Суперполевые расширения уравнения Лиувилля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕЩИАЛЪНЫЕ ФОРШ И МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ: ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

§1. Метод обратной задачи рассеяния

§2. Нелинейные реализации и формы Картана

§3. Обратный эффект Хиггса

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ ДВУМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И /V =0 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ

§1. Структура конформной группы двумерного пространства-времени

§2. Нелинейная реализация конформной группы

§3. Линейная задача и общее решение Л/ = уравнения Лиувилля

§4. Комплексное уравнение Лиувилля

ГЛАВА 3. СУПЕРСШМЕТРИИ ДВУМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И /V =1 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ

§1. Суперрасширения конформной группы

§2. Структура безмассовых супермультиплетов

§3. А/ =1 уравнение Лиувилля.

ГЛАВА 4. N =2 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ

§1. Нелинейная реализация конформной А/ =2, Л = супергруппы и А/ =2 уравнение Лиувилля

§2. Анализ компонентного состава Л/ =2 уравнения

Лиувилля и линейная задача

§3. Общее решение А/ =2 уравнения Лиувилля

ГЛАВА 5. А/ =4 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ

§1. Конформная Д/=4, сС =2 супергруппа, ее нелинейная реализация и А/ =4 уравнение Лиувилля

§2. Анализ А/=4 уравнения Лиувилля в компонентах

§3. Трансформационные свойства

§4. Линейная задача для /V =4 уравнения Лиувилля

ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ СУЛЕРРАСШИРЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

§1. Общий метод построения преобразований

Бэклунда: А/ =0 уравнение Лиувилля.

§2. Преобразования Бэклунда для А/ -1, А/ =2 и

А/-4 уравнений Лиувилля.

I. Вплоть до начала семидесятых годов число точно решаемых физически важных задач было очень невелико. Это связано с тем, что подавляющая часть уравнений движения систем по своей природе существенно нелинейны, а математический аппарат для решения таких уравнений, по сути дела, включал в себя только теорию возмущений. Ситуация коренным образом изменилась, когда в 1967 году Гарднером, Крускалом и Миурой было показано/-'-/, что душ уравнения Кортевега-де-Фриза существует аналитический метод решения задачи Коши. Дальнейшее развитие этого метода, названного методом обратной задачи рас сеяния, началось с работы Лакса/2/, в которой был выявлен алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры, а затем в работах Гарднера^/, Фадцеева и Захарова/^/ была построена теория уравнения Кортевега-де-Фриза, как гамильтоновой системы. В дальнейшем был обнаружен целый ряд важных нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, и развит соответствующий математический аппарат для их решения (см.»например,/^*/). Существенный прогресс в понимании теоретико-групповых аспектов метода обратной задачи был достигнут в работах Савельева и Лезнова/6/, показавших , что вложения (минимальные и неминимальные) подгруппы 5С/С2/)в произвольную группу в тесно связаны с интегрируемыми нелинейными системами (обобщенными цепочками Тодда). Для систем уравнений, соответствующих таким вложениям, были построены представления типа Лакса и сформулирована методика нахождения общего решения/6/.

Среди нелинейных уравнений уравнение Лиувилля э - 2, ьь

Х+ = »гг е занимает несколько выделенное место. Во-первых, как было показано Лиувиллем (см., например/7/) оно имеет общее решение, зависящее от двух произвольных функций. Во-вторых, к этому уравнению применим весь аппарат метода обратной задачи рассеяния^'^ и как следствие этого, уравнению-Лиувилля присущи все свойства вполне интегрируемых систем: существование бесконечных серий законов сохранения^1^, преобразований Бэклунда и т.д. В-третьих, как было показано А. М. Поляковым,уравнение и егоД/=1 суперсимметричное расширение имеют тесную связь с теорией релятивистской струны. В четвертых, среди двумерных интегрируемых уравнений уравнение Лиувилля имеет наиболее тесную и прямую связь с реалистичными четы/12/ рехмерными теориями. Как было показано Виттеном' ' , оно возникает при использовании цилиндрически-симметричного анзаца для самодуального сектора теории Янга-Миллса. Все это стимулирует интерес к уравнению Лиувилля и, особенно, к построению его расширенных (а/^. 2) суперсимметричных обобщений.

