Новые точные решения в матричных и статистических моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Шакиров, Шамиль Ринатович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики
на правах рукописи
Ы- тЛ»"-
Шакиров Шамиль Ринатович
НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В МАТРИЧНЫХ И СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2011
4849153
9 ИЮН 2011
4849153
УДК 530.12
Работа выполнена в ФГУП "ГНЦ РФ ИТЭФ", г.Москва.
Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Морозов А.Ю.
(ФГУП «ГНЦ РФ ИТЭФ», г.Москва) Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук Горский А.С.
Защита диссертации состоится "21"июня 2011 г. в "14"часов на заседании диссертационного совета Д 201.002.01 в конференц-зале «ГНЦ РФ ИТЭФ» по адресу: г.Москва, ул. Б.Черемушкинская, д.25.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту shakirov@itep.ru
Автореферат разослан "23"мая 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
(ФГУП «ГНЦ РФ ИТЭФ», г.Москва)
доктор физ.-мат. наук Чехов Л.О. (МИАН, г.Москва)
Ведущая организация: ИТФ им. Л.Д.Ландау РАН, г.Москва
кандидат физ.-мат. наук
1. Общая характеристика работы 1.1. Актуальность темы
Диссертация посвящена построению новых точных решений в хорошо известных многочастичных моделях статистической физики. Объектом изучения в рамках данной диссертации являются системы (статистические ансамбли) из N частиц, которые взаимодействуют друг с другом с заданной потенциальной энергией взаимодействия U(x ь... ,xn), где х\, ...,хц - координаты частиц. Физически интересными величинами в таких моделях являются статистические средние: среднее положение частиц (^xj, дисперсия (х2^ — (^х^ , средняя энергия и другие аналогичные величины.
Точное вычисление средних величин (также называемых корреляторами) является сложной задачей. Для ее решения, вообще говоря, не известно универсальных математических методов, за исключением тех простейших случаев, когда потенциал U(xi, • •.,алг) квадратичен (Гауссов). По этой причине для изучения статистических средних применяются различные приближения: например, термодинамический предел (предел больших N) или квазиклассическое приближение (предел малых h для U >->• U/H).
В некоторых случаях, используя специфические для конкретной модели методики и приемы, удается вычислить точно некоторый коррелятор или целое семейство корреляторов. Такие точные решения, естественно, позволяют получить о модели больше информации, нежели любые приближенные; и в этом состоит их ценность. Кроме этого, точные вычисления статистических интегралов могут содержать в себе новые математические идеи и поэтому представляют интерес также и с точки зрения чистой математики.
В настоящей диссертации с использованием оригинальных методик полу-
чен ряд точных решений в нескольких статистических моделях, в основном относящихся к классу так называемых матричных моделей. В таких моделях координаты частиц интерпретируются как собственные значения некоторой матрицы, а потенциал взаимодействия следует из естественной меры интегрирования на пространстве матриц и, как правило, является попарным логарифмическим отталкиванием.
Простейшим и в то же время репрезентативным примером таких моделей является Эрмитова матричная модель, в которой основной динамической величиной является N х N Эрмитова матрица ф, а наблюдаемые величины представляют из себя SU (ЛГ)-инвариантные статистические средние от следов степеней этой матрицы
где V - произвольный потенциал. Как легко показать, при переходе от матричной переменной ф к ее собственным значениям эта модель принимает вид статистической системы из N частиц на прямой с координатами х\,... которые помещены в общий потенциал V(x) и попарно отталкиваются друг от друга-по логарифмическому закону
Впервые модели такого типа изучались еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, которых интересовало применение таких моделей к вычислению распределения уровней энергии атомных ядер. Впоследствии выяснилось, что матричные модели обладают целым рядом других приложений, подчас весьма далеких от исходной задачи о спектрах ядер: квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста [1], квантовая гравитация [2], теория струн [3] и
NxN
Ufa,..., xN) = - У(Xi) + J2 lQg - x312- (2)
i i<j
интегрируемые системы в физике [4,5], теория чисел и комбинаторика графов [6] на двумерных поверхностях в математике - вот лишь некоторые из этих приложений.
Далеко не во всех из этих приложений достаточно использования стандартных приближенных методов; часто оказывается, что необходимая детальная информация о свойствах конкретной модели не может быть получена в рамках известных приближений. Прогресс в точном (не приближенном) вычислении корреляторов в матричных и статистических моделях, таким образом, может стимулировать продвижение в целом ряде областей современной физики и математики. Это является одним из факторов, обосновывающих актуальность выбора темы диссертации и полученных в ходе исследования результатов.
Наконец, построение и изучение точных решений актуально еще и потому, что они позволяют вычислить физически интересные асимптотики, которые трудно или вообще невозможно вычислить приближенными методами. Иллюстрацией этого феномена является статистическая модель двумерного Дайсоновского газа [7-9], которая представляет из себя систему изИ частиц на плоскости с координатами х\,..., 2'jv; у\,..., ум и потенциальной энергией
U(x1,yu...,xN,yN) = -J2 (х- + yf) + 1о§ [(®< ~ хзf + (Vi ~ Уз?} ■ (3)
г i<j
Одной из физически интересных величин в данной модели является средняя энергия кулоновского взаимодействия частиц системы
= (jC1°S - + (w - ) • (4)
Используя стандартные термодинамические методы, несложно получить ли-
дирующую асимптотику при числе частиц стремящемся к бесконечности
однако последовательное вычисление 1/N поправок к данному термодинамическому результату представляет существенные трудности. В настоящей диссертации мы строим Едг как точное решение конечно-разностного уравнения в гипергеометрических функциях. Полученное точное решение позволяет вычислить поправки до любого порядка малости по 1 /N, подтверждая таким образом ценность данного подхода в конкретных приложениях и общую актуальность выбора темы диссертации.
1. 2. Цель диссертационной работы
Целью данной диссертации является получение точных решений для корреляторов (средних) в статистических и матричных моделях. В частности,
1.2.1. Вычисление точных корреляционных функций в Эрмитовой модели в Гауссовом потенциале У{ф) = ф2/2, то есть, производящих функций для 5С/(Аг)-инвариантных корреляторов вне всевозможных приближений (т.е. при произвольном конечном N)
1 N2
EN ~ -NHnN - — +
N2
• I
(6)
NxN
Рассматриваются следующие три типа производящих функций, отличающихся выбором веса суммирования: стандартные (также известные в теории мат-
ричных моделей как резольвенты)
ОО ОО л 1
Е-ЕИ1-* ё-)* - ■ • * = (tr ТЗ^ • • •tr т^-ф) • w >1=0 im=0
экспоненциальные производящие функции
00 00 U im
J2 ■ ■ ■ Е (tr • • •tr f[ ■ ■ ■ Г( = (tr • • •tr e* 7 (8)
11=0 tm=0
и Харер-Цагировские производящие функции
(tr Erf (л10) ... tr Erf (zm0) ^, (9)
где Erf(a-) = ^ x2k/(2к — 1)!! - модифицированная функция ошибок. Целью данной диссертации является вычисление вышеописанных m-точечных корреляционных функций и идентификация математических структур, которые адекватно отражают их свойства.
1.2.2. Вычисление средней Кулоновской энергии
Eif=/^l0g\zi-zj\2^, (10)
которая представляет собой энергию отталкивания частиц двумерного Дайсо-новского газа - статистической системы из N частиц на плоскости с комплексными координатами z\,...,zfjvi потенциальной энергией взаимодействия
U(zь = Ы2 + 0j>g N - Zj\2 (11)
i i<j
при специальном значении параметра /3 (заряда частиц) равном единице.
Получение точной формулы для Ejy при конечном и произвольном N, а также исследование термодинамического предела N —> оо. В термодинамическом пределе целью диссертации является установить, входят ли полуцелые степени 1/N в асимптотическое разложение £дг при больших N, а также вычислить нескольких первых членов асимптотического l/iV-разложения
величины En и показать принципиальную возможность вычисления этого разложения до произвольного порядка.
1.2.3. Нахождение интегрального представления для статсуммы Zhk модели Гурвица, которая определяется как
иногда называется гамильтонианом Калоджеро.
Вышеописанное определение статистической системы имеет глубокие корни в современной теории струи [3]. Коэффициенты разложения вышеопределенной статсуммы Zhk в РЯД по переменным х\,...,хц называются числами Гурвица [10] и отвечают на вопрос о числе накрытий сферы произвольной ри-мановой поверхностью, с одной сложной и фиксированным числом простых точек ветвления. Целью диссертации является дать более физическое представление для этой статсуммы в виде матричного интеграла по Эрмитовой матрице ф (или, что то же самое, в виде статистического интеграла по ее собственным значениям Aj,..., Ajy). Такое интегральное представление, с одной стороны, предоставляет возможность по изучению теории накрытий сферы физическими методами, и наоборот, открывает новые перспективы применения теории римановых поверхностей в статистической физике.
