Новые возможности исследования частот условно-периодического движения в системах Лиувилля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

1 Введение

2 Общие подходы к доказательству невырожденности лиувиллевых систем

2.1 Объект исследования.

2.2 Бифуркационные диаграммы лиувиллевых систем.

2.3 Относительные равновесия.

2.4 Бифуркационная картина трех интегралов.

2.5 Частотные отображения

2.6 Система с тремя степенями свободы

2.7 Об асимптотике частот вблизи сепаратрисы.

2.8 Техника доказательства двухчастотности.

2.9 Связь с теоремой Рюсмана.

3 Случай положительных и различных масс или масс разных знаков, когда сумма масс положительна

3.1 Постановка задачи.

3.2 Бифуркационные диаграммы приведенной системы.

3.3 Бифуркационная диаграмма исходной системы.

3.4 Частоты и частотные отображения.

3.5 Теорема об асимптотике действий.

3.6 Двухчастотность приведенной задачи.

3.7 Трехчастотность.

Случай действительных масс разных знаков, когда сумма масс отрицательна

4.1 Частоты и частотные отображения.

4.2 Относительные равновесия.

4.3 Двухчастотность приведенной задачи.

Случай комплексных масс

5.1 Постановка задачи.

5.2 Бифуркационные диаграммы.

5.3 Частоты и частотные отображения.

5.4 Двухчастотность приведенной задачи.

5.5 Трехчастотность.

Данная работа посвящена исследованию частот условно-периодического движения гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, допускающих разделение переменных по Лиувиллю (а также систем с тремя степенями свободы, приводимых к такому виду, после исключения циклической переменной).

Несмотря на то, что такие системы интегрируются в квадратурах (подробнее с этим вопросом можно ознакомиться в Арнольд ([4]), Татаринов ([28]), сложность получающихся выражений не позволяет или сильно затрудняет проведение получение непосредственных заключений о поведении решений системы. Поэтому на первых шагах используются методы качественного анализа таких систем, привлекается аппарат дифференциальной геометрии, теории гладких многообразий и гладких отображений и теории Морса. Видное место занимает здесь топологический анализ интегралов движения, который ставит свой целью описать совместные уровни первых интегралов (при этом проекция фиксированного совместного уровня интегралов на конфигурационное пространство определяет области возможного движения при данных значениях констант интегралов). Точки в пространстве констант первых интегралов, являющиеся образами точек, в которых интегралы зависимы составляют и часто исчерпывают так называемое бифуркационное множество (в случае, когда интегралов всего два оно состоит из нескольких кривых). Это множество разделяет пространство констант на конечное число областей, в которых сохраняется топологический тип совместных уровней и областей возможного движения. Нас будет интересовать случай, когда связные компоненты совместного уровня диффеоморфны n-мерным торам, где п - число степеней свободы. В окрестности каждого из таких торов можно ввести канонические переменные "действие-угол"рь с* (mod 2 7г), так что движение фазовой точки по этому тору будет условно-периодическим i n U1JL pi = const, ai ~ u)i\Pi) -f- ai с частотами ш,- = ——

Зависимость частот от констант первых интегралов называется частотным отображением. Поскольку все траектории, начинающиеся на торе, на нем и остаются (см. напр. Арнольд [2]), то тор является (и называется) инвариантным. Построение бифуркационной диаграммы (графического изображения бифуркационного множества) и определение области возможности движения являются важными шагами в исследовании каждой конкретной задачи. Понятие бифуркационного множества было введено С. Смейлом ([25]), который считается основоположником инвариантной теории топологического анализа первых интегралов. Объектом его исследований были консервативные системы с симметрией. Для лиувиллевых систем методика построения бифуркационных диаграмм и классификация возможных типов движения была предложена В. М. Алексеевым (еще раньше, см.

Вторым важным этапом в качественном исследовании интегрируемой гамиль-тоновой системы является нахождение частот условно-периодического движения и исследование их зависимости от констант первых интегралов. К сожалению, нахождение частот осложнено тем, что часто они из себя представляют очень сложные функции от констант первых интегралов.

Одним из наиболее важных свойств гамильтоновой системы является невырожденность частотного отображения.

Гамилътонова системы называется частотно невырожденной, если якобиан частотного отображения не есть тождественный нуль

Невырожденность является отправным пунктом в теории возмущений гамиль-тоновых систем. А. Пуанкаре [23] даже назвал основной задачей динамики задачу об исследовании поведения решений системы, заданной гамильтонианом

Я = HQ(p) +e#i(p, а), е« в переменных действие-угол р, а. Здесь Но - гамильтониан невозмущенной системы, a Hi - возмущение, являющееся 2 п-периодической функцией угловых переменных Oi (mod 2тг). В невозмущенной задаче {е = 0) углы Oi на инвариантных торах меняются равномерно с постоянными частотами а все переменные Pi являются первыми интегралами системы. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона дН дН

Поскольку в подавляющем большинстве случаев возмущенная система неин-тегрируема, то большинство выводов о характере движения этой системы делаются на основании свойств системы невозмущенной. А. Пуанкаре принадлежат два крупных шага в этом направлении: это теорема о несуществовании дополнительного аналитического интеграла и теорема о существовании периодических решений. Первый из этих результатов, можно сказать, является негативным, но фундаментальным, так как именно на его основании можно делать заключение о неинтегрируемости системы. Эти результаты взаимосвязаны, так как на указанных периодических решениях аналитические интегралы зависимы с гамильтонианом, а с уменьшением е множество периодических решений стремится, вообще говоря, к всюду плотному. Эти теоремы и их многочисленные обобщения используют условие невырожденности невозмущенных систем (Арнольд [4], Козлов [11], Маркеев [18]).

Существенным продвижением в описании возмущенных фазовых кривых явилась теорема А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функций Гамильтона (Колмогоров [14], Арнольд [3]). В этой теореме основное требование, предъявляемое к системе - невырожденность. Краткое содержание данной теоремы таково, что при определенных условиях, самым важным и труднопроверяемых из которых является невырожденность исходной системы, большинство (в смысле меры Лебега) инвариантных торов при возмущении не пропадает, а лишь немного деформируется. На качественном уровне это говорит следующее. При постановке любой физической задачи, мы ограничиваемся лишь каким то небольшим числом эффектов, влияющих на поведение системы. Остальные же мы отбрасываем, полагая их влияние малым по сравнению с учитываемыми. В результате решения мы получаем фазовые траектории не той задачи, которая существует в природе, а некоторой рафинированной системы. Возникает вопрос об близости данных траекторий к существующим в действительности. Теорема Колмогорова решает этот вопрос таким образом, что скорее всего (в вероятностном смысле), решение невозмущенной системы будет близко от решения невозмущенной, а качественно таким же. Свойство, при котором фазовые портреты первоначальной и возмущенной систем качественно совпадают, называется структорной устойчивостью системы.

Таким образом, одним из следствий теоремы Колмогорова является то, что при выполнении ее условий, система близка к структурно-устойчивой - то есть мера множества траекторий, на которых нарушается структурная устойчивость, стремится к нулю. Наряду с выражением "структурная устойчивость системы "используется высказывание "устойчивость гамильтониана", которое и будет употребляться в дальнейшем. Вообще говоря, для того, чтобы удостоверится в устойчивости гамильтониана, вовсе не обязательно доказывать невырожденность частотного отображения системы. Существует утверждение, анонсированное Рюссманом ([37],[38]) и доказанное Севрюком ([24]), которое решает вопрос об устойчивости гамильтониана в том смысле, что для этого требуется только, чтобы гамильтониан был устойчив по Рюссману. По определению, гамильтониан называется устойчивым по Рюссману, если множество его частот не лежит ни в какой гиперплоскости, проходящей через нуль. Таким образом, при использовании КАМ-теории, во многих случаях достаточно удостовериться не в частотной невырожденности гамильтониана, а лишь в гораздо более слабой невырожденности по Рюссману.

Однако, частотная невырожденность не потеряла своей актуальности, поскольку при доказательстве некоторых фактов и теорем требуется именно невырожденность частотного отображения системы, а не более слабая устойчивость гамильтониана. Во-первых, если частотное отображение невырожденно, то достаточно, чтобы возмущение гамильтониана принадлежало классу Сг, где г > 2п, (п - количество степеней свободы системы) (Роэке], [36]) (в случае устойчивости требуется аналитичность возмущения), во-вторых, в теореме Колмогорова установлена оценка меры распадающихся торов, в-третьих, Нейштадтом ([20]) и Лазуткиным ([15]) установлена оценка меры деформации нераспадающихся торов, в-четвертых, теоремы Пуанкаре тоже применимы только в этом случае.

Оценка деформации нераспадающихся торов - это очень важный результат и он требует пояснения. Как уже было сказано выше, теорема Колмогорова говорит о том, что, решая математическую задачу, мы получаем представление о том, что будет происходить в действительности, так как при частотной невырожденности, решение невозмущенное системы близко к решениям возмущенной. Оценка деформации показывает меру этой близости. Напротив, в случае невырожденности по Рюссману, о близости решений ничего сказать нельзя, так как инвариантные торы, вообще говоря, не продолжаются непрерывно по малому параметру, используемому в качестве меры возмущения системы (Брюно, [8]). Таким образом, следствие полученное в теореме Колмогорова значительно сильнее, чем в теореме Рюссмана

Исследование частотных отображений интегрируемых гамильтоновых систем получило дальнейшее развитие и применялось в работе многих исследователей (Мозер [19], Нейштадт [20], Нехорошей [22], Демин [9], Козлов [12], Маркеев [18]). Одним из основным этапом этих работ является доказательство частотной невырожденности исследуемых систем. Аналогично дело обстоит и при применении теоремы Мозера об устойчивости в эллиптическом случае - это применение метода Колмогорова в окрестности особой точки гамильтоновой системы.

