Новые сеточно-аналитические методы для задач механики жидкости и газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

/¿>®

ПРЕЗИДИУМ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ АН СССР/У^"

На правах рукописи УДК 519.6 + 532.5

ЯСИНСКИЙ Федор Николаевич

НОВЫЕ СЕТОЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Владивосток 1990

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и вычислительной техники Ивановского текстильного института им. М. В. Фрунзе.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В. К. Булгаков; доктор физико-математических наук С. Я. Герценштейн; доктор физико-математических наук А. В. Костерин.

Ведущая организация —

Институт проблем механики АН СССР.

Защита состоится « . .. ».......1990 г.

в...час.... мин. на заседании специализированного совета Д 002.06.07 при Президиуме Дальневосточного отделения АН СССР по адресу: 690032, г. Владивосток, ул. Радио, 5, ИАПУ ДВО АН СССР.

Автореферат разослан «...»......1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук А. А. БУРЕНИН

I. Введений

"Усовершенствование прямых методов применительно к гидродинамическим задачам- - генеральное направление гидромеханики."

Акад. Г.И. Петров

В диссертации предложены новые методы решения'задач механики жидкости и газа. Их источниками являются: классические прямые методы (коллокзций, наименьших квадратов, Гэлёркинз и др.), сеточные методы и стохастическая оптимизация. Главное преимущество предложенных методов состоит в их высоком быстродействии.В ряде описанных ни-гидро и газодинамических задач удалось получить решения при сокращении зэтрзт машинного времени на один-двэ порядка против традиционных сеточных методов. Очевидно, что построение быстрых алгоритмов для таких задач, это не только сокращение зэтрзт на их реиение, но и принципиальная возможность подойти к решению сложных, ранее недоступных, гидро и газодинамических задач, в тэкчсе возможность найти более совершенные технические реиения там, где требуется перебор многих вариантов.

Задачи, на которых испытывэлись предложенные методы, весьма разнохарактерны и принадлежат к дзлёким друг 01 друга разделам механики жидкости и газа. Это позволяет утверждать, что предложенный методы являются достаточно общими. Разработка -методов опиралась вэ ряд известных и предложенных автором полояений тесрвтико-информаци-онвого анализа вычислительных.процессов. В частности для этой цели был введён формализм термодинамического тйпа, окэзэвкийся продуктивным.

2. Модифицированные прямые метода.

Запивай уравнения гидрогаводинайики в следующем виде

-ь е > ос^ .о-

Здесь'-?*- оператора, £ - время, координаты и® некоторой области (У физического простраяствв, 3. ~ искомые величины (поля плотяост», скорости, давления ит.д;). К ты присоединены ивчальвнв и граничяые уйловия

^ - некоторые операторы, (зс>, заданные функций,

Г - граница области (У . Решение задачи состоит в отыскании функций ¿(-¿г, ;х), удовлетворяющих (М), (з.й).

Решения задач гидрогэзодинэмики содержи, как известно, многочисленные особенности. Я употреблю здесь это слово в несколько нетрадиционном смысле и понимаю под ним ударные волны, пограничные слои, следы, вихри, точки отрыва, зоны физико-химических превращений, гоны взаимодейсвия ударных воля с пограничными слоями и т.д.. Будучи весьмз целыми по объёму, они окззивзют радикальное воздействие нз все течение в целом. Кроне того, в прострзнстве-вре-ывни искомые решения иогут содержать образования и структуры весь-иэ простой формы, возможно повторяющиеся с небольшими изменениями.

Эти обстоятельства делзат описания исковых полег (скорости, плотности, давления и т.д.) с помощь» сеточных функций либо затруднительны!), либо нерациональным. В таких случаях весьма удобны прямые методы. При применении прямого метода решение во всей области или в какой-то ее части конструируется в виде некоторого вирв-кевя или выражении, содер1эщ)х определённое число свободных параметров,^

&а>ос) = фс*,хм\ <■*•■* >,

оптимальный выбор которых позволит получить искомое приближение. Конструкции (л. 3 ) подставляются в исходние уравнения (&А ) и граничные условия (Л.1 ).

При произвольных получаем невязки

С их помощью мо«но построить рэзличные варианты меры близости приближённого решения к точному

Рассмотрим ^ва варианта выбора операции б«}*;

Эдес- некоторая системе контрольных узлов в области пространства-времени, в. которых вычисляются, невязки .

¡¡I , Рс - весовые функции и степени.

2- йСА)-

Между этими двумя определениями можно построить множество промежуточных вырэяганий для 0-(Л) . За оптимальные значения параметров Л принимаются их значения Л*, достигающих минимум )

4К = ^ ОСА) ^ п

По полученным Л строится прибллязнное решение задачи

При удачном выборе аппроксимирующего вирэженин число констэнт «7Т может оказаться небольшим, т.е. невысоко!! окажется размерность решаемой задачи, что обеспечит сокращение затрат машинного времени. Функции ф(Ь>Х>о/) могут быть финитными. Возможны такие описания полей, когдэ в одной области используется аналитическое, а в другой сеточное описание. С помощью пряных методов выделение, упомянутых выше, особенностей (пограничные слои, следы, ударные волны, вижри и т.д.) делается достаточно просто, тем Солее, что имеются аналитические решения родственных задач, /.нелогично обстоит дело с задачами, где имеются какие-то правильные структуры.

Минимизацию ¿2(С4) предлагается выполнять при пом опт случайного поиска в следующей предлагаемом нами виде. Берется некоторая исходная точка в пространстве параметров $ , которая условно принимается за удачную. Вокруг неё строится окрестностьу например, в виде прямоугольника, из которой выбираются случайные точки с координатами ^ к

^ =А* у [4.Ю)

Здесь - случайные числа равнорзспределённые в интервале (-4.,+ !)» " 0ПРеЧеляпт размерности окрест!!ости£1)*'.

В каждой пробной точке вычисляются &(Л). Если 61 (!Л) ^ОСА*)* го Л- становится новой К + 1 удачной точкой.

и вокруг неё строится окрестность^ , из которой будут браться следующие пробные точки. Если > (Л } < то такая точка Д называется неудачной и далее ие используется. Полученная последовательность удачных точек, очевидно, сходится к минимуму. Установлено, что поиск становится оптимальным по затратам в виде числа проб, если удэчиыо пробы составляют 1/4 от общего числа проб. Этот факт не зависит от размерности пространства поиска и слабо зависит от обусловленности задачи. Чтобы поддержать долю удачных проб на этом уровне;рэзмеры окрестности изменяются согласно такому правилу

Здесь л 7 - число удачных проб в серии из ЛА проб.

В качестве важных достоинств случайного поиска укахем нечувствительность к негладкий целевой функции £¿01). что важно, если она берётся, например, в виде (Л. £ ), а такле способность преодолевать локальные минимумы, область притяжения которых меньше размеров ¿0 . Перечислим зэдэчи, решеншм с помощью описанной выше методики. I. Потенциальное плоское стационарное обтекание цилиндра с околозвуковыми скоростями. 2.Ламинарное обтекание системы цилиндров, расставленных в шахматном порядке, внзкой несжимаемой жидкостью. 3. Обтекание невязким газом лопаточной решетки с трансзвуковыми скоростями. Нестационарное течение вязкой несжимаемо.! нидкос-ти под действием заданного силового поля в прямоугольнике с периодическими граничными условиями. 5. Течение в пограничном слое плоской турбулентной струи при распределении турбулентной вязкости, взятом из эксперимента. 6. Стационарное одномерное течение через сопло релэксирущих сред ^ СО • Задача об истечении ламинарной неравновесной струи в спутный потси. 8. Ламинарное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в двумерной прямоугольной полости под действием заданного силового поля. 9. Лвминарное стационарное трехмерное течение вязкой несжимаемой жидкости в кубической Полости под действием заданного силового поля. 10. Взаимодействие ударной волны с турбулентным пограничным слоем. II. Изобарическая и неизобарическая задачи об истечении осесимметричной турбулентной сверхзвуковой струи в опутний поток (с учетом химических реакций, колебательной неравновесности и лучистого переноса).

В больнинстве перечислении! зздзч удалось сократить затраты малинного времени на один-двэ порядка.

3. Информационный анализ алгоритмов.

' Оптимальные алгоритмы.

■3.1. Алгоритм и термодинамика. Предложен формализм термодинаци-■ ческого типа для анализа и оптимизации итерационных вычислительных процессов. Следует отметить, что привлечение термодинамики к этому кругу вопросов не' является чем-то искусственным, а связано с существом делв. Действительно решение задачи - это выполнение определенной работы, измеренной, например, числом оперзиий. Энтропия применяется в вычислительной математике уже достаточно давно. Ниже вводятся и другие термодинамические величины: температура, объём, давление. Предлагается уравнение состояния; рассматриваются необратимость, термодинамические циклы и т.д.. Можно нэдвяться, что большой опыт,

накопленный термодинамикой, в различных областях знаний, и больазя эвристическая сила её идей явятся залогом того, что такой подход будет полезным и при конструировании новых алгоритмов. Наш опыт во всяком случае подтверждает это. Пусть рассматривается итерационный ■ вычислительный процесс „,, __ , ц и —

- вектор, характеризующий вычислительный шум, ^, - некоторые операторы. Набор зпаченимД^, ... ~ Т0ЧКЗ в фазовом прост- • ранстве^ . Зсли ввести мног.ество точек с плотностью ^(Х) , то отображение^.*) приводит этот "газ" в движение. Объем (л) , связанный • с такой средой, будет стягиваться к финальной точгсе.ЭС*. Вычислительный процесс удобно анализировать, используя следующий термодинамический формализм.