(12)
где дифференциальный оператор
(13)
1. 3. Результаты и положения, выностмые на защиту
1.3.1. Получены явно формулы для 1,2,3-точечных функций ^tr Erf (х\ф) ^ (tr Erf(ar^)tr Erffaj)}, (tr Erf(a-^)tr Erf(z20)tr Erf(x3^>) в Эрмитовой модели, вне рамок всевозможных приближений. Эти корреляционные функции выражены явно через элементарные функции (арктангенс), и сформулирована гипотеза о том, что весь этот класс корреляционных функций для произвольного числа вставок выражается через элементарные функции.
1.3.2. Для других типов корреляционных функций (экспоненциальные функции, резольвенты) получены явные интегральные выражения, изучена структура этих выражений с точки зрения теории ортогональных полиномов.
1.3.3. Показана возможность применения вышеописанных точных решений к вычислению физически интересных асимптотик в нашей модели, в частности, широко известной полу круговой асимптотики Вигнера [11].
1.3.4. Средняя Кулоновская энергия отталкивания £jv в двумерном Дай-соновском газе при /3=1 представлена как решение конечно-разностного уравнения. Используя методы комбинаторного анализа, получено точное решение этого уравнения в терминах гипергеометрической функции тилаз-Рг.
1.3.5. Вычислено асимптотическое разложение данного точного решения Ej\r при больших N вплоть до порядка 1/N2, а также продемонстрирована принципиальная возможность вычисления этого разложения до произвольного порядка. Установлено, что разложение идет по полуцелым степеням 1/N.
1.3.6. Получена явная формула для потенциала в модели Гурвица, как в терминах матричной переменной ф, так и в терминах статистических переменных Ai,..., Ajy (собственных значений). Потенциал представлен в виде ряда, общий член которого выражен через числа Бернулли. Найдена точная сумма ряда в терминах тригонометрического детерминанта Вандермонда.
1. 4. Научная новизна и практическая ценность
1.4.1. Полученные точные формулы для 1,2,3-точечных корреляционных функций в Гауссовой Эрмитовой модели являются первым известным примером точных производящих функций для матричных корреляторов, которые являются элементарными.
1.4.2. Полученная точная формула для средней Кулоновской энергии Ел в двумерном Дайсоновском газе при /3 = 1 позволила вычислить термодинамическую асимптотику (предел больших N) до порядка 1 /N2, что не удавалось сделать иными методами.
1.4.3. Полученная точная формула для потенциала в модели Гурвица предоставляет новую возможность исследовать математические объекты (числа Гурвица и римановы поверхности) физическими методами. Прогресс в направлении расширения связей между теоретической физикой и математикой, достигнутый в последние десятилетия исследовательскими группами по всему миру, показывает что такая возможность обычно является плодотворной и для физической, и для математической наук.
1. 5. Апробация диссертации
Апробация диссертации и публикации. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения" (Казань, 2004 г.); IV,V,VI,VII международные школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике для одаренной молодежи (Киев, 2004, 2005, 2007,2008 гг.); 4th International Workshop "Quantum Particles and Fields" (Baku, September 19 - 24, 2005 ); 43rd
International School of Subnuclear Physics (Erice, Italy, 29 August - 7 September 2005 ) Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Trieste, Italy, July 2008); 46rd International School of Subnuclear Physics (Erice, Italy 29 August - 7 September 2008 ); Second International Conference on String Field Theory and Related Aspects(Moscow, April 2009); 2nd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Trieste, Italy, July 2009). По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ.
1.6. Структура и объем диссертации
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Список литературы содержит около 55 наименований. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.
2. Содержание работы
Данная диссертация объединяет решение трех различных научных задач, связанных общей концепцией вычисления точного решения и его дальнейшего применения к различным прикладным аспектам рассматриваемой задачи. В соответствии с этим, основная часть диссертации состоит из трех глав. Изложим вкратце содержание каждой из них.
Глава 1 посвящена решению задачи о вычислении точных корреляционных функций в Гауссовой Эрмитовой матричной модели, корреляторы в которой представляют из себя SU(^)-инвариантные статистические средние
Глава начинается с введения в теорию Эрмитовой модели [12,13] и описания основных ее свойств, таких как соотношения между полными и связными корреляторами, тождеств Вирасоро [15], интегрируемости и уравнения Тоды [16]. После изложения этого известного математического аппарата, вводятся три типа производящих функций (7),(8), (9) и ставится задача о точном (вне всяких приближений) вычислении этих функций. Несмотря на то, что Эрмитова матричная модель без всякого сомнения является одним из наиболее изученных примеров матричных и статистических моделей, основное внимание исследователей длительное время было сосредоточено на исследовании структур и свойств, которые присущи системе в "термодина-мическом"пределе больших N. Свойства системы при конечных N изучались не столь тщательно, и по этой причине решение поставленной задачи не содержится в литературе. Результаты диссертации являются новыми и представляют из себя существенное продвижение в решении этой задачи.
(14)
NxN
Единственный известный ранее частный случай данной задачи был разобран Харером и Цагиром [17,18]. Ими было найдено точное решение для семейства одноточечных корреляторов
(tr ф2) = 7V2,
(tr ф4) = 27V3 + N,
(tr ф6) = 5JV4 + 107V2,
(tr = 147V5 + 70TV3 + 217V,
(tr ф10} = 427V6 + 4207V4 + 4837V2,
(tr = 132TV7 + 23107V5 + 64687V3 + 14857V,
(tr ф14J) = 429iV8 + 120127V6 + 660667V4 + 566287V2.
Точное решение Харера-Цагира имеет вид
(tr ф2к) Л j
= коэффициент при в функции х _ Л(1 _ л) _ (1 + л)да-
Первая глава диссертации посвящена обобщению этого результата на случай многоточечных корреляционных функций. Используя аппарат интегрируемых уравнений Тоды и тождества Вирасоро, в главе выводится аналогичная формула для семейства 2-точечных корреляторов (здесь приводится только семейство нечетных корреляторов, для семейства четных корреляторов ре-
шение аналогично и приводится в тексте главы)
tr ф tr ф) = N (tr ф tr ф^ = 3N2 (tr ф tr ф5)> = ION3 + 5JV, (tr фа ф7) = 357V4 + 702V2, (tr tr ф3J) = 12iV3 + 32V, (tr <^3 tr ф5J> = 452V4 + 602V2, (tr # tr <j!>7^ = 1682V5 + 6302V3 + 1472V, (tr ф5 tr = 1802V5 + 6002V3 + 1652V, (tr ф5 tr = 7002V6 + 49002V4 + 47952V2,
(tr ^2i+1tr
которая имеет вид
(2i + l)!!(2j + l)!!
коэффициент при х2<с+1г/2т+1А^
( хуу/\ - 1
arctan f
^А-1 + (А+1 ){x* + y*)J
в функции —-——-, -—.
(Л — I)3/2 уа-1 + (а + 1)(х2 + у2)
Следует подчеркнуть, что существование решения в элементарных функциях не являлось а-приори ожидаемым свойством модели, напротив, ожидалось что с увеличением числа аргументов точная корреляционная функция (вне разложения по родам!) перестает принадлежать классу элементарных. Данное явное решение представляет из себя контрпример и показывает, что свойство элементарности сохраняется при увеличении числа аргументов.
Далее, приводится (ввиду некоторой громоздкости, без подробного решения соответствующих дифференциальных уравнений) выражение для 3-
точечной корреляционной функции. Эта функция также принадлежит к классу элементарных, что позволяет выдвинуть гипотезу, что все семейство корреляционных функций Харера-Цагира в Эрмитовой модели являются элементарными и выражаются как линейные комбинации определенного вида арктангенсов. Это совершенно новое свойство модели, не известное ранее.
Затем от этих формул, описывающих корреляционные функции типа (9), производится переход к корреляционным функциям типа (8), для которых выводится интересная система ортогональных полиномов с локальной мерой и контурно-интегральные представления, также вплоть до 3-точечных функций. Наконец, функции типа (9) применяются к вычислению стандартных корреляционных функций типа (7) в рамках разложения по роду (петлевого разложения), что показывает применимость в данном случае техники точных корреляционных функций к решению стандартных задач в этой области.
Глава 2 посвящена решению задачи о вычислении средней энергии Куло-новского отталкивания в двумерном Дайсоновском газе - системе N частиц на плоскости с комплексными координатами z\,..., z^ и потенциальной энергией (11). Средняя Кулоновская энергия дается коррелятором в этой модели
который представляет из себя 2М-кратный интеграл, содержащий логарифмы. Непосредственное вычисление такого интеграла для произвольного конечного N непросто. Для решения этой проблемы нами применен известный и хорошо зарекомендовавший себя в статистической физике метод реплик:
Это преобразование позволяет избавиться от логарифмов под знаком интеграла и свести задачу к усреднению полиномов в экспоненциальном фоне,
(15)
(16)
то есть, по сути, свести ее к Гауссовым интегралам. Дальнейшее упрощение состоит в выборе специального значения параметра /9 = 1, после чего устанавливается, что коррелятор едг(е) удовлетворяет рекурсионному соотношению
(iV + 1)(е + 27V + 3)(е + 27V + 4)ejv(c) -
- 2(12 + 34iV + 2QN2 + 6N3 + 5е + lOiVe + 4iV2e + e2 + Ne2)eN+i{e) + .