Вообще, почти любое качественное исследование решений гамильтоновых систем, в частности занимается вопросом о частотной невырожденности данной системы. Нетривиальность задачи доказательства невырожденности частотного отображения состоит в следующем. Для любой интегрируемой системы мы, вообще говоря, можем ввести переменные "действие-угол". Далее, вычисляя частоты и подставляя их в якобиан частотного отображения, возможно получить его значение как функцию от констант первых интегралов. Но проблема заключается в том, что частоты выражаются в форме трансцендентных функций. Таким образом, хотя вычисление якобиана так называемым прямым методом формально возможно и ведет к сложным выражениям, оно не дает никакой строгой информации относительно его отличия или равенства нулю, поскольку всегда есть возможность, что все члены в этом выражении уничтожатся между собой.

Из-за этих технических трудностей вопрос о невырожденности каждой конкретной динамической системы есть задача, решаемая как правило, при использовании свойств данной системы. Основные методы решения этого вопроса и продвижения, составляющие предмет данной диссертации будут изложены ниже.

Сделаем уточнение. Строго говоря, в теоремах Пуанкаре, Колмогорова, и других речь идет о невырожденности функции переменных "действие". Так как частоты зависят от действий очень сложным образом, то вместо якобиана частотного отображения в подавляющем большинстве случаев рассматривается якобиан отображения из констант первых интегралов в пространство частот. Эти задачи равносильны, так как переменные "действие"зависят от констант первых интегралов аналитически и с ненулевым якобианом. Удобные формулы для нахождения частот лиувиллевой системы приведены в докторской диссертации Я. В. Татари-нова.

Теперь перейдем к изложению результатов предыдущих исследователей частотной невырожденности гамильтоновых систем.

Поскольку, доказательством частотной невырожденности гамильтоновых систем (либо как основной задачей, либо в качестве промежуточного этапа) занималось большое количество исследователей (см. выше), то их выбор в некоторой степени произволен.

Самый простой и естественный путь к доказательству невырожденности основан на том, что, поскольку свойство невырожденности частотного отображения относится только к интегрируемым системам, частотное отображение может быть выписано явно с использованием специальных функций (эллиптических), однако будет очень громоздко. Хотя интуитивно "очевидно" отличие от нуля достаточно сложного выражения, однако строго этот факт почти никогда не доказуем. Поэтому так называемый "классический" способ доказательства частотной невырожденности почти никогда не применим.

Существует также способ доказательства частотной невырожденности, использованный в работах А. С. Логачев при доказательстве частотной невырожденности в зачах Ковалевской, Кмебша-Бруна, Горячева-Чаплыгина ([16], [17]). Его подход основан на вычислении якобиана частотного отображения при стремлении констант первых интегралов к определенным бифуркационным значениям. Подход интересен тем, что в нем используется общий прием вычисления частот, как аналитических функций на римановой поверхности. Похожий прием будет использован и в данной работе.

В работах Е. Г. Смирновой разработан метод доказательства невырожденности, которой применим к любой системе Лиувилля 2-го порядка и приводимых к ним понижением по Раусу ([26], [27]). Метод основан на приведении системы к нормальной форме Виркгофа ([7]) около положения устойчивого равновесия и разложение частот в ряды с точностью до квадратичных (по вариациям первых интегралов движения) членов. Сам вопрос об аналитичности частотного отображения около положения устойчивого равновесия требует строгого обоснования, так как, например, около неустойчивого равновесия частотное отображение не только не аналитично, но даже не дифференцируемо. Вопрос об аналитичности решается также способом рассмотрения частот на римановой поверхности. Таким образом, полученные Е.Г.Смирновой результаты в принципе могут быть использованы только в системах с устойчивым положением равновесия. Вторая трудность такая же, как и в классическом подходе. Она заключается в том, что приведение системы к нормальной форме связано с большим объемом вычислений. В результате опять же появляются громоздкие (хотя, конечно, значительно более краткие, нежели при классическом подходе) значения якобиана, являющиеся функциями от параметров задачи. В работах этого автора приведено доказательство частотной невырожденности в задачах Баррара [34] и Лагранжа [35]. Эти задачи, хотя и являются предельными случаями одной задачи двух неподвижных центров (смотри, например Демин [9]), но в формально-математическом плане представляют собой различные самостоятельные задачи.

Существует также путь доказательства невырожденности, основанный на наличии у системы неустойчивых стационарных движений. Хорошо известно, что в случае систем с одной степенью свободы, при наличии на фазовом портрете сепаратрисы, единственная частота стремится к нулю как величина, обратная логарифму энергии (при условии, что в положении равновесия энергия системы равна нулю) (см. например, Нейштадт [21]). Отсюда немедленно следует тот факт, что система частотно-невырожденна, так как она зависит от константы энергии. Этот факт очевиден, поэтому, вероятно, отмечался он редко (автор не знает ни одного явного примера). Следовательно, в случае системы с одной степенью свободы, наличие сепаратрисы на фазовом портрете приводит к невырожденности часготного отображения системы. На качественном развитии данного факта и построена диссертация автора, основные результаты которой изложены в ([41], [42])

Таким образом, сложилась ситуация, при которой невырожденность всех предельных задач, получающихся из задачи двух неподвижных центров, была доказана, а невырожденность основной задачи оставалась под вопросом. Конечно, тот факт, что эти задачи невырождены, говорил опосредованно о факте невырожденности задачи двух неподвижных центров, но в строгой постановке вопрос оставался открытым.

Теперь расскажем немного о самой задаче двух неподвижных центров. Как видно из названия, она представляет собой задачу о движении частицы нулевой массы в поле двух фиксированных центров. Впервые эта проблема для случая плоского движения была сведена к квадратурам Л. Эйлером, а в пространственном случае ее решение было дано Лагранжем и Якоби. Полное решение задачи стало возможным лишь после исчерпывающего качественного анализа, начатого Шарлье ([32]) и завершенного работами Бадаляна ([5],[6], [33]), Тальквиста ([39], [40]) в плоском случае и В. М. Алексеева ([1]) - в пространственном. Результатом этих работ явилась полная классификация всех возможных форм движения и генеалогия различных классов орбит. Возникает вопрос, почему задача, по виду представляющая только теоретический интерес, привлекла внимание такого большого количества ученых. Интерес к этой задаче основан на следующих соображениях. Во-первых, эта задача является одним из первых эффективных примеров применения метода Гамильтона-Якоб и. Во-вторых, несмотря на кажущуюся академичность задачи, она может быть использована для построения аналитической теории движения межпланетного корабля, отправляемого с одной планеты на другую. В самом деле, так как время перелета меньше времени оборота каждой из планет вокруг Солнца, то в первом приближении можно рассматривать эти две планеты как неподвижные. В то же время очевидно, что влияние корабля на каждую из планет ничтожно.

В-третьих (но по важности этот аргумент стоит на первом месте, Демин [9]), оказалось, что задача двух неподвижных центров может быть применена в качестве приближения движения спутника в поле Земли (или вообще в поле притяжения планеты). Правда, для этого придется рассматривать массы, находящиеся в центрах, комплексно-сопряженными и сами центры находящимися в комплексно-сопряженных точках.

Таким образом, задача двух неподвижных центров весьма актуальна и полезна, но использование ее в качестве основы для применения методов теории возмущений все еще требует обоснования. Данная диссертация предлагает несколько способов доказательства частотной невырожденности, интересных самих по себе и применяемых к задаче двух неподвижных центров.

Перейдем к изложению содержания диссертации по

главам.

В I главе излагаются теоретические результаты, на основе которых исследуется в дальнейшем задача двух неподвижных центров. В

§1.1 представлен объект исследования - системы Лиубилля с двумя степенями свободы, то есть имеющие гамильтониан в виде и = Р1 +УМ+Р1 + У2Ы

Ш) + МЧ2)

Неравенства

И-ь/гЫ < + определяют область возможности движения при заданных константах д и И.

Рассматриваются также системы с тремя степенями свободы, допускающие разделение переменных по Лиувиллю после понижения поряка с помощью циклического интеграла.

В §1.2 приводятся сведения о строении бифуркационного множества приведенной системы - такого множества в плоскости констант первых интегралов, каждой точке которого отвечает критический совместный уровень этих интегралов.

В §1.3 говорится о равновесиях приведенной системы, или об относительных равновесиях полной системы.

В §1.4 изложена методика построения бифуркационных диаграмм в плоскости констант интеграла энергии к и циклического интеграла з, а также построения пространственной бифуркационной картины для всех трех интегралов.

В §1.5 приведены формулы для вычисления частот условно-периодического движения произвольной лиувиллевой системы с двумя степенями свободы. Известно, что переменные "действие"даюгся формулами \I \/2(Т~1)'+1 д-Ц(д) + Ни(<?)) йд

При < д < дг+ подкоренное выражение неотрицательно.

Тогда для нахождения частот условно-периодического движения имеем: - дрг др

1 дН дд дд дН

С геометрической точки зрения эти формулы задают частотное отображение -отображение открытой области существования условно-периодического движения из К2(/г., д) в плоскость частот К2^,^). Доказывается, что это отображение по непрерывности продолжается на часть границы рассматриваемой области и даже за нее.

В §1.6 эти формулы дополнены выражением для третьей частоты в предположении, что постоянная циклического интеграла не зафиксирована и понижение порядка не производится.