3.2. Первое начало.

число операций, затраченное нэ сжатие фазового газа. аналог внутренней энергии (обладает теми свойствами: аддитивность, шумовой хзрэктер, роит с увеличением£ ).

- информация извлечённая в процессе вычислений. Для каждого коя-кретного решения число оперзи;;! - случайная величина, но будучи осреднённой по некоторой области начальных условий, она становится" характеристикой алгоритма.

- алгоритмическая температура. Она определяется числом операций, затраченных на получение единицы информации при фиксированных I• Объем - это размерность реаений зэдзчй (т.е. число парамет-

- алгоритмическое давление. Оно определяется ростом числа операций при увеличении размерности системы на единицу при постоянныхХ>ЗГ • Слагаемое учитывает вероятностный хзрэктер вычислительного процесса (использование случайных чисел, погрешности округления и т.д.).С/Г - вероятность -правильного ответа. О ТГ-^

^ — &1Ь/2ЯГ)Т&- величина типа химического потенциала. В ряде случаев согласие на определенное сниаение^Г при значительных | ^ ведет к существенному сокращению числа операций (методы Монте-Йарло, случайный поиск и т.д.). в^с- расходы яэ поддержание стабильности вычислительного процесса, его оптимизации и другие затраты.

3.3. Второе начало. Для устойчивого, сходящегося вычислительного процесса ._

с/1 >0 (3.5-)

В этой состоит его термодинамическая необратимость. В ходе вычислений уменьиается неопределённость (энтропия) в 'значем-.ях искомых величин, т.е. имеет место получение информации.

3.4. Устойчивость. Вычислительный процесс устойчив, если он характеризуется положительной температурой: Т" О

Полно'привести примеры, когда общепринятая методика анализа на устойчивость дзет неверный, а термодинамический анализ - правильный ответ.

3,5 Пропускная споаоСность или работоспособность злгорит.мз аналогично пропускной способности канала свнли определяется следую"" а« С^АЖ^У ,

д£ - полученная информация за промежуток от шага К^ до шага К^ . ^^М^^-эатрзченпоэ число операций за тот же период. Отметим, что пропускная способность и алгоритмическая температура обратно пропорциональны.

• , 3.6. Оптимальное начальное распределение. Пусть при заданной информации а!6'* ищется распределение минимизирующее число

операций4Для этого строится функционал

" множители Лзгрэнаа. Решая вариационную задачу на экстремум Л в качестве оптимэльного получим распределение Л. Больцмзяэ й - ¿Ж(Х)/ГМ - ¿¡Зк(Хе)/Т

ЗдесьЛГ - введенная выше алгоритмическая температура. С помощью .(•3.9 ) и традиционного термодинамического формализма получаются все соотношениясхэтистической и феноменологической термодинамики вычислительных процессов.

3.7. Информация Хартли. Количество информации по Хартли определяется следующим образом „. п ,, ,

■ . к • . ■ (х/о,

Здесь у , V - начальный » конечный объёмы в фазовом пространстве. Иавестно, что величина (3 /О) ограничивает сверху количество инфор-- ыэции, вычисленное по формуле Л. Больцмзн» - К. Шеннона.

3.8. Пропускная способность для линейного отображения.Бели ощбрэиениэ (3.< ) аппроксимировать линейным и использовзть информа-

цию Хартли, то можно показать, что полученная за /< пэгов информация равна * if ' \i i Л^1-

Зцесь ГХ,- собственные числа матрицы

Лц xi

константы пропорциональные уровню шума. "

Оценивая затраты на выполнение к - шагов как

■ кУ(Ц+лг) (s.w .

(вместо числа операции в (Х1&) взята пропорциональная ему величина Ц - постоянная); получим следующее знрэчекие для пропускной способности алгоритма r t х/ i Л1'"1

3.9. Уравнение состояния. С помощью (3-Й) в хорошо обусловленном случае т.е. лриТ^г^ . п00лэ простых преобразований получаем простейскэ уравнение состояния алгоритма в следующей интригующей форме J3 С. fb-t-V^ - Х'Т

В других случаях уравнение состояния значительно сложнее.

3.10. Третье начало. Нвпомаим, что пропускная способность и алгоритмическая температура обратно пропорциональны. Поэтому третье начвло - принцип недостижимости абсолютного нуля температуры состоит в невозможности построения алгоритма, имеющего бесконечную пропуск-., ную способность.

3.11. йтсрзиии и термодинамически,'', цикл. Итерзционноиу вычислительному процессу (ЗА ) moüho поставить в соответствие термодинамический цикл, например, никл Карно в координатах X »Т .

3.12. Оптимизация алгоритма. Пусть сформулирован алгоритм решающий поставленную задачу. Рассматривается возможность перехода к .

новому алгоритму, позволявшему достичь тех же целей с меньшими затратами. Такой переход сопровождается: I. Заменой переменных с улучшением обусловленности з новых переменных. 2. Изменением размерности. Обычно это уменъиение размерности. Процедура сокращения размерности называется сжатием. 3. Разбиением итерируемых параметров на блоки и оптимальным выбором шага в какдоа блоке и числя яагов.по блокам.

Нэйдеи наииеньяуп размерность реиайщего елгоритвэ. Из основного термодинамического равенства , г

следует, что поиск наименьшего Ы выполняется при условии постоянства искомой информации I . ^ , м ИМ-

собственные числа и шуми двух систем, имеющих разные размерности, но передающих одну и ту ке информацию. Отсюда иочно найти яовую размерность N . При отсутствии шумов и при хороше)! обусловленности получим

Очевидно, вйщЬс об оптимальной рззмерности решающего алгоритма связан с известной теоремой К. Шеннона об оптимальном кодировании. Предложенное утверждение является некоторой её редукцией применительно к алгоритмам,

3.13. Информационный вес. Остановимся теперь на процедуре уменьшения размерности (сжатии). Полученную информацию можно представить

В ВИДе £УММЫ ' * -' - " I <~\ <

À.4 1

Вводится относительный информационный вес координаты

/ А

(3/6)

Координаты, информационный вес которых мал, можно признать несущественными и отбросить, уменьшив таким образом размерность задача. Практическая реализация такого способа сжатия связана с необходимое тью отыскания спектра, что само по себе является сложной задачей. Мету тем сжатие является операцией грубой, выполнить которую мо'«шо с помощью весьма приближенных аппроксимаций спектра. Вычислительная практика показывает, что можно вычислять информационный дше с помощью указанных выше выражений, заменив собственные числа Ai числами ,¿¿ ¿es перехода от координат OC¿ к <¿t- , соответствующим*^; . В качестве Á¿ предлагается взять

HeiDvSHO покегавть, что Ji- переходит в собственнее числа 'А; , • если оси DC¿ ориентировать в напрвленип собственных осей ¿ • .

Возможны и eme более грубые оценки для информационных весов

;g¿ t-Fif/ tty* (%¿,)t

которые нв практике, однэко, оказывается весьма полезший. Описанная процедура сжатия мо*ет применяться как к внешней, так и внутренней размерности системы (под последней понимается число внутренних связей в системе).

3.14. Декомпозиция система. Рассмотрим теперь процесс термодинамической декомпозиции системы на подсистемы. Спектральный участок

В

от^^ц до разбивается на участков с шагом Д<?. В каж-

дый участок с номером попадает .Уь координат, обрэзуюэдх блок Количество информации, извлекаемое при работе блока

При рзботеЗ>£ имеют мес?о зэтрзты Пропускная способность блока

Иаг^Хк или нэ0°Р шагов для блока 1/уг_ выбирается из условия максимальности извлечено:! информации при работе этого блока. Один блок сменяет другой, когда его пропусчизп способность оказывается да;ие.

Робота блока прекращается, если извлечена необходимая информация или равны их темпервтуры (условна кзотермичности). В этом случае ни один из блоков не является преимущественным, т.е. не приносит больиой информации при тех же зэтрзтэх. Оптимальное число азгов в блохе равно

^ ^(д-р>о!тхы Л» и*. (3^4)

Здесь_ ^Х*4* =г ^иС^/а-^Г) О-*О '

/•1,1 X*. » £ ~ орецпиа для бло.ча значения собственных чисел, уровня иумэ и доля извлекаемой информации (от максимальной).