+ (N+ 1)(12N2 + 38N + 4Ne + e2 + 5e + 24:)eN+2{e) -
-4(JV+2)(N + l)2eN+3(e) = 0. (17)
Используя это соотношение и метод реплик
eN(e) = N(N~1)+eEN + ... (18)
восстанавливается уравнение, которому удовлетворяет сама средняя Куло-новская энергия:
2(2N + 3)(N + 2j(N + l)Eu-- 4(N + 2)(3N2 + 7N + 3)En+i + + 2(N + 1)(6N2 + 19N + 12)Ejv+2 -
- 4 (N + 2 )(N + l)2^+3 + (3 N + 5 )(N + 1) = 0.
(19)
Затем выводится точное решение этого уравнения
N2t>(N) TV2 3N 1 Nj = 2 Т + ~4~ + 4 + Т"
Г (ЛГ + 3/2) _ / 1, TV — 1, TV 4- 3/2
Г (TV + 2) Г (3/2) у TV 4- 2, TV 4-1 вычисляется его термодинамическое разложение при больших TV
АГ-У2 1Q7TV"3/2 ТУ~2 + 30VtF ~ ЗЗбОч/тг + 240 + " '
и делается вывод, что в термодинамическом пределе разложение идет по полуцелым степеням 1/7V. Это неочевидное свойство модели, которое прежде не удавалось вывести приближенными методами, непосредственно следует из полученного точного решения.
Глава 3 посвящена решению задачи об интегральном (статистическом) представлении для статсуммы модели Гурвица, определяющейся выражением
ZHK = exp(^HjeXl+-+x", (20)
где дифференциальный оператор
по существу совпадает с гамильтонианом хорошо известной системы Калод-жеро. Ключевым шагом в решении этой задачи является переход от переменных х\,..., acjv к матричной переменной i/>, собственными значениями которой они являются.
При этом дифференциальный оператор Я принимает простой вид
и может быть представлен как матричный интеграл с помощью тождества Jexp ф2 + V(0,t) + tr = exp ^ tr Л2^ , (23)
где матричный оператор Л = г^тгг^, а V(<£, £) - неизвестный искомый потен-
дф1
циал модели Гурвица, который возникает в силу некоммутативности элементов матрицы А (для матрицы с числовыми элементами это тождество было бы верно при У(ф,{) — 0 в силу Гауссова интегрирования).
Стартовой точкой в решении задачи являются, как это часто бывает в теоретической физике, симметрийные соображения. В данной модели наиболее общий вид потенциала У(ф), которого можно ожидать в силу SU(N)-инвариантности, имеет вид ряда по инвариантным величинам - следам степеней матрицы, tr ф1:
У(ф, t) = a(t) + Qf(t) tr ф{ + ay(t) tr 4? tr ф> + aijk(t) tr <? tr ф> tr фк 4-...,
несколько (вообще говоря, любое наперед заданное количество) первых членов в котором можно вычислить непосредственно, используя разложение матричного интеграла (23) в ряд по степеням t и учитывая в каждом порядке
эффекты некоммутативности элементов матрицы А. Это вычисление дает
ПФ, 0 = -^(JV2 - 1) + itr ф2tr ф° - Itr фНт ф1 - — tr ^4tr 0°+
+4tr ^ ~ gS>tr ^ ^ + Шй* ^ - Wr ^ ^ + ■' ■ ■
Все вычисленные таким образом коэффициенты описываются формулой
„(♦,,)_-£«(«•-„+ £ i^y^f tr # tr ф1,
(ij)>(0,0) 1
где Bk - это числа Бернулли,
#2 = Bi = — —, В6 = #8 = -777Г; #10 = В\2 =
, . . , ,
6' 4 30' 42' 3 30' 66' " 2730 определяющиеся своей производящей функцией
DO
УBkzk/k\ = ,z/2coth(jz/2) - 1. к=2
Таким образом найден (пока без доказательства) точный потенциал модели Гурвица. Используя тождество (23), для самой статсуммы модели Гурвица имеем интегральное представление
ZHK= J #exp(-J-tr04V(<M) + tr(e^№/fy)). (24)
NxN
Этот интеграл допускает еще несколько упрощений. Во-первых, можно точно просуммировать ряд чисел Бернулли в тригонометрических функциях:
У tr ф* tr ф? = У] (Ф®1-1®ФУ
^ 2(i + j)i\i\ 2m ■ ml '
i+j> 2
2 I J
так что интеграл примет вид
Во-вторых, можно перейти от интеграла по матричной переменной ф к интегралу по собственным значениям Ai,..., Адг. При этом интеграл примет вид
У ^ Д^ exp - ^ £ А? ——Е - 'т++£е Ч •
кJ J \ i=l 1=1 1=1 /
Таким образом, поставленная задача о нахождении интегрального представления для статсуммы Гурвица (изначально известной лишь в форме (20) ) полностью решена. Полученное интегральное представление может быть полезно при дальнейшем исследовании теории Гурвица и связаных областей.
Публикации автора по теме диссертации
1. Sh.Shakirov, Exact solution for mean energy of 2d Dyson gas at p = 1, Phys.Lett.A375 (2011) 984-989, arXiv: 0912.5520
2. A.Morozov and Sh.Shakirov, Exact 2-point function in Hermitian matrix model, JHEP 0912 (2009) 003, arXiv: 0906.0036
3. E.Akhmedov and Sh.Shakirov, Gluings of Surfaces with Polygonal Boundaries, Funkts. Anal. Prilozh. 43:4 (2009) 3-13, arXiv:0712.2448
4. A.Morozov and Sh.Shakirov, Generation of Matrix Models by W-operators, JHEP, 0904 (2009) 064, arXiv: 0902.2627
5. A.Morozov and Sh.Shakirov, On equivalence of two Hurwitz matrix models, Mod.Phys.Lett.A24:2659-2666,2009, arXiv:0906.2573
Литература
[1] A.Zabrodin, Random matrices and Laplacian growth, arXiv:0907.4929
[2] V.Kazakov, The appearance of matter fields from quantum fluctuations of 2D-gravity, Mod.Phys.Lett. A4 (1989) 2125;
E.Brezin and V.Kazakov, Exactly Solvable Field Theories Of Closed Strings, Phys. Lett. B236 (1990) 144;
D.Gross and A.Migdal, A Nonperturbative Treatment Of Two-Dimensional Quantum Gravity, Nucl.Phys. B340 (1990) 333;
A.Levin and A.Morozov, On the Foundations of the Random Approach to Quantum Gravity, Phys.Lett. 243B (1990) 207-214;
J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, and Yu. M. Makeenko, Multiloop correlators for two-dimensional quantum gravity, Physics Letters В., 251 (1990), 517-524; P.Ginsparg, Matrix Models of 2d Gravity, hep-th/9112013; A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Generalized matrix models as conformal field theories: Discrete case, Phys.Lett. В 265 (1991) 99-107; J. Ambjorn and C.F. Kristjansen, Non-perturbative 2d quantum gravity and hamiltonians unbounded from below, Int.J.Mod.Phys. A8 (1993) 1259-1282, hep-th/9205073;
P.Di Francesco, P. Ginsparg and J. Zinn-Justin, 2D Gravity and Random Matrices, Phys. Rep. 254 (1995) 1-133, hep-th/9306153;
C.P. Kristjansen, Random Geometries in Quantum Gravity, Doctoral Thesis, The Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 1993, hep-th/9310020; P.Di Francesco, 2D Quantum Gravity, Matrix Models and Graph Combinatorics, math-ph/0406013
[3] A.Morozov, String Theory, What is it?, Sov. Phys. Usp. 35 (1992) 671-714
[4] A.Morozov, Integrability and Matrix■ Models, Phys.Usp. 37 (1994) 1-55, arXiv:hep-th/9303139;
A.Morozov, Matrix Models as Integrable Systems, arXiv:hep-th/9502091
[5] A.Morozov, Integrability and Matrix Models, Phys.Usp. 37(1994) 1-55, hep-th/9303139;
Matrix Models as Integrable Systems, hep-th/9502091;
A.Mironov, Matrix Models vs. Matrix Integrals, Theor.Math.Phys. 146
(2006) 63-72, hep-th/0506158
[6] F.David, A Model of Random Surfaces with Nontrivial Critical Behavior, Nucl. Phys. B257 [FS14] (1985) 45, 543;
J. Ambjorn, B. Durhuus and J. Frohlich, Diseases of Triangulated Random Surface Models, and Possible Cures, Nucl. Phys. B257 [FS14] (1985) 433; V. A. Kazakov, I. K. Rostov and A. A. Migdal, Critical Properties of Randomly Triangulated Planar Random Surfaces, Phys. Lett. 157B (1985) 295;
D.Boulatov, V. A. Kazakov, I. K. Rostov and A. A. Migdal, Possible Types Of Critical Behavior And The Mean Size Of Dynamically Triangulated Random, Surfaces, Phys. Lett. B174 (1986) 87;
Analytical and Numerical Study of the Model of Dynamically Triangulated Random Surfaces, Nucl. Phys. B275 [FS17] (1986) 641;
L. Alvarez-Gaume, Random surfaces, statistical mechanics, and string theory, Lausanne lecturcs, 1990;
P. Di Francesco and C. Itzykson, A Generating Function for Fatgraphs, Annales Poincare Phys.Theor. 59 (1993) 117-140, hep-th/9212108
