Новые формулы уравнений динамики систем абсолютно твердых тел и синтез систем с заданными свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Мехаинко-математический факультет

г; •

4 , -.На правах рукописи

1"! (¿'-'.'О

УДК 531.01

Телегин Александр Иванович

НОВЫЕ ФОРМУЛЫ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ТЕЛ И СИНТЕЗ СИСТЕМ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Челябинском государственном техническом университете.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Доктор физико-математических наук Доктор физико-математических наук

Ю.Ф. Голубев Д.Ю. Погорелов В.Б. Пеньков

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН

Зашита состоится

" ^ " 1996 г. в 1600 часов на заседании дис

сертационного Совета по механике Д 053.05.01 в МГУ им. В.М. Ломоносова п< адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математическш факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механика математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан " " \jJufr _ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 доктор физико-математических наук

Д,В. Треще!

Общая характеристика работы

Актуальность темы обусловлена необходимостью разработки эффективных формализмов вывода н форм записи динамических функций (ДФ) и уравнений динамики (УД) сложных систем абсолютно твердых тел (СТТ), например, средств робототехники специального и промышленного назначения, управляемых транспортных и подъемно-транспортных машин, манипуляторов. Отсутствие таких формализмов приводит к ошибкам в теоретических выкладках и практических рекомендациях, отмеченных в критическом обзоре состояния механики сложи: ix СТТ. Практический опыт показывает. что для успешного исследования, расчета и конструирования сложных СТТ необходимо иметь эффективные методы динамического анализа и решения задач синтеза СТТ с заданными статическими и динамическими свойствами.

Целью работы является, во-первых, разработка формализмов структурного, кинематического и массо-геометрического описания СТТ, во-вторых, вывод формул ДФ и УД произвольных СТТ с явно выраженными структурными, кинематическими и массо-геометрическими параметрами (СКМП), имеющими четкий "сометрпчесташ и механический смысл, в-третьих. описание алгоритмов выписывания" ДФ и УД СТТ, в-четвертых, вывод формул вычисления статических и динамических реакции в кинематических парах СТТ. в-пятых, синтез на основе новых форм представления ДФ и УД следующих СТТ: статически уравновешенных СТТ; СТТ с циклическими обобщенным» координатами (OK); СТТ с инвариантной относительно OK кинетической энергией; динамически развязанных СТТ; СТТ с интегрируемыми УД других СТТ.

Предметом защиты являются, во-первых, формализмы описания произвольных СТТ а виде таблиц структурных, кинематических, и массо-геометрических параметров, во-вторых, формулы моментов (статических моментов и моментов инерции) и обобщенных сил тяжести с явно выраженными СКМП, позволяющими элементарно ропать задачи синтеза СТТ с заданными статическими свойствами, в-трстмк, новые формулы ДФ СТТ с явно выраженными массо-геометрическими параметрами несущих тел. обобщающие известные формулы ДФ одного твердого тела на случаи произвольных СТТ и позволяющие элементарно решать задачи синтеза СТТ с заданными динамическими свойствами, в-четвертых, новые формулы УД различных классов СТТ с явно выраженными СКМП и формализмы выписывания на их осиоге УД конкретных СТТ. ь-пятых, результаты решения задач синтеза СТТ с заданными статическими и динамическими свойствами, в-шестых, натурные макеты СТТ, предназначенные для демонстрации . эффектов статического уравновешивания и динамической развязки движений звеньев за счет перераспределения масс и/или наложения связей, в-седьмых, практические приложения статического уривковеши-

вания и динамической развязки движения звеньев в расчетах и конструировании манипуляционных систем роботов и в учебном процессе.

Научная новизна состоит в следующем. Впервые в общем виде ДФ и УД явно зыражены структурные и кинематические параметры произвольных СТТ, а также массо-геометрические параметры несущих тел или подсистем, на множестве которых осуществляется синтез классов и конкретных СТТ с желаемыми статическими и (или) динамическими свойствами. Новые формулы ДФ являются обобщением соответствующих формул для одного твердого тела, но в отличии от последних содержат массо-геометрические параметры несущих тел. В отличии от кандидатской диссертации, где рассматривались СТТ с одной открытой ветвью (СТТОВ) с телами, допускающими только поступательные и вращательные сочленения, и найдены ограничения на порядок следования этих сочленений и распределение масс тел, при выполнении которых OK являются циклическими, а движения тел динамически развязанными, в настоящей работе эти результаты максимально обобщены, т.к., во-первых, рассматриваются СТТД, т.е. СТТ со структурой дерева, имеющие открытые и замкнутые кинематические цепи, во-вторых, кинематические пары (КП) допуска:от от 1 до 6-ти степеней свободы, в-гретьих, в выборе OK имеется полная свобода, в-четвертых, при синтезе СТТ рассматриваются ограничения на порядок следования КП в ветвях, на связи между ветвями и на распределение масс тел, при выполнении которых СТТ имеет те или иные свойства, например, все или некоторые OK СТТД являются циклическими, Лагранжиан СТТД не зависит от положения тел, кинетическая энергия является четной или нечетной относительно OK, УД интегрируются.

Те -ретическуго ценность представляют, во-первых, формулы изменения порядков суммирования и приведения подобных на древовидных структура* данных, во-вторых, формулы импу;;ьса, кинетического момента, кинетической энергии и энергии ускорения произвольной СТТ, которые совпадают с соответствующими классическими формулами в случае одного твердого тела, т.е. являются обобщением классических формул на произвольные СТТ, в-третьих, метод вывода ДФ, позволяющий аналогично вывести формулы других ДФ (вариала, полного момента инерции и т.д.), в-четвертых, новые формулы УД различных классов СТТ на плоскости и в пространстве, позволяющие эффективно решать задачи анализа и синтеза СТТ, в-пятых, методика и результаты синтеза СТТ с заданными статическими и динамическими свойствами.