В §1.7 рассматривается асимтотика частотного отображения, на той части границы области условно-периодического движения, когда фазовый портрет по одной из координат содержит сепаратрису. Доказывается , что предельное значение частоты щ равно нулю, тогда как предельное значение другой частоты вообще говоря, нулю не равно. Исследование частот условно-периодического движения вблизи сепаратрис уже было проведено в некоторых работах, напр. Довбыш([10]), Козлов([13]).

На основании асимптотики около сепаратрисы в диссертации разработан способ доказательства двухчастогности гамильтоновых систем, а именно:

1) ищем участок границы области условно-периодического движения, на которой фазовый портрет одной из переменных содержит сепаратрису;

2) проверим, что другая частота не является константой на этом участке;

3) применяем теорему и делаем вывод о частотной невырожденности системы.

Автор хочет обратить особое внимание на то, что эта техника коренным образом отличается от всех предыдущих предложений по доказательству частотной невырожденности, так как факт, на основании которого она применяется является, топологическим, Во-первых, она использует топологические сображения о системе, во-вторых, она использует факт наличия неустойчивых равновесий. До этого, из-за того, что в этих точках частотное отображение теряло аналитичность, они считались бесполезными с точки зрения частотной невырожденности, теперь лее им обеспечено серьезное место в рассмотрении этого вопроса.

В последующих

главах приведено доказательство невырожденности задачи двух неподвижных центров в различных случаях, использующее вышеперечисленную технику и развитие техники доказательства невырожденности частотного отображения, основанного на представлении переменных "действие" как функций на римановой поверхности.

Глава II посвящена задаче двух неподвижных центров в случае, когда массы положительны и различны, либо массы имеют разные знаки, но сумма масс положительна. Начнем описание с масс разных знаков. Тогда на плоскости констант первых интегралов существует только одна область условно-периодического движения. Доказательство невырожденности частотного отображения основывется на введении в рассмотрение римановой поверхности, на которой частотное отображение аналитично. Затем, пользуясь теоремой Коши и тем, что в пространственном случае корни уравнений, определяющих область условно-периодического движения, не могут переходить определенных значений, выбирается контур, охватывающий корни, между которыми происходит движение. После этого, устремляя константы первых интегралов к определенным значениям, мы получаем асимптотические разложения переменных "действие" и их производных на этом контуре. Подставляя их в выражения для частот, мы также находим асимтотическое разложение якобиана и отсюда делаем вывод о его отличии от нуля.

В задаче, когда массы положительны и различны, на плоскости констант первых интегралов существуют уже две области условно-периодического движения. Первая из них полностью аналогична той, которая существует в предыдущем случае и доказательство невырожденности в ней совершенно такое же. Вторая же существует лишь при достаточно малых константах циклического интеграла ]. Надо отметить, что первая область является наиболее интересной с практической точки зрения, так как во второй движение происходит слишком близко от одного из притягивающих центров, то есть, на практике, внутри планеты. Но даже и в этом случае есть возможность доказать невырожденность частотного отображения, правда для масс достаточно близких к равным и достаточно малой константы площадей у. Доказательство использует топологическую технику, представленную в главе I. Необходимо сказать, что данный результат не является исключительно локальным, так как аналитичность частотного отображения позволяет нам заключить из этого, что доказана частотная невырожденность почти всюду, так как отличие от нуля аналитической функции свидетельствует об ее отличности от нуля на всем множестве за исключением, быть может, множества меры нуль.

В первой области возможно доказать и трехчастотность на основании асимто-тических разложений на описанном выше контуре.

Перейдем к главе III. В ней рассматривается тот случай задачи двух притягивающих центров, когда массы, сосредоточенные в центрах, разных знаков, и при этом их сумма отрицательна. В этом случае на плоскости констант первых интегралов есть только одна область условно-периодического движения, существующая только при достаточно малых постоянных интеграла площадей Следует признать, что задача представляет чисто академический интерес, так как нет ни одного реального примера планеты, потенциал которой аппроксимировался такими массами, но даже если бы он был, то условно-периодическое движение все равно происходило бы внутри планеты. С этой оговоркой, топологическая техника доказательства двухчастотности позволяет и здесь доказать невырожденность, правда, в случае, когда массы, сосредоточенные в центрах весьма близки по модулю и достаточно малой контанте площадей

В главе IV рассматривается самый важный для практики случай задачи двух неподвижных центров - когда массы комплексно-сопряжены и расположены в комплексно-сопряженных центрах. Несколько слов следует сказать с целью объяснения такой постановки задачи. Потенциал задачи выглядит так: тт / М1 / М и = -—- +- -—

Г! = \Д2 + у2 + (г — а^)2 г2 = \Д2 + У2 "Ь (-г + а2)

Мь М2 - массы притягивающих центров, ох, 02 - расстояния от центров до начала координат. Расклыдывая потенциал по полиномам Лежандра, получаем

М = Мх + М2 , 7п =- м

Используя то, что мы ищем действительный потенциал, и, опуская выкладки, получаем: + + + (¿-г)*), а параметрами М, <5, с мы можем распорядиться по собственному усмотрению. Сравним полученный потенциал с потенциалом Земли, который, с некоторыми допущениями, выглядит следующим образом: где через Мт обозначена масса Земли, через ^ - некоторые постоянные, а Я? - средний экваториальный радиус Земли. Путем подбора соответсвующих коэффициентов в разложении потенциала задачи двух притягивающих центров, мы можем добиться того, чтобы разложения совпадали до третьих членов.

Теперь перейдем к изложению главы V диссертации. Случай комплексных масс весьма сложен и нетривиален в том смысле, что при достаточно малых постоянных циклического интеграла ] в нем вообще не существует ни устойчивых, ни неустойчивых равновесий, из-за чего неприменимы ни техника Смирновой, ни топологическая техника автора. Однако в этом случае можно воспользоваться методом доказательства невырожденности из главы I. Точно так же формулируются и доказываются теоремы об асимтотическом разложении переменных "действие" и их производных по константам первых интегралов, что приводит к асимтотическо-му разложению якобиана, которое отлично от нуля. Этот же прием используется для доказательства невырожденности при любом ] в имеющейся области условнопериодических движений.

В случае комплексных масс, когда постоянная ] больше определенного значения, возникает еще одна область условно-периодического движения, на одном из участков границы которой фазовый портрет переменной г} содержит сепаратрису. Это дает возможность снова применить топологическую технику доказательства

2* 16М П двухчастотности, на этот раз для значении параметров у близких к —-рг, тки.

Во всех

главах, в которых двухчастотность была доказана на основе применения топологических свойств системы около участка бифуркационной кривой, где одна из переменных имеет на фазовом портрете сепаратрису, сделано примечание о соответствии данного результата невырожденности в смысле Рюссмана.

Таким образом, достигнуто серьезное продвижение в задаче двух неподвижных центров и вообще в доказательстве невырожденности систем Лиувилля.

Глава

Общие подходы к доказательству невырожденности лиувиллевых систем

Глава посвящена теоретическим и топологическим методам, при помощи которых в дальнейшем исследуются конкретные механические системы с разделением переменных.

§ 2.1 Объект исследования

Рассматривается гамильтонова система с тремя степенями свободы, в некоторой системе координат ql,

§2, 9з, допускающая понижение порядка с помощью циклического интеграла J = рз = причем приведенные системы лиувиллевы, т.е. гамильтониан имеет вид:

ЛЫ +/2 ы

Помимо интеграла энергии подобная система имеют еще один первый интеграл = 1,2), (2.2) независимый с Н = Н. Поскольку функции Я, J находятся в инволюции, обе системы (и исходная и приведенная) вполне интегрируемы.

§ 2.2 Бифуркационные диаграммы лиувиллевых систем

Напомним стандартный материал (Алексеев[1]). Бифуркационное множества (или диаграмма) лиувиллевой системы образовано теми значениями д и к для которых совместный уровень интегралов

Гдн = {С = д,Н = к} = {рЦ2 + V - Л /1 = flr.il/2-f-V2 - Л/2 = -¡7} д = К /2 - У

Вообще говоря, это параметрические уравнения кривых на плоскости Ж2(д, ¡г). В случае, когда выполнены одновременно условия (2.6) и (2.7), Ли д являются критическими значениями функций Яи Спо отдельности. На плоскости Ж2 (#, К) это точка пересечения двух кривых типа ( 2.6), ( 2.7).

Как видим, для построения бифуркационной диаграммы необходимо найти и изобразить на плоскости К2 (<7, К) критические значения д*{К) = (—1 )г+1д функций г = 1,2.

Неравенства

Ф? = УхЫ - ЬЛЫ < 9 < = -Вд + /1/2(92) определяют области возможного изменения координат qi (г = 1,2) при заданных константах интегралов д и Л. Обозначим ее Мд¡1. Достаточно типична ситуация, когда ч;{дЛ)<(ц<ч1(9Л) (2-9) или таких отрезков несколько. Характер движения определяется расположением корней функций (—1)1+1д— Ф^ в зависимости от значений д и Л. В частности, если корни q¡~ и ^ простые и между ними (—1)г+1<? — Ф^ > О, то движение по каждой из координат носит либрационный характер (а в целом условно-периодично); если д^ = ц^ = д* - кратные корни соответственно функций (—1 )г+1д — то это стационарная точка, положение равновесия. При этом тип движения меняется качественным образом когда, при некотором наборе /г и д, одна из функций

1)г+1д — Ф^ имеет кратный корень, то есть

Отсюда и из ( 2.6), ( 2.7), мы видим, что в плоскости К2 (д, К) критические значения функций (—1)г+1д — Ф^ задают следующие бифуркационные кривые л=у т = 1,2) параметризованные кратными корнями функций (—1)г+1<7 —

2.10)

§ 2.3 Относительные равновесия

В этом разделе будут рассмотрены некоторые свойства относительных равновесий системы. Вначале определим топологию окрестностей относительный равновесий на плоскости [д,К). Возможны следующие случаи

1) по обеим координатам положение равновесий устойчиво;

2) по одной координате равновесие устойчиво, по другой неустойчиво

3) по обеим координатам положение равновесия неустойчиво

Последний случай не встречается в задачах, исследуемых в данной диссертации.