Поиск высших суперсимметричных обобщений уравнения Лиувилля интересен с разных точек зрения. С одной стороны, основываясь на аналогии с обычным ( А/ =0) уравнением Лиувилля и его простейшим И^=1супераналогом//^//, описывающими бозонную и обычную фермион-ную струну в подходе Полякова/*1-"1-/, можно предположить, что уравнения с N>2 отвечают более сложным вариантам моделей суперструн с дополни те льными внтуренними степенями свобода/-^""-1-®/. С другой стороны, эти уравнения могли бы описывать определенные классы решений теории супергравитации и суперкалибровочных теорий в <¿-4, обобщающие сферически-симметричные решения уравнений автодуальности обычной теории Янга-Миллса^^. В этой связи напомним, что А/- 2 и N =4 суперсимметрии в ¿=2 могут быть получены размерной редукцией из А/ =1 и /V =2-суперсимметрий в Л =4. Суперрасширения уравнения Лиувилля представляют и самостоятельный интерес как нетривиальные примеры суперсимметричных интегрируемых систем.

В последнее время были построены суперсимметричные обобщения многих двумерных интегрируемых уравнений/"^'^""^/, Например, Д/=1 суперрасширения известны для уравнения Лнувилля^13/ синус Гордо-цепочек Тодда^^ и т.д. Систем с расширенной N-2 суперсимметрией было известно гораздо меньше: список фактически исчерпывался Кэлеровыми -моделями^7 Д9»20,22/ и суперрас ширением комплексного уравнения синус-Гордона^^. Дело в том, что продвижение в область расширенных Л/ъ2 суперсиммерий сопряжено с рядом трудностей. Во-первых, очень желательно иметь суперполевую формулировку расширенного уравнения, причем в неограниченных суперполях. На этом этапе возникают проблемы, присущие всем расширенным суперсимметричным теориям. А. именно, 2 суперполя содержат несколько неприводимых мультиплетов и, поэтому, возникает вопрос о подходящих ковариантных связях на суперполя теории, исключающих дополнительные степени свободы. Во-вторых, при построении расширенных суперсимметричных обобщений, в соответствии с общими требованиями суперсимметрии (равенство числа бозонных и фермионных степеней свободы, см., например,/25/), в бозонном секторе теории наряду с полем, удовлетворяющим исходному уравнению присутствуют дополнительные физические бозонные поля. И если мы хотим, чтобы расширенное суперуравнение также было вполне интегрируемо, бозонный сектор'должен представлять собой систему уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи. Изначально совершенно не ясно, какие же уравнения на новые поля должны сопутствовать исходному уравнению при его суперсимметричном обобщении. В третьих, попытки обобщить 2x2 схему обратной задачи рассеяния, предложенную Захаровым, Шабатом^6/, а также Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром^27^ на суперслучай сталкиваются с той трудностью, что неизвестно на какой супералгебре строить представление нулевой кривизны. Кроме того, сама структура суперформы, как и в бозонном случае, ниоткуда не следует, а должна быть угадана. Успех 2x2 схемы в чисто бозонном секторе обусловлен сравнительной простотой исходной формы, удовлетворящей представлению нулевой кривизны. При обобщении на случай расширенных суперсим-метрий, структура формы резко усложняется: возрастает размерность соответствующих матриц и часть компонент становится грассмановыми.

С другой стороны, изучение групповой структуры вполне интегрируемых уравнений (в том числе и уравнения Лиувилля) привело к открытию инвариантности таких уравнений относительно бесконечномерных групп симметрии. С точки зрения теории групп, наиболее последовательным образом групповые свойства систем можно установить в рамках метода нелинейных реализаци?/28-30/. Первые применения метода нелинейных реализаций, адекватно отражающего спонтанное нарушение симметрии, связано с киральными моделями/^. В дальнейшем область применения этого метода существенно расширилась. Так, например, были построены нелинейные реализации различных супергрупп /31,32/^ в ражах метода оказалось удобным описывать (Г-модели на обычных и грассмановых многообразиях^33/, теория гравитации также нашла простую интерпретацию в таком подходе^34/. Однако, применение метода нелинейных реализаций к бесконечномерным группам симметрии сталкивается с той трудностью, что для реализации таких симметрий требуется бесконечный набор голдстоуновских полей. Выход из этой неудовлетворительной ситуации был найден в работах Иванова и Огиевецкого/3^/, которые показали, что число голдстоуновских полей, необходимых для нелинейной реализации группы симметрии можно в отдельных случаях существенно уменьшить, налагая условия обратного эффекта Хиггса^3^.