[7] A.Zabrodin and P. Wiegmann, Large N expansion for the 2D Dyson gas, J.Phys.A39 (2006) 8933-8964, arXiv:hep-th/0601009
[8] P. Di Francesco, M. Gaudin, C. Itzykson and F. Lesage, Laughlin's wave functions, Coulomb gases and expansions of the discriminant, Int.J.Mod.Phys. A9 (1994) 4257-4352, arXiv:hep-th/9401163
[9] J.M. Caillol, D. Levesque, J.J.Weis, J.P. Hansen, J.Stat. Phys. 28 (1982) 325; S.W. de Leeuw, J.W. Perram, Physica A113 (1982) 546;
P. Choquard, J. Clerouin, Phys. Rev. Lett. 50 (1983) 2086;
A. Alastuey, B. Jancovici, J. Physique 42 (1981) 1;
B. Jancovici, Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 386; A. Alastuey, Annales de Physique 11 (1986) 653
[10] A.Hurwitz, Uber Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzuieigungpunkten, Math.Ann. 39 (1891) 1-61; Uber die Anzal der Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math.Ann. bf 55 (1902) 51-60; R. Vakil, Enumerative geometry of curves via degeneration methods, Harvard Ph.D. thesis (1997);
I. Goulden and D. Jackson, Transitive factorisations into transpositions and holomorphic mappings on the sphere, Proc.Amer.Math.Soc. 125 (1997) 51-60, math/9903094;
S.Lando and D.Zvonkine, On multiplicitites of the Lyashko-Looijenga mapping on the discriminant strata, Funk.Anal.Appl. 33 3 (1999) 178-188;
Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions. I, math.AG/0303218;
S.Natanzon and V.Turaev, A compactification of Hurwitz space, Topology, 38 (1999) 889-914;
A.Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers, Math.Res.Lett. 7 (2000) 447-453;
A.Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians, math/0108100;
S.Lando, Ramified coverings of the two-dimensional sphere and intersection theory in spaces of mcromorphic functions on algebraic curves, Russ.Math.Surv., 57 (2002) 463-533;
A.Okounkov and R.Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz theory, and completed cycles, Ann. of Math. 163 (2006) 517, math.AG/0204305; T.Graber and R.Vakil, Hodge integrals and Hirwitz numbers via virtual localization, Compositio Math., 135 (2003) 25-36;
M.Kazarian and S.Lando, Towards the intersection theory of Hurwitz spaces, math.AG/0410388; An algebro-geometric proof of Witten's conjecture, math/0601760;
M.Kazarian, KP hierarchy for Hodge integrals, based on the talk at the Moscow Workshop on Combinatorics of moduli spaces, Hurwitz numbers and cluster algebras (June 2008), http://www.mi.ras.ru/ ~kazarian/papers/newwit0703.pdf;
A.Mironov and A.Morozov, Virasoro constraints for Кontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843
[11] E.Wigner, Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions, Ann.Math. 62 (1955) 548; On the Distribution of the Roots
of Certain Symmetric Matrices, Ann. of Math. 67 (1958) 325-328; F.Dyson, J.Math.Phys. 3 (1962) 140, 157,166, 1191, 1199; F.Dyson and M. Mehta, J. Math. Phys. 4, 701 (1963)
[12] A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory. I: Finite size Herrnitean 1-matrix model, Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 4127, hep-th/0310113;
[13] E.Brezin, C.Itzykson, G.Parisi and J.-B.Zuber, Comm. Math. Phys. 59 (1978) 35;
D.Bessis, C.Itzykson and J.-B.Zuber, Adv. Appl. Math. 1 (1980) 109 ; M.-L. Mehta, A method of integration over matrix variables, Comm. Math. Phys. 79 (1981) 327; Random Matrices, 2nd edition, Acad. Press., N.Y., 1991;
J.Ambjorn, L.Chekhov, C.F.Kristjansen and Yu.Makeenko, Matrix Model Calculations beyond the Spherical Limit, Nucl.Phys. B404(1993) 127-172, Erratum B449 (1995) 681, hep-th/9302014;
B.Eynard, Large Random Matrices: Eigenvalue Distribution, hep-th/9401165;
L. Chekhov and C. Kristjansen, Hermitian Matrix Model with Plaquette Interaction, Nucl.Phys. B479 (1996) 683-696, hep-th/9605013; A. Zvonkin, Matrix integrals and map enumeration: an accessible introduction, Combinatorics and Physics (Marseilles 1995), Math. Comput. Model. 26 (1997) 281-304;
T.Guhr, A.Mueller-Groeling and H.A.Weidenmueller, Random Matrix Theories in Quantum Physics: Common Concepts, Phys. Rep. 299 (1998) 189-425, cond-mat/9707301;
I. Kostov, Conformal Field Theory Techniques in Random Matrix models,
Les Houches 2004, 459-487, hep-th/9907060;
P. Forrester, N. Snaith and J. Verbaarschot, Developments in Random Matrix Theory, J. Phys. A36 2859-3645, cond-mat/0303207;
A.Morozov, Challenges of matrix models, hep-th/0502010;
[14] D.Bessis, A new method in the combinatorics of the topological expansion, Comm.Math.Phys. 69 (1979) 147;
. A.Migdal, Loop equations and 1/N expansion, Phys.Rep. 102 (1983) 199; Yu.Makeenko, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Continuum versus discrete Virasoro in one-matrix models, Nucl.Phys. B356 (1991) 574; J. Ambjorn and C.F. Kristjansen, From 1-matrix model to Kontsevich model, Mod.Phys.Lett. A8 (1993) 2875-2890, hep-th/9307063;
B.Eynard, Master loop equations, free energy and correlations for the chain of matrices, JHEP 0311 (2003) 018, hep-th/0309036; Large N expansion of the 2-matrix model, JHEP 0301 (2003) 051, hep-th/0210047; All genus correlation functions for the hermitian 1-matrix model, JHEP 0411 (2004) 031, hep-th/0407261;
B.Eynard and N.Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0504058;
L.Chekhov and B.Eynard, Hermitean matrix model free energy: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0603 (2006) 014, hep-th/0504116; Matrix eigenvalue model: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0604014
[15] M.Fukuma, H.Kawai and R.Nakayama, Int.J.Mod.Phys. A6 (1991) 1385; R.Digkgraaf, E.Verlinde and H.Verlinde, Nucl.Phys. B348 (1991) 565; A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B252(1990) 47-52;
F.David, Loop Equations and Nonperturbative Effects in Two-Dimensional Quantum Gravity, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1019; J.Ainbjorn and Yu.Makeenko, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1753;
H.Itoyama and Y.Matsuo, Phys.Lett. B255 (1991) 202; A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, From Virasoro Constraints in Kontsevich's Model to W-constraints in 2-matrix Models, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 1345-1360, hep-th/9201010;
A.Mironov and A.Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843
[16] A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov, Matrix Models of Two-Dimensional Gravity and Toda Theory, Nucl. Phys. B357 (1991) 565-618
[17] J. Harer, D. Zagier, The Euler Characteristic of the Moduli Space of Curves, Inv. Math. 85 (1986) 457-485
[18] C. Itzykson, J.-B. Zuber, Matrix integration and combinatorics of modular groups, Comm. Math. Phys. 134 (1990) 197-207;
B. Lass, Demonstration combinatoire de la formule de Harer-Zagier, C. R. Acad. Sci. Paris, Se'rie, I, 333, No.3 (2001), 155-160;
S.K. Lando, A.K. Zvonkine, Graphs on Surfaces and Their Applications, Springer (2003);
I. P. Goulden and A. Nica, A direct bijection for the Harer-Zagier formula, J. Comb. Theory, A, 111, No. 2 (2005), 224-238;
E.Akhmedov and Sh.Shakirov, Gluing of Surfaces with Polygonal Boundaries, to appear in Funkts. Anal. Prilozh., arXiv:0712.2448
Подписано к печати 23.05.11 Формат 60 х 90 1/16
Усл. печ.л. 1,75 Уч.-изд.л. 1,3 Тираж 100 Заказ 576
Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б. Черёмушкинская, 25
1 Введение
1.1 Общая характеристика.