На плоскости (д, К) в первом случае движение возможно только с одной стороны от бифуркационной кривой, так как при переходе через нее корни, между которыми происходит движение, становятся комплексными и движение невозможно. Таким образом, в этом случае окрестность положения равновесия представляет собой угол, образованный пересечением бифуркационных кривых.

Во втором случае для той координаты, по которой положение равновесия неустойчиво, движение возможно по обеим сторонам от бифуркационной кривой, так что на плоскости этот случай выглядит как ответвление одной бифуркационной кривой от другой.

Наконец, в последнем случае, так как движение возможно по обе стороны от обеих бифуркационных кривых, вид окрестности равновесия представляет собой пересечение двух бифуркационных кривых. Теперь рассмотрим свойства равновесий, соответствующих различным критическим точкам функций Ф-\

Утверждение 1. Пусть д таково, что (—1 )г+1д" - критическое значение функций Ф^1 в точке = = ^ = (¡=1,2), то ~ положение равновесия в приведенной системе, или положение относительного равновесия в полной системе, т.е. qi(t) — Я* (1=1,2), д* - критическая точка приведенного потенциала у = У&иЛ + Щъ,!) ЛЫ + ЛЫ

Доказательство. Действительно, в этом случае будут одновременно выполнены условия ( 2.4) и ( 2.5), откуда следует, что дУН = Щдъд2Л), (г = 1,2), т.е. /г = Л* = з) - есть критическое значение приведенного потенциала при дг = д*.

Утверждение 2. Если (—1)г|"15* есть минимум и (Ф^1)" ф 0 , то положение равновесия устойчиво и, соответственно, устойчиво относительное равновесие полной системы.

Доказательство. Пусть (—= тшФ^ в точке qг = д* т.е. V' — Л/' = О V" — к /" > 0 и, следовательно,

И = к, = ^(д*,^),

После преобразований получим

О, (г = 1,2), у"-ьг> о Л +/г ' дя:, дгУ ы^1'* ' V"* "Я г = 1,2)

Таким образом, условия критерия Сильвестра в данном случае равносильны усло

0, (г = 1,2) и всегда выполнены. Из этого следует, что приведенный потенциал имеет в точке (<?*, ) изолированный минимум и, по теореме Лагранжа-Дирихле, положение равновесия приведенной системы устойчиво по Ляпунову. □

Утверждение 3. Если (—1 )г+1д* - критическое значение для Ф^ и есть максимум одной из функций Ф-1 и при этом соответствующая производная (Ф-1)" ф О, т,о положение равновесия приведенной системы неустойчиво и, соответственно, неустойчиво относительное равновесие полной системы.

Доказательство. Данный вопрос решается при помощи линеаризации системы около положения равновесия. Лагранжиан системы есть

Линеаризуя его около положения равновесия, получаем

1 д2У* 1 д2У* ь = (Д + /а)'Й? + -УТ- ^(<7: - - £-5^(3, - <й)

3 2 дд2г

2 3?!

Соответствующие уравнения Лагранжа 1 d2V*

При помощи незначительных выкладок получаем

1 д2у;

1 + /2)* дф (Гг + Ы

Поскольку это положение - максимум, то ф*)»*

Л + Л) 0 и, следовательно,

1 д2У* т , , а значит, положение равновесия неустойчиво уже по первому при

Л + кУ ч ближению.

§ 2.4 Бифуркационная картина трех интегралов

Бифуркационная диаграмма в плоскости констант интеграла энергии Н и интеграла площадей J, о которой пойдет речь ниже, в сочетании с бифуркационной диаграммой лиувиллевых интегралов Н и О дает полное представление о бифуркационной картине трех интегралов в пространстве К3 (д, Н,

Бифуркационное множество Ж2 (д, к) включает в себя те значения /г и для которых совместный уровень интегралов является критическим и исчерпывается этими значениями, когда совместные уровни компактны.

Зависимость функций Н я J хотя бы в одной точке означает, что ( \ дН/дд1 дН/дд2 дH/дqъ дН/дР1 дН/др2 дН/др dJ/dps

На самом деле частоты - аналитические функции и они допускают аналитическое продолжение на границу области и даже за нее. Рассмотреть способ их продолжения тем более полезно, что он будет использован при доказательстве частотной невырожденности в дальнейшем. Итак, рассмотрим в комплексной области интеграл Якоби т = Ц (2-15)

21 (р) где Я(г,р) - полиномы с вещественными коэффициентами.

При этом Я(г,р) = ф(г,р) = (г — гз(р)) ■ ■ ■ (г — гп(р)). Подынтегральная функция Р(г,р) = г - гг(р)) {г - г2(р)) ф&,р), где функция

Я(г,р) у/Щр) двулистна, так как двулистна функция у/Я(г,р). Для получения соответствующей римановой поверхности, то есть поверхности на которой эта функция однолистна, проводят разрезы вдоль отрезков (2:1,2:2), (23,24) и т.д. На разрезанной таким образом плоскости функция будет однозначной и голоморфной. Поэтому к ней можно применить теорему Коши, следовательно ¿2 О)

Лр)^1- №

1 Г Р(г,р)<1г = ф Р(г,р)(1г, г,р) 2тг/ 2тг где V - разрез вдоль отрезка (;?!, г2), а I - любой контур, содержащий внутри себя разрез V и никаких других разрезов.

Теперь будем непрерывно изменять значение параметра р, так ,чтобы корни ¿а(р) и г2(р) сначала начали сближаться, потом совпали а в дальнейшем стали комплексно-сопряженными. Вообще говоря, при этом внутрь контура I другие корни полинома р) (то есть корни ф(г,р)) не попадут. Однако все это время интеграл 1{р) будет сохранять аналитическую зависимость от р.

Таким образом, даже при переходе через кривую кратных корней (бифуркаци

Формулы (2.12),(2.17) u2(g, h, j) u3(g,h, j) задают отображение области пространства M3 (g, h, j), отвечающей условно-периодическим движениям, в пространство частот К3(а;1,ш2,шз).

§ 2.7 Об асимптотике частот вблизи сепаратрисы

Как было сказано, перестройки множеств Mgh и соответствующих интегральных торов происходят, когда (—1 )к~1д является критическим значением функции Vk(<lk) — hfk(qk). Предположим, что это значение является максимумом или точкой перегиба в точке Тогда фазовый портрет по координате g* содержит сепаратрису, так что предельное значение частоты ик равно нулю. Вместе с тем, предел второй частоты вообще говоря, нулю не равен. Докажем этот факт.

Доказательство. Рассмотрим это утверждение для частоты lui. Для другой частоты доказательство аналогично. Движение происходит в интервале [qï,Çi]- Если значение g является максимумом или перегибом в точке qi*, то разложение функции g—^i выглядит так д— Ф^'(<?i) = [q\ — qt)n<j>i{qi), где (çx) > 0 в некоторой односторонней окрестности а п > 1. В это же самое время, вообще говоря, значение — g не является критическим для ф£((/2). Рассмотрим далее значения производных переменных "действие"при данном значении д. Согласно предыдущему

§ 2.8 Техника доказательства двухчастотности

Как было только что показано, частотное отображение переводит кривую на бифуркационной диаграмме, на которой достигается максимум по первой координате, в множество {шх = 0}. Это обстоятельство позволяет использовать факт из топологии, доказанный ниже.

Теорема 1. Предположим, что имеется отображение f квадрата ф = {0 < х,у < в Д2 / : <5 —> В? такое, что

1. /еОД) иГеС"(Я\д(3);

2. /([0,1], 0) € {у = 0} и не есть точка;

3. Для любого у отличного от нуля /(а;, у) ф {у = 0} Тогда отображение / невырождено

Доказательство. Доказательство будет состоять из нескольких шагов, которые мы сейчас кратко обсудим.

1. На этом шаге мы построим некоторое множество ненулевой меры и предположим, что отображение вырожденно, следовательно это множество не может все принадлежать образу квадрата

2. Потом, взяв точку из этого множества не принадлежащую образу квадрата, мы построим отображение и, "раздувающее"этот образ на границу квадрата.

3. Далее, мы возьмем композицию отображений вир рассмотрим действие этого отображения на границу квадрата (Л). После чего докажем, что отображение ¡г гомотопно тождественному

4. После этого, используя стандартный топологический прием, мы продолжим это отображение на весь квадрат и убедимся, что он отображает квадрат на границу, оставляя границу неподвижной, что невозможно из-за топологических свойств квадрата

5. Последнее замечание гласит, что мы пришли к противоречию, так что все множество ненулевой меры принадлежит образу квадрата; следовательно, отображение невырождено.

Не ограничивая общности, можно считать, что /(0,0) = (0,0), /(1,0) = (1,0) и /([0,1],0) = {0 < х < 1,2/ = 0}. Обозначим

С = {х = 0,0 < у < 1} и {0<ж < 1,у = 1} и {а; = 1,0 < у < 1} О = {0 < х < 1, у = 0} Таким образом дС} — С и И.