В настоящей диссертации излагается новый подход к построению суперрасширений уравнений Лиувилля, базирующийся на методе нелинейных реализаций. Существенным моментом для получения динамических уравнений является наложение на дифференциальные формы Картана условий, гораздо более сильных, чем условия обратного эффекта Хиг-гса, но тем не менее инвариантных относительно всей исходной группы симметрии/36""3,7/. На этом пути удалось преодолеть перечисленные выше трудности и построить А/=2 и /V =4 суперсимметричные расширения уравнения Лиувилля/3841Л При этом на всех этапах используется суперполевой формализм, а условия, выделяющие неприводимые мультиплеты в расширенных суперполях, и представление нулевой кривизны возникают автоматически, как следствие ковариантной редукции. Преобразования Бэклунда в таком подходе имеют ясный геометрический смысл, а общие решения полученных уравнений могут быть найдены по единому алгоритму.

Диссертационная работа состоит из Введения, шести глав основного содержания, заключения и двух приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложен новый подход к задаче построения двумерных вполне интегрируемых суперсимметричных уравнений. Основу подхода составляют условия ковариантной редукции исходного фактор-пространства G-/H бесконечномерной (супер)группы б- к его связному подпространству G-0/H .На таком языке удалось описать как известные системы - А/ =0, А/=1 и комплексное уравнение Лиувилля, так и ранее неизвестные А/ -2 и Л/=4 уравнения Лиувилля. Единообразие описания, явная ковариантность на каждом этапе построения и суперполевая форма получаемых уравнений составляют, на наш взгляд, преимущества рассмотренного подхода. Кроме того, в рамках этой схемы можно единым способом находить общие решения изучаемых уравнений, получать (автоматически) представление нулевой кривизны и преобразования Бэклунда, т.е. по сути дела все специфические характеристики вполне интегрируемых систем. Последнее обстоятельство позволяет надеяться, что и другие свойства, связанные с полной интегрируемостью этих уравнений, такие как наличие бесконечных серий законов сохранения (отличных от тех, которые следуют из инвариантности относительно группы G- ) существование преобразования, сводящего данное нелинейное уравнение к системе линейных уравнений и т.п., получат простое объяснение в изложенном подходе.

В заключение укажем некоторые направления дальнейших исследований. По-видимому, наиболее интересной задачей является распространение нашей конструкции на другие вполне интегрируемые системы. На этом пути можно надеяться получить своеобразную классификацию интегрируемых уравнений по их бесконечномерным алгебрам групп симметрии. Интересно также проинтерпретировать в подобном духе самодуальный сектор теории Янга-Миллса. В этой связи отметим, что теория Янга-Миллса, аналогично уравнению Лиувилля, представляет собой нелинейную реализацию бесконечномерной симмет-рии^73/. В свете возможной интегрируемости калибровочных теорий, эта аналогия кажется заслуживающей внимания.

Особый интерес вызывает вопрос о квантовании У =4 УЛ. Поскольку единственный существующий в настоящее время вариант9и(А)~ суперструнъ/15/ приводит к присутствию нефизических состояний при любой размерности пространства-времени, то А/ =4 лиувиллев-ский супермультиплет, рассмотренный в диссертации мог бы улучшить ситуацию.

Отметим также, что существует другой тип суперобобщений уравнения Лиувилля - суперсимметризованные цепочки Тодда/2^. Такие системы обладают простой суперсимметрией и идут по линии увеличения числа А/ =1 супермультиплетов, в то время как суперрасширения, рассмотренные в данной диссертации, реализованы на одном неприводимом супермультиплете соответствующей плоской расширенной суперсимметрии. Интересной задачей, на наш взгляд, является построение новых серий обобщенных цепочек Тодда начинающихся с А/ =2 и А/ —4 уравнений Лиувилля, описанных в диссертации. Такие системы будут обладать уже расширенной суперсимметрией. Все эти вопросы нуждаются в дальнейшем изучении-.

Приведем перечень основных результатов, полученных в диссертации :

1. Разработан новый метод построения интегрируемых уравнений, основанный на нелинейных реализациях бесконечномерных (супер) групп симметрии.