ЗД5. Зачисление прол.ус:::;ой способности алгоритма по яэвязкзы. ~ -—-

Пусть приближенное решение системы

■ =0; (мс)

и соответствующие невязки

V ; «.'-£/7 ■ (з.«)

МекдуЭС и V/ существует следутаэя энтропийная, связь

Нл. ^Ну/ +Нас\/ ) >

ГД9 и - J Т^С^!,-.,.^)!

"х* ~ ' ^ ^ СЗС,,. ., зь* I 13*»)

Черта оаяэчэет осреднение ло множеству значений

С помоезчо этих рзвенств можно показать, что при сравнении двух • алгоритмов* ^уХ деление их пропускных способностей по искомым параметрам равно отношению пропускных способностей исчисленных по невязкви

- еЦс*

что весьма удобно при сравнительном анализе алгоритмов.

3.16. Численные эксперименты с одно и двуубдочким случайным поиском. Для проверки изложенных выие положений об информационном разбиении системы на блоки исследовалась эффективность случайного поиска в одно и двухблочиом варианте в численном эксперименте.

Эксперименты показали, что:

1. При размерности до 30 и обусловленности до 1000 двухблочный алгоритм по пропускной способности резко (на дез и более порядков) превосходят одноблочный.

2. С ростоу рээгерности и ухудшением обусловленности в одно-блочном алгоритме пропускная способность быстро пэдает.

3. В двухблочном алгоритме влияние размерности и обусловленности на пропускную способность достаточно слабое.,

4. Положение Гранины раздела блоков влияет из эффективность, однако это влияние сравнительно слабое.

Зто обстоятельство подтверчдзет высказанное вине утверкдение, что деление системи на блоки - операция грубая и для её выполнения не требуется высокая точность. Предложенная для этого вьгле схема с ' вычислением информационных весов оказывается достаточно точной.

Ь. Лэмвиэриие течения вязко!! несжимаемой тидкости.

4.1. Течения в ^ByttepHOi: полости., Двииение вязкой настамэеной «идкости в квадратно»! двумерной полости описывается следующими уравнениями и грэничними условиями

Здесь. ^(.З^ОС^- заданное силовое поле (отнесённое кппокости), U-l - составляющие скорости,.- давление (отнесённое к плотности),^' - кинематическая вязкость, Г* - граница квадратной области (У.

Обычно поле t^C^i^OGt) имитировало действие т среду некоторого движителя (вентилятора). Для зтого в ограниченно!; подобласти задавалось I /

в в остзльном пространстве принималось ^j- =о • .Сначала решение изводились с помощью истоде сеток а это решение ирииимэ-яось зз "точное". 381ем искалось, решение с помощью модифицированного прямого метода в слсдущем виде

и«)

то

У - функция тонз, обращается в нуль на | вместе с

першми производными,!^ полиномы П.Л. Чебышевз-Л-,^ - искомые параметры. Пх было двенадцать.

Пусть ииется простейшее приближённое решение задачи (*<.< ), (¿/,2/). Так будем называть решение, содержащее наименьшее число параметров^ при заданной точности. Процесс уменьшения числа параметров назовём сжатием. Ниче рассматривается ряд алгоритмов вг.э-тия. ПервыГ; состоит в введении штрафа за сложность. Стоится новая целевая функция ^ , V

аЬ)«~са у+11т^^Н . <♦.*■>'

- штраф за ^уюзность, , Ъ: - пою'чительнне константы,

^А^,Такая конструкция атрэфной функции стимулирует поиск реЁ^ен^я с резко различными,^ . Малые отбрасываются и решение упрощается. Зторо'/: способ, называемы:? параболическим сжатием, состоит в одномерно:', аппроксимации О- по каяцому из параметров с помощью квадратного трёхчлена

В окрестности точки каждому параметру даются прирэ'цения

й в соответствующих точках вычисляются значения С их помощью определяется ^ , Д. и ориентировочно оценивается уаеньэенйе^'$ , доставляемое целевой функции ка дим пэрзиетром •

Параметры, которым соответствует малые £¿0. , признаются несущественна:'.« и отбрасываются. Сиаме по промежуточным результатам выполняется после некоторого числа шзгов случайного поиска. Полученные поочередно обращаются в нуль и восстанавливаются. При э*ом вычисляется изменение^^/. целевой функции. Параметры, которым соответствуют малые, признаются несущественным и отбрасываются. Последний способ назван градиентном сжатием. Он основан • нз предположении, что параметры, яоторид соответствуют малые составляющие грэдиснт8|2^0./^Д.^| » несущественны. При реализации градиентного счзтия использовалась как разностная

так И' стзтистичсскз аппроксимация градиента, . „

^ -асл))щ/1 Ч

- вектор^ровеДвнный из последней удачной в очередную пробную точку, йслользуютоп как удачные так и нёудэчиие пробы.

Численные эксперименты показали; что алгоритмы сжатия позволили сократить число параметров.^;. с 12 до 4 - 5 и уменьшить затраты машинного времени, при той же точности окончательных результатов, в 5 - Ю рзэ.

ТТ

Эффективность вычислений возрастает, если решение (4-4) достраивать блоками, выводя на минимизацию поврет. параметров.^ , Соответственно уменьшается число контрольных узлов Л^^ , в которых вычисляются невязки. Оптимальным оказался рекии//^« 4 и Миц/л'роГ Узлов нэ параметр. Быстродействие при этом возрастало в 7,6 раза по отношению к случаю, когда вводились сразу все 12 • коэффициентов^

.Другим исследованным способом увеличения эффективности описанных алгоритмов .является применение финитных функции. Действительно, трудно или невозможно аппроксимировать сложное течение одной функцией вида ). Удобнее разбить пространство на части и в каждой из них аппроксимировать поле своей финитной функцией тока, например, так ^

£л)(ГХА^)^^^'- ) ^ >

-1 + £СЭС-Х УСХ

•С помощью функции задаются области финитности для каждой^ , Х^.Х"- гР3,'иад области финитности, оС управляет крутизной соОС^ вблизи границ финитности. Параметры у* , ' Х^ £ ' ' вместе с входят в число вэрьируемЙ: параметров^ .Л С пойодью финитных функций удается восстановить структуру близости на множестве параметров^ , которая отсутствует, когда решение ищется в виде ), (взаимодействуют $ соседних финитных функций). С её поиоцыс'можно существенно сократить затраты на поиск оптимвльныхЛ , Области финитности мокно сделать перекрывающимися.

Пропускная способность алгоритма зависит от значения показателей р> в 6 ). В численных экспериментах при рэзмерности системы порядка 10 удачным подбором ^ удавалось сократить затраты .машинного времени ориентировочно на порядок.

4.2. Простанственныс течения в полости. Эффективной оказалась тэкке следующая методика отыокания оптимальных Л . Пусть

£Ш= вЛ(х'А> , = }

'Максимум в (у- и минимум 0. в ищутся с помощью случайного поиске. Поиск/пмх в (у (поиск-I) повторяется после каждого нзгз поиска<2 в(поиск П). Поиск I может быть гчобэчьным, когда вначале Е^ вычисляется нэ множестве контрольных узлов достаточно плотно покравэющих (У с последующим случайным поиском из у?ла с' наибольшим Е^ , но может бить и локальнш, если исходная

точкэ уже находится в районе глобального максимума. Расходы на • поиск в этом случае существенно меньше. Предполагается, что в течение небольшого числа шагов М ^поиска П мала вероятность, что найденный глобальный щл* Е^в ¿^перестанет быть глобальный, т.е. мот.но ограничиться локальным поиском. Это позволяет делать один глобальный поиск I нз Мр локальных, что ведет к большой экономии в числе оперэци:.. Коли зэ Мр 1гггов поиска Л уменьшится глобальный ^лхь5- я (У , то полученные^ принимаются зэ удачные и ста- • новятся исходными для дальнейшего поиска. В противном случае восстанавливается ситуация, имевшая место до этих Мр шагов. Очевидно, что существует оптимальное Мр .