1.2 Цель диссертационной работы.
1.3 Результаты и положения, выносимые на защиту.
1.4 Научная новизна и практическая ценность.
1.5 Апробация диссертации.
1.6 Публикации автора по теме диссертации
1.7 Структура и содержание диссертации.
1.8 Благодарности.
2 Точные корреляционные функции в Эрмитовой модели
2.1 Эрмитова матричная модель.
2.1.1 Общие свойства эрмитовой модели.
2.1.2 Условия Вирасоро.
2.1.3 Интегрируемость.
2.1.4 1-точечные корреляторы.
2.1.5 2-точечные корреляторы.
2.2 Корреляционные функции.
2.3 Корреляционные функции типа Харера-Цагира.
2.3.1 1-точечная функция.
2.3.2 2-точечная функция.
2.3.3 3-точечная функция.
2.4 Экспоненциальные корреляционные функции.
2.4.1 Рекурсивные соотношения.
2.4.2 Детерминантная формула.
2.4.3 Ортогональные полиномы.
2.4.4 Локальная мера.
2.4.5 1,2,3-точечные функции при фиксированном N.
2.4.6 Универсальные 1,2,3-точечные функции.
2.5 Стандартные корреляционные функции.
2.5.1 Разложение по роду.
2.5.2 1-точечная функция.
2.5.3 2-точечная функция.
3 Средняя энергия 2мерного Дайсоновского газа
3.1 Двумерный Дайсоновский газ.
3.2 Статсумма.
3.3 Средняя энергия.
3.4 Термодинамическое разложение средней энергии.
4 Вычисление потенциала в модели Гурвица
4.1 Модель Гурвица.
4.2 Приближенный матричный интеграл.
4.3 Поправки.
4.4 Точный матричный интеграл.
1.1 Общая характеристика
Диссертация посвящена построению и изучению точных решений в статистических моделях. Рассматриваются системы (статистические ансамбли) из N частиц, которые взаимодействуют друг с другом с заданной потенциальной энергией взаимодействия и(х\,., х^), где XI,., ждг - координаты частиц. Физически интересными величинами в таких моделях являются любые статистические средние вида с нормировочной постоянной
Cjv J dXl.J dxN е^ь.-.,^) (2) такие, как среднее положение частиц дисперсия ^х— ^х^ , средняя энергия (и и т.д. Как правило, точное вычисление средних (также называемых корреляторами) является сложной задачей: для этого не существует универсальных математических методов, за исключением тех простейших случаев, когда потенциал U(xi,., хn) квадратичен (Гауссов). По этой причине для изучения статистических средних применяются различные приближения: например, термодинамический предел (предел больших N) или квазиклассическое приближение (предел малых Тг для U (->• U/h).
В некоторых случаях, используя специфические для конкретной модели методики и приемы, удается вычислить точно некоторый коррелятор или целое семейство корреляторов. Такие точные решения, естественно, позволяют получить о модели больше информации, нежели любые приближенные, и в этом состоит их ценность. Кроме этого, точные вычисления статистических интегралов вида (1) могут содержать в себе новые математические идеи и поэтому представляют интерес также с точки зрения чистой математики.
В настоящей диссертации с использованием оригинальных методик получен ряд точных решений в нескольких статистических моделях, в основном относящихся к классу так называемых матричных моделей. В таких моделях координаты частиц интерпретируются как собственные значения некоторой матрицы, а потенциал взаимодействия следует из естественной меры интегрирования на пространстве матриц и, как правило, является попарным логарифмическим отталкиванием.
Простейшим и в то же время репрезентативным примером таких моделей является Эрмитова матричная модель, в которой основной динамической величиной является N х N Эрмитова матрица ф, а наблюдаемые величины представляют из себя 31/(М)-инвариантные статистические средние от следов степеней этой матрицы:
1;г ф11. ^ ф1т ) = ~ [ ^ ф*. ^ у(ф) йф (3)
Сдг ]
NxN где V - произвольный потенциал. Как легко показать, при переходе от матричной переменной ф к ее собственным значениям ,., хк эта модель принимает вид статистической системы из N частиц на прямой с координатами Х\,. которые помещены в общий потенциал У{х) и попарно отталкиваются друг от друга по логарифмическому закону: и(х 1,.,Хп) = + -Х]\2 (4) г 1<]
Впервые модели такого типа изучались еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, которых интересовало применение таких моделей к вычислению распределения уровней энергии атомных ядер. Впоследствии выяснилось, что матричные модели обладают целым рядом других приложений, подчас весьма далеких от исходной задачи о спектрах ядер: квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста [1], квантовая гравитация [2,3], теория струн [4,5] интегрируемые системы [6,7] и суперсимметричные теории поля [8,10,11] в физике , теория чисел и комбинаторика графов на двумерных поверхностях [12] в математике - вот лишь некоторые из этих приложений.
Далеко не во всех из этих приложений достаточно использования стандартных приближенных методов; часто оказывается, что необходимая детальная информация о свойствах конкретной модели не может быть получена в рамках известных приближений. Прогресс в точном (не приближенном) вычислении корреляторов в матричных и статистических моделях, таким образом, может стимулировать продвижение в целом ряде областей современной физики и математики. Это является одним из факторов, обосновывающих актуальность выбора темы диссертации и полученных в ходе исследования результатов.
Наконец, построение и изучение точных решений актуально еще и потому, что они позволяют вычислить физически интересные асимптотики, которые трудно или вообще невозможно вычислить приближенными методами. Иллюстрацией этого феномена является статистическая модель двумерного Дайсоновского газа [13-15]: система из N частиц на плоскости с координатами (жь ух)., (х^, у^) и потенциальной энергией и{Х1,У1,. ,хм,ум) = - (х2{ + у2) + ^ 1оё [(а* - х^2 + {Уг - у,)2]• (5) г Кз
Одной из физически интересных величин в модели является средняя кулоновская энергия:
Е» = (т, 10§ К3* - + ^ - ^ ■ (6)
Используя стандартные термодинамические методы, можно получить лидирующую асимптотику при числе частиц стремящемся к бесконечности
1 о /V2
- — + ., (7) однако последовательное вычисление 1/И поправок к данному термодинамическому результату представляет существенные трудности. В настоящей диссертации мы строим Е^ как точное решение конечно-разностного уравнения в гипергеометрических функциях. Полученное точное решение позволяет вычислить поправки до любого порядка малости по 1/А^, подтверждая таким образом ценность данного подхода в конкретных приложениях и общую актуальность выбора темы диссертации.
5 Заключение
Точное вычисление статистических средних (корреляторов) в различных моделях представляет интерес как с точки зрения физики (связанный с часто встречающейся необходимостью получить детальную информацию о модели, которую трудно или невозможно извлечь из приближенных результатов) так и с математической точки зрения (связанный с отсутствием хорошо разработанных методов в этой области). В настоящей диссертации проведены точные вычисления в рамках трех конкретных моделей: Эрмитовой матричной модели, двумерного Дайсоновского газа и модели Гурвица. Точные 1,2 и 3-точечные корреляционные функции в Эрмитовой модели, вычисленные без применения петлевого разложения и/или предела больших ЛГ, оказались элементарными и выражающимися через единственную тригонометрическую функцию - арктангенс. Точное решение, полученное для средней энергии двумерного Дайсоновского газа и верное при любом конечном N, позволило вычислить термодинамическую асимптотику этой величины и установить, что ее разложение при больших N идет по полуцелым степеням . Наконец, полученное для модели Гурвица интегральное представление открывает новые возможности для исследования этой модели физическими методами, а также широкое поле для обобщения.
