисляется по формула

А = Я„:[а''РЬ({раЩр- И[ра]С?ри3 ) + {р3}и3]"/гас^ЙА2 . (3)

Учот подкрепляющего набора. Считаем, что подкрепляющий набор состоит из стержней с прямолинейней или криволинейной ссьо. Ребрз набора Жестко связанны своими основаниями с ограничивающими поверхностями оболочки, а поперечные сечения ребер ортогональны поверхности оболочки.

Характер деформации отдельного стержня зададим кинематической гипотезой. Примем, что составной прямолинейный элемент, образованный примыкающими участками оболочки и стерхня, первоначально нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и нормальным к поверхности оболочки п процессе деформации. Принятая гипотеза полностью определяет деформац'/и

стерхна по деформациям оболочки. А такхсе позволяет автоматически удовлетворить условиям совместности деформаций пересекающихся робер набора.

Для вычисления потенциальной энергии деформации .стертая в г.ютрике срединной поверхности оболочки также воспользуемся общим трехмерным уравнением теории упругости (1). Примем в качестве основной линии стержня линию пересечения срединной поверхности оболочки с образующей стержня (рис. 2).

С каждой точкой основной линии .стержня свяжем локальный координатный триедр Ог, @2., П. Ось От местного координатного репера. направим по касательной к основной линии. Ось е2. разместим в плоскости касательной к срединной поверхности. Третью ось координатного триедра совместим с нормалью П к поверхности приведения оболочки. Масштаб по этой оси примем равным единице. Тогда секторное уравнение основной линии стержня имеет вид

Г°"'= Г( х1(*1'). ^(У) ) ,

где х1' - параметр осноаной линии стержня; -координатные л/.нии на срединной поверхности несущей оболочки. Отсюда найдем

а,. = 0тг°-л =

где л'га = дха/сУг

Кссрдкнату бзсисного ^¡сгора з г/етрико сргдинпой

позсрхности нэльзя яьтаслить подобным образом. Для этой цоли еоспользуел^ся сеойстэем дискраминантнсго тензора с«Р

переводить координат1.! зееторэ а координаты вектора, ему ортогонального. Если формально записать, что

3„, - А'г.с-За , го >2'®= СР-у. .

Такш сбрэзсм матрица Якойч преобразования координат, связанных со сродинной псаорхностк^о з координат«, свяоанкыо с сснозной линией стержня, имопт и«д

I*1,1 ^ !

Поскольку з чзнсм зидо но аыдалены г-эсмотричсскио характеристики поперечного сочснил ребра жосткости,

интегрирование выражения для потенциальной знс-ргти несводимо происсти а метрика зско;,.но.1 гичуи стер5*ня. И только посла тгего 1*сг-сль~уг, матрицу преобразования Якоб1.'! перейти ¡с координатам срэгииноЯ поверхности оболочки. Прм отом, учитчгла что е^сог. ПО,-'СрОПЛЯ:0!ЦОГО набор". ?(ПЧ<Т0Л'-и1О поовышгот телдону С^ЗЛО'-П, пр-хебрг-гэть- членам«, ссг.ерулли"."/, произзеданно тояшичм на крчг/зну .^Ь^н по сравнен« о с егинпцч? (чэ* для сбслоусн) нельа I.

н'2 ос'но^иин сэчео по-инчгс") гипотезы и К1йДО;:С 1

г/.атрит-1 Якг5и аыраясниа дг.ч паг-^цитлод ?норгии стсокн;; л котрикз позеру НССТ11 приведения сЗолоч^ им-эет сид

1ЪТ = ] |Цо«Р.?а [/'(^ур^у,, + Ьг;,Ь70и3а,) -

+ 2т' п' ^аО^ИуЧудоЧ, - (4)

- 27аи_я ( /' Ь?си3 + и, ) ] ! -А.''. V, I .

¡1 II -

В этом выражении Г , т' , п' - приведенные геометрические характеристики поперечного сечения стержня: соответственно приведенные площадь, статический момент и момент инерции

/' = Я,5) (1 ,

т' = /1,5) (*®)(1 - ,

= Я,ч - .

где кд= хгъ л-1'р ЬаР - нормальная кривизна поверхности в точках основной линии стержня.