Практическую ценность представляют формализмы ручного и автоматического (на ПЭВМ) выписывания ДФ и УД конкретных СТТ, т.к. по сравнению с аналогами они требуют меньших затрат времени и сводятся к процедурам конкретизации общих уравнений. Сформулированные рекомендации по выбору кинематических структур, размещению масс и наложению связей в проектируемых механизмах и машинах позволяют значительно уменьшить нагрузки на приводы, а также частично или полностью устранить взаимное влияние

движений звеньев. В частности эти рекомендации реализованы в конструкции электромеханического робота "Кобра", имеющего шесть степеней свободы в пространстве, предназначенного для ликвидации аварий на АЭС. Техническая новизна перечисленных рекомендаций подтверждена авторскими свидетельствами на изобретения и Российскими патентами на конструкцию манипуляцион-ной системы робота. Методика синтеза СТТ с заданными статическими и динамическими свойствами используется в учебных процессах ряда Государственных технических университетах (г. Челябинск, Тула, Иркутск), а также отражена в ряде научно-методических материалов и учебных пособиях. Разработанные и созданные макеты используются в лекционных курсах для демонстрации эффектов статического уравновешивания и развязки движений звеньев за счет пе- . рераспределения масс и (пли) наложения связей. Эти макеты могут быть использованы в качестве лабораторных установок в курсах теоретической и технической механики, а также теории механизмов и машин. Алгоритмы вывода УД можно использовать при создании программных систем для автоматизация исследования СТТ из ПЭВМ.

Апробация работы осуществлялась в период с 1932 г. по 1996 г. Основные результаты работа докладывались и получили одобрение на следующих конференциях и научных семинарах. На Всесоюзном семинаре МВТУ им. Баумана по работотехни^еским системам (Москва, 1982, 1983, 1993 г.). На 3-й Всесоюзной конференция "Роботы и робототехиичсгкне системы" (Челябинск, 1983 г.). На 3-м Всесоюзном совещании по робоготехиическнм системам (Воронеж, 1984 г.). На научном семинаре "Механика роботов и робетотехниче-скнх систем" институт.» Проблем механики АН СССР (Москва, 1985 г.). На Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Тула, 1989 г.). На уральском семинаре "Проблемы проектирования конструкций" (Мнасс, 1989 г., 1990 г., 1991 г.). На 4-м Всесоюзном научно-техническом совещании "Динамика и прочность автомобиля" (Москза, 1990 г.). На Российской школе но проблемам проектирования неоднородных конструкций (Мнасс, 1995 г.). На научном семинаре кафсдрм теоретической механики ракетно-космического факультета ЧГТУ (Челябинск, 1Г<95). На научном семинаре "Механика и управление движение« рое-отт с элементами искусственного интеллекта" при МГУ под руководством академика РАН Д.Е. О:;оцнмс:гсго и профессора Ю.Ф. Голубем (Мссква, £995 г.). В робототех-ническом центре при МГГУ им.Баумана (Мсс.<ьа, 1994, 1996).

Материал» диссертационной работы достаточно полно освещены в 30-ти публикациях, в том числе в 4-х книгах.

Диссертация состоит'КЗ 10-ги глав, заключения п списка литературы, включающего 133 наименования. Работа изложена на 300-х стрлш.^ах машинописного текста и содержит 57 рнсункэп и 15 таблиц.

Краткое содержание работы

Диссертационная работа состоит из следующих десяти глав.

1. Обзор состояния механики сложных систем абсолютно твердых тел (СТР. Б обзоре рассматриваются аспекты проблем механики, относящиеся к формализмам описания СТТ, к сложности вывода ДФ и УД, к автоматизации процессов вывода УД, к поиску новых форм представления ДФ и УД, а также к решению задач синтеза СТТ с заданными сгапгческиыи и динамическими свойствами. Основная цель обзора состоит в обосновании актуальности выбранной темы и определении места разработанных формализмов в ряду известных отечественных и зарубежных работ.

Сложность СТТ зависит от количества ее подвижных тел, пшз связей между телами, числа степеней свободы и размерности пространства, в котором тела совершают движения. Из-за сложности и громоздкости вывода УД во многих работах считается, что массы звеньев СТТ сосредоточены в точках. Однако это упрощает вывод УД по известным формализмам, но не их конечный вид, т.е. количество и вид нелинейных составляющих в УД не изменяется по сравнению с точными УД. Начинать с изложения методов исследования, анализа и синтеза произвольных СТТ, во-первых, очень сложно, во-вторых, как с теоретической, тах в с практической точек зрения просто неразумно. Поэтому СТТ сначала классифицируются по уровням сложности.Так выделяются линейные, плоские и пространственные СТТ, среди которых различаются следующие СТТ: СТТОВ - СТТ с одной сжрьпои ветвью; СТТВ - СТТ с одной замкнутой сстшло; СТГОД - древовидная СТТ с открытыми ветвями; СТТД - СТГОД со связями между ветвями. По признакам сложности КП различают - поступательное и зращателг.::: е < селения. К более сложным отнесены КП, в которых число ОК равно 2 - 6. К са:.шм сложным отнесены КП, в которых относительные положения тел оиисызаютса несшлыдши параметрами и связями между ними.

Отмечается негативное отношение к аналитическому моделнриаангао полного динамического поведения СТТ. Это связано с громоздкостью методов вывода нх УД, т.к. эти методы '"зебуют выполнения большого числа операций матричного умножения, сложения, алгебраических к тригонометрических преобразований, вычисления производных и т.п. Один из пугей преодоления указатгых трудностей связан с моделированием СТТ на ЭВМ. Однако не снятым остается вопрос громоздкости получаемых уравнений и связанная с ним проблематичность анализа этих уравнений и синтеза СТТ с заданными свойстаамк. Этот недостаток трудно устранить разработкой методов автоматического вывода УД. Здесь необходимы новые формализмы вывода и вида! представления УД СТТ.

Дан краткий критический обзор подходов некоторых исследователей и разработчиков формализмов вывода УД СТТ. Причины недостатков рассмотренных подходов и работ связаны с тем, что их авторы уделяли мало внимания формализмам описания СТГ, и в частности, нумерации тел, а также использовали известные

формы представления ДФ и формализмы вывода УД, которые эффективны для одного твердого тела, но не для СП , Отмечено, что для широкого и эффективного использования ДФ и УД сложных СТТ в практике научных исследований и в расчет о-конструкторских работах желательно иметь такие их виды, которые удовлетворяют следующим требованиям. Во-первых, они должны быть достаточно общими, т.е. описывать динамические свойства и поведение не одной, а целого класса различных СТТ. Во-вторых, в них должны быть явно выражены СКМП СТТ из описанного класса. В-третьих, эти вида должны допускать элементарные решения задач синтеза СТТ с заданными статическими и/или динамическими свойствами. В-четвертых, вывод ДФ и УД конкретной СТТ не должен требовать сложной подготовительной работы, глубоких знаний теоретической механики и выполнения громоздких вычислений, например, дифференцирования, возведения в степень, приведения подобных членов, сокращений и других преобразований, т.е. уравнения конкретной СТТ должны быть частным видом общих уравнений и получаться из них при помощи простого формализма, состоящего из набора элементарных дейстьий выписывания.