Так как отображение / непрерывно, то мы можем подобрать столь малые открытые окрестности Оо = 0(0,0) и 0[ = 0(1, 0), что /(0о)п/(01) = 0. Рассмотрим множество К = С \ {Оо и Ох}. Оно, очевидно, компактно. Так как К замкнут, а / непрерывно, то множество /(К) замкнуто и, в силу условия (3), отделено от нуля по оси Оу некоторой константой которую мы можем считать меньшей единицы.

Рассмотрим множество А = {0<л;<1,0<у<й}\ {/(Оо) и /(01)}. Оно открыто, следовательно, ненулевой меры. Значит, если оно все принадлежит образу /(<3), то отображение / невырожденно по лемме Сарда:

Множество критических значений функции С°° есть множество меры нуль Доказательство теоремы будем осуществлять от противного. Пусть существует точка р, такая что р £ А\ /(С,]). Рассмотрим отображение и : Я? \ {р} —> такое

Отметим, что, хотя сам по себе топологический факт является хорошо известным, но техника доказательства является новой.

§ 2.9 Связь с теоремой Рюсмана

В теоретической механике часто нужно только удостовериться в том, что данная система адекватна. В основном этот вопрос решается при помощи установления частотной невырожденности системы. Однако, иногда достаточно более слабых результатов.

Определение. Назовем систему с гамильтонианом Н = Н(р) невырожденной в р дН(р) смысле гюссмана, если множество значении вектора —-— не лежит ни в какой гиперплоскости проходящей через ноль.

Определение. Назовем функцию Н = Н(р) устойчивой, если для любого аналитического возмущения е д(р, <р) система с гамильтонианом Н + s д (р, ф) при всех достаточно малых е имеет инвариантные аналитические n-мерные торы, движение по которым условно-периодично с несоизмеримыми частотами, причем эти торы близки к невозмущенным торам {р = const}, а мера их объединения стремится при е —> 0 к полной мере.

Существует теорема, доказанная М. Б. Севрюком:

Теорема 2. Если система невырожденпа в смысле Рюссмаш, то невозмущенный гамильтониан Н устойчив.

Пусть условия этой теоремы не выполнены, то есть образ частотного отображения лежит на прямой (поскольку рассматривается случай двух степеней свободы, то гиперплоскости превращаются в прямые) проходящей через 0, и пусть на фазо

В главе приведены возможные типы движения материальной точки в ньютоновском поле притяжения двух неподвижных масс. Если потенциальная энергия вещественна, то можно доказать (Демин[9]), что имеет место только один из двух случаев :

• обе массы вещественны и расположены в вещественных точках

• обе массы комплексно сопряжены и расположены в комплексно сопряженных точках

Не будет ограничением общности считать, что обе массы расположены симметрично относительно начала координат и что система обладает осевой симметрией относительно OZ. Систему координат выберем так, чтобы гравитационная постоянная, половина расстояния между притягивающими массами и масса частицы равнялись единице.

В этой главе мы будем рассматривать случай, относящийся к действительным массам. В основном

глава будет следовать изложению (Алексеев[1]).

§ 3.1 Постановка задачи

Как уже было сказано, притягивающие массы расположены в точках (0, 0,1) и (0,0, —1). Задача интегрируется в эллиптических координатах х = shr¡ sin £ cos ф л у = sh r¡ sin £ sin ф z = cht] cos £

В этих координатах гамильтониан задачи

Я = (ch2 7] - cos2 £)-1 + (ctg2 £ + cth2 п) Ц- - Мch r¡ - mcos

Поскольку ф - циклическая переменная, то можно понизить порядок системы при помощи интеграла площадей рф = sin2 £sh2 77 ф = j. При фиксированном j получается приведенная система с двумя степенями свободы. Она лиувиллева, т.е. p?/2 + V5(®))

В нашем случае

1 = - cos2 £

2 = ch2 7?,

Vi = — ctg £ — m cos f y2 = cth 77 — M ch

3.2 Бифуркационные диаграммы приведенной системы

Представление о типах движения в данном случае дают бифуркационные диаграммы. Как уже говорилось, для их построения необходимо найти и изобразить на плоскости (д, h) критические значения д\[К) функций Ф^, Ф^ из неравенств ф? = V - hh < д < ~V2 + hj2 = которые определяют области возможности изменения координат. В нашем случае

•2 '2 = /icos2£ + ]— ctg2 ^ - то cos ^ , ф£(т?) =-/ich2?? + ^cth2£ - Meli?? бифуркационные кривые имеют вид

2сЪ.г]* 2 вЪ^г]*

М V, * .1,4 * д = — сЪг] - — сЛ 7}

2соэ^ 2бт4£*

В этой задаче существует два качественно различных вида - случаи (1а), (1Ь) бифуркационных диаграмм, они изображены на рисунках 1,

3.3 Бифуркационная диаграмма исходной системы

Для построения бифуркационных диаграмм исходной задачи в пространстве изучим зависимость где Ио - критическое значение приведенного потенциала т.е.

УзИ^'П^з) =

Здесь Л» и дл - координаты точек относительных равновесий. Диаграмма имеет качественно различный вид при различных значения масс, сосредоточенных в центрах. Рассмотрим вначале случай, когда т > М > 0. В нем существует только одно положение равновесия, которое мы обозначим Е\. При стремлении ] —> 0 имеем кЕ1 —>■ — оо. При стремлении 3 -> оо имеем кЕ1 -> 0. Здесь - значение координаты К точки Е\. Теперь рассмотрим случай, когда М > т > 0. В нем при У > Зо тоже есть только одно равновесие, а именно но при з < появляются еще два, которые мы обозначим через Е2 и зависят и от других корней многочленов, внешне не принимающих участие в движении. В связи с вышеизложенным область (/), в которой происходит условно-периодическое движение, разлагается на несколько подобластей, в которых эти интегралы записываются по разному, хотя, конечно, являются лишь разными записями следа на действительной оси одной и той же аналитической функции.

Рассмотрим сначала производные координат действие в случае (1а) в области (I). Он, в свою очередь, распадается на два

1. Массы разных знаков, причем сумма масс положительна, т.е. т > М > О

2. Обе массы положительны, т.е. М > т > 0, и при этом \}\ >

В первом из этих случаев область (/) разделяется на две подобласти, назовем их (1а) и (1Ь). Они не изображены на рисунке, так как с качественной точки зрения, движение в этих областях одинаково, разделение касается только корней многочлена <3(у). В области (1а) этот многочлен имеет вид

Я{у) = {(у-т2)2 + п22)(у-уъ)(у4-у), уз,4 € [1,+оо), (3.3) а в области (1Ь)

Э(У) = (У-У1)(У-У2)(У-УЭ>)(У4-У), 2/з,4 е [1,+оо] (3.4)

В обоих случаях движение происходит между корнями у3 и у±. Исходя из этого выводятся выражения для интегралов в выражениях производных "действий". Во всей области (/) корни многочлена Р(х) качественно не меняются

Р(х) — (х - ХХ)(Х - х2)(х - Х3)(х4 - £-), £3,4 е [-1,1], (3.5) р\ = (mi - Xif + n\, = (mi - x3)2 + n\

Выражения для производных переменных "действие"во всей области (I) в этом случае даны формулами ( 3.8). В области (lb) выражения для переменных "действие"/?! даются формулами ( 3.6).

Теперь рассмотрим область (I) в случае (lb). Она тоже распадается на две подобласти по корням многочлена Р(х) (по аналогичным описанным выше причинам, эти области не изображены на рисунке) и является аналогичной случаю (2) в ситуации (16) случая (/), поэтому нет нужды приводить здесь выражения для производных действий.

В случае (16) существует еще одна область, в которой происходит условно-периодическое движение, а именно, область (II). В ней многочлен Р(х) = (х — Xi) (х — г2) (х — хз) — х), но движение происходит между корнями [х\,х?\. Поэтому выражения для производных действий рг таковы: dpi = 1 Г dx = dg iry/^2hj УTT^2h^{Xi - х2)(х3 - х{) lh dpi 1 Г х2 dx 2 (au K(fci) + au E(fci) + Oi5 П(/гю, fei)) dh ~~ iryf^Th J ~~ ^/^ЩД^ГЩ^ГЩ ' dpi j Г x? dx 2p (<216 K(fci) + «ar П (fr-ii, fei) + ОавП^г, fei)) dj ~ -кл/^ThJ (1 -x2)JP(x) ~ n^f^hs/ixi - x2)(x3 - хг)

3.10)

Доказательство. В области I производные действий записываются следующим образом dpi дд

1 / dx 2 nf dpi 1 Г x2dx dh = ~2TTJ уЩЩ d2pi dg

1 Г Pgdx

2irJc (2P(x))

J I x2pgdx dgßh "2ttJ (2P(x))3/2 92p, 1 f x2 P'h dx dh2 2tt7 (2P(X))3/

3.16)

3.17)

3.18)

3.19)

3.20)

F(x) = hx4 — mx3 — + h -f — J 12 + тз; + д = —Л(ж — a;i)(a; — я^Х^ — £з)(х — £4), причем G 1,1]- Контур С обходится по часовой стрелке и находится на комплексной плоскости с разрезами, охватывая корни 24, £2- Так как эти корни находятся на отрезке [—1,1], то мы можем считать что этот контур есть окружность с центром в нуле и радиусом 2. Так как \х\с — ограничен, то мы можем асимптотически разложить на этом контуре многочлен Р{х), после чего подставить это разложение в выражения для производных действий.