Тротыэ гсзза. В третьей глазе строятся аналитические выражения для вычисления коэффициентов матрицы кесткости и вектора узловых усилий для всей конструкции в целом. Раскроем внутренний механизм образования ковариантной производной от компонент вектора посредством сведения дифференциального оператора, тождественного ковариантной производной Цхр^и^ - ЗаиА -■ гДе Йр^ -символы Кронекера. Для повторной коаариантной производной от нормального перемещения введем обозначение Да.ри3= даЭриз-Гс^Эяиз.

В этих обозначениях выражение для функционала энергии оболочки с произвольной криволинейной системе координат примет еид

э= Я„,о«*Р.»о ^(Овр^ПрИи^ - гЬоризО^чд + + ЬЬ^рЬ^исиз + »/3 113Дари3Дуоиз]л?ай*1й*2 - (5)

• Яс,|[ааРЬ({ра)ир-Ь[ра]5ри3) + {р3>и3]л/ссйУ1е1*г ,

где и* , и3 -касательные й нормальное перемещения оболочки на срединной поверхности.

-э-

Ограничения, накладываемые на перемещения оболочки в самой общей форме формулируются ток

их(х\х*) = Ш^.Л*) , и3(*1,>2) = Ф0(Х1,*2) ,

(б)

9хиэ(*1,л2)= 1|/х(дг1,*2) на сГ,

гдо 5Г ■ граница поверхности приведения оболочки или какая то со часть; ш*., ц;0 , ц/*, - заданные на границе оболочки функции.

В соответствии с принципом ?-л<нимумэ потенциальной энерп-и неизвестныз перемещения срэдмнмой поверхности оболочки можно определить из условия стационарности полной энергии

оЭ - 0 (7)

Уравнения (5), (6) и (?) оастззпяюг вариационную формулировку задачи спр"лолэнил д^уср'/^р^.'.анного состояния от действия заданных еношпиу сил.

Длч отыскания рпш-нкЯ •.аризцмонной задачи построим минимизирующую пссг.едо.'лте.'ьнггли метода Ритцз. Положим

и,') 'р.,5 ; и,0:\У)-~ и-Л с?,2 ;

(3)

едя по ни:.<(<-;'.\: п герхн1-.м •-^зтсгчслг.уся кндексгм пре:;о.-1 суммирована \ -■ 0, 1, . . , гп; ) ~ 0, !, . . , п -нуморздм кояечно-элемонт.юст:юЯ сегки, н^оссиной на орсдинную позорхиг:;;:» оболочки; 9;|х(х\лл) , = 1,2 я ч^х1,*2) , о « 0,1,2 система :-з пяти координатных функсий. !<с. «чвоткэ координатных функция 1 каждом уэл® и их вид ньгСр^.ч:.-} уз условия минимального наборч, обеспечивающего условия полнот*.!. Другими слоззми совокупность координатных функций по всем узлг/. обэспечиаает сходимость решения. Графическое предстасяж-о этих функций показано на рис. 3.

9и ; 9 ч П

/¿Л> -■■/ г;?, /< и/ V /

> • - / ч' / ' / V

/ г

у

/

рис. 3

ПодстсноЕгса (8) в функционал а ¡оргии (5) провращаот псзлздний г. квадратичную функцию переменных и^ и \',у' . Из условия ьзмимут ксздратинного функционала пэг^чссм систему линойгсж апгсбрсичвских уравнений дм определения ксиггостньк п-рау.иТрос аппроксимации импгк| V, \чкгпп . 2ламанты матрицы хозсткозти ото;! снстсг/,-! счисляются по формулам

= 2 ии ;

~ "2 ]1|г)еС+5,',а Ь Ь^г^Ц-о'Ч^п'-/^"й,™ = -2 ЯМС«Р.*» И Ьс^'.г^'О^Ч".;4 ;

»V* =■• 2 [ И Ь^Ь^Ис^ +

А элементы вектора углзаих нггрузох по формулам

ГС

Рпа«* = + {Рз>Ч'тпиЗ :

'"ат^эртгя глззл. Посвящена парсмстрмчоскс^у г.;отоду построения фермы с5олочс1 корпуса исходя из тс-зрогичесюго чгфте.'гл, доступного расчетчику.