Дан критический анализ работ,-в которые ищутся общне у слог,¡¡я синтеза ма-тшуляционных систем роботов с упрощен. « динамикой. Интерес к синтезу СТТ с простыми УД значителен. Одггако использование для этого классической формы записи кинетической энергии или неэффективных форм представления УД приводит к теоретическим ошибкам и неверным практическим рекомендациям. Практический опыт показывает, что для организации полноценного синтеза необходимо иметь возможность формального описания целого класса СТТ в виде уравнений с явно выраженными СКМП.

2. Формализмы описания СТТ. Под формализмами описания CIT понимаяжя последовательности формальных операций при задании числовых н/или символьных параметров, достаточных для однозначной идентификации конкретной СТТ.

СТТ состоит аз набора КП, каждая из которых связывает два тела. Описание СТТ начинается с нумерации ее тел. В работе вводится формализм "подсистемной" нумерации тел. Для подсистемной нумерации необходимо начиная от стойки "идти"* через езязашше друг с другом тела к последовательно нумеровать их числами из натурального ряда. Последовательная нумерация очередной цепочки заканчивается либо на концевом теле (на вершине) открытой ветви СТТ, либо на одном in тел замкнутой цеп и (цикла). В последнем случае КП, связывающая последнее занумерованное тело с не ззнумеро&аниым, мысленно разрывается. Эта КП называется замыканием. Если после окончания последовательной нумерации очередной цепочка остаются s?e занумерованные тела, то нумерация продолжается с не занумерованного тела, которое образует КП с занумерованным телом, имеющим больший порядковый номер.

Для формальной фкксашсн результатов подсистемной нумерации, а также списания порядка следования открытых вегвей н замыканий, используется таблица структурных параметров (ТСП), состоящая из 4-х столбцов с имена»«« L,

N8, ЫЕ, ЫБ, где Ь - столбец номеров ветвей, N13 - столбец номеров базовых тел ветвей, т.е. тел, от которых растет очередная ветвь, ЫЕ - столбец номеров кон- цевых тел ветвей, ЫБ - столбец номеров тел, с которыми концевое тело замкнутой ветви образует замыкание, или прочерк (тире), если ветвь - открытая.

КП тел ш«- и где ]>», обозначается через (ц). При этом т^ называется базовым телом пары (БТП), а Шо, - смежным телом пары (СТП). Порядковый номер КП определяется по номеру его смежного тела, т.е. КП (у) имеет порядковый номер. У каждого тела СТТ есть одно базовое тело и, если это тело не концевое, . то одно или несколько смежных тел, для которых это тело является базовым. . Перед кинематическим описанием 1-й КП необходимо выполнить следующие; операции. Во-первых, со СТП т« жестко связать СК 0;Х;УА, которая называется связанной СК (ССК). Во-вторых, выбрать исходное положение тел КП относительно друг друга. В-тречьих, обозначить через СиХо^Уо^! исходное положение ССК & и жестко связать СК О^Х^У,^ с базовым телом 1-й КП. СК ОмХщУо^ по отношению к 1-му телу называется вспомогательной СК (ВСК). В-четвертых, взесп: ОК КП. Для кинематического описания ¡-й КП вводятся в обращение следующие параметры текущего положения ССК О^Уй относительно ВСК радиус-вектор полюса ¡-го тела (точки О}), с проекциями О», на оси ССК 0;Х;У£; Ы« - матраца направляющих косинусов (МНК) осей.ССК в ВСК ОыХшУо&ы, по столбцам которой стоят координаты (X«, ХУ1, X*), (У», У*Уй), г^-ЗД орт осей ССК в ВСК, т.е. У* -косинус угла между осями О^ и О«^. Величины О», Оу;,

Ов> Ха, X*

Уи. У». 2называются параметрами относительного положат тел (ППТ) ьй КП. Кинематическое описание КП состоит в установлении зависимости межцу ППТ этой КП и их производными по I дэ второго порядка включительно с одной стороны и ОК, обобщенными ско^ гиаа и ускорения этой КП с другой стороны. В работе приводится опасснле титозягк КП.

В процессе геометрического описания СТТ укгзавзгэтся типы КП и положения ВСК смежных тел КП относительно ССК бззоз&х тел КП. При геометрическом описании СТТ используются следующие обозначения: 8( - код 1-й типовой КП; А;, В;, О, - координата начала ВСК (точки О«) в ССК базового тела 1-й КП; Х*,Х[,Х'% - направлзаощке косинусы осей ВСК ¡что г^ейа

в ССК базового тела ¡-й КП. Здесь верхний символьный индекс указывает ш имя оси ССК 1-й КП. Например, - косинус угла между осью и ось® ординат ССК базового тела ¡-йКП.

В процессе массо-геометрического описания теп указываются их массы, а тах-же параметры, характер!:зующие распределение згшх касс, т.е. координаты центров масс (ЦМ) и элементы тензоров инерции. Используются следующие обозначения: шо! - масса ¡-го тела СТТ; а,, Ь„ 4 - координаты ЦМ ¡-го тела в его ССК Д™Л" " моменты инерции 1-го тела относительно осей 0;Хи О^и ОД соответственно; Д« " центробежные моменты инерции ¡-го тела от-

носительг.о ССК 0¡X,Y¡Z,. Перечисленные величины образуют массо-геометрические параметры (МГП) 1-го тела СТТ.

В формулах ДФ и УД СТТ используются МГП несущих тел и подсистем СТТ. Эти параметры однозначно вычисляются через Mill тел этой СТТ. При введении понятия несущего тела используется понятие подсистемы и ее массы. i-ю подсистему СТТОД образуют i-e тело и все несомые им тела, т.о. тела до которых путь от стойки проходит через i-e тело. Из определения подсистемы следует, что масса í-й подсистемы вычисляется по формуле

'' . N¡ ' '■••■.,. ■■.■.'<" • . ' , . .'У:':. -У'",

' mi = 2>oj. ' . ■ О)

; j=i -

где N¡ - номер концевого (последнего) тела i-й подсистемы.