Этз методика применялась для решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости з кубической полости под действием силы

= (.и)

, - поло я! тельные константы, ^ - расстояние от данной точки до центра куба. параллельна ребру куба. Первоначально эта зада чз решалась с помоцью метода сеток на грубой сетке (10х 10x10). Производные вычислялись по противоточной схеме, з давление по способу Фортзна. Число Рейнольдсэ во всех опятах не превосходило единицы. Вычисления в этом случае до установления с 15 % погрешностью по скорости занимали на ЗВЧ ЕСгГОЗО (450 тыс. опер, в сек.) 2,5 часа. Затем применялась описанная вероятностная методика. Составляйте скорости вычислялись с помоаыо векторного потенциала <¿1 = Ф^.к - Ф ^ {4.9)

р.■=а-с-4 п ¡ф -Х^Х-аа О

(Ч.ю)

- (^А{М-№<*1 -{** 1 * > $ --О'^з ;ус

£ - малое число, защищающее от нуля в знаменателе. Варьировались параметры , . . . Запись означает, что

эти параметры не выходят из интервала^ -ц) . Таковы размеры кубической полости. Поле близкое к полученному методом сеток (с 5 % ' .отличием по скорости в центре полости) находилось через 15 - 20 . минут счёта на этой ие ЭВМ. Оптимальное Мр -10

5. Течения, осложнённые физико-химическими процессам». 5.1. Выбор простёйгаей модели. Информационный вес процессов. Для построения быстрого алгоритма нуио сформулировать иини-

иалькую по размерности модель для вычислшшя всех интересующих нэс характеристик с требуемой точность». Первоначально формулируется базовая модель. Она имеет невысокую размерность и включает априорно очевидице ведущие процессы. С её помощью (пусть с большими погрешности ми) вычислить все искомые характеристики^, Для физико-химической газовой динамики характерна следующая ситуация. Кроме включенных в базовую модель, существует ещё ■множество процессов ЗЦ . Л^. • • • Чтобы упорядочить их

по влиянию на искомые .параметры и выделить су цественние, вводится понятие об информационном весе процесса,^ . Под которым понимается дополнительная информация о значении искомых тзрэметров, которая приобретается при присоединении к базовой модели процесса Зр . Пусть искомые параметры находятся для базовой и восполненной модели с помощью следующих итерационных процессов

= (Г.,)

л.

С присоединением процессов , очевидно, возрастает сМ доЖ

размерность систеиы. Вводятся невязки для искомых параметров

>) < ^ >

В йервом приближении информационны« вес присоединённого процесса ^ можно опенку кзк М | р- — р^

Численные эксперименты показали, что ^быстро устанавливается, позволяя выделить определяющие процессы и те:.; упрощает дальнейшие расчеты.

5.2. Задача об истечении лампнэрно;: неравновесной плоской сверхзвуковой стрг/и в спутник поток. Смещение плоской сверхзвуковой струи, истекающей в спутник поток в'приближении погроничного слоя, описывается следующей системой уравнений

^ 1 ^Ъ-Х. Здесь

.IIjlI.II ____________л»/____________ - а?/ ах.

а ъ ■ ¿С/ ль

. м

О - плотность ,\Л. т Ь - составляющие скорости по осям Л?, > Ц - теплосодержание, {Л - вязкость, - коэффициент диффузии, Рт. критерий Прэндтля, С^ - массовые доли возбуждённых молекул, находящихся из уровне . ^ -р

Принято, что Ц _ Ц-2/^

(•■КО/О*-, а ^./рГ; ОРТ = с- я<л и/т^ у1-

теплотэ образования состояния ^ - константы, НГ--температура, б- - расход,

- кинетические уравнения.

Для решения дифференциальное уравнения заменялись

разностными на сетке с постоянными вагами , и« • Применялся маршевый метод и скалярная прогонка. Реаенпо сводилось к скалярной прогонке. Выполнялось расцепление по физическим процессам. Кинзтикэ (5".? ) чередовалась с дифф узпей Решение такой

задачи связано с большими вычислительными трудностями. Действительно интерес представляет случай большого числа уровней воэбуя-. декил (ПМО - 50, например, для азота). Это привздит к необходимости речения системы из 52 - уравнений в частных производных би-53 ) не сетке изЛ*ЛС узлов и систем из 50 обыкновенных дифференциальных уравнений в каждом узле сетки. Для упрощения решения это" задачи била использована следующая модификация прямого метода. Опираясь на очевидную глзккость зависимости от -С , ■С в« И-. можяо понизить размерность решаемой задачи. Для этого выделяются некоторые представительные уровни ' к :^£r2,,.Jrч. fУK^ги соответствующие им мзссовые доли(?£ . Только для этих уровней решаются уравнения диффузии и кинетики. Значениядля других уровней после каждого аага восстанавливаются с помощью, например, следующего выражения ' А £

лхг-а-^гз* ■■«••.)•■

Где оптимальные значения параметров^ , , вычислялись с . помощью минимизации случайный поиском следувией целевой функции

5 ^ - весовые множителя, О^ - некоторая степень, Ц^- - значения ивселённостей, полученные решением кинетических уравнений для указанных избранных уровней.

Для решения кинетических уравнений использовалась методика и подпрограммы, разработанные Э.Л. Комаровым Числен-

ные эксперименты показали, что использование аналитической конструкции (5". 9) и случайного поиска для минимизации ¿2 позволяет сократить затраты машинного вреиени при решении этой задачи в 4-6 раз. ...

б. Турбулентные течения.

6.1. Задача о течении в пограничном слое плоской турбулентной струи. Двикение иескииэеион жидкости в пограничном слое плоской турбулентной струи удовлетворяет следующим уравнениям и граничным условиям

Здесь принято правило суммирования но повторяющимся греческим индексам, принимающим значения I, 2. Индекс после запятой означает производную по этой координате.

состэвлледе скорости по осям , ОС& соответственно, Гс > • границы слоя, Г^ - со стороны струи, текущей в направлении ^ .

Б.Г. Худенко [2.Л~\ предложил уточнённую трактовку процессов в.слое. Используются три составляйте симметричного тензораТ^ь в то время как обычно беротся лишь одна Длины ¿.п представлены как

¿сЛ^'/У?") > I*00*/**.

где зависимости взяты из эксперимента.

Решение ищется в виде функции тока ^ = СС^ р(^ ) С помощь» очевидных правил ди.Мзеренцировзшя

и того, что с

Исходная система приводится к одному уравнению (штрих.означает производную по £ ) . '

И. = ГГ4 - \ м 4» Лц- К1 И А / -+

Граничные условия принимают виц

у»>

здесь ^ _

Параметры ^ , V? определяют положение границ ^ . Отметим, что уравнение (£>.$") является более общин, чем обычно применяемое в теории турбулентного пограничного слоя

Присоединяя к граничным условиям еще два

(здесь , - неизвестные попа постоянные),будем искать решение в виде полинома (-=<£, • К0ЭФФ ициенты которого . . . ¿з'ирайгатся через ^ , ^ , к0 »^ • Эти четыре параметра остаются свободными. За оптимальные принимались такие^знзчения, при которых становилась минимальной величина О. = ^ Я^" • Н - общее число контрольных точек, в которых на отрезке вычислялись невязки^ уравнения (6 Минимизация (уи выполнялась с помощью случайного поиска.

Полученные азшсимости Ы1 , (¡7 ) , б ли из к пос-

ледним уточнённым экспериментам, чем традиционные. Затраты машинного времени на решение минимум в 5 раз меньше, чем применение стандартно?: технологии решения этой краевой задачи.

6.2. О моделировании паролии-змичсск'лх, температурных и токсических полей в производственных попечениях. Моделирование с помощью ЭВМ аэродинамических, температурных и токсических полей в больших производственных помещениях, наполненных работающим оборудованием сложных конфигураций, источниками тепла и вредностей, яэ-л.гзтея актуально!! прикладной задачей. Её значение в отношении охраны трудз людей, окружающей среды, экономии энергозатрат и повышения эффективности производства очевидно.

К сожалению, решаемся эта задача покз весьма примитивно. Выполнив большое число численных экспериментов по отысканию-подходя-щих для этой цели математических моделей £, мы следующим образом формулируем существующие здесь проблемы и пути их решения. Притоки и вытяжки, а также внутренние вентиляторы и пограничные слои занимают малые объёмы в общем пространстве цеха, в котором ищутся поля интересующих нас величия (скорости, температуры, концентрации вредностей и т.д.). При использовании чисто сеточных методов возникают непреодолимые трудности. Очевидно, невозможно взять сетку столь мелкоп, чтобы воспроизвести все указанные вы-

ше особенности. Применение сеток с«переменньш шагом затруднительно сложностью областей и структурой возникающих в них течений. Эти трудности и являются причиной ?упика, в котором находится математическое моделирование для этого раздела промышленной аэродинамики. Выход состоит в применении Модифицированных прямых методов, объединяющих сеточные и финитные аналитические функции для описания возникающих полей. Приточные струи, .вытяжные факелы особенно на начальном их участке, течения вблизи стенок, ограниченные вихревые зоны должны описываться аналитически. Свободные константы, входящие в эти выражения долкны выбираться из условия минимальности соответствующих невязок с использованием случайного поиска кэк инструмента минимизации. В остальных областях решение может быть получено традиционным сеточным методом. -

При этом весьма удобными оказались дифференциальные уравнения для турбулентной вязкости Г.Н. Абрамовича, Д.Н. Секундовз, уравнение^. Н^тЬи^.для вычисления давления - а, с0.уТл

и противоточние производные по Снолдпнгу.

Существенно сократить затраты машинного времени можно, воспользовавшись указаниям вше приёмом -возведения в степень правой части. Резко сократить затраты машинного времени мочно, если определённая часть задач промвентиляцик мотет рассматриваться кэк двумерные. Однако, значительно большая часть задач, возникающих на практике, являются трехмерны:®. Решение трёхмерных задач возможно только на базе указанного объединения модифицированных прямых и сетокных методов. Попитки решения их только с помощь» чисто сеточных методов бесперспективны.