1. A.Zabrodin, Random matrices and Laplacian growth, arXiv:0907.4929
2. V.Kazakov, The appearance of matter fields from quantum fluctuations of 2D-gravity, Mod.Phys.Lett. A4 (1989) 2125;
3. E.Brezin and V.Kazakov, Exactly Solvable Field Theories Of Closed Strings, Phys. Lett. B236 (1990) 144;
4. D.Gross and A.Migdal, A Nonperturhative Treatment Of Two-Dimensional Quantum Gravity, Nucl.Phys. B340 (1990) 333;
5. A.Levin and A.Morozov, On the Foundations of the Random Approach to Quantum Gravity, Phys.Lett. 243B (1990) 207-214;
6. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, and Yu. M. Makeenko, Multiloop correlators for two-dimensional quantum gravity, Physics Letters В., 251 (1990), 517-524; P.Ginsparg, Matrix Models of 2d Gravity, hep-th/9112013;
7. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Generalized matrix models as conformai field theories: Discrete case, Phys.Lett. В 265 (1991) 99-107;
8. C.F. Kristjansen, Random Geometries in Quantum Gravity, Doctoral Thesis, The Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 1993, hep-th/9310020;
9. P.Di Francesco, 2D Quantum Gravity, Matrix Models and Graph Combinatorics, math-ph/0406013
10. A.M.Polyakov, Mod.Phys.Lett., A2 (1987) 893-898
11. V.Knizhnik, A.Polyakov, A.Zamolodchikov, Mod.Phys.Lett., A3 (1988) 819
12. A.Morozov, String Theory, What is it?, Sov. Phys. Usp. 35 (1992) 671-714
13. V.Knizhnik, Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry, Usp.Fiz.Nauk 159 (1989) 401-453 (Sov.Phys.Usp. 32 (1989) 945-971);
14. A.Gorsky, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, RG Equations from Whitham Hierarchy, Nucl.Phys. B527 (1998) 690-716, hep-th/9802007;
15. H.Braden, A.Mironov and A.Morozov, QCD, Wick's Theorem for KdV r-functions and the String Equation, Phys.Lett. B514 (2001) 293-298, hep-th/0105169
16. A.Morozov, Integrability and Matrix Models, Phys.Usp. 37(1994) 1-55, hep-th/9303139; Matrix Models as Integrable Systems, hep-th/9502091;
17. A.Mironov, Matrix Models vs. Matrix Integrals, Theor.Math.Phys. 146 (2006) 63-72, hep-th/0506158
18. A.Gerasimov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and A.Orlov, Nucl.Phys. B357 (1991) 565-618;
19. A.Morozov, Phys.Usp.(UFN) 35 (1992) 671-714; 37 (1994) 1, hep-th/9303139; hep-th/9502091; hep-th/0502010;
20. A.Mironov, Int.J.Mod.Phys. A9 (1994) 4355, hep-th/9312212; Phys.Part.Nucl. 33 (2002) 537; hep-th/9409190
21. E.Martinec, Phys.Lett., B367 (1996) 91-96;
22. A.Gorsky, S.Gukov and A.Mironov, Nucl.Phys., B517 (1998) 409-461; Nucl.Phys., B518 (1998) 689;
23. H.W.Braden, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Nucl.Phys., B573 (2000) 553 hep-th/9906240; Phys.Lett., B448 (1999) 195, hep-th/9812078; Nucl.Phys., B573 (2000) 553, hep-th/9906240;
24. A.Gorsky and A.Mironov, Nucl.Phys., B550 (1999) 513, hep-th/9902030; hep-th/0011197 A.Mironov and A.Morozov, hep-th/0001168
25. A. Marshakov, Seiberg-Witten Theory and Integrable Systems, World Scientific, Singapore, 19991.tegrability: The Seiberg-Witten and Whitham Equations, Eds. H. Braden and I. Krichever (Gordon and Breach, 2000)
26. E.Martinec and N.Warner, Nucl.Phys., 459 (1996) 97; A.Gorsky, A.Marshakov, Phys.Lett., B374 (1996) 218-224;
27. H.Itoyama and A.Morozov, Nucl.Phys., B477 (1996) 855-877, hep-th/9511126; Nucl.Phys., B491 (1997) 529-573, hep-th/9512161, hep-th/9601168;
28. E.D'Hoker, I.M.Krichever and D.H.Phong, Nucl.Phys., B489 (1997) 179-210; Nucl.Phys., B489 (1997) 211-222;
29. N.Nekrasov, Nucl.Phys., B531 (1998) 323-344, hep-th/9609219; A.Marshakov, A.Mironov, Nucl.Phys., B518 (1998) 59-91; A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett., B475 (2000) 71;
30. H.Braden and A.Marshakov, Nucl.Phys. B595 (2001) 417-466; hep-th/0009060; N.Nekrasov and S.Shatashvili, Nucl.Phys. Proc.Suppl. B192-193 (2009) 91-112, arXiv:0901.4744; arXiv:0901.4748
31. J.Schwarz, Superconformal Chern-Simons Theories, JHEP 0411 (2004) 078, hep-th/0411077;
32. A.Basu and J.A.Harvey, The M2-M5 Brane System and a Generalized Nahm's Equation, Nucl.Phys. B713 (2005) 136-150, hep-th/0412310;
33. A.Gustavsson, Algebraic Structures on Parallel M2-branes, arXiv: 0709.1260; Self dual Strings and Loop Space Nahm Equations, arXiv: 0802.3456;
34. S.Mukhi and C.Papageorgakis, M2 to D2, arXiv: 0803.3218;
35. M.Bandres, A.Lipstein and J.Schwarz, N=8 Superconformal Chem-Simons Theories, arXiv: 0803.3242;
36. A.Morozov, On the Problem of Multiple M2 Branes, JHEP 08 05 (2008) 076, arXiv:0804.0913;
37. J.Gomis, G.Milanesi, and J.G.Russo, Bagger-Lambert Theory for General Lie Algebras, arXiv:0805.1012 v2;
38. S.Benvenuti, D.Rodriguez-Gomez, E.Tonni and H.Verlinde, N=8 superconformal gauge theories and M2 branes, arXiv:0805.1087;
39. P.-M.Ho, Y.Imamura and Y.Matsuo, M2 to D2 revisited, arXiv:0805.1202; A.Morozov, From Simplified BLG Action to the First-Quantized M-Theory, JETP Lett. 87 (2008) 659-662, arXiv:0805.1703;
40. Aharony, O.Bergman, D.L.Jafferis and J.Maldacena, N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals, JHEP 0810 (2008) 091, arXiv:0806.1218;
41. A.Bandos and P.K.Townsend, Light-cone M5 and multiple M2-branes, Class.Quant.Grav. 25 (2008) 245003, arXiv:0806.4777; SDiff Gauge Theory and the M2 Condensate, JHEP 0902 (2009) 013, arXiv:0808.1583;
42. J.Gomis, D.Rodriguez-Gomez, M. Van Raamsdonk and H.Verlinde, A Massive Study of M2-brane Proposals, JHEP 0809 (2008) 113, arXiv:0807.1074;
43. J.A.Minahan, W.Schulgin and K.Zarembo, Two loop integrability for Chem-Simons theories with N=6 super symmetry, arXiv:0901.1142
44. F.David, A Model of Random Surfaces with Nontrivial Critical Behavior, Nucl. Phys. B257 FS14] (1985) 45, 543;
45. J. Ambjorn, B. Durhuus and J. Frohlich, Diseases of Triangulated Random Surface Models, and Possible Cures, Nucl. Phys. B257 FS14. (1985) 433;
46. Analytical and Numerical Study of the Model of Dynamically Triangulated Random Surfaces, Nucl. Phys. B275 FS17. (1986) 641-,
47. Alvarez-Gaume, Random surfaces, statistical mechanics, and string theory, Lausanne lectures, 1990;
48. P. Di Francesco and C. Itzykson, A Generating Function for Fatgraphs, Annales Poincare Phys.Theor. 59 (1993) 117-140, hep-th/9212108
49. A.Zabrodin and P. Wiegmann, Large N expansion for the 2D Dyson gas, J.Phys.A39 (2006) 8933-8964, arXiv:hep-th/0601009
50. P. Di Francesco, M. Gaudin, C. Itzykson and F. Lesage, Laughlin's wave functions, Coulomb gases and expansions of the discriminant, Int. J.Mod.Phys. A9 (1994) 4257-4352, arXiv:hep-th/9401163
51. J.M. Caillol, D. Levesque, J.J.Weis, J.P. Hansen, J.Stat. Phys. 28 (1982) 325; S.W. de Leeuw, J.W. Perram, Physica A113 (1982) 546;
52. P. Choquard, J. Clerouin, Phys. Rev. Lett. 50 (1983) 2086;
53. A. Alastuey, B. Jancovici, J. Physique 42 (1981) 1;
54. B. Jancovici, Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 386;
55. A. Alastuey, Annales de Physique 11 (1986) 653
56. A.Hurwitz, Uber Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math. Ann. 39 (1891) 1-61; Uber die Anzal der Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math.Ann. bf 55 (1902) 51-60
57. R. Vakil, Enumerative geometry of curves via degeneration methods, Harvard Ph.D. thesis (1997);
58. S.Natanzon and V.Turaev, A compactification of Hurwitz space, Topology, 38 (1999) 889914;
59. A.Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians, math/0108100;
60. S.Lando, Ramified coverings of the two-dimensional sphere and intersection theory in spaces of meromorphic functions on algebraic curves, Russ.Math.Surv., 57 (2002) 463533;
61. T.Graber and R.Vakil, Hodge integrals and Hirwitz numbers via virtual localization, Compositio Math., 135 (2003) 25-36;