В i-м теле начала ВСК его смежных тел неподвижны н ях можно мысленно считать точками роста несомых подсистем, т.е. подсистем, которые несет на себе i-e тело. Можн j мысленно представить, что в точках роста расположен "карманы", в которых тело несет массы соответствующих подсистем. Поэтому несущим называется тело вместе с растущими от него подсистемами, uzссы которых сосредоточены в точках p"cia этих подсистем. Масса ¡-го несущего тела совпадаете массой i-и подсистемы, т.е, вычисляется по формуле(I). Кроме m¡ к МГП i-ro несущего тела относятся вектор статического и<шента mf п тензор

инерции U. В формулах вычисления этих величин используется сто вол ]Tfj

j.«

суммирования величины íj по noîiep^u тел, которые являются смежными по от» ношению к i-му телу, т.е. нидекс суммирования j пробегает значения порядковых гошерез тех тел, шториг являются сиегпшт для i-го теяа. По определению вектор т| статического ^омегпа ï-ro несущего тела относительно начала

его ССК вачисяЕется по формуле räf = т„Гд где *ct = 0¡Cj- рзди-

ü

ус-вектор, соеяшияощпн начало ССК 0<X¡ УД с ЦМ i-го тела, и имеющий координаты fc,, d, ß ССК; R j - радиус-ееетор, сосдзншопдай начало ССК базового

тела j-Гс КП с началом ВСК j-ш тела (с те'-якй Оч), п имеющий координат A¡, Bj, Dj в ССК базогото теза j-tí KR

По определению тензор инерции Ii i-го несущего тела вычисляется по формуле ts =J? + J^m^ERj -RjRj), где Jf -тензор инерции i-го тела ошостгтель-

Ji

но начала своей ССК. Очевидно, что величина I¡ является тензором инерции ¡-го теза с учетом масс несомых подсистем, сосредоточенных в точках их роста.

- Для пояснение геометрического и механического смысла введенных величин на рис. 1 изображена СТТ, состоящая из 9-ти тел. Здесь связи КП обозначены «фугасами, а границы тел замкнутыми линиями. Все КП кроме 7-й, 8-й и замыкания 6-го тела с 3-м допускают относительные поступательные перемеще-

ния. Из рис.1 видно, что, например, Ш7=Шо7+т0а+т09, ml =m0yVcj + mAR4 + m1R1.

3. Формулы изменения порядков суммирования и приведения подобных на древовидных структурах данных. В аналитической механике часто используют формулы изменения порядка суммирования, в которых индексы сумм изменяются монотонно на единицу. Однако для СТТОД разность между номерами СТП и БТП в общем случае отлична от единицы. По этой причине известные формулы изменения порядка суммирования для СТТОД непосредственно не применимы. Для СТТОВ справедлива, например,

n n

следующая формула +ci+ikj)= 2(ai + ci+i)bi • Но для СТТОД

i=k i=k соответствующая формула выглядит иначе, т.е. операция приведения подобных членов в выражении вида aibj+Ci+ibi, стоящем под знаком суммы по номерам тел подсистем, также нуждается в коррекции. По указанным причинам в 3-й главе выводятся формулы изменения порядка суммирования, которые используются практически во всех следующих тапах. ,

4. Вывод уравнений кинематики СТТ. Для вывода и записи уравнений гаше-матики, статики и динашпш используются обозначения следующих векторов: rri = O0lOi - радкус-пектюр, связывающий начало Oci ВСК с началом ССК i-ro тела, т.е. это вектор поступательного перемещения точки О; относительно ВСК i-го тела; Rj - раднусч-^стср, связывающий качало ССК базового тсяд j-й КПс

началом ВСК j-ro тела; Rrj = R^ - радиус-вектор, связывающий начало

_ i-l_

ССК базового тела j-й КП с начало:.! ССК j-ro тела; R& " РЗДнус-

вектор, связывающий начало BCIC k-го тела с началом ВСК i-ro тела; % =ОскО, = RTik +rri - радиус-сектор, соединяющий начало ВСК k-го тела и начало ССК i-ro тела; roj - OOoi - рздпус-гекшр, соединяющий начало абсолютной CK (АСК) OXYZ и начало ВСК i-ro тела; fj = OOj - радиус-вектор, соединяющий начало АСК и начало ССК (полюс) i-ro тела; Sri - относительная угловая скорость i-ro тела, т.е. скорость вращательного движения i-ro тела относительно базового тела i-ii КП; ö j - вектор абсолютной угловой скорости i-ro тела; iri - ускорение вращательного движения i-ro тела относительно базового тела 1-й КП; ё8=«а{"- вектор абсолютного углового ускорения i-го тела; Ч» - (0w^0VH,Q,i)T - вектор относительной линейной скорости точки О;, т.е. скорости поступательного перемещения начала ССК i-ro тела относительно ВСК этого тела с проекциями на оси ССК O.XjY.Z,; Vr вектор абсолютной ско-

рости начала О; ССК i-ro тела; V"oi = foi - вектор абсолютной скорости точки Ooi; Wri = (Q.„,Qyi,Qa)T - вектор относительного линейного ускорения точки Oi, т.е. ускорения поступательного перемещения начала ССК i-ro тела относительно ВСК этого тела, в проекциях на оси ССК OiXjYjZj; W— вектор абсолютного линейного ускорения точки О*; Woi - вектор абсолютного линейного ускорения точки 00i. В теоремах и их следствиях выводятся формулы связей между этими векторами.

5. Вывод моментов подсистем и обобщенных сил тяжести. В этой главе выводятся статические моменты и моменты инерции подсистем СТТ. Формулы этих моментов приводятся к видам, на основе которых решения задач синтеза СТТ с заданными свойствами моментов получаются тривиально или путем элементарного анализа. В теоремах и следствиях доказывается справедливость, например, следующих формул вычисления моментов подсистем:

mcl - - статический момент i-й подсистемы СТТ относительно точки

" ■ '. - -

О»,, где mrck =mkrfk + mg - статический момент k-ro несущего тела относительно начала О^ ВСК этого тела;

ffijj = m jR jj +-lcj - статический момент j-й подсистемы СТТ (i<j) относительно точки Ooi; . .

Ioi = + m,Fri orri 4 2 nTj6 oFri - тензор инерции i-ro несущего тела СТТ относительно начала O0i ВСК i-ro тела, где с целью сокращения записей введена в обращение операция V над векторами d.b по -.одующему определению

d о Б = Ed • b-~(d b + bd), E - единичная матрица, ä b - диадное произведение

2-х векторов;

J, = ¿(l,- - тензор инерции i-й подсистемы СТТ отно-

сетельно начала Оы ВСК i-ro тела.

Для потенциальной энергии и обобщенных сил тяжести (ОСТ) выводегся, например, следующие расчетные формулы.

П = const +ß2n»ri - потенциальная энергия СТТ в полз сил тяжести, ы ,

силовые линии которого направлены против оси OZ, где g - ускорение свободного падения и Zoi - вектор направляющих косинусов оси OZ в ССК i-ro тела.