2. С помощью предложенного метода построены, в явно кова-риантной суперполевой форме, новые суперсимметричные интегрируемые системы: У=2й А/ =4 суперрасширения уравнения Лиувилля.

3. Найдены бесконечномерные группы инвариантности ла=х, #=2 и А/ =4 суперуравнений Лиувилля.

- 97

4. Получено общее решение М =2 уравнения Лиувилля в компонентах и суперполях. Найдена суперполевая форма общего решения

А/=I уравнения Лиувилля.

5. Найдена бесконечномерная группа симметрии комплексного //=0 уравнения Лиувилля.

6. Выведены преобразования Бэклунда для /V -2 и //=4 суперрасширений уравнения Лиувилля.

Я глубоко признателен моему научному руководителю Евгению Алексеевичу Иванову за постоянную заботу, внимание и неоценимую помощь на всех этапах работы над диссертацией.

Мне приятно поблагодарить А.С.Гальперина, В.Г.Кадышевского, А.А.Капустникова, П.П.Кулиша, Д.А.Лейтеса, А.М.Рапортиренко, А.С.Сорина и особенно В.И.Огиевецкого за обсуждение различных вопросов диссертации.

Автор выражает признательность дирекции Лаборатории теоретической физики ОШИ и руководству кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ за создание благоприятных условий для работы.

1. Gardner C.S., Kortewed- de Vries equation and generalizations. IV. The Korteweg- de Vries equation as a hamiltonian system. J.Math.Phys., 1971, v. 12, N. 8, p. 1548-1551.

2. Захаров B.E., Фаддеев Л.Д., Уравнение Кортевега де Фриза -вполне интегрируемая гамильтонова система. Функциональный анализ, 1971, т. 5, в. 4, стр. 18-27.

3. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П., Теория солитонов: Метод обратной задачи., М., Наука, 1980.

4. Лезнов А.Н., Савельев М.В., Точные цилиндрически-симметричные решения классических уравнений калибровочных теорий для произвольных компактных групп Ли, часть I, 1980, ЭЧАЯ, т. II,в. I, стр. 40-91; часть П, 1981, ЭЧАЯ, т. 12, в. I, стр. 125161.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, М., Наука, 1979.

6. Андреев В.А., Применение метода обратной задачи рассеяния к уравнению <г+ еЛ , ШФ, 1976, т. 29, JS2, стр. 213-220.

7. D'Hoker Е., Jackiw R., Classical and quantal Liouville field theory. Phys.Rev., 1982, v. 26D, N. 12, p. 3517-3542.

8. Червяков A.M., Бесконечные серии законов сохранений и групповая структура уравнения Лиувилля, препринт 0ШИ, P2-I2I75, Дубна, 1979.

9. Polyakov A.M., Quantum geometry of bosonic strings, Phys.Lett., 1981, v. 1038, N. 3, p. 207-210; Polyakov A.M., Quantum geometry of fermionic strings, Phys.Lett., 1981, v. B103, N. 3, p. 211-213.

10. Witten E., An interpretation of classical Yang-Wills theory, Phys.Lett., 1978, v. 77B, N. 4,5, p. 394-398.

11. Ademollo M., et al., Supersymmetric strings and colour confinement, Phys.Lett., 1976, v. 62B, N. 1, p. 105-110.

12. Ademollo M., et al., Dual string models with non-Abelian Colour and flavour symmetries, Nucl.Phys., 1976, v. 114B, N. 2, p. 297-316.

13. Ademollo M., et al., Dual string with U(1) colour symmetry, Nucl.Phys., 1976, v. IIIB, N. 1, p. 77-110.

14. Di Vecchia P., Ferrara S., Classical solutions in two-dimensional supersymmetric field theories, Nucl.Phys., 1977,v. B130, N. 1, p. 93-104.

15. Hruby J. On the supersymmetric sine-Gordon model and a two dimensional bag; Nucl.Phys., 1977, v. B131, N. 2/3, p. 275284.

16. Witten E., Supersymmetric form of the nonlinear model in two dimensions. Phys.Rev., 1977, v. D16, N. 10, p. 29912994.

17. Napolitano E., Sciuto S., Supersymmetric -models andgraded Lie groups. Nuovo Cim., 1981, v. 64A, N. 4, p. 406420.

18. Zumino В., Supersymmetry and Kahler manifolds, Phys.Lett., 1979, v. 87B, N. 3, p. 203-206.

19. Napolitano E., Sciuto S., The N=2 sup ersymme trie generalization of the complex sine-Gordon model, Phys.Lett., 1982, v. 113B, N. 1, p. 43-46.