62. A.Mironov and A.Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843
63. A.Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers, Math.Res.Lett. 7 (2000) 447-453; A.Okounkov and R.Pandharipande, Gromov- Witten theory, Hurwitz theory, and completed cycles, Ann. of Math. 163 (2006) 517, math.AG/0204305
64. E.Wigner, Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions, Ann.Math. 62 (1955) 548; On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices, Ann. of Math. 67 (1958) 325-328;
65. F.Dyson, J.Math.Phys. 3 (1962) 140, 157,166, 1191, 1199; F.Dyson and M. Mehta, J. Math. Phys. 4, 701 (1963)
66. A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory. I: Finite size Hermitean 1-matrix model, Int. J.Mod.Phys. A19 (2004) 4127, hep-th/0310113;
67. E.Brezin, C.Itzykson, G.Parisi and J.-B.Zuber, Comm. Math. Phys. 59 (1978) 35; D.Bessis, C.Itzykson and J.-B.Zuber, Adv. Appl. Math. 1 (1980) 109 ;
68. M.-L. Mehta, A method of integration over matrix variables, Comm. Math. Phys. 791981) 327; Random Matrices, 2nd edition, Acad. Press., N.Y., 1991;
69. J.Ambjorn, L.Chekhov, C.F.Kristjansen and Yu.Makeenko, Matrix Model Calculationsbeyond the Spherical Limit, Nucl.Phys. B404(1993) 127-172, Erratum B449 (1995) 681,hep-th/9302014;
70. B.Eynard, Large Random Matrices: Eigenvalue Distribution, hep-th/9401165; L. Chekhov and C. Kristjansen, Hermitian Matrix Model with Plaquette Interaction, Nucl.Phys. B479 (1996) 683-696, hep-th/9605013;
71. M.Fukuma, H.Kawai and R.Nakayama, Int.J.Mod.Phys. A6 (1991) 1385; R.Digkgraaf, E.Verlinde and H.Verlinde, Nucl.Phys. B348 (1991) 565; A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B252(1990) 47-52;
72. F.David, Loop Equations and Nonperturbative Effects in Two-Dimensional Quantum
73. Gravity, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1019;
74. J.Ambjorn and Yu.Makeenko, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1753;
75. H.Itoyama and Y.Matsuo, Phys.Lett. B255 (1991) 202;
76. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, From Virasoro Constraints in Kontsevich's Model to W-constraints in 2-matrix Models, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 1345-1360, hep-th/9201010;
77. A.Mironov and A.Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843
78. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov, Matrix Models of Two-Dimensional Gravity and Toda Theory, Nucl. Phys. B357 (1991) 565-61824. 0.1.Bogoyavlensky, Comm. Math. Phys., 51 (1976) 201-209
79. M.Olshanetsky and A.Perelomov, Phys.Rep., 94 (1983) 313-404; Invent. Math., 54 (1979)261.269; Theor.Math.Phys., 45 (1980) 3-18 B.Kostant, Adv. Math., 34 (1979) 195-338
80. A.Gerasimov, S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and M.Olshanetsky, Int.J.Mod. Phys. A12 (1997) 2523-2584, hep-th/9601161
81. J. Harer, D. Zagier, The Euler Characteristic of the Moduli Space of Curves, Inv. Math. 85 (1986) 457-485
82. C. Itzykson, J.-B. Zubcr; Matrix integration and combinatorics of modular groups, Comm. Math. Phys. 134 (1990) 197-207;
83. B. Lass, Demonstration combinatoire de laformule de Harer-Zagier, C. R. Acad. Sci. Paris, Se'rie, I, 333, No.3 (2001), 155-160;
84. S.K. Lando, A.K. Zvonkine, Graphs on Surfaces and Their Applications, Springer (2003); I. P. Goulden and A. Nica, A direct bisection for the Harer-Zagier formula, J. Comb. Theory, A, 111, No. 2 (2005), 224-238
85. E.Akhmedov and Sh.Shakirov, Gluing of Surfaces with Polygonal Boundaries, arXiv:0712.2448
86. A. Zvonkin, Matrix integrals and map enumeration: an accessible introduction, Combinatorics and Physics (Marseilles 1995), Math. Comput. Model. 26 (1997) 281-304
87. P. Forrester, N. Snaith and J. Verbaarschot, Developments in Random Matrix Theory, J. Phys. A36 2859-3645, cond-mat/0303207
88. A.Morozov, Challenges of matrix models, hep-th/0502010;
89. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves, Funk. Anal. Prilozh., 25:2 (1991) 50-57; Intersection theory on the moduli space of curves and the Airy function, Comm.Math.Phys. 147 (1992) 1-23;
90. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, On the Equivalence of Topological and Quantum 2d Gravity, Phys.Lett. 274B (1992) 280-288, hep-th/9201011;
91. P. Di Francesco, C. Itzykson and J.-B.Zuber, Polynomial averages in the Kontsevich model, Comm.Math.Phys. 151 (1993) 193-219, hep-th/9206090;
92. A.Mironov, A.Morozov and G.Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of Generalized Kontsevich Model. I. Brezin-Gross-Witten Model, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031-5080, hep-th/9404005;
93. A.Alexandrov, A.Mironov, A.Morozov and P.Putrov, Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory. II. Kontsevich Model, arXiv:0811.2825;
94. M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, arXiv:hep-th/0312085;
95. M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino, and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, hep-th/0312085;
96. Jaume Gomis, Anton Kapustin, Two-Dimensional Unoriented Strings And Matrix Models, JHEP 0406 (2004) 002, hep-th/0310195;
97. A. Kapustin, Gauge theory, topological strings, and S-duality, JHEP0409:034,2004, hep-th/0404041; Topological strings on noncommutative manifolds, hep-th/0310057, Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys. 1 (2004) 49-81;
98. A. Kapustin, L. Rozansky, On the relation between open and closed topological strings, Commun.Math.Phys. 252 (2004) 393-414, hep-th/0405232;
99. M. Temurhan, Random matrices in topological string theory, Doctoral Thesis, University of Amsterdam, 2005
100. K. Demeterfi, N.Deo, S.Jain and C.-I Tan, Phys.Rev. D42 (1990) 4105-4122; J. Jurkiewicz, Phys.Lett. 245 (1990) 178;
101. C. Crnkovicz and G.Moore, Phys.Lett. B257 (1991) 322;
102. G. Akemann and J.Ambjorn, J.Phys. A29 (1996) L555-L560, cond-mat/9606129; G.Akemann, Higher genus correlators for the Hermitian matrix model with multiple cuts, Nucl.Phys. B482 (1996) 403-430, hep-th/9606004
103. Chekhov and A.Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories, Phys.Lett. B552 (2003) 293-302, hep-th/0209085;
104. R.Dijkgraaf, S.Gukov, V.Kazakov and C.Vafa, Analysis of Gauged Matrix Models, Phys.Rev. D68 (2003) 045007, hep-th/0210238;
105. V.Kazakov and A.Marshakov, Complex Curve of the Two Matrix Model and its Tau-function, J.Phys. A36 (2003) 3107-3136, hep-th/0211236;
106. S.Naculich, H.Schnitzer and N. Wyllard, Matrix model approach to the N—2 U(N) gauge theory with matter in the fundamental representation, JHEP 0301 (2003) 015, hep-th/0211254;
107. B.Feng, Geometric Dual and Matrix Theory for SO/Sp Gauge Theories, Nucl.Phys. B661 (2003) 113-138, hep-th/0212010;
108. Bena, S.de Haro and R.Roiban, Generalized Yukawa couplings and Matrix Models, Nucl.Phys. B664 (2003) 45-58, hep-th/0212083;
109. Ch.Ann, Supersymmetric SO(N)/Sp(N) Gauge Theory from Matrix ModeLExact Mesonic Vacua, Phys.Lett. B560 (2003) 116-127, hep-th/0301011;
110. Chekhov, A.Marshakov, A.Mironov and D.Vasiliev, DV and WDVV, hep-th/0301071; Complex Geometry of Matrix Models, Proc. Steklov Inst.Math. 251 (2005) 254, hep-th/0506075;
111. M.Matone and L.Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Supersymmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/0305225;
112. R.Argurio, G.Ferretti and R.Heise, An Introduction to Supersymmetric Gauge Theories and Matrix Models, Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 2015-2078, hep-th/0311066;
113. M.Gomez-Reino, Exact Superpotentials, Theories with Flavor and Confining Vacua, JHEP 0406 (2004) 051, hep-th/0405242;