Нс/Сопзо сбщрм г/отсдсм описания посср^кссти г.зяз-тгся парп«9тричес::ий мотод. Сбсзнзчи?«,«ор-^з дл, п ~ 1, 2, Э «кзтску (¡рсотр'нстг.оннь'х дсчартсггых «ординат, ä vin::; , <7. -- 1, 2

T>Da.vGTpbi пспсрхнсст!«. Тогда палт'.'отр^чсс.'Я'о урязн^чт wirst г;*д

Тасчч обрезом сгдоча сппржс'.-.мсц'.'и корпус." ггътсчэвте.я а псотрс-зж'.и поверхности, прс:(0Д1Щ0й чссез зздянннв точки и удсвяотпоря;ощсй некоторому ¿»полнитель i «ему ограничению, по^гс/якмцсму тидегитч из г.сего мксгсо5раг<л решений кгкСопео "спткмзиънуо* псзср^кссгь припедчую для г/еззлирезакхя корпуса ••срсбяя. !íp:'.3us теоретического чертежа строятся на onso с лемещьк» П1с;::сй Гр'бхня ройка с5л:д~ст свойством «з вссх

<?:*пых, преподанных через заданные тсч&« 1".*еть глянгаальную 'суг'марку ю " кривизну. Сгз;; сг»тгел:,,<о, дополнительным

ограничение:.; из решение постг пленной згцачи кгитяотся тробоззеие, гч'^и.уа.т-нссги функционала кр-игизны поп-зрхесот« ("сум'/^рно"!" крикизны;:

- - jf(„KVcKJVti« . (9)

re*-: К - г±\ссотт ксииснэ; с. •г.'мюууин'гнт : "»тричсогсго тэнзора гтг^рггчести; Г - сСчпсть игм-п:сн:<ч пг,-osqslk -csp/vimr.

В -;ссми fc-тркнсгггй фу^доментгльчую роль играет ур.'лнсния

Г.-усса, г. -.еизорней оссмз имеют

■>5J .-О- 4т Г,. р? - fyV-fc + Гр-"' 1\г„г - = ХСся Ста , (10)

г,".г сч - :;сссс1,'.'%"'зтр,/,-'чий д/зягл/мчантны-и тензор поверхности;

Г„ г. . JV oí--; ■-■-'•-i '<г."сггЛcccTE<5TOTt-~HHO персого и

■jTopcrn с^гд; уа ■ тзчзер г-Ч'мача-лгистоф

"г-: |;гк1>мотри«'*с>сг.м no"-?pxüocm тгчеорчыо

:.-íc:u«jh$'<v ■cocçiiûi'/.'Hrc.-, мзтричеекого тзмгер-ï и c.wrcjwï "чЗ^стсосояч определяются рагоистссуи

Оар = Smn 5ах" 5р>яп, Гх.сф = 5mtl дк\« ,

гдз - трехмерные символы Кронекера.

Разрешая уравнение (10) относительно гауссовой кривизны посла всех промежуточных выкладок, получим

F = - V2 JJ („ с«Рсгз б . (11)

Фунционал (11) сложным образом зависит от декартовых координат to4í!< поверхности. Это связанно с присутствием в функционала кривизны множителей, содержащих детерминант метрического тензора. Поэтому минимизация выражения (11) приводит к нелинейным апгеброическим уравнениям. Выделим главную чаегь метрического тензора поверхности и тем самым сведем нелинейную задачу аппроксимации к решению системы линейных уравнений.

Разобьем область изменения независимых параметров Ii1 и t? точками соотеэтстванно на М и N отрззкоа, где М, N - целые-: числа. Гаусооаы координаты точек разбиения обозначим черна (£1т, Дга декартовых координат отмх т-э-сх аоопльзуемся обозначениям л4(|та), где m = 0,1, .. ,М; п • - 0,1, ..

рис. 4.

С помощью билинейного представления по каждой

декартовой координате, заменим реальную гладг/ю поверхность складчатой. Тогда коэффициенты метричсскрго тон-ора с;сладчатоД поверхности выделяют главную часть м^тричес,<сги тензора реальной поверхности При . этом коэффициенты метричес кого тензора определяются очевидным образом и могут быть сычиоленны заранее.

Полученные тзкигл образом в функционале кривизны коэффициенты будем помечать черточкой внизу.