G k = -g^ôj,»] kZ*b +SfcmcbNQkZok_i^ - ОСТ, приведенная к k-й OK, где д N

Sk = l-5k, NQic = "ТТГ^^bk 11 КП СТТОД является либо поступатель-

oQk

ныи (¿,,=0), либо вращательным (5k=I) сочленением. n

G к = ГG .Q N (к = I... п) - формула перехода от ОСТ Gi СТТОД к ОСТ

СТТД, которая получается из СТТОД после учета замыканий. Здесь Qi1 = ^Q; /c>qk, где Q, = Qi(lj,q2»---.<3nX (i-'-.-N) - функциональная зависимость OK Q, СТТОД от OK qk СТТД.

б. Вывод динамических функций СТТ. Из множества ДФ выводятся формулы вычисления импульса, кинетического момента и шнетической энергии СТТ. Остальные ДФ выводятся аналогично. Вывод формул начинается с х известной зьяиси, где в качестве постоянных коэффициентов выступают МГП отдельных тел СТТ. А именно, по cbos" -ву аддитивности ДФ импульс, кинетический момент I! кинетическая энергия СТТ вычисляется по следующим известным формулам

_ N _ _

P=5>o<(V«+®ixi!ci)» (О

i=l

К = " Vj +етс1г, х(й| Хгй) + ш0|Гс1 * Vj + Jj юЛ, (2)

i=r 1

т = +2moird -(V, X »,) + ©?■ ■ J? -S»,]. (3)

В теоремах доказано, что перечлелеиные ДФ СТТ выражаются через абсолютные линейные и угловые скорости, а также через МГП несущих тел в следующем виде

? = ¿['«¡'Л -Voi) + ю, X iïïfl, (4)

i=r

««»Го, x(Vj - Voi) + Fj x(», xRrfJ f-tnfixVi+Ji âi] , (5)

T = k(V,2 - Vi) + 2mf .(V, xâO + ôJ h -5Л

1 i=l 1

Перечислим очевидные достоинства формул (4) - (6) по сравнению с (1) - (3). Во-первых, если i-я КП не допускает поступательного перемещения тела щ,* относительно своего базового тела, например, i-я КП является шаровой ¡ьш вращательным сочленением, то Vj = Voi и количество слагаемых иод знаком суммы в формулах (4), (6), (5) уменьшается соответственно в два раза, на одну

(6)

треть, и на четверть, в то время как в формулах (1) - (3) количество слагаемых не уменьшается. Во-вторых, если в СТГ отсутствуют относительные поступательные перемещения тел КП и статические моменты Ти,с всех несущих тел равны нулю, то из (4), (5), (6) очевидно следует, что импульс СТТ равен нулю, а кинетический момент и кинетическая энергия вычисляются по формулам

— N 1 м _т

K=£lr<», » T^Z«; ■ Ii -o>i, i=l L i=l в то время как из формул (t)-(3) эти следствия не очевидны. Кроме этого эффективность использования новых формул ДФ проявляется при выводе УД СТТ и при синтезе СТТ с заданными динамическими свойствами.

7. Уравнения динамики СТТ. Для вывода УД СТТ используется формализм Аппеля. Выведенные УД имеют следующие основные достоинства. Во-первых, они имеют короткую векторную запись, в которой в явном виде выражены все СКМП несущих тел и/или подсистем, имеющие четкий механический и геометрический смысл и играющие самостоятельную роль при рассмотрении кинематических и статических задач анализа и синтеза. Во-вторых, сохраняется значительный произвол в выборе ОК. В-третьих, процесс вывода УД конкретных . СТТ сводится к их выписыванию, т.е. к выполнению процедур подстановки числовых шш символьных параметров в общие УД, развертывания сумм, отбра-сыпания нулевых слагаемых и выполнения других элементарных операций. . С целью изложения материала от простого к сложному выбрана следующая последовательность рассмотрения СТТ. Сначала рассматриваются СТТОД с шаровыми шарнирами (ШСТТОД). Затем рассматриваются СТТОД с шаровыми и/или поступательными КП. Далее рассиживаются СТТОД с типовыми КП, для которых в качестве квазиускорет'Й вращательных движений тел приняты проекции ,их относительных угловых ускорений на оси ССК. УД плоских СТТОД получаются крк частный случай пространственных. В заключении рассматриваются УД С.ТТД, т.е. СТТОД со связями между ветвями.

При выводе УД ШСТТОД в качестве квазиускорений выбираются абсолютные угловые ускорения тел и считается, что кинематические уравнения ШСТТОД известны, т.е. известны уравнения, связывающие абсолютные угловые скорости тел с производными по времени от ОК. В выборе OK имеется полная свобода. Например, если для абсолютной угловой ориентации i-ro тела используются углы Эйлера, то кинематические уравнения ШСТТОД совпадают с известными кинематическими уравнениями Эйлера. Доказывается, что УД ШСТТОД можно представить в виде системы кинематических уравнений и следующих векторных уравнений

+ +hk = Мк, k = l...N (1)

»••'..■:'. i.k И

_ _ — _ _ — где Ьк = т£ х^й! хИы) + е>к х1к - гок + *2>| х(сО( хт,с)

1 ¿к ¡=д

- вектор обобщенных инерционных сил (ОИС); «¡.о^ • вектор абсолютной угловой скорости и ускорения ¡-го тела с искомыми проекциями на оси ССК этого тела; Мк - главный момент внешних сил (включая гравитационные) относительно точки Ок.

УД (1) имеют следующие преимущества по сравнению с УД ШСТТОД, которые получены Виттенбургом (смотрите на стр. 125-126 работу: Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. - М.: Мир, 1980. - 290 С). Во-первых, в (1) значительно меньше векторных операций и отсутствуют матричные операции. Во-вторых, структурные свойства в УД (1) выражены в явном виде в следующих суммах: Вдоль номеров цепочки (0.,к-1]; Вдоль порядковых номеров тел, смежных к-му телу; По номерам тел к-й подсистемы. В-третьих, все МГП сосредоточены в статическгх моментах и моментах инерции несущих тел и выражены в УД (1) в явном виде. В-четвертых, из (1) тривиально получаются решения многих задач синтеза ШСТТОД с заданными динамическими свойствами, например, интегрируемых Шс .ТОД.