114. Sh.Aoyama, The Disc Amplitude of the Dijkgraaf-Vafa Theory: 1/N Expansion vs Complex Curve Analysis, JHEP 0510 (2005) 032, hep-th/0504162;
115. D.Berenstein and S.Pinansky, Counting conifolds and Dijkgraaf-Vafa matrix models for three matrices, hep-th/0602294
116. F. Cachazo, K. Intriligator and C. Vafa A Large N Duality via a Geometric Transition, Nucl.Phys. B603 (2001) 3-41, hep-th/0103067;
117. F.Cachazo and C.Vafa, N=1 and N=2 Geometry from Fluxes, hep-th/0206017; M.Matone and L.Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Supersymmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/0305225;
118. Chekhov and A.Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories, Phys.Lett. B552 (2003) 293-302, hep-th/0209085;
119. R.Dijkgraaf, S.Gukov, V.Kazakov and C.Vafa, Analysis of Gauged Matrix Models, Phys.Rev. D68 (2003) 045007, hep-th/0210238;
120. V.Kazakov and A.Marshakov, Complex Curve of the Two Matrix Model and its Tau-function, J.Phys. A36 (2003) 3107-3136, hep-th/0211236;
121. S.Naculich, H.Schnitzer and N. Wyllard, Matrix model approach to the N=2 U(N) gauge theory with matter in the fundamental representation, JHEP 0301 (2003) 015, hep-th/0211254;
122. B.Feng, Geometric Dual and Matrix Theory for SO/Sp Gauge Theories, Nucl.Phys. B661 (2003) 113-138, hep-th/0212010;
123. Bena, S.de Haro and R.Roiban, Generalized Yukawa couplings and Matrix Models, Nucl.Phys. B664 (2003) 45-58, hep-th/0212083;
124. Ch.Ann, Supersymmetric SO(N)/Sp(N) Gauge Theory from Matrix Model:Exact Mesonic Vacua, Phys.Lett. B560 (2003) 116-127, hep-th/0301011;
125. Chekhov, A.Marshakov, A.Mironov and D.Vasiliev, DV and WDVV, hep-th/0301071; Complex Geometry of Matrix Models, Proc. Steklov Inst.Math. 251 (2005) 254, hep-th/0506075;
126. M.Matone and L.Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Super symmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/0305225;
127. Sh.Aoyama, The Disc Amplitude of the Dijkgraaf-Vafa Theory: 1/N Expansion vs Complex Curve Analysis, JHEP 0510 (2005) 032, hep-th/0504162;
128. D.Berenstein and S.Pinansky, Counting conifolds and Dijkgraaf-Vafa matrix models for three matrices, hep-th/0602294
129. A.Morozov and Sh.Shakirov, Generation of Matrix Models by W-operators, JHEP, 0904 (2009) 064, arXiv: 0902.2627
130. A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, M-theory of matrix models, Theor.Math.Phys. 150 (2007) 179-192, hep-th/0605171; Instantons and merons in matrix models, Physica D 235 (2007) 126-167, hep-th/0608228;
131. N.Orantin, Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition ,arXiv:0808.0635
132. D.Bessis, A new method in the combinatorics of the topological expansion, Comm.Math.Phys. 69 (1979) 147;
133. A.Migdal, Loop equations and 1/N expansion, Phys.Rep. 102 (1983) 199; Yu.Makeenko, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Continuum versus discrete Virasoro in one-matrix models, Nucl.Phys. B356 (1991) 574;
134. J. Ambjorn and C.F. Kristjansen, From l-matrix model to Kontsevich model, Mod.Phys.Lett. A8 (1993) 2875-2890, hep-th/9307063;
135. B.Eynard and N.Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0504058;
136. Chekhov and B.Eynard, Hermitean matrix model free energy: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0603 (2006) 014, hep-th/0504116; Matrix eigenvalue model: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0604014
137. B.Eynard and N.Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0504058;
138. N.Orantin, Gaussian matrix model in an external field and non-intersecting Brownian motions, arXiv:0803.0705
139. M. L. Mehta, Randommatrices, Pure and Applied Mathematics Series 142 (2004);
140. B. Eynard and O. Marchal, Topological expansion of the Bethe ansatz, and non-commutative algebraic geometry, JHEP 0903 (2009) 094, arXiv:0809.3367; P. Desrosiers, Duality In Random Matrix Ensembles For All Beta, Nucl. Phys. B 817 (2009) 224
141. R. Dijkgraaf and C. Vafa, Toda Theories, Matrix Models, Topological Strings, and N=2 Gauge Systems, arXiv:0909.2453;
142. H.Itoyama, K.Maruyoshi and T.Oota, Notes on the Quiver Matrix Model and 2d~4d Conformal Connection, arXiv:0911.4244;
143. T. Eguchi and K. Maruyoshi, Penner Type Matrix Model and Seiberg-Witten Theory, arXiv:0911.4797;
144. R. Schiappa and N. Wyllard, An Ar threesome: Matrix models, 2d CFTs and 4d N=2 gauge theories, arXiv:0911.5337;
145. A.Mironov, A.Morozov and Sh.Shakirov, Matrix Model Conjecture for Exact BS Periods and Nekrasov Functions, arXiv:0911.5721;
146. A.Mironov, A.Morozov and Sh.Shakirov, Conformal Blocks as Dotsenko-Fateev Integral Discriminants, arXiv: 1001:0563
147. L.Alday, D.Gaiotto and Y.Tachikawa, Lett.Math.Phys. 91 (2010) 167-197, arXiv:0906.3219
148. N.Drukker, D.Morrison and T.Okuda, JHEP 0909 (2009) 031, arXiv:0907.2593; Andrey Mironov, Sergey Mironov, Alexei Morozov and Andrey Morozov, arXiv:0908.2064; S.Iguri and C.Nunez, JHEP 11 (2009) 090 , arXiv:0908.3460;
149. D.Nanopoulos and D.Xie, arXiv:0908.4409; JHEP 1003 (2010) 043, arXiv:0911.1990; arXiv: 1005.1350; arXiv: 1006.3486;
150. Alday, D.Gaiotto, S.Gukov, Y.Tachikawa and H.Verlinde, JHEP 1001 (2010) 113, arXiv:0909.0945;
151. N.Drukker, J.Gomis, T.Okuda and J.Teschner, JHEP 1002 (2010) 057, arXiv:0909.1105; A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, JHEP 11 (2009) 048, arXiv:0909.3338; JHEP 0912 (2009) 038, arXiv:0909.3412;
152. G.Bonelli and A.Tanzini, arXiv:0909.4031; J.-F.Wu and Y.Zhou, arXiv:0911.1922;
153. G.Giribet, JHEP 01 (2010) 097, arXiv:0912.1930;
154. N.Nekrasov and E.Witten, arXiv: 1002.0888
155. Wei He and Yan-Gang Miao, arXiv: 1006.1214; arXiv: 1006.5185; S.Kanno, Y.Matsuo and S.Shiba, arXiv:1007.0601;
156. K.Maruyoshi and M.Taki, arXiv: 1006.4505;
157. P. Wiegmann and A. Zabrodin, Large N expansion for normal and complex matrix ensembles, arXiv:hep-th/0309253
158. Y. Lutsyshyn and J. Boronat, in preparation
159. A.Zamolodchikov, Theor.Math.Phys. 63 (1985) 1205;
160. A.Marshakov and A.Morozov, A Note on W3-Algebra, Nucl.Phys. B339 (1990) 79-94; A. Morozov, On the Concept of Universal W Algebra, Nucl.Phys. B357 (1991) 619-631
161. Harish-Chandra, Am. J. Math. 79 (1957) 87
162. C.Itzykson and J.-B.Zuber, J.Math.Phys. 21 (1980) 411
163. J.Duistermaat and G.Heckman, Invent.Math. 69 (1982) 259
164. A. Hietamaki, A.Morozov, A.Niemi and K.Palo, Geometry of N=1/2 supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem, Phys.Lett. B263 (1991) 417-424;
165. Supersymplectic geometry of supersymmetric quantum field theories, Nucl.Phys. B377 (1992) 295-338;
166. M.Bowick, A.Morozov and D.Shevitz, Reduced unitary matrix models and the hierarchy of tau functions, NucLPhys. B354 (1991) 496-530;
167. A.Morozov, Pair Correlator in the Itzykson-Zuber Integral, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 3503-3508, hep-th/9209074;
168. S.Shatashvili, Correlation Functions in The Itzykson-Zuber Model, Comm.Math.Phys. 154 (1993) 421-432, hep-th/9209083;
169. A.Mironov, A.Morozov and G.Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of Generalized Kontsevich Model I. Brezin-Gross-Witten Model, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031-5080, hep-th/9404005;
170. B.Eynard, A short note about Morozov's formula, math-ph/0406063;
171. A. Ferrer, B. Eynard, P. Di Francesco and J.-B. Zuber, Correlation Functions of Harish-Chandra Integrals over the Orthogonal and the Symplectic Groups, J.Stat.Phys. 129 (2009) 885-935, math-ph/0610049; /
172. M.Bergere and B. Eynard, Some properties of angular integrals, arXiv:0805.4482
173. A.Morozov and Sh.Shakirov, On equivalence of two Hurwitz matrix models, Mod.Phys.Lett.A24:2659-2666,2009, arXiv:0906.2573