Аппроксимируем декартовы координаты срединной поверхности оболочки следующем образом

*"№*) = Л* + «'^ЧМ1™' + Х'(Фп)Фг1т"> ■ (12)

где 1уг<™> , г ~ 0, 1, 2 известные аппроксимирующие функции; (о'(шп) и х'(та) . ¡=1,2,3 подлежащие определению неизвестные коэффициенты. Набор координатных функций фг0™> выбирается

исходя из уело сия полноты, то есть услогия сходимости. Зд-зсь функции, не равны нулю лишь в малой области, ограниченной

соседними координатными линиями к линиям с,1 м .

Использование трех координатных функций позволяет построить гладкую поверхность, аппроксимирующую поверхность корпуса корабля, с непрерывной перзей квадратичной формой. Для обеспечения непрерывности' кривизны моделирующей поверхности количество координатных функций слэдует уЕзлииить.

Аппроксимация (12) приводит :: сырххени-о функционала кривизны как однородной квадратичной функции переменных и х'<;™) ■

Из усяосип г/ичимума этой квадратичной функции, получим систему л'.1н9:"'ных ур^тнений

к.:/~-Р*>Сй!(р!г) + к^ИР*!^,^ - р..!'гд| ;

(13)

для которой коэффициенты "матрицы хс-стссти" вычисляются по формулам

кэв{тп)(рц = . Я(Г)сарйТО дрС^^-¡дад^ц/^'/а^У1^ ;

+ с^Дфг^'^сД,ш-,!РМ ) -'/аа^й*2 ;

-К"

а элз?/анты ьактсра "узловых усилий" по формулам

ро<.та>| = jjll)c^cyc>ap3r\p-,(™>Ai(pk)Saao4;ü(p:'>-/adi.'idAi ;

гдз i = 1, 2,3; m, р = О, 1, .. , М; п, к^О, 1, .. , N.

ЯП7 £3 гваггз. В этой гласс анализируются полученный тооратичося'-э зависимости. С цэльо аппробации аналитических оыражзний приводятся результаты расчитоз различных клаесоз задач с использованием полной изопараметрической конечно-элеменгностной модели. Первая группа примеров относится к плоской задача теории упругости. Другая группа относится к изгибу стержня. Здесь присодятся также то ото вы о примеры расчета пластин, имеющих различные ,услоаия закрепления. И наконец расматриеавтся npn.vop расчота достаточно сложной непологой оболочки, имеющзй

отрицательную гауссову кривизну.

Плоская задача теории упругости. Здьсь приводятся примори численного расчета сжатия и изгиба 6ал?си-стинхи d ссоай плоскости. OCj задаем откосятся к плоской ¿адачо теории упругости. Но считаются с использованием полного изспарамотричсскэго конечного глзмгнта, пэлучонного вышо. В качсстиз багогой конструкции ныЗрана балка-стойка жостко зздэламная на лай с«: торце. Балка-CTöKica расоматриаается как пример сио;юч;л, нагруженной касательными усилиями. В пэрасм примера рссчс-та стенка снимается разнсморно распределенной предол-лой нагру?хс.й. В доуга.и примера считается изгиб балки-стенки ь свооП плосксс.н.

Некоторое расхождение численных решений от "эталонного', подученного по стер>;;нзсой модели, ссяганно с учетом коэффициент;; Пусасома о численном рашокии, которого на учитывает стержневая модель.

И?п:6ныз деформации стершей и пязстин. Следующая группа примороз относится к оценке изгииных деформаций оболочки. Б качезтаа одного численного примера расчата взят изгий тонкой полосы. Полоса жестко зздоланнз левым краем и находится под действием разномерно распределенной нормальной ьзгрузк"\

При значении коэффициента Пуассона рзвным нулю результаты численного решения полностью совпали с решением (14). При значении v = 0.3 результаты численного решения приведены на рис.7. Из рисунка видно, что перемещения и соответственно деформации сказываются немного больше на краях цилиндра.