Аналогичные общие УД получены для различных классов СТТ. УД большинства практически используемых СТТОД выписаны из общих УД как частный случай. Например, в конструкциях реальных управляемых механических систем (манипуляторах, транспортных и подъемно-транспортных машинах, шагающих аппаратах, ориентирующих устройств) каждая КП имеет одну степень свободы, т.е. 1-я 1Ш являетст. либо поступательным либо вращательным сочленением. УД таких СТТОД получаются в следующем скалярно-координапюм пгзде

I ¡=к+1

где

Ны =5к8;ШкХ^ -т^ + б^п« -п«) +

+ «к5|л? -(-»Г + +

- элементы симметричной матрицы инерционных коэффициентов (к>0; 5к =1-8к; т^,га- ордината и аппликата вектора т^ в ССК к-го звена;

тск' тск' тск " проекции вектора пГск на оси ССК к-го звена; Г£к1, -проекции радиус-вектора Я у на оси ССК к-го звена; 1\ *к - проекция на ось абсцисс ССК к-го звена вектора ОИС; Ь *к - проекция на ось аппликат ССК к-го звена вектора ОИС; Рк - обобщенная сила, приведенная к к-й поступательной ОК; М к - обобщенная сила, приведенная к к-й вращательной ОК. Для М-звенника получаются следующие УД

к-1 n

mkZLi(ckjäi +skiäf) +Lk £ m,x(ci);öi - s^äf) +gm£cosat = uk,

i=k+I

где mk = mokak + Lkm k+[; Ц - длина k-ro звена. Заметим, что если все звенья N-звешшка являются однородными стержнями с равномерно распределенной (по длине) и одинаковой массой ш, то его УД не упрощаются. Эти УД не упрощаются и в случае часто используемой идеализации, в соответствии с которой массы звеньев сосредоточены в точках. Тем не менее эту идеализацию ошибочно используют с целью упрощения вида УД N-звенннка.

Далее выводятся УД ПСТОД, которые состоят только из вращательных и поступательных сочленений. В заключении рассматриваются УД СТТ Д. т.е. СТТОД со связями между ветвями.

о. Выписывание УД и вычисление обобщенных движущих сил СТТ. На основе уравнений статики и динамики, полученных в предшествующих главах, выписываются соответствующие уравнения конкретных СТТ и описываются алгоритмы вычисления обобщенных движущих сил (ОДС). Под формализмами выписывания УД конкретной СТТ понимаются последовательности формальных действий, которые практически не требуют выполнения сложных математических операций и сводятся к процедура?.! конкретизации общего вида УД СТТ путем выбора OK, задания постоянных параметров, развертывания сумм, отбрасывания в них нулевых слагаемых, записи отличных от нуля коэффициентов и выполнения других элементарных операций с использованием числовых и/илн символьных параметров, однозначно описывающих структурные,кинематические и массо-геометрнческне свойства этой СТТ. Формализмы выписывания поясняются на конкретных примерах, в которых icix;:.;.. ^раитическои демонстрации формальных операций выписывания нрисиа;тся случаи записи расчетных формул некоторых величин на основз элементарных геометрических и кинематических соображений, что вносит элементы творчества в формальные действия по выписыванию и сокращает промежуточные записи. Выписаниые уравнения в следующей главе используются при сщггезе СТТ с заданны&ш статическими и динамическими свойствами, конструкции которых описаны в последней глазе и предназначены для демонстрации эффектов статического уравновешивания и динамической развязки движений звеньев за счет перераспределения масс и наложения связей. Алгоритмы численной реализации выведенных УД излогаются на примере вычисления ОДС СТТ с шаровыми КП, т.к. это не занимает много места и программная реализация аналогичных вычислений на основе УД всех остальных классов СТТ по существу повторяется. Описание алгоритмов выполнено на учебном языке программирования с русской лексикой с использованием понятий исполнителя и систем его предписаний.

9. Синтез СТТ с заданным» свойствами. Рассматриваются подходы решения задач синтеза СТТ с заданными статическими и динамическими свойствами. Задачи в общей постановке (синтез классов СТТ) решаются на основе УД СТТ, выведенных в главе 7. Синтез конкретных СТТ выполняется на основе коэффициентов УД и тензоров инерции подсистем, выписанных в предшествующей главе.

При решении задач синтеза используются уравнения моментов и УД СТТ с явно выраженными СКМП. Каждому конкретному набору числовых значении СКМП соответствует одна единственная СТТ и наоборот. Если же на СКМП наложить ограничения, например, в виде уравнений, то множеству СКМП, элементы которого удовлетворяют этим уравнениям, будет соответствовать множество (класс) СТТ. Обратная процедура, т.е. поиск ограничений на СКМП, при которых все СТТ из соответствующего imacca имеют заданные свойства, лежит в основе решения задач синтеза СТТ с заданными свойствами.

Методика синтеза заключается в поиске ограничений на структурные и tai-нематические параметры, а так? ад в формировании системы уравнении, связывающих массо-гсометрическис параметры (МГП) СТТ, выполните которых достаточно или необходимо и достаточно для того, чтобы соответствующий класс или котсретипя СТТ имели заданные свойства. Этим свойствам соответствует тот или иной вид УД. Например, статическому уравновешиванию отвечают независимые от OK статические моменты подсистем или пулевые обобщенные силы тяжести (ОСТ), для инвариантности инерционных моментов необходима независимость элементов тензора инерции подсистем от OK, для цикличности OK последние не долины входить в выражение лагранжиана, для синтеза интегрируемых СТТ достаточно получьть вид нх УД, которые уже проинтегрированы и т.д.

Особенность методики синтеза СТТ с циклами заключается в формирования системы ограничений с учетом уравнений, описывающих замыкания кинематических цепей. Количество уравнений систе?:м с граничений, как правило, больше количества МГП. Поэтому при решении системы уравнений некоторые параметры задаются, а остальные вычисляются как решения этой системы. Следует заметить, что не каждому набору значений МГП 'обтсетстзует реальная СТТ. Поэтому после записи решений системы ограничений выясняется их практическая реализуемость.

Наиболее общие результаты получепы при синтезе статически уравновешенных и динамически развязанных СТТ. В робототехнике статическое уравновешивание применяется для разгрузки прЦводоз аг сттгп:'!сс:сих моментов, обусловленных весами звеньев механической рука Кроме статического уравновешивания в робототехнике актуальна также задача уменьшения взаимного влияния движения звеньев. Разумеется, что для устранения такого влияния можно сто деть нелинейные корректирующие цепи в системе управления с соответствующим се усложнением. Однако, поскольку причина взаимовлияли., движении чисто механическая, то желательно знать как механическая конструкция СТТ и распределение масс ее подвиж-

ных звеньев влияют на взаимную зависимость движений. Доказано, что статическое уравновешивание звеньев вращательных сочленений СТТОД за счет противовесов является необходимым условием развязки их движений.