б.3. Задача о взаимодействии ударно/, волны с турбулентным пограничным слое:.;. Рассмотрим теперь реаенг.в зэдэчи о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем с помощью модифицированного прямого метода. Область течения показана на

рис.! №

п

е.\ -/<?«? а>л>

Движение среды описывается следующими уравнениями

(91^)—Г^ОЛ] -Рс])^ +

Здесь ^ - нлотнось, м , составляющие скорости по осям ОС(,

ДС^ соответственно, £> " давление, Т - температура, ^¿у ,

' » - составляющие тензоров скоростей деформации вязких

и турбулентных нзпря.«ени!1. п.

г.'^о(с) ;,.:/! . ) (г

Принято правило суммирования по дважды ¡говорящемуся индексу. Индекс после зэпятоИ означает производную по соответствующей координате, ^ - вязкость газа. Она зависит от температуры

^- -р.СГ/ТоУЛ , £

- коэффициент теплопроводности. ?Г - кинематическая турбулент-нзя вязкость. Её значение зависит от турбулентного числа Рейноль-дсэ

(\/ - энергия турбулентных пульсаций, С - масштаб турбулентнос-

ти. Он вычисляется двумя способами

(<Г/4)

и = (м? + ц}^ ■, и к-

Значения, ОТ и-вспомогательной величины Л вычислялись с помощью следующих выражений

(Г "0,9-10 о,оЫ 1/3^7

Л 6Г

(¿./Г)

Присоединим сюда

Р - язвление, X - внутренняя энергия. Если свести обозначения

ЛГ^и- , Е =<^1

то указанная система приводится к следующему виду

^ - - (£ ^)/Г + £).< : (б. м),

где д о М {6.(5)

4

? 0

гь

£

а ■+ р Ж;

Граничные условия имеют т^коЛ вид: и " 0 °

П 11 Г| г* п- . (<5, Ло)

? ^

ТА 0

0 о 0

Е0 Ьо

£1 о О

(ЦоС^До)^

а. £ -

•я, (X , Чу« » плотность и составляющие скорости за волной яз границе Г^ . Дэнная задача решзяэсь двумя

(б.-г/)

и*«« (г/А^Д^4 ^^

£ - заданные константы, толщина ламинарного

К

Ум , Ло I »

подслоя,

ударной волной яз границе . Д8нная задача решзлзсь двумя способами: I. Сеточным. 2. Пряным модифицированным. Результаты и затраты машинного времени сравнивались.

В области 51. введена неравномерная сетка_уэлов с координата-

«* а^Мн,, Л» ■ -

номера узлов в горизонтальном и вертг.кэльном направлениях. Очевидно, сеткз сгуцэется при приближений к пластине. Для увеличения ус-

тойчивости вычислительного процесса использвезлись,

гу, противоточные производные О^'Х/^ —

Ололяч-

Г/»¿""Ъ"

'№,) ц а-(\ - Н<\ м, Фс, - нд ))/щ Ъ^Мм.Са^¿-¿(х^сх,))/^ <0

Для фй^)^ разностные выражения пишутся аналогично. Стационарные поля находились путём установления из некоторого начального состояния. Эволюционные операторы били взяты в виде

При малых т*М$>гт - 310 выражение переходит в формулу

Эйлера, а при больших изменение соответствующего значения не превосходит Эз^. Такая формз эволюционного оператора взята из-за большой жёсткости зтой системы. При чисто сеточном подходе так вычислялись все поля ^ , "Щ Вычислительный процес

сходился очень медленно (на ЭВМ ЕС-1033 порядка 50 часов). При применении модифицированного метода в качестве носителей информации также использовались указанные сет:-чныа поля, но поправки к скорости отыскивались с помощью такого выраженияД(/|

Ч^Л^в-Л,*, З^'/а + СЛГ сыпь

Константы^* I Д^ . • • • I Ад находятся в нашем распоряжении.

Они выбираются из условия минимальности величины Л .ЛЛ »л »3

В качестве инструмента минимизации используется описэннии выше вариант метода случайного поиска. Этапы о использованием прямого метода перемежаются с шзгэми по чисто сеточному методу для всех уравнений. Включение этого прямого фрагмента в эту общую сеточную схему позволяет резко ускорить вычислительны!) процесс.

6Л. Две задачи об истечении сверхзв.укбвой турбулентной струи в спутний поток. По зэкэзу предприятия (г. Калининград,

Московской обл.) были построены быстрые алгоритмы и реолизукдае их программы для задачи об истечении осесимметричной сверхзвуковой струи в спутный воздушный поток.

Быстрые алгоритмы строились, опираясь на две программы, которые были предложены заказчиком и находились у него в эксплуатации. Первая программа моделирует изобарический участок струи. Интегрируются маршевым методом пэрэболизировэнные уравнения газодинамики. Используется модель турбулентности и система дифференциальных уравнений химической кинетики. Струя содержала следующие реагирую-' щие вещества СО^. > йо, И.} Ил л Иг 0} Ьх , 03 , СИ, СМ,^ ^О

Вторая прогрзмма моделировала неизобарическим участок струи и содержала те «е пэрэболнзировзшше газодинамические уравнения и формулу Боидэревэ для расчета турбулентной вязкости. Концентрации химических ве1деств из предположения о локальном химическом равновесии всюду в струе. Разностные уравнения поперёк потока интегрировались методом конечных элементов, а вдоль потока маршевым методом, Указанные программу были нами усилены следующим образом:

1. Во второй программе (£-£ - модель турбулентности дополнена формулой Бондарева и турбулентная вязкость нэходидэсь как компромиссная этих двух моделей. Известно, что в задаче о .струе

- модель и алгебраическая модель Бондарева дают разные по знаку уклонения от истины.

2. Включена дифференциальная модель колебательной неравновесной;! для Д^ и СО в её влишк'п на энергетику струи.

3. Включен учет влияния колебательной неравновесности нз константы скорости химических превращений.

4. Введено в систему дифференциальное уравнение лучистого переноса с учетом его воздействия нэ энергетику и температурное поло в струе.

В процессе построения быстрых алгоритмов и программ для этих задач удалось, сокрэтить затраты машинного времени в 3,5 - 7,5 рзз за счёт следующего: I. Химические реакции, расчет которых занимает основное время, ведется не во всех узлах сетки, а лишь в некото рых узлах ее с последующей интерполяцией полученных концентраций веществ пэ все узлы, йспытывэлись интерполяция сплайнами и нелинейная интерполяция с применением выражений вида ) и минимизацией невязки с помояью случайного поиска, как это описано в предыдущих задачах ( в частности ^¡Ь ). 2. Эффективными оказались, замена метода Ньютона при решении неявных разностных схем для уравнений химической кинетики методом В.И. Головичева , р?цеп-ление по физически!/ процессам и переход исключительно к неявным схемам. 3. Численные эксперименты показали, что существенная экономия машинного времени может быть получена зэ счет использования информационного веса и сохранения в системе лишь информационно существенных процессов, а такисе замены выражений Аррвяиуса для расчете констант скоростей химических реакций соответствующими ин дифференциальными уравнениями. Эти уравнения получаются, если указанные коастэиты продифференцировать по температуре. .

7. Состэа гжсертэций. дйссср-таипп с о дер-;: т сскогягй тгкз?, который состоит из 5-ти глав:

( I. Прямые методы в нелинейных гидрогазодинамических задачэх.

2. Динамические системы. Пути оптимизации алгоритма.

3. Алгоритмы для уравнений Накье-Стоксз.

4. Алгоритмы для задач молекулярной динамики и течений, осложнённых физико-химическими процессами.

5. Алгоритмы для турбулентных течений.), сводки результатов и списка литературы.

Основной текст состоит из Vil стр., содержит Лк таблиц, рисунков. Список литерзтурц разделён на две части: работы, выполненные с участием автора, и испочьзовэнныа литературные источники. Список-, содержит наименований.

8. Основные результаты.

1. С формулирована в общем виде концепция модифицированных прямых методов в прилогении к широкому классу нелинейных гидро-аэродинэиических зчдач. В ч'лсленшх экспериментах ати методы на 12 различных задачах гидроаэромеханики Дали выигрыш в затратах машинного времени от 5 до IOO раз.

2. Для анализа алгоритмов предложен формализм термодинамического типа. Вводятся основные термодинамические функции и равенства.

■3. Введено понятие о пропускной способности алгоритма кзк его характеристике и критерии оптимизации.

4. Введено понятие об информационном весе координаты и о процедуре уменьшения размерности (сжатии) модели.

5. Предложена методика оптимальной информационной декомпозиции сложной системы на подсистемы. В численных экспериментах показано, что декомпозиция позволяет увеличить пропускную способность алгоритма нэ один-двз порядка.

6. Предложены и исследованы теоретически и экспериментально пять модификаций элгоритмэ случайного поиска. Для первой модификации с помощью 'Гермодинэмической теории решена варйзционнэя задача, которая .позволила найти оптимальный режим работы поиска.