Рзсчет усеченного коноида. Усеченный коноид - непелогая оболочка, имеющая отрицательную гауссову крисизну. В работе C.A.Brebbia на основе теории пологих оболочек проведен численный рзсчет этой задачи методом конечных злзментоа. Здесь использовался конечный элемент с 20-ю степенями свободы. Результаты расчета МКЭ этого коноида как непологой оболочки приведены в работе А.П.Николаева. Здесь коноид разбивался на 32 !<Э, с числом степеней свободы кагедого КЭ равным 36.

Срединная поверхность усеченного коноида в трехмерном дэкартооом пространстве XYZ определяется уравнением

z = f (1 - 4у2/а2) (х 4- L - l)/L

Внешний вид и размеры рассматриваемой оболочки, принятые при численных расчетах приведены на рис. 8. При расчетах коноид рассматривался как езебодно спертый и загруженный равномерно распределенной по внешней поверхности нормальной нагрузкой д.

В качестве координатных линий примем линиии пересечения срединной поверхности сболочки с системой продольных и поперечных плоскостей, как показано на рис. 9.

В принятой криволинейной системе координат параметрическоэ уравнение поаерхности коноида имеет вид

X г: л-1 ; у = >2 ; 2 1 (1 - 4(*2)2/оа) (А1 + I - !)Д

Расчет усеченного коноида с помощью изэларзметричсской конечно-зломонтнзстной модели проводился при дискретизации оболочки на 20, 40 и 89 конечных элемента. Сравнение полученных результатов с рзз,тьтатами С.А.ВгеЬЫа и А.П.НиколаеЕл приведеннэ на рис.10.

Штриховая линия соответствует решению, полученному ВгеЬЫа. Штрих-пунктирная линия решение полученное Николаевым. Сплошная линия соответствует решению полученному при использовании,!,! разработанной изопараметрической конечно-элгментностной модели, при разбиении оболочки на 20 конечных элементов. Результаты расчета при дискретизации более мелкой сеткой (40 и 80 КЭ) практически совпадают с решением при 20 КЭ.

Основныв зыводы

1. Непосредствзнно из уравнений трехмерной теории упругости, записанных в тензорной форме, построении уравнения теории тонких оболочек 5 произвольной криволинейной системе координат. На основе полученных теоретических зависимостей строится функционал знергии оболочки в произвольной системе координат.

2. Разработан метод учета отдельных ребер подкрепляющего набора, без введения дополнительных конечных элементов. Метод состоит а построении выражения для потенциальной энергии деформации стержня непосредственно а метрике срединной поверхности оболочки..Это позволяет полностью определить деформации стержня по деформациям оболочки и автоматически удовлетворить условиям совместности деформаций пересекающихся ребер набора.

3. Разработан метод построения изопараметрических конечно-элементностных моделей. Метод основан на глобальной параметризации несущей поверхности оболочки системой гауссовых координатных линий, произвольно расположенных на срединной поверхности оболочки. Получены необходимые выражения для вычисления коэффициентов матрицы хгесткоогм и вектора узловых усилий для всей конструкции в целом.

4. Построен новый алгоритм параметрического описания корпуса корабля, по заданному набору точек. Получающаяся при этом нелинейная задача аппроксимации поверхности,. с помощью предложенного а работе способа, сведена к линейной задаче аппроксимации.

5. Проведены тестовые расчеты различных классов задач с использованием полной изопараметрической конечно-элементной модели. Полученно хорошее совпадение результатов численного расчёта с данными, полученными друпши методами или ранее другими авторами. Показано, что использование изопараметрического КЭ особенно эффективно з случаях расчета геометрически сложных непологих оболочек.

Оснэаноз сццерхсзнма диссертации опубшковзнно в работах: <'1. Пзстксз Б.А., Трубсчез Ы.И. ИзоПарамотричоски." конечный элемент для сболочак произвольной формы. /Исследования по механика строительных конструкций и мзториглзг;. МежзузогскиЯ сборник трудов. -Л.: ЛИСИ, 12Э1, С.130-13Б.

2. Постноз ВА, Трубачов М.И. Функционал энергии тонких, подкрепленных оболочек в произвольной кривоялнэйкой система координат. / Прочность судовых конструкции. Труды ЛГМТУ.-Л., 1991, с.СЗ-102.

С. Псстиоз ВА, Трубгчоа М.И. Аппроксимация поЕорхнозта корпуса 1С О р С- ^ <* • /Труды /¡Г^'ТУ, 1932 в печати.