Найдем, к примеру, выражение для ■. Подставляя асимптотическое разло

3.6 Двухчастотность приведенной задачи

Двухчастотность приведенной задачи доказывается по разному для областей (.I) в обоих случаях (1а) (16) и для области (II). Рассмотрим вначале доказательство для области (/). Для этого используется теорема из предыдущего раздела.

Теорема 5. Приведенная система является частотно-невырожденной

Доказательство. Подставляя в якобиан частотного отображения асимптотические разложения производных действий имеем ди\jdli дсо1/дд д^/дЬ, дш2/дд

9 (М2 - т2) (

М3 \у3, откуда следует его нетождественность нулю во всех случаях, когда обе массы отличны от нуля.

Для области (II) доказательства двухчастотности сложнее, так как в этом случае не удается использовать такие же асимптотические разложение как в области (/), из-за ее ограниченности. Поэтому используется теорема из главы 1, но использование ее не позволяет доказать невырожденность во всех случаях, а только в некоторых из них. Согласно вышеизложенной технике, наша задача заключается в том, чтобы доказать непостоянность частоты ы2 на отрезке [А, В], где она равна др2 2др2 дк + Жз дд

Здесь х3 - кратный корень функции д — Ф^. Он лежит в отрезке [—1,0].

Обозначим через Ы2А и в значения частоты ш2 в точках А и В соответственно. Найдем их асимптотические значения при ],т —> 0. При этом координаты точки А стремятся к (0,0), а точки В к (—2М, 0).

Глава

Случай действительных масс разных знаков, когда сумма масс отрицательна

В этой главе мы будем рассматривать случай, относящийся к действительным массам, причем массы мы будем рассматривать различных знаков, но сумма масс отрицательна Как уже было сказано бифуркационные кривые имеют вид

9 = -у соэ^ - -у с^ £

Из-за того, что массы таковы, вид диаграмм будет качественно отличаться от их вида в предыдущей главе. Качественный вид диаграммы показан на рисунке

§ 4.1 Частоты и частотные отображения

Будем вычислять частоты по формулам (2.12). При этом переменные "действие" имеют вид:

Рз(д, h)=j.

Производные переменных "действие" можно соответственно записать как dpi 1 Г dx дд ~ тrV2hJ 'ТрЩ' dpi 1 Г х2 dx ~dh = т\/2hj у/РЩ' pi j Г х2 dx

W ~ тгх/2hj (l-x2)^/P(x]' dß2 = 1 f dy dg тгл/Ш v/Ш' dp2 = 1 f У dy dh J V/ÖM' .7 f У dy dj nV2hJ (l-y2)^fШ' ж + +

Сложность задачи вычисления этих интегралов в данной главе состоит в том, что при определенных значениях |j| < ji область условно-периодического движения I включает в себя часть прямой h = 0. На этой прямой происходит переход одного из корней многочленов Р(х), Q(y) через бесконечность. При этом, несмотря на то, что корни изменяются аналитически, сам вид многочленов меняется качественным образом. Однако, движение при переходе качественно не меняется, поэтому на рисунке изображена диаграмма только для случая |j| > ji.

Рассмотрим сначала производные переменных "действие" в случае h > 0 в области (I). В ней многочлены Р{х) и Q(y) выглядят следующим образом

Р(х) = (x-Xi){x-x2)(x3-x)(xA-x), Q{y) = (У-У1)(У-У2){УЗ-У)(УА-У)- (4-3)

В данном случае существует два относительных равновесия, которые мы обозначим как Е\ и Е2. Первое из них устойчиво, второе - неустойчиво. неограниченности /3), то он возрастает не быстрее, чем ^ , а значит самое большее как убывает то есть гораздо медленнее, чем Следовательно и в этом случае отрезок \А, В] не переходит в точку.

Таким образом доказана двухчастотность и этого случая задачи для всех достаточно малых ] и \М\ , а значит почти всегда.

Необходимо отметить также, что, поскольку частота (¿1 отлична от нуля, что гарантировано тем, что интегралы в ее знаменателе сходятся, то приведенный гамильтониан устойчив по теореме Рюссмана. л/^(2|М|)2/

Глава

Случай комплексных масс

В главе мы обратимся к случаю, когда обе массы комплексно-сопряженны. Этот случай является хорошим приближением к задаче о движении материальной точки в поле притяжения сплюснутого сфероида. Как и в предыдущих

главах, Не будет ограничением считать, что обе массы расположены симметрично относительно начала координат и что система обладает осевой симметрией относительно OZ. Систему координат выберем так, чтобы гравитационная постоянная, половина расстояния между массами и масса частицы равнялись единице. В данном случае массы расположены симметрично в комплексно-сопряженных точках.

§ 5.1 Постановка задачи

Как уже было сказано, притягивающие массы расположены в точках (0,0, г) и (0,0, —г). Задача интегрируется в эллиптических координатах х = ch Г] sin £ cos ф i у = ch r¡ sin £ sin ф z = sh r¡ cos £ В этих координатах гамильтониан задачи

Поскольку ф -циклическая переменная, то можно понизить порядок системы при ется приведенная система с двумя степенями свободы. Она лиувиллева, т.е. помощи интеграла плошадей рф = sin2£sh2г]ф = j. При фиксированном j полу чан= £(p?/2 + V,(ft))

В нашем случае

Доказательство. Подставляя в якобиан частотного отображения асимптотиче

Рис. 1: Положительные и различные массы и > или массы разных знаков, но сумма масс положительна(случай 1а) при этом сумма масс отрицательна