20. Савельев М.В., Интегрируемые супермногообразия и связанные с ними нелинейные уравнения, ТМФ, 1984, т. 59, № 3, с. 367-372.

21. Огиевецкий В.И., Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя, УФН, 1975, т. 117, в. 4, стр.637-683.

22. Захаров В.Е., Шабат А.Б., Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1971, т. 61, И 1(7), стр. II8-134.

23. Ablowitz H.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н., Nonlinear-evolution equations of physical significance, Phys.Rev.Lett., 1973, v. 31, N. 2, p. 125-127.

24. Coleman S., Y/ess J., Zumino В., Structure of phenomenologi-cal lagrangians, Phys.Rev., 1969, v. 177, N. 5, part 1,p. 2239-2247;

25. Callan G.L., et al., Structure of phenomenological lagrangians, Phys.Rev., 1969, v. 177, N. 5, part 1, p. 2247-2268.

26. Волков Д.В., Феноменологические лагранжианы, ЭЧАЯ, 1973, в. 4, Ш, стр. 3-41.

27. Ogievetsky V.I. Proceeding of X-th Winter School of Theoretical Physics in Karpach, v. 1, p. 117-132, Wroclaw, 1974.

28. Zumino Б., Non-linear realization of supersymmetry in anti de Sitter space, Nucl.Phys., 1977, v. Б127, IT. 2, p. 189-201.

29. Volkov D.V., Akulov V.P., Is neutrino a Goldstone particle?., Phys.Lett., 1973, v. 46B, N. 1, p. Ю9-1Ю.

30. Bando M., et al., Structure of non-linear realization insupersymmetrie theories, Phys.Lett., 1984, v. 138B, N. 1,2,3, p. 94-98.

31. Борисов А.Б., Огиевецкий В.И., Теория динамических аффинной и конформной симметрий как теория гравитационного поля, ТМФ, 1974, т. 21, 3, с. 329-342.

32. Иванов Е.А., Огиевецкий В.И., Обратный эффект Хиггса в нелинейных реализациях, ТМФ, 1975, т. 25, й 2, стр. 164-177.

33. Иванов Е.А., Кривонос С.О., Нелинейная реализация конформной группы двумерия и уравнение Лиувилля, ТМФ, 1984, т. 58, Jfc 2, стр. 200-212.

34. Ivanov Е.А., Krivonos S.O., Intergable systems as nonlinear realizations of infinite-dimensional symmetries: the Liou-ville equation example, Lett.Math.Phys., 1984, v. 8, p. 3945.

35. Ivanov E.A., Krivonos S.O., U(1)-supersymmetrie extension of the Liouville equation, Lett.Math.Phys., 1983, v. 7, p. 523-531.

36. Иванов E.A., Кривонос C.O., Суперполевые расширения уравнения Лиувилля, в Трудах УП Международного совещания по проблемам квантовой теории поля, Алушта, 1984, Д2-84-366, Дубна, 1984.

37. Иванов Е.А., Кривонос С.О., А/ =4 суперсимметричное уравнение Лиувилля, препринт ОШИ, Р2-84-250, Дубна, 1984.

38. Ivanov Е.А., Krivonos S.O., N=4 superextension of the Liouville equation with quaternionic structure, preprint Л1Ш, E2-84-290, Dubna, 1984.

39. Barbashov Б.М., Nesterenko V.V., Chervyakov A.M., General solutions of nonlinear equations in the geometric theory of the relativistic string, Comm.Math.Phys., 1982, v. 84, N. 4, p. 471-48I.

40. Кац В.Г., Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста, Известия АН СССР, 1968, т. 32, стр. 13231367;

41. Кас V.G., A sketch of Lie superalgebra theory, Comm.Math. Phys., 1977, v. 53, N. 1, p. 31-64.

42. Wess J., Zumino Б., Consequences of anomalous Ward identities, Phys.Lett., 1971, v. 37B, N. 1, p. 95-97.

43. Witten E., Global aspects of current algebra, Nucl.Phys.,1983, v. 223B, N. 2, p. 422-432.

44. Солитоны, сб. статей, пер. с англ. под ред. Новикова С.П., М., Мир, 1983.