Типография СПб ГМТУ Зак.4.ТкрЛ00.

РГ6 од

_ 1 НАУК ЛРА1НИ

1НСТИТУТ МЕТАН Ш

На правах рукопису

СТУК0Т1Л0В ВАЛЕР1Й .СЕРПйОВЛЧ

ПОВЕРХНЕВА НЕСТ1ЙК1СТБ ПАРУВАТЯХ НАПIВОВНЕдЕНЛХ ОРТОТРОПНИХ Ш 3 СК1НЧЕНИМ ЧИСЛОМ ШАР1В

01.02- ыехэк!к8 дефоры1вного твердого т!ла

Автореферат

дисертац!! на здобуття нэукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

Ки!в - 1993

Робота виконана в 1нститут1 механ1ки Ali Укра'1ни, Каы"янець-Под i ль ському о1льськогосподарському 1нститут1

HayKOBi кер!вники: академ!к АН Укра1ни О.М.Гузь,

доктор ф1зико-ыатематичних наук В.М.Чехов

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф1зико-ы8теи8тичних наук професор 1.Ю.Бабич

кандидат ф1зико-мэтеыатичних наук доцент А.П.Мукоед

Ведуча орган!зац1я: КиГвський автоыоб1льно-дорожн1й 1нотитут

Захист в!дбудеться 1993 р. в Ягодин

на зас1данн! спец!ал1зовано'х ради К 016.49.01 1нституту механ!ки АН Украхни /252057, Кихв-57, вул. Нестерова, 3/.

3 дисертац1ео можна ознайоыитися в науков1й б!бл1отоц! 1нституту механ!ки АН УкраКни /вул. Нестерова, 3/.

Автореферат розiслано Я'^/^/ОДээз р.

Учений секретар спец1ал1зовано'1

ради доктор техн!чних наук —В.М.Назаренко

!зотропного п!впростору, що стискаеться. Анал1зуючи л1тературу по розгляруватй проблем!, бачимо, що практично вс! кон-кретн! дослхдження виконаш в припущенн{в1зотротI властивос-тей матер1алу елемент!в середовгаца; .к!льк1сть сполучених иг-piв, як правило, не перзвищуе двох.. Практично вхдсутн} роботи, в яких досл!джуеться вплив ортотроп!'! чи трансверсально'1 !зо-тропП окреыих елемент!в на велкчини критичних значень параметр! в задачи

В перш!й глав! приведен! основн! залежност! трюл!рно!£ не-л1н1йно1 та линеаризовано! теорН ст1йкос?т! при малих докри-тичних деформац!ях та подаш загальн! розв"язки длн стискува-них та нестискуваних т!л при однор!дних докритичних де.'орма-ц!ях. Якщо лагранжов1 координата в недеформованому стан! сшв-падають з декартовиьш координатами, то при використанн! другого вар1анту теорП малих докритичних. деформац!й лхнеаризован! р!вняння р!вноваги та умови на поверхн! т!ла набувають ви-гляду для стискуваних т1л:

Мгг, ~ Рп

де А^ - складов! орту нормал! до поверхн1 недеформоьаного т!-ла, Рп - складов! поверхневнх сил на частик! поверхн! т!ла ^ .

Для одержання загальних розв"язк!в при однор!дних докритичних станах запшемо р!вняння ст!йкост! для стискуваних т!л з використаннш тензора четвертого рангу Од в вигляд!:

'(Щ,/2/

Р!вняння записано для випадку "ыертвих" навантажень.

Припускаючи реал!зац1п плоского деформованох'о стану в пло-щин! х,0х3, тобто прийнаючи для збурень компонента вектора перем!щень и, = ц,{х,1х1); ¿и * "з х>) ; и.г - О » приходило до системи р!внянь

¿ „ и, у аъ - О} ¿з, и, а3 / з/

да Ьс/ - дифвренц!альн! опаратори, а записи яких в>. дать складов! тензору и) .Для побудови розв"язк1в сиотоми /3/ застосовуеыо операторннй метод; тод! щукан! фуикцГ/ ((-/,3) виразяться через функц! 1 (що задов1льняоть р!знякня

(Л. п'Ж /4/

{ йг/ '-1 эх>) \ Эх} Ъ Э.Т/Р ~и