7. Показано, что удачный выбор степени, с которой нев'язки включаются в целевую функцию монет на порядок увеличить пропускную способность алгоритма. Исследовано влияние смены целевой функция в процессе вычислений.

8. Исследованы четыре способз попикоаия размерности в гидродинамических задачах: штраф за сложность, сжатие по промежуточным результатам, параболическое и градиентное сжатия. В численном эксперименте получен выигрыш по пропускной способности от 3,5 до 10 раз.

9. Исследована эффективность способз, при котором аппрокси-

мирующие вырзкенип в гидродинамической задача цострэивэлгся определенными блоками (блочнзп декомпозиция). Найден оптимальный рзимм достраивания. Выигрыш по пропускной способности в численном эксперименте 7-8 раз.

10. Исследуется эффективность в гидродинамических зэдзчах финитных функций, когда область финитности очередной функции настраивается нэ район наибольшей текущей невязки.

11. Предложен алгоритм названный методом оптимального риска. Ои состоит в отыскании рзйонз наибольшей невязки и слежении в течение определённого числз шагов за движением этого максимума без проверки невязок в других районах. Оценивается оптимальное число шагов мечеду проверками максимума невязки нэ глобальность. На трёхмерной гидродинамической зздзче таким способом получен выигрыш в 7,5 раз по затратам мзшшюго времени по сравнении с сеточным методом.

12. Предложен^ модификация метода Гэясркинз более экономичная при применении к нелинейным урзвнениям Нэвье-Стоксз,чем традиционная. 13. Введено понятие об информационном весе процесса для аздач физико-химической газовой динамики, осложнённых большим числом процессов. Предложена методике отсева несущественных процессов.

1Ч-. На задаче об истечении неравновесной сверхзвуковой струи в спутный поток для среды, имешей 50 квантовых уровней с помощ-ю модифицированных прямых методов, удалось получить увеличение быстроты счётз в 4-6 раз.

15. Для задач промышленной вентиляции характерно наличие малых по объёму, но существенных для течения в целом областей (сосредоточенные притоки и вытяяки, пограничные слои, струйные течения и вихри). Описать тзкие поля с помощью чисто сеточных функций затруднительно, особенно в трёхмерной «остановке. Применение гибридного сеточноензлитического описания и финитных анзлитических функций для течения в указанных «злых областях позволяет преодолеть эти трудности.

16. Решеяэ задаче о течении в пограничном слое плоской турбулентной струи не базе весьма общей модели: тензор турбулентных напряжений выражается через Градиент продольной скорости и тензор длин путей перемешивания. В расчете обнаружено смещение пограничного слоя, существование которого недавно подтверждено экспериментально. По быстродействию выигрыш (по сравнению с сеточный), в 5 ряв.

Г?* Решена с использованием модифицированного прямого метода зэдэча о взаимодействии ударной волны с турбулеятяыв пограничным слоем. Применение его позволило сократить затраты машинного времени по сравнению с сеточным методом нэ два порядка.

Обнаружено явление, которое названо индуктивным ускорением вычислений. Преложено специальное выражение для эволюционного оператора, ориентировонное на высокую жесткость этой задачи. Приведена методика вычисления относительной пропускной способности алгоритма с помощью получаемых невязок.

18. В задаче об истечении сверхзвуковой осесимметричной турбулентной струи в спутный поток принятая модель содержит: газодинамические урэвнеш1я,^-£ - турбулентность, химические реакции, колебательную неравновесность, лучистый перенос. Применение, изложенной выше технологии счёта, позволило сократить затраты машинного времени в 5-7,3 раз.

9. Сообщения и доклады.

Результаты этих исследований были изложены в 85 публикациях, включая депонированную монографию, з такие были доложены на следующих семинарах:

1. Семинар Г.И. Петрова в !Ш мехз.-.ики МГУ и НИИВШЛ7 (май 1981, май IS82, февраль 1984 г.).

2. Семинар H.H. Яненко (Кацивели, 1968, 1969, 1974 г.).

3. Семинар Л.А. Чудова и В.И. Полежаева в Институте Проблем Механики АН СССР (май 1982 г.).

4. Семинар К.И. Бзбенко в Институте Прикладной Математики АН СССР (февраль 1984 г.).

5. Семинар Н.С. Бахвалова в МГУ (апрель 1984 г.).

6. Семинар С.А. Лосева в НИИ механики МГУ (июнь 1983 г.).

7. Семинар О.М. Ь'злоцерковского в ВЦ АН СССР (апрель 1984 г.)

8. Семинар В.И. НеПмарка в Институте Прикладной Математики пси Горьковском государственном университете^эпрель 1984 г.).

9. Семинар С.А. Лосева по системе "Авогэдро" в НИИ механики МГУ (май 1988 г.).

10. Работа бнлз дпло'хенэ и обсуждалась нэ У! Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в г. Ташкенте (сентябрь 1986 г.).

10. Опубликовэнныз работы.

I.I. Вычислительным процесс и его оптимизация.

1. Ф.Н. Ясинский. О приближении функций в некоторых нормированных пространствах //Тез. докл. итог, нпучно-техн. конф. ИЭИ. -Иваново, I966.-C.4I

п №

2. Ф.Н. Ясинский. Об аппроксимации функций «з С с помощью системы изС"1"*, ортонормированной в ¡S" //Изв. вузов. Математика. . -1969.-II? I.-С. 106-108

3. Ф.Н. Ясинский. Об интегральном операторе //Некоторые диф-

ференциальные уравнения математическо физики и теории колебаний. Иваново: ИЭИ, 1970.-С.80-82

Ф.Н. Ясинский, Г.П. Поамгайло. Энтропийные оценки эффективности и оптимизация случай ного поиска //Тез. докл. итог, нэуч-но-техн. коаф. Иваново: ИЭИ, 1973.-С.10-11

5. Ф.Н. Ясинский. Об эффективности случайного поиска.//Труды Ивановского хим. технол. ин-та.-К? 18, 1975.С.3-5

6. Ф.Н. Ясинский, Г.И. Крюковз. Об эффективности статистического скорейшего спуска //Труды 'Ивановского хим.-технол. ин-та.-

18, 1975.-С.5-8

7. Ф.Н. Ясинский, С.Г. Ушаков. Программа решения обыкновенных дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутта с автоматическим изменением шэгз но способу Мерсонэ, Госфонд алгоритмов и программ И» П001137 от 10.12.74

8. Изучение эффективности статистических способов оптимизации Отчёт о НИР (Под рук. Ф.Н. Ясинского) //Ивановски и хим* —16 xiiо л« ин-тут, № г.р. 75019931, Инв. й Б598814. Иваново: 1977.-135с.

9. Ф.Н. Ясинский, Л.С. Кустачёвэ и др. Пакет программ для ЕС ЭВМ по статистической оптимизации и оценка их эффетивности //Численные методы и их реализация на ЭВМ.-Иваново: ИВГУ, 1978.-С.122-1

10. Ф.Н. Пси иски В. Вопроси статистической оптимизации. Доклад из Всесоюзной конференции НИЩ АН СССР, г. Пущино, февраль 1978 г.

11. В.Н. Цвнуйлова, Ф.Н. Ясинский. О сватии к восстэнсплении информации. Деп. 01.07.80 в ВИНИТИ, № 2766-80. Деп. рук. 1980,11! II

12. Ф.Н. Ясинский, Г.Г. Шпгинэ. Фильтрация в итерационных алгоритмах. Деп. 28.09.83 в ВИНИТИ, № 5560-83

13. Ф.Н. Ясикскай. Термодинамические методы в вычислительной математике. Монография. Деп. 18.07.83 в ВИНИТИ, К? 4040-83.-83с. 1

1.2. Прямые методы и гидродинамика.

1. Ф.Н. Ясинский. О приближенном интегрировании уравнений гидродинамики //Инженерно-физический журнал № 3.-1964.-С.105-110

2. Ф.Н. Ясинский. Применение метода Моите-Кэрло к исследованию течений вязких жидкостей //Изв. вузов, Химия и хим.техД» 6.-1964.-С. 1024-1025

3. Ф.Н. Ясинский. О применении вариационного метода к вихревым .течениям //Научные работы институтов охраны труда, раздел "Промышленная аэродинамика" X» 2, I965.-C.3-6

4. Ф.Н. Ясинский. Решение нелинейных краевых задач с помощью ЦЭВМ //Тез.докл.итог.научно-техн.конф. КЭИ. Ивэново:ИЭЙ,1967.-С.39

5. Ф.Н. Ясинский. О решении нелинейных краевых задач с помощью' метода Монте-Карло /Дез.докл.итог.научно-техн.конф.ИЭЙ, Иваново: га'/), 195В.-С.47-48

6. Решение о помощью метода Монте-Кэрло уравнений Рейнольдов для плоской турбулентной струи:отчет о ГИР (промежуточный)/ Ивановский энергевический ин-т; Рук. работы Ф.Н. Ясинский.ГР680168 Инв. Иваново: 1967.-93с.