45. Sasaki R., Soliton equations and pseudospherical surfaces, Nucl.Phys., 1979, v. 154B, N. 2, p. 343-357.

46. Eisenhart L.P., A treatise on the differential geometry of curves and surfaces, N.Y., Dover Publications, 1960.

47. Wahlquist H.D., Estabrook F.B., Prolongation structuresof nonlinear evolution equations, J.MathPhys., 1975, v. 16, N. 1, p. 1-7.

48. Leznov A.N., Saveliev M.V., Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial differential equations and its integrability. Lett.Math.Phys., 1979, v. 3, N. 6, p. 489-494.

49. Желтухин А.А. О связи релятивистской струны с двумерными полевыми моделями, ЯФ, 1981, т. 33, ie 6, стр. 1723-1728.

50. Iwasaki Y., Kikkawa K., Quantization of a string of spinning material. Phys.Rev., 1973, v. 8D, N. 2, p. 440-449.

51. D'Hoker E., Jakiv; R., Space-translation breaking and compae-tification in the Liouville theory, Phys.Rev.Lett., 1983,

52. Ъ. 50, N. 22, p. 1719-1722.

53. D'Hoker E., et al., S0(1,2) invariant quantization of the Liouville theory, preprint GTP 1072, Cambridge, 1983.

54. Wess J., Supersymmetry-Supergravity, in Proc. VIII GIFT Seminar, Salamanca 81 (1977).

55. Акулов В.П., Волков Д.В., Сорока В.А., Об общековариантных теориях калибровочных полей на суперпространстве, ТМФ, 1977, т. 31, Аз I, стр. 12-22.

56. Arnowitt R., Hath P., Generalized super-gauge symmetry as a new framework for unified gauge theories, Phys.Lett., 1975, v. 56B, N. 2, p. 177-180.

57. Leznov A.IT., Saveliev M.V., Leites D.A., Superalgebra B(Q,1) and explicit integration of the supersymmetric Liouville equation, Phys.Lett., 1980, v. 9бВ, II. 1,2, p. 97-99.

58. Arvis J.P., Classical dynamics of the supersymmetric Liouville theory, Nucl.Phys., 1983, v. 212B, N. 1, p. 151-172.

59. Гальперин А.С., Иванов Е.А., Огиевецкий В.И., Грассманова аналитичность и расширенные суперсимметрии, Письма в ЖЭТФ, 1981, т. 33, Jf> 3, стр. I76-I8I. 63» Payet P., Permi-Bose hypersymmetry, Nucl.Phys., 1976, v. 113B, N. 1, p. 135-154.

60. Payet P., Spontaneous generation of massive multiplets and central charges in extended supersymmetrie theories. Nucl. Phys., 1979, v. 149B, N. 1, p. 137-169.

61. Sohnius LI.P., Supersymmetry and central charges, Nucl.Phys., 1978, v. 138B, N. 1, p. 109-121.

62. Sohnius M.F., Stelle K.S., West P.O., in: Supergravity and Superspace, eds. S.W.Hawking and M.Rocek, Cambridge University Press, 1984«

63. Bagger J., V/ess J., Sup ersymme try and Supergravity, Princeton University Press, 1983*

64. Новиков С.П., Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса, ДАН СССР, 1981, т. 260, № I, стр. 31-35.

65. Будагов А.С., Тахтадаан JI.A., Нелинейная одномерная модель классической теории поля с внутренними степенями свободы, ДАН СССР, 1977, т. 235, № 4, стр. 805-808.

66. D'Adda A., Davis А.С., DiVecchia P., Effective actions in non-Abelian theories, Phys.Lett., 1983, v. 121B, N. 5,p. 335-338.

67. Witten E., Non-Abelian bosonization in two dimensions, Gomm.Math.Phys., 1984, v. 92, N. 4, p. 455-472.

68. Wadati M., Sanuki H., Konno K., Relationships among inverse method, Backlund transformation and an infinite number of conservation laws, Progr.Theor.Phys., 1975, v. 53, N. 2,p. 419-436.

69. Kumei S., Invariance transformations, invariance group transformations, and invariance groups of the sine-Gordon equations, J.Math.Phys., 1975, v. 16, H. 12, p. 2461-2468.

70. Иванов E.A., Огиевецкий В.И., Калибровочные теории как теории спонтанного нарушения, Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 23, № II, стр. 661-664.