Данная работа посвящена исследованию частот условно-периодического движения гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, допускающих разделение переменных по Лиувиллю (а также систем с тремя степенями свободы, приводимых к такому виду, после исключения циклической переменной).Несмотря на го, что такие системы интегрируются в квадратурах (подробнее с этим вопросом можно ознакомиться в Арнольд ([4]), Татаринов ([28]), сложность получающихся выражений не позволяет или сильно затрудняет проведение получение непосредственных заключений о поведении решений системы. Поэтому на первых гнагах используются методы качественного анализа таких систем, привлекается аппарат дифференциальной геометрии, теории гладких многообразий и гладких отображений и теории Морса. Видное место занимает здесь топологический анализ интегралов движения, который ставит свой целью описать совместные уровни первых интегралов (при этом проекция фиксированного совместного уровня интегралов на конфигурационное пространство определяет области возможного движения при данных значениях констант интегралов). Точки в пространстве констант первых интегралов, являющиеся образами точек, в которых интегра.лы зависимы составляют и часто исчерпывают так называемое бифуркационное множество (в случае, когда интегралов всего два оно состоит из нескольких кривых). Это множество разделяет пространство констант на конечное число областей, в которых сохраняется топологический тип совместных уровней и областей возможного движения. Нас будет интересовать случай, когда связные компоненты совместного уровня диффеоморфны тг-мерным торам, где п - число степеней свободы. В окрестности каждого из таких торов можно ввести канонические переменные "действие-угол"pi, Oi (mod 2 тг), так что движение фазовой точки по этому тору будет условно-периодическим: р1 = сопз1, Oi = Шi{pi) -Ь с частотами а;,- = Зависимость частот от констант первых интегралов называется частотным отображением. Поскольку все траектории, начинающиеся на торе, на нем и остаются (см. напр. Арнольд [2]), то тор является (и называется) инвариантным. Построение бифуркационной диаграммы (графического изображения бифуркационного множества) и определение области возможности движения являются важными главами в исследовании каждой конкретной задачи. Понятие бифуркационного множества было введено Смейлом ([25|), который считается основоположником инвариантной теории топологического анализа первых интегралов. Объектом его исследований были консервативные системы с симметрией. Д л я лиувиллевых систем методика построения бифуркационных диаграмм и классификация возможных типов движения была предложена В. М. Алексеевым (еще раньпае, см. [11)Вторым важным этапом в качественном исследовании интегрируемой гамильтоновой системы является нахождение частот условно-периодического движения и исследование их зависимости от констант первых интегралов. К сожалению, нахождение частот осложнено тем, что часто они из себя представляют очень сложные функции от констант первых интегралов.Одним из наиболее важных свойств гамильтоновой системы является невырожденность частотного отображения.Гамилътонова системы называется частотно невырожденной, если якобиан частотного отображения не есть тождественный нуль Невырожденность является отправным пунктом в теории возмущений гамильтоновых систем. А. Пуанкаре [23] даже назвал основной задачей динамики задачу об исследовании поведения решений системы, заданной гамильтонианом Н = Но{р)+еНг{р,ст), е < 1 в переменных действие-угол р, а. Здесь Но - гамильтониан невозмущенной системы, а, Hi - возмущение, являющееся 2 тг-периодической функцией угловых переменных Oi (mod 2 7г). В невозмущенной задаче [s = 0) углы Oi на инвариантных торах меняются равномерно с постоянными частотами а все переменные Рг являются первыми интегралами системы. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона дН дН ' Поскольку в подавляющем большинстве случаев возмущенная система неинтегрируема, то больгпинство выводов о характере движения этой системы делаются на основании свойств системы невозмущенной. А. Пуанкаре принадлежат два крупных шага в этом направлении: это теорема о несуществовании дополнительного аналитического интеграла и теорема о существовании периодических решений. Первый из этих результатов, можно сказать, является негативным, но фундаментальным, так как именно на его основании можно делать заключение о иеинтегрируемости системы. Эти результаты взаимосвязаны, так как на указан6 ных периодических решениях аналитические интегралы зависимы с гамильтонианом, а с уменьшением е множество периодических решений стремится, вообп],е говоря, к всюду плотному. Эти теоремы и их многочисленные обобщения используют условие невырожденности невозмущенных систем (Арнольд [4], Козлов [11], Марксов [18]).Существенным продвижением в описании возмущенных фазовых кривых явилась теорема А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функций Гамильтона (Колмогоров [14], Арнольд [3]). В этой теореме основное требование, предъявляемое к системе - невырожденность. Краткое содержание данной теоремы таково, что при определенных условиях, самым важным и труднопроверяемых из которых является невырожденность исходной системы, большинство (в смысле меры Лебега) инвариантных торов при возмущении не пропадает, а лишь немного деформируется. На качественном уровне это говорит следующее. При постановке любой физической задачи, мы ограничиваемся лишь каким то небольшим числом эффектов, влияющих на поведение системы.Остальные же мы отбрасываем, полагая их влияние малым по сравнению с учитываемыми. В результате решения мы получаем фазовые траектории не той задачи, которая существует в природе, а некоторой рафинированной системы. Возникает вопрос об близости данных траекторий к существующим в действительности.Теорема Колмогорова решает этот вопрос таким образом, что скорее всего (в вероятностном смысле), решение невозмущенной системы будет близко от решения невозмущенной, а качественно таким же. Свойство, при котором фазовые портреты первоначальной и возмущенной систем качественно совпадают, называется структорной устойчивостью системы.Таким образом, одним из следствий теоремы Колмогорова является то, что при выполнении ее условий, система близка к структурно-устойчивой - то есть мера множества траекторий, на которых нарушается структурная устойчивость, стремится к нулю. Наряду с выражением "структурная устойчивость системы "используется высказывание "устойчивость гамильтониана", которое и будет употребляться в дальнейшем. Вообще говоря, для того, чтобы удостоверится в устойчивости гамильтониана, вовсе не обязательно доказывать невырожденность частотного отображения системы. Существует утверждение, анонсированное Рюссманом ([37],[38]) и доказанное Севрюком ([24]), которое решает вопрос об устойчивости гамильтониана в том смысле, что для этого требуется только, чтобы гамильтониан был устойчив по Рюссману. По определению, гамильтониан называется устойчивым по Рюссману, если множество его частот не лежит ни в какой гиперплоскости, проходящей через нуль. Таким образом, при использовании КАМ-теории, во многих случаях достаточно удостовериться не в частотной невырожденности гамильтониана, а лишь в гораздо более слабой невырожденности по Рюссману.Однако, частотная невырожденность не потеряла своей актуальности, поскольку при доказательстве некоторых фактов и теорем требуется именно невырожденность частотного отображения системы, а не более слабая устойчивость гамильтониана. Во-первых, если частотное отображение невырожденно, то достаточно, чтобы возмущение гамильтониана принадлежало классу С , где г > 2п, (гг - количество степеней свободы системы) (РозЬе], [36]) (в случае устойчивости требуется аналитичность возмущения), во-вторых, в теореме Колмогорова установлена оценка меры распадающихся торов, в-третьих, Нейштадтом ([20]) и Лазуткиным ([15]) установлена оценка меры деформации нераспадающихся торов, в-четвертых, тео8 ремы Пуанкаре тоже применимы только в этом случае.Оценка деформации нераспадающихся торов - это очень важный результат и он требует пояснения. Как уже было сказано выше, теорема Колмогорова говорит о том, что, решая математическую задачу, мы получаем представление о том, что будет происходить в действительности, так как при частотной невырожденности, решение невозмущенное системы близко к решениям возмущенной. Оценка деформации показывает меру этой близости. Напротив, в случае невырожденности по Рюссману, о близости решений ничего сказать нельзя, так как инвариантные торы, вообще говоря, не продолжаются непрерывно по малому параметру, используемому в качестве меры возмущения системы (Брюно, [8]). Таким образом, следствие полученное в теореме Колмогорова значительно сильнее, чем в теореме Рюссмана Исследование частотных отображений интегрируемых гамильтоновых систем получило дальнейшее развитие и применялось в работе многих исследователей (Мозер [19], Нейштадт [20], Нехорошев [22], Демин [9], Козлов [12], Маркеев [18]).Одним из основным этапом этих работ является доказательство частотной невырожденности исследуемых систем. Аналогично дело обстоит и при применении теоремы Мозера об устойчивости в эллиптическом случае - это применение метода Колмогорова в окрестности особой точки гамильтоновой системы.Вообще, почти любое качественное исследование решений гамильтоновых систем, в частности занимается вопросом о частотной невырожденности данной системы. Нетривиальность задачи доказательства невырожденности частотного отображения состоит в следующем. Для любой интегрируемой системы мы, вообще говоря, можем ввести переменные "действие-угол". Далее, вычисляя частоты и подставляя их в якобиан частотного отображения, возможно получить его значе9 ние как функцию от констант первых интегралов. Но проблема заключается в том, что частоты выражаются в форме трансцендентных функций. Таким образом, хотя вычисление якобиана так называемым прямым методом формально возможно и ведет к сложным выражениям, оно не дает никакой строгой информации относительно его отличия или равенства нулю, поскольку всегда есть возможность, что все члены в этом выражении уничтожатся между собой.Из-за этих технических трудностей вопрос о невырожденности каждой конкретной динамической системы есть задача, решаемая как правило, при использовании свойств данной системы. Основные методы решения этого вопроса и продвижения, составляющие предмет данной диссертации будут изложены ниже.Сделаем уточнение. Строго говоря, в теоремах Пуанкаре, Колмогорова, и других речь идет о невырожденности функции переменных "действие". Так как частоты зависят от действий очень сложным образом, то вместо якобиана частотного отображения в подавляющем большинстве случаев рассматривается якобиан отображения из констант первых интегралов в пространство частот. Эти задачи равносильны, так как переменные "действие"зависят от констант первых интегралов аналитически и с ненулевым якобианом. Удобные формулы для нахождения частот лиуви.ллевой системы приведены в докторской диссертации Я. В. Татаринова.Теперь перейдем к изложению результатов предыдущих исследователей частотной невырожденности гамильтоновых систем.Поскольку, доказательством частотной невырожденности гамильтоновых систем (либо как основной задачей, либо в качестве промежуточного этапа) занималось большое количество исследователей (см. выше), то их выбор в некоторой степени произволен.Самый простой и естественный путь к доказательству невырожденности основан на том, что, поскольку свойство невырожденности частотного отображения относится только к интегрируемым системам, частотное отображение может быть выписано явно с использованием специальных функций (эллиптических), однако будет очень громоздко. Хотя интуитивно "очевидно" отличие от нуля достаточно сложного выражения, однако строго этот факт почти никогда не доказуем.Поэтому так называемый "классический" способ доказательства частотной невырожденности почти никогда не применим.Существует также способ доказательства частотной невырожденности, использованный в работах А. Логачев при доказательстве частотной невырожденности в зачах Ковалевской, Клебша-Бруна, Горячева-Чаплыгина ((16], [17]). Его подход основан на вычислении якобиана частотного отображения при стремлении констант первых интегралов к определенным бифуркационным значениям. Подход интересен тем, что в нем используется общий прием вычисления частот, как аналитических функций на римановой поверхности. Похожий прием будет использован и в данной работе.В работах Е. Г. Смирновой разработан метод доказательства невырожденности, которой применим к любой системе Лиувилля 2-го порядка и приводимых к ним понижением по Раусу ([26], [27]). Метод основан на приведении системы к нормальной форме Виркгофа ([7]) около положения устойчивого равновесия и разложение частот в ряды с точностью до квадратичных (по вариациям первых интегралов движения) членов. Сам вопрос об аналитичности частотного отображения около положения устойчивого равновесия требует строгого обоснования, так как, например, около неустойчивого равновесия частотное отображение не только не аналитично, но даже не дифференцируемо. Вопрос об аналитичности решается также способом рассмотрения частот на римановой поверхности. Таким образом, полученные Е.Г.Смирновой результаты в принципе могут быть использованы только в системах с устойчивым положением равновесия. Вторая трудность такая же, как и в классическом подходе. Она заключается в том, что приведение системы к нормальной форме связано с большим объемом вычислений. В результате опять же появляются громоздкие (хотя, конечно, значительно более краткие, нежели при классическом подходе) значения якобиана, являющиеся функциями от параметров задачи. В работах этого автора приведено доказательство частотной невырожденности в задачах Баррара [34] и Лагранжа |35]. Эти задачи, хотя и являются предельными случаями одной задачи двух неподвижных центров (смотри, например Демин [9]), но в формально-математическом плане представляют собой различные самостоятельные задачи.Существует также путь доказательства невырожденности, основанный на наличии у системы неустойчивых стационарных движений. Хорошо известно, что в случае систем с одной степенью свободы, при наличии на фазовом портрете сепаратрисы, единственная частота стремится к нулю как величина, обратная логарифму энергии (при условии, что в положении равновесия энергия системы равна нулю) (см. например, Нейштадт [21]). Отсюда немедленно следует тот факт, что система частотно-невырожденна, так как она зависит от константы энергии. Этот факт очевиден, поэтому, вероятно, отмечался он редко (автор не знает ни одного явного примера). Следовательно, в случае системы с одной степенью свободы, наличие сепаратрисы на фазовом портрете приводит к невырожденности часгот12 ного отображения системы. На качественном развитии данного факта и построена диссертация автора, основные результаты которой изложены в ([41], [42]) Таким образом, сложилась ситуация, при которой невырожденность всех предельных задач, получаюш,ихся из задачи двух неподвижных центров, была доказана, а невырожденность основной задачи оставалась под вопросоА4. Конечно, тот факт, что эти задачи невырождены, говорил опосредованно о факте невырожденности задачи двух неподвижных центров, но в строгой постановке вопрос оставался открытым.Теперь расскажем немного о самой задаче двух неподвижных центров. К а к видно из названия, она представляет собой задачу о движении частицы нулевой массы в поле двух фиксированных центров. Впервые эта проблема для случая плоского движения была сведена к квадратурам Л. Эйлером, а в пространственном случае ее регпение было дано Лагранжем и Якоби. Полное решение задачи стало возможным лишь после исчерпывающего качественного анализа, начатого Шарлье ([32]) и завершенного работами Бадаляна ([5],[6], [33]), Тальквиста ([39], [40]) в плоском случае и В. М. Алексеева ([1]) - в пространственном. Результатом этих работ явилась полная классификация всех возможных форм движения и генеалогия различных классов орбит. Возникает вопрос, почему задача, по виду представляющая только теоретический интерес, привлекла внимание такого большого количества ученых. Интерес к этой задаче основан на следующих соображениях. Во-первых, эта задача является одним из первых эффективных примеров применения метода Гамильтона-Якоб и. Во-вторых, несмотря на кажущуюся академичность задачи, она может быть использована для построения аналитической теории движения межпланетного корабля, отправляемого с одной планеты на другую. В самом деле, так как время перелета меньше времени оборота каждой из планет вокруг Солнца, то в первом приближении можно рассматривать эти две планеты как неподвижные. В то же время очевидно, что влияние корабля на каждую из планет ничтожно.В-третьих (но по важности этот аргумент стоит на первом месте, Демин [9]), оказалось, что задача двух неподвижных центров может быть применена в качестве приближения движения спутника в поле Земли (или вообще в поле притяжения планеты). Правда, для этого придется рассматривать массы, находящиеся в центрах, комплексно-сопряженными и сами центры находящимися в комплексносопряженных точках.Таким образом, задача двух неподвижных центров весьма актуальна и полезна, но использование ее в качестве основы для применения методов теории возмущений все еще требует обоснования. Данная диссертация предлагает несколько способов доказательства частотной невырожденности, интересных самих по себе и применяемых к задаче двух неподвижных центров.Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.В I главе излагаются теоретические результаты, на основе которых исследуется в дальнейшем задача двух неподвижных центров. В §1.1 представлен объект исследования - системы Лиувилля с двумя cтeпeняvш свободы, то есть имеющие гамильтониан в виде Неравенства определяют область возможности движения при заданных константах д ъ Н. Рассматриваются также системы с тремя степенями свободы, допускающие разделение переменных по Лиувиллю после понижения поряка с помощью циклического интеграла.В §1.2 приводятся сведения о строении бифуркационного множества приведенной системы - такого множества в плоскости констант первых интегралов, каждой точке которого отвечает критический совместный уровень этих интегралов.В §1.3 говорится о равновесиях приведенной системы, или об относительных равновесиях полной системы.В §1.4 изложена методика построения бифуркационных диаграмм в плоскости констант интеграла энергии к и циклического интеграла ^, а также построения пространственной бифуркационной картины для всех трех интегралов.В §1.5 приведены формулы для вычисления частот условно-периодического движения произвольной лиувиллевой системы с двумя степенями свободы.Известно, что переменные "действие"даются формулами При < д < о1 подкоренное выражение неотрицательно.В §1.6 эти формулы дополнены выражением для третьей частоты в предположении, что постоянная циклического интеграла не зафиксирована и понижение порядка не производится.В §1.7 рассматривается асимтотика частотного отображения, на той части границы области условно-периодического движения, когда фазовый портрет по одной из координат содержит сепаратрису. Доказывается , что предельное значение частоты равно нулю, тогда как предельное значение другой частоты вообще говоря, нулю не равно. Исследование частот условно-периодического движения вблизи сепаратрис уже было проведено в некоторых работах, напр. Довбыш([10]), Козлов([13]).На основании асимптотики около сепаратрисы в диссертации разработан способ доказательства двухчастогности гамильтоновых систем, а именно: 1) ищем участок границы области условно-периодического движения, на которой фазовый портрет одной из переменных содержит сепаратрису; 2) пpoвepяvI, что другая частота не является константой на этом участке; 3) применяем теорему и делаем вывод о частотной невырожденности системы.Автор хочет обратить особое внимание на то, что эта техника коренным образом отличается от всех предыдущих предложений по доказательству частотной невырожденности, так как факт, на основании которого она применяется является, топологическим. Во-первых, она использует топологические сображения о системе, во-вторых, она использует факт наличия неустойчивых равновесий. До этого, из-за того, что в этих точках частотное отображение теряло аналитичность, они считались бесполезными с точки зрения частотной невырожденности, теперь же им обеспечено серьезное место в рассмотрении этого вопроса.В последующих главах приведено доказательство невырожденности задачи двух неподвижных центров в различных случаях, использующее выгпеперечисленную технику и развитие техники доказательства невырожденности частотного отображения, основанного на представлении переменных "действие" как функций на римановой поверхности.