7. Ф.Н. Ясинский. Решение нелинейных аэродинамических задач с помощью ЦЭВМ //Инженерно-физический яурнзл,- 1968.4.-С.689-692

8. Ф.Н. Ясинский. О применении метода Нонте-Кзрло к нелинейным аэродинамическим задачам //Изв. АН СССР, М2Г.-1968.-С.59-73

9. Ф.Н. Ясинский. Опыт применения метода Монте-Карло к нелипэй ним аэродинамическим задачам: Дис. ... канд.¡[.из.-мат.наук; Уч. Совет мех. фак. МГУ, М., 1959.■-148с.

10. Ф.Н. Ясинский. Опит применения метода Монте-Карло к нелиней ным аэродинамическим задачам. Автореф. дис. ... канд.физ.-мат.наук М., ОТ, 1968.-22с.

11. Решение с помощью метода Монте-Кэрло уравнений Рейнольдсз для пограничного слоя плоской турбулентной струи .-отчет о НиР/Ивэ-новскиИ энергетический кн-т; Рук. работы Ф.Н. Ясинский.-

№ ГР680168 ; Инв. й Б030618 .-Иваново, 1969.-42с.

12. Ф.Н. Ясинский. О трансзвуковом течении //Некоторые дифференциальные уравнения математической физики и теории колебаний.-Иваново: ИЭИ, 1970.-С.133-135

13. Ф.Н, Ясинский. О применении метода Гзлёркинэ ¡с нелинейным задачам //Тез.докл.итог.нзучно-техн.конф.ИЭИ.- Ивзново:ИЭИ,1971,-(М5-46

14. Г.И. Кракова, А.Т. ¡Парков, Ф.Н. Ясинский. Об оптимальном профиле устройств самотечного транспорта топлива и других сыпучих //Изв.вузов,Энергетика.-1973.-).'» 4.-С. 124-128

15. Ф.Н. Ясинский. Применение метода Монте-Карло к задаче о тэ-чении в погрзничном слое плоской турбулентной струи //Инвенерно- • физический хсурнэл.- 197?.-!;» 4.-С.725-728

16. Ф.Н. Ясинский. О применении методз Гзлёркинэ к нелинейным гидродинамическим задачам //Вопросы математической физики л теории колебзниЯ.-Иваново:ИЭИ.-1973.-вып.2.-С.3-9

17. Ф.Н. Ясинский. К вопрооу о численном моделировании турбулентности //Труды Ивановского химико-технологического института .-Ивэново:ИХТИ .-1976.-й» 19 .-С .3-6

18. ф.Н. Ясинский. Программы для уравнений Навье-Стоксз //Труды Ивановского хлмико-технологичэского института,- Ивзново:ИХТИ.-1976 2К? 2.-С.10-18

19. Изучение взаимодействия приточной турбулентной струи с ви-тявным факелом в ограниченном прос:'рэнстве:отчет о НИР /Ивановский хим.-техяол.ин-т. Рук. работы Ф.Н.Ясинский.-№>75024499; Инв.

№ Б467736.- Иваново, 1976.-50с

20. Ф.If.Ясинский. Модификация метода Гэлеркияэ и некоторые её применения г гидродинамике вязкой несжимаемой тадкости. Докл. на 5-й сессии Всесоюз. семинара по численным методам вязкой кидкости. Ктшвели, 1974г.

21. Ф.Н.Ясинский. Об одном классе точных решений уравнений Навье-Стокса //Численные методы механики сплошной среды.-1974.-* 5.-С.123-124

22. Ф.Н.Ясинский. О моделировании турбулентных течений //Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости.-М.:МГУ.-1977. -С.53-54

23. Ф.Н.Ясинский. Модификация метода Гэлеркинэ и её применение к исследованию переходных течений //АН СССР, МХГ.-Н? 3.-1975.-С. 184-185

24. Ф.Н.Ясинский, С.С.Кульнев. Динамическая модель турбулентного движения тадкости и её реализация на ЭВМ //Вопросы кинетики и

к этадиза.-Иваново:ИХТИ.-1978.-С.62-66

25. Ф.Н.Ясинский, С.Г.Ушэков. Об одном способе моделирования турбулентных движений вязкой несжимаемой жидкости //Инженерно-физический журнал.-1979.2.-С.377-368

26. Ф.Н.Ясинский. Прямые методы в нелинейных задачах. Опыт оптимизации вычислений. Деп.19.06.81 в ВИНИТИ, ft 2971-81. Деп.рук. 1981.- }>. Ю.- б/о 452

27. Т.В.Сокольская, В.Н.Кисельяиков, 'Ф.Н.Ясинский. Численное моделирование трехмерного движения твердой фазы в осесимметричном аэродинамическом поле //Изв.вузов. Химия и хим.тех.-1980.т.23.-ft 5 С. 63 3-636

28. Т.В.Сокольскэя, Ф.Н.Ясинский, В.Н.Кисельников, С.Г.Ушэков. К расчету цилиндрических циклонных аппаратов. Деп.ЗО.Ю.Юв ВИНИТИ ft 4627-80

¿9. Т'.В.Сокольсквя, Ф.Н.Ясинский, С.Г.У каков, В.Н.Кисольвиков. Исаледование аэродинамики аппарата циклонного типа на ЦВ!1 //Изв. вузов, Химия и хим. технол..-1981.-И.24.-№ 9.-C.II63-II68

30. Ф.Н.Ясинский. Метод оптимального риска. Деп. 19.06.81 в ВИНИТИ.-1981.- К» 2972-81, Деп.рук..-I98I.-№ К), б/о 300

31. Ф.Н.Ясинский. Об одном стохастическом алгоритме решения уравнения Навье-Стокса. Деп. 28.06.82 в ВИНИТИ.-й 3328-82.- бо.

32. Т.В.Сокольская, В.Н.Кисельников, Ф.Н.Ясинокий, С.Г.Ушаков. К расчету процесса осагдения в аппаратах циклонного типа. Деп. 30.10.80 В ВИНИТИ; ft 4627-80

33. Исследование методов " -средств ссзд;:::тя и контроля комфортных условий нв производстве. Вычисление аэродинамических полей в цехах промпредприятий (тема Ш-4 по координационному плану Минвуза CCCF): Отчет о HHP /Ивановский хис.-тзхнол. ин-т; Рук.работы

Ф.Н. Ясинский.ГР8Ю37015; Ияв. К? Б942499.-Ивэново, 1981.- 53 с.

34. Разработка математического обеспечения ВС ЭВМ для вычисления аэродинамических, температурных и токсических полей в производственных помещения х: Отчет и НИР / Ивановский хим.-техноя. ин-т; Рук. работы Ф.Н. Ясинский.- » ГР8Ю72149; Инв. II»БЭ^735.-Иваиово, 1983,- 66 с.

35. Ф.Н. Ясинский. Некоторые стохастические алгоритмы з механике сплошных соед /Изв. АН СССР. ИГ.- 1982.- К? 5

36. Ф.Н.Ясинский. Некоторые пути оптимизации алгоритмов в задачах гидродинамики. Докл. в Мнет, проблем механики АН СССР, на семинаре проф. Л.А.Чудова и В.И.Полежаева 31.05.82

37. Ф.Н.Ясинский, I!.В.Угарова, С.П.Шадрин. Об одном простом спо собе ускорения сходимости итерационных процессов для уравнений Нввье-Стоксэ. Деп.09.03.85 в ВИНИТИ. № 1199-83

38. Н.В.Угаровэ, Ф.Н.Ясинский. Сравнение эффективности методов Рунга-Куттэ и Нейгауз. в нелинейных зэд^чзх механики. Деп.09.03.83 в ВИНИТИ. № 1200-83

39. Л.С.Хэлезов, Ф.Н.Ясинский. О численном моделировании аэродинамических, тепловых и токсических полей в производственных помещениях /Проблемы разработки и совершенствования систем воздухообмена. - Иваново: ИвТИ.-1982

40. Ф.Н.ЯсинскиИ.Модифицированные прямые методы для решения нелинейных гидродинамических задач. (Доклад и тезисы доклада на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, 29.09.86)

41. В.П.Миронов, А.П.Мураков, Ю.А.Шипов, Ф.Н.Ясинский. Математическое моделирование тепломзеообменных процессов в системах кондиционирования воздуха при искусственном обогащении воды и воздуха озоном //Охрэнэ труда и окружающей среды на предприятиях текстильной промышленности: Меявуз,сборник науч. трудов.-Иваново:ИХТИ, 1987.- С.43-54

1.3. Молекулярная динамика и течения, осложнённые физико-химическими процессами. ■

1. В.П.Морозов, Ф.Н.Ясинский. Определение силовых постоянных многоатомных молеку л с помощью метода Монте-Карло //Докл. АН УССР Серия А. ф из.-техн. нэуки.1968.- й 9.- С.838-842