Найдены ограничения на СКМП произвольной СТТОД, при выполнении которых ОСТ, приведенные к конкретным или ко всем обобщенным координатам сочленений (ОКС), вращательным новым обобщенным координатам (ВНОК) и другим новым обобщенным координатам (НОК) являются постоянными, в частности, нулевыми. Например, если каждая цепь, связывающая стойку с вершиной ПСТОД, состоит из двух отрезков, первый из которых образуют только поступательные сочленения, а второй только вращательные сочленения, причем каждое вращательное звено статически уравновешено с учетом масс несомых звеньев, то ОСТ, приведенная к произвольной поступательной ОКС, будет постоянной, а ОСТ, приведенная к произвольной вращательной ОКС будет нулевой.

Найдены ограничения на СКМП произвольной ПСТОД, при выполнении которых ОСТ, приведенная к ]-й ВНОК, является нулевой. А именно, если вращательное звено является базовым только для вращательных звеньев, то среди несомых звеньев могут быть неуравновешенные вращательные звенья, от которых могут расти цепочки поступательных сочленений с произвольным распределением их масс, т.е. физически ]-е несущее звено в общем случае остается статически неуравновешенным. Для достижения этой асе цели в случае использования ОКС необходимо статически уравновесить каждое звено вращательного сочленения с учетом масс несомых звеньев.

Найдены ограничения на СКМП ПСТД, при которых все ОСТ являются четными (нечетными) функциями ВНОК. Для СТТОД получены ограничения, при выполнении которых потенциальная энергия не зависит от ОК вращательных и поступательных сочленений и т.д.

В разделах решения задач синтеза СП с.залааиыыл динамическими свойствами, например, найдены ограничешгя на распределение масс звеньев плоских шарнирных систем, при которых их УД являются линейными с постоянными коэффициентами и, в частности, имеют следующий простейший вид I" ц,. = ии (к=1...Ы). Для этого должны быть выполнены условия т^ = т[ =0 (|=1...М)-

Выделен класс ПСТТ с циклическими ОК, т.е. найдены ограничения на СКМП, при выполнении которых у любой ПСТОД из этого класса все ВНОК являются циклическими. Для этого необходимо, чтобы вращательные звенья не несли на себе поступательные звенья, т.е. каждая цепочка звеньев, связывающая стойку с вершиной искомой ПСТОД, может состоять из двух участков, первый из которых содержит только поступательные звенья, а второй - вращательные. Причем один из этих участков может отсутствовать, но вращательные звенья должны быть стамески уравновешено с учетом масс несомых звеньев.

Выделен класс СТТ, УД которых линейны с постоянными коэффициентами. Найдены ограничения на МГТС ШСТТОД, при удовлетворении которых УД

интегрируются. Этот результат получается путем элементарного анализа УД ШСТТОД. Действительно из УД видно, что если вектор статического момента каждого несущего тела ШСТТОД относительно начала его ССК равен нулю, т.е. т£ = 0 (к= то эти УД принимают следующий вид

1к+с)к х 1к'0)к = КТк, к = 1...Ы, (1)

где «к,щк - вектор абсолютной угловой скорости и ускорения к-го тела; 1к -тензор инерции к-го несущею тела относительно его ССК, элементы которого являются постоянными величинами; Мк - главный момент внешних сия относительно точки Ок. Из УД (1) видно, «по если МГк не зависит от состояшш тел ШСТТОД кроме к-го, то эта система распадается на N независимых друг сг друга УД относнтгльж» каждое т '»этерых совпадает с классическим УД твердого тела с одной заъ-реяяетшой тотел! В качестве примера на рис.2 изображена ШСТТОД семи тел, на которые не действуют ОСТ, т.к. все подсистемы статически урасиогешаш. Есян нскладчгт» внеппте воздействия на тела ШСТТОД, г та!«® пргиебргчь трснкгм в шарнирных течках и момешггш сяя сопротивления воздуха, то в УД (1) Мк=0 (Ь=1...Ы). Сяугсл сотгсгрпруеысла получившихся УД твеепт з дгпимике твердого тест с одкой закреп-

ленной точкой.

Решены задачи агягеза плоских я пространственных СТТД с развязапныип движениями звеньев, результаты которых использованы пра рассчете и копст-рунрозотш макетов СТТД, а также при проектировании эяеетромеханического робота "Кобра". Кинематические структуры некоторых кадетов (с механпзмоа параллелограмма и пантографа) и схемы размещения ¡.псс, при которых выполняются синтезированные ограничения, изображены на рпс.3,4. Показано, что за счет выбора расстояний 1ц, Н|, Нг, 5|, обеспечивается стзтачесше уравновешивание и динаштчеспя развязка пращешгя 1-го звена (вокруг вертикальной оси) и вращений звеньез (пграллело1ра1ша п пантографа) в вертикальных плоскостях.

10. Практическая реализация статического уравновешивания и динамической развязки движений тел СТТ. Кратко описаны четыре макета, предназначенные для демонстрации эффектов статического уравновешивания и динамической развязки движения их звеньев. Общим для этих макетов является подвижная платформа, предназначенная для осуществления поступательных перемещений в горизонтальной плоскости. КП макетов представляют собой вращательные сочленения. Первое сочленение во всех макетах имеет массивное базовое звено (станину) с горизонтальной плоскостью установки и осью вращения, перпендикулярной этой плоскости. Используя подвижную платформу и поворотное звено можно задавать тобое плоское сложное движение первого звена каждого из макетов, а также его раздельное поступательное перемещение в горизонтальной плоскости или вращательное движение вокруг вертикальной осн. Эти движения используются для демонстрации динамической развязки движений 1-го звена с движениями остальных звеньев.

В последнем разделе кратко описана конструкция манипуляционной системы электромеханического робота "Кобра", имеющего шесть степеней свободы в пространстве, предназначенного для ликвидации аварий на АЭС. На рис.5 изображен общий вид манипул* цзюиной системы и конструкция его первых двух вращательных сочленений, где в отличии от общего вида ось вращения поворотной платформы имеет горизонтальное воложек:;^. Размещение масс звеньев этого робота позволило значительно уменьшить нагрузки на их приводы, а также частично устранить взаимное слияние движений звеньев. Практическая реализация кинематической структуры редукторов привода в виде дгух рядов прямозубых колес эвольвеитного зацепления, замкнутых с предварительной торсионной закруткой на одно выходное колесо, позволила устранить люфзы привода, уменьшить нагрузки на зубья колес и на сыходные ьады редукторов. Техническая новизна перечисленных решений подтверждена авторскими свндетапь-ствали и Российскими патентами.