1. в. М. Алексеев. Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений. Бюллетень ИТА АН СССР, 1965, 10, N4, 241-271.

2. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. М., "Наука",1989

3. В. И. Арнольд. Малые знаменатели П. Доказательство теоремы Колмогоровао сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. УМН, т 1 8 , вып.5, с. 13-40, 1963

4. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт. Математические аспекты классической и небесной механики. В книге "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления"т.3, ВИНИТИ, 1986

5. Г. О. Бадалян. О проблеме двух неподвижных центров. Астрономия. Ж у рнал., т. 11, 4, 1934

6. Г. О. Бадалян. Об упрощении уравнений траектории в проблеме двух неподвижных центров. ДАН СССР, т. 24, 2, 1939

7. Биркгоф Д ж . Д. Динамические системы. Ижевск. Издательский дом "Удмуртский Университет", 1999

8. Брюно А. Д. ДАН. 1992, 322, 6, с. 1028-1032

9. В. Г. Демин. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М., Наука, 1967

10. А. Довбыш. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы. УМН, 1989, 44, вып.2

11. В. В. Козлов. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике. УМН, т38 , 1, с. 3-67, 1983

12. В. В. Козлов. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.,МГУ, 1980

13. В.В. Козлов. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных переиодических решений в гамильтоновых системеах с полутора степенями свободы. УМН, 1986, 41, N5, 177-179.

14. А. Н. Колмогоров. О сохранении условно-периодических движений при маломизменении функции Гамильтона. ДАН СССР, т.98, 4, с. 527-530, 1954

15. В. Ф. Лазуткин. К теореме Мозера об инвариантных кривых. В сб.: Вопр.динамич. теории расностр. сейсмич. волн. Вып. 14. Л. : Наука, 1974, 109-120

16. А. Логачев. Невырожденность условно-периодических движений тяжелоготвердого тела в случае Ковалевской. Вестник МГУ, 1984,серия математики, механики, вып.4, с.82-85

17. А. Логачев. Методы обнаружения невырожденности условнопериодических движений интегрируемых гамильтоновых систем. М., МГУ, Д и с с , 1984 ¡18. А. П. Маркеев. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М., "Наука", 1978

18. Ю. Мозер. О разложении условно-периодических решений в сходяп;иеся степенные ряды. УМН, т24, вып.2, 1969

19. А. И. Нейштадт. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условнопериодических движений. ПММ, т.45, вып.6, с. 1016, 1981

20. А. И. Нейштадт. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Физика Плазмы, т. 12, вып. 8, с. 992-1011, 1986

21. Н. Н. Нехорошев. Экспоненциа.льная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. УМН, т.32, вып.6(198), с.5, 1977

22. А. Пуанкаре. Новые методы небесноей механики. Т. 2-3. В книге "Избранныетруды", М., "Наука", 1971-1972

23. М. Б. Севрюк. Инвариантные торы гамильтоновых систем невырожденных всмысле Рюссмана. Доклады РАН, 1996, 346(5), с. 590-593

24. Смейл. Топология и механика. УМН, х24, 2, 1972

25. Е. Г. Смирнова. Качественное исследование движений и частот в задаче Лагранжа. Космические исследования, 1992, т.ЗО, выи.6, с.746-758

26. Е. Г. Смирнова. Исследование частот условно-периодического движения в системах Лиувилля и интегрируемых приближениях задач о движении спутников планет. М., МГУ, Дисс , 1993

27. Я. В. Татаринов. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во Моск. ун-та,1984, 296с.

28. G. Badalian. Zum problem von zwei festen Zentern, Soc. Sclent. Fennicae Comment., Phys.-Math., t. 8, 2, 1939 ¡34. R. B . Barrar. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet. Astron. Journ., vol.66, 1, 1961

29. J . L . Lagrange. Mem. de Tirin, v.4, 1766-1769

30. Pöshel J . Uber invariante Tori in differenzierbarren Hamitonshen Systemen.Bonn. Math. Sehr., 1980, 120, p. 103

31. Rüssman H. In: Namber Theory and Dynamical Systems. London Math. Soc. Lect. Note Series. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. V. 34. P. 5-18

32. Rüssman H. In: Stochastics, Algebra and Analysis in Classical and QuantumDynamics. Math, and its AppL Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1990. V . 59. P. 211-223

33. Р.М.Бебенин. Новая методика проверки частотной невырожденности системЛиувилля. Доклады Академии Наук, 2000, том 374, JV 3^, с. 295-298

34. Р.М.Бебенин, Я.В. Татаринов. Частотная невырожденность в задачах небесной механики. Вести. Моск. Ун-та, сер.1, математика, механика, 2000, №5, с. 30-35