2. Л.И.Зэкуринэ, Л.С.Кустэчёвэ, Ф.Н.Ясинский. Программа имитации большой молекулярной системы //Вопросы кинетики и катэлиза.- Иваново :ИХТИ.-1976.-С. 80-83

3. Й.С.Евстигнеева, В.А.Талановэ, Ф.Н.Ясинский. Разностные схемы для моделей молекулярной системы и её реализация не ЭВМ //Чис-

ленные методы и их реэлизиция нэ ЭВМ.- Иваново:ИвГУ.-1978.-С.92-121

4. В.П.Васильев, Ф.Н.Ясинский. Уранения для пересчета тепловых эффектов нэ нулевую ионную силу /Дурнзл неорганической химии АН СССР.- 1978,- » 3.-С.579-584

5. В.А.Тэлэновз, Ф.Н.Ясинский.О численном моделировании процессов в длухкоыпанеитной среде //Вопроси кинетики и катализа.-Иввново:ИУГИ.-197В.-С, 58-44

6. В.Д.Таланова, Ф.Н.Ясинский. Об усилении предлокенного алгоритма //Вопросы кинетики и катализа.-Иваново:ИХТИ.-1979.-С.49-52

7. А.И.Максимов, Л.С.Нустэчевэ, В.Ф.Соколов, Ф.Н.Ясинский. Расчёт функции распределения по скоростя» электронов, дрейфующих в электрическом поле, методом Монте-Карло. Постановка задачи. Расчёт для модельных условий (двумерный случай). Деп. 20.07.79 в ВИНИТИ

И? 2836-79.-Но. Деп.рук. № 12, б/о 631, 1979

* 8. А.И.Максимов, В.Ф.Соколов, В,А.Таланова, Ф.Н.Ясинский. Опыт вычисления функции распределения электронов в плазме при помощи метода Монте-Карло.(Трехмерный случай). Деп. Ix.05.79 в ВИНИТИ,18с. № 1677-79. Деп.рук. 1979. й 9 раф. № 257

9. Ф.Н.Ясинский. Метод молекулярного хаоса. Докл. на Всесоюзной копф. НИВЦ АН СССР в биолог.центре АН СССР,г. Пущино.феврзль 1980 г

10. Р.Л.Таланова, Ф.Н.Ясинский. Ускоренные алгоритмы молекулярной динамики. Докл. на Всесоюзной конф. НИВЦ АН СССР в биолог, центре АН СССР, г.Пущино, февраль 1980 г.

11. Ф.И.Ясинский, Метод молекулярного хаоса. Деп. 22,04.80 в ВИНИТИ, й 1580-60. Деп.рук. 1980. 1й 8, б/о 328

12. В.^.Таланова, Ф.Н.Ясинский. Алгоритм вычисления вязкости. Деп. 05.Ю.79 в ВИНИТИ, № 4086-79. Деп.рук. 1980, й 3, б/о 296

15. В.А.Талэнова, Ф.Н.Ясинский. Ревлизвиия ускоренных влгорит- . мов молекулярной динамики. Деп. 31.08.79 в ВИНИТИ. № 3180-79. Деп. рук. 1979; № К, б/о 771

14. В.А.Талэиова, Ф.И.Ясинский, Об установлении структуры близости в задачах молекулярной динзмики. Деп. 02.04.81 в ВИНИТИ; 9с. 1й 1473-81. Деп.рук. 1981, X» 7, б/о 458

йык

15. Ф.Н.Ясинский. Пути построения экономичввкй-к алгоритмов молекулярной динамики //Проблемы сольватации и комплексообразования.-ЯвановогИХТИ, 1980.- С.200-203

16. В.А.Твлэновв, Ф.Н.Ясинский. Об эффективности Переменного шага в задачах молекулярной динамики. Деп. 12.04.82 в ВИНИТИ, 12 с.

к 1756-82 ' • -

Г?. Н.В.Уггровэ, Ф.Н.Ясинский. Метод М.Г. Нейгауз в задачах мо-

лекулярной динамики и динамических моделях турбулентности. Дел. 11.02.82 в ВИНИТИ, Й 619-82

18. 3.В.Куликовская, Ф.Н.Ясинский. Модель вычислительной системы для решения зздач молекулярной динамики. Дап. 18.03.82 в ВИНИТИ № 1217-82

19. Л.С.Кутачсва, Ф.П.Ясинский. Об одном способе ускорения вычисления кристаллических структур. Деп. 29.03.83 в ВИНИТИ.й 1544-83

20. Л.С.Кустачёвэ, Ф.Н.Ясинский. Об оптимальной разностной схеме в задачах молекулярной динамики //Вопросы кинетики и катализа.-Ивэноьо:'ЯТИ.'-1982. -С. 42-54

21. В.В.Будэнов, Л.С.Кустачёвэ, И.Н.Соколовэ, Ф.Н.Ясинский. Расчет констант скоростей элементарных стэдей процесса восстановления методом случайного поиска //Изв.вузов.Химия и хим.технология, 1984.- т.27.-в1д1.1

22. У.В.Куликовская, Ф.Н.Ясинский. О решении задач молекулярной динамики на .многомашинном комплекса ЭВМ //Методы вычислений, теоретические основы и алгоритмы.-Ивэново:ИвГУ.-1983.-С.66-71

23. Создание алгоритмов и программ ускоренного расчета элементов газодинамических задач: Отчёт о НИР (промежуточный)./Ивзновский текст, ин-т; Рук. рэботы Ф.Н.Ясинский, № ГРО185.0040549; Инв.

КЗ 0285.0024708.-Иваново, 1985.-89с.

24. Создание алгоритмов и программ ускоренного расчета элементов газодинамических задач: Отчет о НИР (заключительный)./Ивановский текстильный ин-т; Рук. работы Ф.Н.Ясинский.- К? ГРО 185.0040549, Инв. й 0185.0040549.-Ивэново, 1986.-209с.

25. Ф.Н.Ясинский (рук. работы), Э.Л.Комаров, Н.Н.Романова. Создание быстрых алгоритмов для задач физико-химической газовой динэ-мики. Промежуточный отчет I, ИвТИ, Иваново.-1986

Подтема межвузовской программы "Автоматизация научных исследований" )й 4.3.13. Разработка ускоренных методов решения костких систем дифференциальных уравнений в генераторе моделей среды АСНИ„Авогадро'.'

26. Э.Л.Комаров, В.Н.Макаров, Н.Н.Романова, Ф.Н.Ясинский. О построении быстрых алгоритмов для зздзч релаксационной газовой динамики //Физико-шмческэя кинетика в газовой динамике.- М.;1986.-С. 109-114

27. Н.Н.Романова, В.¡¡.Макаров, Ф.Н. Ясине кий. Образование инверсии нэселённостей колебательных уровней энгармонических молекул при прохождении через неравновесный гзз косой ударной волны //Физико-химическая кинетика в газовой динамике.- !.!.:'.!ГУ. 1986.-С. 150-154

28. Создание быстрых алгоритмов цяя решения зэдвч определения полей концентраций и температур в газодинамических течениях. (Соз-

цяние быстрого алгоритма для расчёта полей концентраций и температур в изобарической осесимметричной струе). Отчет о НИР (промежуточный) /Ивановский текст, ин-т; Рук. работы Ф.Н.Ясинский № ГР 0187.0023498; Инв. № 0287.0063203.-Иваново: 1987.-75с.

29. Создание быстрых алгоритмов для решения задач определения полей конивятращ-Я и температур в газодинамических течениях. (Создание программы для решения задач определения полей концентраций и температур в неизобарических осесимметричных струях). Отчет о НИР (промежуточный) /Ивановский текст, ин-т; Рук. работы Ф.Н.Ясинский

№ ГР0187.0023498; Инв. № 0287.0089984.-Иваново: 1987.- 57с.

30. Создание быстрых алгоритмов для решения задач определения полей концентраций и температур в гэ зодинамических течениях. (Создание программ для решения задач определения полей концентраций и температур в неизобэрических осесимметричных струях с учётом рвлвксэции). Отчёт о ИР (промежуточный) /Ивановский текст, ин-т; Рук. работы Ф.Н.Ясинский, № ГР0187.0023498: Инв. № 0288.0059888.-Иваново: 1988.- 62с.

31. Создание быстрых алгоритмов для реиенкя задач определения полей концентраций и температур в газодинамических течениях. (Создание окоячвтэльного варианта программы для решения зэдвч определения полей концентраций и температур в неизобэрических осесимметричных струях с учётом релаксации и радиации). Отчёт о НИР (итоговый) /Ивановский текст, ин-т; Рук. работы Ф.Н.Ясинский, й ГРОШ.0023498 Инв. № 0288.Ш7В028.- Иваново: 1988.- 125с.

Подписано к печати Т2.02.90 г. Формат бумаги 60x84 Т/Т6. Печ.л. 2. Усл.п.л. 1,86. Ж-02023. Заказ 499/р. Тира* 100 экз.

Типография УУЗ Минэнерго СССР, г. Иваново, ул. Ермака, 4Т