Рис.5 21

Основные результаты работы

В диссертации разработаны эффективные методы вывода и формы записи уравнений моментов, динамических функций (ДФ) и уравнений динамики (УД) сложных систем абсолютно твердых тел (СТТ) с произвольными кинематическими парами, образующими замкнутые и открытые (древовидные) кинематические цепи, а также динамического анализа и решения задач синтеза СТТ с. заданными статическими и динамическими свойствами. В изложенных материалах выделяются следующие основные результаты.

1. Разработаны формализмы структурного, кинематического и массо-геометрического описания СТТ в виде таблиц числовых и/или символьных параметров. Введены понятия несущих тел и подсистем, обеспечившие эффективное представление кинематических, статических и динамических расчетных формул древовидных СТТ.

. 2. Выведены формулы моментов (статических моментов и моментов инерции), потенциальной энергии и обобщенных сил тяжести СТТ с явно выражен-пыми структурными, кинематическими и массо-геометрически&ш параметрами, позволяющими элементарно решать задачи синтеза СТТ с заданными свойствами моментов.

3. Выведены новые формулы ДФ СТТ с ятю выраженными шссо-геометрнчесюши параметрами иесущих тел, обобщающие известные формулы ДФ на случай произвольных СТТ и позволяющими элементарно решать задачи синтеза СТТ с заданными динамическими свойствами. Новые формулы импульса, кинетического момента, кинетической энергии и энергии ускорения произвольной СТТ являются обобщением соответствующих формул для одного твердого тела и в отличии от последних содержат массо-геометрические параметры несущих тел, что обеспечивает их эффективное использование.

4. Получены новые формулы УД произвольных СТТ на плоскости и в пространстве с явно выраженными СКМП, имеющими четкий геометрический и механический смысл, на множестве которых осуществляется синтез конкретных СТТ с желаемыми статическими и (или) динамическими свойствами.

О"»

5. Описаны формализмы "выписывания" УД различных классов СТТ в различных обобщенных координатах (OK) и алгоритмы вычисления на ПЭВМ коэффициентов УД. Формализмы выписывания УД представляют практическую ценность, т.к. по сравнению с аналогами они требуют меньших затрат времени и сведены к процедурам конкретизации общих уравнений. Алгоритмы и программы вычисления коэффициентов УД использованы при создании программной системы автоматизации исследования СТТ на ПЭВМ.

6. Выведены формулы вычисления статических и динамических реакций в кинематических парах и сечениях тел СТТ.

7. Разработана методика синтеза СТТ с заданными статическими и динамическими свойствами и синтезированы следующие СТТ: статичесгсн уравновешенные СТТ; СТТ с циклическими OK; СТТ с кнварианшой относительно OK кинетической энергией; Диками ..ски развязанных СТТ; СТТ с четной относительно OK кинетической энергией; СТТ с итерируемыми УД.

8. Доказаны формулы изменения порядков суммирования и приведения подобных на древовидных структурах данных и изложена методика вывода ДФ, позволяющая аналогично вывести формулы других ДФ.

9. Рассчитаны и изготовлены четыре натурных макета СТТ, предназначенные для демонстрации эффектов статического уравновешивания я динамической развяз'-си движений звеньев. Разработанные и созданные макеты используются в лекционных курсах для демонстрации эффектов статического уравновешивания к развязки движений звеньев за счет перераспределения масс и (или) наложения связей. .

10. Сформулированы рекомендации по выбору Еашематических структур передаточных механизмов, разрешению масс заеньев я наложению связей в проектируемых механизмах н машинах, позволяющие значительно уменьшить нагрузки на приводы, а также частично или полностью устранить взаимное влияние движений звеньев. Эти рекомендация реализованы в действующей конструкции манипуляциокной системы злектроиехгикчесгсого робота "Кобра", предназначенного для ликвидации аварий на АЭС.

Список основных публикаций

1. Телегин А.И. Системы твердых тел. Математическое обеспечение решения задач механики и управления: Монография. - Челябинск: ЧГТУ, 1994. - 4.1. -172 С.

2. Телегин А.И. Системы твердых тел. Математическое обеспечение решения задач механики и управления: Монография..- Челябинск: ЧГТУ, 1995. - 4.2. -202 С.

3. Телегин А.И. Синтез систем твердых тел с заданными свойствами: Монография. - Челябшюк: ЧГТУ, 1996. - 174 С. .

4. Телегин А.И. Методическое и математическое обеспечение решения на ПЭВМ задач механики систем твердых тел на плоскости // Руководящие технические материалы отдела проблем проектирования неоднородных конструкций УрО АН СССР. - Мласс, 1990. - Вып. 2. -109 С.

5. Мелентьев Ю.И., Телегин А.И. Динамика манипуляционных систем роботов. - Иркутск: Изд. Иркутск, ун-та, 1985. - 360 С.

6. Мелентьев Ю.И., Телегин А.И. Расчет уравновешенных манипуляторов. -Магнитогорск: Изд. МГМИ, 1984.-39 С.

7. Телегин А.И. Математическое обеспечение алгоритмов вывода уравнений динамики систем тел с одной ветвью на плоскости и их интегрирование при помощи степенных рядов II Вестник МГТУ. Сер.: Приборостроение. - 1995. - N 1.- С. 55-61

8. Телегин А.И. Алгоритмы вывода уравнений динамики систем твердых тел и интегрирование этих уравнений методом построения степенных рядов на ЭВМ // Мехеника и прикладная математика. Труды всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". - Тула, 1989. - С. 106414.

9. Телегин А.И. Новые формулы динамических функций систем твердых тел // Сб. статей 3-й российской школы по проблемам проектирования неоднородных конструкций. - Миасс, 1995. - С. 25-37.

10. Телегин А.И. Формализм структурного описания систем тел, вывод кинематических функций и доказательство формул изменения поряд. 1а СуММИрОвания на деревьях // Сб. ИФТП РАН. - М., 1994. - С. 24-29.

11. Телегин А.И., Герасев С.Н. Алгоритмы вывода на ЭВМ уравнении динамики плоских систем твердых тел // Проблемы нректирования конструкций. - Миасс, 1990.-С. 14-20.

12. Телепш А.И. Синтез манипуляционных систем роботов с заданными динамическими свойствами // Роботы и робототехнические системы. - Иркутск: Изд. ИПИ, 1985. -С. 43-49.

13. Телегин А.И. Вывод уравнений динамики МС в явном виде // Роботы и робототехнические системы. - Иркутск, 1984. - С. 7-11.